Masterseminar:

Variationsrechnung

SS 2018

Dozent:  JProf. Dr. Manuel Friedrich
 Prof. Dr. Benedikt Wirth

Informationen zum Seminar

Zeit, Ort: Mi., 12:00-14:00, SRZ 105 oder Do., 12:00-14:00, N 1
Beginn: tba
Inhalt: Die Variationsrechnung ist einer der klassischen Bereiche der Mathematik (die Bezeichnung geht auf Euler zurück). Die zentrale mathematische Fragestellung besteht darin, eine Funktion u zu finden, die ein Integral-Funktional minimiert. Viele Probleme aus der Analysis, Geometrie oder Modellierung von Problemen aus der Physik, den Wirtschaftswissenschaften oder der Biologie lassen sich als Variationsprobleme formulieren. Ein klassisches Beispiel ist die Bestimmung der Brachistochrone, der schnellsten Rutsche zwischen zwei Punkten. Ebenfalls klassisch und noch hochaktuell ist die Untersuchung von Minimalflächen.
Voraussetzungen:  Analysis I-III, Vorkenntnisse in partiellen Differentialgleichungen sind hilfreich.
Vorbesprechung: Mo., 22.01.2018, 13:00-14:00, Raum 120.029/030 (Besprechungsraum Angewandte Mathematik)
Leistungsnachweis: 60- bis 75-minütiger Seminarvortrag und didaktisch aufbereitete Ausarbeitung (ca. 10-seitiges Handout, dieses soll eine Woche vor dem Vortrag vorgelegt werden, um zusätzliche Hilfestellungen geben zu können)
Vortrags-Themen:  Wir werden im Seminar Kapitel aus Lehrbüchern (Dacorogna: Introduction to the Calculus of Variations; Jost, Li-Jost: Calculus of Variations; beide im Semesterapparat) sowie weiterführende Forschungsartikel zu den Themen behandeln. Zur Motivation des Themas und zur Auffrischung der Analysis-Werkzeuge sind alle Seminarteilnehmer angehalten, die Kapitel 0-1 aus Dacorognas Buch eigenständig zu lesen. Im Folgenden eine vorläfige Liste an Seminarthemen:
  1. Euler-Lagrange-Gleichungen und klassische Methoden.
    Dacorogna, Kap. 2 (S. 45-71)
    Ausarbeitung
  2. Direkte Methode der Variationsrechnung.
    Dacorogna, Kap. 3 (S. 79-97)
    Ausarbeitung
  3. Relaxation und Regularität.
    Dacorogna Kap. 3.6-4.3 (S. 107-123)
    Ausarbeitung
  4. Minimalflächen.
    Dacorogna Kap. 5 (S. 127-151)
    Ausarbeitung
  5. Gamma-Konvergenz und Anwendungsbeispiele.
    Jost, Li-Jost, Teil II Kap. 6 (S. 225-240)
    Ausarbeitung
  6. Gamma-Konvergenz und Phasenübergänge.
    Jost, Li-Jost, Teil II Kap. 5 (S. 241-256)
  7. Phasenfeld-Modell zur Bildsegmentierung.
    Ambrosio, Tortorelli: Approximation of Functionals Depending on Jumps by Elliptic Functionals via Gamma-Convergence (längerer Artikel, Teile können ggfs. ersetzt werden durch ein Kapitel aus dem Lehrbuch Braides: Gamma-Convergence for Beginners)
  8. Isoperimetrische Ungleichung (eine Kugel minimiert die Oberfläche).
    Fusco, Maggi, Pratelli: The sharp quantitative isoperimetric inequality (längerer Artikel, Teile können ggfs. ersetzt werden durch Abschnitte aus der Vorlesung Fusco: The stability of the isoperimetric inequality)
    Ausarbeitung
  9. Ein Kreis minimiert die Biege-Energie.
    Ferone, Kawohl, Nitsch: The elastica problem under area constraint
  10. Transportnetzwerkmodelle.
    Xia: Optimal paths related to transport problems
  11. Linearisierte Elastizität als Grenzfall nichtlinearer Elastizität.
    Dal Maso, Negri, Percivale: Linearized Elasticity as Gamma-Limit of Finite Elasticity
  12. Beschreibung atomarer Kristalle.
    Au Yeung, Friesecke, Schmidt: Minimizing atomic configurations of short range pair potentials in two dimensions: crystallization in the Wulff shape
  13. Dimensionsreduktion: Elastizität von dünnen Platten.
    Friesecke, James, Müller: A Theorem on Geometric Rigidity and the Derivation of Nonlinear Plate Theory from Three-Dimensional Elasticity (längerer Artikel)
  14. Modellierung und numerische Approximation von Bimetallen.
    Bartels, Bonito, Nochetto: Bilayer plates: model reduction, Gamma-convergent finite element approximation and discrete gradient flow
  15. Numerische Approximation von Computer Graphik Shapes.
    Heeren, Rumpf, Wirth: Variational time discretization of Riemannian splines
Wenn Sie am Seminar teilnehmen möchten, tragen Sie bitte bis zum 11.3.2018 bis zu drei Präferenzen unter dieser Umfrage ein. Gibt es zu viele Anwärter für ein Thema oder haben Sie Spezialwünsche, können noch ähnliche/weitere Artikel gefunden werden (bei der Themenvergabe wird auch berücksichtigt, wer sich zuerst für ein Thema interessiert hat).

Vortragsübersicht: