Ein Beitrag zur Theorie der subrekursiven Funktionen

Habilitationsschrift Mathematik

Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Andreas Weiermann – Februar 1994 – Meiner Frau Petra Inhaltsverzeichnis

Einleitung ii 1 Das Ordinalzahlbezeichnungssytem T (Ω) 1 2 Ausgezeichnete Hauptfolgen für T (Ω) 7 3 Totale Kollabierungsfunktionen für T (Ω) 22 4 Subrekursive Hierarchien 37

4.1 Die erweiterte Grzegorczyk-Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Die langsam wachsende Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Ein kurzer Beweis des Girardschen Hierarchiensatzes nach W.

Buchholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Die Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen … 54

5 Das Kollabierungstheorem 60 6 Der Übertragungssatz 73 7 Das Abstiegstheorem für Subtermmengen 77 8 Zum Vergleich der schnell und der langsam wachsenden Hier-

archie für große abzählbare Ordinalzahlen 83

Einleitung

In dieser Arbeit werden Eigenschaften von Funktionen gewisser subrekursiver Hierarchien untersucht und einige Verbindungen untereinander angegeben. Bei diesen Hierarchien handelt es sich typischerweise um Familien rekursiver Funktionen, die zumeist mit Ordinalzahlen aus einem vorgegebenen rekursiven Ordinalzahlenabschnitt A indiziert werden, derart daß für α < β ∈ A eine Funktion mit Index β bezüglich ihrer Berechnungskomplexität komplizierter ist als eine Funktion mit Index α. Beispiele von herausragender Bedeutung sind an dieser Stelle die sogenannte langsam wachsende Hierarchie ⟨G_{α} : α ∈ A⟩ und die schnell wachsende erweiterte Grzegorczyk-Hierarchie ⟨F_{α} : α ∈ A⟩, die folgendermaßen definiert sind:

\begin{matrix}G_{0}(x) := 0, & F_{0}(x) := x + 1, \\ G_{α+1}(x) := G_{α}(x) + 1, & F_{α+1}(x) := \underbrace{F_{α}(...F_{α}}_{x+1−fach}(x)...), \\ G_{λ}(x) := G_{λ[x]}(x), & F_{λ}(x) := F_{λ[x]}(x), \end{matrix}

falls λ ∈ A eine Limeszahl und ⟨λ[x] : x ∈ IN⟩ ihre ausgezeichnete Hauptfolge ist.^{1} Das Wachstum der G_{α} und F_{α} nimmt mit größer werdendem Index α zu.^{2} Ihre traditionelle Verwendung finden diese Hierarchien zum einen in der klassischen Beweistheorie, wo sie zur Klassifikation von in ,,vernünftigen“ formalen Systemen beweisbar rekursiven Funktionen herangezogen werden.^{3} Zum anderen werden diese Hierarchien in der Rekursionstheorie – und in jüngster Zeit auch in der theoretischen Informatik – für natürliche Klassifikationen von vorgegebenen Teilklassen rekursiver Funktionen verwendet. In der Literatur wurden Hierarchien vermutlich erstmalig von Hardy (1904) eingeführt.^{4} Er definierte:

1So soll etwa für Ordinalzahlen aus dem Abschnitt bis ε_{0} := min{ξ : ξ = ω^{ξ}} die Beziehung ω^{α+1}[x] := ω^{α} · (x + 1) gelten. Desweiteren gelte ω^{λ}[x] := ω^{λ[x]} für Limiten λ und (ω^{α} + β)[x] := ω^{α} + β[x] für ω^{α} + β > α, β. Ferner gelte ε_{0}[x] := ω_{x}(1), wobei ω_{0}(α) := α und ω_{n}(α) := ω^{ω_{n−1}(α)} für n > 0 definiert sei.

2Im Gegensatz zu beliebigen rekursiven Funktionen liefert für jede der gerade betrachteten Funktionen die Größenordnung ihrer jeweiligen Bildwerte ein Maß für die Anzahl der Schritte, die zu ihrer Berechnung benötigt werden. Aus diesem Grund heißen solche Funktionen auch subrekursiv.

3Ist etwa für ein derartiges die Peano-Arithmetik umfassendes formales System S die beweistheoretische Ordinalzahl ∥ S ∥ auf eine im Pohlerschen Sinne profunde Weise [vergleiche Pohlers (1993)] bestimmt worden, so beweist S für α < ∥ S ∥ die Totalität von F_{α} aber nicht mehr die von F_{∥S∥}.

H_{0}(x) := x,
H_{α+1}(x) := H_{α}(x + 1),
H_{λ}(x) := H_{λ[x]}(x),

falls λ ∈ A eine Limeszahl und ⟨λ[x] : x ∈ IN⟩ eine geeignet gewählte, gegen λ konvergierende Hauptfolge ist.^{5} Von großer Bedeutung für den Fortgang der Hierarchientheorie ist die 1953 von Grzegorczyk eingeführte Hierarchie ⟨F_{n} : n < ω⟩, die bereits weiter oben eingeführt wurde. Mit diesen Funktionen – genauer mit einer Variante dieser Funktionen – gab er eine kanonische Klasseneinteilung der primitiv rekursiven Funktionen an.^{6} Ein weiterer Meilenstein war zu Beginn der siebziger Jahre die Klassifikation von Kreisels ordinalrekursiven Funktionen [siehe Kreisel (1952)], welche genau die in der Peano-Arithmetik beweisbar rekursiven, bzw. genau die in Gödels T definierbaren [siehe Gödel (1958)] zahlentheoretischen Funktionen umfassen. Schwichtenberg (1971) und Wainer (1970) zeigten unabhängig voneinander, daß die ordinalrekursiven Funktionen mit verschiedenen, in natürlicher Weise längs ε_{0} definierter Hierarchien, etwa der Hardy-Hierarchie ⟨H_{α} : α < ε_{0}⟩ oder der Hierarchie ⟨F_{α} : α < ε_{0}⟩ klassifiziert werden können.^{7} Charakteristisch für die Funktionen aus den Hierarchien ⟨H_{α} : α < A⟩ und ⟨F_{α} : α < A⟩ ist ihr extrem schnelles Wachstum schon für relativ kleine Indizes. So sind etwa die Funktionen H_{ω^{ω}} und F_{ω} bereits nicht mehr primitiv rekursiv.^{8} Von gänzlich anderer Natur ist die oben eingeführte sogenannte langsam wachsende Hierarchie. Man überzeugt sich durch eine einfache transfinite Induktion davon, daß für α, β < ε_{0} mit ω^{α} + β > α, β das Homomorphieprinzip

4Der folgende kursorische Überblick erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Der Leser sei hier auf Rose (1984) verwiesen. Wir beschränken unsere Auswahl hier lediglich auf Beiträge, die unmittelbar mit der vorliegenden Arbeit in Verbindung stehen.

5Hardy verwendet seine Hierarchie übrigens, um ,,konstruktiv“ eine Skala von ℵ_{1} vielen verschiedenen zahlentheoretischen Funktionen anzugeben und damit einen alternativen Beweis der (eigentlich trivialen) Kardinalzahlungleichung 2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{1} zu erbringen.

6So ist etwa jede Funktion F_{n} primitiv rekursiv, aber nicht mehr die Funktion x ↦ F_{x}(x).

7Speziell ist jede Funktion H_{α} oder F_{α} für α < ε_{0} in der Peano-Arithmetik beweisbar rekursiv, aber keine der Funktionen H_{ε_{0}} oder F_{ε_{0}}.

G_{ω^{α}+β}(x) = (x + 1)^{G_{α}(x)} + G_{β}(x)

gilt. Damit gilt schließlich G_{ε_{0}}(x) = (x+1)_{x}(1) < F_{4}(x), wobei x_{0}(α) = α und x_{n}(α) := x^{x_{n−1}(α)} für n > 0 gesetzt sei. Die langsam wachsende Hierarchie ist also weitaus feiner aufgefächert als die anderen Hierarchien. Untersuchungen über das wechselseitige Majorisierungsverhalten zwischen der langsam und schnell wachsenden Hierarchie erwiesen sich als schwierig. Das erste korrekte Resultat in dieser Hinsicht wurde 1981 von Girard gezeigt. Er zeigte im Kontext der von ihm entwickelten Π_{2}^{1}-Logik die Äquivalenz^{9} der schnell wachsenden Hierarchie bis ε_{0}, der beweistheoretischen Ordinalzahl der Peano-Arithmetik, mit der langsam wachsenden Hierarchie bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})^{10} , der beweistheoretischen Ordinalzahl von ID_{1}^{11}. Dieses Ergebnis stieß auf ein derart großes Interesse, daß in der Folgezeit von verschiedenen Autoren alternative Beweise angegeben wurden.^{12} In Girard (1981) wird darüberhinaus skizziert, daß die schnell wachsende Hierarchie bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{n}+1}), der beweistheoretischen Ordinalzahl von ID_{n}, mit der langsam wachsenden Hierarchie bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1+n}+1}), der beweistheoretischen Ordinalzahl von ID_{1+n}, äquivalent ist. Speziell fallen die schnell und langsam wachsende Hierarchie zum ersten Mal bei ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}) – der ersten subrekursiv unerreichbaren Ordinalzahl^{13} – zusammen, wie Wainer schließlich 1989 im Kontext der sogenannten Baumordinalzahlen^{14} bewies. Wie verhalten sich aber nun die beiden Hierarchien für Ordinalzahlen oberhalb von ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω})? Zunächst einmal erscheint es aus Analogiegründen naheliegend zu sein, daß für ω ≤ α < Ω_{1} aufgrund von 1+α = α alle Ordinalzahlen der Gestalt ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{α}+1}) subrekursiv unerreichbar sind.^{15} Zumindest scheint es aber plausibel zu sein, daß alle Ordinalzahlen der Gestalt ψ_{Ω_{1}}(Ω_{λ}) für Limiten λ < Ω_{1} subrekursiv unerreichbar sind. Diese Vermutungen erweisen sich aber allesamt als falsch. In die richtige Richtung weist allein ein spezielles Ergebnis aus der Arbeit ,,A slow growing analogue of Buchholz’ proof“ von T. Arai (1991). Unter Zugrundelegung einer Hauptfolgenzuordnung, die deutlich von der klassisch vorgegebenen abweicht, wird gezeigt, daß die schnell wachsende Hierarchie bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{ω}+1}), der beweistheoretischen Ordinalzahl von ID_{ω}, mit der langsam wachsenden Hierarchie bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{Ω}+1}), der beweistheoretischen Ordinalzahl von ID_{≺^{∗}}^{16}, zusammenfällt. Aufgrund der unorthodoxen Hauptfolgenzuordnung fällt es nicht leicht, die von ihm erzielten Ergebnisse mit unseren zu vergleichen. Das Araische Ergebnis steht aber zumindest im Einklang mit den Resultaten unserer Arbeit, in der wir schnell und langsam wachsende Hierarchien, die entlang relativ großer Ordinalzahlen definiert sind, miteinander vergleichen. Unseren Untersuchungen legen wir hierbei speziell den Ordinalzahlenabschnitt bis ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0})^{17} zugrunde, der weit über die erste subrekursiv unerreichbare Ordinalzahl hinausragt.^{18} Zur Einführung der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie verwenden wir einen relativ neuen Ansatz der in Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) entwickelt wurde. Wir wollen die Bedeutung dieses Ansatzes im folgenden kurz erläutern. Zunächst ist von den üblichen Funktionen F_{α} bekannt, daß aus α < β immer schon F_{α}(x) < F_{β}(x) für alle hinreichend großen x ∈ IN folgt. Es erweist sich im allgemeinen als nichttrivial, – auch wenn die Ordinalzahlen aus einem vorgegebenen konstruktiven Bezeichnungsystem stammen, was üblicherweise der Fall ist – explizit für α < β eine natürliche Zahl c zu bestimmen, derart daß F_{α}(c+x) < F_{β}(c+x) für alle x gilt. Bei konkreten Anwendungen ist aber eine derartige Zusatzinformation äußerst nützlich. Die entscheidende Idee des neuen Ansatzes besteht nun darin, das (sich bei Anwendungen als schwerfällig herausstellende) Konzept der ausgezeichneten Hauptfolgen aus der Definition der Grzegorczyk-Hierarchie zu verbannen und durch ein besser Handzuhabendes zu ersetzen. Bei den üblichen Ordinalzahlbezeichnungssystemen werden Ordinalzahlen in eindeutiger Weise durch Termdarstellungen repräsentiert. So besitzt etwa jede echt positive Ordinalzahl α, die kleiner als ε_{0} ist, eine eindeutige Zerlegung der Gestalt α = ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{n}} mit α > α_{1} ≥ … ≥ α_{n}. Hat man nun rekursiv den Ordinalzahlen α_{1}, …, α_{n} eindeutige Darstellungen zugeordnet, wobei die Ordinalzahl 0 durch eine entsprechende Konstante bezeichnet werde, so induziert die Zerlegung von α eine eindeutige Darstellung von α. Jeder solchen Termdarstellung läßt sich nun in wohldefinierter Weise eine natürlich gegebene Termkomplexität, etwa die Anzahl der in der Darstellung auftretenden Zeichen zuordnen. Sei nun N(0) := 0 und für 0 < α < ε_{0} sei N(α) die Anzahl der Auftreten des Symbols für ω in der Termdarstellung von α, also N(α) := n + N(α_{1}) + ⋯ + N(α_{n}), falls α = ω^{α_{1}} + ⋯ + ω^{α_{n}} > α_{1} ≥ … ≥ α_{n}. In dieser Situation ist für jedes α < ε_{0} und d ∈ IN die Menge {β < α : N(β) ≤ d} endlich, da es nur endlich viele Termdarstellungen mit beschränkter Termkomplexität gibt. Für eine streng monoton wachsende Funktion p : IN → IN können wir daher modifizierte Hardy-Funktionen H_{α}^{p} wie folgt einführen:^{19}

8Als ,,Faustregel“ für den Vergleich von Hardy-Funktionen und den Funktionen F_{α} gilt im wesentlichen F_{α} = H_{ω^{α}}.

9Zwei Funktionenfamilien ⟨I_{α} : α ∈ A⟩ und ⟨I′_{α} : α ∈ A′⟩ heißen äquivalent, falls es zu jedem α ∈ A ein α′ ∈ A′ gibt, so daß I_{α}(x) < I′_{α′}(x) für alle x ∈ IN gilt und falls umgekehrt zu jedem α′ ∈ A′ ein α ∈ A existiert, derart daß I′_{α′}(x) < I_{α}(x) für alle x ∈ IN gilt.

10Wie üblich bezeichne ξ ↦ Ω_{1+ξ} die Aufzählungsfunktion der überabzählbaren Kardinalzahlen. Ω_{1} ist somit die erste überabzählbare Ordinalzahl. ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1}) ist dann die gemäß Schütte und Buchholz (1988) definierte abzählbare Kollabierung der nächsten Epsilon-Zahl oberhalb von Ω_{1}. Die Ordinalzahl ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1}) ist auch als Howard-Bachmann Ordinalzahl bekannt. Siehe auch Bachmann (1950), Howard (1972) und Pohlers (1989).

11Die Theorie ID_{1} formalisiert nichtiterierte induktive Definitionen. Allgemeiner formalisiert die Theorie ID_{α} α-fach uniform iterierte induktive Definitionen. Siehe auch Feferman (1970), Buchholz (1977) und Pohlers (1977).

12Vergleiche etwa Aczel (1980), Buchholz (1980), Cichon und Wainer (1983), Jervell (1979), Schwichtenberg (1980), Schmerl (1981).

13Die Begriffsbildung ,,subrekursiv unerreichbar“ geht unseres Wissens auf Wainer (1988) zurück und ist mengentheoretischer Terminologie nachempfunden. Eine reguläre Kardinalzahl κ heißt (schwach) unerreichbar, wenn κ die κ-te reguläre Kardinalzahl ist.

[Vergleiche auch Jech (1978).] Sieht man die Funktionen F_{α} wegen ihres starken Wachstumsverhaltens als subrekursiv reguläre Objekte an und identifiziert man eine Ordinalzahl α mit ihrer durch die Funktionen G_{α} induzierten direkten Limesdarstellung, so ist α, wenn die schnell und langsam wachsende Hierarchie bei α zusammenfallen, gewissermaßen das α-te subrekursiv reguläre Objekt.

14Die Klasse IB der abzählbaren Baumordinalzahlen ist induktiv definiert als die kleinste Klasse IB, die die 0 enthält, die mit a auch a ⊕ 1 enthält, und die mit jeder Funktion f : IN → IB auch f enthält. Die Baumordinalzahlen werden partiell geordnet durch die transitive Hülle der Relationen 0 ⪯ a, a ⪯ a ⊕ 1, f(n) ⪯ f.

15Vergleiche auch zwei entsprechende ,,Beweisskizzen“ in: Girard, Proof Theory and Logical Complexity: Part II, Abschnitt 11.5 (vervielfältigt).

16Vergleiche auch Feferman (1970) und Buchholz (1977).

17Die Ordinalzahl Λ_{0} ist definiert durch Λ_{0} := min{ξ : ξ = Ω_{ξ}}. ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) ist dann die gemäß Schütte und Buchholz (1988) definierte abzählbare Kollabierung von Λ_{0}. Die Ordinalzahl ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) ist nach Rathjen (1989) ferner als die beweistheoretische Ordinalzahl von (Π_{1}^{1} − T R)_{0}, eines Teilsystems der Zahlentheorie der zweiten Stufe, das die transfinit autonom iterierte Π_{1}^{1}-Komprehension formalisiert, bekannt.

18Die von uns entwickelten Methoden lassen sich sogar ohne weiteres auf wesentlich stärkere Ordinalzahlbezeichungssysteme anwenden, etwa auf das in Schütte (1986/87)

eingeführte Ordinalzahlbezeichnungssystem mit den dort eingeführten ausgezeichneten Hauptfolgen. Der größeren Durchsichtigkeit wegen beschränken wir uns aber auf den vorliegenden Fall, der bereits die Behandlung von im Pohlerschen Sinne ,,virtueller Wohlordnungen“ [siehe Pohlers (1981), Seite 356] in voller Allgemeinheit erfordert.

H_{0}^{p}(x) := x,

H_{α+1}^{p}(x) := H_{α}^{p}(x + 1),
H_{λ}^{p}(x) := max{H_{β}^{p}(x + 1) : β < λ & N(β) ≤ p(N(λ) + x)}.

Neben der strengen Monotonie von H_{α}^{p} erhält man unmittelbar das folgende effektive Majorisierungslemma:

(EML) α < β & N(α) ≤ p(N(β) + x) ⇒ H_{α}^{p}(x) < H_{β}^{p}(x).

Wählt man nun c ∈ IN derart, daß N(α) ≤ p(N(β) + c) gilt, so folgt H_{α}^{p}(c + x) < H_{β}^{p}(c + x) für alle x ∈ IN. Insbesondere gilt aus trivialen Gründen H_{α}^{p}(x) < H_{ω^{α}}^{p}(x) für alle x ∈ IN. In Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) wird gezeigt, daß für geeignet gewähltes p dieser Ansatz äquivalent zur klassischen Definition der Hardy-Funktionen ist. So ist zum Beispiel für p : IN → IN mit p(x) = 3^{x} jede Funktion H_{α} primitiv rekursiv in H_{α}^{p} und umgekehrt. Im Gegensatz zur Definition der ausgezeichneten Hauptfolgen, die für größer werdende Ordinalzahlen immer aufwendiger wird, ist der neue Ansatz immer ohne wesentliche Zusatzkomplikationen anwendbar und die essentiellen Monotonieeigenschaften der zugehörigen schnell wachsenden Hierarchien folgen immer aus dem gleichen einfachen Argument. Die außerordentlich gute Brauchbarkeit des neuen Ansatzes für beweistheoretische Anwendungen zeigte sich in Weiermann (1993) und Blankertz (1994), wo sich die Klassifikationen von beweisbar rekursiven Funktionen als Korollar zur üblichen Schnittelimination mit der von Pohlers eingeführten Methode der lokalen Prädikativität – ohne Verwendung metamathematischer Methoden – ergaben. Neben der schnell und langsam wachsenden Hierarchie führen wir noch eine natürliche Hierarchie von punktweisen Kollabierungsfunktionen ⟨C_{α} : α < ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0})⟩ ein.^{20} Diese ist im Gegensatz zu den üblichen Hierarchien durch syntaktische Operationen ohne Rückgriff auf ausgezeichnete Hauptfolgen definiert. Eine exakte Definition dieser Hierarchie wollen wir an dieser Stelle nicht angeben, da sie eine weitgehende Vertrautheit mit dem zugrundegelegten Bezeichnungssystem voraussetzt. Vereinfachend gesagt entsteht zunächst C_{x}(α), die punktweise Kollabierung von α an der Stelle x, aus dem α repräsentierenden Ordinalterm, indem man dort ω durch x, Ω_{1} durch ω, ...,Ω_{2+β} durch Ω_{1+C_{x}(β)} ersetzt und die übrigen Terme unter Verwendung sogenannter totaler Kollabierungsfunktionen^{21} in geeigneter Weise homomorph abbildet. Speziell werden die abzählbaren Kollabierungen ψ_{Ω_{1}}(β) auf F_{D_{Ω_{1}}(β)+1}(x), also auf Werte der schnell wachsenden Funktion abgebildet. Insgesamt wird durch diesen Prozeß jeder abzählbaren Ordinalzahl kleiner als ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) eine natürliche Zahl zugeordnet und man setzt schließlich C_{α}(x) := C_{x}(α) für α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}. Es zeigt sich, daß die C_{α} in natürlicher Weise eine nichtkollabierende subrekursive Hierarchie bilden. Die bezüglich dieser Hierarchie und der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie subrekursiv unerreichbaren Ordinalzahlen unterhalb von ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) haben genau die Gestalt ψ_{Ω_{1}}(Ω_{Ω_{..._{Ωω}}}). Im verbleibenden Teil der Arbeit wird gezeigt, daß zu jedem α < ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) eine natürliche Zahl c existiert, derart daß G_{α}(x) ≤ C_{α}(x + 2) für alle x ≥ c gilt. Als Korollar dieses tiefliegenden Sachverhaltes ergibt sich, daß alle Ordinalzahlen unterhalb von ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}), die nicht die Gestalt ψ_{Ω_{1}}(Ω_{Ω_{..._{Ωω}}}) haben, nicht subrekursiv unerreichbar sind. Es gibt also höchstens ω-viele subrekursiv unerreichbare Ordinalzahlen unterhalb von ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}).

19Dieser Ansatz ist offenbar mutatis mutandis auch für die erweiterte Grzegorczyk-Hierarchie anwendbar.

20Aus Wainer (1989) läßt sich entnehmen, daß die Funktion C_{α} für α < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}) im wesentlichen mit G_{α} übereinstimmt. In der Wainerschen Arbeit werden die punktweisen Kollabierungsfunktionen aber lediglich aus beweistechnischen Gründen eingeführt. Als Funktionen eigenen Rechts wurden die punktweisen Kollabierungsfunktionen erstmalig in Weiermann (1993a) eingeführt. Hier wurde gezeigt, daß sich bei terminierenden Termersetzungssystemen die Reduktionstiefe als Funktion der Termkomplexität des Startterms durch die punktweise Kollabierungfunktion des Ordnungstypus der zugrundeliegenden Terminationsordnung an der Stelle, die durch die Termkomplexität des Startterms gegeben wird, abschätzen läßt.

Organisation der Arbeit

In Abschnitt 1 führen wir das in Buchholz und Schütte (1988) definierte Ordinalzahlbezeichnungssystem T (Ω) ein. Im zweiten Abschnitt werden die traditionellen ausgezeichneten Hauptfolgen definiert. Ferner zeigen wir, daß diese Zuordnung die sogenannte Bachmann-Eigenschaft besitzt. Im nächsten Abschnitt werden die totalen Kollabierungsfunktionen entwickelt,^{22} die unter anderem in Abschnitt 4 für die Definition der punktweisen Kollabierungsfunktionen benötigt werden. In Abschnitt 4 führen wir die erweiterte Grzegorcyk-Hierarchie mittels des neuen Ansatzes von Buchholz, Cichon und Weiermann ein. Ferner definieren wir die langsam wachsende Hierarchie und geben in Anlehnung einer Ausarbeitung von Buchholz (1980) einen kurzen Beweis des Girardschen Hierarchiensatzes, der in der Folge als Paradigma für das weitere Vorgehen steht. Am Ende des Abschnittes führen wir die Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen ein, von der wir zeigen, daß sie eine nichtkollabierende Hierarchie bildet. Schließlich erfolgt eine vollständige Klassifizierung aller Ordinalzahlen, die bezüglich dieser Hierarchie subrekursiv unerreichbar sind. In den Abschnitten 5 bis 7 werden technische Resultate für den Vergleich der schnell wachsenden Hierarchie mit der langsam wachsenden Hierarchie in Abschnitt 8 bereitgestellt. Zum besseren Verständnis dieses komplexen und intuitiv schwer zu verstehenden Beweisgangs wollen wir an dieser Stelle dem Leser einen informellen Leitfaden an die Hand geben. Es sei α eine fixierte abzählbare Ordinalzahl des zugrundegelegten Bezeichnungssystems T (Ω). Die Relation β ⪯_{x} α bestehe, wenn β durch einen (eventuell nicht ausgeführten) Abstieg längs der ausgezeichneten Hauptfolge für α an der Stelle x erreicht wird, also β = (...(α \underbrace{[x])...)[x]}_{i−fach} für ein i ∈ IN. (Hierbei

21Totale Kollabierungsfunktionen sind Funktionen D_{Ω_{ξ+1}} : T (Ω) → {α ∈ T (Ω) : α < Ω_{ξ+1}}. Die durch das Bezeichnungssystem gegebenen Kollabierungsfunktionen α ↦ ψ_{π}(α)

operieren auf T (Ω) lediglich partiell, das heißt im allgemeinen ist ψ_{π}(α) für α ∈ T (Ω) nicht definiert.

22Da diese Theorie in der Literatur schwer verfügbar ist [vergleiche aber Buchholz und Schütte (1986)], haben wir in diesem Abschnitt der Vollständigkeit halber alle nichtselbstverständlichen Beweise ausgeführt.

sei γ[x] = γ′ vereinbart, falls γ = γ′ + 1.) Gelingt es nun, eine Funktion f : T (Ω) → T (Ω) anzugeben, die

(∗) (∀β)[0 < β ⪯_{x} α ⇒ f(β[x]) < f(β)]

erfüllt, so folgt G_{β}(x) ≤ f(β) für 0 < β ⪯_{x} α durch eine einfache transfinite Induktion nach β. Speziell gilt G_{α}(x) ≤ f(α). Unser Ziel wird nun darin bestehen, nachzuweisen, daß für hinreichend großes x die punktweise Kollabierungsfunktion ξ ↦ C_{x+2}(ξ) die Rolle einer solchen Funktion f übernehmen kann.^{23} Ein Beweis von (∗) für f = λξ.C_{x+2}(ξ) wird durch Induktion nach β geführt werden. Nehmen wir einmal an, es gälte

(∗∗) (∀γ, δ ⪯_{x} α)[γ < δ ≤ β[x] ⇒ f(γ) < f(δ)].

