In der Mathematik gibt es gewisse Strukturen, die anscheinend universell sind und in verschiedenen Problemkreisen immer wieder auftreten. Ihr Verständnis erlaubt es, unzählige ganz unterschiedliche Fragen mit einheitlichen Methoden erfolgreich zu bearbeiten. Der Sonderforschungsbereich konzentriert sich auf die geometrischen Strukturen, ihre Weiterentwicklung als Methodik und auf ihre Anwendungen. Dies betrifft Gebiete wie die Arithmetische Geometrie, Differentialgeometrie, Topologie, Analysis und Nichtkommutative Geometrie.
Als Beispiele übergreifender Methoden "geometrischer Strukturen" seien besonders Kohomologie- und K-Theorien genannt. Sie spielen in allen Projektbereichen eine große Rolle. So entstammt die K-Theorie ursprünglich der Topologie. Später hat sie über die Indextheorie zunächst Einzug in die Analysis auf Mannigfaltigkeiten gehalten und sich dann auch im Bereich der Nichtkommutativen Geometrie als eines der Haupthilfsmittel etabliert. Über den Regulator und seine Beziehung zu L-Funktionen sowie über die Theorie der Motive ist sie inzwischen auch in der arithmetischen Geometrie - einer Fortentwicklung der Zahlentheorie - wichtig geworden.
Eine Richtschnur in den Forschungsaktivitäten des Sonderforschungsbereichs sind verschiedene weltweit interessierende offene und sehr schwierige Probleme mit Langzeitpotential, wie etwa die Bloch-Kato-Vermutungen, die Baum-Connes-Vermutungen, Vermutungen von Atiyah, Hopf, Singer und viele weitere. Zu diesen Fragekreisen hat der SFB grundlegende Erkenntnisse beigesteuert. Die Verflechtung verschiedener Gebiete durch geometrische Strukturen wird für lange Zeit eine zentrale Entwicklung in der Mathematik darstellen.
Einen besonderen Schwerpunkt, den einzigen in Deutschland, hat der Sonderforschungsbereich in dem aufstrebenden Gebiet der Nichtkommutativen Geometrie entwickelt. Neben der Weiterentwicklung der Methodik dieses Gebietes fördert der Sonderforschungsbereich besonders seine vielfältigen topologischen und darstellungstheoretischen Anwendungen.
Der Sonderforschungsbereich arbeitet eng mit dem Graduiertenkolleg "Analytische Geometrie und Metageometrie" zusammen. Es ist mit dem Sonderforschungsbereich abgestimmt und sorgt für einen stetigen Zustrom an qualifizierten Mitarbeitern für den Sonderforschungsbereich.
Eine ganze Reihe der am SFB tätigen Nachwuchswissenschaftler/-innen hat inzwischen Rufe auf Professuren und sonstige Dauerstellen an anderen Universitäten des In- und Auslandes erhalten oder bereits angenommen.
Der Sonderforschungsbereich hat sich in den vergangenen Jahren fest in die internationale mathematische Landschaft eingefügt. Dies äußert sich insbesondere durch eine wachsende Zahl von Bewerbern und Bewerberinnen auf die ausgeschriebenen Mitarbeiterstellen.
Prof. Dr. Christopher Deninger Sprecher des SFB 478
