Das Prinzip der minimalen Varianz

In Abschnitt 3.1 hatten das Prinzip der minimalen Varianz [Gl. (12)] vorgestellt um eine optimale Hedging-Strategie $\phi^*$ zu bestimmen,

$$\phi^* = {\rm argmin}_\phi <\left[\Delta_\rho W_N(\phi)\right]^2\!> .$$ (71)

Für den Fall einer Call-Option ergibt sich,

$$\left( \Delta_\rho W_N\right)^2 = c+ \sum_{k=0}^{N-1} (1+\rho)^{2(N-k-1)}<(\phi_k)^2 (\Delta_\rho x_k)^2>$$

$$- 2 \sum_{k=0}^{N-1}(1+\rho)^{N-k-1} <\phi_k \Delta_\rho x_k {\rm max}(x_N-x_s,0)>,$$ (72)

wobei $c$ kollektiv diejenigen Terme bezeichnet, die unabhängig sind von $\phi$.

Für den ersten $\phi_k$-abhängigen Term in Gl. (72) erhalten wir unter der Annahme unabhängiger $\Delta_\rho x_k$,

$$<(\phi_k)^2 (\Delta_\rho x_k)^2>$$

$$= \int\left( \prod_{m=0}^{N-1} d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rho x_m)\right) \left[\phi_k(x_k)\right]^2 \left[\Delta_\rho x_k\right]^2$$

$$= \underbrace{ \left( \int\left( \prod_{m=0}^{k-1} d(\Delta_\rho x_... ...,\left[\Delta_\rho x_k\right]^2 \right) }_{\displaystyle <(\Delta_\rho x_k)^2>}$$

$$= <(\phi_k)^2> <(\Delta_\rho x_k)^2> ,$$ (73)

da weder $\phi_k$ noch $\Delta_\rho x_k$ von $\Delta_\rho x_m$ mit $m>k$ abhängen und aufgrund der Normierung von Wahrscheinlichkeiten,

$$\int\left( \prod_{m=k}^{N-1} d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rh... ...d_{m=k}^{N-1} \int d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rho x_m) = 1 .$$ (74)

Mit

$$p(x_k) \! =\! \! \int\!\! \left( \prod_{m=0}^{k-1} \! d(\D... ...-\!\! \sum_{m=0}^{k-1}\Delta_\rho x_m(1+\rho)^{N-k-1}\right) ,$$ (75)

läßt sich auch schreiben,

$$<\phi_k^2> = \int \!dx_k p(x_k) \phi_k^2 .$$ (76)

Für den zweiten $\phi_k$-abhängigen Term in Gl. (72) ist es nützlich die Kursentwicklung von $x_0\rightarrow x_N$ in die drei Abschnitte $x_0\rightarrow x_k$, $x_k\rightarrow x_{k+1}$ und $x_{k+1}\rightarrow x_N$ zu zerlegen (Physiker mögen sich dabei an die Berechnung von Erwartungswerten mit Pfadintegralen erinnert fühlen),

$$<\phi_k \Delta_\rho x_k {\rm max}(x_N-x_s,0)>$$

$$= <\phi_k \Delta_\rho x_k \theta(x_N-x_s)(x_N-x_s)>$$

$$= \int\left( \prod_{m=0}^{N-1} d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rho x_m)\right) \phi_k \Delta_\rho x_k \theta(x_N-x_s)(x_N-x_s)$$

$$= \underbrace{ \int\left( \prod_{m=0}^{... ...splaystyle \int \!dx_k p(x_k\vert x_0) \phi_k \;\mbox{[Gl. (\ref{defP})]} }$$

$$\times \underbrace{ \int \! d(\Delta_... ...!dx_{k+1} p(x_{k+1}\vert x_k) \Delta_\rho x_k \;\mbox{[Gl. (\ref{defP})]} }$$

$$\times \underbrace{ \int\left( \prod_... ...^\infty \!dx_N p(x_N\vert x_{k+1}) (x_N-x_s) \;\mbox{[Gl. (\ref{defP})]} }$$

$$= \int \!dx_k p(x_k\vert x_0) \phi_k \!\int \! dx_{k+1} p(x_{k+... ... \Delta_\rho x_k \!\int_{x_s}^\infty \!\!dx_N p(x_N\vert x_{k+1}) (x_N-x_s)$$

$$= \int \!dx_k p(x_k\vert x_0) \phi_... ...a_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N} \;\mbox{[Gln. (\ref{kolmo}, \ref{mean2})]} }$$

$$= \int_{-\infty}^\infty \!dx_k p(x_k\vert x_0) \phi_k \!\int_{x_s}^\infty \!\!dx_N (x_N-x_s) <\!\Delta_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N} .$$ (77)

Hierbei ist $p(x_k\vert x_0)$ = $p(x_k)$, also die Wahrscheinlichkeit für $x_k$ zum Zeitpunkt $t_k$. Analog sind $p(x_{k+1}\vert x_k)$ sowie $p(x_N\vert x_{k+1})$ Spezialfälle der allgemeinen Definition,

$$p(x_n\vert x_k) \!=\!\! \int\!\!\left( \prod_{m={k}}^{n-1} ... ...\!\! \sum_{m=k}^{n-1}\Delta_\rho x_m(1+\rho)^{n-m-1}\right) ,$$ (78)

die Wahrscheinlichkeit von $x_{k+1}$ zur Zeit $t_{k+1}$ nach $x_N$ zur Zeit $t_N$ zu gelangen. Insbesondere ist $p(x_N\vert x_k)$ also noch von $x_k$ abhängig. Es gilt

$$p(x_n\vert x_k) =p(x_n\vert x_k) = \int\! dx_l p(x_n\vert x_l) p(x_l\vert x_k) .$$ (79)

Weiterhin bezeichnet

$$<\!\Delta_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N} = \!\int \! dx_{k+1} p(x_N\vert x_k) \Delta_\rho x_k ,$$ (80)

den Mittelwert von $\Delta_\rho x_k$ über alle Pfade, die von $x_k$ nach $x_N$ gehen, gewichted mit $p(x_N\vert x_k)$. Diese Größe kann also ungleich Null sein selbst wenn $<\!\Delta_\rho x_k\!>$ = 0.