Dann ist f(β[x]) < f(β) zu zeigen. Für γ ∈ T (Ω) sei Sub(γ) (bzw. Sub_{Ω_{1}}(γ)) die Menge der Subterme von γ (bzw. die Menge der abzählbaren Subterme von γ). In Abschnitt 7 wird unter essentieller Ausnutzung der Bachmann-Eigenschaft der Hauptfolgenzuordnung gezeigt, daß für hinreichend großes x immer schon Sub_{Ω_{1}}(γ) \ {γ} ⪯_{x} γ[x] für alle γ ⪯_{x} α gilt. Speziell gilt also Sub_{Ω_{1}}(β) \ {β} ⪯_{x} β[x], wenn x nur genügend groß ist. Nach (∗∗) ist also f ordnungstreu auf Sub_{Ω_{1}}(β) \ {β}. In Kapitel 6 wird durch eine technisch aufwendige Verifikation gezeigt, daß das Ordnungsverhalten der Funktion f bereits durch ihr Ordnungsverhalten auf abzählbaren Ordinalzahlen vollständig festgelegt ist, und wir erhalten, daß f ordnungstreu auf Sub(β) \ {β} ist. Eine Funktion g : T (Ω) → T (Ω) heiße lokal ordnungstreu, falls für alle kardinalen Teilterme λ, λ′ von α mit λ < λ′ immer schon g(λ) < g(λ′) gilt. Insbesondere ist f lokal ordnungstreu. In Abschnitt 5 zeigen wir, daß f(β[x]) < f(β) gilt, wenn f lokal ordnungstreu ist. Der Beweis dieser Aussage ist relativ kompliziert und benötigt tiefliegende Hilfsmittel aus der Theorie der totalen Kollabierungsfunktionen, sowie an zentraler Stelle das effektive Majorisierungslemma für die schnell wachsende Hierarchie. Es würde an dieser Stelle zu weit führen, die aufwendigen technischen Details weiter zu erläutern. Anschaulich gesehen wird die Tatsache ausgenützt, daß der Übergang von β zu f(β) derart effektiv ist, daß man die in f(β[x]) enthaltene Information und Termkomplexität durch die in f(β) und x enthaltene Information und Termkomplexität kontrollieren kann. Die lokale Ordnungstreue von f auf β bewirkt hierbei, daß die in Frage stehenden Ordinalzahlen nach der punktweisen Kollabierung eine ähnliche innere Ordnungsstruktur wie vor ihrer Kollabierung tragen. Als zentrales Ergebnis erhalten wir schließlich, daß es zu jedem Ordinalterm ψ_{Ω_{1}}(α) ∈ T (Ω) ein c ∈ IN gibt, derart daß G_{ψ_{Ω_{1}}(α)}(x) ≤ C_{x+2}(ψ_{Ω_{1}}(α)) = F_{ψ_{Ω_{1}}(ω^{C_{x+2}(α)})}(x + 2) für alle x ≥ c gilt.^{24} Abschließend wollen wir für den interessierten Leser kurz erläutern, auf welche Schwierigkeiten wir bei dem Versuch gestoßen sind, den in Wainer (1989) entwickelten Ansatz auf den von uns betrachteten Ordinalzahlenabschnitt zu verallgemeinern und weshalb wir uns veranlaßt sahen, die klassischen Ordinalzahlbezeichnungssysteme mit ihren ausgezeichneten Hauptfolgen zugrundezulegen, auch wenn deren Verwendung den Untersuchungen über subrekursive Funktionen erhebliche Hindernisse entgegenstellt. Zunächst ist nicht unmittelbar klar, wie die Baumordinalzahlanaloga zu den Ordinalzahlen aus T (Ω) überhaupt definiert werden sollen. In der Literatur sind lediglich die unseres Wissens zuerst von Buchholz (1981) eingeführten und später von Wainer weiterentwickelten Baumordinalzahlen für die Theorien ID_{α} mit 1 ≤ α < Ω_{1} bekannt. Hier ist α ,,von außen“ fixiert und die Theorie ID_{α} formalisiert Iterationen induktiver Definitionen über die ,,reale“ Wohlordnung α, deren Länge vom formalen System unabhängig ist. Sogenannte ,,virtuelle“ Wohlordnungen, deren ,,beweisbare“ Längen vom zugrundegelegten formalen System abhängen, treten erstmalig bei der auf Feferman (1970) zurückgehenden Theorie ID_{≺^{∗}} auf, in der Iterationen induktiver Definitionen über den vom formalen System abhängigen, induktiv definierten erreichbaren Teil einer primitiv rekursiven linearen Ordnung ≺ formalisiert werden. Es ist unseres Erachtens nicht evident, wie die zur Theorie ID_{≺^{∗}} – geschweige denn (Π_{1}^{1} − T R)_{0} – gehörige Baumordinalzahl aussieht. Aber selbst in dem Fall, daß man ein Baumordinalzahlanalogon der beweistheoretischen Ordinalzahl einer solchen Theorie konstruiert hätte, verbliebe die Aufgabe, zu zeigen, daß die Tiefe dieser Baumordinalzahl gleich der entsprechenden beweistheoretischen Ordinalzahl ist. Derartige Größenvergleiche sind keineswegs trivial^{25} und erfordern üblicherweise eine aufwendige beweistheoretische Analyse eines geeigneten formalen Systems mit Hilfe der Baumordinalzahlen.^{26} Trotz des technischen Aufwandes erscheint uns die Umformulierung des Systems T (Ω) in die Sprache der Baumordinalzahlen prinzipiell aber möglich zu sein. Eine weitere technische Schwierigkeit für die Verwendung von Baumordinalzahlen zeigt sich in unserem Beweisgang beim Beweis des Übertragungssatzes in Abschnitt 6. Hier verwenden wir in essentieller Weise die Termstruktur von T (Ω) und Linearität der <-Relation auf T (Ω). Wie bereits skizziert, verwenden wir den Übertragungssatz als integralen Bestandteil unseres Beweisgangs, um aus der Induktionsvoraussetzung (∗∗) auf die lokale Ordnungstreue der punktweisen Kollabierungsfunktionen schließen zu können. Eine Übertragung dieses Arguments auf (partiell geordnete) Baumordinalzahlen scheint uns nicht allzu offensichtlich zu sein. Für Ordinalzahlen α unterhalb von ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}) ist die lokale Ordnungstreue der punktweisen Kollabierungsfunktion unproblematisch. Die kardinalen Teilterme eines solchen α haben die Gestalt Ω_{1} bzw. Ω_{2+n}. Die punktweisen Kollabierungen dieser Terme haben daher die Gestalt ω bzw. Ω_{1+n}. Damit ist der Größenvergleich für diese Terme durch den Größenvergleich ihrer Indizes unabhängig von der punktweisen Kollabierungsfunktion festgelegt. Demzufolge taucht die Problematik der lokalen Ordnungstreue in der von Wainer analysierten Situation auch gar nicht auf.

23Die Verwendung der Funktion ξ ↦ C_{x+2}(ξ) anstelle von ξ ↦ C_{x}(ξ) hat lediglich technische Gründe.

24Die Frage, ob und – wenn ja – wie sich für relativ große abzählbare Ordinalzahlenindizes die punktweisen Kollabierungsfunktionen mit Funktionen aus der langsam wachsenden Hierarchie majorisieren lassen, bleibt offen.

25Vergleiche auch Buchholz (1981).

Danksagungen

Herrn Prof. Dr. W. Pohlers danke ich für die großzügige Förderung meines Habilitationsvorhabens und für die umfassende persönliche Unterstützung während meines bisherigen wissenschaftlichen Werdegangs. Für hilfreiche Diskussionen und wissenschaftlichen Austausch über die Theorie der subrekursiven Funktionen bin ich Herrn Prof. Dr. W. Buchholz und Herrn Prof. Dr. E.A. Cichon dankbar. Bei allen Angehörigen des Instituts für mathematische Logik und Grundlagenforschung bedanke ich mich für die mir zuteil gewordene Unterstützung meiner wissenschaftlichen Arbeit. Mein spezieller Dank gilt hier Herrn B. Blankertz und Herrn Dr. A. Schlüter für ihre hilfreichen Kommentare zu vorläufigen Manuskripten dieser Arbeit.

26,,Vernünftige“ formale Systeme mit beweistheoretischer Ordinalzahl ψ_{Ω_{1}}(Ω_{..._{Ωω}}) sind unseres Wissens bislang noch nicht bekannt.

1 Das Ordinalzahlbezeichnungssytem T (Ω)

In diesem einführenden Abschnitt wird das Ordinalzahlbezeichnungssystem T (Ω), das allen weiteren Betrachtungen zugrunde liegen soll, eingeführt. Unsere Darstellung fußt hierbei im wesentlichen auf der in Buchholz und Schütte (1988) eingeführten Darstellung.^{27} Wir beschränken uns lediglich darauf, die relevanten Definitionen und Lemmata wiederzugeben. Die fehlenden Beweise lassen sich fast alle in Buchholz und Schütte (1988) auffinden. Unseren Betrachtungen liegt die klassische Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom zugrunde. Kleine griechische Buchstaben bezeichnen Ordinalzahlen und kleine lateinische Buchstaben bezeichnen natürliche Zahlen. Die Ordinalzahloperationen α, β ↦ α + β, α, β ↦ α#β, α, β ↦ α · β und α, β ↦ α^{β} seien in der üblichen Weise definiert.^{28} Die Ordinalzahl ω_{n}(α) sei wie folgt rekursiv erklärt: ω_{0}(α) := α, ω_{n+1}(α) := ω^{ω_{n}(α)}. Es sei E die Klasse der Epsilon-Zahlen, d.h. E = {ξ : ξ = ω^{ξ}}. Die Aufzählungsfunktion von E wird mit λξ.ε_{ξ} bezeichnet. Speziell ist ε_{0} = min{ξ : ξ = ω^{ξ}}.

Definition 1.1 γ =_{NF} ω^{α} + β : ⟺ γ = ω^{α} + β & α < γ & β < γ.

Lemma 1.1

a) γ =_{NF} ω^{α_{1}} + β_{1} & γ =_{NF} ω^{α_{2}} + β_{2} ⇒ α_{1} = α_{2} & β_{1} = β_{2}.

b) 0 < γ ∉ E ⟺ (∃α, β)[γ =_{NF} ω^{α} + β].

Lemma 1.2 Es seien γ =_{NF} ω^{α} + β und δ ∈ E. Dann gelten:

a) γ < δ ⟺ α < δ.

b) δ < γ ⟺ δ ≤ α.

27Alternativ hätte man an dieser Stelle auch das äquivalente System \overline{θ}(Ω) aus Schütte (1977) verwenden können. Aus technischen Gründen erscheint uns aber ein auf ψ-Funktionen basierender Zugang geeigneter zu sein.

28Siehe etwa Schütte (1977) oder Pohlers (1989).

Definition 1.2 (Definition von Ω_{α}.) Ω_{0} := 0. Für α > 0 sei Ω_{α} die kleinste Ordinalzahl der Kardinalität ℵ_{α}.

Lemma 1.3

a) α ≤ Ω_{α}.

b) α > 0 ⇒ Ω_{α} ∈ E.

c) (∀α)(∃!β)[Ω_{β} ≤ α < Ω_{β+1}]. Es sei R die Klasse der regulären Nachfolgerkardinalzahlen, also R = {ξ : (∃η)[ξ = Ω_{η+1}]}. Von nun an bezeichnen kleine griechische Buchstaben κ, μ, π, ρ Elemente aus R. Für Ω_{β} ≤ α < Ω_{β+1} sei α^{+} := Ω_{β+1}. Desweiteren setzen wir (Ω_{β+1})^{−} := Ω_{β} und ω^{−} := 0. Durch Rekursion nach α sei ψ_{κ}(α) definiert als die kleinste Ordinalzahl, die nicht zur Menge C_{κ}(α) gehört, wobei die Menge C_{κ}(α) der Abschluß der Menge aller Ordinalzahlen ≤ κ^{−} unter den Funktionen ξ, η ↦ ω^{ξ} +η, γ ↦ Ω_{γ} und μ, β ↦ ψ_{μ}(β) für β < α ist.

Definition 1.3 (Induktive Definition von Ordinalzahlmengen C_{κ}^{n}(α) und C_{κ}(α) und der Ordinalzahl ψ_{κ}(α) durch Hauptrekursion nach α und Nebenrekursion nach n < ω.)^{29} (C1) γ ≤ κ^{−} ⇒ γ ∈ C_{κ}^{n}(α). (C2) κ^{−} < γ =_{NF} ω^{ξ} + η & {ξ, η} ⊆ C_{κ}^{n}(α) ⇒ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α). (C3) κ^{−} < Ω_{γ} & γ ∈ C_{κ}^{n}(α) ⇒ Ω_{γ} ∈ C_{κ}^{n+1}(α). (C4) κ ≤ μ & β < α & {μ, β} ⊆ C_{κ}^{n}(α) ⇒ ψ_{μ}(β) ∈ C_{κ}^{n+2}(α). (C5) C_{κ}(α) := ⋃{C_{κ}^{n}(α) : n < ω}. (C6) ψ_{κ}(α) := min{η : η ∉ C_{κ}(α)}. Offenbar gilt dann C_{κ}^{m}(α) ⊆ C_{κ}^{n}(α) für m ≤ n.

29Aus schreibtechnischen Gründen haben wir im Unterschied zu Schütte und Buchholz (1988) die Bezeichnung der C-Mengen etwas verändert. Wenn κ = Ω_{ξ+1} ist, so gilt C_{κ}(α) = C′_{ξ}(α), wenn C′ die in Schütte und Buchholz definierte C-Menge bezeichnet.

Lemma 1.4 κ ≤ μ & α ≤ β ⇒ C_{κ}(α) ⊆ C_{μ}(β) & ψ_{κ}(α) ≤ ψ_{μ}(β).

Lemma 1.5 κ^{−} < ψ_{κ}(α) < κ.

Lemma 1.6 ψ_{κ}(α) ∈ E.

Lemma 1.7

a) γ =_{NF} ω^{ξ} + η ∈ C_{κ}^{n}(α) ⇒ ξ, η ∈ C_{κ}(α).

b) Ω_{γ} ∈ C_{κ}^{n}(α) ⇒ γ ∈ C_{κ}(α).

c) Ω_{β} ≤ γ < Ω_{β+1} & γ ∈ C_{κ}^{n}(α) ⇒ Ω_{β} ∈ C_{κ}(α).

Lemma 1.8 γ ∈ C_{κ}^{n}(α) & γ < κ ⇒ γ < ψ_{κ}(α).

Lemma 1.9 β < γ < κ & γ ∈ C_{κ}(α) ⇒ β ∈ C_{κ}(α).

Lemma 1.10

a) α < β & α ∈ C_{κ}(β) ⇒ ψ_{κ}(α) < ψ_{κ}(β).

b) α ∈ C_{κ}(α) & β ∈ C_{κ}(β) & ψ_{κ}(α) = ψ_{κ}(β) ⇒ α = β. Wir verwenden die übliche Intervallschreibweise. Zum Beispiel seien [α, β] := {ξ : α ≤ ξ ≤ β}, ]α, β] := {ξ : α < ξ ≤ β} und [α, β[:= {ξ : α ≤ ξ < β}.

Lemma 1.11 α < β & [α, β[∩C_{κ}(α) = ∅ & γ ∈ C_{κ}^{n}(β) ⇒ γ ∈ C_{κ}(α).

Lemma 1.12 Es sei β = min{ξ : α ≤ ξ ∈ C_{κ}(α)}. Dann gelten:

a) C_{κ}(α) = C_{κ}(β).

b) ψ_{κ}(α) = ψ_{κ}(β).

c) β ∈ C_{κ}(β).

Lemma 1.13 γ ∈ C_{κ}^{n}(α) ⇒ γ + 1 ∈ C_{κ}^{n+1}(α).

Lemma 1.14 Es seien γ ∈ C_{κ}^{n}(α), κ ≤ μ und β ≤ α. Dann gibt es ein ξ mit γ ≤ ξ ∈ C_{μ}(β) und für δ := min{ξ : γ ≤ ξ ∈ C_{μ}(β)} gilt δ ∈ C_{κ}^{n}(α).

Lemma 1.15 Falls γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) nach (C4) gilt, so gibt es eindeutig bestimmte Ordinalzahlen μ und β, derart daß μ ≥ κ, β < α, γ = ψ_{μ}(β), β ∈ C_{μ}(β) und μ, β ∈ C_{κ}^{n}(α) erfüllt sind. Bemerkung: Wir hätten nach diesem Lemma die Klausel (C4) in Definition 1.3 auch durch die Klausel (C4′) κ ≤ μ & β < α & {μ, β} ⊆ C_{κ}^{n}(α) & β ∈ C_{μ}(β)

⇒ ψ_{μ}(β) ∈ C_{κ}^{n+1}(α). ersetzen können.

Definition 1.4

a) γ =_{NF} Ω_{α} : ⟺ γ = Ω_{α} & α > 0.

a) γ =_{NF} ψ_{κ}(α) : ⟺ γ = ψ_{κ}(α) & α ∈ C_{κ}(α).

Definition 1.5 (Induktive Definition einer Menge T (Ω) von Ordinalzahlen und der Norm N(γ) eines Elementes γ ∈ T (Ω).) (T1) 0 ∈ T (Ω), N(0) := 0. (T2) γ =_{NF} ω^{α} + β & {α, β} ⊆ T (Ω)

⇒ γ ∈ T (Ω) & N(γ) := N(α) + N(β) + 1. (T3) γ =_{NF} Ω_{α} & α ∈ T (Ω) ⇒ γ ∈ T (Ω) & N(γ) := N(α) + 1. (T4) γ =_{NF} ψ_{κ}(α) & {α, κ} ⊆ T (Ω)

⇒ γ ∈ T (Ω) & N(γ) := N(κ) + N(α) + 1. Bemerkung: Die Norm ist nach den vorangegangenen Lemmata wohldefiniert.

Definition 1.6 (Definition von Λ_{0}.) Λ_{0} := min{ξ : ξ = Ω_{ξ}}.

Definition 1.7 (Rekursive Definition von Ω_{n}(α).) Ω_{0}(α) := α, Ω_{n+1}(α) := Ω_{Ω_{n}(α)}. Offenbar gilt dann Λ_{0} = sup{Ω_{n}(1) : n ∈ ω}.

Lemma 1.16 γ ∈ T (Ω) ⇒ γ < Λ_{0}. Damit gilt dann α < Ω_{α} für alle α ∈ T (Ω).

Lemma 1.17 γ ∈ T (Ω) ⇒ γ ∈ C_{Ω_{1}}(Λ_{0}).

Lemma 1.18 γ ∈ C_{Ω_{1}}(α) ⇒ γ ∈ T (Ω).

Theorem 1.1 ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) = {ξ ∈ T (Ω) : ξ < Ω_{1}}.

Definition 1.8 (Rekursive Definition einer endlichen Ordinalzahlenmenge G_{κ}(γ) ⊆ T (Ω) für γ, κ ∈ T (Ω).)

a) G_{κ}(0) := ∅.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ G_{κ}(γ) := G_{κ}(α) ∪ G_{κ}(β).

c) γ =_{NF} Ω_{α} ⇒ G_{κ}(γ) := G_{κ}(α).

d) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & μ < κ ⇒ G_{κ}(γ) := ∅.

e) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & μ ≥ κ ⇒ G_{κ}(γ) := G_{κ}(μ) ∪ G_{κ}(β) ∪ {β}. g_{κ}(β) := max({0} ∪ G_{κ}(β)).

Lemma 1.19 α, κ ∈ T (Ω) ⇒ [α ∈ C_{κ}(α) ⟺ G_{κ}(α) < α]. Es gibt daher ein primitiv rekursives Verfahren, das entscheidet, ob ein mittels 0, ω, +, Ω, ψ zusammengesetzter Ausdruck eine Ordinalzahl aus T (Ω) bezeichnet. Ferner gibt es ein primitiv rekursives Verfahren, das für zwei beliebig vorgebene Ordinalterme α und β die Frage α < β entscheidet. Konvention: Von nun an bezeichnen kleine griechische Buchstaben, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, Elemente aus T (Ω). Für eine Menge M von Ordinalzahlen bedeute M < α (bzw. M ≤ α), daß ξ < α (bzw. ξ ≤ α) für alle ξ ∈ M gilt. Wir schreiben M′ ≤ M, falls M′ ≤ ξ für ein ξ ∈ M gilt. Schließlich sei G_{κ}(M) := ⋃{G_{κ}(ξ) : ξ ∈ M}.

Lemma 1.20

a) γ ≤ κ^{−} ⇒ G_{κ}(γ) = ∅.

b) κ ≤ μ ⇒ G_{μ}(γ) ⊆ G_{κ}(γ).

c) κ ≤ μ ⇒ G_{κ}(G_{μ}(γ)) ⊆ G_{κ}(γ).

d) G_{κ}(κ) = ∅.

e) G_{κ}(μ^{+}) = G_{κ}(μ).

f) G_{κ}(γ + 1) < γ + 1 ⇒ G_{κ}(γ) < γ.

g) α < β < κ ⇒ G_{κ}(α) ≤ G_{κ}(β). Beweis : Die Aussagen a) – e) sind leicht einzusehen. Aussage f) folgt aus Buchholz und Schütte (1988) Korollar 4.6. Wir zeigen noch g). Wegen G_{κ}(β) < g_{κ}(β) + 1 gilt β ∈ C_{κ}(g_{κ}(β) + 1) ∩ κ. Nach Lemma 1.9 folgt α ∈ C_{κ}(g_{κ}(β) + 1) und damit G_{κ}(α) < g_{κ}(β) + 1. Also gilt G_{κ}(α) ≤ G_{κ}(β).□

Definition 1.9 (Rekursive Definition einer endlichen Ordinalzahlenmenge K_{κ}(γ) ⊆ T (Ω) für γ, κ ∈ T (Ω).)

a) K_{κ}(0) := ∅.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ K_{κ}(γ) := K_{κ}(α) ∪ K_{κ}(β).

c) γ =_{NF} Ω_{α} & γ < κ ⇒ K_{κ}(γ) := {γ}.

d) γ =_{NF} Ω_{α} & γ ≥ κ ⇒ K_{κ}(γ) := K_{κ}(α).

e) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & μ ≤ κ ⇒ K_{κ}(γ) := {γ}. f) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & μ > κ ⇒ K_{κ}(γ) := K_{κ}(μ) ∪ K_{κ}(β).

Lemma 1.21 γ ∈ C_{κ}(α) ⇒ K_{κ}(γ) ⊆ C_{κ}(α). Für eine Menge M von Ordinalzahlen sei K_{κ}(M) := ⋃{K_{κ}(ξ) : ξ ∈ M}.

Lemma 1.22

a) K_{κ}(γ) < κ.

b) G_{κ}(γ) < α ⇒ K_{κ}(γ) < ψ_{κ}(α).

c) K_{κ}(G_{μ}(γ)) ⊆ K_{κ}(γ), falls κ < μ.

d) G_{κ}(γ) = G_{κ^{+}}(γ) ∪ G_{κ}(K_{κ}(γ)).

e) K_{κ}(γ) ≤ γ.

f) G_{κ}(K_{κ}(γ)) ⊆ G_{κ}(γ).

g) κ ≤ μ ⇒ K_{κ}(μ) = K_{κ}(μ^{+}).

Definition 1.10 (Definition von ω̄^{α}.) Falls ein α_{0} ≤ α und ein n < ω mit α = α_{0} + n und ω^{α_{0}} = α_{0} existieren, so sei ω̄^{α} := ω^{α_{0}+n+1}. Im anderen Fall sei ω̄^{α} = ω^{α}.

Lemma 1.23

a) G_{κ}(ω̄^{α}) = G_{κ}(α).

b) K_{κ}(ω̄^{α}) = K_{κ}(α).

2 Ausgezeichnete Hauptfolgen für T (Ω)

In diesem Abschnitt führen wir die gemäß Schütte und Buchholz (1988) definierten ausgezeichneten Hauptfolgen für T (Ω) ein. Diese spiegeln in natürlicher Weise die rekursive Entstehungsgeschichte der zugehörigen Limesordinalzahlen wider. Zum anderen zeichnen sie sich durch tiefliegende Struktureigenschaften, wie etwa die Bachmann-Eigenschaft aus.^{30} Es sei L die Menge der Limesordinalzahlen in T (Ω). Für jedes γ ∈ L definieren wir den Typ, tp(γ), sowie eine ausgezeichnete Hauptfolge ⟨γ[ξ] : ξ < tp(γ)⟩ in der folgenden Weise.

30Die Wichtigkeit dieser Eigenschaft für das Studium subrekursiver Hierarchien wird in Abschnitt 4 beleuchtet. Schon an dieser Stelle soll angemerkt werden, daß derartige Be-

Definition 2.1 (Rekursive Definition von tp(γ) und γ[ξ] für γ ∈ L und ξ < tp(γ).)^{31}

(L1) Für γ = ω^{α+1} sei tp(γ) := ω und γ[n] := ω^{α} · (n + 1).

(L2) Für γ =_{NF} ω^{α} + β mit β ∈ L sei tp(γ) := tp(β) und γ[ξ] := ω^{α} + β[ξ].

(L3) Für γ =_{NF} ω^{α} und α ∈ L sei tp(γ) := tp(α) und γ[ξ] := ω^{α[ξ]}.

(L4) Für γ =_{NF} Ω_{α+1} sei tp(γ) := γ und γ[ξ] := ξ.

(L5) Für γ =_{NF} Ω_{α} mit α ∈ L sei tp(γ) := tp(α) und γ[ξ] := Ω_{α[ξ]}.

(L6) Für γ =_{NF} ψ_{κ}(α) mit α ∉ L sei tp(γ) := ω und γ[n] := ω_{n}(β + 1), wobei β := κ^{−}, falls α = 0 und β := ψ_{κ}(α_{0}), falls α = α_{0} + 1.

(L7) Für γ =_{NF} ψ_{κ}(α) mit α ∈ L und tp(α) < κ sei tp(γ) := tp(α) und γ[ξ] := ψ_{κ}(α[ξ]).

(L8) Für γ =_{NF} ψ_{κ}(α) mit α ∈ L und μ := tp(α) ≥ κ sei tp(γ) := ω und γ[n] := ψ_{κ}(α[β_{n}]), wobei β_{0} := ψ_{μ}(α[0]) und β_{n+1} := ψ_{μ}(α[β_{n}]).

dingungen natürliche Monotonieeigenschaften von subrekursiven Hierarchien sowie deren Nichtkollabieren garantieren.

31Aus technischen Gründen haben wir die Definition aus Schütte und Buchholz (1988)

in den Klauseln (L1) und (L8) leicht modifiziert – vergleiche auch eine entsprechende Definition in Schwichtenberg (1993) –, um die Bachmann-Eigenschaft der Hauptfolgenzuordnung sicherzustellen. Unser Hauptergebnis gilt aber genauso für die dort definierten Hauptfolgen.

Lemma 2.1 Es sei γ ∈ L. Dann gelten:

a) tp(γ) ∈ R ∪ {ω}.

b) tp(γ) ≤ γ.

c) γ ∈ C_{κ}(η) ⇒ tp(γ) ∈ C_{κ}(η).

Definition 2.2 Für γ ∈ L sei die Funktion F_{γ} : {α ∈ T (Ω) : α ≤ tp(γ)} → On definiert durch F_{γ}(α) := γ[α] für α < tp(γ) und F_{γ}(tp(γ)) := γ.

Theorem 2.1 Es sei γ ∈ L. Dann gelten:

a) F_{γ} : dom(F) → T (Ω).^{32}

b) β ∈ dom(F_{γ}) ⇒ β ≤ F_{γ}(β).

c) α, β ∈ dom(F_{γ}) & α < β ⇒ F_{γ}(α) < F_{γ}(β).

d) β ∈ dom(F_{γ}) & F_{γ}(0) ≤ δ < F_{γ}(β)

⇒ (∃α < β)[F_{γ}(α) ≤ δ < F_{γ}(α + 1)].

e) γ = sup{γ[ξ] : ξ < tp(γ)}. Beweis : Siehe Buchholz und Schütte (1988) Lemma 5.1, Theorem 5.7 und Korollar 5.7. □ Nach Theorem 2.1 e) gilt β = sup{β[n] : n ∈ IN} für β ∈ T (Ω) mit tp(β) = ω. Um mittels der in Buchholz, Cichon und Wainer (1993) entwickelten Theorie einzusehen zu können, daß die mit der von uns zugrundegelegten Hauptfolgenzuordnung definierte erweiterte Grzegorczyk-Hierarchie mit der später von uns verwendeten Variante äquivalent ist, benötigen wir unter anderem die genauere Information, daß α < β schon α ≤ β[p(α)] für eine primitiv rekursive Funktion p impliziert. Der Beweis dieser Aussage orientiert sich an einem bislang unveröffentlichten Manuskript von M. Rathjen, in dem die Bachmann-Eigenschaft der Buchholz-Schütteschen Hauptfolgenzuordnung für den Ordinalzahlabschnitt bis ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1}) gezeigt wurde.

32Man beachte an dieser Stelle, daß diese Aussage die nichttriviale Erkenntnis liefert, daß ψ_{π}(γ) ∈ T (Ω) und ξ ∈ T (Ω) ∩ tp(ψ_{π}(γ)) immer schon impliziert, daß der Ordinalterm (ψ_{π}(γ))[ξ] in Normalform ist.

Lemma 2.2 Es seien γ, η ∈ L und α =_{NF} ψ_{κ}(γ). Es gelte ρ := tp(γ) = tp(η) ≥ κ und β < η ≤ γ. Ferner gelte G_{κ}(β) ∪ G_{κ}(η) < γ und δ = ψ_{ρ}(γ).^{33} Dann gilt β < η[δ[N(β)]]. Beweis durch Hauptinduktion nach N(β) und Nebeninduktion nach N(η):

1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. Dann gilt G_{κ}(β_{i}) ⊆ G_{κ}(β) < γ für i = 1, 2. 1.1. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2}. Dann gilt G_{κ}(η_{i}) ⊆ G_{κ}(η) < γ für i = 1, 2. 1.1.1. Fall: β_{1} < η_{1}. Im Falle η_{2} ≠ 0 folgt β ≤ ω^{η_{1}} ≤ η[δ[N(β)]]. Es sei daher η_{2} = 0. Dann gilt η_{1} ∈ L und tp(η_{1}) = ρ. Es folgt β_{1} < η_{1} und β_{2} < ω^{η_{1}}. Nach Hauptinduktionsvoraussetzung gilt β_{1} < η_{1}[δ[N(β_{1})]] und β_{2} < η[δ[N(β_{2})]]. Damit gilt β < η[δ[N(β)]]. 1.1.2. Fall: β_{1} = η_{1} Dann gilt η_{2} ∈ L und tp(η_{2}) = ρ. Es folgt β_{2} < η_{2} ≤ γ. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert β_{2} < η_{2}[δ[N(β_{2})]]. Damit folgt β < ω^{η_{1}} + η_{2}[δ[N(β_{2})]] ≤ η[δ[N(β)]]. 1.2. Fall: η = Ω_{η_{1}+1} Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert β_{i} < η[δ[N(β_{i})]] = δ[N(β_{i})] für i = 1, 2. Dies impliziert β < δ[N(β)]. 1.3. Fall: η = Ω_{η_{1}} und η_{1} ∈ L. Mit der Hauptinduktionsvoraussetzung folgt β_{i} < η[δ[N(β_{i})]] für i = 1, 2. Alsdann ergibt sich β < η[δ[N(β)]].

33Wegen α =_{NF} ψ_{κ}(γ) gilt G_{κ}(γ) < γ. Damit gilt G_{ρ}(γ) < γ und δ =_{NF} ψ_{ρ}(γ).

1.4. Fall: η =_{NF} ψ_{π}(η_{1}). Dann gilt κ ≤ tp(η) = tp(η_{1}) = ρ < π. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert β_{i} < η[δ[N(β_{i})]] = ψ_{π}(η_{1}[δ[N(β_{i})]]) für i = 1, 2. Die Behauptung folgt unmittelbar.

