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Erwartungswertprinzip und ``No-Arbitrage''-Prinzip
Ist ein Handel mit dem Underlying
eines Termingeschäftes nicht möglich, so
ergibt sich aus einem
Anfangsvermögen
zur Zeit
für ein Termingeschäft mit der Vermögenswirkung
zur Zeit
ein Gesamtvermögen
=
zur Zeit
von
 |
(1) |
Für ein Forward hatten wir beispielsweise gesehen,
daß für den Halter der Short-Position
 |
(2) |
wobei
=
den Kaufpreis representiert zu dem der Halter
der Short-Position sich zur Zeit
verpflichtet hat
das Underlying zur Zeit
zu kaufen.
Die Variable
bezeichnet den tatsächlichen Preis
des Underlyings der sich zur Zeit
ergeben hat.
Nehmen wir für risikolose Anleihen
eine Zinsrate an von
für die Zeit
=
,
so ergibt sich nach
Zeitschritten
 |
(3) |
mit
=
bei konstantem
=
=
.
Eine naheliegende Bedingung an einen fairen Preis
ist die Forderung, daß keine Partei
durch das Termingeschäft bevorzugt oder benachteiligt werden soll.
Dies bedeuted das
das Vermögen
zur zeit
nicht durch Abschluß des Geschäftes
beinflußt werden darf, also
 |
(4) |
wobei
dasjenige Vermögen darstellt,
was sich ohne Termingeschäft zur Zeit
ergäben hätte.
Für den (unrealistischen) Fall eines Forwards
auf ein Underlying mit deterministischer Zeitentwicklung
ergäbe sich beispielsweise das triviale Resultat,
 |
(5) |
Typischerweise
ist
jedoch eine Zufallsgröße.
Dann führt die Forderung, daß keine Partei im Mittel
bevorzugt oder benachteiligt werden soll, zu,
 |
(6) |
Im Falle eines Forwards folgt also
 |
(7) |
Diese Methode einen Preis für ein Termingeschäft zu berechnen
nennt sich deshalb Erwartungswertprinzip (Bachelier).
Sobald das Underlying aber handelbar ist,
kann sich die Situation wesentlich verändern.
Beschränken wir uns auf den Handel mit dem Underlying
des betrachteten Termingeschäftes, so können wir eine Handelstrategie
kennzeichnen durch die Anzahl
der zur Zeit
gehaltenen Underlyinganteile zum momentanen Preis von
.
Bezieht man den Gewinn bzw. Verlust aus dem Handel mit dem Underlying
in die Vermögensbilanz mit ein,
so verallgemeinert sich Gl. (1) zu,
 |
(8) |
Den Gewinn bzw. Verlust
aus dem Handel mit dem Underlying
haben wir bereits im
Kapitel über unbedingte Termingeschäfte berechnet,
^{N-k-1}
,
\end{displaymath}](img65.gif) |
(9) |
bezogen auf die Zeit
und
mit diskontierten (auf
abgezinsten)
=
.
Verschiedene Handelstrategien
=
führen jetzt im allgemeinen zu einer unterschiedlichen Verteilung
.
Die Veränderung des Vermögens
im Zeitraum
enthält zwei Zufallsanteile,
nämlich
Zur Bestimmung eines Preises für ein Termingeschäft
müssen wir uns also als erstes auf eine (Hedging-)Strategie
festlegen.
Ähnlich zu unserem Vorgehen bei Portfolio-Optimierung
besteht nun eine Möglichkeit darin
auf das Prinzip der minimalen Varianz zurückzugreifen.
In diesem Falle verstehen wir als optimale Strategie
dasjenige
, welches
die Varianz der Vermögensänderung minimiert,
![\begin{displaymath}
\phi^* = {\rm argmin}_\phi <\left[\Delta_\rho W_N(\phi)\right]^2\!>
.
\end{displaymath}](img78.gif) |
(12) |
Anstatt den Erwartungswert wie bei der Portfolio-Optimierung zu fixieren,
können wir ihn nun zur Bestimmung eines fairen Preis verwenden
indem wir fordern,
 |
(13) |
also
 |
(14) |
Üblicherweise nehmen wir an, daß die Akteure
keine marktbeherschende Stellung einnehmen, d.h.,
daß die Handelstrategie
den Preis
nicht beeinflußt,
also
.
Im Falle eines Forward
fanden wir
 |
(15) |
(wobei
=
,
=
,
=
und
= 0,
= 0),
also
 |
(16) |
Damit ist also bei der Wahl
die Varianz
= 0,
so daß
 |
(17) |
Wir haben bereits diskutiert,
daß
für den Fall
der Handelbarkeit des Underlyings,
sich dieser Preis einstellen muß da eine Abweichung davon
risikolose Gewinne (Arbitrage)
möglich macht.
In solch einem risikolosen Fall spricht man vom
``No-Arbitrage''-Prinzip zur Preisbestimmung
eines Termingeschäftes.
Im Falle von Optionen ist eine Handelsstrategie,
die eine Streuungsfreie Vermögensbilanz
zur Zeit
liefert nur unter idealisierten
Bedingungen möglich, auf denen z.B.
der klassische Black-Scholes-Ansatz beruht.
Im allgemeinen Fall, wenn keine Hedging-Strategie
mit verschwindender Varianz
= 0
möglich ist, wird der Verkäufer
eine Risikoprämie
zu dem
aus der Forderung
bestimmten
Preis
addieren.
Als Gesamtpreis einer Option
ergibt sich dann,
 |
(18) |
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Joerg_Lemm
2000-02-02