Die projektiven Teilmengen der reellen Zahlen bilden eine natürliche Verallgemeinerung der Borel?schen Mengen, besitzen einen nützlichen hierarchischen Aufbau von einfacheren zu immer komplizierteren Mengen, und sind, seit ihrer Einführung durch N. Lusin und W. Sierpinski 1925, Gegenstand intensiver Forschung. Rasch wurde erkannt dass viele Fragen, die für Borel?sche Mengen Antworten besitzen, selbst für ?einfache? projektive Mengen außerordentlich schwierige Probleme darstellen. Es hat mehrere Jahrzehnte gebraucht, die tieferliegenden Ursachen dieser großen Schwierigkeiten herauszuarbeiten. Viele dieser Probleme haben sich als unabhängig, im Gödel?schen Sinne, von den herkömmlichen mengentheoretischen Axiomen erwiesen, daher waren alle Versuche, sie zu beweisen von Anfang an zum Scheitern verurteilt. Die Geschichte endet hier allerdings noch nicht, sondern nimmt noch eine zweite, überraschende Wendung. Schon früh nach Aufkommen der axiomatischen Mengenlehre sind Mathematiker wie F. Hausdorff auf das Konzept großer Kardinalzahlen gestoßen. Große Kardinalzahlen sind gigantische Unendlichkeiten deren Existenz man zusätzlich zu den herkömmlichen Axiomen annehmen kann um in dem so resultierenden, stärkeren Axiomensystem zu arbeiten. Ab ca. 1970 wurde schrittweise, durch die Arbeiten vieler verschiedener Mathematiker offenbar, dass die Existenz großer Kardinalzahlen einen stark glättenden Effekt auf die Struktur der projektiven Mengen hat, und viele der alten Fragen, obwohl unentscheidbar über den herkömmlichen Axiomen, doch eine Lösung besitzen, wenn man die Existenz großer Kardinalzahlen annimmt. Mein Vortrag soll einen kleinen Ausschnitt der Entwicklungen auf diesem Gebiet vorstellen.