2. Fall: β =_{NF} Ω_{β_{1}}. Hier gilt G_{κ}(β_{1}) ≤ G_{κ}(β) < γ. 2.1. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2}. Dann gilt G_{κ}(η_{i}) ⊆ G_{κ}(η) < γ für i = 1, 2. Falls η_{2} ≠ 0, so folgt die Behauptung sofort. Im Falle η_{2} = 0 gilt β < η_{1} und tp(η_{1}) = ρ. Die Nebeninduktionsvoraussetzung ergibt β ≤ η_{1}[δ[N(β)]] ≤ η[δ[N(β)]]. 2.2. Fall: η =_{NF} ψ_{π}(η_{1}). Dann gilt Ω_{β_{1}} ≤ π^{−} < η[δ[N(β)]]. 2.3. Fall: η = Ω_{η_{1}+1}. Dann gilt ρ = tp(η) = η und β_{1} ≤ η_{1}. Es folgt β ≤ ρ^{−} ≤ η[δ[N(β)]] aufgrund von δ[N(β)] ≥ ρ^{−}. 2.4. Fall: η = Ω_{η_{1}} und η_{1} ∈ L. Dann gilt G_{κ}(η_{1}) < γ und tp(η_{1}) = ρ. Somit gilt β_{1} < η_{1} und daher folgt mit der Hauptinduktionsvoraussetzung β_{1} ≤ η_{1}[δ[N(β_{1})]] was sofort die Behauptung impliziert.

3. Fall: β =_{NF} ψ_{π}(β_{1}). Im Fall π < κ ≤ ρ gilt π ≤ ρ^{−} und daher β ≤ ρ^{−} ≤ δ[N(β)] ≤ η[δ[N(β)]]. Es gelte daher κ ≤ π. Dann gilt

(∗) G_{κ}(β) = G_{κ}(π) ∪ G_{κ}(β_{1}) ∪ {β_{1}} < γ

nach Voraussetzung. 3.1. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2}. Dieser Fall ist analog zu Fall 2.1. 3.2. Fall: η = Ω_{η_{1}+1}. Dann gilt η = ρ. Falls β < π < ρ gilt, so folgt β < π ≤ ρ^{−} ≤ η[δ[N(β)]].

Wegen β < η = ρ gilt ansonsten π = ρ. Aufgrund von (∗) gilt G_{κ}(β_{1}) < γ und β_{1} < γ. Zudem gilt G_{κ}(γ) < γ. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert β_{1} < γ[δ[N(β_{1})]]. Damit gilt β = ψ_{ρ}(β_{1}) < ψ_{ρ}(γ[δ[N(β_{1})]]) ≤ δ[N(β)] = η[δ[N(β)]]. 3.3. Fall: η = Ω_{η_{1}} und η_{1} ∈ L. Wegen π ∈ R gilt β < π < Ω_{η_{1}}. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert β < π < η[δ[N(π)]] ≤ η[δ[N(β)]]. 3.4. Fall: η =_{NF} ψ_{μ}(η_{1}). Dann gilt tp(η_{1}) = ρ < μ. Für π < μ gilt ψ_{π}(β_{1}) < π ≤ μ^{−} ≤ η[δ[N(β)]]. Es gelte daher π = μ. Dann gilt G_{κ}(η_{1}) ∪ {η_{1}} ⊆ G_{κ}(η) < γ. Aus β < η folgt daher β_{1} < η_{1} < γ. Aufgrund von (∗) gilt G_{κ}(β_{1}) ∪ {β_{1}} < γ. Die Hauptinduktionsvoraussetzung ergibt β_{1} < η_{1}[δ[N(β_{1})]]. Damit folgt β = ψ_{π}(β_{1}) ≤ ψ_{μ}(η_{1}[δ[N(β)]]) = η[δ[N(β)]]. □

Theorem 2.2 Es sei α < γ ∈ L und es gelte tp(γ) = ω. Dann gilt α ≤ γ[2 · Nα + 2]. Beweis : Wir zeigen durch Induktion nach N(α) + N(γ) die folgende Behauptung: α < γ ⇒ (∃ξ < tp(γ))[α < γ[ξ] & N(ξ) ≤ 2 · N(α) + 2]. Hieraus folgt die Behauptung, da N(ξ) = ξ für ξ < ω gilt. Offenbar dürfen wir α > 0 annehmen.

1. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2}. 1.1. Fall: γ =_{NF} ω^{γ_{1}} + γ_{2}. 1.1.1. Fall: α_{1} < γ_{1}. Für γ_{2} ≠ 0 ist alles klar. Es gelte daher γ_{2} = 0. Ist γ_{1} = γ′_{1} + 1, so gilt ω^{α_{1}}, α_{2} ≤ ω^{γ′_{1}} und wir können ξ := 2 setzen. Ist schließlich γ_{1} ∈ L, so existieren nach Voraussetzung geeignete ξ_{1}, ξ_{2} mit α_{2} ≤ γ[ξ_{2}] und α_{1} ≤ γ_{1}[ξ_{1}]. Dann gilt α ≤ γ[ξ] für ξ := max{ξ_{1}, ξ_{2}} + 1. 1.1.2. Fall: α_{1} = γ_{1}.

Dann gilt α_{2} < γ_{2}. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein geeignetes ξ′ mit α_{2} ≤ γ_{2}[ξ′]. Setze ξ := ξ′. 1.2. Fall: γ = Ω_{γ_{1}+1}. Setze ξ = α + 1. Dann gilt N(ξ) ≤ N(α) + 2. 1.3. Fall: γ = Ω_{γ_{1}} und γ_{1} ∈ L (bzw. γ = ψ_{π}(γ_{1})). Nach Induktionsvoraussetzung existieren ξ_{1} und ξ_{2} mit α_{1} < γ[ξ_{1}] und α_{2} < γ[ξ_{2}]. Setze ξ := max{ξ_{1}, ξ_{2}} + 1.

2. Fall: α =_{NF} ψ_{μ}(α_{1}). 2.1. Fall: γ =_{NF} ω^{γ_{1}} + γ_{2}. Für γ_{2} ≠ 0 ist α ≤ γ_{1}. Setze ξ := 0. Im Fall γ_{2} = 0 gilt α < γ_{1}. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein geeignetes ξ′ mit α < γ_{1}[ξ′]. Setze ξ := ξ′. 2.2. Fall: γ =_{NF} Ω_{γ_{1}}. Falls γ_{1} = γ′_{1} + 1, so setze man ξ := α + 1. Es sei daher γ_{1} ∈ L. Dann gilt α < μ < Ω_{γ_{1}}. Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein geeignetes ξ′ mit μ ≤ Ω_{γ_{1}[ξ′]}. Setze ξ := ξ′. 2.3. Fall: γ =_{NF} ψ_{κ}(γ_{1}). Falls μ < κ, so gilt α < μ ≤ κ^{−} ≤ γ[0] und wir dürfen ξ := 0 definieren. Es gelte daher μ = κ. Dann gilt α_{1} < γ_{1}. 2.3.1. Fall: tp(γ_{1}) < κ. Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein geeignetes ξ′ mit α_{1} ≤ γ_{1}[ξ′]. Dann gilt ψ_{μ}(α_{1}) ≤ ψ_{κ}(γ_{1}[ξ′]) = γ[ξ′]. Setze ξ := ξ′. 2.3.2. Fall: ρ := tp(γ_{1}) ≥ κ. Aufgrund von γ =_{NF} ψ_{κ}(γ_{1}) gilt G_{κ}(γ_{1}) < γ_{1}. Dann gilt α_{1} < γ_{1} und G_{κ}(α_{1}) < α_{1} < γ_{1}. Aufgrund von Lemma 2.2 (mit η = γ_{1}) ergibt sich

schließlich α_{1} < γ_{1}[\underbrace{ψ_{ρ}(γ_{1}[...ψ_{ρ}(γ[0])...])}_{N(α_{1})−fach}]. Das heißt, es gilt α < γ[N(α)].

3. Fall: α =_{NF} Ω_{α_{1}}. 3.1. Fall: γ =_{NF} ω^{γ_{1}} + γ_{2}. Dieser Fall ist analog zu Fall 2.1. 3.2. Fall: γ =_{NF} ψ_{κ}(γ_{1}). Dann gilt α ≤ κ^{−} ≤ γ[0] und wir können ξ := 0 setzen. 3.3. Fall: γ =_{NF} Ω_{γ_{1}}. Falls γ_{1} = γ′_{1} + 1, sei ξ := α + 1. Es sei daher γ_{1} ∈ L. Dann gilt α_{1} < γ_{1}. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ξ′ mit α_{1} < γ_{1}[ξ′]. Setze ξ := ξ′. □ Als Korollar zu Theorem 2.2 ersieht man, daß die Buchholz-Schüttesche Hauptfolgenzuordnung ,,primitiv rekursiv reguliert“ im Sinne von Zemke (1977) ist. Daher gilt für diese Zuordnung nach Zemke (1977) die ,,Äquivalenzeigenschaft für subrekursive Hierarchien“.

Lemma 2.3 γ ∈ L & γ ∉ E ∧ ξ < tp(γ) ⇒ ]γ[ξ], γ] ∩ E = ∅. Beweis durch transfinite Induktion nach γ:

1. Fall: γ =_{NF} ω^{α} + β und β ≠ 0. Zwischen ω^{α} und γ liegt offenbar keine Epsilon-Zahl. Daher ist hier die Behauptung klar.

2. Fall: γ = ω^{α+1}. Zwischen ω^{α} und γ liegt offenbar ebenfalls keine Epsilon-Zahl.

3. Fall: γ =_{NF} ω^{α} mit α ∈ L. Nach Induktionsvoraussetzung liegt zwischen α[ξ] und α keine Epsilon-Zahl und damit auch nicht zwischen γ[ξ] und γ. □ Die folgenden beiden Lemmata bereiten den Nachweis der sogenannten Bachmann-Eigenschaft vor, die in Lemma 2.5 gezeigt wird. Auch hier haben wir wiederum von dem Rathjenschen Manuskript profitiert.

Definition 2.3 Für γ = 0 sei tp(γ) = ω und γ[n] := 0. Für γ = α + 1 sei tp(γ) = ω und γ[n] := α.

Lemma 2.4

a) Es sei 1 < γ ∉ E. Dann gilt 1 ≤ γ[0].

b) Es sei γ =_{NF} ψ_{κ}(α) mit α > 0. Dann gilt γ[(tp(γ))^{−}] ≥ ψ_{κ}(α[(tp(α))^{−}]).

c) Es gelte α ∈ L, tp(α) > ω sowie α[0] < β ≤ α. Dann folgt schon α[0] ≤ β[(tp(β))^{−}].^{34}

d) Aus tp(α) = κ und ψ_{κ}(α[0]) < β < ψ_{κ}(α) folgt ψ_{κ}(α[0]) ≤ β[(tp(β))^{−}]. Beweis :

a) Es sei 1 < β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. Dann gilt β[0] ≥ ω^{β_{1}[0]} ≥ 1.

b) 1. Fall: α ∈ L und tp(α) < κ, oder α = α′ + 1. Dann folgt ψ_{κ}(α[(tp(α))^{−}]) ≤ γ[(tp(γ))^{−}].

2. Fall: ρ := tp(α) ≥ κ. Dann folgt ψ_{ρ}(α[0]) ≥ ρ^{−} und somit γ[(tp(γ))^{−}] = γ[0] = ψ_{κ}(α[ψ_{ρ}(α[0])]) ≥ ψ_{κ}(α[(tp(α))^{−}]).

c) Beweis durch Hauptinduktion nach N(α) und Nebeninduktion nach N(β).

1. Fall: α = Ω_{ξ+1}. Dann gilt α[0] = 0 und die Behauptung ist klar.

2. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2} mit α_{2} ∈ L. Dann gilt α[0] = ω^{α_{1}} + α_{2}[0] < β ≤ ω^{α_{1}} + α_{2}. Daher existiert ein β_{1} > 0 mit β = ω^{α_{1}} + β_{1} und α_{2}[0] < β_{1} < α_{2}. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{2}[0] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Das liefert sofort die Behauptung.

3. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} mit α_{1} ∈ L. Dann gilt α[0] = ω^{α_{1}[0]} < β ≤ ω^{α_{1}}. Falls β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2} mit β_{2} ≠ 0, so gilt ω^{α_{1}[0]} ≤ ω^{β_{1}} ≤ β[(tp(β))^{−}]. Im Falle β =_{NF} ω^{β_{1}} folgt die Behauptung sofort aus der Induktionsvoraussetzung. Der Fall β ∈ E ist nach Lemma 2.3 ausgeschlossen.

34An dieser Stelle sei daran erinnert, daß wir ω^{−} := 0 gesetzt hatten.

4. Fall: α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}) mit tp(α_{1}) < π. Dann gilt ψ_{π}(α_{1}[0]) < β ≤ ψ_{π}(α_{1}) und tp(α_{1}) = tp(α) > ω. 4.1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. Dann gilt ψ_{π}(α_{1}[0]) ≤ β_{1}. Im Falle β_{2} ≠ 0 folgt β[(tp(β))^{−}] ≥ β_{1} und daraus die Behauptung. Falls β_{2} = 0 und β_{1} = β′_{1} + 1 gilt, so folgt unmittelbar ψ_{π}(α_{1}[0]) ≤ β′_{1} ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}] ≤ β[(tp(β))^{−}]. Gilt schließlich β = ω^{β_{1}} mit β_{1} ∈ L, so folgt ψ_{π}(α_{1}[0]) < β_{1} ≤ ψ_{π}(α_{1}). Die Nebeninduktionsvoraussetzung liefert sodann ψ_{π}(α_{1}[0]) ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}] ≤ β[(tp(β))^{−}]. 4.2. Fall: β =_{NF} Ω_{β_{1}}. Dieser Fall ist nach Lemma 1.5 ausgeschlossen. 4.3. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(β_{1}). Dann gilt κ = π. Es folgt α_{1}[0] < β_{1} ≤ α_{1}. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert sodann α_{1}[0] < β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Nach b) folgt jetzt ψ_{π}(α_{1}[0]) ≤ ψ_{π}(β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]) ≤ β[(tp(β))^{−}].

5. Fall: α = Ω_{α_{1}} und α_{1} ∈ L. Dann gilt Ω_{α_{1}[0]} < β < Ω_{α_{1}}. Falls β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}, so folgt die Behauptung unmittelbar aus der Nebeninduktionsvoraussetzung wie im vierten Fall. 5.1. Fall: β =_{NF} ψ_{π}(β_{1}). Dann gilt Ω_{α_{1}[0]} < π und daher Ω_{α_{1}[0]} ≤ π^{−} ≤ β[(tp(β))^{−}]. 5.2. Fall: β = Ω_{β_{1}+1}. Dann gilt α_{1}[0] ≤ β_{1} und daher β[(tp(β))^{−}] = Ω_{β_{1}} ≥ Ω_{α_{1}[0]}. 5.3. Fall: β = Ω_{β_{1}} mit β_{1} ∈ L. Dann gilt α_{1}[0] < β_{1} < α_{1}. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{1}[0] < β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Daher folgt Ω_{α_{1}[0]} < Ω_{β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]} = β[(tp(β))^{−}].

d) Beweis durch Induktion nach N(β). Hat β die Gestalt ω^{β_{1}} + β_{2}, so folgt die Behauptung sofort aus der Induktionsvoraussetzung. Im kritischen Fall gilt β =_{NF} ψ_{κ}(β_{1}). Dann gilt nach c) bereits α[0] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}] < α. Nach b) folgt ψ_{κ}(α[0]) ≤ β[(tp(β))^{−}]. □

Lemma 2.5

a) Es gelte tp(α) = tp(γ) = κ ≥ Ω_{1} und α[ψ_{κ}(γ[0])] < β < α[ψ_{κ}(γ)]. Dann gilt α[ψ_{κ}(γ[0])] ≤ β[(tp(β))^{−}].

b) Es seien α, γ ∈ L mit tp(α) > Ω_{1}.

Es gelte (∀η ∈ T (Ω))[γ[n] < η < γ[n + 1] ⇒ γ[n] ≤ η[(tp(η))^{−}]].

Dann folgt aus α[γ[n]] < β ≤ α[γ[n + 1]] schon α[γ[n]] ≤ β[(tp(β))^{−}]. Beweis :

a) Beweis durch Hauptinduktion nach N(α) und Nebeninduktion nach N(β).

1. Fall: α = Ω_{ξ+1}. Dann folgt die Behauptung unmittelbar aus Lemma 2.4 d).

2. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2} mit α_{2} ∈ L. Dann gilt α[ψ_{κ}(γ[0])] = ω^{α_{1}} +α_{2}[ψ_{κ}(γ[0])] < β < ω^{α_{1}} +α_{2}[ψ_{κ}(γ)] = α[ψ_{κ}(γ)]. Daher existiert ein β_{1} mit β = ω^{α_{1}} + β_{1} und α_{2}[ψ_{κ}(γ[0])] < β_{1} < α_{2}[ψ_{κ}(γ)]. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{2}[ψ_{κ}(γ[0])] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Das liefert sofort die Behauptung.

3. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} mit α_{1} ∈ L. Dann gilt α[ψ_{κ}(γ[0])] = ω^{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]} < β ≤ ω^{α_{1}[ψ_{κ}(γ)]}. Im Falle β =_{NF} ω^{β_{1}} +β_{2} folgt die Behauptung leicht, wobei im Fall β_{2} = 0 die Hauptinduktionsvoraussetzung eingeht. Der Fall β ∈ E ist nach Lemma 2.3 ausgeschlossen.

4. Fall: α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}) mit tp(α_{1}) < π. Dann gilt ψ_{π}(α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]) < β ≤ ψ_{π}(α_{1}[ψ_{κ}(γ)]). 4.1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. Die Nebeninduktionsvoraussetzung liefert hier leicht die Behauptung. 4.2. Fall: β =_{NF} Ω_{β_{1}}. Dieser Fall ist nach Lemma 1.5 ausgeschlossen. 4.3. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(β_{1}).

Dann gilt κ = π. Es folgt α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])] < β_{1} ≤ α_{1}[ψ_{κ}(γ)]. Nach Hauptinduktionsvoraussetzung gilt α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])] < β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Damit folgt β[(tp(β))^{−}] ≥ ψ_{π}(β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]) ≥ ψ_{π}(α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]) nach Lemma 2.4 b).

5. Fall: α = Ω_{α_{1}} mit α_{1} ∈ L. Dann gilt α[ψ_{κ}(γ[0])] = Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]} < β < Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ)]} = α[ψ_{κ}(γ)]. Die Nebeninduktionsvoraussetzung erledigt den Fall β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. 5.1. Fall: β =_{NF} ψ_{π}(β_{1}). Dann gilt Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]} < π und daher Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]} ≤ π^{−} ≤ β[(tp(β))^{−}]. 5.2. Fall: β = Ω_{β_{1}+1}. Dann gilt α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])] ≤ β_{1} und daher β[(tp(β))^{−}] = Ω_{β_{1}} ≥ Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]}. 5.3. Fall: β = Ω_{β_{1}} mit β_{1} ∈ L. Dann gilt α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])] < β_{1} < α_{1}[ψ_{κ}(γ)]. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Daher folgt Ω_{α_{1}[ψ_{κ}(γ[0])]} ≤ Ω_{β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]} = β[(tp(β))^{−}].

b) Beweis durch Hauptinduktion nach N(α) und Nebeninduktion nach N(β). Der Beweis ist völlig analog zum Beweis von a). Im Fall α = Ω_{ξ+1} folgt die Behauptung unmittelbar aus der Voraussetzung. □

Definition 2.4 (Rekursive Definition von L(γ) für γ ∈ T (Ω).)

a) L(0) := 0.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ L(γ) := L(α) + L(β) + 1.

c) γ =_{NF} Ω_{α} ⇒ L(γ) := L(α) + 1.

d) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & tp(β) ≤ μ ⇒ L(γ) := L(μ) + L(β) + 1.

e) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) & tp(β) > μ ⇒ L(γ) := L(μ) + L(β) + L(tp(β)).^{35} Wir setzen ferner Z(ξ) := 0, falls ξ ≥ ω und Z(ξ) := ξ, falls ξ < ω.

Lemma 2.6 Aus ξ < tp(α) und α[ξ] < β ≤ α[ξ + 1] folgt α[ξ] ≤ β[(tp(β))^{−}].

35Formal ist L(γ) durch Rekursion nach N(γ) definiert. Man beachte an dieser Stelle, daß N(tp(α)) ≤ N(α) gilt.

Beweis durch Hauptinduktion nach L(α) + Z(ξ) und Nebeninduktion nach N(β): Wir dürfen offenbar α ∈ L annehmen.

1. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2} mit α_{2} ∈ L. Dann gilt α[ξ] = ω^{α_{1}} +α_{2}[ξ] ≤ β ≤ ω^{α_{1}} +α_{2}[ξ +1]. Daher existiert ein β_{1} mit β = ω^{α_{1}} + β_{1} und α_{2}[ξ] < β_{1} ≤ α_{2}[ξ + 1]. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{2}[ξ] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Das liefert sofort die Behauptung.

2. Fall: α = ω^{α_{1}+1}. Dann gilt tp(α) = ω und ξ < ω. Ferner gilt α[ξ] = ω^{α_{1}} · (ξ + 1) < β < ω^{α_{1}} · (ξ + 2). Daher existiert ein β_{1} > 0 mit β = ω^{α_{1}} · (ξ + 1) + β_{1} und es folgt β[(tp(β))^{−}] = ω^{α_{1}} · (ξ + 1) + β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}] ≥ α[ξ].

3. Fall: α =_{NF} ω^{α_{1}} mit α_{1} ∈ L. Dann gilt α[ξ] = ω^{α_{1}[ξ]} < β ≤ ω^{α_{1}[ξ+1]}. Falls β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2} mit β_{2} > 0, so folgt die Behauptung sofort. Im Fall β =_{NF} ω^{β_{1}} mit β_{1} ∈ L folgt die Behauptung leicht aus der Induktionsvoraussetzung. Im Fall β =_{NF} ω^{β_{1}} mit β_{1} = β′_{1} + 1 folgt α_{1}[ξ] ≤ β′_{1} und damit ω^{α_{1}[ξ]} ≤ ω^{β′_{1}} = β[(tp(β))^{−}]. Der Fall β ∈ E ist nach Lemma 2.3 ausgeschlossen.

4. Fall: α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}) mit α_{1} ∈ L und tp(α_{1}) < π. Dann gilt ψ_{π}(α_{1}[ξ]) < β ≤ ψ_{π}(α_{1}[ξ + 1]). 4.1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}. Die Nebeninduktionsvoraussetzung erledigt diesen Fall sofort. 4.2. Fall: β =_{NF} Ω_{β_{1}}. Dieser Fall ist nach Lemma 1.5 ausgeschlossen. 4.3. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(β_{1}). Dann gilt κ = π. Es folgt α_{1}[ξ] < β_{1} ≤ α_{1}[ξ + 1]. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{1}[ξ] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Nach Lemma 2.4 b) folgt β[(tp(β))^{−}] ≥ ψ_{π}(β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]) ≥ ψ_{π}(α_{1}[ξ]).

5. Fall: α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}) mit α_{1} ∈ L und κ := tp(α_{1}) ≥ π. Setze γ := ψ_{κ}(α_{1}). Dann gilt γ =_{NF} ψ_{κ}(α_{1}). Falls κ > π ist, so gilt L(γ) ≤ L(α) = L(π) + L(tp(α_{1})) + L(α_{1}). Für κ = π gilt α = γ und L(α) = L(γ). Ferner erhält man α[k + 1] = ψ_{π}(α_{1}[γ[k]]), wobei γ[0] = ψ_{κ}(α_{1}[0]) und γ[n] = ψ_{κ}(α_{1}[γ[n − 1]]) für n > 0 ist. 5.1. Fall: ξ = 0. Dann gilt α[ξ] = ψ_{π}(α_{1}[ψ_{κ}(α_{1}[0])]) < β < ψ_{π}(α_{1}[ψ_{κ}(α_{1}[ψ_{κ}(α_{1}[0])])]). Im Falle β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2} folgt die Behauptung unmittelbar aus der Nebeninduktionsvoraussetzung. Es sei daher β = ψ_{π}(β_{1}). Dann gilt α_{1}[ψ_{κ}(α_{1}[0])] < β_{1} < α_{1}[ψ_{κ}(α_{1})]. In dieser Situation folgt aus Lemma 2.5 a) α_{1}[ψ_{κ}(α_{1}[0])] < β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Das liefert unmittelbar die Behauptung. 5.2. Fall: ξ = k + 1. Dann gilt α[k + 1] = ψ_{π}(α_{1}[γ[k]]) < β < ψ_{π}(α_{1}[γ[k + 1]]). Im Falle β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2} folgt die Behauptung unmittelbar aus der Nebeninduktionsvoraussetzung. Es sei daher β = ψ_{π}(β_{1}). Nach Hauptinduktionsvoraussetzung gilt nun (∀η)[γ[k] < η ≤ γ[k + 1] ⇒ γ[k] ≤ η[(tp(η))^{−}]]. Wegen α_{1}[γ[k]] < β_{1} ≤ α_{1}[γ[k + 1]] folgt aus Lemma 2.5 b) α_{1}[γ[k]] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Dies liefert wiederum leicht die Behauptung.

6. Fall: α =_{NF} ψ_{π}(α_{1} + 1). Hier ist tp(α) = ω und es gilt α[ξ] = ω_{ξ}(ψ_{π}(α_{1}) + 1) < β < ω_{ξ+1}(ψ_{π}(α_{1}) + 1) = α[ξ + 1]. Zwischen α[ξ] und α[ξ + 1] liegt dann keine Epsilon-Zahl. 6.1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}}. Dann gilt β_{1} > ψ_{π}(α_{1}). Im Falle ξ = 0 gälte ω^{β_{1}} < ω^{ψ_{π}(α_{1})+1} = α[1], also β_{1} ≤ ψ_{π}(α_{1}) im Widerspruch zu β_{1} > ψ_{π}(α_{1}). Also ist ξ > 0. Damit gilt α[ξ − 1] < β_{1} < α[ξ]. Die Induktionsvoraussetzung liefert nun α[ξ − 1] ≤ β_{1}[0] < α[ξ]. Daher folgt α[ξ] = ω^{α[ξ−1]} ≤ ω^{β_{1}[0]} = β[0]. 6.2. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2} und β_{2} ≠ 0. Im Falle ξ > 0 ist α[ξ] eine additive Hauptzahl und es gilt ω^{β_{1}} ≥ α[ξ]. Daher folgt in diesem Fall α[ξ] ≤ ω^{β_{1}} ≤ β[0].

Es sei nun ξ = 0. Dann gilt ψ_{π}(α_{1})+1 < ω^{β_{1}} +β_{2} < ω^{ψ_{π}(α_{1})+1}. Es folgt 1 < β_{2} und somit nach Lemma 2.4 a) 1 ≤ β_{2}[0]. Damit folgt dann die Behauptung.

7. Fall: α = ψ_{π}(0). Dieser Fall ist analog zu Fall 6.

8. Fall: α = Ω_{α_{1}+1}. Dann gilt α[ξ] = ξ < β ≤ ξ + 1 = α[ξ + 1] und daher β = ξ + 1 was β[(tp(β))^{−}] = ξ nach sich zieht.

9. Fall: α = Ω_{α_{1}} mit α_{1} ∈ L. Dann gilt Ω_{α_{1}[ξ]} < β ≤ Ω_{α_{1}[ξ+1]}. Falls β =_{NF} ω^{β_{1}} + β_{2}, so folgt die Behauptung unmittelbar aus der Nebeninduktionsvoraussetzung wie im vierten Fall. 9.1. Fall: β =_{NF} ψ_{π}(β_{1}). Dann gilt Ω_{α_{1}[ξ]} < π und daher Ω_{α_{1}[ξ]} ≤ π^{−} ≤ β[(tp(β))^{−}]. 9.2. Fall: β = Ω_{β_{1}+1}. Dann gilt α_{1}[ξ] ≤ β_{1} und daher β[(tp(β))^{−}] = Ω_{β_{1}} ≥ Ω_{α_{1}[ξ]}. 9.3. Fall: β = Ω_{β_{1}} mit β_{1} ∈ L. Dann gilt α_{1}[ξ] < β_{1} < α_{1}[ξ + 1]. Die Hauptinduktionsvoraussetzung liefert α_{1}[ξ] ≤ β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]. Daher folgt Ω_{α_{1}[ξ]} ≤ Ω_{β_{1}[(tp(β_{1}))^{−}]} = β[(tp(β))^{−}]. □

Definition 2.5 (Definition von α ≺_{x} β.) α ≺_{x} β : ⟺ (∃n ≥ 1)(∃γ_{0}, …, γ_{n})[α = γ_{0} & β = γ_{n} & (∀i < n)[γ_{i} = γ_{i+1}[x]]]. Ferner sei α ⪯_{x} β : ⟺ α ≺_{x} β ∨ α = β. α ≺_{x} β bedeutet somit, daß α durch Abstieg an der Stelle x längs der zu β gehörigen Hauptfolge von β aus erreichbar ist.

Definition 2.6 (Definition von Hauptfolgenzuordnung.) Eine Hauptfolgenzuordnung für ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) ist eine Funktion ·[·] : (ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) ∩ L) × IN → ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) mit λ[x] < λ, λ[x] < λ[x + 1] und sup{λ[x] : x ∈ IN} = λ.

Definition 2.7 (Definition der Bachmann-Eigenschaft.) Eine Hauptfolgenzuordnung ·[·] für ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) besitzt die Bachmann-Eigen-schaft, wenn für α, β ∈ L ∩ Λ_{0} mit α[x] < β ≤ α[x + 1] schon α[x] ≤ β[0] gilt.

