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Ableitungen lernt ihr im Mathematikunterricht in der Oberstufe kennen. Falls ihr noch nicht wisst, was Ableitungen sind, hier eine kurze Erklärung:
Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ entspricht der Änderungsrate (oder Steigung) von $f$ an der Stelle $x$. Das heißt, in der Nähe von $x$ können wir $f$ durch eine lineare Funktion der Form $$ f(x+h) \approx f(x) + h\cdot f'(x) \tag{*}$$ annähern.
Um genauer zu verstehen, was wir mit "annähern" meinen, nennen wir den Fehler
dieser Näherungsformel $e(h)$:
$$
e(h) = f(x+h) - f(x) - h\cdot f'(x).
$$
Dies können wir umformen zu
$$
\frac{e(h)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x). \tag{**}
$$
Geometrisch entspricht der Bruch $(f(x+h) - f(x))/h = (f(x+h) - f(x))/(x+h - h)$ der Steigung der Geraden durch die Punkte $(x+h, f(x+h))$ und $(x, f(x))$ (Steigungsdreieck). Lassen wir $h$ kleiner werden, so nähert sich diese Gerade immer mehr der Tangente an den Funktionsgraphen von $f$ an der Stelle $x$ an, also der Geraden durch den Punkt $(x, f(x))$, die an dieser Stelle den Funktionsgraphen gerade berührt, ohne ihn an diesem Punkt zu schneiden. (Grüne Strecke in der Abbildung. Damit es eine eindeutig definierte Tangente gibt, darf $f$ an der Stelle $x$ keinen Sprung oder Knick haben.) $f'(x)$ ist nun gerade als Steigung dieser Tangente definiert.
Mit anderen Worten: Die Näherungsformel (*) beschreibt gerade die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $(x, f(x))$. Dass sich die Gerade durch $(x+h, f(x+h))$ und $(x, f(x))$ der Tangente annähert, bedeutet dabei, dass der Ausdruck
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x)$$
umso kleiner wird, je kleiner $h$ wird. Wegen (**) heißt das, dass $e(h)/h$ beliebig klein wird, wenn $h$ klein wird. Das wiederum bedeutet, dass der Fehler unserer linearen Annäherung (*) beliebig klein wird, wenn $h$ klein wird, und zwar schneller als jede lineare Funktion $C\cdot h$ mit Steigung $C \neq 0$ (denn mit $e(h)/h$ wird auch $e(h)/(C\cdot h)$ beliebig klein). Dies zeigt, dass (*) die bestmögliche lineare Annährung an $f$ in der Nähe von $x$ ist.
In der Abbildung veranschaulichen wir die Differentialgleichung
$$ f'(x) = f(x).$$
Für die Punkte $(x, y)$ ist jeweils eine kleine blaue Strecke eingezeichnet, deren Steigung gerade die Ableitung von $f$ an dieser Stelle wäre, wenn $f$ durch den Punkt $(x,y)$ liefe. An dem Punkt $(x, y) = (3, 4)$ würden wir z.B. $f(3) = 4$ annehmen. Dann wäre die Steigung also ebenfalls $f'(3) = f(3) = 4$.
Wir können nun eine Lösung der Differentialgleichung grafisch bestimmen, indem wir an einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem starten und dann von dort ausgehend den Funktionsgraphen von $f$ so einzeichnen, dass er in jedem Punkt die eingezeichnete Strecke berührt, ohne ohne diese zu schneiden.
Nehmen wir an, dass $f(x)$ eine Funktion ist, die positive Werte annimmt. Erfüllt $f$ die Differentialgleichung
$$f'(x) = -f(x),$$
dann besagt dies, dass für jedes $x$ die Änderungsrate $f'(x)$ negativ ist, also $f$ eine abfallende Funktion ist. Dabei fällt $f$ am Anfang, wenn $f$ noch groß ist, schneller ab als später, wenn $f$ klein ist.
