Oberseminare und sonstige Vorträge

In my talk I will start with a (hopefully gentle) introduction to chromatic homotopy theory and what is known about how chromatic localizations behave on algebraic K-theory spectra. I will then present a new result which reveals chromatically localized K-theory to have particularly nice properties. Combining this with the results obtained in joint work with Tamme, one obtains new calculations of such chromatically localized K-groups. All of this is joint with Lennart Meier and Georg Tamme.

Abstract: Ancient flows arise as singularity models via blow-ups, and the first examples were found by Mullins in 1956. Insight from gluing constructions indicate that classifying them fully is not viable, except under e.g. pointwise positive curvature assumptions. However, without any such restrictions on curvatures or topology, if one applies certain "forgetful" operations - discard time coordinates and take convex hulls - then we show that only four types of behavior may occur. For this, we first prove a natural "wedge theorem" for proper ancient flows, which adds to a long story: F.ex. it generalizes our own wedge theorem for self-translaters from 2018 (the main motivating case in the talk) which implies the minimal surface case by Hoffman-Meeks from 1990 that in turn contains the classical cone theorem by Omori from 1967. This is joint work with Francesco Chini (U Copenhagen).

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In this talk I will first define and describe the mathematical object $\mathbb{T}_{\log}$: the ordered valued differential field of logarithmic transseries. I will then discuss a strategy I have developed for proving $\mathbb{T}_{\log}$ is model complete in a certain language that I will introduce. I reduce the problem of model completeness down to two precise conjectures concerning the nature of logarithmic derivatives, solutions of linear differential equations, and differential-transcendence.

Wir betrachten eine Klasse von Maßen $d\mu(\Phi)=\exp(-N\,tr(E\Phi^2+(\lambda/p)\Phi^p)) d\Phi$ auf selbstadjungierten $N\times N$-Matrizen, parametrisiert durch eine positive Matrix $E$ und einen Skalar $\lambda$. Für $p=3$ entsteht das Kontsevich-Modell, das Schnittzahlen von $\psi$-Klassen auf dem Modulraum komplexer Kurven berechnet. Wir zeigen, daß die uns interessierende Klasse $p=4$ genauso lösbar ist wie die Kontsevich-Klasse $p=3$. Wir erhalten eine algebraische Lösungsformel für das zweite Moment des Maßes (im Limes großer $N$), ausgedrückt durch Wurzeln einer meromorphen Funktion, die aus dem Spektrum von $E$ gebastelt wird. Einige der Strukturen, die unterwegs autreten, lassen sich als komplexe Kurven darstellen. Da sich sämtliche anderen Momente des Maßes durch Lösung linearer Integralgleichungen ergeben, in die das nun bekannte zweite Moment als Inhomogenität eingeht, ist der Fall $p=4$ im Prinzip verstanden. Wir vermuten jedoch, daß die anderen Momente eine sehr viel einfachere algebraische Struktur haben, als es die Lösungstheorie linearer Integralgleichungen erwarten läßt. Diese Struktur und ihre mögliche Verbindung zu Schnittzahlen sind bisher nicht untersucht.