Theorem 2.3

a) α ∈ L ∩ ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) & α[x] < β ≤ α[x + 1] ⇒ α[x] ≤ β[0].

b) α ≺_{x} β < ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) & x ≤ y ⇒ α ≺_{y} β.

c) α < β < ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) ⇒ (∃x < ω)[α ≺_{x} β]. Beweis :

a) folgt unmittelbar aus Lemma 2.5.

b) folgt leicht aus a).

c) Beweis durch transfinite Induktion nach β unter Verwendung von b). □ Theorem 2.3 a) besagt also gerade, daß die (von uns gewählte Variante der) Buchholz-Schütteschen Hauptfolgenzuordnung die Bachmann-Eigenschaft besitzt.^{36} Für die in Buchholz und Schütte gewählte Hauptfolgenzuordnung gilt für α < ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) lediglich die etwas schwächere Aussage α[x] ≺_{1} α[x + 1]. Nach Aoyama und Kadota (1990) gelten die zentralen Majorisierungseigenschaften für die langsam und schnell wachsenden Hierarchie aber auch unter dieser Bedingung.

3 Totale Kollabierungsfunktionen für T (Ω)

In diesem Abschnitt entwickeln wir die klassischen totalen Kollabierungsfunktionen für T (Ω). Auf T (Ω) operieren die Funktionen ξ ↦ ψ_{κ}(ξ) lediglich als partielle Funktionen, da ψ_{κ}(α) ∈ T (Ω) für α ∈ T (Ω) lediglich unter der zusätzlichen Voraussetzung G_{κ}(α) < α gilt. Aus diesem Grund führt man daher eine Hilfsfunktion h_{k} : T (Ω) → T (Ω) ein, derart daß G_{κ}(h_{κ}(α)) < h_{κ}(α) gilt und h_{κ}(α) die in α enthaltene Information in möglichst hohem Maße konserviert, um dann schließlich die auf T (Ω) totale Kollabierungsfunktion ξ ↦ ψ_{κ}(h_{κ}(ξ)) einzuführen. Die naheliegendste Idee wäre an dieser Stelle die Festlegung h̃_{κ}(α) := g_{κ}(α) + ω^{α},^{37} die sich bei beweistheoretischen Anwendungen bereits bewährt hat.^{38} Aus technischen Gründen sind wir hier jedoch veranlaßt, die Funktion h_{k} so zu definieren, daß

36Man kann außerdem dem Beweisgang zu Theorem 2.3 a) entnehmen, daß auch α ∈ L ∩ Ω_{1} & x < y ⇒ α[x] + 1 ⪯_{y} α[y] gilt. Diese Eigenschaft wird auch als ,,niceness“ der Hauptfolgenzuordnung bezeichnet und spielt bei dem Wainerschen Zugang über strukturierte Baumordinalzahlen eine große Rolle.

(∗) ψ_{μ}(h_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α)))) ≥ ψ_{μ}(h_{μ}(α))

für α ≥ κ ≥ μ gilt. Ein wesentlicher Grund hierfür liegt in der Klausel (L8) in der Buchholz-Schütteschen Hauptfolgenzuordnung. Um später nach geeigneten Transformationen die in (L8) auftretenden verschachtelten Kollabierungen unter Kontrolle halten zu können, muß (∗) erfüllt sein. Dies führt aber dazu, daß wir alle möglichen Kollabierungen, die auf der linken Seite von (∗) auftreten, durch eine geschickte Definition in den Griff bekommen müssen, was zunächst fast unmöglich erscheint. Glücklicherweise sind aber aus der Literatur schon Ansätze bekannt, die das Problem lösen.^{39} Zu diesem Zweck sind tiefgreifende Umstrukturierungen von α, nämlich genügend viele Zwischenkollabierungen längs sogenannter Y -Mengen erforderlich, die jetzt definiert werden sollen.

37Offenbar gilt G_{κ}(g_{κ}(α) + ω^{α}) ≤ α < g_{κ}(α) + ω^{α} und damit ist für jedes α ∈ T (Ω)

auch ψ_{κ}(h̃_{κ}(α)) ∈ T (Ω).

38Dieser Ansatz wurde für das von M. Rathjen stammende Bezeichnungssystem T (M)

in Weiermann (1990) eingeführt. In Glaß (1990) und Blankertz (1994) wurden mit diesen vereinfachten Kollabierungsfunktionen beweistheoretische Untersuchungen zur Theorie KP M vorgenommen.

39Unseres Wissens geht die Definition der gesuchten Funktionen auf Levitz (1970)

zurück, der diese zum Vergleich verschiedener Bezeichnungssysteme verwendete. Später wurde sein Ansatz von Schütte, Buchholz, Pohlers und anderen für beweistheoretische Zwecke verallgemeinert. Siehe etwa Pohlers (1981).

Definition 3.1 (Rekursive Definition einer endlichen Ordinalzahlenmenge Y (γ) ⊆ T (Ω) für γ ∈ T (Ω).)

a) Y (0) := ∅.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ Y (γ) := Y (α) ∪ Y (β).

c) γ =_{NF} Ω_{α} ⇒ Y (γ) := {γ} ∪ Y (α).

d) γ =_{NF} ψ_{μ}(β) ⇒ Y (γ) := Y (μ) ∪ (Y (β) ∩ μ).

Definition 3.2 (Definition von μ^{+}(α).) Für {κ ∈ Y (α) : κ > μ} ≠ ∅ sei μ^{+}(α) := min{κ ∈ Y (α) : κ > μ}. Anderenfalls sei μ^{+}(α) := μ.

Lemma 3.1

a) Y (Ω_{α}) ≤ Ω_{α} & Y (β) ≤ β^{+}.

b) α ≥ κ ⇒ Y (α) \ κ ≠ ∅.

c) G_{κ}(α) ≤ ⋃{G_{μ}(α) : μ ∈ Y (α) & μ ≥ κ}.

d) μ < κ ≤ μ^{+}(α) ⇒ g_{κ}(α) = g_{μ^{+}(α)}(α).

e) μ ∈ Y α ⇒ G_{κ}(μ) ⊆ G_{κ}(α).

f) μ < κ ∈ Y (α) ⇒ K_{μ}(κ) ⊆ K_{μ}(α). Beweis :

a) Beweis durch Induktion nach 2^{N(α)} + 2^{N(β)}.

b) Beweis durch Induktion nach N(α).

c) Beweis durch Induktion nach N(α). Falls α nicht die Gestalt ψ_{π}(β) hat, so folgt die Behauptung leicht aus der Induktionsvoraussetzung. Es gelte daher α =_{NF} ψ_{π}(β). Im Falle κ > π gilt G_{κ}(α) = ∅ und die Behauptung ist klar. Es sei daher κ ≤ π. Es sei G := ⋃{G_{μ}(α) : μ ∈ Y (α) & μ ≥ κ}. Dann gilt G_{κ}(α) = {β} ∪ G_{κ}(π) ∪ G_{κ}(β) und Y (α) = Y (π) ∪ (Y (β) ∩ π). Zunächst hat man β ∈ G_{π}(α) ⊆ G. Die Induktionsvoraussetzung liefert G_{κ}(π) ≤ ⋃{G_{μ}(π) : μ ∈ Y (π) & μ ≥ κ} ⊆ G. Außerdem erhalten wir aus der Induktionsvoraussetzung G_{κ}(β) ⊆ ⋃{G_{μ}(β) : μ ∈ Y (β) & μ ≥ κ}. Es sei nun μ ∈ Y (β) und μ ≥ κ. Im Falle π < μ gilt G_{μ}(β) ≤ G_{π}(β) < {β} ⊆ G nach Lemma 1.20 b). Für μ ≤ π gilt μ ∈ Y (π) ∪ (Y (β) ∩ π). In jedem Fall gilt also G_{μ}(β) ≤ G.

d) folgt aus c) mit Lemma 1.20 b).

e) Beweis durch Induktion nach N(α) unter Beachtung von G_{κ}(κ) = ∅.

f) Beweis durch Induktion nach N(α). □ Nach Lemma 3.1 c) folgt aus g_{κ}(α) > g_{κ^{+}}(α) notwendig κ ∈ Y (α). Die Menge Y (α) umfaßt daher alle möglichen Sprungstellen der Funktion κ ↦ g_{κ}(α).

Definition 3.3 (Definition von h_{μ}(α).)

a) Falls α < μ^{+}, so sei h_{μ}(α) := g_{μ}(α) + ω^{α}.

b) Falls h_{μ^{+}(α)}(α) definiert ist und α ≥ μ^{+} sowie g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α) gelten, so sei h_{μ}(α) := h_{μ^{+}(α)}(α).

c) Falls h_{μ^{+}(α)}(α) definiert ist und α ≥ μ^{+} sowie g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α) gelten, so sei h_{μ}(α) := g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)).

d) In den anderen Fällen sei h_{μ}(α) undefiniert.

Lemma 3.2

a) Ist h_{μ}(α) definiert, so gilt g_{μ}(α) < h_{μ}(α).

b) Gilt α ≥ μ^{+} und ist h_{μ^{+}(α)}(α) definiert mit g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α), so gilt μ ∈ Y (α).

c) Gilt κ ≤ μ und ist h_{μ}(α) definiert, so gilt g_{κ}(h_{μ}(α)) = g_{κ}(α).

d) Gilt κ ∈ [μ^{+}, μ^{+}(α)] und ist h_{μ^{+}(α)}(α) definiert, so gilt h_{κ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α).

e) Gilt α ≥ μ^{+} und ist h_{μ^{+}(α)}(α) definiert, dann folgt G_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) < h_{μ^{+}(α)}(α).

f) Für jedes α ∈ T (Ω) ist h_{μ}(α) definiert. Beweis :

a) Beweis durch Fallunterscheidung nach der Definition von h_{μ}(α). b) Nach Lemma 3.1 d) und nach a) gilt g_{μ^{+}}(α) = g_{μ^{+}(α)}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Mit Lemma 3.1 c) folgt die Behauptung.

c) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}. Falls α < μ^{+} gilt, so folgt die Behauptung aus Lemma 1.20 c). Gilt α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α), so folgt aus der Induktionsvoraussetzung g_{κ}(h_{μ}(α)) = g_{κ}(h_{μ^{+}(α)}(α)) = g_{κ}(α). Gilt schließlich α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α), so folgt aus der Induktionsvoraussetzung G_{κ}(h_{μ}(α)) = G_{κ}(g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α))) ≤ G_{κ}(g_{μ}(α)) ∪ G_{κ}(μ^{+}) ∪ G_{κ}(h_{μ^{+}(α)}(α)) ∪ {h_{μ^{+}(α)}(α)} ≤ G_{κ}(α) nach b), Lemma 3.1 e) und Lemma 1.20 b),c) und e). Also ist g_{κ}(h_{μ}(α)) ≤ g_{κ}(α). Nach Induktionsvoraussetzung gilt g_{κ}(α) = g_{κ}(h_{μ^{+}(α)}(α)) ≤ g_{κ}(h_{μ}(α)).

d) Es gelte ohne Einschränkung κ ∈ [μ^{+}, μ^{+}(α)[.

1. Fall: α < κ^{+}. Nach Lemma 3.1 d) gilt g_{μ^{+}(α)}(α) = g_{κ}(α) und daher folgt h_{κ}(α) = g_{κ}(α) + ω^{α} = g_{μ^{+}(α)}(α) + ω^{α} = h_{μ^{+}(α)}(α).

2. Fall: α ≥ κ^{+} und g_{κ}(α) < h_{κ^{+}(α)}(α). Wegen κ ∈ [μ^{+}, μ^{+}(α)[ folgt κ^{+}(α) = μ^{+}(α). Es folgt daher h_{κ}(α) = h_{κ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α).

3. Fall: α ≥ κ^{+} und g_{κ}(α) ≥ h_{κ^{+}(α)}(α). Nach a) und Lemma 3.1 d) gilt g_{κ}(α) = g_{μ^{+}(α)}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{κ^{+}(α)}(α). Dieser Fall tritt also nicht auf.

e) Die Behauptung folgt unmittelbar aus d), c) und a).

f) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}. Im Falle α < μ^{+} ist h_{μ}(α) natürlich definiert. Falls α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α) gelten und falls h_{μ^{+}(α)}(α) nach Induktionsvoraussetzung schon definiert ist, so ist h_{μ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α) auch definiert. Falls schließlich α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α) gelten, so ist nach Induktionsvoraussetzung h_{μ^{+}(α)}(α) definiert. Nach e) gilt g_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) < h_{μ^{+}(α)}(α). Damit folgt ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) ∈ T (Ω) und h_{μ}(α) ist definiert. □

Nach Lemma 3.2 f) sind in den Aussagen a)-e) aus Lemma 3.2 die Definiertheitsvoraussetzungen überflüssig. Nach den Aussagen a) und c) aus Lemma 3.2 ist ξ ↦ ψ_{μ}(h_{μ}(α)) eine totale Operation auf T (Ω). Wir definieren daher.

Definition 3.4 (Definition von d_{μ}(α).) d_{μ}(α) := ψ_{μ}(h_{μ}(α)).

Definition 3.5 (Definition von D_{μ}(α).) D_{μ}(α) := d_{μ}(α), falls α ≥ μ, und D_{μ}(α) := α, falls α < μ. Wir kommen nun zur Definition der sogenannten ,,wesentlich-kleiner-Rela-tion“ – mitgeteilt durch << – auf T (Ω). Hierbei bedeutet α << β neben α < β, daß die in α enthaltene syntaktische Information durch die in β enthaltene abgedeckt wird. Diese anschauliche Interpretation spiegelt sich in den später bewiesenen Eigenschaften der jetzt definierten <<-Relation wider.

Definition 3.6 (Definition von α <<_{π} β.) Es seien α, β, π ∈ T (Ω). Dann gelte α <<_{π} β, falls α < β und D_{μ}(α) < D_{μ}(β) für alle μ ≥ π gilt. α << β : ⟺ α <<_{Ω_{1}} β. α\underline{<<}β : ⟺ α << β ∨ α = β. Es sei α = α_{1} + ⋯ + α_{n}, wobei α_{1}, …, α_{n} additive Hauptzahlen sind mit α_{1} ≥ … ≥ α_{n}. In dieser Situation sei r(α) := α_{n}. Offenbar folgt dann aus α < β und γ < r(β) schon α + γ < β. In dem folgenden technischen Lemma werden die Voraussetzungen für das ,,Rechnen“ mit der wesentlich-kleiner-Relation bereitgestellt. Von besonderer Bedeutung ist hier, wie bereits in der Einleitung zu diesem Abschnitt erwähnt, die Doppelkollabierungseigenschaft j), die später im Beweis der Aussagen e) und f) aus Lemma 3.6 verwendet wird.

Lemma 3.3

a) κ < μ ⇒ K_{κ}(h_{μ}(α)) = K_{κ}(α). Zudem gilt K_{κ}(α) ⊆ K_{κ}(h_{κ}(α)).

b) Y (α) ∩ μ ⊆ Y (h_{μ}(α)) ∩ μ. c) h_{μ^{+}}(α) ≤ h_{μ}(α).

d) μ ≤ κ ⇒ h_{κ}(α) ≤ h_{μ}(α).

e) μ ≤ α ⇒ μ ≤ r(h_{μ}(α)).

f) α < β < μ ⇒ h_{μ}(α) < h_{μ}(β).

g) h_{μ^{+}}(α) = h_{μ^{+}}(β) ⇒ h_{μ}(α) = h_{μ}(β).

h) α < β & h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) & G_{μ}(α) < h_{μ}(β) ⇒ h_{μ}(α) < h_{μ}(β).

i) κ > μ & h_{μ^{+}}(α) ≤ h_{μ^{+}}(ψ_{κ}(h_{κ}(α))) ⇒ h_{μ}(α) ≤ h_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α))).

j) α ≥ κ ≥ μ ⇒ h_{μ}(α) ≤ h_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α))) & ψ_{μ}(h_{μ}(α)) ≤ ψ_{μ}(h_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α)))).

k) g_{μ}(α) < h_{μ}(β) ⇒ K_{μ}(α) < ψ_{μ}(h_{μ}(β)).

l) g_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) & K_{μ}(α) < ψ_{μ}(h_{μ}(β)) ⇒ g_{μ}(α) < h_{μ}(β).

m) ω^{α} ≤ h_{μ}(α).

n) G_{μ}(α) < ω^{α} ⇒ h_{μ}(α) = ω^{α}. Beweis :

a) Beweis der ersten Aussage durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+} unter Verwendung von Lemma 3.1 f) und Lemma 1.22 c). Die zweite Aussage folgt dann unmittelbar.

b) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}.

c) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+} unter Verwendung von Lemma 3.2 d).

d) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+} unter Verwendung von c).

e) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}.

1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt r(h_{μ}(α)) = ω^{α} ≥ μ.

2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Falls α ≥ μ^{+}(α), so folgt r(h_{μ}(α)) = r(h_{μ^{+}(α)}(α)) ≥ μ^{+}(α) ≥ μ aus der Induktionsvoraussetzung. Falls α < μ^{+}(α), so gilt h_{μ^{+}(α)}(α) = g_{μ^{+}(α)}(α)+ω^{α} und es folgt r(h_{μ}(α)) = ω^{α} ≥ μ.

3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt r(h_{μ}(α)) ≥ μ.

f) Aus α < β < μ folgt mit Lemma 1.20 g) G_{μ}(α) ≤ G_{μ}(β) und daraus folgt die Behauptung.

g) 1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt h_{μ^{+}}(α) = g_{μ^{+}}(α) + ω^{α} = h_{μ^{+}}(β). Wäre β ≥ μ^{+}, so folgte mit e) ω^{α} = r(h_{μ^{+}}(β)) ≥ μ^{+}. Also gilt β < μ^{+} und h_{μ^{+}}(β) = g_{μ^{+}}(β) + ω^{β}. Also gilt α = β und damit folgt die Behauptung.

2. Fall: α ≥ μ^{+}. Dann gilt r(h_{μ^{+}}(β)) = r(h_{μ^{+}}(α)) ≥ μ^{+} nach e). Wäre β < μ^{+}, so folgte der Widerspruch μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}(β)) = ω^{β} < μ^{+}. Also gilt auch β ≥ μ^{+}. 2.1. Fall: g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt nach Lemma 3.2 d) h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) und h_{μ^{+}(β)}(β) = h_{μ^{+}}(β). Es gilt g_{μ}(β) = g_{μ}(h_{μ^{+}}(β)) = g_{μ}(h_{μ^{+}}(α)) = g_{μ}(α) < h_{μ^{+}}(α) = h_{μ^{+}}(β) = h_{μ^{+}(β)}(β). Also gilt h_{μ}(α) = h_{μ^{+}}(α) = h_{μ^{+}}(β) = h_{μ}(β). 2.2 Fall: g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt wiederum nach Lemma 3.2 d) h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) und h_{μ^{+}(β)}(β) = h_{μ^{+}}(β). Desweiteren gilt g_{μ}(β) ≥ g_{μ}(h_{μ^{+}}(β)) = g_{μ}(h_{μ^{+}}(α)) ≥ g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}}(α) = h_{μ^{+}}(β) = h_{μ^{+}(β)}(β). Somit folgt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) = g_{μ}(h_{μ^{+}}(α)) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}(α)) = g_{μ}(h_{μ^{+}}(β)) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}(β)) = h_{μ}(β).

h) 1. Fall: β < μ^{+}. Aus g_{μ}(α) < g_{μ}(β) + ω^{β} = h_{μ}(β) und ω^{α} < ω^{β} = r(h_{μ}(β)) folgt die Behauptung.

2. Fall: β ≥ μ^{+} und g_{μ}(β) < h_{μ^{+}(β)}(β). Dann gilt h_{μ}(β) = h_{μ^{+}(β)}(β) = h_{μ^{+}}(β).

2.1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ω^{α}. Aus β ≥ μ^{+} folgt ω^{α} < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}(β)). Aus g_{μ}(α) < h_{μ}(β) folgt daher die Behauptung. 2.2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt h_{μ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) ≤ h_{μ}(β) nach c). 2.3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α). Hier gilt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)). Aus β ≥ μ^{+} folgt ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}(β)) = r(h_{μ}(β)). Aus g_{μ}(α) < h_{μ}(β) folgt somit die Behauptung.

3. Fall: β ≥ μ^{+} und g_{μ}(β) ≥ h_{μ^{+}(β)}(β). Dann gilt h_{μ}(β) = g_{μ}(β) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(β)}(β)). 3.1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ω^{α}. Aus g_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) folgt α < ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(β)}(β)). Also gilt ω^{α} < r(h_{μ}(β)) und mit g_{μ}(α) < h_{μ}(β) folgt die Behauptung. 3.2 Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). In diesem Fall gilt h_{μ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) ≤ h_{μ}(β) nach c). 3.3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) < ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(β)}(β)) aufgrund von h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) = h_{μ^{+}(β)}(β). Mit g_{μ}(α) < h_{μ}(β) folgt wiederum die Behauptung.

i) Setze β := ψ_{κ}(h_{κ}(α)). Nach g) dürfen wir h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) annehmen. Ferner gilt

(∗) g_{μ}(α) ≤ g_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α))) = g_{μ}(β) < h_{μ}(β).

1. Fall: β < μ^{+}. Dann gilt μ^{+} = κ. 1.1. Fall: α < μ^{+}. Wäre β < α, so folgte h_{μ^{+}}(β) < h_{μ^{+}}(α) nach f). Also gilt α < β. Mit (∗) und h) folgt die Behauptung. 1.2. Fall: α ≥ μ^{+}. Falls g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α) ist, so gilt h_{μ}(α) = h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) ≤ h_{μ}(β). Falls g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α) gilt, so folgt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}(α)) ≤ g_{μ}(β) + ω^{β} = h_{μ}(β) nach (∗).

2. Fall: β ≥ μ^{+} und g_{μ}(β) < h_{μ^{+}(β)}(β). 2.1. Fall: α < μ^{+}, oder α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}}(α). In diesem Fall ist h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + γ mit γ < μ^{+}. Mit (∗) und γ < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}(β)) = r(h_{μ}(β)) folgt die Behauptung. 2.2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt h_{μ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α) = h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) ≤ h_{μ}(β).

3. Fall: β ≥ μ^{+} und g_{μ}(β) ≥ h_{μ^{+}(β)}(β). 3.1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt g_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β) und somit α < ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(β)}(β)). Also gilt ω^{α} < μ^{+} ≤ r(h_{μ}(β)) und die Behauptung folgt aus (∗). 3.2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Dieser Fall ist analog zu Fall 2.2. 3.3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α)) = ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}(α)) < ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}(β)) = r(h_{μ}(β)). Aus (∗) folgt die Behauptung.

j) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in der Menge Y (ψ_{κ}(h_{κ}(α))) \ μ^{+}. Setze β := ψ_{κ}(h_{κ}(α)).

1. Fall: μ = κ. Hier gilt h_{μ}(α) = h_{κ}(α) ∈ G_{κ}(β) < h_{μ}(β) und daher folgt ψ_{μ}(h_{μ}(α)) ≤ ψ_{μ}(h_{μ}(ψ_{κ}(h_{κ}(α)))).

2. Fall: μ < κ ≤ α. Dann gilt μ < μ^{+}(β) ≤ μ^{+}(α) nach b). Für ρ := μ^{+}(β) gilt nach Lemma 3.2 d) und der Induktionsvoraussetzung h_{μ^{+}}(α) = h_{ρ}(α) ≤ h_{ρ}(β) = h_{μ^{+}}(β). Nach i) gilt h_{μ}(α) ≤ h_{μ}(β) und damit folgt ψ_{μ}(h_{μ}(α)) ≤ ψ_{μ}(h_{μ}(β)).

k) ist klar nach Lemma 1.22 b).

l) Gilt g_{μ}(α) ≤ g_{μ^{+}}(α), so folgt g_{μ}(α) < h_{μ^{+}}(β) ≤ h_{μ}(β). Ansonsten gilt nach Lemma 1.22 d) G_{μ}(α) ≤ G_{μ^{+}}(α) ∪ G_{μ}(K_{μ}(α)) ≤ G_{μ}(K_{μ}(α)). Aus K_{μ}(α) < ψ_{μ}(h_{μ}(β)) folgt aber G_{μ}(K_{μ}(α)) < h_{μ}(β) und daraus folgt die Behauptung.

m) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}.

n) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}.

1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt h_{μ}(α) = g_{μ}(α) + ω^{α} = ω^{α} wegen G_{μ}(α) < ω^{α}.

2. Fall: α ≥ μ^{+}. Nach m) gilt G_{μ}(α) < ω^{α} ≤ h_{μ^{+}(α)}(α) und daher folgt aus der Induktionsvoraussetzung h_{μ}(α) = h_{μ^{+}(α)}(α) = ω^{α}. □

Lemma 3.4 (Charakterisierung von α <<_{π} β.)

a) α <<_{π} β ⇒ (∀μ ≥ π)[K_{μ}(α) < D_{μ}β].

b) α < β & (∀μ ≥ π)[K_{μ}(α) < D_{μ}β] ⇒ (∀μ ≥ π)[h_{μ}(α) < h_{μ}(β)].

c) α <<_{π} β ⟺ α < β & (∀μ ≥ π)[K_{μ}(α) < D_{μ}β].

d) α < β & (∀μ ≥ π)[G_{μ}(α) ≤ G_{μ}(β)] ⇒ α <<_{π} β. Beweis :

a) Es sei μ ≥ π. Für α ≥ μ gilt dann K_{μ}(α) = K_{μ}(h_{μ}(α)) < ψ_{μ}(h_{μ}(α)) = D_{μ}(α) < D_{μ}(β) nach den Aussagen a) und k) aus Lemma 3.3. Falls α < μ, so folgt K_{μ}(α) ≤ α = D_{μ}(α) < D_{μ}(β) nach Lemma 1.22 e).

b) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in der Menge (Y (α) ∪ Y (β)) \ μ^{+}.

1. Fall (Y (α) ∪ Y (β)) \ μ^{+} = ∅. Dann gilt nach Lemma 3.1 b) α < β < μ^{+}, und aus Lemma 1.20 g) folgt daher g_{μ^{+}}(α) ≤ g_{μ^{+}}(β) < h_{μ^{+}}(β). Nach Voraussetzung gilt K_{μ}(α) < ψ_{μ}(h_{μ}(β)). Mit Lemma 3.3 l) folgt g_{μ}(α) < h_{μ}(β). Aufgrund von ω^{α} < ω^{β} = r(h_{μ}(β)) folgt die Behauptung.

2. Fall: (Y (α) ∪ Y (β)) \ μ^{+} ≠ ∅. Nun gilt β ≥ μ nach Lemma 3.1 a). Die Induktionsvoraussetzung im Verein mit Lemma 3.2 d) liefert h_{μ^{+}}(α) < h_{μ^{+}}(β). Aus K_{μ}(α) < ψ_{μ}(h_{μ}(β)) folgt nach Lemma 3.3 l) g_{μ}(α) < h_{μ}(β) und damit h_{μ}(α) < h_{μ}(β) nach Lemma 3.3 h).

c) folgt leicht aus a) und b).

d) Es sei μ ≥ π. Wir haben K_{μ}(α) < D_{μ}(β) zu zeigen. Im Fall β < μ gilt K_{μ}(α) ≤ α < β = D_{μ}(β). Es sei daher β ≥ μ. Dann folgt G_{μ}(K_{μ}(α)) ≤ G_{μ}(α) ≤ G_{μ}(β) < h_{μ}(β) nach Lemma 1.22 f). Also gilt ξ < ψ_{μ}(h_{μ}(β)) für alle ξ ∈ K_{μ}(α). □

Lemma 3.5

a) γ ≠ 0 ⇒ α <<_{π} α#γ.

b) α < ω^{α} ⇒ α <<_{π} ω^{α}.

c) α > 0 ⇒ α <<_{π} Ω_{α}.

d) D_{μ}(α)\underline{<<}d_{μ}(α).

e) α\underline{<<}x^{α}\underline{<<}ω^{α}\underline{<<}ω̄^{α}.^{40} Beweis : Die Aussagen folgen jeweils unmittelbar aus Lemma 3.4 d). Wir zeigen exemplarisch Aussage d). Wir dürfen α < μ annehmen. Wegen G_{μ}(α) < h_{μ}(α) gilt α < d_{μ}(α). Es sei ρ ∈ R beliebig gewählt. Dann ist G_{ρ}(α) ≤ G_{ρ}(d_{μ}(α)) zu zeigen. Für ρ ≥ μ gilt dies nach Lemma 1.20 g). Für ρ < μ gilt aber G_{ρ}(α) ≤ G_{ρ}(h_{μ}(α)) ≤ G_{ρ}(d_{μ}(α)). □

Lemma 3.6 Es gelte α <<_{π} β. Dann gelten: a) α#γ <<_{π} β#γ.

40Die Funktion α ↦ ω̄^{α} wurde in Definition 1.10 eingeführt.

b) ω^{α} <<_{π} ω^{β} & ω̄^{a} << ω̄^{β}.

c) (x + 2)^{α} <<_{π} (x + 2)^{β}.

d) Ω_{α} <<_{π} Ω_{β}.

e) D_{κ}(α) <<_{π} D_{κ}(β), falls κ ≥ π.

f) d_{κ}(α) <<_{π} d_{κ}(β), falls κ ≥ π.

g) κ\underline{<<}_{π}β ⇒ d_{κ}(α) <<_{π} β. Beweis : Die Behauptungen folgen aus Lemma 3.4 c) und Lemma 3.3 j). Wir beschränken uns auf den Beweis von f) und g).

f) Wir haben K_{μ}(d_{κ}(α)) < D_{μ}(d_{κ}(β)) für μ ≥ π zu zeigen.

