Es wird ein Ueberblick gegeben ueber die Charakterisierung gewisser Kruemmungseigenschaften von Riemannschen Mannigfaltigkeiten vermoege asymptotischer Eigenschaften der hierauf definierten Brownschen Bewegungen. Mithilfe der Theorie des optimalen Massentransportes lassen sich einige dieser Eigenschaften auf allgemeine metrische Massraeume ausdehnen. Eine zentrale Rolle spielt dabei die Boltzmann-Entropie, aufgefasst als Funktional auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmasse.