Bachelor-/Masterseminar:

Mathematische Bildverarbeitung und Inverse Probleme

SS 2019

Dozent:  Dr. Frank Wübbeling
 Prof. Dr. Benedikt Wirth

Informationen zum Seminar

Zeit, Ort: Blockseminar 5.-6. Juni
Inhalt: Bei inversen Problemen schließt man von der Beobachtung eines Systems auf die Ursache. In der Medizin werden im inversen Problem der Computertomographie aus Röntgenbildern Schnittbilder berechnet. In der Geophysik werden zur Erdölsuche aus Schalllaufzeiten durch den Erdboden Bilder der oberen Erdschichten erstellt. In der Betriebswirtschaft wird aus der Beobachtung von Optionspreisen die zeitabhängige Volatilität berechnet. In der Impedanztomographie erstellt man aus Widerstandsmessungen am Körper Bilder der Leitfähigkeit.

Mathematisch führt die Lösung dieser Probleme auf Parameteridentifikationsprobleme in Differentialgleichungen. Typischerweise sind diese Probleme schlecht gestellt, d.h. die Lösung dieser Probleme hängt unstetig von den Beobachtungen ab, oder ist nicht einmal eindeutig. Wir suchen daher Ursachen, die einerseits möglichst gut den Daten entsprechen, andererseits möglichst wahrscheinlich sind. Zu lösen sind daher Optimierungsprobleme der Form $$\arg \min_{\rm Bild\, f} ||Mf-g||+R(f)$$ für einen Messoperator \(M\), eine Messung \(g\) und eine Regularisierungs­funktion \(R\), die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass \(f\) überhaupt auftritt.

In diesem Seminar werden wir uns mit der Analysis und numerischen Behandlung einiger sehr praktischer Beispiele befassen und dabei auch allgemeine Methoden besprechen.

Voraussetzungen:  Analysis I-III, Vorkenntnisse in Numerik/Differentialgleichungen sind hilfreich.
Vorbesprechung: Mi., 23.01.2019, 14:15-14:45, Raum 120.029/030 (Besprechungsraum Angewandte Mathematik)
Leistungsnachweis: 45-minütiger Seminarvortrag und didaktisch aufbereitete Ausarbeitung (ca. 7-seitiges Handout, dieses soll ca. 10 Tage vor dem Vortrag vorgelegt werden, um zusätzliche Hilfestellungen geben zu können)
Vortrags-Themen:  Wir werden im Seminar Kapitel aus Lehrbüchern (Vogel: Computational Methods for Inverse Problems; Mueller, Siltanen: Linear and Nonlinear Inverse Problems with Practical Applications) sowie weiterführende Forschungsartikel zu den Themen behandeln.
Im Folgenden eine vorläfige Liste an Seminarthemen:
  1. Regularisierung mit totaler Variation
    Mueller & Siltanen Kap. 6, mit einem konkreten Beispiel und Realdaten aus der Emissionstomographie
  2. Elektrische Impedanztomographie: Modellierung und numerische Experimente
    Mueller & Siltanen Kap. 12
  3. Calderon's Methode zur Lösung des EIT-Problems: Geometrische Optik
    Mueller & Siltanen Kap. 14
  4. D-bar Methoden zu Lösung des EIT-Problems
    Mueller & Siltanen Kap. 15
  5. Numerische Methoden zur Lösung des EIT-Problems.
    diverse, etwa Martin Hanke: A note on the MUSIC algorithm for impedance tomography, pdf
  6. Neuartige Ermittlung von Diffusionskoeffizienten anhand von Partikelpfaden.
    Embacher, Dirr, Zimmer, Reina: Computing diffusivities from particle models out of equilibrium
  7. Iterative Methoden für data assimilation / Bayesian inverse Probleme.
    Iglesias, Marco: Iterative regularization for ensemble data assimilation in reservoir models
  8. Bregman-Iterationen.
    Benning, Burger: Modern regularization methods for inverse problems, Kapitel 6, mit Anwendung in der Computertomographie
  9. Nach der Lösung des inversen Problems möchte man auch Abschätzungen zur Korrektheit.
    Repetti, Pereyra, Wiaux: Scalable Bayesian uncertainty quantification in imaging inverse problems via convex optimization
  10. Geometrische Herleitung von Bayes'scher MAP-Lösung des inversen Problems (welche wir normalerweise machen).
    Pereyra: Revisiting maximum-a-posteriori estimation in log-concave models
Wenn Sie am Seminar teilnehmen möchten, tragen Sie bitte bis zum 3.3.2019 bis zu drei Präferenzen unter dieser Umfrage ein. Gibt es zu viele Anwärter für ein Thema oder haben Sie Spezialwünsche, können noch ähnliche/weitere Artikel gefunden werden (bei der Themenvergabe wird auch berücksichtigt, wer sich zuerst für ein Thema interessiert hat).

Vortragsübersicht: