Kaleidoskop der Mathematik

Kurzvorlesungen für Schüler:innen der Oberstufe
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Die Video-Reihe "Kaleidoskop der Mathematik – Kurzvorlesungen für Schüler*innen der Oberstufe" bietet Einblicke in Themen und Techniken der Hochschulmathematik.

In den Videos stellen Professor:innen und Mitarbeitende des Fachbereichs Mathematik und Informatik der Universität Münster auf anschauliche Art und Weise unterschiedliche Inhalte vor, die einerseits den Schulstoff ergänzen und andererseits einen kleinen Vorgeschmack auf das Mathematik-Studium bieten. Die Reihe wird kontinuierlich erweitert.

Lehrerinnen und Lehrer sind herzlich eingeladen, die Videos im Oberstufen-Unterricht einzusetzen. Drei Wege sind möglich: Sie finden die Videos auf dieser Webseite, als Playlist in unserem YouTube-Kanal "Mathematics Münster" und zum Herunterladen in diesem Download-Ordner.

Bei Bedarf kann zusätzlich eine Videokonferenz mit der/dem vortragenden Professor:in vereinbart werden. Kontakt (auch für Feedback und Fragen): mathe-kaleidoskop@uni-muenster.de.

Primzahlen (Teil 1) – „Atome“ der natürlichen Zahlen und der Widerspruchsbeweis

Warum kann man Primzahlen auch als Atome der natürlichen Zahlen bezeichnen? Das erklärt Prof. Dr. Matthias Löwe in diesem Video.
Am Beispiel der Primzahlen stellt er zudem grundlegende Strukturen von Hochschulmathematik wie Definitionen, Sätze und Beweise vor. Denn die Mathematik, die an Universitäten und in der Forschung betrieben wird, unterscheidet sich durch ihren formalen Aufbau von der an der Schule. Alles, was behauptet wird, muss erst einmal bewiesen werden. Eine grundlegende Beweistechnik wird hier präsentiert: der Widerspruchsbeweis, mit dem gleich zwei Aussagen über Primzahlen bewiesen werden.

Primzahlen (Teil 2) – Wie viele gibt es davon eigentlich?

Nachdem in Teil 1 schon einige Eigenschaften von Primzahlen untersucht wurden, geht Prof. Dr. Matthias Löwe nun darauf ein, wie viele Primzahlen es überhaupt gibt. Endlich viele? Unendlich viele? Die Antwort auf die Frage wird natürlich wieder bewiesen. Zusätzlich wird untersucht, wo man Primzahlen finden kann und welche Frage zu Primzahlen heute immer noch offen ist – kein*e Mathematiker*in konnte sie bisher beweisen.

Primzahlen (Teil 3) – Mittel zur Verschlüsselung (eine Anwendung)

Selbst Cäsar hat damals schon Codes benutzt, um geheime Nachrichten zu verschlüsseln. Seine Codes wären heutzutage mit moderner Computertechnik aber viel zu leicht zu entschlüsseln. Es muss etwas anderes her; zum Beispiel das RSA-Verfahren, benannt nach seinen drei Erfindern Rivest, Shamir und Adleman, die dafür den Turing-Award bekommen haben. Ihr Verschlüsselungsverfahren, das Prof. Dr. Matthias Löwe in diesem Video vorstellt, stützt sich auf die Existenz vieler großer Primzahlen und stellt eine Anwendung der speziellen Eigenschaften von Primzahlen dar, die schon in den beiden vorherigen Videos behandelt wurden.

Primzahlen (Teil 4) – Wie hängen sie mit den unendlichen Reihen zusammen?

Wir alle kennen Addition und Multiplikation aus der Schule, aber was passiert, wenn man unendlich viele Zahlen addiert bzw. multipliziert? In diesem Video werden diese unendlichen Reihen und ihre Grenzwerte untersucht. Bereits in Teil 2 wurde die Unendlichkeit der Primzahlen bewiesen, aber in diesem Teil wird gezeigt, dass man dies auch auf ganz andere Art – mithilfe der unendlichen Reihen – tun kann.

