Inverse Probleme sind heute eins der Hauptarbeitsgebiete der Angewandten Mathematik. Anders als bei direkten Problemen, bei denen man versucht, physikalische Vorgänge zu beschreiben (etwa durch partielle Differentialgleichungen), versucht man bei inversen Problemen, aus Beobachtungen auf deren Ursache zu schließen.
Typische Anwendungen finden sich zum Beispiel in der Bildverarbeitung. In der Computertomographie versucht man, aus den gemessenen Linienintegralen einer Funktion die Funktion selbst auszurechnen. In der Ultraschalltomographie versucht man, aus reflektierten Schallwellen eines Körpers den Körper zu bestimmen. Im geophysikalischen Problem wird versucht, aus gemessenen reflektierten Schallwellen des Erdinneren, die an der Erdoberfläche gemessen werden, die Zusammensetzung der Erdschichten anzugeben.
Inverse Probleme sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. die auszurechnenden Lösungen hängen unstetig von den Parametern ab. In dieser Situation helfen nur spezialisierte numerische Regularisierungen weiter.
In der Vorlesung werden wir zunächst mathematische Grundlagen erarbeiten (Fourieranalyse, Abtasttheoreme, Distributionstheorie, Regularisierung), und dann darauf aufbauend Anwendungen aus der Bildverarbeitung betrachten (oder andere, je nach Wunsch der Teilnehmer).
- Lehrende/r: Ramona Sasse
- Lehrende/r: Benedikt Wirth
- Lehrende/r: Frank Wübbeling