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Betrachten wir nun die Vermögensbilanz
des Schreibers (Long-Position)
einer
europäischen
Call-Option
mit Ausübungspreis (strike price)
,
 |
(19) |
wobei wir berücksichtigt haben, daß die Optionsprämie bereits bei Abschluß,
also zur Zeit
fällig wird.
Aus der Bedingung für einen fairen Preis
 |
(20) |
folgt
für den Optionspreis
(dem in dem realistischen Fall, in dem keine risikofreie
Hedging-Strategie möglich ist,
noch eine Risikozulage zugeschlagen werden muß),
 |
(21) |
Hierbei ist
 |
(22) |
mit
 |
(23) |
und
=
.
Analog zu den relativen Änderungen
 |
(24) |
definieren wir nun
 |
(25) |
welches zu
in der Beziehung steht
=
.
Wir nehmen nun an, daß die
bzw.
=
unabhängig normalverteilt sind.
In beiden Fälen können wir die Kurse
durch die unabhängigen Zufallsgrößen
bzw.
ausdrcken.
Für
erhalten wir beispielsweise durch Iteration,
analog zu
=
,
Dies bedeutet,
daß
nur von den
mit
abhängt.
Dasselbe gilt daher für die Zahl der gehaltenen Aktien
,
die nur vom bekannten aktuellen Kurs
,
aber nicht von der noch unbekannten zukünftigen
Kursänderung
abhängt.
Die Unabhängigkeit der
von
,
bedeutet
 |
(27) |
In der Tat, folgt diese Beziehung direkt aus
Gleichung (26) und
der Unabhängigkeit der
, d.h.
einer faktorisierenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeit
=
,
Ähnlich wie (26) läßt sich
auch durch
die bis zum Zeitpunkt
bereits aufgetretenen
bzw.
ausdrücken
 |
(29) |
Expliziter erhalten wir durch Iteration,
für
,
und ebenso für die
,
Für den Fall, daß die
als unabhängige Zufallsvariablen aufgefaßt werden
gilt daher,
 |
(32) |
Unter der Annahme
=
=
= 0
bei unabhängigen Zufallsvariablen
,
bzw.
=
=
= 0
bei unabhängigen
,
fällt also der ganze ``Tradingterm''
aus Gl. (21) heraus.
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Joerg_Lemm
2000-02-02