Ein typischer Prozess in der Natur, auf den eine solche Gesetzmäßigkeit zutrifft, ist der radioaktive Zerfall: Zu jedem Zeitpunkt $x$ kann ein radioaktiver Atomkern zufällig in kleinere Teile zerfallen, mit einer von der Art des Atomkerns abhängigen, festen Wahrscheinlichkeit. Bezeichnet $f(x)$ die Anzahl der vorhandenen Atomkerne derselben Art, so bedeutet dies, dass die Anzahl der zerfallenden Kerne proportional mit der Anzahl der Kerne wächst, d.h.
$$f'(x) = -\lambda f(x).$$
Dabei wird $\lambda$ als die Zerfallskonstante bezeichnet. Die Differentialgleichung $f'(x) = -f(x)$ erhalten wir als Spezialfall für die Zerfallskonstante $\lambda=1$.
Die Lösungen dieser Differentialgleichung haben alle die Form
$$f(x) = C \cdot e^{-\lambda x}.$$
Dabei ist wegen $f(0) = C \cdot e^0 = C \cdot 1 = C$ die Konstante $C$ gerade die Anzahl der Atomkerne zum Zeitpunkt $x = 0$.
Oft wird bei radioaktivem Zerfall die sogenannte Halbwertszeit angegeben, also die Zeit, nach der sich die Anzahl der Atomkerne halbiert hat. Diese können wir leicht mit dem natürlichen Logarithmus ($\ln$) berechnen:
$$
\begin{align}
&&\frac{C}{2} &= f(x_{\text{halb}}) = C \cdot e^{- \lambda x_{\text{halb}}} \\
\Leftrightarrow&& \frac{1}{2} &= e^{- \lambda x_{\text{halb}}} \\
\Leftrightarrow&& \ln(\frac{1}{2}) &= \ln(e^{- \lambda x_{\text{halb}}}) \\
\Leftrightarrow&& -\ln\left(2\right) &= - \lambda x_{\text{halb}} \\
\Leftrightarrow&& x_{\text{halb}} &= \frac{\ln(2)}{\lambda}.
\end{align}
$$
Nicht jede Gleichung hat eine eindeutige Lösung. Z.B. hat die Gleichung $x^2 = -1$ keine Lösung (zumindest nicht in den reellen Zahlen). Die Gleichung $7 + 0\cdot x = 7$ hat hingegen unendlich viele Lösungen. Wie verhält es sich mit Differentialgleichungen?
Die Differentialgleichung
$$ f'(x) = f(x) $$
hat unendlich viele Lösungen der Form $f(x) = C\cdot e^x$. Verlangen wir aber zusätzlich, dass für $x = 0$ die Lösung einen bestimmten Wert $f_0$ haben soll,
$$ f(0) = f_0, $$
so hat die Differentialgleichung die eindeutige Lösung $f(x) = f_0 \cdot e^x$. Wir sprechen von einem Anfangswertproblem.
Nicht jedes Anfangswertproblem hat aber eine eindeutige Lösung. Z.B. hat das Anfangswertproblem
$$
\begin{align}
f'(x) &= \sqrt{f(x)} \\
f(0) &= 0
\end{align}
$$
sowohl die Lösung $f(x) = 0$, als auch die Lösung $f(x) = x^2 / 4$. In Vorlesungen über Differentialgleichungen wird der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen. Dieser besagt, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung hat, wenn die Formel für $f'(x)$ als Funktion von $f(x)$ hinreichend schön (Lipschitz-stetig) ist.
