Hier findest du die erste Ausgabe unseres Newsletters. Außerdem haben wir auf dieser Seite alle Links zur Ausgabe und weiterführende Informationen zu den Beiträgen zusammengestellt.
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Der Newsletter wird von eurem Epsilon-Team erstellt – bestehend aus Victoria Liesche, Prof. Dr. Matthias Löwe, Maja Nelde und Dr. Stephan Rave. Wir stellen die Inhalte zusammen, gestalten das Layout und koordinieren zwischen allen Beteiligten. Denn natürlich sind nicht nur wir am Newsletter beteiligt: Viele weitere tragen mit ihren Ideen und ihrem Wissen dazu bei. In der ersten Ausgabe erzählt euch zum Beispiel Prof. Dr. Urs Hartl mehr über sein Forschungsgebiet und seine Faszination für die Mathematik.
Aus der Grundschule kennst Du die Ganzzahl-Division mit Rest. Zum Beispiel ist $16:12 = 1 \text{ Rest }4$. In der Zahlentheorie interessieren wir uns oft nur für den Rest, der bei der Division übrig bleibt. Dann sprechen wir von der "modulo" Operation. Zum Beispiel gilt
\begin{align*}
&16 \operatorname{mod} 12 = 4, &&\text{denn }16:12 = 1 \text{ Rest }4,\\
&10 \operatorname{mod} 3 = 1, &&\text{denn }10:3 = 3 \text{ Rest }1.
\end{align*}
Wir können das Teilen mit Rest auch auf negative Zahlen ausdehnen. Wenn wir dabei verlangen, dass bei der Division durch $d$ immer ein Rest zwischen $0$ und $d-1$ herauskommt, gilt z.B.
$$-13 \operatorname{mod} 5 = 2,\quad\text{ denn }-13 = -3\cdot 5 + 2.$$
Für das Rechnen mit Resten gelten viele schöne Rechenregeln. Zum Beispiel gilt für zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ immer
$$(a+b) \operatorname{mod} d = ((a \operatorname{mod} d) + (b \operatorname{mod} d)) \operatorname{mod} d.$$
D.h., anstatt $a$ und $b$ zu addieren und dann den Rest bei der Division durch $d$ zu bestimmen, können wir auch erst die Reste von $a$ und $b$ bestimmen und diese addieren. Sollte das Ergebnis dabei $d$ oder größer sein, müssen wir noch einmal $d$ abziehen. Das Gleiche gilt auch für die Multiplikation:
$$(a\cdot b) \operatorname{mod} d = ((a \operatorname{mod} d) \cdot (b \operatorname{mod} d)) \operatorname{mod} d$$
Zwei Zahlen, die bei der Division durch $d$ denselben Rest lassen, nennen wir "kongruent". Zum Beispiel gilt
$$16 \operatorname{mod} 12 = 4 \quad\text{und}\quad 28 \operatorname{mod} 12 = 4,$$
also sind 16 und 28 "kongruent modulo 12". Wir schreiben auch
$$16 = 28 \quad (\operatorname{mod} 12).$$
Wenn wir im Newsletter-Beitrag davon sprechen, dass eine Primzahl $p$ bei der Division durch $12$ den Rest $-5$ lässt, meinen wir damit etwas salopp, dass
$$p = -5 \quad(\operatorname{mod} 12).$$
Weil -5 bei der Division durch 12 den Rest 7 lässt,
$$-5 = 7 \quad (\operatorname{mod} 12),$$
hätten wir also auch sagen können, dass $p$ bei der Division den Rest 7 lassen soll.
Zahlen, die bei der Division durch $d$ denselben Rest lassen, fasst man in Mengen zusammen, die man "Restklassen" nennt. Zum Beispiel ist die Restklasse von $7$ bei der Division durch $12$:
$$[7]_{12} = \{\ldots, -17, -5, 7, 19, 31, \ldots\}.$$
Wegen der oben genannten Rechenregeln kann man Additions- und Multiplikations-Operationen für diese Restklassen definieren:
$$[a]_d + [b]_d = [a+b]_d \quad\text{und}\quad [a]_d \cdot [b]_d = [a \cdot b]_d$$
Aufgrund der Rechenregeln ist es dabei egal, welche Zahlen a und b man aus der jeweiligen Restklasse nimmt. Zum Beispiel gilt
$$[7]_{12} + [3]_{12} = [10]_{12} \quad\text{und}\quad [19]_{12} + [15]_{12} = [34]_{12},$$
aber $[10]_{12} = [34]_{12}$, da $10 = 34 \ (\operatorname{mod} 12)$.
Es stellt sich heraus, dass viele der bekannten Rechenregeln für ganze Zahlen (z.B. das Distributivgesetz) auch für Restklassen gelten. Ist $d$ eine Primzahl, kann man die Restklassen sogar durch einander teilen, wie bei den rationalen Zahlen. Man sagt dann, dass die Menge aller Restklassen zusammen mit diesen Rechenoperationen einen Körper bildet.
Noch genauer wird das Rechnen mit Resten in dieser Videoreihe erklärt.
