Handelsstrategien zur Risikominimierung

Um die Behandlung von Optionen vorzubereiten und die grundlegenden Begriffe einzuführen leiten wir den fairen Preis eines Forwardkontraktes nocheinmal etwas formaler her. (Die Vorgehensweise entspricht der in [2].) Es seien $W_n$ das Gesamtvermögen eines Akteurs zum Zeitpunkt $t_n$, von dem wir nun annehmen, daß es sich aufteilt in Barvermögen $B_n$ und $\phi_n$ Anteile eines frei handelbaren Underlyings (von welchem wir nun annehmen es handele sich um eine Aktie) mit einem Stückpreis (Kurs zum Zeitpunkt $t_n$) von $x_n$. Für das Gesamtvermögen zum Zeitpunkt $t_n$ gilt also

$$W_n = B_n + \phi_n x_n .$$ (4)

Weiterhin nehmen wir an, dem betrachteten Akteur stehe eine risikolose Anlageform für sein Geldvermögen zur Verfügung mit dem Zinssatz $r$. Konkret heißt das, in dem Zeitraum $\tau$ = $t_{n+1}-t_n$, vermehre sich das Geldvermögen $B_n$ um den Betrag $B_n \rho \approx B_n(1-e^{\rho})$, wobei $\rho$ = $r \tau$. Der Wert des Aktienvermögens ändert sich dagegen durch Änderung der Kurse $\Delta x_n$ = $x_{n+1}-x_n$.

Zur formalen Beschreibung ist es hilfreich die zeitliche Entwicklung des Vermögens $W_n$ in zwei Schritte zu unterteilen: (a) die zeitliche Veränderung des Vermögens durch Verzinsung des Geldes einerseits und die Veränderung des Aktienkurses andererseits. (b) die (instantane) Umschichtung des Vermögens zwischen Bargeld und Aktien. Dies führt auf folgendes Modell:

$${{\rm Geld}: \atop {\rm Aktien}:} \underbrace{ { B_n \atop ... ...laystyle \mbox{nochmals die gleiche Zeit:}\; t_{n+1}} \cdots .$$ (5)

(a) Die zeitliche Entwicklung des Vermögens in der Zeit $\tau$ = $\Delta t$ = $t_{n+1}-t_n$ ist daher

$$\Delta B_n^{(a)} = B_n \rho,$$ (6)

$$\Delta W_{n,\phi}^{(a)} = \phi_n \Delta x_n ,$$ (7)

wobei $\Delta x_n$ = $x_{n+1}-x_n$. und $W_{n,\phi}$ = $\phi_n x_n$.

(b) Eine Vermögensumschichtung bedeutet Aktienkauf bei Verminderung des Barvermögens bzw. Aktienverkauf bei Erhöhung des Barvermögens,

$$\Delta B_n^{(b)} = -\Delta \phi_nx_{n+1}$$ (8)

$$\Delta W_{n,\phi}^{(b)} = \Delta \phi_n x_{n+1} ,$$ (9)

wobei $\Delta \phi_n$ = $\phi_{n+1}-\phi_n$. Die Vermgensumschichtung selbst ist erfolgsneutral $\Delta W_n^{(b)}$ = 0. Insgesamt erhalten wir daher für die Änderung des Vermögens $\Delta W$ = $\Delta W^{(a)}$, d.h.,

$$\Delta W_n = B_n \rho + \phi_n \Delta x_n,$$ (10)

$$\Delta B_n = B_n \rho -\Delta \phi_n x_{n+1} .$$ (11)

Durch Iteration folgt

$$B_n = B_{n-1} + \Delta B_{n-1} = B_{n-1}(1+\rho)-\Delta\phi_{n-1} x_n$$

$$= B_{n-2}(1+\rho)^2 -\Delta\phi_{n-2} x_{n-1}(1+\rho) -\Delta\phi_{n-1} x_n$$

$$\cdots$$

$$= B_0(1+\rho)^n-\sum_{m=0}^{n-1}\Delta\phi_m x_{m+1} (1+\rho)^{n-m-1}$$

$$= (1+\rho)^n \Bigg(B_0-\sum_{m=0}^{n-1}\Delta\phi_m \underbrace{x_{m+1} (1+\rho)^{-(m+1)} }_{\displaystyle \widetilde x_{m+1}} \Bigg)$$

$$= (1+\rho)^n \left(B_0-\sum_{m=0}^{n-1}\Delta\phi_m \widetilde x_{m+1} \right) ,$$ (12)

mit diskontierten (auf $t_0$ abgezinsten) $\widetilde x_n$ = $x_n (1+\rho)^{-n}$. Damit erhalten wir ebenfalls

