Institut für Analysis und Numerik Angewandte Mathematik Münster

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Bachelor-/Masterseminar:

Mathematische Optimierung/Das Calderon-Problem

WS 2025/26

Dozent:

Prof. Dr. Gustav Holzegel
Prof. Dr. Benedikt Wirth

Informationen zum Seminar
HIS/LFS bzw. HIS/LFS

Zeit, Ort:	nach Vereinbarung
Inhalt:	Optimierung: Viele Probleme aus Anwendungen lassen sich als Variationsproblem bzw. Optimierungsproblem formulieren. Häufig treten dabei auch partielle Differentialgleichungen als Nebenbedingung auf, z. B. bei der optimalen Steuerung von biologischen/chemischen/physikalischen/ökonomischen Prozessen, bei dem Design von optimalen Bauteilen für Ingenieuranwendungen, bei inversen Problemen der Medizin und Biologie oder auch bei der Beschreibung des Verhaltens bestimmter Materialien wie z. B. während plastischer Verformung. Wir werden uns mit der Analysis socher Probleme und ihrer numerischen Behandlung befassen, sowie mit allgemeinen Optimierungsmethoden. Calderon-Problem: Ein klassischer Typ von sogenannten inversen Problemen ist Parameteridentifikation in partiellen Differentialgleichungen (pDgl.): Man versucht, die räumlich variierenden Koeffizienten einer pDgl. anhand der Messung von Teilen ihrer Lösung zu bestimmen. Ein Beispiel ist die Bestimmung des Leitfähigkeitskoeffizienten in der Laplace-Gleichung anhand von gleichzeitiger Messungen der Dirichlet- und Neumann-Randwerte ihrer Lösungen. Eine Anwendung des Problems ist die elektrische Impedanz-Tomographie. Das Problem wurde 1980 von Calderon gestellt, und seine eindeutige Lösbarkeit wurde von Uhlmann und Sylvester gezeigt. Dies hat eine deutliche Entwicklung im Gebiet der inversen Probleme bewirkt, jedoch auch in benachbarten Feldern wie z.B. der Geometrie.
Voraussetzungen:	Analysis I-III, Vorkenntnisse in Modulen in einem der Felder Numerik, Analysis, Geometrie sind hilfreich.
Teilnahme:	Bei Interesse melden Sie sich bitte per E-Mail.
Leistungsnachweis:	60- bis 90-minütiger Seminarvortrag und bis zu 10-seitiges Handout für die Zuhörer (das Handout soll eine Woche vor dem Vortrag gezeigt und besprochen werden)
Vortrags-Themen:	Im Folgenden eine beispielhafte Liste an Seminarthemen zum Calderon-Problem: Jennifer Mueller, Samuli Siltanen: Linear and Nonlinear Inverse Problems with Practical Applications Dieses Buch ist innerhalb der Universität Münster online verfügbar. Interessant sind für uns die Abschnitte über nichtlineare inverse Probleme und EIT. M. Cheney, D. Isaacson, and J.C. Newell (1999), Electrical impedance tomography, SIAM Rev. 41, 85-101 Ãlterer, guter Ãbersichtsartikel. KOHN AND M. VOGELIUS, Determining conductivity by boundary measurements, Comm. Pure Appl. Math., 37 (1984), pp. 113-123. NACHMAN, Reconstruction from boundary measurements, Ann. of Math., 128 (1988),Â pp. 531-576. Global uniqueness for a two-dimensional inverse boundary value problem, Ann. of Math., 143 (1996), pp. 7. SYLVESTER AND UHLMANN, A uniqueness theorem for an inverse boundary value problem in electrical prospection, Comm. Pure Appl. Math., 39 (1986), pp. 91-112 SYLVESTER AND UHLMANN, A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem, Ann. of Math., 125 (1987), pp. 153-169; SYLVESTER AND UHLMANN, Inverse boundary value problems at the boundary-continuous dependence, Comm. Pure Appl. Math., 41 (1988), pp. 197-22 B. Harrach: The CalderÃ³n problem with finitely many unknowns is equivalent to convex semidefinite optimization, SIAM J. Math. Anal. 55 (5), 5666-5684, 2023. Für Optimierung folgen wir evtl. Lehrbuchkapiteln bzw. ausgewählten Artikeln im Kontext von Optimierung künstlicher neuronaler Netze: Ulbrich, Ulbrich, Hinze, Pinnau: Optimization with PDE constraints Table of contents available on the website -- to have a look inside let us know. Nocedal, Wright: Numerical Optimization Boyd, Vandenberghe: Convex Optimization Conn, Gould, Toint: Trust Region Methods Suh: Convex Optimization for Machine Learning Ruder: An overview of gradient descent optimization algorithms Kingma, Ba: ADAM: A Method for Stochastic Optimization Bottou: Stochastic Learning Dereich, Jentzen, Riekert: Sharp higher order convergence rates for the Adam optimizer