Erwartungswertprinzip (Bachelier)

Hehmen wir an, daß die am Termingeschäft beteiligten Parteien nicht anderweitig mit dem Underlying handeln, sondern nach Abschluß des Kontraktes schlicht auf den Fälligkeitstermin warten. Kommt Forwardkontrakt zustande so ist dann der Verlust(bzw. Gewinn) des Halters der Long-Position der Gewinn (bzw. Verlust) des Halters der Short-Position (Nullsummenspiel). Dies ist in Abb. 2. dargestellt. Von einem fairen Preis sollte man also erwarten, daß der erwartete Gewinn für beide Parteien gleich, d.h. also Null, ist. (Vgl. aber nächsten Abschnitt.) Der Schreiber eines Forwards (short position), beispielsweise, erhält zum Fälligkeitstermin $t_N$ die Summe $F$ und muß dafür das Underlying liefern zum aktuellen Preis $x_N$. Seine Vermögensänderung zur Zeit $t_N$ ist dann also

$$\Delta W = F-x_N .$$ (1)

Ein fairer Preis sollte also die erwartete Vermögensänderung auf Null setzen $<\Delta W_N>$ = 0. Es ergibt sich also

$$<\Delta W> = 0 \Rightarrow F = <x_N> ,$$ (2)

worin $<x_N>$ den Erwartungswert des Underlyingkurses bezeichnet.

Abbildung 2: Abhängigkeit des Gewinns von Aktuellen Preis des Underlyings am Fälligkeitstermin beim Halten der Long-Position eines Terminkontraktes.