B04 Harmonische Abbildungen und Symmetrie

Das Studium von harmonischen Abbildungen und verwandten Konzepten ist eines der zentralen Forschungsgebiet der geometrischen Analysis. Dieses hat zahlreiche Anwendungen in der Mathematik und darüberhinaus gefunden; erwähnt seien hier nur die algebraische Geometrie, wo Ideen vom Studium der harmonischen Abbildungen adaptiert wurden, um einen Spezialfall der immer noch offenen Hodge Vermutung zu beweisen, und die Differentialgeometrie, wo Richard Hamilton Arbeiten über harmonische Abbildungen als Inspiration für seine frühe Arbeit zum Ricci Fluss verwendet hat. Gleichzeitig sind wichtige Probleme immer noch ungelöst: so ist zum Beispiel die Chern Vermutung immer noch nicht gelöst und die Existenz einer biharmonischen Abbildung von 2-Torus in die 2-Sphäre ungeklärt.

In diesem Projekt studieren wir harmonische Abbildungen und verwandte Konzepte, d.h. biharmonische Abbildungen und Yang-Mills Felder, zwischen Mannigfaltigkeit mit Symmetrien. Zudem untersuchen wir die Geometrie bestimmter dieser Mannigfaltigkeiten. Konkreter planen wir die Konstruktion von harmonischen und biharmonischen Abbildungen zwischen singulären metrischen Blätterungen der Kodimension 1, den Beweis der Existenz bestimmter Wurmlöcher sowie die Klassifikation von isoparametrischen Hyperflächen in Sphären.