Modulformen, diskrete arithmetische Gruppen, Gitter, Geometrie des
Laplace-Operators, Selbergsche Spurformel und Codes

Modulformen verschiedenen Typs treten in zahlreichen Zusammenhängen auf. Selbst die wohlbekannten klassischen holomorphen Modulformen sorgen hier immer wieder für Überraschungen. So hat sich gezeigt, dass gewisse klassische Modulformen mit Spuren von Hecke-Operatoren auf L² (S²) zusammenhängen, und dies scheint nur ein Spezialfall allgemeinerer Beziehungen zu sein. Man weiss seit langem, dass klassische Modulformen mit Darstellungszahlen quadratischer Formen zusammenhängen. Auch Klassenzahlen quaternärer quadratischer Formen stehen in Beziehung zur Theorie der Modulformen, denn sie sind in gewissen Fällen gleich den arithmetischen Geschlechtern gewisser Hilbertscher Modulflächen.
Unter den reell-analytischen Modulformen sind in erster Linie die Eisenstein-Reihen zu nennen. Diese stehen in enger Beziehung zu Zetafunktionen binärer hermitescher und binärer quadratischer Formen. Dabei ergibt sich ein bemerkenswertes Wechselspiel mit der hyperbolischen Geometrie. - Auch auf dem dreidimensionalen hyperbolischen Raum lassen sich Thetareihen zu indefiniten binären quadratischen Formen einführen vermöge geeigneter Einbettung des hyperbolischen Raums in den Siegelschen Halbraum H² und Einschränkung der Siegelschen Thetareihen. Integration gegen eine Selbergsche Poincaré-Reihe liefert eine Zetafunktion. Die Diskussion dieser Zetafunktion mit Hilfe der Spektraltheorie führt auf Beziehungen zwischen Klassenzahlen biquadratischer Körper und Eigenfunktionen von - D zum kritischen Eigenwert 1. Diese Beziehungen werden bislang noch nicht "strukturell" verstanden. Im Rahmen des Projekts wurden folgende Themen behandelt:

• Spuren von Hecke-Operatoren auf L² (S²) und Modulformen
• Klassenzahlen quaternärer quadratischer Formen und Geschlechter Hilbertscher Modulflächen
• Darstellungen natürlicher Zahlen als Summen von Quadraten
• Eisensteinreihen auf dem dreidimensionalen hyperbolischen Raum und Zetafunktionen
• Spektraltheorie des Laplace-Beltramischen Operators und Klassenzahlen biquadratischer Körper

Drittmittelgeber:

Deutsche Forschungsgemeinschaft

Beteiligte Wissenschaftler:

Prof. Dr. Jürgen Elstrodt (Leiter), Prof. Dr. Meinhard Peters, Gilbert Greefrath, Ansgar Eichstädt