Arithmetische Geometrie
Modulformen, diskrete arithmetische Gruppen, Gitter, Geometrie des Laplace-Operators, Selbergsche Spurformel und Codes
Klassische holomorphe Modulformen einer oder mehrerer Variablen spielen bei der Untersuchung quadratischer Formen (Gitter) eine bedeutende Rolle. In Zusammenarbeit
mit Prof. W.K. Chan hat Prof. Dr. M. Peters einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen quaternären quadratischen Formen
und Hilbertschen Modulflächen vertieft. Ist die Diskriminante D eines reell-quadratischen Körpers gleich einer Primzahl p kongruent zu 1
mod 4, so wurde von verschiedenen Autoren beobachtet, dass die Zahl der Klassen (im engeren Sinne) von quaternären positiv definiten geraden
quadratischen Formen mit der Diskriminante p gleich dem arithmetischen Geschlecht einer Hilbertschen Modulfläche ist. Dieser Sachverhalt wird von den
beiden Autoren ausgedehnt auf den Fall D=4p mit einer Primzahl p kongruent zu 3 mod 4, und es wird numerisches Material bereitgestellt,
welches die Vermutung stützt, dass der oben genannte Satz für alle Diskriminanten D gilt. – Bei der Diskussion der Darstellung ganzer Zahlen
durch ternäre Formen taucht das äußerst schwierige Problem der Bestimmung der "Ausnahme-Zahlen" auf, die durch die betr. Form nicht
darstellbar sind. Für die Form xy + yz + zx sind 18 Ausnahme-Zahlen bekannt, und man weiß, dass es höchstens noch
eine weitere (unbekannte) sehr große Ausnahme gibt. Dieselben 18 Zahlen treten auf als Ausnahme-Diskriminanten, für welche keine unzerlegbaren
positiv definiten binären quadratischen Formen existieren. In einer Note von Herrn Peters wird gezeigt, dass für beide Probleme die gleichen
Ausnahme-Zahlen existieren. Die
weitere Arbeit am Teilbereich während des Berichtszeitraums konzentrierte sich auf drei verschiedene Projekte aus dem Themenkreis der reell-analytischen
automorphen Formen, Spektraltheorie des Laplace-Operators und der Selbergschen Spurformel im Fall des dreidimensionalen hyperbolischen Raums H.
In einem ersten Projekt
(bearbeitet von Dr. C. Blex) wird mit Hilfe eines Theta-Lifts eine explizite Version der Jacquet-Langlands-Korrespondenz hergestellt. Der Theta-Lift
überführt Eigenfunktionen des Laplace-Operators zu gewissen kokompakten Quaternionengruppen in Spitzenformen zu einer gewissen Hecke-Gruppe, deren
Stufe explizit angegeben werden kann. Auch in umgekehrter Richtung wird ein Theta-Lift konstruiert. Die beiden Lifts sind adjungiert in bezug auf das Peterssonsche
Skalarprodukt. In der Fourier-Entwicklung der zuerst genannten gelifteten Formen treten Hecke-Operatoren zur betr. Quaternionengruppe auf. Diese werden genau
untersucht. Insbesondere besitzen die mit den Eigenwerten der Hecke-Operatoren gebildeten Dirichlet-Reihen Eulersche Produktentwicklungen. In
einem zweiten Projekt (bearbeitet von Dr. Barbara Dickhut) werden Thetalifts von Poincaré-Reihen und Eisensteinreihen studiert. Die Thetalifts der
Poincaré-Reihen mit von 0 verschiedenem Index liefern Zetafunktionen. Diese lassen sich (im Spezialfall einer quaternären Form S, zu welcher der
Kern des Thetalifts gebildet wird) als Funktion zweier Parameter w , w0 aus dem oberen Halbraum auffassen. Das ermöglicht eine Darstellung der
Zetafunktion als Linearkombination Poincaréscher Reihen, wie sie in ähnlicher Form bekannt sind, und damit liegen die analytischen Eigenschaften der
Zetafunktion offen zutage. Der Thetalift der Eisensteinreihe ist a priori gar nicht definiert. Die Anwendung der Rankin-Selberg-Methode auf die Thetafunktion ergibt
jedoch eine Zetafunktion, die man als regularisierten Lift der Eisensteinreihe auffassen kann, und die Rankin-Selberg-Methode liefert die analytischen Eigenschaften
dieser Zetafunktion.
In einem dritten Projekt (bearbeitet von Dr. Nicole Raulf) wird die Spur der Hecke-Operatoren auf den Eigenräumen des Laplace-Operators zu einem
festen Eigenwert bestimmt. Es gelingt Frau Raulf, die teilweise recht komplizierten Beiträge der verschiedenen Konjugationsklassen in zahlentheoretischen
Termen (quadratische Formen, Lösungen einer modifizierten Pellschen Gleichung) auszudrücken. Am Ende erscheint ein Ausdruck der gesuchten Spur als
Residuum einer neuartigen L-Reihe, die mit Hilfe der genannten zahlentheoretischen Daten definiert wird.
Projektdauer:
Drittmittelgeber:
Beteiligte Wissenschaftler:
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