1. Fall: μ < κ. Dann gilt K_{μ}(κ) ≤ K_{μ}(d_{κ}(β)) < D_{μ}(d_{κ}(β)). Zudem erhalten wir K_{μ}(α) < D_{μ}(β) ≤ D_{μ}(d_{κ}(β)) aus Lemma 3.3 j) falls β ≥ κ. Im Fall β < κ gilt nach Lemma 3.5 d) β = D_{κ}(β) << d_{κ}(β). Also gilt auch hier K_{μ}(α) < D_{μ}(β) ≤ D_{μ}(d_{κ}(β)). Daher erhalten wir nach Lemma 3.3 a) K_{μ}(d_{κ}(α)) = K_{μ}(κ) ∪ K_{μ}(α) < D_{μ}(d_{κ}(β)).

2. Fall: μ ≥ κ. Dann gilt K_{μ}(d_{κ}(α)) = {d_{κ}(α)} < d_{κ}(β) = D_{μ}(d_{κ}(β)) aufgrund von α <<_{π} β und Lemma 3.4 b).

g) Wir haben K_{μ}(d_{κ}(α)) < D_{μ}(β) für μ ≥ π zu zeigen.

1. Fall: μ < κ. Für κ = Ω_{ξ+1} gilt ξ <<_{π} κ\underline{<<}_{π}β. Daher gilt K_{μ}(κ) = K_{μ}(ξ) < D_{μ}(β). Nach Voraussetzung gilt K_{μ}(α) < D_{μ}(β). Es folgt nach Lemma 3.3 a) K_{μ}(d_{κ}(α)) = K_{μ}(κ) ∪ K_{μ}(α) < D_{μ}(β).

2. Fall: μ ≥ κ. Dann erhalten wir K_{μ}(d_{κ}(α)) = {d_{κ}(α)} < D_{κ}(β) ≤ D_{μ}(β) aufgrund von α <<_{π} β und κ ≤ β. □ Für ein n-Tupel κ⃗ = ⟨κ_{1}, …, κ_{n}⟩ mit n ≥ 0 schreiben wir Dκ⃗(α) := D_{κ_{1}}(D_{κ_{2}}(...D_{κ_{n}}(α)...)). κ⃗ ≥ π sei eine Abkürzung für κ_{1}, …, κ_{n} ≥ π. Wir setzen ferner K_{μ}(κ⃗) := K_{μ}(κ_{1}) ∪ … ∪ K_{μ}(κ_{n}).

Definition 3.7 (Definition des π-Paars.^{41}) Eine Funktion λξ ∈ π.α_{ξ}, deren Bild in T (Ω) enthalten ist, und eine Ordinalzahl α nennen wir ein π-Paar, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

a) (∀ξ < η < π)[α_{ξ} <<_{π^{+}} α_{η} <<_{π^{+}} α],

b) (∀κ⃗ ≥ π^{+})(∀β)[Dκ⃗(α)\underline{<<}β ⇒ (∀ξ < π)[ξ << β ⇒ Dκ⃗(α_{ξ}) << β]].

Lemma 3.7 Es sei ⟨λξ ∈ π.α_{ξ}, α⟩ ein π-Paar. Dann gelten:

a) ⟨λξ ∈ π.α_{ξ}#β, α#β⟩ ist ein π-Paar.

b) ⟨λξ ∈ π.ω̄^{α_{ξ}}, ω^{α}⟩ ist ein π-Paar.

c) ⟨λξ ∈ π.Ω_{α_{ξ}}, Ω_{α}⟩ ist ein π-Paar.

d) ⟨λξ ∈ π.d_{μ}(α_{ξ}), d_{μ}(α)⟩ ist ein π-Paar, falls μ ≥ π^{+}.

e) ⟨λξ ∈ π.D_{μ}(α_{ξ}), D_{μ}(α)⟩ ist ein π-Paar, falls μ ≥ π^{+}. Beweis : Wir zeigen lediglich b) und d). Die übrigen Behauptungen sind leicht zu zeigen.

b) Es seien ξ < η < π. Dann gilt α_{ξ} <<_{π^{+}} α_{η} <<_{π^{+}} α. Damit gilt ω̄^{α_{ξ}} <<_{π^{+}} ω̄^{α_{η}}. Zudem gilt ω̄^{α_{ξ}} \underline{<<}_{π^{+}}ω^{α_{η}+1}\underline{<<}_{π^{+}}ω^{α_{η+1}} <<_{π^{+}} ω^{α} aufgrund von α_{η} <<_{π^{+}} α_{η+1}. Der Rest folgt durch eine einfache Fallunterscheidung aus der Voraussetzung.

d) Es gelte μ ≥ π^{+}. Es seien ξ < η < π. Da ⟨λξ ∈ π.α_{ξ}, α⟩ ein π-Paar ist, gilt dann α_{ξ} <<_{π^{+}} α_{η} <<_{π^{+}} α. Somit folgt d_{μ}(α_{ξ}) <<_{π^{+}} d_{μ}(α_{η}) <<_{π^{+}} d_{μ}(α) nach Lemma 3.6 f). Insbesondere folgt Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ})) <<_{π^{+}} Dκ⃗(d_{μ}(α)), falls κ⃗ ≥ π^{+}. Es gelte nun κ⃗ = ⟨κ_{1}, …, κ_{n}⟩ ≥ π^{+}, κ_{1} < … < κ_{n} < μ, ξ < π, Dκ⃗(d_{μ}(α))\underline{<<}β und ξ << β. Wir behaupten: Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ})) << β. Falls α > α_{ξ} ≥ μ ist, so folgt die Behauptung aus der Tatsache, daß ⟨λξ ∈ π.α_{ξ}, α⟩ ein π-Paar ist. Im Falle α_{ξ} < μ < α folgt Dκ⃗(α_{ξ}) = Dκ⃗(D_{μ}(α_{ξ})) << β, da ⟨λξ ∈ π.α_{ξ}, α⟩ ein π-Paar ist. Im Falle α < μ gilt α << d_{μ}(α), also Dκ⃗(α)\underline{<<}β und in beiden Fällen gilt

41Die Definition des π-Paars ist Jäger und Pohlers (1982) entnommen. Dort spielt diese technische Begriffsbildung in der Formulierung des halbformalen Systems RS(I) eine wichtige Rolle. Vereinfachend gesagt bilden λξ ∈ π.α_{ξ} und α ein π-Paar, wenn sich die in α_{ξ} enthaltene, für den Bereich π interessante, syntaktische Information durch die bereits in α und ξ enthaltene kontrollieren läßt.

(∗) Dκ⃗(α_{ξ}) << β.

Wir haben K_{ρ}(Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ}))) < D_{ρ}(β) für ein beliebiges ρ ∈ R zu zeigen.

1. Fall: n > 0 und ρ < κ⃗ < μ. Dann folgt K_{ρ}(α_{ξ}) < D_{ρ}(β) wegen (∗). Dκ⃗(d_{μ}(α))\underline{<<}β impliziert K_{ρ}(κ⃗)∪K_{ρ}(μ) ≤ K_{ρ}(Dκ⃗(d_{μ}(α))) < D_{ρ}(β). Es folgt K_{ρ}(Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ}))) < D_{ρ}(β).

2. Fall: n = 0 und ρ < μ. Dieser Fall ist analog zum ersten Fall.

3. Fall: n > 0 und ρ ≥ κ_{1}. Hier gilt K_{ρ}(Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ}))) = Dκ⃗(d_{μ}(α_{ξ})) < Dκ⃗(d_{μ}(α)) ≤ D_{κ_{1}}(β) ≤ D_{ρ}(β).

4. Fall: n = 0 und ρ ≥ μ. Dieser Fall ist analog zum dritten Fall. □

Lemma 3.8 ⟨λξ ∈ π.ξ, π⟩ ist ein π-Paar. Beweis : Der Beweis ist trivial. □

4 Subrekursive Hierarchien

4.1 Die erweiterte Grzegorczyk-Hierarchie

Wir betrachten aus Motivationsgründen zunächst wieder die Grzegorczyk-Hierarchie der primitiv rekursiven Funktionen. Für Funktionen F : IN → IN sei F^{n} : IN → IN definiert durch F^{n+1}(x) := F (F^{n}(x)), wobei F^{0}(x) := x gesetzt sei. Es sei F_{0}(x) := x + 1 und F_{m+1}(x) := F_{m}^{x+1}(x). Dann gilt F_{1}(x) = 2 · x + 1, F_{2}(x) = 2 · (...2 · (2 · x + 1) + 1...) + 1 ≥ 2^{x}, und F_{3}(x) ≥ 2^{2^{^{...}^{x}}}. Diese Betrachtung sollte überzeugend darlegen, warum diese Funktionen extrem stark wachsen. In jedem Schritt nimmt die Wachstumsrate der neuen Funktion verglichen mit denen der vorher definierten extrem zu. So fällt es nicht leicht, das Wachstumsverhalten von F_{4} auch nur annähernd in mathematisch geläufigen Termen zu beschreiben. Alle Funktionen F_{m} sind aber noch primitiv rekursiv. Man überlegt sich leicht, daß es zu jeder k-stelligen primitiv rekursiven Funktion eine natürliche Zahl c ∈ IN existiert, derart daß f(x_{1}, …, x_{k}) < F_{c}(max{x_{1}, …, x_{k}}) für alle x_{1}, …, x_{k} ∈ IN gilt. Somit bilden die Funktionen F_{m} ein ,,Einhüllendensystem“ für die primitiv rekursiven Funktionen. Die Funktion x ↦ F_{x+1}(x) ist selbst jedoch nicht mehr primitiv rekursiv. Es erscheint nun naheliegend, das Verfahren zur Erzeugung schnell wachsender Funktionen auf die Funktion F_{ω} definiert durch F_{ω}(x) := F_{x+1}(x) anzuwenden, um damit immer schneller wachsendere Funktionen zu erhalten. So setzt man etwa F_{ω+m+1}(x) := F_{ω+m}^{x+1}(x). Setzt man schließlich F_{ω+ω}(x) := F_{ω+x+1}(x), so wächst die neue Funktion wiederum schneller als alle Funktionen F_{ω+m}. Dieser Ansatz legt es nahe, die Definition der Grzegorczyk-Hierarchie ins Transfinite zu erweitern, indem man an Nachfolgerordinalzahlen wie vorher iteriert und an Limesstellen in natürlicher Weise diagonalisiert.

Definition 4.1 (Definition der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie.)

a) F_{0}(x) := x + 1.

b) F_{α+1}(x) := F_{α}^{x+1}(x).

c) F_{λ}(x) := F_{λ[x]}(x), falls λ eine Limesordinalzahl und ⟨λ[x] : x ∈ ω⟩ eine ,,in natürlicher Weise“ gegen λ konvergierende Hauptfolge ist.

So soll etwa ω[x] := x + 1 gelten, aber nicht etwa ω[x] := f(x) für eine ,,zu schnell wachsende“ streng monotone rekursive Funktion f. In der Folge beschränken wir uns aus pragmatischen Gründen^{42} darauf, für eine fest vorgegebene abzählbare Ordinalzahl eine fixierte Hauptfolgenzuordnung mit natürlichen Struktureigenschaften zugrundezulegen, die das Nichtkollabieren der zugehörigen erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie gewährleistet. So soll für α < β immer eine Zahl c existieren, derart daß F_{α}(c+x) < F_{β}(c+x) für alle x ∈ IN gilt. Ferner sollen die Funktionen F_{α} alle streng monoton wachsend sein. Es sei zunächst Δ eine beliebige fixierte abzählbare Ordinalzahl. Wir rufen an dieser Stelle einige elementare Tatsachen aus Rose (1984) ins Gedächtnis zurück.

Definition 4.2 (Definition von Hauptfolgenzuordnung.) Eine Hauptfolgenzuordnung für Δ ist eine Funktion ·[·] : (Δ ∩ L) × IN → Δ mit λ[x] < λ, λ[x] < λ[x + 1] und sup{λ[x] : x ∈ IN} = λ.

Definition 4.3 (Definition der Bachmann-Eigenschaft.) Eine Hauptfolgenzuordnung ·[·] für Δ besitze die Bachmann-Eigenschaft^{43}, wenn für γ, λ ∈ L ∩ Δ mit λ[x] < γ ≤ λ[x + 1] schon λ[x] ≤ γ[0] gilt. Für eine Hauptfolgenzuordnung ·[·] sei (α+1)[x] := α und [0](x) := 0 gesetzt.

42Auf die Fragestellung, ob man alle rekursiven Funktionen mit geeigneten transfiniten Rekursionen zufriedenstellend charakterisieren kann, wollen wir hier nicht weiter eingehen.

Alle uns bekannten in diese Richtung zielenden Versuche führten zu mehr oder weniger unbefriedigenden Ergebnissen. Siehe etwa Rose (1984) für eine Diskussion dieses Sachverhalts. Vergleiche auch Myhill (1953) und Feferman (1962).

43Siehe Schmidt (1977).

Ferner sei die Funktion ·[·]^{n} : Δ × IN → Δ definiert durch α[x]^{0} := α und α[x]^{n+1} := (α[x]^{n})[x].

Definition 4.4 Es gelte α ≺_{k} β : ⟺ α < β & (∃n ≥ 1)[β[k]^{n} = α]. Ferner sei α ⪯_{k} β, falls α ≺_{k} β oder α = β.

Definition 4.5

a) Eine Hauptfolgenzuordnung für Δ heiße ,,built-up“, falls λ[x] ≺_{0} λ[x + 1] für alle λ ∈ Δ und x ∈ IN gilt.^{44}

b) Eine Hauptfolgenzuordnung für Δ heiße ,,nice“, falls λ[x] + 1 ⪯_{y} λ[y] für alle λ ∈ Δ und x, y ∈ IN gilt.^{45}

Lemma 4.1 Eine Hauptfolgenzuordnung ·[·] besitzt genau dann die Bachmann-Eigen-schaft, wenn sie ,,built up“ ist. Beweis : Siehe Schmidt (1976/77) bzw Rose (1984). □

Lemma 4.2 Für jede abzählbare Ordinalzahl existiert eine Hauptfolgenzuordnung ·[·], die die Bachmann-Eigenschaft besitzt. Beweis : Vergleiche Rose (1984). Ein sehr einfacher Beweis dieses Satzes wird in Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) gegeben. □

Lemma 4.3 Ist Δ eine abzählbare Ordinalzahl und ist ·[·] eine Hauptfolgenzuordnung für Δ, die die Bachmann-Eigenschaft erfüllt, so gelten für α, β < Δ:

a) F_{α}(x) < F_{α}(x + 1). b) x > 0 & α ≺_{0} β ⇒ F_{α}(x) < F_{β}(x).

44Siehe Schmidt (1976)

45Siehe Dennis-Jones und Wainer (1984).

c) α < β ⇒ (∃c ∈ IN)(∀x ≥ c)[F_{α}(x) < F_{β}(x)]. Beweis : Siehe Rose (1984). □ Für die von uns intendierten Anwendungen ist die bislang entwickelte Theorie aber nicht informativ genug. An späterer Stelle benötigen wir, daß man die natürliche Zahl c aus Lemma 4.3 effektiv aus α und β bestimmen kann. Die bislang gemachten allgemeinen Voraussetzungen erweisen sich hierzu aber als zu schwach. Als sehr hilfreich für unsere weiteren Untersuchungen erweist sich an dieser Stelle der von Buchholz, Cichon und Weiermann in 1993 eingeführte uniforme Zugang zur Theorie der subrekursiven Funktionen. Diese Theorie wollen wir an dieser Stelle nicht allgemein entwickeln, sondern gleich für den Spezialfall des Bezeichnungssystems T (Ω) anwenden.^{46} Jede Ordinalzahl aus T (Ω) wird in eindeutiger Weise durch einen Term in den Symbolen +, ω, Ω und ψ darstellbar und besitzt daher eine in natürlicher Weise gegebene syntaktische Komplexität, etwa die Länge ihres darstellenden Terms, oder ihre in Abschnitt 1 definierte Norm. Definiert man nun

F′_{α}(x) := max({2^{x}} ∪ {F′_{β}^{x+1}(x) : β < α & N(β) ≤ N(α) + x},

so folgt aus dieser Definition relativ leicht das folgende Lemma.

Lemma 4.4 Es seien α, β ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}. Dann gilt:

a) F′_{α}(x) < F′_{α}(x + 1).

b) 0 < x & α < β & N(α) ≤ N(β) + x ⇒ (∀x)[F′_{α}(x) < F′_{β}(x)].

c) α < β ⇒ (∃c < ω)(∀x ≥ c)[F′_{α}(x) < F′_{β}(x)].

46Dieser Ansatz läßt sich aber problemlos auf stärkere Bezeichnungssysteme verallgemeinern.

Zu beachten ist an dieser Stelle die entscheidende Eigenschaft 4.4 b), die es erlaubt, effektiv Stellen zu berechnen, ab denen echte Majorisierung vorliegt. Ein entsprechendes Lemma für die klassischen F_{α}-Funktionen zu beweisen, erscheint uns jedenfalls zumindest nichttrivial zu sein. Setzt man ferner λ[x]_{C} := max{β < λ : N(β) ≤ N(λ) + x}^{47}, so besitzt, wie man sich sofort überlegt, diese Hauptfolgenzuordnung die Bachmann-Eigenschaft. (Mit einem Trick dieser Art läßt sich Lemma 4.2 unmittelbar beweisen.) In Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) wird gezeigt, daß dieser Zugang im wesentlichen äquivalent zum traditionellen ist. Speziell läßt sich zeigen, daß für jedes α in T (Ω)∩Ω_{1} ein α′ < α+ω existiert so daß F_{α}(x) < F′_{α′}(x) für alle x ∈ IN gilt und daß umgekehrt zu jedem α′ ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} ein α < α′ + ω existiert, so daß F′_{α′}(x) < F_{α}(x) für alle x ∈ IN gilt. Es stellt sich also heraus, daß die Definition der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie nicht allzu intrinsisch von der Hauptfolgenzuordnung abhängt. Zudem kann man mit dem neuen Zugang fast ohne zusätzliche Rechnung von der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie immer ohne Einschränkung die Gültigkeit von Lemma 4.4 annehmen. Wir fixieren nun eine Variante der erweiterten Grzegorczyk-Hierarchie, mit der wir in der Folge weiterarbeiten werden. Um hinterher bei den erforderlichen Abschätzungen genügend Platz zu haben, sind wir hier relativ großzügig und verwenden in der Definition schon relativ schnell wachsende Startfunktionen. Diese Definition liefert nach Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) aber immer noch eine Hierarchie, die äquivalent zu der aus der traditionellen Definition ist. Dies unterstreicht erneut die außerordentlich gute praktische Anwendbarkeit des neuen Ansatzes. Der Einfachheit halber bezeichnen wir die Funktionen dieser Hierarchie wiederum mit F_{α}. Es sei I_{0}(x) = 9^{(x+1)} und I_{n+1}(x) = I_{n}^{x+2}(x) sowie Φ(x) := I_{4}(x + 5). (Mit einer etwas langsamer wachsenden Variante von Φ würde man in der Folge auch durchkommen, es ist aber müßig, sich bei den weiteren Untersuchungen unnötig einzuschränken.^{48})

47Siehe etwa Buchholz, Cichon und Weiermann (1993)

Definition 4.6 (Rekursive Definition der Grzegorczyk-Hierarchie ⟨F_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩.)

a) F_{0}(x) := Φ(x).

b) F_{α+1}(x) := F_{α}^{x+2}(x).

c) F_{γ}(x) := max{F_{β}(x) + 1 : β < γ & N(β) ≤ Φ(N(γ) + x)}, falls γ ∈ L.

Lemma 4.5

a) x < Φ(x) ≤ F_{α}(x) < F_{α}(x + 1) ≤ F_{α+1}(x).

b) N(α) < F_{α}(x).

c) α < β < Ω_{1} & N(α) ≤ Φ(N(β) + x) ⇒ F_{α}(x) < F_{β}(x). Beweis :

a) Beweis durch Induktion nach N(α).

b) Beweis durch Induktion nach N(α).

c) Beweis durch Induktion nach N(β).

1. Fall: β = β′ + 1. Falls α = β′, so folgt F_{α}(x) < F_{α}(F_{α}^{x+1}(x)) = F_{β}(x) nach a). Es sei daher α < β′. Nun gilt N(α) ≤ Φ(N(β) + x) ≤ Φ(N(β′) + x + 2). Die Induktionsvoraussetzung liefert F_{α}(x) < F_{β′}(x + 2) < F_{β′}(F_{β′}^{x+1}(x)) = F_{β}(x) nach a).

2. Fall: β ∈ L. Dann folgt nach Definition F_{α}(x) < F_{α}(x) + 1 ≤ F_{β}(x). □

Definition 4.7 Es gelte α <<_{1}^{x} β, falls α << β und N(α) ≤ Φ(N(β) + x).

48Siehe auch den Beweis von Lemma 5.5 und Lemma 5.7, wo die Abschätzungen sehr großzügig angesetzt sind.

Ferner sei <<^{x} die transitive Hülle von <<_{1}^{x}. Schließlich sei \underline{<<}^{x} die reflexive Hülle von <<^{x}, also α\underline{<<}^{x}β ⟺ α = β ∨ α <<^{x} β.

Lemma 4.6 Aus α <<^{x} β < Ω_{1} folgt F_{α}(x) < F_{β}(x). Beweis : Die Behauptung folgt unmittelbar aus Lemma 4.5 c. □ Das folgende technische Lemma wird benötigt, um die Verträglichkeit des Konzeptes der ,,wesentlich-kleiner-Relation“ << mit der Relation <<^{x} zu zeigen. Speziell benötigen wir, daß sich die Norm von d_{π}(α) primitiv rekursiv in N(π) und N(α) berechnen läßt. Die Abschätzungen erheben keinerlei Anspruch auf Optimalität.

Lemma 4.7

a) N(α + β) ≤ N(α) + N(β) + 1.

b) N(α#β) ≤ (N(α) + N(β) + 1)^{2}.

c) N(ω · α + n) ≥ N(α) + n.

d) N(μ^{+}) ≤ N(μ) + 2.

e) μ ∈ Y (α) ⇒ N(μ) ≤ N(α).

f) N(g_{μ}(α)) ≤ N(α).

g) N(x^{α}) ≤ (x + 2)^{2·N(α)+2}.

h) N(α) ≤ N(d_{μ}(α)).

i) μ ∈ Y (α) ⇒ N(h_{μ}(α)) ≤ 2 · (N(α) + 2) · (1 + Kardinalität(Y (α) \ μ^{+})).

j) N(h_{μ}(α)) ≤ 2 · (Nα + 2)^{2} + 2 · (N(μ) + 1).

k) N(ψ_{μ}(h_{μ}(α))) ≤ 2 · (Nα + 2)^{2} + 3 · (N(μ) + 1). Beweis :

a) Beweis durch Betrachtung der Cantor-Normalformdarstellungen von α und β.

b) Beweis durch Betrachtung der Cantor-Normalformdarstellungen von α und β. c) Beweis durch Induktion nach N(α).

d) Dies folgt unmittelbar.

e) Beweis durch Induktion nach N(α).

f) Beweis durch Induktion nach N(α).

g) Es sei α = ω · β + n für n < ω. Dann gilt x^{α} = ω^{β} · x^{n} und daher N(x^{α}) ≤ N(β) + 1 + x^{n} ≤ (x + 2)^{2·N(β)+n} = (x + 2)^{2·N(α)+2} nach b) und c).

h) folgt sofort.

i) Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y (α) \ μ^{+}.

1. Fall: α < μ^{+}. Dann gilt N(h_{μ}(α)) = N(g_{μ}(α) + ω^{α}) ≤ N(α) + N(α) + 2 ≤ 2 · (Nα + 2) · (1 + Kardinalität(Y (α) \ μ^{+})).

2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Hier folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung.

3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}α. Wegen α ≥ μ^{+} gilt μ < μ^{+} ≤ μ^{+}(α) < μ^{+}(α)^{+}. Daher gilt nach Induktionsvoraussetzung N(h_{μ}(α)) = N(g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)})) ≤ N(α) + N(μ^{+}) + N(h_{μ^{+}(α)}) + 2 ≤ N(α) + N(μ) + 4 + 2 · (Nα + 2) · (1 + Kardinalität(Y (α) \ μ^{+}(α)^{+})). Also gilt die Behauptung nach e).

j) 1. Fall: α < μ^{+}. Dann ist die Behauptung klar.

2. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) < h_{μ^{+}(α)}(α). Dann gilt μ^{+}(α) ∈ Y (α) und damit nach i) N(h_{μ}(α)) = N(h_{μ^{+}(α)}(α)) ≤ 2 · (Nα + 2) · (1 + Kardinalität(Y (α) \ μ^{+}(α)^{+})) ≤ 2 · (N(α) + 2)(1 + N(α)) was die Behauptung ergibt.

3. Fall: α ≥ μ^{+} und g_{μ}(α) ≥ h_{μ^{+}(α)}(α).

Dann gilt μ^{+}(α) ∈ Y (α) und damit nach i) N(h_{μ}(α)) = N(g_{μ}(α) + ψ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}(α)}(α))) ≤ N(α) + N(μ) + 2 + 2 · (Nα + 2) · (1 + Kardinalität(Y (α) \ μ^{+}(α)^{+})) + 2 ≤ 3 · (N(μ) + 1) + 2 · (N(α) + 2)^{2}.

k) folgt aus j). □

Lemma 4.8

a) γ ≠ 0 ⇒ α <<^{0} α#γ.

b) α < ω^{α} ⇒ α <<^{0} ω^{α}.

c) D_{μ}(α)\underline{<<}^{0}d_{μ}(α).

d) α <<^{0} Ω_{α}.

e) x^{α}\underline{<<}^{x}ω^{α}\underline{<<}^{0}ω̄^{α}.

f) d_{μ}(α) + 1 <<^{0} d_{μ}(α + 1).

g) α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} ⇒ α[x] <<^{x} α. Beweis : Die Aussagen a) – f) folgen unmittelbar aus Lemma 3.5 und Lemma 4.6. Aussage g) erfordert eine etwas langwierige Verifikation. □ Aus Lemma 4.8 g) folgt nach Lemma 4.6, daß F_{α[x]}(x) < F_{α}(x) für alle α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} und alle x ∈ IN gilt. Bezeichnet F̃_{α} die in Definition 4.1 eingeführte Funktion F_{α}, so folgt durch eine einfache transfinite Induktion sofort F̃_{α}(x) ≤ F_{α}(x) für alle α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} und alle x ∈ IN. Die Hierarchie der Funktionen F_{α} wächst also mindestens so schnell wie die Hierarchie der Funktionen F̃_{α}. ^{49} Lemma 4.9 Es gelte α <<^{x} β. Dann gelten:

49Der Vollständigkeit halber wollen wir kurz skizzieren, wie man aus Buchholz, Cichon und Wainer (1993) folgern kann, daß zu jedem α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} ein β < α + ω existiert, so daß F_{α}(x) < F̃_{β}(x) für alle x ∈ IN gilt. Es sei λ := α + ω. Dann gibt es ein α_{0} mit λ = ω · α_{0} und es folgt ω^{λ} = ω^{ω} · ω^{α_{0}}. Es sei α[x]_{C} := max{β < α : N(β) ≤ Φ(N(α) + x)} für α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}. Diese Hauptfolgenzuordnung besitzt dann die Bachmann-Eigenschaft.

Die Funktionen H̃_{α} sei definiert durch H̃_{0}(x) := x, H̃_{α+1}(x) := H̃_{α}(x + 2), H̃_{λ}(x) := H̃_{λ[x]}(x + 2). Dann folgt aus γ < α und N(γ) ≤ Φ(N(α) + x) schon H̃_{γ}(x) < H̃_{α}(x).

Hieraus folgt leicht, daß F̃_{α}(x) < H̃_{ω^{α+1}}(x) gilt. [Vergleiche auch Lemma 4 b) in Buchholz, Cichon und Weiermann (1993).] Der Beweis von Theorem 2 aus Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) im Verein mit Theorem 2.2 aus dieser Arbeit liefert die Existenz eines

a) α#γ <<^{x} β#γ.

b) ω̄^{α} <<^{x} ω̄^{β}, und ω^{α} <<^{x} ω^{β} falls β < ω^{β}.

c) Ω_{α} <<^{x} Ω_{β}.

d) d_{μ}(α) <<^{x} d_{μ}(β).

e) D_{μ}(α) <<^{x} D_{μ}(β).

f) κ\underline{<<}^{x}β ⇒ d_{κ}(α) <<^{x} β + 1. Beweis : Dies folgt mehr oder weniger unmittelbar aus Lemma 3.6 und Lemma 4.5 c) und Lemma 4.7. □ Als Korollar zu Lemma 4.8 und Lemma 4.9 erhält man aus der üblichen beweistheoretischen Analyse der Peano-Arithmetik mit den Schütteschen halbformalen Systemen mit ω-Regel eine Charakterisierung der beweisbar rekursiven Funktionen der Peano-Arithmetik. [Siehe Weiermann (1993).] Desweiteren erhält man unter Verwendung der Pohlerschen Methode der lokalen Prädikativität, wenn man entsprechend das Rathjensche Ordinalzahlbezeichnungssystem T (M)^{50} zugrundelegt, in kanonischer Weise eine Charakterisierung der beweisbar rekursiven zahlentheoretischen Funktionen des Systems KP M und seiner Teilsysteme. [Siehe Blankertz (1994)].

4.2 Die langsam wachsende Hierarchie

Als Kritikpunkt gegen das Studium der schnell wachsenden Hierarchien bei Klassifikationen von Teilklassen rekursiver Funktionen läßt sich ihre ,,Grobheit“ anführen. So lassen sich etwa die Funktionen x ↦ F_{α}(x^{x}) und x ↦ F_{α}(x^{2}) nicht mit Funktionen F_{α} ,,trennen“. Andererseits ist die Funktion x ↦ F_{α}(x^{x}) sicherlich komplexer als die Funktion x ↦ F_{α}(x^{2}). Daher erscheint es natürlich zu sein, bei Klassifikationsuntersuchungen möglichst fein aufgefächerte Hierarchien zugrundezulegen. Zu diesem Zweck drängt sich die sogenannte langsam wachsende Hierarchie auf.