Vollständige Induktion (Teil 1) – In zwei Schritten zum Beweis (Kleiner Gauß)

Die Vollständige Induktion ist eine weitere grundlegende Beweistechnik und damit wichtiges Werkzeug für alle, die mathematisch arbeiten wollen. Bewiesen werden damit Aussagen über die natürlichen Zahlen. Dabei folgt man stets zwei gleichen Schritten, die Prof. Dr. Matthias Löwe hier vorstellt.

Natürlich wird auch gezeigt, warum das Prinzip funktioniert, und ein Beispiel direkt bewiesen: der Satz vom Kleinen Gauß. Sein Name kommt daher, dass der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß schon in seiner frühen Schulzeit herausgefunden hat, wie man die Zahlen von 1 bis 100 mit einem kleinen Trick sehr schnell addieren kann – ein frühes Zeichen seiner späteren Erfolge in der Mathematik.

Vollständige Induktion (Teil 2) – Die Türme von Hanoi (eine Rekursion)

Wie viele Züge benötigt man, um das berühmte Stapelspiel „Die Türme von Hanoi“ zu lösen? Die Antwort kann mithilfe einiger systematischer Überlegungen gefunden werden: eine Rekursion. Das bedeutet, um die Lösung für eine bestimmte Zahl zu berechnen, muss man die Lösung für ihren Vorgänger kennen. Bei den Türmen von Hanoi lässt sich diese Abhängigkeit vom Vorgänger allerdings „loswerden“ – mit vollständiger Induktion kann bewiesen werden, dass das überlegte Ergebnis richtig ist. All das erklärt Prof. Dr. Matthias Löwe in diesem zweiten Video zum Thema Vollständige Induktion. Die Grundlagen zum Thema sind in Teil 1 zu finden.

Vollständige Induktion (Teil 3) – Das Josephus-Problem

Wenn man mit n Leuten in einem Kreis steht und jeder nach der Reihe seine*n linke*n Nachbar*in erschlägt, an welcher Stelle muss man dann stehen, um zu überleben? Diese zunächst etwas merkwürdige, aber durchaus interessante Fragestellung ist ein etwas kniffligeres Problem als die Türme von Hanoi im vorherigen Video (Teil 2). Schritt für Schritt erläutert Prof. Dr. Matthias Löwe in diesem Video, wie man eine Rekursion zur Lösung des Problems aufstellt und sie löst. Schließlich wird die vermutete Lösung, die sich für eine gerade und ungerade Anzahl von Menschen unterscheidet, mithilfe von Vollständiger Induktion bewiesen.

Modellieren – Reale Probleme mathematisch lösen (Bertrand-Paradoxon)

Mathematisches Modellieren ist das „Übersetzen“ von realen Fragestellungen in die Mathematik. Damit gehört es zur Angewandten Mathematik und taucht auch in der Schule im Mathematikunterricht auf. In diesem Video zeigt Prof. Dr. Matthias Löwe anhand des Bertrand-Paradoxons, welche Schwierigkeiten beim Modellieren auftauchen können und warum die Mathematik manchmal verschiedene Antworten auf dieselbe Frage liefern kann. Dazu werden stochastische und geometrische Überlegungen geschickt miteinander verknüpft.

Schubfachprinzip – Kombinatorische Überlegungen

Wer hätte gedacht, dass es in Berlin mindestens zwei Menschen geben muss, die gleich viele Haare auf dem Kopf haben? Das Schubfachprinzip, auch „Pigeonhole principle“ genannt, ist ein wichtiges Werkzeug der Kombinatorik. Es besagt Folgendes: Wenn m Gegenstände auf n Schubfächer verteilt werden sollen und m größer ist als n, landet in mindestens einem Schubfach mehr als ein Gegenstand. Im „Pigeonhole principle“ sind es dann m Tauben, die auf n Taubenlöcher verteilt müssen. Das dahinterstehende Prinzip ist jedoch das gleiche und wirkt erst einmal offensichtlich und daher nicht besonders interessant.

Trotzdem gibt es einige sehr spannende Beispiele, die man mithilfe des Schubfachprinzips lösen kann, z.B. das obige Berlin-Beispiel. In diesem Video stellt Prof. Dr. Matthias Löwe einige davon vor.