Symmetrie und Physik - WS 2014/15
(Vorlesung, 3 SWS)
Veranstaltungs-Nr. 110936
Dozent
| Prof. Dr. Claus Falter |
| Institut für Festkörpertheorie |
| IG 1, R. 710, Tel. 33585 |
Termine
| Vorlesung | Mi, 16-18 | IG 1, SR 718 |
| Fr, 15-16 | IG 1, SR 718 | |
Inhalt der Vorlesung
- Einführung in die Thematik
- Überblick über Symmetrien in physikalischen Systemen
- zum Symmetriekonzept
- typische Beispiele für Konsequenzen der Symmetrie
- Einführung in die Gruppen- und Darstellungstheorie mit Anwendungen
- Forminvarianz physikalischer Gesetze
- Noether-Theorem
- verschiedene Anwendungen des Symmetriekonzepts in der Physik
Materialien zur Vorlesung
Kap. 1
| 1 | Einführung in die Thematik und Grundlagen |
| 1.1 | Symmetrie und ihr Anwendungsbereich |
| 1.2 | Definition einer Gruppe und Beispiele |
| 1.3 | Beispiel zur Invarianz eines physikalischen Problems |
| 1.4 | Das Noether'sche Theorem für diskrete Systeme (Mechanik) - Erhaltungssätze |
| 1.5 | Darstellung einer Gruppe - Beispiele |
| 1.6 | Darstellungsräume und Klassifikation der Spektren von Hamiltonoperatoren |
| 1.7 | Bemerkung zur Gravitationskraft - Extradimension - Ladungsbegriff |
| 1.8 | Spontane Symmetriebrechung bei lokaler Eichsymmetrie |
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Kap. 2
| 2 | Überblick und Relevanz von Symmetrien in physikalischen Systemen |
| 2.1 | Symmetrie als Ordnungs- und dynamische Prinzip |
| 2.2 | Verschiedene Arten von Symmetrien in physikalischen Systemen und ihre Konsquenzen |
| 2.3 | Der Minkowski-Raum der SRT |
| 2.4 | Charakterisierung von Ereignissen im Minkowski-Raum |
| 2.5 | Kontravariante und kovariante Vierervektoren |
| 2.6 | Mathematische Charakterisierung der Lorentz- bzw. Poincaré-Transformation |
| 2.7 | Tensoren im Minkowski-Raum |
| 2.8 | Vierertensorfelder im Minkowski-Raum |
| 2.9 | Einige Eigenschaften von Tensoren - Tensoralgebra |
| 2.10 | Einige Konsequenzen der Lorentz-Symmetrie der Minkowski Raum-Zeit (MRZ) für die Physik |
| 2.11 | Das Noether'sche Theorem für Felder-Erhaltungssätze - Die Elektrodynamik als Beispiel |
| 2.12 | Klassifikation physikalischer Zustände bei Poincaré-Symmetrie der Raum-Zeit |
| 2.13 | Naturgesetze als Tensorgleichungen im Minkowski-Raum |
| 2.14 | Synthese aus Minkowski Raum-Zeit und Quantenmechanik - Antiteilchen |
| 2.15 | Zur Paarerzeugung und Paarvernichtung in der Dirac'schen Löchertheorie - Zeitumkehrsymmetrie |
| 2.16 | Differentialgeometrische Formulierung der Eichtheorie |
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Kap. 3
| 3 | Symmetrie als dynamisches Prinzip |
| 3.1 | Symmetrie als dynamisches Prinzip |
| 3.2 | Übersicht über die fundamentalen Symmetrien und Wechselwirkungen |
| 3.3 | Elemente der Allgemeinen Relativitätstheorie |
| 3.4 | Spontane Symmetriebrechung einer lokalen Eichsymmetrie - Higgs-Mechanismus mit Eichfeld - Ginz-Landau-Modell der Supraleitung |
| 3.5 | Spontane Symmetriebrechnung einer globalen Eichsymmetrie - Goldstone Anregungen |
| 3.6 | Grundlegende Eigenschaften spontaner Symmetriebrechung |
| 3.7 | Higgsfeld als Inflatonfeld, abstoßende Gravitation und Expansion des Universums |
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Kap. 4
| 4 | Demonstration einiger Konsequenzen der Symmetrie für die Physik |
| 4.1 | Beispiele kontunierlicher Symmetrien in der klassischen Mechanik |
| 4.2 | Beispiele kontinuierlicher Symmetrien in der Quantenmechanik |
| 4.3 | Symmetrie und quantenmechanische Vertauschungsrelationen |
| 4.4 | Diskrete Symmetrien in der Quantenmechanik |
| 4.5 | Die Translationsgruppe des Kristalls - Bloch'sches Theorem - Klassifikation von Einteilchenspektren - Kramers Entartung |
| 4.6 | Verallgemeinerung auf den dreidimensionalen Fall |
| 4.7 | Einfluss von räumlichen Symmetrien und der Zeitumkehrsymmetrie auf die Entartung der elektronischen Bandstruktur eines Festkörpers |
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Kap. 5
| 5 |
Lie-Gruppe |
| 5.1 | Definition einer Lie-Gruppe - Infinitesimale Generatoren - Lie-Algebra |
| 5.2 | Zusammenhangseigenschaften des Parameterraumes - Darstellungen von Lie-Gruppen |
| 5.3 | Exponentialdarstellung von Lie-Gruppen |
| 5.4 | Simple und semisimple Lie-Algebra |
| 5.5 | Casimir-Operatoren einer Lie-Algebra |
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Kap. 6
| 6 | Vertiefung der Darstellungstheorie von Gruppen |
| 6.1 | Die Schur'schen Lemmata |
| 6.2 | Das Orthogonalitäts- und Vollständigkeitstheorem mit Anwendungen |
| 6.3 | Beispiel: Die irreduziblen Darstellungen von SU(2) und SO(3) |
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Kap. 7
| 7 | Symmetrieangepasste Funktionen - Entwicklungssatz - Symmetrisiertes Säkularproblem - Projektormethode |
| 7.1 | Erzeugung eines invarianten Darstellungsraumes - Orthogonalität von Basisfunktionen |
| 7.2 | Symmetrisiertes Eigenwertproblem - Blockdiagonalisierung |
| 7.3 | Entwicklung von Funktionen nach Basisfunktionen irreduzibler Darstellungen - Auswahlregeln - Peter-Weyl-Theorem |
| 7.4 | Ausreduktion des Darstellungsraumes mit Hilfe von Projektionsoperatoren |
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Kap. 8
| 8 |
Symmetrisiertes Säkularproblem - Auswahlregeln - Wigner-Eckart-Theorem |
| 8.1 | |
| 8.2 | |
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| Das Skript zur Vorlesung wird laufend ergänzt und korrigiert. |
| (letzte Änderung: 19.01.2015, 15:00 Uhr) |
Literatur zur Vorlesung
- M. Böhm: Symmetrien in der Festkörperphysik, Wiley-VCH (2002)
- G.J. Bradley: A.P. Cracknell: The Mathematical Theory of Symmetries in Solids, Clarendon, Oxfort (1972)
- W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics, Symmetries, Springer (1992)
- S.H. Kim: Group Theoretical Methods, Cambridge University Press (1999)
- W. Ludwig, C. Falter: Symmetries in Physics, Springer (1988, 1996)
- M. Wagner: Gruppentheoretische Methoden in der Physik, Vieweg (1998)
- E.P. Wagner: Group Theory and its Applications to Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press (1959)