Dr. Tim Keil
Forschungsschwerpunkte
- PDE-constrained Parameter Optimization
- Reduzierte Basis Methoden
- Mehrskalen Finite Elemente Methoden
- Gestörte Probleme
Promotion
Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization
- Betreuer
- Professor Dr. Mario Ohlberger
- Promotionsfach
- Mathematik
- Abschlussgrad
- Dr. rer. nat.
- Verleihender Fachbereich
- Fachbereich 10 – Mathematik und Informatik
Modellreduktion ist ein enorm wachsendes Gebiet, das sich besonders für numerische Simulationen
in realen Anwendungen wie Ingenieurwissenschaften und verschiedenen naturwissenschaftlichen
Disziplinen eignet. Hier werden PDEs oft auf z.B. eine physikalische Größe parametrisiert.
Darüber hinaus ist es wahrscheinlich, dass das wiederholte Lösen mit numerischen Standardmethoden
wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) als zu kostspielig oder sogar unzugänglich
angesehen wird.
In dieser Dissertation präsentieren wir die jüngsten Fortschritte bei Methoden zur Modellreduction
mit dem primären Ziel, online-effiziente reduzierte Ersatzmodelle für parametrisierte
Mehrskalenproblemen zu konstruieren und Methoden zur Optimierung von PDE-bedingten
Parameter Problemen zu beschleunigen. Insbesondere stellen wir mehrere verschiedene adaptive
RB-Ansätze vor, die in einem error-aware Trust-Region-Framework für eine progressive
Konstruktion eines Ersatzmodells verwendet werden können, das in einer zertifizierten äußeren
Optimierungsschleife verwendet wird. Darüber hinaus erarbeiten wir verschiedene Erweiterungen
für den Trust-Region-Reduced-Basis (TR-RB)-Algorithmus und verallgemeinern ihn für
Parameterbedingungen. Dank der a-posteriori Fehlertherorie des reduzierten Modells kann der
resultierende Algorithmus in Bezug auf das High-Fidelity Modell als zertifiziert angesehen werden.
Darüber hinaus verwenden wir den first-optimize-then-discretize Ansatz, um das zugrunde
liegende Optimalitätssystem des Problems maximal auszunutzen.
Im ersten Teil dieser Arbeit basiert die Theorie auf globalen RB-Techniken, die eine FEMDiskretisierung
als High-Fidelity-Modell verwenden. Im zweiten Teil konzentrieren wir uns auf
lokalisierte Modellordnungsreduktionsmethoden und entwickeln ein neuartiges online effizientes
reduziertes Modell für die lokalisierte orthogonale Zerlegung (LOD) Mehrkalenmethode. Das
reduzierte Modell basiert intern auf einer zweiskalen-Formulierung der LOD und ist insbesondere
unabhängig von der Grob- und Feindiskretisierung der LOD.
Der letzte Teil dieser Arbeit widmet sich der Kombination beider Ergebnisse zu TR-RBMethoden
und lokalisierten RB-Ansätzen für die LOD. Wir stellen einen Algorithmus vor, der
adaptive Localized-Reduced-Basis-Methoden im Rahmen eines Trust-Region-Localized-Reduced-
Basis (TR-LRB)-Algorithmus verwendet. Dabei wird den Grundgedanken des TR-RB gefolgt,
auf FEM-Auswertungen der beteiligten Systeme jedoch gänzlich verzichtet.
Wir werden numerische Experimente mit wohldefinierten Benchmark-Problemen verwenden,
um die vorgeschlagenen Methoden gründlich zu analysieren und ihre jeweilige Stärke im Vergleich
zu Ansätzen aus der Literatur aufzuzeigen.