Es gelten:
\begin{align*}\newcommand{\Rest}{\text{ Rest }}
2 &= 0\cdot 12 + 2 &\Longrightarrow&& 2:12 &= 0 \Rest 2 \\
3 &= 0\cdot 12 + 3 &\Longrightarrow&& 3:12 &= 0 \Rest 3 \\
5 & = 0\cdot 12 + 5 &\Longrightarrow&& 5:12 &= 0 \Rest 5\\
7 &= 1\cdot 12 -5 &\Longrightarrow&& 7:12 &= 1 \Rest \mathbf{-5} \\
11&= 1\cdot 12 - 1 &\Longrightarrow&& 11:12 &= 1 \Rest -1\\
13&=1\cdot 12 + 1 &\Longrightarrow&& 13:12 &= 1 \Rest 1 \\
17&= 1\cdot 12 + 5 &\Longrightarrow&& 17:12 &= 1 \Rest \mathbf{5}\\
19&= 2\cdot 12 -5 &\Longrightarrow&& 19:12 &= 2 \Rest \mathbf{-5}\\
23&= 2 \cdot 12 -1 &\Longrightarrow&& 23:12 &= 2 \Rest -1\\
29&=2 \cdot 12 + 5 &\Longrightarrow&& 29:12 &= 2 \Rest \mathbf{5}
\end{align*}
Die ersten fünf Primzahlen in $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ sind also: 5, 7, 17, 19 und 29.
Eine interessante, fortgeschrittene Aufgabe:
Kannst du 23 in $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ als ein Produkt schreiben und damit zeigen, dass 23 keine Primzahl bleibt?
Der Ansatz diese Aufgabe zu Lösen ist
\[23 = (x \cdot \sqrt{3} + y)(x \cdot \sqrt{3} – y) = 3x^2 – y^2 \]
(mit dem letzten "=" nach der binomischen Formel) zu schreiben und dann $x$ und $y$ zu finden. Das geht hier mit Ausprobieren von kleinen ganzen Zahlen für x und y am einfachsten. Wähle $x=3$ und $y=2$, dann gilt $3\cdot 3^2 – 2^2 =27 –4 = 23$. Die Produktdarstellung von $23$ in $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ lautet also:
\[23 = (3\cdot\sqrt{3} + 2)(3\cdot\sqrt{3} – 2).\]
In dem Diagramm gibt es große und kleine Punkte. Einen großen Punkt zeichnen wir, wenn die Primzahl eine Primzahl bleibt. Wenn sie keine Primzahl bleibt, zeichnen wir kleine Punkte. Wir zeichnen normalerweise zwei getrennte kleine Punkte für die beiden Faktoren, also z.B. je einen kleinen Punkt für die beiden Faktoren $3\cdot\sqrt{3} + 4$ und $3\cdot\sqrt{3} - 4$ von $11 = (3·\sqrt{3} + 4)\cdot(3\cdot\sqrt{3} - 4)$. Dabei gibt es aber eine Besonderheit bei den Primzahlen $2$ und $3$. Bei $3 = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$ sind nämlich beide Faktoren gleich. Deshalb zeichnen wir nur einen kleinen Punkt. Bei $2 = (\sqrt{3} + 1)\cdot(\sqrt{3} - 1)$ sind die Faktoren zwar verschieden, aber sie sind gegenseitig Vielfache von einander: $\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} + 1)\cdot(2 - \sqrt{3})$ und $\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)\cdot(2 + \sqrt{3})$. Deshalb zeichnen wir auch bei der Primzahl 2 nur einen kleinen Punkt. Man sagt, dass die Primzahlen 2 und 3 in $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ „verzweigen“. Bei allen anderen Primzahlen passiert das nicht, z.B. sind $(3\cdot\sqrt{3} + 4)$ / $(3\cdot\sqrt{3} - 4)$ und $(3\cdot\sqrt{3} - 4)$ / $(3\cdot\sqrt{3} + 4)$ keine gegenseitigen Vielfachen in $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. Wegen der Verzweigung verbiegen sich die obere und untere Gerade oberhalb von $2$ und $3$ etwas, um die kleinen Punkte zu erreichen.
(Urs Hartl)
Konntest du die Aufgabe der Knobelecke lösen? Dann kannst du uns deine Lösung schicken und mit etwas Glück einen kleinen Preis gewinnen.
Hier sind die Teilnahmebedingungen:
Nach der Frist am 06.12.2025 werden wir hier auch eine Lösung zu der Aufgabe veröffentlichen. Wir freuen uns auf eure Einsendungen!
Hier ist eine mögliche Lösung:
Ein Schachbrett hat 32 weiße und 32 schwarze Felder. Wird an gegenüberliegenden Ecken je ein Feld herausgeschnitten, so verringert sich entweder die Anzahl der weißen Felder um zwei, oder es verringert sich die Anzahl der schwarzen Felder um zwei. Nehmen wir an, dass wie auf der Zeichnung die weißen Felder herausgeschnitten werden. Es verbleiben also 30 weiße und 32 schwarze Felder, die wir 31 mit Dominosteinen bedecken müssen.
Jeder Stein, den wir platzieren, muss aber, egal wie wir ihn verschieben oder drehen, immer ein weißes und ein schwarzes Feld bedecken. Haben wir 30 Steine erfolgreich auf dem Brett verteilt, so müssen also immer zwei schwarze Felder übrig bleiben, die wir nicht mit dem verbleibenden Dominostein bedecken können.
Es ist also unmöglich die verbleibenden 62 Felder mit 31 Dominosteinen zu bedecken.