In der modernen theoretischen Mathematik haben sich in jüngster Zeit von den verschiedensten Seiten (algebraische Geometrie, mathematische Physik, Operatortheorie, Topologie) her neue Ansätze geometrischer Natur herausgebildet, die untereinander viele Gemeinsamkeiten aufweisen und die wir unter dem Begriff "Metageometrie" zusammenfassen wollen. Hierzu zählen Entwicklungen wie die L2-Kohomologie, Blätterungskohomologie, rigide Geometrie sowie weitere Begriffsbildungen in der algebraischen oder in der nichtkommutativen Geometrie. In diesen Theorien werden geometrische Begriffe und Denkweisen in ungewohnten Zusammenhängen angewandt. Vor allem aber geht es um die Entwicklung neuer nichtklassischer geometrischer Methoden, die klassische geometrische Begriffe wie Dimension, de Rham-Kohomologie, Poincaré-Dualität usw. auf ein neues Fundament stellen und gleichzeitig flexibler sind und einen wesentlich größeren Anwendungsbereich besitzen.
Auch in der Topologie sind ähnliche Entwicklungen zu beobachten. Im Zusammenhang mit der Untersuchung von singulären Räumen, Blätterungen oder Gruppenwirkungen werden verstärkt analytische, K-theoretische und nichtkommutative Methoden eingesetzt. Typische Beispiele von Problemen, die mit solchen Methoden behandelt werden können, sind etwa die Novikov- oder die Baum-Connes-Vermutung.
Die neuen metageometrischen Methoden befinden sich in der Entwicklung und sind zum großen Teil noch nicht adäquat in Lehrbüchern verfügbar. Sowohl unter dem Gesichtspunkt der Forschung als auch der Ausbildung erscheint es sinnvoll, die gemeinsamen Aspekte bei diesen Entwicklungen zusammenzufassen und stärker in den Vordergrund zu stellen. Eine übergreifende Grundlage bilden dabei insbesondere homologische und K-theoretische Methoden.ert.
Prof. Dr. Wolfgang Lück Sprecher des Graduiertenkollegs