γ < ω^{λ}, deart daß H̃_{ω^{α+1}}(x) < H_{γ}(x) für alle x ∈ IN gilt. Hierbei sei H_{α} die in der Einleitung definierte Hardy-Hierarchie, wobei die Hauptfolgenzuordnung aus Definition 2.1 zugrundegelegt werde. Für ein geeignetes γ′ < λ gilt nun γ < ω^{γ′} < ω^{λ}. Damit gilt H_{γ}(x) < H_{ω^{γ′}} (x) ≤ F̃_{γ′+1}(x) für alle hinreichend großen x. Für ein geeignetes β mit γ′ ≤ β < λ gilt dann F_{α}(x) < F̃_{β}(x) für alle x ∈ IN.

50Siehe Rathjen (1991)

Definition 4.7 (Rekursive Definition der langsam wachsenden Hierarchie ⟨G_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩.)

a) G_{0}(x) := 0.

b) G_{α+1}(x) := G_{α}(x) + 1.

c) G_{λ}(x) := G_{λ[x]}(x), falls λ ∈ L Die Hauptfolgenzuordnung sei hier die in Abschnitt 2 definierte. Im Unterschied zur schnell wachsenden erweiterten Grzegorczyk Hierarchie, ist die langsam wachsende Hierarchie ,,punktweise“ definiert. Um G_{α}(x) zu berechnen, ist lediglich eine Kenntnis der Ordinalzahlen β mit β ≺_{x} α erforderlich. Die Definition von G_{α}(x) rekurriert – im Unterschied zur Situation bei F_{α}(x) – insbesondere nicht auf Werte G_{β}(y) mit y ≠ x. In bekannter Weise läßt sich nun, da die zugrundegelegte Hauptfolgenzuordnung ,,nice“ im Sinne von Dennis-Jones und Wainer (1984) ist, mit dieser Hierarchie eine auf direkten Limites basierende ,,natürliche“ Ordinalzahlbezeichnungsmethodik definieren.^{51} Ferner gelten gewisse natürliche Homomorphieprinzipien für diese Funktionen, die sich durch einfache transfinite Induktionen beweisen lassen.

Lemma 4.10 γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ G_{γ}(x) = (x + 1)^{G_{α}(x)} + G_{β}(x). Beweis durch Induktion nach γ:

1. Fall: γ = ω^{α} + β und β = β′ + 1. Dann gilt nach Induktionsvoraussetzung G_{γ}(x) = G_{ω^{α}+β′}(x) + 1 = (x + 1)^{G_{ω^{α}}(x)} + G_{β′}(x) + 1 = (x + 1)^{G_{ω^{α}}(x)} + G_{β′+1}(x).

51Siehe auch Girard (1981).

2. Fall: γ =_{NF} ω^{α} + β und β ∈ L. Hier folgt G_{γ}(x) = G_{ω^{α}+β[x]} = (x+1)^{G_{ω^{α}}(x)} +G_{β[x]}(x) = (x+1)^{G_{ω^{α}}(x)} +G_{β}(x) aus der Induktionsvoraussetzung.

3. Fall: γ =_{NF} ω^{α} und α ∈ L. Die Induktionsvoraussetzung liefert nun G_{γ}(x) = G_{ω^{α[x]}}(x) = (x + 1)^{G_{α[x]}(x)} = (x + 1)^{G_{α}(x)}.

4. Fall: γ = ω^{α+1}. Man erhält aus der Induktionsvoraussetzung in diesem Fall G_{γ}(x) = G_{ω^{α}·(x+1)} = (x + 1)^{G_{α}(x)} · (x + 1) = (x + 1)^{G_{α+1}(x)}.

5. Fall: γ =_{NF} ω^{0}. Dann gilt G_{γ}(x) = 1 = (x + 1)^{0} = (x + 1)^{G_{0}(x)}. □ Es sei x_{0}(α) := α und x_{n}(α) := x^{x_{n−1}(α)} für n > 0. Dann gilt G_{ε_{0}}(x) = (x + 1)_{x}(0) < F_{0}(x), für (x + 1)_{0}(0) = 0 und x_{n+1}(0) := (x + 1)^{(x+1)_{n}(0)}.

Lemma 4.11

a) x < y ⇒ G_{α}(x) < G_{α}(y).

b) α < β < Ω_{1} ⇒ (∃c)(∀x ≥ c)[G_{α}(x) < G_{β}(x)]. Beweis : Ein Beweis dieses Standardresultats ergibt sich zum Beispiel aus Aoyama und Kadota (1990) bzw. Dennis-Jones und Wainer (1984). □

4.3 Ein kurzer Beweis des Girardschen Hierarchiensatzes nach W. Buchholz

Klassifikationen von natürlich gegebenen Teilklassen rekursiver Funktionen in Termen der langsam wachsende Hierarchie ergeben sich nun aus den Hierarchienvergleichssätzen, die auf Girard und Wainer zurückgehen. Insbesondere erhält man eine Feinstruktur für die Klasse der primitiv rekursiven Funktionen sowie für die ε_{0}-rekursiven Funktionen. Um den Hierarchiensatz von Girard zu beweisen, führen wir analog zu Buchholz (1980) eine Variante ⟨G_{α} : α < ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})⟩ der langsam wachsenden Hierarchie und eine Variante ⟨B_{α} : α < ε_{0}⟩ der schnell wachsenden Hierarchie ein, für die sich – sehr ähnlich wie in Buchholz (1980) [bzw. Cichon und Wainer (1983)] – G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{1}^{...^{Ω_{1}}} )}(x) = B_{ω^{...^{ω}}} (x) zeigen läßt. Damit fallen die Hierarchien ⟨G_{α} : α < ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})⟩ und ⟨B_{α} : α < ε_{0}⟩ zusammen. Die Äquivalenz von ⟨B_{α} : α < ε_{0}⟩ und ⟨F_{α} : α < ε_{0}⟩ folgt aus Buchholz (1980). Diese Äquivalenz läßt sich aber mit einiger Rechnung ebenso wie die Äquivalenz der hier definierten langsam wachsenden Hierarchie mit der in 4.6 definierten Hierarchie auch direkt einsehen. Aus technischen Gründen wollen wir in diesem Teilabschnitt – aber auch nur in diesem – die Definition der ausgezeichneten Hauptfolgen geringfügig modifizieren. Jede echt positive Ordinalzahl γ kleiner als ε_{Ω_{1}+1} läßt sich eindeutig zerlegen in γ = Ω_{1}^{α′_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α′_{m}} · β_{m}, wobei α′_{1} > … > α′_{m} und 0 < β_{i} < Ω_{1} für i = 1, …, m gilt. Rekursiv lassen sich dann auch die α′_{i} weiter so zerlegen etc. Hat man nun rekursiv α′_{1}, …, α′_{m} derartige Darstellungen α_{1}, …, α_{m} zugeordnet – wobei 0 durch 0 dargestellt werde – so kann man γ eindeutig darstellen als γ = Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m}. In diesem Fall schreiben wir γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m}.

Definition 4.8 (Rekursive Definition von tp(γ) und γ[ξ] für γ ∈ L ∩ T (Ω) ∩ ε_{Ω_{1}+1} mit G_{Ω_{1}}(γ) < ε_{Ω_{1}+1} und ξ < tp(γ) mit G_{Ω_{1}}(ξ) < ε_{Ω_{1}+1}.)

a) Für γ = ω^{α+1} < Ω_{1} sei tp(γ) := ω und γ[n] := ω^{α} · n.

b) Für γ =_{NF} ω^{α} + β < Ω_{1} mit β ∈ L sei tp(γ) := tp(β) und γ[ξ] := ω^{α} + β[ξ].

c) Für γ =_{NF} ω^{α} < Ω_{1} und α ∈ L sei tp(γ) := tp(α) und γ[ξ] := ω^{α[ξ]}.

d) Für γ =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α) mit α ∉ L sei tp(γ) := ω und γ[n] := ω_{n}(β + 1), wobei β := 0, falls α = 0 und β := ψ_{Ω_{1}}(α_{0}), falls α = α_{0} + 1.

e) Für γ =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α) mit α ∈ L und tp(α) = ω sei tp(γ) := ω und γ[n] := ψ_{Ω_{1}}(α[n]).

f) Für γ =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α) mit α ∈ L und tp(γ) = Ω_{1} sei tp(γ) := ω und γ[n] := ψ_{Ω_{1}}(α[β_{n}]), wobei β_{0} := α[0] und β_{n+1} := ψ_{Ω_{1}}(α[β_{n}]).

g) Für γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} ≥ Ω_{1} mit β_{m} ∈ L und tp(β_{m}) = ω sei tp(γ) = ω und γ[n] := Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m}[n].

h) Für γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} ≥ Ω_{1} mit β_{m} = β′_{m} + 1, α_{m} ∈ L und tp(α_{m}) = ω sei tp(γ) = ω und γ[n] := Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β′_{m} + Ω_{1}^{α_{m}[n]}.

i) Für γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} ≥ Ω_{1} mit β_{m} = β′_{m} + 1 und α_{m} = α′_{m} + 1 sei tp(γ) = Ω_{1} und γ[ξ] := Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β′_{m} + Ω_{1}^{α′_{m}} · ξ.

j) Für γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} ·β_{1} +⋯+Ω_{1}^{α_{m}} ·β_{m} ≥ Ω_{1} mit β_{m} = β′_{m} +1, α_{m} ∈ L und tp(α_{m}) = Ω_{1} sei tp(γ) = Ω_{1} und γ[ξ] := Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β′_{m} + Ω_{1}^{α_{m}[ξ]}.

Diese Hauptfolgenzuordnung besitzt analoge Eigenschaften zu der in Definition 2.1 definierten Hauptfolgenzuordnung. Anstelle der Bachmann-Eigen-schaft gilt hier aber lediglich α[x] ≺_{1} α[x+1] für tp(α) < Ω_{1}. Die wesentlichen Majorisierungseigenschaften der bezüglich dieser Hauptfolgenzuordnung definierten Hierarchien folgen nach Aoyama und Kadota (1990) aber schon aus dieser Bedingung. In diesem Teilabschnitt – aber auch nur in diesem – sei die langsam wachsende Hierarchie bezüglich dieser Hauptfolgenzuordnung aber ansonsten wörtlich wie in Definition 4.7 definiert. Dann gilt G_{γ}(x) = x^{G_{α}(x)} + G_{β}(x), falls γ =_{NF} ω^{α} + β < Ω_{1}. Die folgende Definition sei nur für diesen Teilabschnitt getroffen.

Definition 4.9 (Rekursive Definition von C_{x}(α) für α ∈ T (Ω) mit G_{Ω_{1}}(α) < ε_{Ω_{1}+1}.) a) C_{x}(0) := 0.

b) γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} ⇒ C_{x}(γ) := ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β_{m}}(x).

Wir bezeichnen C_{x}(α) als punktweise Kollabierung von α an der Stelle x. Diese Begriffsbildung ist durch das punktweise Verhalten der schwach wachsenden Hierarchie motiviert.

Lemma 4.12 Es sei γ ∈ T (Ω) mit tp(γ) = ω und G_{Ω_{1}}(γ) < ε_{Ω_{1}+1}. Dann gilt C_{x}(γ[x]) = C_{x}(γ) für alle x < ω. Beweis durch Induktion nach γ:

1. Fall: γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} mit tp(β_{m}) = ω. Dann gilt C_{x}(γ[x]) = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β_{m}[x]}(x) = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β_{m}}(x) = C_{x}(γ).

2. Fall: γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} mit β_{m} = β′_{m} + 1 und tp(α_{m}) = ω. Dann gilt C_{x}(γ[x]) = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α_{m}[x])} = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α_{m})} = C_{x}(γ) aufgrund der Induktionsvoraussetzung. □ Jede echt positive Ordinalzahl γ kleiner als ε_{0} läßt sich eindeutig zerlegen in γ = ω_{1}^{α′_{1}} · k_{1} + ⋯ + ω_{1}^{α′_{m}} · k_{m}, wobei α′_{1} > … > α′_{m} und 0 < k_{i} < ω für i = 1, …, m gilt. Rekursiv lassen sich dann auch die α′_{i} weiter so zerlegen etc. Hat man nun rekursiv α′_{1}, …, α′_{m} derartige Darstellungen α_{1}, …, α_{m} zugeordnet – wobei 0 durch 0 dargestellt werde – so kann man γ eindeutig darstellen als γ = ω^{α_{1}} · k_{1} + ⋯ + ω^{α_{m}} · k_{m}. In diesem Fall schreiben wir γ =_{ω−NF} ω^{α_{1}} · k_{1} + ⋯ + ω^{α_{m}} · k_{m}. Aufgrund von Lemma 4.11 b) existiert zu jedem γ ∈ T ∩ ε_{Ω_{1}+1} mit G_{Ω_{1}}(γ) < ε_{Ω_{1}+1} und γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m} ein minimales n(γ) ∈ IN, derart daß C_{x}(γ) =_{ω−NF} ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β_{m}}(x) für alle x ≥ n(γ) gilt. Nach Lemma 4.12 gilt dann n(γ) ≥ n(γ[x]).

Lemma 4.13 Es sei γ ∈ T (Ω) mit tp(γ) = Ω_{1} und G_{Ω_{1}}(γ) < ε_{Ω_{1}+1}. Ferner sei x ≥ n(γ). Dann ist tp(C_{x}(γ)) = ω, und es gilt x ≥ n(γ[ξ]) und C_{x}(γ[ξ]) = C_{x}(γ)[C_{x}(ξ)] für alle ξ < ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1}). Beweis : (Vergleiche Cichon und Wainer (1983).) Es sei γ =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β_{m}.

1. Fall: β_{m} = β′_{m} + 1 und α_{m} = α′_{m} + 1. Ohne Einschränkung gelte β′_{m} ≠ 0. Dann gilt γ[ξ] =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β′_{m} + Ω^{α′_{m}} · ξ. Es folgt C_{x}(γ[ξ]) = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α′_{m})} · G_{ξ}(x). Wegen x ≥ n(γ) ist C_{x}(γ) =_{ω−NF} ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β_{m}}(x). Damit gilt tp(C_{x}(γ)) = ω und es folgt C_{x}(γ)[C_{x}(ξ)] = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α′_{m})} · G_{ξ}(x) = C_{x}(γ[ξ]). Aufgrund von C_{x}(α_{m}) = C_{x}(α′_{m}) + 1 > C_{x}(α′_{m}) folgt zudem C_{x}(γ[ξ]) =_{ω−NF} ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α′_{m})} · G_{ξ}(x) und daher gilt x ≥ n(γ[ξ]).

2. Fall: β_{m} = β_{m} + 1 und tp(α_{m}) = Ω_{1}. Ohne Einschränkung sei wiederum β′_{m} ≠ 0. Dann gilt γ[ξ] =_{Ω−NF} Ω_{1}^{α_{1}} · β_{1} + ⋯ + Ω_{1}^{α_{m}} · β′_{m} + Ω^{α_{m}[ξ]}. Es folgt C_{x}(γ[ξ]) = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α_{m}[ξ])}. Aufgrund von x ≥ n(γ) ist x ≥ n(α_{m}). Nach Induktionsvoraussetzung gilt daher x ≥ n(α_{m}[ξ]), tp(C_{x}(α_{m})) = ω und C_{x}(α_{m}[ξ]) = C_{x}(α_{m})[C_{x}(ξ)]. Damit gilt C_{x}(γ)[C_{x}(ξ)] = ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α_{m})[C_{x}(ξ)]} = C_{x}(γ[ξ]). Aufgrund von C_{x}(α_{m}) > C_{x}(α_{m})[C_{x}(ξ)] gilt schließlich C_{x}(γ[ξ]) =_{ω−NF} ω^{C_{x}(α_{1})} · G_{β_{1}}(x) + ⋯ + ω^{C_{x}(α_{m})} · G_{β′_{m}}(x) + ω^{C_{x}(α_{m})[ξ]}. Also gilt x ≥ n(γ[ξ]. □

Definition 4.10 (Rekursive Definition einer Hierarchie ⟨B_{α} : α < ε_{0}⟩.)

a) B_{0}(x) = (x)_{x}(1).

b) B_{α+1}(x) = (x)_{x}(B_{α}(x) + 1).

c) B_{λ}(x) = B_{λ_{x}}(x), falls λ ∈ L, wobei λ_{0} := λ[0] und λ_{n} := λ[B_{λ_{n−1}}(x)] für n > 0.

Die Definition der Funktionen B_{α} läßt sich instruktiver wie folgt umschreiben, wobei die ... entsprechend zu lesen sind.

a) B_{0}(x) = x^{...^{x}}.

b) B_{α+1}(x) = x^{...^{x^{Bα(x)+1}}}.

c) B_{λ}(x) = B_{λ[B_{λ[B_{...B_{λ[0]}(x)...}(x)]}(x)]}(x), falls λ ∈ L.

Korollar 4.1 Es sei γ ∈ T ∩ ε_{Ω_{1}+1} mit G_{Ω_{1}}(γ) < γ < ε_{Ω_{1}+1}. Zudem sei x ≥ n(γ). Dann gilt G_{ψ_{Ω_{1}}(γ)}(x) = B_{C_{x}(γ)}(x). Beweis :

1. Fall: γ = 0. Es folgt G_{ψ_{Ω_{1}}(γ)}(x) = G_{ω_{x}(1)}(x) = x^{...^{x}} = B_{0}(x).

2. Fall: α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ) und γ = γ_{1} + 1. Aus x ≥ n(γ) folgt x ≥ n(γ_{1}). In diesem Fall gilt nach Induktionsvoraussetzung G_{α}(x) = G_{α[x]}(x) = G_{ω_{x}(ψ_{Ω_{1}}(γ_{1})+1)}(x)

= x^{...^{x^{G_{ψ_{Ω_{1}} (γ_{1})+1}(x)}}} = x^{...^{x^{G_{ψ_{Ω_{1}} (γ_{1})}(x)+1}}} = x^{...^{x^{B_{Cx(γ_{1})}(x)+1}}} = B_{C_{x}(γ_{1})+1}(x).

3. Fall: α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ) und tp(γ) = ω. Nach Lemma 4.12 ist x ≥ n(γ[x]). Analog zu Theorem 2.1 zeigt man G_{Ω_{1}}(γ[x]) < γ[x]. Daher folgt G_{α}(x) = G_{α[x]}(x) = G_{ψ_{Ω_{1}}(γ[x])}(x) = B_{C_{x}(γ[x])}(x) = B_{C_{x}(γ)}(x) aus der Induktionsvoraussetzung aufgrund von Lemma 4.12.

4. Fall: α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ) und tp(γ) = Ω_{1}.

Aufgrund von Lemma 4.13 gilt x ≥ n(γ[ξ]) für alle ξ < ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1}). Analog zu Theorem 2.1 gilt α[y] =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ[...[ψ_{Ω_{1}}(γ[ψ_{Ω_{1}}(γ[0])])]...]) für alle y ≤ x. Ferner gilt tp(C_{x}(γ)) = ω. Daher gilt G_{α}(x) = G_{α[x]}(x) = G_{ψ_{Ω_{1}}(γ[...[ψ_{Ω_{1}}(γ[ψ_{Ω_{1}}(γ[0])])]...])}(x) B_{C_{x}(γ[...[ψ_{Ω_{1}}(γ[ψ_{Ω_{1}}(γ[0])])]...])}(x) = B_{(C_{x}(γ))[...B_{(Cx(γ))[0]}(x)...]}(x) = B_{C_{x}(γ)}(x) nach Induktionsvoraussetzung aufgrund von Lemma 4.13. □ Speziell ist damit G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})} primitiv rekursiv in B_{ε_{0}} und umgekehrt. In Abschnitt 5 zeigen wir G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})}(x) ≤ F_{ε_{0}}(x) für die in Definition 4.6 und 4.7 eingführten Hierarchien. Im Gegensatz zu dem Ergebnis dieses Teilabschnittes wird dies Ergebnis nicht mehr so stark von der zugrundegelegten Hauptfolgenzuordnung abhängen.

4.4 Die Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, wie punktweise Kollabierungsfunktionen in natürlicher Weise bei Hierarchienvergleichen ins Spiel kommen. Hier betrachten wir diese Funktionen für größere Ordinalzahlargumente als eigenständige Objekte und zeigen, daß sie in natürlicher Weise eine subrekursive Hierarchie bilden.

Definition 4.11 (Rekursive Definition von C_{x}(α) für α ∈ T (Ω) und x < ω.)

a) C_{x}(0) := 0.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β < Ω_{1} ⇒ C_{x}(γ) := x^{C_{x}(α)} + C_{x}(β).

c) γ =_{NF} ω^{α} + β ≥ Ω_{1} ⇒ C_{x}(γ) := ω^{C_{x}(α)}#C_{x}(β).^{52}

d) C_{x}(Ω_{1}) := ω.

e) C_{x}(Ω_{2+α}) := Ω_{1+C_{x}(α)}.

f) γ =_{NF} ψ_{κ}(β) & κ > Ω_{1} ⇒ C_{x}(γ) := d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(β)). e) γ =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(β) ⇒ C_{x}(γ) := F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))+1}(x). Für α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} sei C_{α}(x) := C_{x}(α).

52Die Fallunterscheidung in b) und c) erfolgt aus technischen Gründen, und vereinfacht unter anderem später den Beweis von Theorem 6.1.

Lemma 4.15

a) Falls α keine Epsilon-Zahl ist, so ist auch C_{x}(α) keine Epsilon-Zahl.

b) Ω_{1} < π ∈ R ⇒ C_{x}(π) ∈ R. Beweis :

a) Beweis durch Induktion nach N(α). Es sei α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2}. Ist α_{2} ≠ 0, so ist C_{x}(α_{2}) ≠ 0, und damit ist C_{x}(α) keine Epsilon-Zahl. Ist α_{2} = 0, so ist α_{1} keine Epsilon-Zahl. Damit ist nach Induktionsvoraussetzung C_{x}(α_{1}) keine Epsilon-Zahl und somit C_{x}(α) auch nicht.

b) Es sei π = Ω_{1+ξ+1}. Dann gilt C_{x}(π) = Ω_{C_{x}(ξ)+1} ∈ R. □

Lemma 4.16 Es sei β > 0 und es gelte C_{x}(γ) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(γ)}(x) für alle γ ∈ K_{Ω_{1}}(α). Dann gilt N(C_{x}(α)) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(α)}(x). Beweis durch Induktion nach N(α): Falls α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α_{1}) ist, so folgt die Behauptung aus der Voraussetzung. Ansonsten folgt die Behauptung immer leicht aus der Induktionsvoraussetzung. Wir betrachten exemplarisch den Fall α =_{NF} ω^{α_{1}} + α_{2}. Die Induktionsvoraussetzung liefert N(C_{x}(α_{i})) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(α_{i})}(x) für i = 1, 2. Damit gilt N(C_{x}(α)) ≤ (x + 2)^{N(α_{1})+2} + N(C_{x}(α_{2})) + 1 ≤ F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(α)}(x). □

Lemma 4.17 Es sei 2^{N(α)+1} + 2^{N(κ)+1} ≤ x. Dann gelten:

a) α < β ⇒ C_{x}(α) < C_{x}(β).

b) G_{κ}(α) < β ⇒ G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)) < ω^{C_{x}(β)}. Beweis durch Induktion nach 3^{N(α)} + 3^{N(β)} + 3^{N(κ)}: Beim Beweis beschränken wir uns auf die interessanten Fälle.

1. Fall: β =_{NF} ω^{β_{1}} < Ω_{1} und α =_{NF} ω^{α_{1}} + α′. Dann gilt α = ω^{α_{1}} + (ω^{α_{2}} + ⋯ + (ω^{α_{n}} + ξ)...) wobei ξ ∈ E ∪ {0} und β_{1} > α_{1} ≥ … ≥ α_{n} ≥ ξ. Da 3^{N(α_{i})}+3^{N(α_{i+1})} < 3^{N(α)} für 1 ≤ i ≤ n gilt, ergibt die Induktionsvoraussetzung C_{x}(β_{1}) > C_{x}(α_{1}) ≥ … ≥ C_{x}(α_{n}) ≥ C_{x}(ξ). Wegen x ≥ 2^{N(α)+1} > n + 1 folgt C_{x}(α) ≤ x^{C_{x}(α_{1})} + ⋯ + x^{C_{x}(α_{n})} + C_{x}(ξ) ≤ x^{C_{x}(α_{1})} · (n + 1) < x^{C_{x}(β_{1})} = C_{x}(β).

2. Fall: β =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(β_{1}). Durch Nebeninduktion nach N(α) zeigen wir hier

(∗) α < β ⇒ C_{x}(α) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(α)}(x).

Im kritischen Fall ist hier α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α_{1}) und es gilt α_{1} < β_{1}. Damit gilt nach Hauptinduktionsvoraussetzung für a) C_{x}(α_{1}) < C_{x}(β_{1}). Aufgrund von K_{Ω_{1}}(α_{1}) < ψ_{Ω_{1}}(α_{1}) < β liefert die Nebeninduktionsvoraussetzung C_{x}(γ) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β))}^{N(γ)}(x) für alle γ ∈ K_{Ω_{1}}(α_{1}). Nach Lemma 4.16 gilt daher

(∗∗) N(C_{x}(α_{1})) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))}^{N(α_{1})}(x).

Wegen α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(α_{1}) gilt G_{Ω_{1}}(α_{1}) < α_{1}. Damit folgt G_{Ω_{2}}(α_{1}) < α_{1} und die Induktionsvoraussetzung für b) liefert im Verein mit Lemma 3.3 n)

(∗ ∗ ∗) G_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1})) < ω^{C_{x}(α_{1})} = h_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1})) < ω^{C_{x}(β_{1})} ≤ h_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1})).

2.1. Fall: C_{x}(α_{1}) < Ω_{1}. Dann gilt nach (∗ ∗ ∗) D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1})) = C_{x}(α_{1}) < D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1})). Daher gilt nach Lemma 4.5 c) C_{x}(α) = F_{C_{x}(α_{1})+1}(x) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))}^{N(α)}(x) wegen (∗∗). 2.2. Fall: Ω_{1} ≤ C_{x}(α_{1}) < C_{x}(β_{1}). Dann gilt nach (∗ ∗ ∗) D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1})) = ψ_{Ω_{1}}(h_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1}))) < ψ_{Ω_{1}}(h_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))) = D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1})). Aus (∗∗) erhalten wir N(D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1}))) ≤ 1 + (N(Ω_{1}) + 1) · 3 + 2(N(C_{x}(α_{1})) + 2)^{2} ≤ F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))}^{N(α_{1})+1}(x). Mit N(α) ≥ N(α_{1}) + 2 folgt daher aus Lemma 4.5 c) F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1}))+1}(x) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))}^{N(α)}(x). Damit ist die Zwischenbehauptung (∗) bewiesen. Aus (∗) folgt schließlich C_{x}(α) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))}^{N(α)}(x) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(β_{1}))+1}(x) = C_{x}(β).

3. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(β_{1}) und α =_{NF} ψ_{κ}(α_{1}). Wegen α =_{NF} ψ_{κ}(α_{1}) gilt G_{κ}(α_{1}) < α_{1}. Daher folgt nach Induktionsvoraussetzung für b) G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α_{1})) < ω^{C_{x}(α_{1})} und daher h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α_{1})) = ω^{C_{x}(α_{1})}. Aufgrund von α_{1} < β_{1} gilt nach Induktionsvoraussetzung C_{x}(α_{1}) < C_{x}(β_{1}) und damit h_{C_{x}(C_{x}(κ))}(α_{1}) = ω^{C_{x}(α_{1})} < ω^{C_{x}(β_{1})} ≤ h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(β_{1})). Sodann folgt C_{x}(α) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α_{1})) < d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(β_{1})) = C_{x}(β).

b) Im kritischen Fall gilt hier α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}). Gilt π < κ, so folgt C_{x}(π) < C_{x}(κ) aus der Induktionsvoraussetzung für a) und damit G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)) = ∅. Es sei daher κ ≤ π und damit nach Induktionsvoraussetzung für a) C_{x}(κ) ≤ C_{x}(π). Wegen α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}) gilt G_{π}(α_{1}) < α_{1} und damit nach Induktionsvoraussetzung für b) G_{C_{x}(π)}(C_{x}(α_{1})) < ω^{C_{x}(α_{1})}. Daher gilt schon C_{x}(α) = d_{C_{x}(π)}(C_{x}(α_{1})) = ψ_{C_{x}(π)}(ω^{C_{x}(α_{1})}). Aus G_{κ}(α) < β folgt G_{κ}(π) ∪ G_{κ}(α_{1}) ∪ {α_{1}} < β. Die Induktionsvoraussetzung für b) liefert G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(π)) ∪ G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α_{1})) < ω^{C_{x}(β)}. Die Induktionsvoraussetzung für a) ergibt C_{x}(α_{1}) < C_{x}(β), also ω^{C_{x}(α_{1})} < ω^{C_{x}(β)}. Damit gilt G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)) < ω^{C_{x}(β)}.

Lemma 4.18 Es sei x ≥ 3^{N(α)+2}. Dann gilt C_{x}(α) <<_{1}^{0} C_{x+1}(α) und G_{κ}(C_{x}(α)) ≤ G_{κ}(C_{x+1}(α)). Beweis durch Induktion nach N(α): Im kritischen Fall gilt α =_{NF} ψ_{π}(α_{1}).

