Die isoperimetrische Ungleichung besagt, dass Kugeln unter allen beschränkten Gebieten im R^n das größtmögliche Volumen bei vorgeschriebener Randoberfläche haben. Diese einleuchtende Tatsache ist nicht leicht zu beweisen und stellt einen der Dreh- und Angelpunkte der modernen Analysis dar. Ihre Anwendungen reichen von der Differentialgeometrie (Yamabe-Problem) bis hin zur Informatik (Komprimierung hochdimensionaler Punktwolken). In der Vorlesung besprechen wir Gromovs genialen Beweis, der einen überraschenden Bezug zum optimalen Transport von Wahrscheinlichkeitsmaßen herstellt. Falls genug Zeit bleibt, soll auch eine offene Frage zur isoperimetrischen Ungleichung im R^3 angerissen werden (Stichwort Kelvin-Vermutung, Weaire-Phelan-Struktur).