Vita
Akademische Ausbildung
- Promotion in Mathematik
- Master of Science Mathematik mit Nebenfach Finance, WWU Münster
- Auslandsjahr und Masterarbeit mit Axel Målqvist, Göteborg Universität
- Bachelor of Science Mathematik mit Nebenfach BWL, WWU Münster
Beruflicher Werdegang
- Wissenschaftlicher Mitarbeiter, AG Ohlberger, WWU Münster
- Studentische Hilfskraft, Institut für numerische und angewandte Mathematik, WWU Münster
Lehre
- Übung: Übungen zu Numerical Methods for Partial Differential Equations II [108412]
(zusammen mit Stephan Rave)
- Übung: Übungen zur Vorlesung Numerische Lineare Algebra [104412]
(zusammen mit Frank Wübbeling)
- Praktikum: Einführung in die Programmierung zur Numerik mit Python [102387]
(zusammen mit Tobias Leibner und Mario Ohlberger)
Projekt
- Lokalisierte Reduzierte Basis Methoden für Parameteroptimierung bei partiellen Differentialgleichungen – LRB-Opt ()
Gefördertes Einzelprojekt: DFG - Sachbeihilfe/Einzelförderung | Förderkennzeichen: OH 98/11-1; SCHI 1493/1-1
Publikationen
- Kartmann, Michael, Keil, Tim, Ohlberger, Mario, Volkwein, Stephan, und Kaltenbacher, Barbara. . „Adaptive Reduced Basis Trust Region Methods for Parameter Identification Problems.“ Computational Science and Engineering 1 (3): 1–30. doi: 10.1007/s44207-024-00002-z.
- Keil, Tim, und Ohlberger, Mario. . „A Relaxed Localized Trust-Region Reduced Basis Approach for Optimization of Multiscale Problems.“ ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis 58: 79–105. doi: 10.1051/m2an/2023089.
- Keil, Tim, Ohlberger, Mario, und Schindler, Felix. . „Adaptive Localized Reduced Basis Methods for Large Scale PDE-constrained Optimization.“ Preprint. In Large-Scale Scientific Computations, Bd. 13952 aus Lecture Notes in Computer Science, herausgegeben von I Lirkov und S Margenov. Cham: Springer Nature. doi: 10.1007/978-3-031-56208-2_10.
- Keil, Tim, Ohlberger, Mario, Schindler, Felix, und Schleuß, Julia. . „Local training and enrichment based on a residual localization strategy.“ Preprint. In Proceedings of the Conference Algoritmy 2024, Bd. 8 aus Proceedings of the Conference Algoritmy, herausgegeben von P Frolkovič, K Mikula und D Ševčovič. Bratislava: Jednota slovenských matematikov a fyzikov.
- Keil, Tim, und Rave, Stephan. . „An Online Efficient Two-Scale Reduced Basis Approach for the Localized Orthogonal Decomposition.“ SIAM Journal on Scientific Computing 45 (4). doi: 10.1137/21M1460016.
- Keil, T, Kleikamp, H, Lorentzen, R, Oguntola, M, und Ohlberger, M. . „Adaptive machine learning based surrogate modeling to accelerate PDE-constrained optimization in enhanced oil recovery.“ Advances in Computational Mathematics 2022 (48) 73. doi: 10.1007/s10444-022-09981-z.
- Keil, Tim, und Ohlberger, Mario. . „Model Reduction for Large Scale Systems.“ In Large-Scale Scientific Computing, Bd. 13127 aus Lecture Notes in Computer Science (LNCS), herausgegeben von Ivan Lirkov und Svetozar Margenov. Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007/978-3-030-97549-4_2.
- Banholzer, S, Keil, T, Mechelli, L, Ohlberger, M, Schindler, F, und Volkwein, S. . „An adaptive projected Newton non-conforming dual approach for trust-region reduced basis approximation of PDE-constrained parameter optimization.“ Pure and Applied Functional Analysis 7 (5): 1561–1596.
- Freese, P, Hauck, M, Keil, T, und Peterseim, D. . „A Super-Localized Generalized Finite Element Method.“ Preprint. arXiv 2022 doi: 10.48550/arXiv.2211.09461.
- Keil, Tim. . „Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization.“ Dissertationsschrift, WWU Münster. doi: 10.48550/arXiv.2211.09607.
