Sonstige Vorträge

Lokale Körper, d.h. lokal kompakte nicht-diskrete topologische Körper, spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, etwa in der Zahlentheorie. Neben den Körpern der reellen und komplexen Zahlen, den einzigen archimedischen Beispielen, handelt es sich dabei gerade um die vollständigen diskret bewerteten Körper mit endlichem Restklassenkörper, genauer endliche Erweiterungen von p-adischen Körpern bzw. formale Laurentreihenkörpern über endlichen Körpern.
Im Vortrag werde ich einen Überblick über die Modelltheorie lokaler Körper geben. In Charakteristik 0 sind sowohl die archimedischen als auch die nichtarchimedischen modelltheoretisch gut verstanden. In positiver Charakteristik gibt es hingegen viele offene Fragen. Ein gefeiertes Resultat aus den 1960er Jahren (das Ax-Kochen-Ershov Prinzip) besagt jedoch, dass sich die lokalen Körper positiver Charakteristik p mit Blick auf Eigenschaften, die in der Logik erster Stufe ausdrückbar sind, für p groß genug wie ihre Analoga in Charakteristik 0 verhalten.
https://wwu.zoom.us/j/66320381043
Meeting-ID: 663 2038 1043
Kenncode: 289374

Joint work with Katrin Tent. A Frobenius group is a group G together with a proper nontrivial malnormal subgroup H. A classical result due to Frobenius states that finite Frobenius groups split, i.e. they can be written as a semidirect product of a normal subgroup and the subgroup H. It is an open question if this holds true for groups of finite Morley rank, and the existence of a non-split Frobenius group of finite Morley rank would contradict the Algebraicity Conjecture. We use mock hyperbolic reflection spaces, a generalization of real hyperbolic spaces, to study Frobenius groups of finite Morley rank. We show that the involutions in a connected Frobenius group of finite Morley rank and odd type form a mock hyperbolic reflection space. These spaces satisfy certain rank inequalities and we conclude that connected Frobenius groups of odd type and Morley rank at most 6 split. Moreover, by using a construction from the theory of K-loops we show that if G is a connected Frobenius group of degenerate type with abelian complement, then G can be expanded to a group whose involutiuons almost form a mock hyperbolic reflection space. The rank inequalities allow us to show structural results for such groups. As a special case we get Frecon's theorem: There is no bad group of Morley rank 3.

Abstract: In recent years, Gromov proposed studying the geometry of positive scalar curvature ("psc'') via various metric inequalities vaguely reminiscent of classical comparison geometry. For instance, let $M$ be a closed manifold of dimension $n-1$ which does not admit a metric of psc. Then with respect to any Riemannian metric of scalar curvature $\geq n(n-1)$ on the cylinder $V = M \times [-1,1]$, the distance between the two boundary components of $V$ is conjectured to be at most $2\pi/n$. In this talk, we will discuss how to approach this and other related conjectures on spin manifolds via index-theoretic techniques. We will use variations of the spinor Dirac operator augmented by a Lipschitz potential and subject to suitable local boundary conditions. In the cases we consider, this leads to refined estimates involving the mean curvature of the boundary and to rigidity results for the extremal situation. Joint work with S. Cecchini.

Wir betrachten eine Familie von stochastisch interagierenden Teilchensystemen, welche verschiedene physikalische, biologische und sozioökonomische Wachstumsprozesse modellieren kann. Beispiele reichen von Tröpfchenbildung in übersättigten Gasen bis hin zu Galaxienbildung; die Entstehung von Polymerketten; Vermögensaustausch und Migrationsprozesse.
Im Limes von unendlicher Teilchenzahl lässt sich das System durch ein unendlich-dimensionales System von Differentialgleichungen beschreiben. Dieses System zeigt vielfältiges dynamisches Verhalten und es können Kondensations- und Phasenseparationsphänomene beobachtet werden.
In der Ringvorlesung werden Techniken vorgestellt, welche es ermöglichen den Übergang zu unendlicher Teilchenzahl zu erhalten und solche die es erlauben das Langzeitverhalten des makroskopischen Modells zu beschreiben.

Abstract: A natural notion of energy for a map is given by measuring how much the map stretches at each point and integrating that quantity over the domain. Harmonic maps are critical points for the energy and existence and compactness results for harmonic maps have played a major role in the advancement of geometric analysis. Gromov-Schoen and Korevaar-Schoen developed a theory of harmonic maps into metric spaces with non-positive curvature in order to address rigidity problems in geometric group theory. In this talk we discuss harmonic maps into CAT(k) spaces which are metric spaces with positive upper curvature bounds. By proving global existence and analyzing the local behavior of such maps, we determine a uniformization theorem for CAT(k) spheres.

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