$$W_n = B_n + \phi_n x_n$$

$$= \underbrace{ B_0(1+\rho)^n }_{\mbox{verzinstes}\atop \mbox{Barkap... ...erzinsung}} \underbrace{ +\phi_n x_n }_{\mbox{Endkapital}\atop\mbox{in Aktien}}$$

$$= \underbrace{(W_0-\phi_0 x_0)}_{\displaystyle B_0} (1+\rho)^n+\phi_n x_n -\sum_{m=0}^{n-1}\Delta\phi_m x_{m+1} (1+\rho)^{n-m-1}$$

$$= (1+\rho)^n\Bigg(W_0-\phi_0 \underbrace{x_0}_{\displaystyle \widet... ...hi_m \underbrace{x_{m+1} (1+\rho)^{-(m+1)}}_{\displaystyle \widetilde x} \Bigg)$$

$$= (1+\rho)^n\big( W_0+ \underbrace{ \phi_n\widetilde x_n -\phi_0\wi... ..._{m+1} }_{ \displaystyle \sum_{m=0}^{n-1}\phi_m \Delta \widetilde x_{m} } \big)$$

$$= (1+\rho)^n\left( W_0+\sum_{m=0}^{n-1}\phi_m \Delta \widetilde x_m \right)$$ (13)

$$= (1+\rho)^n\left( W_0+\sum_{m=0}^{n-1}\phi_m [\widetilde x_{m+1}-\widetilde x_m] \right)$$

$$= W_0(1+\rho)^n+\sum_{m=0}^{n-1}\phi_m [x_{m+1}-(1+\rho)x_m](1+\rho)^{n-m-1} .$$ (14)

Hierbei haben wir benutzt, daß $W_0$ = $B_0+\phi_0x_0$, und, als diskretes Analogon einer partiellen Integration,

$$\sum_{m=0}^{n-1} \Delta \phi_m \widetilde x_{m+1}$$

$$= %%(1+\rho)^n \sum_{m=0}^{n-1} (\phi_{m+1}-\phi_m) \widetilde x_{m+1}$$

$$= %%(1+\rho)^n \left( \phi_n \widetilde x_n-\phi_0 \widetil... ...m=0}^{n-1} \phi_m (\widetilde x_m -\widetilde x_{m+1}) \right)$$

$$= %%(1+\rho)^n \left( \phi_n \widetilde x_n-\phi_0 \widetilde x_0 -\sum_{m=0}^{n-1} \phi_m \Delta \widetilde x_m) \right) .$$ (15)

Addieren wir für den Schlußabrechnungstag (zur Zeit $t_N$) noch die Vermögensänderung durch den zu erfüllenden Terminkontrakt ($F$ - $x_N$ aus der Sicht einer Short-Position), so erhalten wir

$$W_N = F -x_N + (1+\rho)^N\left( W_0+\sum_{m=0}^{N-1}\phi_m \Delta \widetilde x_m \right) ,$$ (16)

oder, mit $x_N$ = $\widetilde x_N (1+\rho)^N$ und $\widetilde x_N$ = $x_0 + \sum_{m=0}^{N-1} \Delta \widetilde x_m$,

$$W_N = F - (1+\rho)^N\left( x_0-W_0 - \sum_{m=0}^{N-1}(\phi_m -1)\Delta \widetilde x_m \right) .$$ (17)

Wir erkennen, daß die Wahl

$$\phi_m = 1,\quad \forall m ,$$ (18)

den Tradingterm vollständig eliminiert. Damit werden auch alle Zufallfaktoren, d.h. die probabilistische Entwicklung der Aktienkurse $x_n$ eliminiert. Die Wahl $\phi_m$ = $1$ minimiert also das Risiko für den Halter der Short-Position. Dies entspricht einer Hedgestrategie bei dem das Underlying zu Beginn, d.h. zur Zeit $t_0$, gekauft und bis zum Ende $t_N$ gehalten wird. Unter diesen Umständen ergibt sich

$$W_N = F - (1+\rho)^N\left( x_0-W_0 \right) .$$ (19)

Ein ``fairer'' Preis $F$ entspricht der Bedingung,

$$W_N = W_0(1+\rho)^N .$$ (20)

Es folgt

$$F=(1+\rho)^Nx_0 \approx x_0e^\rho ,$$ (21)

d.h. der faire Forwardpreis entspricht dem aufgezinsten Preis des Underlying zum Zeitpunkt $t_0$. Falls der Forwardpreis dieser Bedingung nicht genügt, sind daher Arbitragegewinne möglich. Idealerweise sorgen also entsprechende Arbitrageure dafür, daß sich dieser Preis am Markt einstellt. In der Praxis können allerdings z.B. nichtverschwindende Transaktionskosten und ein variables Zinsniveau $r$ zu Abweichungen führen.