- Keil, T, Mechelli, L, Ohlberger, M, Schindler, F, und Volkwein, S. . „A non-conforming dual approach for adaptive Trust-Region Reduced Basis approximation of PDE-constrained optimization.“ ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis 55: 1239–1269.. doi: 10.1051/m2an/2021019.
- Hellman, Fredrik, Keil, Tim, und Målqvist, Axel. . „Numerical Upscaling of Perturbed Diffusion Problems.“ SIAM Journal on Scientific Computing 2020 (Volume 42, Issue 4): A2014–A2036.. doi: 10.1137/19M1278211.
- Hellman, Fredrik, Keil, Tim, und Målqvist, Axel. . „Multiscale methods for perturbed diffusion problems.“ Oberwolfach Reports 16: 2099–2181. doi: 10.4171/OWR/2019/35.
- Keil, Tim. . Variational crimes in the Localized orthogonal decomposition method (master's thesis)
Vorträge
- Keil, Tim : “Adaptive Localized Reduced Basis Methods in Multiscale PDE-Constrained Parameter Optimization”. Model Reduction and Surrogate Modeling -- MORE 2022, contributed talk, Berlin, Germany, .
- Keil, Tim : “Adaptive Localized Reduced Basis Methods in PDE-constrained Parameter Optimization”. GAMM 2022 - 92nd annual meeting, contributed talk, Aachen, Germany, .
- Keil, Tim : “Two-scale Reduced Basis Method for Parameterized Multiscale Problems”. Young Mathematicians in Model Order Reduction -- YMMOR 2022, contributed talk, Münster, Germany, .
- Keil, Tim; Renelt, Lukas : “Introduction to the Reduced Basis Method”. YMMOR - Young Mathematicians in Model Order Reduction, Münster, .
- Keil, Tim : “Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization”. Forschungsseminar Numerische Mathematik, invited talk workgroup Roland Maier, Jena, Germany, .
- Keil, Tim : “Adaptive Localized Reduced Basis Methods for Multiscale problems and PDE-Constrained Optimization”. Invited Seminar Talk Workgroup of Daniel Peterseim, Augsburg, Germany, .
- Tim Keil : “Two-scale Reduced Basis Method for Parameterized Multiscale Problems”. New trends in numerical multiscale methods and beyond, invited talk, Institut Mittag-Leffler, Djursholm, Sweden, online, .
- Tim Keil : “Trust-Region Reduced Basis Methods for Large Scale PDE-Constrained Parameter Optimization: A Non-Conforming Dual Approach”. SIAM Conference on Mathematical and Computational Issues in the Geosciences 2021, invited talk, Milano, Italy, online, .
- Tim Keil : “Adaptive Trust Region Reduced Basis Method in PDE-Constrained Parameter Optimization: A Non-Conforming Dual Approach”. GAMM 2021 - 91th Annual Meeting, contributed talk, Kassel, Germany, Online, .
- Tim Keil : “Advances for Reduced Basis methods for PDE-constrained optimization: a non conforming approach”. ALGORITMY 2020, Minisymposium: Advances in Model Order Reduction and its Applications, invited talk, Podbanske, Slovakia, Online, .
- Tim Keil : “Adaptive Trust Region Reduced Basis method for quadratic PDE-constrained Parameter Optimization”. Konstanz Workshop on Optimal Control, invited talk, Konstanz, Germany, .
- Tim Keil : “The LOD method for perturbed elliptic problems”. Oberwolfach Seminar: Beyond Homogenization, participant talks, Oberwolfach, Germany, .
- Tim Keil : “Numerical Upscaling of Perturbed Diffusion Problems”. SIAM Conference on Mathematical Computational Issues in the Geosciences 2019, invited talk, Houston, USA, .
- Tim Keil : “Numerical upscaling of perturbed diffusion problems”. Oberseminar zur Numerik, invited talk, Augsburg, Germany, .
- Tim Keil : “Localization of multiscale problems with random defects”. Master- und Oberseminar zu effizienten numerischen Methoden, Münster, Germany, .