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What's going on??
Unsere Arbeit zur Regularität von isoperimetrischen Mengen ist seit heute online auf der Webseite der Zeitschrift Calculus of Variations and Partial Differential Equations.
Zusammen mit Lisa Beck und Eleonora Cinti habe ich die optimale Regularität von isoperimetrischen Mengen studiert, bei denen sowohl das Perimeter-Funktional als auch das Volumen Hölder-stetige Gewichte haben. Das Preprint ist auf dem arXiv.
Lukas Niebel ist seit dem 1. April Mitglied in unserer Arbeitsgruppe. Er wird im Mai an der Universität Ulm seine Dissertation zu Regularitätsabschätzungen für kinetische Gleichungen verteidigen. Uns wird er bei der Untersuchung von Wirbelringen in idealen Fluiden unterstützen. Herzlich willkommen, Lukas!
Meine gemeinsame Arbeit mit Stefano Ceci zur Dynamik von Punktwirbeln in viskosen Fluiden wurden in den Mathematischen Annalen veröffentlicht.
Nach fast 2-jährigem Warten auf die Reviews wurde meine Arbeit zu Abschätzungen von maximalen Dissipationsraten in turbulenten Strömungen endlich in den Communications in Mathematical Physics publiziert. Uff...
Ich habe gemeinsam mit Dominik Winkler invariante Mannigfaltigkeiten zu einer Dünne-Filme-Gleichung nahe der selbstähnlichen Lösung konstruiert. Mit diesen Objekten lässt sich das Langzeitverhalten von Lösungen zu beliebiger Ordnung bestimmen. Hier geht's zum Preprint: https://arxiv.org/abs/2212.02262.
Nachdem wir uns über 10 Monate in unserem Leseseminar Advanced Topics in ANALYSIS & PDEs mit Radom Dynamical Systems beschäftigt haben, kehren wir für eine Weile zurück zum deterministischen Setting und studieren Hypokoerzivität.
Es freut mich, dass Nicola De Nitti von der FAU Erlangen-Nürnberg für 2 Monate zu Gast in unserer Arbeitsgruppe ist. Nicolas Aufenthalt wird vom Exzellenzcluster im Rahmen eines Gästeprogramms für junge Wissenschaftler gefördert.
Beim Wissenschaftsfestival Schlauraum in Münster durfte ich einen mathematischen Vortrag halten. Gesprochen habe ich über Die Mathematik turbulenter Strömungen und die Suche nach einer Million.
Stefano Cecis und meine Arbeit zur Wirbeldynamik in idealen Fluiden ist in den Philosophical Transactions of the Royal Society A veröffentlicht worden. Dies ist die ältesteste englischsprachige Fachzeitschrift, gegründet im Jahr 1665! Unsere Publikation gehört zu einem Themenband über mathematische Probleme in der Flüssigkeitsdynamik.
Es ist bekannt, dass die Transportgleichung mit Sobolev-Geschwindigkeiten sehr schlechte Regularitätseigenschaften besitzt: Es lassen sich nur Ableitungen logarithmischer Ordnung kontrollieren. In einer neuen Arbeit mit David Meyer zeigen wir dies mithilfe von Littlewood-Paley-Theorie, also durch Aufspaltung der Lösung in dyadische Frequenzblöcke. Aus unseren Ergebnissen lassen sich Schlüsse über Mischungsraten, verbesserte Diffusionsraten und den Null-Diffusion-Limes ziehen. Das Preprint befindet sich hier: https://arxiv.org/abs/2203.10860.
Zusammen mit Stefano Ceci habe ich eine Arbeit zur Bewegung von Wirbelfeldern in zweidimensionalen viskosen Flüssigkeiten fertiggestellt. Unsere Ergebnisse geben die optimalen Raten der Ausbreitung von Wirbeln aufgrund von Viskosität wider und stellen eine kleine, aber schöne Verallgemeinerung bestehender Resultate in der Literatur dar. Die Bewegung der Wirbel selbst wurde bereits von Helmholtz 1858 vorhergesagt. Hier geht's zum Preprint: https://arxiv.org/abs/2203.07185.
Ich freue mich als Sprecher eines Minikurses zur Sommerschule Horizons in non-linear PDEs in Ulm eingeladen zu sein.
In einer Kooperation mit Beomjun Choi und Robert McCann habe ich schnelle Diffusionen auf beschränkten Gebieten untersucht. Bei diesen Prozessen wird die Diffusivität am Gebietsrand singulär, so dass die gesamte Masse in endlicher Zeit über den Rand abfließt. Wir finden eine schöne Dichotomie für die Raten der Auslöschung in reskalierten Variablen: Entweder ist sie exponentiell schnell (die Rate ist gegeben durch den spectral gap), oder algebraisch langsam. Hier geht's zum Preprint: https://arxiv.org/abs/2202.02769
Víctor Navarro-Fernández und André Schlichting haben eine neue Arbeit veröffentlicht, in der sie den numerischen Fehler von Finiten-Volumen-Approximierungen von Advektions-Diffusions-Gleichungen mit rauen Koeffizienten untersuchen. Sie finden, dass der numerische Fehler von der Ordnung der Zellgröße ist und somit viel kleiner als im rein advektiven Fall. Das ist das optimale Resultat! Das Preprint findet sich hier: https://arxiv.org/abs/2201.10411.
Wir starten wieder mit unserem Leseseminar. Dieses Mal gibt es einen Fokus auf zufällige dynamische Systeme. Mehr Infos in der Rubrik Lehre unter Advanced Topics in ANALYSIS & PDEs.