Gitta Kutyniok (Osnabrueck): Sparsity, l_1 Minimierung und die geometrische Trennung von Bilddaten mittels Wavelets und Shearlets
Wednesday, 06.05.2009 16:15 im Raum M5
Während der letzten zwei Jahre hat sich Sparsity als Schlüsselkonzept in
verschiedensten Forschungsbereichen der Angewandten Mathematik, Informatik
und Elektrotechnik etabliert. Methodiken beruhend auf Sparsity verwenden
die grundlegende Tatsache, dass sich viele Typen von Funktionen/Signalen bei geeigneter
Wahl einer Orthonormalbasis -- oder allgemeiner eines Frames -- durch nur sehr wenig
nicht-verschwindende Koeffizienten darstellen lassen. Besitzt ein Signal
solch eine sparse Darstellung, so kann es aus wenigen Messwerten mittels
l_1 Minimierung rekonstruiert werden.
Eine Anwendung dieser neuen Methodik ist die geometrische Trennung von Daten,
die sich aus zwei (oder mehreren) geometrisch verschiedenen Komponenten
-- z.B. punkt- und kurvenähnlichen Strukturen in Bildern von Galaxien --
zusammensetzen. Obwohl es unmöglich scheint diese Komponenten zu extrahieren
-- denn zwei Unbekannte treffen auf nur eine bekannte Größe -- sind
unter Benutzung von Sparsity bereits suggestive empirische
Resultate erzielt worden.
In diesem Vortrag wird zunächst eine Einführung in das Konzept von
sparsen Darstellungen gegeben. Anschließend werden wir startend von
unterbestimmten Gleichungssystemen einen allgemeinen theoretischen
Zugang zum Problem der geometrischen Trennung mittels Sparsity
diskutieren. Diesen werden wir dann auf die geometrische
Trennung von punkt- und kurvenähnlichen Strukturen in Bildern von Galaxien
anwenden, wobei ein zusammengesetztes Darstellungssystem aus
Wavelets (passend für Punktstrukturen) und Shearlets(Curvelets) (passend
für Kurvenstrukturen) verwandt wird. Unsere theoretischen Resultate,
die auf Techniken der Angewandten Harmonischen Analysis und
Mikrolokalen Analysis beruhen, zeigen, dass für genügend feine Skalen,
fast-perfekte Trennung erreicht werden kann. Dies ist eine gemeinsame
Arbeit mit David L. Donoho (Stanford University).
Angelegt am 04.02.2009 von Martin Burger
Geändert am 05.05.2009 von Martin Burger
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