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Hier findest du einen mathematischen Beweis, dass Großkreise auf einer Kugeloberfläche wirklich Geodäten sind.
Um Geodäten mathematisch genau zu beschreiben, benötigt man Ableitungen und ein wenig Vektorrechnung. Beides sind Themen im Mathematikunterricht der Oberstufe. Eine kurze Erklärung was Ableitungen sind, findest in unserem Beitrag über Differentialgleichungen. Im Mathematikstudium kommen Geodäten in der Regel erst ab dem zweiten Studienjahr vor. Ärgere dich also nicht, wenn du im Folgenden nicht alles verstehst. Vielleicht bekommst du aber einen kleinen Eindruck davon, wie Mathematiker mit Geodäten arbeiten.
Ein Punkt im dreidimensionalen Raum wird durch drei Zahlen beschrieben: eine \(x\)-, eine \(y\)- und eine \(z\)-Koordinate. Deshalb schreibt man den dreidimensionalen Raum als
\[
\mathbb R^3 =
\left\{
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\,\middle|\,
x,y,z \in \mathbb R
\right\}.
\]
Eine Kurve im \(\mathbb R^3\) kann man sich als die Bewegung eines Punktes vorstellen. Zu jedem Wert eines Parameters \(t \in \mathbb R\), den man sich als Zeit vorstellen kann, gehört ein Punkt im Raum. Man schreibt dafür
\[
c(t)=
\begin{pmatrix}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)
\end{pmatrix}.
\]
Die Koordinaten von \(c(t)\) sind die Funktionen \(x(t)\), \(y(t)\) und \(z(t)\). Sie geben an, wo sich der Punkt zum Parameter \(t\) befindet.
Man kann die Ableitung der Kurve bestimmen, indem man jede Koordinatenfunktion einzeln ableitet:
\[
c'(t)=
\begin{pmatrix}
x'(t)\\
y'(t)\\
z'(t)
\end{pmatrix}.
\]
Dieser Vektor heißt Geschwindigkeitsvektor oder Tangentialvektor. Verschiebt man den Pfeil (=Vektor), der vom Ursprung zu den Koordinaten \(x'(t), y'(t), z'(t)\) zeigt, zum Punkt \(c(t)\), ohne ihn dabei zu drehen, dann zeigt der so verschobene Vektor gerade in die Richtung, in die die Kurve weiterläuft.
Die Länge dieses Vektors ist die Geschwindigkeit. Wendet man zweimal den Satz des Pythagoras an, erhält man für die Länge \(\|c'(t)\|\) von \(c'(t)\) die Formel
\[
\|c'(t)\|
=
\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
\]
Wenn die Geschwindigkeit $\|c^\prime (t)\|$ einen großen Wert annimmt, dann bewegt sich der Punkt schnell. Wenn sie klein ist, bewegt sich der Punkt langsam.
Leitet man noch einmal ab, erhält man die Beschleunigung:
\[
c''(t)=
\begin{pmatrix}
x''(t)\\
y''(t)\\
z''(t)
\end{pmatrix}.
\]
Die Beschleunigung beschreibt, wie sich die Bewegungsrichtung und die Geschwindigkeit verändern. Bei einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit ist sie null. Bei einer Kreisbewegung zeigt sie dagegen zum Kreismittelpunkt.
Viele Flächen im dreidimensionalen Raum $\mathbb R^3$ sind Lösungen einer Gleichung $$F(x,y,z) = 0.$$ Hierbei ist $F(x,y,z)$ eine Funktion in den drei Variablen $x,y,z$. Zum Beispiel ist die $x,y$-Ebene die Lösung der Gleichung $z = 0$. Ein anderes Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel mit Radius $1$. Diese ist die Lösung der Gleichung $$x^2 +y^2 +z^2 -1 = 0.$$
Ein Vektor, der senkrecht auf der Fläche steht heißt Normalenvektor. Diesen erhält man, indem man die Funktion $F(x,y,z)$ jeweils nach $x$, $y$ und $z$ ableitet. Die Ableitungen bezeichnet man mit $\partial_x F(x,y,z)$, $\partial_y F(x,y,z)$ und $\partial_z F(x,y,z)$. Sind alle diese Ableitungen ungleich $0$, ist der Normalenvektor gegeben durch $$\nabla F = \begin{pmatrix}
\partial_x F(x,y,z) \\ \partial_y F(x,y,z)\\ \partial_z F(x,y,z)
\end{pmatrix}$$
Alle Vektoren, die orthogonal zum Normalenvektor liegen, nennt man Tangentialvektoren. Diese verlaufen parallel zur Fläche.
Eine Kurve \(c(t)\) liegt auf einer Fläche, wenn jeder ihrer Punkte die Flächengleichung erfüllt, also
\[
F(c(t))=0
\]
für alle \(t\) gilt. Eine Geodäte ist eine Kurve, die auf der Fläche möglichst gerade verläuft. Sie hat keine Beschleunigung innerhalb der Fläche, sondern nur in Normalenrichtung. Das bedeutet:
\[
c''(t)=\lambda(t)\,\nabla F(c(t))
\]
für eine Funktion \(\lambda(t)\). Die Beschleunigung \(c''(t)\) ist also parallel zum Normalenvektor der Fläche. Geodäten haben automatische eine konstante Geschwindigkeit. Außerdem sind sie in einer kleinen Umgebung eines Punktes immer kürzeste Verbindungen.
Wir betrachten die Einheitssphäre
\[
S^2=
\left\{
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\in \mathbb R^3
\,\middle|\,
x^2+y^2+z^2=1
\right\}.
\]
Das ist die Kugeloberfläche mit Radius \(1\) um den Ursprung.
Ein Großkreis entsteht, wenn man die Kugeloberfläche mit einer Ebene schneidet, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht. Der Äquator ist ein Beispiel dafür. Wir zeigen nun: Jeder Großkreis ist eine Geodäte.
Die Sphäre ist die Lösungsmenge der Gleichung
\[
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0.
\]
Der Gradient \(\nabla F\) von \(F\) ist
\[
\nabla F(x,y,z)=
\begin{pmatrix}
2x\\2y\\2z
\end{pmatrix}
=
2
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}.
\]
Nun wählen wir zunächst zwei Vektoren \(a\) und \(b\) der Länge \(1\), die senkrecht aufeinander stehen. Das bedeutet:
\[
\|a\|=1, \qquad \|b\|=1, \qquad a\cdot b=0.
\]
Die beiden Vektoren spannen eine Ebene durch den Ursprung auf. Der zugehörige Großkreis kann durch
\[
c(t)=\cos(t)\,a+\sin(t)\,b
\]
beschrieben werden.
Dabei ist \(a\) der Startpunkt, denn \(c(0)=a\), und \(b\) ist die Anfangsrichtung, denn \(c'(0)=b\). (Es gilt \(\sin'(t) = \cos(t)\) und \(\cos'(t) = -\sin'(t)\), also insbesondere \(\cos'(0) = -\sin(0) = 0\) und \(\sin'(0) = \cos(0) = 1\).)
Zuerst prüfen wir, dass diese Kurve wirklich auf der Sphäre liegt:
\[
\|c(t)\|^2
=
\|\cos(t)a+\sin(t)b\|^2.
\]
Mit dem Skalarprodukt erhält man
\[
\|c(t)\|^2
=
\cos^2(t)\|a\|^2
+
2\cos(t)\sin(t)(a\cdot b)
+
\sin^2(t)\|b\|^2.
\]
Da \(\|a\|=1\), \(\|b\|=1\) und \(a\cdot b=0\), folgt
\[
\|c(t)\|^2
=
\cos^2(t)+\sin^2(t)
=
1.
\]
Also liegt \(c(t)\) für jedes \(t\) auf der Einheitssphäre.
Nun berechnen wir die Ableitungen:
\[
c'(t)=-\sin(t)a+\cos(t)b
\]
und
\[
c''(t)=-\cos(t)a-\sin(t)b=-c(t) = -\frac12 \nabla F(c(t)).
\]
Die Beschleunigung zeigt also immer in die entegengesetzte Richtung des Normalenvektors zum Kugelmittelpunkt. Also sind $c''(t)$ und $\nabla F$ parallel. Damit ist jeder Großkreis eine Geodäte.
Umgekehrt ist auch jede Geodäte ein Großkreis. Der Beweis dafür benötigt die Theorie der Differentialgleichungen.
(Dennis Wulle)
Konntest du die Aufgabe der Knobelecke lösen?
Hier findest du einen Tipp, der dir weiterhelfen könnte, und eine vollständige Lösung.
Nicht jedes Quadratzahl muss durch vier teilbar sein. Aber welche Reste können vorkommen, wenn man eine Quadratzahl durch vier teilt?
Hier eine mögliche Lösung:
Betrachten wir zunächst eine beliebige Quadratzahl $q = n \cdot n$. Die Zahl $n$ können wir schreiben als $n = k \cdot 4 + r$, wobei $0 \leq r \leq 3$ der Rest bei der Division von $n$ durch $4$ ist und $k$ der zugehörige Quotient. Dann gilt:
\[
\begin{align}
q &= n \cdot n \\
&= (k \cdot 4 + r) (k \cdot 4 + r) \\
&= k^2\cdot 4 \cdot 4 + 2 \cdot k \cdot 4 \cdot r + r^2 \\
&= (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k \cdot r) \cdot 4 + r^2.
\end{align}
\]
Gehen wir alle vier möglichen Reste $r$ durch, erhalten wir:
\[
\begin{align}
r = 0 &\quad\Rightarrow\quad q = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r) \cdot 4 + 0 \\
r = 1 &\quad\Rightarrow\quad q = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r ) \cdot 4 + 1 \\
r = 2 &\quad\Rightarrow\quad q = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r) \cdot 4 + 4 = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r + 1) \cdot 4 + 0\\
r = 3 &\quad\Rightarrow\quad q = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r) \cdot 4 + 9 = (k^2\cdot 4 + 2 \cdot k\cdot r + 2) \cdot 4 + 1
\end{align}
\]
Wir sehen also, dass eine Quadratzahl $q$ bei der Division durch $4$ nur die Reste $0$ und $1$, nicht jedoch $2$ oder $3$ lassen kann.
Betrachten wir nun die Zahlen
\[
9, 99, 999, 9999, 99999, \ldots
\]
Die Zahl $9 = 3 \cdot 3$ ist eine Quadratzahl. Addieren wir $1$ zu allen weiteren Zahlen hinzu, erhalten wir:
\[
100, 1000, 10000, 100000, \ldots
\]
Jede dieser Zahlen ist durch $4$ teilbar. Ziehen wir die $1$ wieder ab, muss bei der Division durch $4$ ein Rest von $3$ herauskommen. Also lassen die Zahlen
\[
99, 999, 9999, 99999, \ldots
\]
alle den Rest $3$ bei der Division durch $4$ und können daher keine Quadratzahl sein! Damit ist die Zahl $9$ die einzige Quadratzahl in der gegebenen Zahlenfolge.