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Die Vorlesung behandelt zentrale Themen aus der Modelltheorie bewerteter Körper. Auf dem Programm stehen sowohl die klassische Theorie (henselsch bewertete Körper in Restklassencharakteristik 0, das berühmte Transfer-Prinzip von Ax-Kochen-Ershov, Macintyres Quantorenelimination in p-adisch abgeschlossenen Körpern) als auch neuere Resultate aus der geometrischen Modelltheorie insbesondere in der Theorie ACVF nichttrivial bewerteter algebraisch abgeschlossener Körper (NIP, generisch stabile Typen). Ein Hauptresultat ist die Imaginärenklassifikatikon in ACVF durch Haskell-Hrushovski-Macpherson, für die Johnsons Beweis gegeben wird.

Die benötigten Resultate aus der Algebra werden zu Beginn der Vorlesung bereitgestellt.

Kurs im HIS-LSF

Die Vorlesung bietet eine Einführung in grundlegende Begriffe und Methoden, die in der Mathematik allgegenwärtig sind. Dabei werden u.a. die folgenden Themen behandelt: Natürliche Zahlen, Induktion, das Auswahlaxiom und seine Äquivalenzen, reelle Zahlen und Mengen reeller Zahlen.

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Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesungen "Logik I" und "Logik II". Sie bietet eine Einführung in Theorien ohne die Unabhängigkeitseigenschaft (kurz: NIP-Theorien). Es handelt sich hierbei um ein wichtiges Teilgebiet der Modelltheorie, mit zahlreichen
Anwendungen in der Algebra sowie in der Kombinatorik.

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Eine mit einer totalen Ordnung versehene Struktur heißt o-minimal, falls jede in einer Variablen definierbare Menge endliche Vereinigung von offenen Intervallen und Punkten ist. O-Minimalität stellt einen abstrakten modelltheoretischen Rahmen für "zahme" Topologien zur Verfügung, der sich in vielen Anwendungen als äußerst nützlich erwiesen hat. Nach einem Satz von Tarski ist im Körper der reellen Zahlen jede definierbare Menge semialgebraisch (d.h. durch eine Boolesche Kombination von Polynomungleichungen gegeben), woraus seine o-Minimalität folgt. Viele für semialgebraische Geometrie bekannte Tatsachen lassen sich auf beliebige o-minimale Strukturen verallgemeinern.

Im Seminar werden wir grundlegende Resultate in o-minimalen Strukturen behandeln, bis hin zum Zellzerlegungssatz und definierbaren topologischen Invarianten (Dimension und Euler-Charakteristik). Wir werden zudem einige wichtige Beispiele o-minimaler Strukturen sehen.

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Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Prädikatenlogik der ersten Stufe. Es werden die Begriffe eines formalen Beweises und eines Modells eingeführt und gezeigt, dass logische Folgerung, die unter Verwendung des Modellbegriffs definiert ist, das gleiche ist wie Beweisbarkeit. Dies ist die Aussage des Gödelschen Vollständigkeitssatzes. Mit Hilfe der Berechenbarkeitstheorie wird dann der Gödelsche Unvollständigkeitssatz gezeigt, der besagt, dass die formale Beweisbarkeit von Sätzen nicht durch einen Algorithmus entschieden werden kann. Zudem werden Ordinal- und Kardinalzahlen behandelt sowie die Zermelo-Fraenkel-Axiome der Mengenlehre.

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In einer Arbeit von 1968 hat James Ax die elementare Theorie der endlichen Körper bestimmt und ihre Entscheidbarkeit gezeigt. Das Studium unendlicher Modelle dieser Theorie, sogenannter pseudoendlicher Körper, ist hierbei von entscheidender Bedeutung. Pseudoendliche Körper erlauben eine sehr elegante Axiomatisierung. Es handelt sich gerade um die perfekten Körper, die für jede natürliche Zahl n genau eine Erweiterung vom Grad n
besitzen und die pseudoalgebraisch abgeschlossen sind. Ausgehend von der grundlegenden Arbeit von Ax werden wir verschiedene Aspekte der Modelltheorie pseudoendlicher Körper studieren. Das Seminar bietet somit einen guten Einstieg in das sehr aktive Gebiet der Modelltheorie von Körpern. Von einigen Resultaten abgesehen, die wir ohne Beweis akzeptieren (u.a. Lang-Weil- Abschätzungen, Cebotarev-Dichtesatz), werden die relevanten Konzepte aus der Algebra, der algebraischen Geometrie sowie aus der Modelltheorie im Seminar im Detail behandelt.

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Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Berechenbarkeitstheorie. Ausgehend von Automaten- und Turingmaschinenmodellen studieren wir die (effektive) Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit mathematischer Probleme. Weiterhin bietet die Vorlesung eine Einführung in die Komplexitätstheorie und in die Rekursionstheorie.

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