Markov Processes (Mukherjee)

Dienstag, 16:00-18:00, M6
Donnerstag, 16:00-18:00, M6

Eintrag der Vorlesung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis

Eintrag der Übungen im kommentierten Vorlesungsverzeichnis

Markov Prozesse gehören zu den wichtigsten stochastischen Prozessen. Intuitiv sind sie characterisiert durch die Eigenschaft, dass, gegeben der Vergangenheit bis zu eine bestimmten Zeitpunkt, die Verteilung der Zukunft nur von der aktuellen position des Prozesses abhängt. Der Inhalt dieser Vorlesung kann in zwe Teile unterteilt werden.

Im ersten Teil beginnen wir mit der Definition von Markov Prozessen und betrachten ihre grundlegenden Eigenschafte. Außerdem werden wir eine Charakterisierung von Markov Prozessen durch das so-genannte 'Martingalproblem' kennenlernen. Wir werden diese Eigenschaften auch an einem konkreten Beispiel sehen, den Poisson Punkt-Prozessen, die eine Möglichkeit zur Konstruktion von Markov Prozessen in einem dikreten Raum darstellen. Auch mit der Konstruktion von Markov Prozessen in stetigem Raum werden wir uns beschäftigen. Hier werden insbesondere der Satz von Hille-Yosida und seine Konsequenzen genauer betrachtet.

Im zweiten Teil werden wir uns der Konvergenz von Markov Prozessen zuwenden. Insbesondere werden wir Techniken betrachten, die es uns erlauben herauszufinden wie schnell (wenn überhaupt) die Verteilung des Markov Prozesses gegen ihre stationäre Verteilung konvergiert. Hier werden wir uns insbesondere für Fälle mit (sub-) exponentieller Konvergenzgeschwindigkeit interessieren. Wir werden Techniken behandeln, die auf Lyupanov Funktionen basieren und dann zu einer grundlegenden Einführung des Malliavin-Kalkül fortschreiten und einen Beweis des berühmten Regularitäts-satzes von Hörmander über die Summe der Quadrate kennenlernen.