Ganz neue Phänomene können wir beobachten, wenn wir Systeme von Differentialgleichungen betrachten. Z.B. hat das Differentialgleichungssystem
$$ \begin{align}
f'(x) &= g(x)\\
g'(x) &= -f(x)
\end{align} $$
die Lösung $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$. Dabei sagt die erste Gleichung des Systems, dass $g(x)$ gerade die Ableitungsfunktion von $f(x)$ ist. D.h. $g'(x)$ ist die Ableitung der Ableitung von $f(x)$, wofür wir auch $f''(x)$ schreiben. Stellen wir uns $f'(x)$ als die Geschwindigkeit vor, mit der sich $f(x)$ ändert, so entspricht $f''(x)$ der Beschleunigung, d.h. der Änderung der Geschwindigkeit von $f(x)$. Mit dieser Notation erhalten wir eine sogenannte Differentialgleichung "zweiter Ordnung":
$$ f''(x) = - f(x). \tag{**} $$
Differentialgleichungen zweiter Ordnung treten z.B. in der Physik als das Newtonsche Gesetz
$$F = m\cdot a$$(Kraft = Masse mal Beschleunigung) auf. Denn wenn wir $f(x)$ als den Ort eines Massenpunkts der Masse $m$ zum Zeitpunkt $x$ auffassen, dann gilt gerade $a(x) = f''(x)$. Haben wir nun eine Formel gegeben, die beschreibt, wie die auf den Massenpunkt ausgeübte Kraft $F$ von seiner Position $f(x)$ abhängt, so erhalten wir eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Z.B. würde (**) die Schwingung einer an einer Feder befestigten Masse beschreiben (eindimensionaler harmonischer Oszillator).
Konntest du die Aufgabe der Knobelecke lösen? Dann kannst du uns deine Lösung schicken und mit etwas Glück einen kleinen Preis gewinnen.
Hier sind die Teilnahmebedingungen:
Nach der Frist am 12.04.2026 werden wir hier auch eine Lösung zu der Aufgabe veröffentlichen. Wir freuen uns auf eure Einsendungen!
Hier eine mögliche Lösung:
Um die 3 schnellsten Pferde zu finden, müssen natürlich alle Pferde getestet werden. Ein naheliegender erster Schritt ist also, die 25 Pferde in 5 Gruppen zu je 5 Pferden einzuteilen (z. B. Pferde 1-5, 6-10, 11-15, 16-20, 21-25). Nach diesen 5 Rennen kennen wir die Reihenfolge innerhalb jeder Gruppe. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Reihenfolge jeweils der Nummerierung entspricht (also ist z. B. in der Gruppe 6-10 Pferd 6 das schnellste und Pferd 10 das langsamste). Das bedeutet, dass 1, 6, 11, 16 und 21 die jeweils schnellsten Pferde ihrer Gruppe sind.
Die beiden langsamsten Pferde jeder Gruppe können auf jeden Fall ausgeschlossen werden, denn in ihrer eigenen Gruppe gibt es schon mindestens drei schnellere Pferde. Aber wir können noch mehr herausfinden: Wenn das schnellste Pferd einer Gruppe insgesamt (unter allen 25 Pferden) nur auf Platz 4 oder 5 landet, dann kann kein einziges Pferd dieser Gruppe unter den Top 3 sein, schließlich ist es ja selbst das beste seiner Gruppe. Landet das schnellste Pferd einer Gruppe auf Platz 3, dann kann kein anderes Pferd aus dieser Gruppe mehr unter die Top 3 kommen. Landet es auf Platz 2, dann kann höchstens noch ein weiteres Pferd aus dieser Gruppe in die Top 3 gelangen. Und landet es auf Platz 1, dann können sogar noch zwei weitere Pferde aus seiner Gruppe unter den Top 3 sein.
Deshalb lassen wir nun die fünf Gruppensieger 1, 6, 11, 16 und 21 gegeneinander antreten (das ist das 6. Rennen). Nehmen wir wieder an, das Ergebnis ist genau in dieser Reihenfolge: 1, dann 6, dann 11, dann 16, dann 21. Wie oben ergibt sich dadurch, dass die Pferde 4 und 5, 8 bis 10, 12 bis 15, sowie alle Pferde aus den Gruppen von 16 und 21 (also 17-20 und 22-25) ausscheiden. Da Pferd 1 außerdem das schnellste unter allen 25 Pferden ist, steht es sicher in den Top 3.
Es bleibt nur noch zu klären, welche zwei der verbleibenden Pferde 2, 3, 6 und 7 (zusammen mit Pferd 1) die Top 3 bilden. Dafür reicht ein einziges weiteres Rennen.
Insgesamt benötigen wir also 7 Rennen in 3 Runden, um die 3 schnellsten Pferde zu bestimmen.