Das Haken-Zwanzig Modell

du/dt = ϵ u - us
ds/dt = -gs + (u^2)

Definition des Differentialgleichungssystems als Funktion

ODE[e_,g_]:={u'[t]==e u[t] - u[t] s[t],s'[t]==-g s[t]+u[t]^2}

Lösung des Systems wird durch NDSolve gegeben

ODEsol[e_,g_,x0_,y0_]:=NDSolve[{ODE[e,g],u[0]==x0,s[0]==y0},{u[t],s[t]},{t,0,100}]

Die Trajektorie wird als parametrischer Plot der Lösung definiert

ODETrajectory[e_,g_,x0_,y0_]:=ParametricPlot[Evaluate[{u[t],s[t]}/.ODEsol[e,g,x0,y0]],{t,0,100},PlotRange->{{-.5,.5},{-.5,.5}},Axes->False,Frame ->True]

Darstellung mehrerer Trajektorien in Abhängigkeit von ϵ mit g = 1

Um die Trajektorien und die Zeitreihen in Abhängigkeit des Parameters g zu plotten, kann der Befehl Manipulate verwendet werden

Manipulate[Show[ODETrajectory[ϵ,1,-.2,-.5],ODETrajectory[ϵ,1,.2,.5],ODETrajectory[ϵ,1,.5,.1],ODETrajectory[ϵ,1,-.5,.1],ODETrajectory[ϵ,1,-.2,.5],ODETrajectory[ϵ,1,0.2,-.5],ODETrajectory[ϵ,1,-.002,0],ODETrajectory[ϵ,1,.002,0],FrameLabel->{"u","s"},RotateLabel->False],{ϵ,-.75,.5}]

Darstellung mehrerer Trajektorien in Abhängigkeit von ϵ mit g = 1 zusammen mit der Näherung zweiter und vierter Ordnung an diezentrale Mannigfaltigkeit s= S(u) und den Fixpunkten

Die x- und y-Koordinate der Fixpunkte muss abschnittsweise unterhal und oberhalb des Bifurkationspunktes ϵ=0 definiert werden.

FPY[ϵ_]:=Piecewise[{{0,ϵ≤0},{Sqrt[ϵ],ϵ≥0}}]

FPX[ϵ_]:=Piecewise[{{0,ϵ≤0},{ϵ,ϵ≥0}}]

Manipulate[Show[ODETrajectory[ϵ,1,-.2,-.5],ODETrajectory[ϵ,1,.2,.5],ODETrajectory[ϵ,1,.5,.1],ODETrajectory[ϵ,1,-.5,.1],ODETrajectory[ϵ,1,-.2,.5],ODETrajectory[ϵ,1,0.2,-.5],ODETrajectory[ϵ,1,-.002,0],ODETrajectory[ϵ,1,.002,0],Plot[{x^2,x^2+2*x^4,x^2+2*x^4,0},{x,-0.5,0.5}],FrameLabel->{"u","s"},RotateLabel->False,Epilog->{PointSize[.02],Point[{0,0}],Point[{FPY[ϵ],FPX[ϵ]}],Point[{-FPY[ϵ],FPX[ϵ]}]}],{ϵ,-0.1,0.1}]