Arithmetische Geometrie
Kohomologietheorien und Motive
Es gibt in der arithmetischen Geometrie eine ganze Reihe von Kohomologietheorien, die in subtiler Weise zahlentheoretische und geometrische Informationen enthalten.
Man unterscheidet zwischen den mit Zusatzstrukturen versehenen geometrischen Kohomologietheorien, wie etwa der Hodge-Kohomologie, und den arithmetischen
Kohomologietheorien, wie etwa der durch K-Theorie definierten absoluten Kohomologie. Insbesondere die p-adischen Kohomologietheorien sind in den letzten Jahren im
Rahmen der Fontaine-Jannsen-Vermutungen und der Iwasawa-Theorie sehr intensiv untersucht worden. Grothendieck hatte in den späten 60er Jahren die
Einsicht, dass alle geometrischen Kohomologietheorien Realisierungen einer universellen Theorie mit Werten in einer abelschen Kategorie sein sollten, deren Objekte er
Motive nannte. Die Theorie der Motive ist heute ein Schwerpunkt in der arithmetischen Geometrie. Man beschäftigt sich mit Ansätzen zu ihrer Konstruktion
und versucht, die diversen sehr tiefliegenden Vermutungen über sie wenigstens in Spezialfällen zu beweisen. Insbesondere interessiert man sich für
klassische und p-adische Perioden sowie für Erweiterungen von Motiven.
Es wurden im Rahmen dieses Teilprojektes folgende Unterpunkte behandelt:
Motivische
und dynamische Kohomologie
Arakelov-Theorie
Perioden p-adischer Modulformen
Höhere
Kohomologieoperationen
Galois-Kohomologie und Normenreste
Analogien von
arithmetischer Geometrie und dynamischen Systemen
