Seminar zur Knotentheorie im Sommersemester 2021

Prof. Dr. Joachim Lohkamp, Matthias Kemper

Seminar für Bachelor- und Masterstudierende der Mathematik

Learnwebkurs, Eintrag im Vorlesungsverzeichnis

Ein mathematischer Knoten ist eine Einbettung der S1 in den ℝ3 – anders als bei den meisten Alltagsknoten werden die beiden Enden eines Seils also verbunden, um eindeutig über die Topologie des Knotens sprechen zu können. Nun kann man sich fragen, ob sich zwei gegebene Knoten durch Verformungen ineinander überführen lassen, also äquivalent sind, oder ob ein Knoten vielleicht nur kompliziert aussieht, aber in Wirklichkeit äquivalent zu einem unverknoteten Seil ist. Schön wäre es beispielsweise, wenn man diese Eigenschaften direkt an zweidimensionalen Projektionen, den Knotendiagrammen, ablesen könnte.

Tatsächlich gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese ursprünglich topologischen Fragestellungen zu algebraisieren, so reichen etwa drei Typen von Manipulationen von Knotendiagrammen, die Reidemeisterbewegungen, schon aus, um äquivalente Knotendiagramme ineinander zu überführen. Seit etwa 100 Jahren werden zudem regelmäßig neue Knoteninvarianten entdeckt, also einem Knoten(diagramm) zugeordnete Größen, die nur von der Äquivalenzklasse abhängen. Damit kann man sehr viele Knoten voneinander unterscheiden, aber es ist noch eine offene Frage, ob die bekannten Knoteninvarianten schon zur Unterscheidung aller Knoten ausreichen.

Große Teile der Knotentheorie sind elementar und ohne große Vorkenntnisse gut verständlich, doch viele Ideen und Prinzipien in der Entwicklung der Theorie tauchen analog auch in größeren, komplexeren Theorien wieder auch, was Knotentheorie zu einem beliebten Einstiegsseminarthema macht. Wir werden im Seminar auch Anwendungen behandeln, sowohl innermathematisch als auch in der Biologie: Die Natur hat tatsächliche kleine Maschinen erfunden, die DNA-Stränge aneinander vorbeiführen und somit die Topologie von DNA-Knoten ändern kann. Passenderweise heißen sie Topoisomerasen.

Dieses Seminar richtet sich an Mathematikstudierende ab dem vierten Semester, über die Grundlagenvorlesungen hinausgehende Kenntnisse werden nicht erwartet. Es könen auch anspruchsvollere Seminarthemen für fortgeschrittene Bachelor- oder Masterstudierende vergeben werden.

Mögliche Vortragsthemen:

  • Definitionen und zentrale Fragestellungen
  • Knoten und Flächen
  • Geometrie von Knoten
  • Knoteninvarianten
  • Knoten und 3-Mannigfaltigkeiten
  • Knoten in höheren Dimensionen
  • Anwendungen in der Biologie

Weitere Details zu den Vortragsthemen und Literatur im Learnweb.

Vorbesprechung zu Semesterbeginn via Zoom (Zugangsdaten im Learnweb). Bei Interesse können Sie sich vorher gerne bei Matthias Kemper melden oder in den Learnwebkurs einschreiben.