Institut für Analysis und Numerik Angewandte Mathematik Münster

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Bachelor-/Masterseminar:

Das Calderon-Problem

WS 2025/26

Dozent:

Dr. Chun-Kai Kevin Chien
Prof. Dr. Gustav Holzegel
Prof. Dr. Benedikt Wirth

Informationen zum Seminar
HIS/LFS bzw. HIS/LFS

Zeit, Ort:	Di 12:00, Hochhaus (Einsteinstr. 62), 5. Stock
Inhalt:	Calderon-Problem: Ein klassischer Typ von sogenannten inversen Problemen ist Parameteridentifikation in partiellen Differentialgleichungen (pDgl.): Man versucht, die räumlich variierenden Koeffizienten einer pDgl. anhand der Messung von Teilen ihrer Lösung zu bestimmen. Ein Beispiel ist die Bestimmung des Leitfähigkeitskoeffizienten in der Laplace-Gleichung anhand von gleichzeitiger Messungen der Dirichlet- und Neumann-Randwerte ihrer Lösungen. Eine Anwendung des Problems ist die elektrische Impedanz-Tomographie. Das Problem wurde 1980 von Calderon gestellt, und seine eindeutige Lösbarkeit wurde von Uhlmann und Sylvester gezeigt. Dies hat eine deutliche Entwicklung im Gebiet der inversen Probleme bewirkt, jedoch auch in benachbarten Feldern wie z.B. der Geometrie.
Voraussetzungen:	Analysis I-III, Vorkenntnisse in Modulen in einem der Felder Numerik, Analysis, Geometrie sind hilfreich.
Teilnahme:	Bei Interesse melden Sie sich bitte per E-Mail.
Vortrags-Themen:	Sie finden die Themen hier, sie werden ergänzt um angewandtere Vorträge aus der folgenden Liste: Die D-bar regularisierte Rekonstruktionsmethode Jennifer Mueller, Samuli Siltanen: Linear and Nonlinear Inverse Problems with Practical Applications Kapitel 12 (Liste von Anwendungen, Herleitung aus Maxwell-Gleichungen, Diskussion Nichtlinearität und Schlechtgestelltheit, praktische Aspekte) Kapitel 15 (regularisierte Rekonstruktion mit der D-bar-Methode basierend auf Nachmans konstruktivem Eindeutigkeitsbeweis; von DN zu CGO zu scattering transform zu conductivity) Kapitel 16 (Varianten der D-bar-Methode und Rekonstruktionen in eingeschränkteren Räumen) Andy Adler, David Holder: Electrical Impedance Tomography - Methods, History and Applications Kapitel 6 (generelle Regularisierungsmethoden für inverse Probleme und Beziehung zu EIT) Kapitel 9 (D-bar-Methoden) Kapitel 10 (Bildverarbeitungstricks) Abschnitt III-IV (Anwendungen) Jennifer Mueller, Samuli Siltanen: The D-bar method for electrical impedance tomography - demystified Übersicht über D-bar-Methoden Sarah Jane Hamilton, Andreas Hauptmann: Deep D-bar: Real time electrical impedance tomography imaging with deep neural networks B. von Harrach: The Calderon problem with finitely many unknowns is equivalent to convex semidefinite optimization, SIAM J. Math. Anal. 55 (5), 5666-5684, 2023. Rekonstruktion von Form und Position von Konduktivitätsanomalien B. von Harrach: Recent progress on the factorization method for electrical impedance tomography Quantitative Untersuchung der Schlechtgestelltheit G. Alessandrini: Stable determination of conductivity by boundary measurements (Unter Quellbedingungen hat die inverse Abbildung mindestens eine negative Potenz des Logarithmus als Stetigkeitsmodul.) N. Mandache: Exponential instability in an inverse problem for the Schrödinger equation (... höchstens ...) Existenz und Eindeutigkeitsresultate M. Cheney, D. Isaacson, and J.C. Newell (1999), Electrical impedance tomography, SIAM Rev. 41, 85-101 Älterer, guter Übersichtsartikel. KOHN AND M. VOGELIUS, Determining conductivity by boundary measurements, Comm. Pure Appl. Math., 37 (1984), pp. 113-123. NACHMAN, Reconstruction from boundary measurements, Ann. of Math., 128 (1988), pp. 531-576. Global uniqueness for a two-dimensional inverse boundary value problem, Ann. of Math., 143 (1996), pp. 7. SYLVESTER AND UHLMANN, A uniqueness theorem for an inverse boundary value problem in electrical prospection, Comm. Pure Appl. Math., 39 (1986), pp. 91-112 SYLVESTER AND UHLMANN, A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem, Ann. of Math., 125 (1987), pp. 153-169; SYLVESTER AND UHLMANN, Inverse boundary value problems at the boundary-continuous dependence, Comm. Pure Appl. Math., 41 (1988), pp. 197-22