Sonderforschungsbereiche
Sonderforschungsbereich 478 "Geometrische Strukturen in der Mathematik"
Arithmetische Geometrie

Modulformen, diskrete arithmetische Gruppen,
Gitter, Geometrie des Laplace-Operators, Selbergsche Spurformel und Codes

Modulformen verschiedenen Typs treten in zahlreichen Zusammenhängen auf. Die wohlbekannten klassischen holomorphen Modulformen, ihre Shimura-Lifts und die Theorie der elliptischen Kurven haben zu einer vollständigen Antwort auf die höchst nichttriviale Frage nach der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen durch die bekannte Kaplanskysche ternäre quadratische Form

x² + y² + 7z² (und durch die zweite Form im Geschlecht der Kaplansky-Form) geführt. Der Beweis gelingt unter der Annahme der Richtigkeit einer verallgemeinerten Riemannschen Vermutung.

Auf dem Gebiet der reell-analytischen automorphen Funktionen werden zwei Projekte über Theta-Lifts bearbeitet. Einmal wird die Siegelsche Thetareihe zu einer geeigneten indefiniten quadratischen Form eingeführt und ihr Transformationsverhalten unter geeigneten arithmetischen Untergruppen der Gruppe der komplexen zweireihigen Matrizen mit der Determinante 1 geklärt. Das Skalarprodukt dieser Thetareihe mit einer in der Spitze von SL(2,R) (R = Ring der ganzen Zahlen eines imaginärquadratischen Zahlkörpers mit der Klassenzahl 1) exponentiell verschwindenden Poincará-Reihe liefert eine bemerkenswerte Zetafunktion. Diese lässt sich als Poincarásche Reihe zu einer geeigneten Punkt-Paar-Invarianten schreiben, wenn man die Majorante der indefiniten Form in geeigneter Weise von einem Punkt im dreidimensionalen hyperbolischen Raum abhängen lässt. Mit Hilfe einer Spektralentwicklung gelingt dann die Bestimmung wesentlicher analytischer Eigenschaften der Zetafuntion. Zusätzlich ergibt sich eine bemerkenswerte Formel für die Fourier-Koeffizienten von Spitzenformen.

In einem zweiten Projekt wird der Theta-Lift benutzt, um eine explizite Version der Jacquet-Langlandsschen Korrespondenz für den Fall des dreidimensionalen hyperbolischen Raums H³ herzuleiten. Der Theta-Lift überführt Eigenfunktionen zu einer kokompakten Quaternionengruppe in Eigenfunktionen zu einer geeigneten Hecke-Gruppe mit gleichem Eigenwert. Dabei ist der Thetalift verträglich mit den Aktionen der jeweiligen Hecke-Operatoren.

In einem weiteren Projekt wird die Spur der Hecke-Operatoren auf dem Raum der Maaß-Formen zu einem festen Eigenwert des Laplace-Beltramischen Operators auf L² (SL (2,R) \ H³) bestimmt. Das erfordert die Bestimmung der einzelnen Beiträge der jeweiligen Konjugationsklassen zur Spur. Dabei treten im Fall der Dimension 3 Phänomene auf, die im Fall der hyperbolischen Ebene nicht vorkommen.

Im Rahmen des Projekts wurden (bzw. werden) folgende Themen behandelt:

1. Darstellbarkeit natürlicher Zahlen durch Kaplanskys ternäre quadratische Form.
2. Theta-Lifts von Poincará-Reihen und Zetafunktion.
3. Explizite Konstruktion von Maaß-Formen zu Hecke-Gruppen mit Hilfe von Theta-Lifts von Maaß-Formen zu Quaternionengruppen.
4. Bestimmung der Spur von Hecke-Operatoren auf den Eigenräumen des Laplace-Operators.

Drittmittelgeber:

Deutsche Forschungsgemeinschaft

Beteiligte Wissenschaftler:

Prof. Dr. Jürgen Elstrodt (Leiter), Prof. Dr. Meinhard Peters, Christian Blex, Barbara Dickhut, Nicole Raulf, Dr. Thomas Reinke