1. Fall: π > Ω_{1}. Nach Induktionsvoraussetzung gelten G_{κ}(C_{x}(π)) ≤ G_{κ}(C_{x+1}(π)), G_{κ}(C_{x}(α_{1})) ≤ G_{κ}(C_{x+1}(α_{1})), C_{x}(π) <<_{1}^{0} C_{x+1}(π) und C_{x}(α_{1}) <<_{1}^{0} C_{x+1}(α_{1}). Speziell gilt für κ ≤ C_{x}(π) nach Lemma 4.13 G_{κ}(C_{x}(α)) = G_{κ}(d_{C_{x}(π)}(C_{x}(α_{1}))) = G_{κ}(C_{x}(π)) ∪ G_{κ}(C_{x}(α_{1})) ∪ {ω^{C_{x}(α_{1})}} ≤ G_{κ}(C_{x+1}(α)). Diese Überlegung zeigt C_{x}(α) << C_{x+1}(α) nach Lemma 3.4 d) Aus C_{x}(π) <<_{1}^{0} C_{x+1}(π) und C_{x}(α_{1}) <<_{1}^{0} C_{x+1}(α_{1}) folgt nun N(C_{x}(α)) = N(d_{C_{x}(π)}(C_{x}(α_{1}))) ≤ 1 + (N(C_{x}(π)) + 1) · 3 + (2 · N(C_{x}(α)) + 2)^{2} ≤ Φ(C_{x+1}(α)). Also gilt hier C_{x}(α) <<_{1}^{0} C_{x+1}(α).

2. Fall: π = Ω_{1}. Die Induktionsvoraussetzung impliziert C_{x}(α_{1}) <<_{1}^{0} C_{x+1}(α_{1}). Also gilt D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1})) <<_{1}^{0} D_{Ω_{1}}(C_{x+1}(α_{1})). Daher gilt C_{x}(α) = F_{D_{Ω_{1}}(C_{x}(α_{1}))+1}(x) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+1}(α_{1}))+1}(x) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+1}(α_{1}))+1}(x + 1) = C_{x+1}(α). Hieraus folgt sofort die Behauptung. □

Theorem 4.1

a) α < Ω_{1} ⇒ (∃c)(∀x ≥ c)[C_{α}(x) < C_{α}(x + 1)].

b) α < β < Ω_{1} ⇒ (∃c)(∀x ≥ c)[C_{α}(x) < C_{β}(x)]. Beweis : Diese Aussagen folgen unmittelbar aus Lemma 4.17 und Lemma 4.18. □ Nach Aussage b) aus Theorem 4.1 kann jedes α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} als ,,direkter Limes“ von C_{α} angesehen werden.

Definition 4.1 Es sei ⟨f_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩ eine Familie von Funktionen auf den natürlichen Zahlen. Eine Ordinalzahl α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} heiße subrekursiv unerreichbar^{53} für ⟨f_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩ falls (∀β < α)(∃γ < α)(∀x ∈ IN)[F_{β}(x) ≤ f_{γ}(x)]. Anderenfalls heiße α subrekursiv erreichbar für ⟨f_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩. Eine Ordinalzahl α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} heiße subrekursiv unerreichbar, falls α subrekursiv unerreichbar für ⟨G_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩ ist.

53Vergleiche Wainer (1988) bzw. Fussnote 13.

Theorem 4.2 (∀α < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)))(∃β < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)))(∀x ∈ IN)[F_{α}(x) < C_{β}(x)].^{54} Beweis : Es sei α < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)). Dann gilt α < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(n)) für ein n < ω. Setze K := N(α) und β := ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(n + 1)) + K. Dann gilt F_{α}(x) < C_{β}(x) für alle x ∈ IN nach Lemma 4.5 c). □ Damit sind die Ordinalzahlen ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) subrekursiv unerreichbar für die Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen.

Theorem 4.3 Ist α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} und α ∉ {ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)) : m < ω}, so ist α nicht subrekursiv unerreichbar für ⟨C_{α} : α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1}⟩. Beweis :

1. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) + ω, ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(Ω_{1}))]. Dann gilt nach Theorem 4.1 C_{α}(x) < C_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(Ω_{1}))}(x) = F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω))+1}(x) für alle hinreichend großen x.

2. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 1)) + ω, ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2))]. Hier gilt mit Theorem 4.1 C_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m+1))+1}(x) für alle hinreichend großen x.

3. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) + ω]. Nun gilt nach Theorem 4.1 C_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω))}(x) für alle hinreichend großen x.

4. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2)), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2)) + ω]. Wiederum gilt mit Theorem 4.1 C_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m+1))+2}(x) für alle hinreichend großen x. □

54Die Funktion α ↦ Ω_{n}(α) wurde in Definition 1.7 eingeführt.

5 Das Kollabierungstheorem

Nach den umfangreichen Vorbereitungen der vorangegangenen Abschnitte sind wir in der Lage, den Beweis des Kollabierungstheorems angehen zu können. Anschaulich gesehen versuchen wir hierbei, die Beweise von Lemma 4.12 und 4.13 zu übertragen. Der Sachverhalt gestaltet sich aber deutlich komplizierter. Als leichte Korollare erhalten wir unmittelbar, daß die Ordinalzahlen ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{ω+1}+1}) und ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω+ω}) nicht subrekursiv unerreichbar sind. Zunächst sind aber noch einige technische Vorbereitungen erforderlich.

Definition 5.1 (Rekursive Definition einer Nennform^{55} C_{x}(γ) für γ ∈ T (Ω) und tp(γ) ≥ Ω.)

a) γ =_{NF} ω^{α} > Ω ⇒ C_{x}(γ) := ω̄^{C_{x}(α)}.^{56}

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ≥ Ω & β ∈ L ⇒ C_{x}(γ) := ω^{C_{x}(α)}#C_{x}(β).

c) γ = Ω_{α+1} ⇒ C_{x}(γ) := ⋆.

d) γ = Ω_{α} & α ∈ L ⇒ C_{x}(γ) := Ω_{C_{x}(α)}.

e) γ =_{NF} ψ_{κ}(β) & Ω_{1} ≤ tp(β) < κ ⇒ C_{x}(γ) := d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(β)).

Definition 5.2 Für α ∈ T (Ω) mit π := tp(α) ≥ Ω und ξ ∈ T (Ω) ∩ π sei C_{x}(α)[[ξ]] := C_{x}(α)[⋆ := ξ]^{57}.

Lemma 5.1 Sei γ ∈ T (Ω) mit tp(γ) ≥ Ω.

55Nennformen sind (wie üblich – siehe etwa Schütte (1977) – ) formale Ausdrücke, in denen der Platzhalter ⋆ genau einmal auftritt.

56Die Verwendung der fixpunktfreien Version der Exponentialfunktion zur Basis ω hat technische Gründe. Siehe den Beweis von Lemma 5.2 c).

57Mit C_{x}(α)[⋆ := ξ] ist selbstredend gemeint, daß das Auftreten von ⋆ in C_{x}(α) durch ξ ersetzt wird.

Dann gilt N(C_{x}(γ)[[C_{x}(ξ)]]) ≤ 3^{3^{(N(Cx(γ))+N(Cx(ξ))+1)}}. Beweis durch Induktion nach N(γ): Es sei f : IN → IN definiert durch f(x) := 3^{3^{x+1}}.

1. Fall: γ =_{NF} ω^{α} > Ω. In diesem Fall liefert die Induktionsvoraussetzung wegen Lemma 4.15 a) N(C_{x}(γ)[[C_{x}(ξ)]]) = N(C_{x}(ω^{α})[[C_{x}(ξ)]]) = N(ω̄^{C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]}) ≤ 3 + N(C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]) ≤ 3 + f(N(C_{x}(α)) + N(C_{x}(ξ))) < f(N(C_{x}(γ)) + N(C_{x}(ξ))).

2. Fall: γ =_{NF} ω^{α} + β ≥ Ω oder γ = Ω_{α} mit α ∈ L. Dieser Fall ist analog zum ersten Fall. Man verwendet beim Beweis Lemma 4.7 b).

3. Fall: γ = Ω_{α+1}. Dann gilt C_{x}(γ) = ⋆ und die Behauptung ist klar.

4. Fall: γ =_{NF} ψ_{κ}(α). In diesem Fall liefert die Induktionsvoraussetzung mit Lemma 4.7 k) N(C_{x}(γ)[[C_{x}(ξ)]]) = N(C_{x}(ψ_{κ}(α))[[C_{x}(ξ)]]) = N(d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]])) ≤ 2 · (N(C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]) + 2)^{2} + 3 · (N(C_{x}(κ)) + 1) ≤ 2 · (f(N(C_{x}(α)) + N(C_{x}(ξ))) + 2)^{2} + 3 · (N(C_{x}(κ)) + 1) < f(N(C_{x}(ψ_{κ}(α))) + N(C_{x}(ξ))). □

Lemma 5.2 Es sei γ ∈ T (Ω) mit π := tp(γ) ≥ Ω. Dann gelten

a) C_{x}(γ)\underline{<<}^{x}C_{x}(γ)[[C_{x}(π)]].

b) ξ < C_{x}(π) ⇒ C_{x}(γ[ξ])\underline{<<}^{x}C_{x}(γ)[[C_{x}(ξ)]].

c) ξ <<^{x} η < C_{x}(π) ⇒ C_{x}(γ)[[ξ]] <<^{x} C_{x}(γ)[[η]].

d) m < n < ω & tp(γ) = Ω_{1} ⇒ C_{x}(γ)[[m]] <<^{0} C_{x}(γ)[[n]]. Beweis von a)-c) jeweils durch Induktion nach N(γ):

1. Fall: γ =_{NF} ω^{α} > Ω_{1}. a) Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(α)\underline{<<}^{x}C_{x}(α)[[C_{x}(π)]]. Also gilt C_{x}(γ)\underline{<<}^{x}C_{x}(γ)[[C_{x}(π)]]

b) Nach Induktionsvoraussetzung gilt C_{x}(α[ξ])\underline{<<}^{x}C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]. Dann gilt ω^{C_{x}(α[ξ])}\underline{<<}^{x}ω̄^{C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]} nach Lemma 4.9 b). Nach Lemma 2.3 Liegt zwischen γ[ξ] und γ keine Epsilon-Zahl. Damit ist γ[ξ] ≥ Ω_{1} Dies liefert C_{x}(γ[ξ])\underline{<<}^{x}C_{x}(γ)[[C_{x}(ξ)]].

c) Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(α)[[ξ]] <<^{x} C_{x}(α)[[η]] und damit gilt C_{x}(γ)[[ξ]] <<^{x} C_{x}(γ)[[η]] nach Lemma 4.9 b).

2. Fall: γ =_{NF} ω^{α} + β > Ω_{1}. Dieser Fall ist analog zum ersten Fall.

3. Fall: γ = Ω_{α+1}. Dann gilt C_{x}(γ) = ⋆ und die Behauptung ist in allen drei Fällen richtig.

4. Fall: γ = Ω_{α} und α ∈ L. Dann folgt die Behauptung erneut leicht aus der Induktionsvoraussetzung.

5. Fall: γ =_{NF} ψ_{κ}(α). Dann gilt κ > tp(α) = tp(γ) ≥ Ω_{1}.

a) Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(α)\underline{<<}^{x}C_{x}(α)[[C_{x}(π)]]. Also folgt C_{x}(γ) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α[x]))\underline{<<}^{x}d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)[[C_{x}(π)]]) = C_{x}(γ)[[C_{x}(π)]].

b) Die Induktionsvoraussetzung ergibt hier C_{x}(α[ξ])\underline{<<}^{x}C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]. Daher erhalten wir mit Lemma 4.9 d) C_{x}(γ[ξ]) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α[ξ]))\underline{<<}^{x}d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)[[C_{x}(ξ)]]).

c) Nach Induktionsvoraussetzung gilt C_{x}(α)[[ξ]] <<^{x} C_{x}(α)[[η]]. Also folgt C_{x}(γ[[ξ]]) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)[[ξ]]) <<^{x} d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(α)[[η]]) = C_{x}(γ)[[η]] mit Lemma 4.9 d).

d) folgt aus c). □

Definition 5.3 (Rekursive Definition einer endlichen Ordinalzahlenmenge CARD(γ) ⊆ T (Ω) für γ ∈ T (Ω).)

a) CARD(0) := ∅.

b) γ =_{NF} ω^{α} + β ⇒ CARD(γ) := CARD(α) ∪ CARD(β).

c) γ =_{NF} Ω_{α} ⇒ CARD(γ) := {γ} ∪ CARD(α).

d) γ =_{NF} ψ_{κ}(β) ⇒ CARD(γ) := CARD(κ) ∪ CARD(β).

Definition 5.4 (f ist lokal ordnungstreu für α.) Eine Funktion f : T (Ω) → T (Ω) heiße lokal ordnungstreu für α, falls (∀ξ, η∈CARD(α))[ξ < η ⇒ f(ξ) < f(η)]. Für α ∈ T (Ω) mit π = tp(α) > Ω ist ⟨λξ ∈ π.α[ξ], α⟩ ein π-Paar. Das folgende Lemma zeigt, daß diese Aussage nach der punktweisen Kollabierung in gewisser Weise erhalten bleibt, wenn diese nur lokal ordnungstreu ist.

Lemma 5.3 Es sei α ∈ T (Ω) mit π = tp(α) > Ω. Ferner sei λξ.C_{x}(ξ) lokal ordnungstreu für α. Dann ist ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(α)[[ξ]], C_{x}(α)⟩ ein C_{x}(π)-Paar. Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α =_{NF} ω^{γ} und tp(α) = tp(γ) > Ω_{1}. Die Induktionsvoraussetzung ergibt, daß ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(γ)[[ξ]], C_{x}(γ)⟩ ein C_{x}(π)-Paar ist. Somit ist ⟨λξ ∈ C_{x}(π).ω̄^{C_{x}(γ)[[ξ]]}, ω^{C_{x}(γ)}⟩ ein C_{x}(π)-Paar nach Lemma 3.7 b) und die Behauptung folgt sofort.

2. Fall: α =_{NF} ω^{β} + γ und tp(α) = tp(γ). Dieser Fall ist analog zum 1. Fall.

3. Fall: α = π. Dann gilt C_{x}(α) = ⋆ und ⟨λξ ∈ C_{x}(π).ξ, C_{x}(π)⟩ ist ein C_{x}(π)-Paar nach Lemma 3.8.

4. Fall: α = Ω_{β} und β ∈ L. Die Induktionsvoraussetzung liefert, daß ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(β)[[ξ]], C_{x}(β)⟩ ein C_{x}(π)-Paar ist Damit ist auch ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(α)[[ξ]], C_{x}(α)⟩ ein C_{x}(π)-Paar nach Lemma 3.7 c).

5. Fall: α =_{NF} ψ_{κ}(γ) und tp(γ) = π < κ. Es gilt π, κ ∈ CARD(α). Da λξ.C_{x}(ξ) nach Voraussetzung lokal ordnungstreu ist, gilt C_{x}(π) < C_{x}(κ). Die Induktionsvoraussetzung liefert, daß ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(γ)[[ξ]], C_{x}(γ)⟩ ein C_{x}(π)-Paar ist. Daher ist auch ⟨λξ ∈ C_{x}(π).d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(γ)[[ξ]]), d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(γ))⟩ ein C_{x}(π)-Paar nach Lemma 3.7 d). □

Lemma 5.4 Es sei λξ.C_{x}(ξ) lokal ordnungstreu für α und es gelte tp(α) > Ω. Dann gilt C_{x}(tp(α))\underline{<<}C_{x}(α) und N(C_{x}(tp(α))) ≤ N(C_{x}(α)). Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α = π. Dann gilt tp(α) = π und die Behauptung ist klar.

2. Fall: α = ψ_{κ}(γ). Dann gilt tp(α) = tp(γ) < κ. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(tp(γ))\underline{<<}C_{x}(γ) und N(C_{x}(tp(γ))) ≤ N(C_{x}(γ)). Da λξ.C_{x}(ξ) lokal ordnungstreu für α ist, gilt C_{x}(tp(γ)) < C_{x}(κ). Alsdann folgt C_{x}(tp(α))\underline{<<}D_{C_{x}(κ)}(C_{x}(γ))\underline{<<}d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(γ)) = C_{x}(α), sowie N(C_{x}(tp(α))) ≤ N(d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(γ))). Die verbleibenden Fälle folgen leicht aus der Induktionsvoraussetzung. □

Lemma 5.5 Es sei β ∈ T (Ω) und π := tp(β) > Ω. Ferner sei α_{0} := C_{x}(β)[[d_{C_{x}(π)}(C_{x}(β)[[0]])]] und α_{n} := C_{x}(β)[[d_{C_{x}(π)}(α_{n−1})]] für n > 0. Ist dann λξ.C_{x}(ξ) lokal ordnungstreu für β, so folgt α_{n} <<_{1}^{n} C_{x}(β).

Beweis : Mit Lemma 5.3 ist zunächst

(∗) ⟨λξ ∈ C_{x}(π).C_{x}(β)[[ξ]], C_{x}(β)⟩

ein C_{x}(π)-Paar. Aus 0 << C_{x}(β) folgt daher C_{x}(β)[[0]] << C_{x}(β). Lemma 5.4 ergibt C_{x}(π)\underline{<<}C_{x}(β). Mit Lemma 3.6 g) folgt d_{C_{x}(π)}(C_{x}(β)[[0]]) << C_{x}(β). (∗) ergibt C_{x}(β)[[d_{C_{x}(π)}(C_{x}(β)[[0]])]]) << C_{x}(β). Daher folgt α_{n} << C_{x}(β) durch Iteration. Wir berechnen nun Schranken für N(α_{n}). Es sei f : IN → IN definiert durch f(x) := 3^{3^{x+1}}. Behauptung: N(α_{n}) ≤ Φ(N(C_{x}(β)) + n). Beweis durch Induktion nach n. N(C_{x}(β)[[0]]) ≤ f(N(C_{x}(β)) + N(C_{x}(0))) ≤ f(N(C_{x}(β))) gilt nach Lemma 5.1. Daher gilt N(α_{0}) = N(C_{x}(β)[[d_{C_{x}(π)}(C_{x}(β)[[0]])]]) ≤ f(N(C_{x}(β)) + N(d_{C_{x}(π)}(C_{x}(β)[[0]]))) ≤ f(N(C_{x}(β)) + 3 · (N(C_{x}(π)) + 1) + 2 · (N(C_{x}(β)[[0]]) + 2)^{2}) ≤ f(N(C_{x}(β)) + 3 · (N(C_{x}(π)) + 1) + 2 · (f(N(C_{x}(β))) + 2)^{2}) ≤ Φ(N(C_{x}(β)), da N(C_{x}(π)) ≤ N(C_{x}(β)) nach Lemma 5.4. Für n > 0 gilt nach Induktionsvoraussetzung N(α_{n}) = N(C_{x}(β)[[d_{C_{x}(π)}(α_{n−1})]]) ≤ f(N(C_{x}(β)) + N(d_{C_{x}(π)}(α_{n−1}))) ≤ f(N(C_{x}(β)) + 3 · (N(C_{x}(π)) + 1) + 2 · (N(α_{n−1}) + 2)^{2}) ≤ f(N(C_{x}(β)) + 3 · (N(C_{x}(π)) + 1) + 2 · (Φ(N(C_{x}(β)) + n − 1) + 2)^{2}) ≤ Φ(N(C_{x}(β)) + n). Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen und die Behauptung folgt unmittelbar. □

Lemma 5.6 Es sei α ∈ T (Ω) mit Ω = tp(α). Dann gilt C_{x}(α)[[n]]+1 <<^{n} C_{x}(α) für n < ω. Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α = Ω_{1}. Dann gilt C_{x}(α)[[n]] + 1 = n + 2 <<^{n} ω = C_{x}(α).

2. Fall: α = ψ_{π}(γ). Dann gilt κ > Ω. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(γ)[[n]]+1 <<^{n} C_{x}(γ). Es folgt d_{C_{x}(π)}(C_{x}(γ)[[n]])+1\underline{<<}^{n}d_{C_{x}(π)}(C_{x}(γ)[[n]]+1)<<^{n}d_{C_{x}(π)}(C_{x}(γ)) = C_{x}(α). Die anderen Fälle folgen ebenfalls leicht aus der Induktionsvoraussetzung.□

Lemma 5.7 Es sei β ∈ T (Ω) mit tp(β) = Ω. Ferner sei α_{0} := F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[F_{D_{Ω_{1}} (C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x+2)]])+1}(x + 2) und für n > 0 sei α_{n} := F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]])+1}(x + 2). Dann gilt α_{n} < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{n+2}(x + 2). Beweis durch Induktion nach n: Zunächst gilt C_{x+2}(β)[[0]] + 1 <<^{x+2} C_{x+2}(β) nach Lemma 5.6. Damit gilt D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]]) + 1 <<^{x+2} D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)) und sodann folgt

(∗) F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x + 2) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{1}(x + 2).

Lemma 5.6 liefert zudem C_{x+2}(β)[[F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x + 2)]] + 1 << C_{x+2}(β). Es folgt D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x + 2)]]) + 1 << D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)). Zudem gilt nach (∗) N(D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x + 2)]] + 1) ≤ 2 + (N(Ω_{1}) + 1) · 3 + 2(N(C_{x+2}(β)[[F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[0]])+1}(x + 2)]]) + 2)^{2} ≤ 11 + 2 · (f(N(C_{x+2}(β)) + F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}(x + 2) + 2)^{2}) < Φ(N(D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))) + F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}(x + 2)). Daher folgt α_{0} < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{2}(x + 2) nach Lemma 4.5 c) Es sei nun n > 0. Die Induktionsvoraussetzung liefert α_{n−1} < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{n+1}(x + 2). Mit Lemma 5.6 folgt C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]] + 1 << C_{x+2}(α). Somit gilt D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]]) + 1 << D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(α)). Zudem gilt N(D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]]) + 1) ≤ 2 + (N(Ω_{1}) + 1) · 3 + 2(N(C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]]) + 2)^{2} ≤ 11 + 2 · (f(N(C_{x+2}(β)) + α_{n−1} + 2)^{2}) ≤ 11 + 2 · (f(N(C_{x+2}(β)) + F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{n+1}(x + 2) + 2)^{2}) < Φ(N(D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))) + F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{n+1}(x + 2)). Nach Lemma 4.5 c) folgt daher α_{n} = F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[α_{n−1}]])+1}(x + 2) < F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{n+2}(x + 2). □

Theorem 5.1 (Das Kollabierungstheorem.) Es sei α ∈ T (Ω) mit tp(α) = ω und λξ.C_{x+2}(ξ) sei lokal ordnungstreu für α. Dann gilt C_{x+2}(α[x]) <<^{x} C_{x+2}(α). Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α = ω^{β+1}. 1.1. Fall: β < Ω_{1}. Dann gilt C_{x+2}(α[x]) = C_{x+2}(ω^{β} · (x + 1)) = (x + 2)^{C_{x+2}(β)} · (x + 1) < (x + 2)^{C_{x+2}(β)+1} = C_{x+2}(ω^{β+1}) < ω. Daher gilt auch C_{x+2}(α[x]) <<^{x} C_{x}(α). 1.2. Fall: β ≥ Ω_{1}. Dann gilt C_{x+2}(α[x]) = C_{x+2}(ω^{β} · (x + 1)) = ω^{C_{x+2}(β)} · (x + 1) <<^{x} ω^{C_{x+2}(β)+1} = C_{x+2}(ω^{β+1}), da N(ω^{γ} · (x + 1)) ≤ (x + 2) · (N(γ) + 2) gilt.

2. Fall: α = ω^{β} + γ und γ ∈ L. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(γ[x]) <<^{x} C_{x+2}(γ). Also gilt C_{x+2}(α[x]) = C_{x+2}(ω^{β})#C_{x+2}(γ[x]) <<^{x} C_{x+2}(ω^{β})#C_{x+2}(γ) = C_{x+2}(α).

3. Fall: α = ω^{β} > β und β ∈ L. 3.1. Fall: β < Ω. Dann gilt C_{x+2}(β) < ω. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(α[x]) = C_{x+2}(ω^{β[x]}) = (x + 2)^{C_{x+2}(β[x])} <<^{x} (x + 2)^{C_{x+2}(β)} = C_{x+2}(α). 3.2 Fall: β ≥ Ω. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(α[x]) = ω^{C_{x+2}(β[x])} <<^{x} ω^{C_{x+2}(β)} = C_{x+2}(α).

4. Fall: α = Ω_{1+β} und β ∈ L. Dann gilt α = Ω_{β}. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(α[x])\underline{<<}^{x}Ω_{C_{x+2}(β[x])} <<^{x} Ω_{C_{x+2}(β)} = C_{x+2}(α).

5. Fall: α = ψ_{κ}(β) und κ > Ω. 5.1. Fall: tp(β) = ω. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(β[x]) <<^{x} C_{x+2}(β). Es folgt C_{x+2}(α[x]) = d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β[x])) <<^{x} d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β)) = C_{x+2}(α). 5.2 Fall: μ = tp(β) ≥ κ.

Dann gilt α[x] = ψ_{κ}(\underbrace{β[ψ_{μ}(β[...β[ψ_{μ}(β[0])]]...])]}_{(x+1)−fach}).

Somit folgt mit iterierter Anwendung von Lemma 5.2 b) und c)

C_{x+2}(α[x])\underline{<<}^{x}d_{C_{x+2}(κ)} \underbrace{(C_{x+2}(β)[[d_{C_{x+2}(μ)}(C_{x+2}(β)[[...d_{C_{x+2}(μ)}(C_{x+2}(β)[[0]])...]])]])}_{(x+1)−fach} .

Deshalb ergibt sich C_{x+2}(α[x])) <<^{x} d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β)) nach Lemma 5.5 und Lemma 4.9 d).

6. Fall: α = ψ_{Ω_{1}}(β) 6.1. Fall: tp(β) = ω. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x+2}(β[x]) <<^{x} C_{x+2}(β). Somit gilt D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β[x])) <<^{x} D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)) und es folgt F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β[x]))+1}(x + 2) <<^{x} F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))+1}(x + 2) < ω. 6.2. Fall: μ = tp(β) > Ω_{1}.

Dann gilt α[x] = ψ_{Ω}(\underbrace{β[ψ_{μ}(β[...β[ψ_{μ}(β[0])]...])]}_{(x+1)−fach})

und somit C_{x+2}(α[x]) = F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β[ψ_{μ}(β[...β[ψ_{μ}(β[0])]...])]))+1}(x). Es gilt nach Lemma 5.5 und iterierter Anwendung von Lemma 5.2 b) und c) C_{x+2}(β[ψ_{μ}(β[...β[ψ_{μ}(β[0])]...])])

\underline{<<}^{x} \underbrace{(C_{x+2}(β)[[d_{C_{x+2}(μ)}(C_{x+2}(β)[[...d_{C_{x+2}(μ)}(C_{x+2}(β)[[0]])...]])]])}_{(x+1)−fach} <<^{x} C_{x+2}(β). Al-

so gilt D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β[ψ_{μ}(β[...β[ψ_{μ}(β[0])]...])])) <<^{x} D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)) und C_{x+2}(α[x]) <<^{x} C_{x+2}(α).

6.3. Fall: μ = tp(β) = Ω.

Dann gilt α[x] = ψ_{Ω}(\underbrace{β[ψ_{Ω_{1}}(β[...β[ψ_{Ω_{1}}(β[0])]...])]}_{(x+1)−fach}).

Somit folgt C_{x+2}(α[x]) = C_{x+2}(ψ_{Ω}(\underbrace{β[ψ_{Ω_{1}}(β[...β[ψ_{Ω_{1}}(β[0])]...])])}_{(x+1)−fach})

≤ F_{(D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β)[[F_{(D_{Ω_{1}} (C_{x+2}(β)[[...F_{(D_{Ω_{1}} (C_{x+2}(β)[[0]])+1)}(x+2)...]])+1)}(x+2)]])+1)}(x + 2)

nach Lemma 5.2 b) und d). Lemma 5.7 ergibt nun wegen C_{x+2}(α) = F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))+1}(x+2) = F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{x+4}(x+2) ≥ F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β))}^{x+2}(x+2) die Behauptung.

7. Fall: α = ψ_{Ω_{1}}(0). Dann gilt α[x] = ω_{x}(1) und C_{x+2}(α[x]) = (x + 2)_{x}(1) <<^{x} F_{ω}(x) = C_{x+2}(α).

8. Fall: α = ψ_{Ω_{1}}(β + 1). Hier gilt C_{x+2}(α[x]) = (x + 2)^{...^{(x+2)^{F_{D_{Ω_{1}} (C_{x+2}(β))+1}(x+2)+1}}} <<^{x} F_{D_{Ω_{1}}(C_{x+2}(β+1))+1}(x + 2).

9. Fall: α = ψ_{κ}(0) mit κ > Ω_{1}. Dann folgt α[x] = ω_{x}(κ^{−} + 1) und damit C_{x+2}(α[x]) = ω_{x}(C_{x+2}(κ^{−}) + 1) << d_{C_{x+2}(κ)}(0). Ferner gilt N(ω_{x}(C_{x+2}(κ^{−}) + 1)) ≤ x + N(C_{x+2}(κ^{−})) + 2 ≤ x + N(C_{x+2}(κ)) + 2 < Φ(N(d_{C_{x+2}(κ)}(0)) + x). Also gilt C_{x+2}(α[x]) <<^{x} C_{x+2}(α).

10. Fall: α =_{NF} ψ_{κ}(β + 1) mit κ > Ω_{1}. Dann gilt α[x] = ω_{x}(ψ_{κ}(β) + 1) und C_{x+2}(α[x]) = ω_{x}(d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β))) << d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β) + 1) = C_{x+2}(α). Zudem gilt N(ω_{x}(d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β)) + 1)) ≤ x + N(d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β)) + 2)

≤ x + N(d_{C_{x+2}(κ)}(C_{x+2}(β) + 1) + 2) < Φ(N(C_{x+2}(α)) + x). Damit gilt C_{x+2}(α[x]) <<^{x} C_{x+2}(α). □

Lemma 5.8 Es sei α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{ω} mit G_{Ω_{1}}(α) < Ω_{ω}. Dann gilt CARD(α) ⊂ {Ω_{n} : 0 < n < ω}. Beweis durch Induktion nach N(α): Es sei K := {Ω_{n} : 0 < n < ω}.

1. Fall: α =_{NF} ω_{1}^{α} + α_{2}. Dann folgt die Behauptung sofort aus der Induktionsvoraussetzung

2. Fall: α =_{NF} Ω_{α_{1}}. Dann gilt wegen α < Ω_{ω} schon α ∈ K.

3. Fall: α = ψ_{π}(α_{1}). Dann gilt CARD(α) = CARD(π)∪CARD(α_{1}). Wegen α < Ω_{ω} erhalten wir CARD(π) ⊆ K. Aufgrund von G_{Ω_{1}}(α) < Ω_{ω} gilt G_{Ω_{1}}(α_{1}) ∪ {α_{1}} < Ω_{ω}. Die Induktionsvoraussetzung liefert nun CARD(α_{1}) ⊆ K. □

Lemma 5.9 Ist α ∈ T (Ω) ∩ ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}), so ist λξ.C_{x}(ξ) lokal ordnungstreu für α. Beweis : Aus α < ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}) folgt α ∈ C_{Ω_{1}}(Ω_{ω}). Daher gilt G_{Ω_{1}}(α) < Ω_{ω} und es folgt CARD(α) ⊆ {Ω_{n} : 0 < n < ω} nach Lemma 5.8. Für 0 < y < z < ω gilt aber offenbar C_{x}(Ω_{y}) < C_{x}(Ω_{z}). □

Lemma 5.10 Es sei α ∈ T (Ω) ∩ ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}). Dann gilt G_{α}(x) ≤ C_{x+2}(α). Beweis durch Induktion nach α:

1. Fall: α = 0. Dann gilt G_{α}(x) = 0 = C_{x+2}(α).

2. Fall: α = α′ + 1. Dann gilt G_{α}(x) = G_{α′}(x) + 1 ≤ C_{x+2}(α′) + 1 = C_{x+2}(α).

3. Fall: α ∈ L. Hier gilt G_{α}(x) = G_{α[x]}(x) ≤ C_{x+2}(α[x]) nach Induktionsvoraussetzung. Mit Lemma 5.9 und dem Kollabierungstheorem 5.1 folgt sodann C_{x+2}(α[x]) ≤ C_{x+2}(α). □ Für die Aufzählungsfunktion λξ.ε_{ξ} von E gilt ε_{Ω_{ξ}+1} = ψ_{Ω_{ξ+1}}(0) für ξ ≠ 0. Als erstes Korollar erhalten wir.

Korollar 5.1

a) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ω_{n}(Ω_{1}+1))}(x) ≤ F_{ω_{n}(ω+1)+2}(x)].

b) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})}(x) ≤ F_{ε_{0}}(x)].

c) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ω_{n}(Ω_{m+1}+1))}(x) ≤ F_{D_{Ωm}(ω_{n}(Ω_{m}+1))+2}(x)].

d) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{m+1}+1})}(x) ≤ F_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ωm+1})}(x)]. Beweis :

a) Dies folgt aus Lemma 5.10 und der Beziehung F_{α+2}(x) ≥ F_{α}(x + 2).

b) folgt unmittelbar aus a) (Vergleiche auch Girard (1981)).

c) Dies folgt aus Lemma 5.10.

d) Dies folgt aus c) (Vergleiche auch Wainer (1989)). □ Eine Inspektion des Beweises von Lemma 5.10 zeigt, daß man die Ungleichung C_{x+2}(β[x]) < C_{x+2}(β) lediglich für alle β ⪯_{x} α benötigt. Ist somit λξ.C_{x+2}(ξ) lokal ordnungstreu auf jedem β mit β ⪯_{x} α, so liefert der Beweis von Lemma 5.10 wiederum G_{α}(x) ≤ C_{x+2}(α). Diese Beobachtung ermöglicht nun den Beweis der angekündigten Korollare.

Lemma 5.11 Es sei γ ∈ T (Ω) mit tp(γ) ≥ Ω_{1}. Dann gilt CARD(γ[ξ]) ⊆ CARD(γ) ∪ CARD(ξ) für alle ξ < tp(γ). Beweis durch Induktion nach N(γ): Im kritischen Fall gilt γ = ψ_{π}(γ_{1}) mit Ω_{1} ≤ tp(γ_{1}) < π. Dann gilt CARD(γ[ξ]) = CARD(ψ_{π}(γ_{1}[ξ])) = CARD(π) ∪ CARD(γ_{1}[ξ]) ⊆ CARD(π) ∪ CARD(γ_{1}) ∪ CARD(ξ) ⊆ CARD(γ) ∪ CARD(ξ). □ Es seien C_{1}^{x} := {Ω_{n} : 0 < n ≤ x + 1} ∪ {Ω_{ω}, Ω_{ω+1}} und C_{2}^{x} := {Ω_{n} : 0 < n ≤ x + 1} ∪ {Ω_{ω+n} : 0 ≤ n ≤ x + 1} ∪ {Ω_{ω+ω}}.

Lemma 5.12

a) CARD(β) ⊆ C_{1}^{x} ⇒ CARD(β[x]) ⊆ C_{1}^{x}.

b) CARD(β) ⊆ C_{2}^{x} ⇒ CARD(β[x]) ⊆ C_{2}^{x}. Beweis durch Induktion nach N(β): Der Beweis ist leicht. Es gehen lediglich Ω_{ω}[x] = Ω_{x+1}, Ω_{ω+ω}[x] = Ω_{ω+x+1}, und π ∈ C_{i}^{x} ⇒ π^{−} ∈ C_{i}^{x} für i = 1, 2 ein. □

Lemma 5.13 Es sei α := ψ_{Ω_{1}}(ω_{x}(Ω_{ω+1}+1)). Dann folgt aus β ⪯_{x} α schon CARD(β) ⊆ C_{1}^{x}. Beweis : Man zeigt CARD(α[x]^{k}) ⊂ C_{1}^{x} ⇒ CARD(α[x]^{k+1}) ⊂ C_{1}^{x} durch Induktion nach k unter Verwendung von CARD(α) ⊆ C_{1}^{x} und Lemma 5.12 a).^{58} □

Lemma 5.14 Es sei α := ψ_{Ω_{1}}((Ω_{ω+ω})). Dann folgt aus β ⪯_{x} α schon CARD(β) ⊆ C_{2}^{x}. Beweis : Man zeigt CARD(α[x]^{k}) ⊂ C_{2}^{x} ⇒ CARD(α[x]^{k+1}) ⊂ C_{2}^{x} durch Induktion nach k unter Verwendung von CARD(α) ⊆ C_{2}^{x} und Lemma 5.12 b). □

Korollar 5.2

a) Für alle x ∈ IN gilt G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{ω+1}+1})}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω})+1}(x).

b) Für alle x ∈ IN gilt G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω+ω})}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω})+1}(x).

58Es sei daran erinnert, daß ·[·]^{n} : ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0})×IN → ψ_{Ω_{1}}(Λ_{0}) definiert ist durch α[x]^{0} := α und α[x]^{n+1} := (α[x]^{n})[x].

Beweis : Die Behauptung folgt aus dem Kollabierungstheorem, dem Beweis von Lemma 5.10, den Lemmata 5.13 und 5.14 und der Tatsache, daß λξ.C_{x+2}(ξ) für i = 1, 2 auf C_{i}^{x} ordungstreu ist. □

6 Der Übertragungssatz

Durch das Kollabierungstheorem und den Beweis von Korollar 5.2 ist vorgezeichnet, daß wir zum Vergleich der langsam wachsenden Hierarchie mit der Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen die lokale Ordnungstreue der punktweisen Kollabierungsfunktionen an ,,genügend vielen“ Stellen sicherzustellen haben. Das nun gezeigte Übertragungstheorem zeigt, daß das lokale Ordnungsverhalten der punktweisen Kollabierungsfunktion auf einer Ordinalzahl α schon durch das Ordnungsverhalten dieser Funktion auf den abzählbaren Teiltermen von α vollständig bestimmt ist. Dadurch läßt sich das Problem der lokalen Ordnungstreue auf ein einfacher zu behandelndes reduzieren.

Definition 6.1 (Rekursive Definition einer endlichen Ordinalzahlenmenge Sub(γ) ⊆ T (Ω) für γ ∈ T (Ω).) (S1) Sub(0) := {0}. (S2) γ =_{NF} ω^{α} + β ∈ L ⇒ Sub(γ) := Sub(α) ∪ Sub(β) ∪ {γ}. (S3) γ =_{NF} ω^{α} + (β + n + 1) & β ∈ L ∪ {0}

⇒ Sub(γ) := Sub(α) ∪ Sub(β + n + 1) ∪ Sub(ω^{α} + β + n) ∪ {γ}.^{59} (S4) γ =_{NF} Ω_{α} ⇒ Sub(γ) := Sub(α) ∪ {γ}. (S5) γ =_{NF} ψ_{κ}(β) ⇒ Sub(γ) := Sub(κ) ∪ Sub(β) ∪ {γ}. Sub_{Ω_{1}}(α) := Sub(α) ∩ Ω_{1}.

59Diese Definitionsklausel bewirkt unter anderem, daß α ein ,,Subterm“ von α + 1 ist.

Lemma 6.1 CARD(γ) ⊆ Sub(γ). Beweis durch Induktion nach N(γ): □

Lemma 6.2 Es sei β ∈ L ∪ {0}. Dann gilt Sub(ω^{α} + β + n) = Sub(α) ∪ Sub(β + n) ∪ {ω^{α} + β, ω^{α} + β + 1, …, ω^{α} + β + n} Beweis durch Induktion nach n: Der Fall n = 0 ist klar. Im Fall n > 0 gilt Sub(ω^{α} + β + n) = Sub(α) ∪ Sub(β + n) ∪ {ω^{α} + β + n} ∪ Sub(ω^{α} + β + n − 1) = Sub(α) ∪ Sub(β + n) ∪ {ω^{α} + β + n} ∪ Sub(ω^{α}) ∪ Sub(β + n − 1) ∪ {ω^{α} + β, ω^{α} + β + 1, …, ω^{α} + β + n − 1} nach Induktionsvoraussetzung. □

Definition 6.2 M ⊆ T (Ω) heiße abgeschlossen gegen Subtermbildung, falls Sub(ξ) ⊆ M für alle ξ ∈ M gilt.

Lemma 6.3 Es sei α ∈ T (Ω). Dann ist Sub(α) abgeschlossen gegen Subtermbildung. Beweis durch Induktion nach N(α): □

Theorem 6.1 (Der Übertragungssatz.) Es sei M ⊆ T (Ω) eine gegen Subtermbildung abgeschlossene Menge von Ordinalzahlen. Es gelte (∀ξ, η ∈ M ∩ Ω)[ξ < η ⇒ C_{x}(ξ) < C_{x}(η)]. Dann gilt für ξ, η, κ ∈ M:

a) ξ < η ⇒ C_{x}(ξ) < C_{x}(η),

b) κ > Ω & G_{κ}(ξ) < η ⇒ G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ)) < ω^{C_{x}(η)}. Beweis von a) und b) durch simultane Induktion nach 3^{N(ξ)} + 3^{N(η)} + 3^{N(κ)}:

a) 1. Fall: ξ = 0. Dann gilt η ≠ 0 und C_{x}(η) ≠ 0.

2. Fall: ξ =_{NF} ω^{ξ_{1}} + ξ′.

2.1. Fall: η < Ω. Hier gilt ξ, η ∈ M ∩ Ω_{1} und somit folgt C_{x}(ξ) < C_{x}(η) aus der Voraussetzung. 2.2. Fall: η =_{NF} Ω_{η_{1}} oder η =_{NF} ψ_{κ}(η_{1}), mit κ > Ω. Die Induktionsvoraussetzung ergibt C_{x}(ξ_{1}), C_{x}(ξ′) < C_{x}(η). Da C_{x}(η) eine additive Hauptzahl ist, gilt C_{x}(ξ) < C_{x}(η). 2.3. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2} und η_{1} ≥ Ω_{1}. Dann gilt C_{x}(η) = ω^{C_{x}(η_{1})}#C_{x}(η_{2}) und C_{x}(η_{1}) ≥ ω. Falls ξ_{1} < Ω_{1} ist, so folgt C_{x}(ξ) < ω, und die Behauptung ist klar. Anderenfalls ist ξ_{1} ≥ Ω_{1}, und somit C_{x}(ξ) = ω^{C_{x}(ξ_{1})}#C_{x}(ξ′). 2.3.1. Fall: ξ_{1} < η_{1}. Die Induktionsvoraussetzung ergibt zunächst C_{x}(ξ_{1}) < C_{x}(η_{1}). Es sei nun ξ = ω^{ξ_{1}} + (ω^{ξ_{2}} + ⋯ (ω^{ξ_{n}} + ξ_{n+1}) ⋯), wobei ξ_{n+1} eine Epsilon-Zahl oder Null ist und ξ_{1} ≥ ξ_{2} ≥ … ≥ ξ_{n} ≥ ξ_{n+1} gilt. Weil 3^{N(ξ_{i})} +3^{N(ξ_{i+1})} < 3^{N(ξ)} gilt, folgt zunächst C_{x}(ξ_{1}) ≥ C_{x}(ξ_{2}) ≥ … ≥ C_{x}(ξ_{n}) ≥ C_{x}(ξ_{n+1}) aus der Induktionsvoraussetzung. Damit folgt C_{x}(ξ) < C_{x}(η). 2.3.2. Fall: ξ_{1} = η_{1}. Dann gilt ξ′ < η_{2}. Die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(ξ′) < C_{x}(η_{2}) und es folgt C_{x}(ξ) < C_{x}(η).

3. Fall: ξ = Ω_{2+ξ_{1}}. 3.1. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2}. Dann gilt η_{1} ≥ ξ. Die Induktionsvoraussetzung ergibt C_{x}(ξ) ≤ C_{x}(η_{1}). Im Falle η_{2} ≠ 0 ist C_{x}(η_{2}) ≠ 0 und daher C_{x}(η_{1}) < C_{x}(η). Im Falle η_{2} = 0 gilt η =_{NF} ω^{η_{1}}. Damit ist η_{1} keine Epsilon-Zahl und daher nach Lemma 4.15 a) auch C_{x}(η_{1}) nicht. Alsdann erhalten wir C_{x}(η) = ω^{C_{x}(η_{1})} > C_{x}(η_{1}) ≥ C_{x}(ξ). 3.2. Fall: η = ψ_{κ}(η_{1}) und κ > Ω_{1}. Dann gilt ξ < κ und die Induktionsvoraussetzung liefert C_{x}(ξ) < C_{x}(κ), was C_{x}(ξ) ≤ (C_{x}(κ))^{−} < d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})) nach sich zieht. 3.3. Fall: η = Ω_{2+η_{1}}. Dann gilt ξ_{1} < η_{1} und die Induktionsvoraussetzung ergibt C_{x}(ξ) = Ω_{1+C_{x}(ξ_{1})} < Ω_{1+C_{x}(η_{1})} = C_{x}(η).

4. Fall: ξ = Ω_{1}. Dieser Fall ist analog zum 3. Fall.

5. Fall: ξ =_{NF} ψ_{κ}(ξ_{1}) und κ > Ω_{1}. 5.1. Fall: η =_{NF} ω^{η_{1}} + η_{2} und η_{1} ≥ Ω_{1}. Dieser Fall ist analog zu Fall 3.1. 5.2. Fall: η = Ω_{2+η_{1}}. Dann gilt κ ≤ η, also C_{x}(κ) ≤ C_{x}(η) nach Induktionsvoraussetzung, und deshalb folgt C_{x}(ξ) < C_{x}(η). 5.3. Fall: η =_{NF} ψ_{μ}(η_{1}). Falls κ < μ gilt, so liefert die Induktionsvoraussetzung C_{x}(κ) < C_{x}(μ), was sofort C_{x}(ξ) < C_{x}(η) ergibt. Es gelte daher μ = κ und ξ_{1} < η_{1}. Dann haben wir C_{x}(ξ) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) und C_{x}(η) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})). Die Normalformbedingungen für ξ und η ergeben G_{κ}(ξ_{1}) < ξ_{1} und G_{κ}(η_{1}) < η_{1}. Die Induktionsvoraussetzung für b) ergibt G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) < ω^{C_{x}(ξ_{1})} und G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})) < ω^{C_{x}(η_{1})}. Mithin gilt nach Lemma 3.3 n) h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) = ω^{C_{x}(ξ_{1})} und h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})) = ω^{C_{x}(η_{1})}. Die Induktionsvoraussetzung liefert schließlich C_{x}(ξ_{1}) < C_{x}(η_{1}) woraus dann h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) < h_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})) folgt, was C_{x}(ξ) = d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) < d_{C_{x}(κ)}(C_{x}(η_{1})) = C_{x}(η) ergibt.

6. Fall: ξ = ψ_{Ω_{1}}(ξ_{1}). Dann gilt C_{x}(ξ) < ω. Falls η ≥ Ω_{1}, so folgt C_{x}(η) ≥ ω > C_{x}(ξ). Im Falle η < Ω_{1} folgt C_{x}(ξ) < C_{x}(η) nach Voraussetzung. b) 1. Fall: ξ = 0. Dann ist nichts zu zeigen.

2. Fall: ξ =_{NF} ω^{ξ_{1}} + ξ_{2}. Hier folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung.

3. Fall: ξ =_{NF} Ω_{ξ_{1}}. Die Induktionsvoraussetzung liefert sofort die Behauptung.

4. Fall: ξ =_{NF} ψ_{μ}(ξ_{1}). 4.1. Fall μ < κ. Dann gilt G_{κ}(ξ) = ∅. Die Induktionsvoraussetzung für a) liefert sofort C_{x}(μ) < C_{x}(κ) und G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ)) = G_{C_{x}(κ)}(d_{C_{x}(μ)}(C_{x}(ξ_{1}))) = ∅. 4.2. Fall: κ ≤ μ. Dann gilt G_{κ}(ξ) = {ξ_{1}} ∪ G_{κ}(μ) ∪ G_{κ}(ξ_{1}) < η. Die Induktionsvoraussetzung impliziert G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(μ)) < ω^{C_{x}(η)} und G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ_{1})) < ω^{C_{x}(η)}. Die Induktionsvoraussetzung für a) ergibt zudem C_{x}(ξ_{1}) < C_{x}(η) und C_{x}(κ) ≤ C_{x}(μ). Die Normalformbedingung für ξ liefert ferner G_{μ}(ξ_{1}) < ξ_{1}. Die Induktionsvoraussetzung liefert daher außerdem G_{C_{x}(μ)}(C_{x}(ξ_{1})) < ω^{C_{x}(ξ_{1})}, was schließlich h_{C_{x}(μ)}(C_{x}(ξ_{1})) = ω^{C_{x}(ξ_{1})} impliziert. Damit ergibt sich schließlich G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(ξ)) = G_{C_{x}(κ)}(d_{C_{x}(μ)}(C_{x}(ξ_{1}))) = G_{C_{x}(κ)}(ψ_{C_{x}(μ)}(ω^{C_{x}(ξ_{1})})) = {ω^{C_{x}(ξ_{1})}} ∪ G_{C_{x}(κ)}(C_{x}(μ)) ∪ G_{C_{x}(κ)}(ω^{C_{x}(ξ_{1})}) < ω^{C_{x}(η)}. □

7 Das Abstiegstheorem für Subtermmengen

Der Abstieg von α längs der Hauptfolge für α an der Stelle x auf ein β ≺_{x} α geschieht derart konstruktiv und vorsichtig, daß alle in β enthaltene syntaktische Information schon durch α und x abgedeckt wird.^{60} Hier zeigen wir zusätzlich, daß beim Abstieg von α an der Stelle x auch die syntaktische Information über die abzählbaren Subterme von β voll erhalten bleibt. Genauer gilt, daß Sub_{Ω_{1}}(α) ≺_{x} α immer schon Sub_{Ω_{1}}(β) ≺_{x} α impliziert. Diese Information wird beim Beweis von Theorem 8.1 im Verein mit dem Übertragungstheorem an entscheidender Stelle verwendet, um aus einer starken Induktionsvoraussetzung auf die lokale Ordnungstreue der punktweisen Kollabierungsfunktion an genügend vielen Stellen schließen zu können.

60Dementsprechend gilt dann β <<^{x} α.

Lemma 7.1 κ ∈ CARD(α) ⇒ Sub_{Ω_{1}}(κ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α). Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α = 0. Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall: α =_{NF} ω^{β} + γ oder α = ψ_{μ}(α_{1}). Hier ergibt die Induktionsvoraussetzung leicht die Behauptung.

3. Fall: α =_{NF} Ω_{α_{1}}. Falls κ = α, so gilt Sub_{Ω_{1}}(κ) = Sub_{Ω_{1}}(α). Anderenfalls gilt κ ∈ CARD(α_{1}) und die Behauptung folgt aus der Induktionsvoraussetzung. □

Lemma 7.2 Es sei α ∈ T (Ω) mit tp(α) ≥ Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(α[ξ]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ). Beweis durch Induktion nach N(α):

1. Fall: α =_{NF} ω^{β} und β ∈ L. Dann gilt α ≥ β ≥ tp(β) ≥ Ω_{1}. Nach Lemma 2.3 gilt α[ξ] ≥ Ω_{1} und die Induktionsvoraussetzung liefert Sub_{Ω_{1}}(α[ξ]) = Sub_{Ω_{1}}(β[ξ]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ).

2. Fall: α =_{NF} ω^{β} + γ und γ ∈ L.

Dann gilt β ≥ Ω_{1}, aufgrund von α ≥ γ ≥ tp(γ) ≥ Ω_{1}. Es gelte nun α[ξ] = ω^{β} + γ[ξ] mit γ[ξ] = γ′ + n, wobei γ′ ∈ L ∪ {0} und n < ω. Dann gilt nach Induktionsvoraussetzung Sub_{Ω_{1}}(α[ξ]) = Sub_{Ω_{1}}(β) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ[ξ]) ∪ (Ω_{1} ∩ {ω^{β} + γ′, …, ω^{β} + γ′ + n}) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ[ξ]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ).

3. Fall: α = Ω_{α_{1}+1}. Es folgt α[ξ] = ξ und die Behauptung gilt trivialerweise.

4. Fall: α = Ω_{α_{1}} und α_{1} ∈ L. Hier gilt α ≥ Ω_{1} und die Induktionsvoraussetzung impliziert Sub_{Ω_{1}}(α[ξ]) = Sub_{Ω_{1}}(α_{1}[ξ]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ).

5. Fall: α = ψ_{κ}(α_{1}) und tp(α_{1}) < κ. Hier gilt schließlich tp(α) = tp(α_{1}) ≥ Ω_{1} und nach Induktionsvoraussetzung folgt Sub_{Ω_{1}}(α[ξ]) = Sub_{Ω_{1}}(ψ_{κ}(α_{1}[ξ])) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(α_{1}[ξ]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(α_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(α) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ξ).

Definition 7.1 (Definition von α ⋈ x.) Für α < Ω_{1} sei α ⋈ x := {β : β ⪯_{x} α}.

Lemma 7.3 (Das Abstiegslemma für Subtermmengen.) Es sei 0 < α < Ω und β ∈ T (Ω) mit tp(β) = ω. Dann folgt aus Sub_{Ω_{1}}(β) ⊆ α ⋈ x schon Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ α ⋈ x. Beweis durch Induktion nach N(β):

1. Fall: β = ω^{γ+1}.

1.1. Fall: β < Ω_{1}. Dann haben wir Sub_{Ω_{1}}(β) = {β} ∪ Sub(γ + 1). Zudem gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ω^{γ} · (x + 1)) = {ω^{γ} · (x + 1)} ∪ {ω^{γ} · x} ∪ … ∪ {ω^{γ}} ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ). Aufgrund von Theorem 2.3 gilt ω^{γ} · (x + 1), …, ω^{γ} ⪯_{x} ω^{γ+1}. Die Induktionsvoraussetzung ergibt sodann die Behauptung. 1.2. Fall: β ≥ Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(γ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) und die Behauptung folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

2. Fall: β =_{NF} ω^{γ} und γ ∈ L. 2.1. Fall: β < Ω. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = {β}∪Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = {ω^{γ[x]}}∪Sub_{Ω_{1}}(γ[x]). Aufgrund von Sub_{Ω_{1}}(γ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) ⊆ α ⋈ x ergibt die Induktionsvoraussetzung Sub_{Ω_{1}}(γ[x]) ⊆ α ⋈ x. Aufgrund von β[x] ⪯_{x} β folgt daher Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ α ⋈ x. 2.2. Fall: γ ≥ Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(γ[x]), da γ[ξ] ≥ Ω_{1}. Die Behauptung folgt aus der Induktionsvoraussetzung,

3. Fall: β =_{NF} ω^{γ} + δ und δ ∈ L. Es sei β[x] = ω^{γ} +δ[x] mit δ[x] = δ′ +n, wobei δ′ ∈ L∪{0} und n < ω. Dann gilt Sub(β[x]) ⊆ Sub(γ) ∪ Sub(δ[x]) ∪ {ω^{γ} + δ′, …, ω + δ′ + n}. Aufgrund von Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(δ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β) ⊆ α ⋈ x gilt nach Induktionsvoraussetzung Sub_{Ω_{1}}(δ[x]) ⊆ α ⋈ x. 3.1. Fall: γ < Ω_{1}. Aufgrund von β[x] − n, β[x] − n + 1, …, β[x] ≺_{x} β folgt hier die Behauptung. 3.2. Fall: γ ≥ Ω_{1}. In diesem Fall folgt die Behauptung unmittelbar.

4. Fall: β =_{NF} Ω_{γ} und tp(γ) = ω. Dann hat man Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(γ) und es gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(γ[x]).

Die Induktionsvoraussetzung ergibt die Behauptung.

5. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(γ) und tp(γ) = ω. 5.1. Fall: κ = Ω_{1}. Dann erhalten wir Sub_{Ω_{1}}(β) = {β} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = {β[x]} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ[x]). Aufgrund von β[x] ⪯_{x} β liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung. 5.2. Fall: κ > Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) sowie Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ[x]). Die Induktionsvoraussetzung ergibt die Behauptung.

6. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(γ) und μ := tp(γ) ≥ κ > Ω_{1}. Es folgt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ψ_{κ}(γ[ψ_{μ}(γ[...ψ_{μ}(γ[0])...])])). Lemma 7.2 ergibt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(ψ_{μ}(γ[...ψ_{μ}(γ[0])...])) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(μ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ[0]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(μ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β), nach Lemma 7.1 wegen μ = tp(γ) ∈ CARD(γ). Die Behauptung folgt unmittelbar.

7. Fall: β =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ) und tp(γ) ≥ Ω_{1}. 7.1. Fall: μ := tp(γ) > Ω_{1}. Dann haben wir Sub_{Ω_{1}}(β) = {β} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ψ_{Ω_{1}}(γ[ψ_{μ}(γ[...ψ_{μ}(γ[0])...])])). Also gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ {β[x]} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(μ). Nach Lemma 7.1 gilt Sub_{Ω_{1}}(μ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(γ). Die Behauptung folgt aus β[x] ⪯_{x} β. 7.2. Fall: tp(γ) = Ω_{1}. In diesem Fall gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = {β} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) und Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ψ_{Ω_{1}}(γ[ψ_{Ω_{1}}(γ[...ψ_{Ω_{1}}(γ[0])...])])). Alsdann gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ {β[x]} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ {β[x − 1]} ∪ … ∪ {β[0]}. Aufgrund von Theorem 2.3 b) gilt β[0], …, β[x − 1], β[x] ⪯_{x} β. Daher liefert die Induktionsvoraussetzung erneut die Behauptung.

8. Fall: β =_{NF} ψ_{κ}(γ + 1) und κ > Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ + 1). Also folgt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ω_{x}(ψ_{κ}(γ) + 1)) = Sub_{Ω_{1}}(ψ_{κ}(γ)) ∪ Sub_{Ω_{1}}(1) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(1) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β).

9. Fall: β = ψ_{κ}(0) und κ > Ω_{1}. Dann gilt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(κ) und es folgt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ω_{x}(κ^{−} + 1)) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(κ^{−}). Gilt κ = Ω_{ξ+1}, so ist κ^{−} = Ω_{ξ} und wir erhalten Sub_{Ω_{1}}(κ^{−}) = Sub_{Ω_{1}}(ξ) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(ξ + 1) = Sub_{Ω_{1}}(κ). Daher gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ Sub_{Ω_{1}}(β).

10. Fall: β =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ + 1). Dann folgt Sub_{Ω_{1}}(β) = Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ + 1) ∪ {β} und es gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) = Sub_{Ω_{1}}(ω_{x}(ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1)) = Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ) ∪ Sub_{Ω_{1}}(1) {ω_{x}(ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1), ω_{x−1}(ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1), …, ω_{1}(ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1), ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1, ψ_{Ω_{1}}(γ)}. Für y ≤ x gilt nach Theorem 2.3 b) ω_{y}(ψ_{Ω_{1}}(γ) + 1) ≺_{x} ψ_{Ω_{1}}(γ + 1). Damit gilt Sub_{Ω_{1}}(β[x]) ⊆ α ⋈ x.

11. Fall: β = ψ_{Ω_{1}}(0). Dieser Fall ist völlig analog zu Fall 10. □

Theorem 7.1 (Das Abstiegstheorem für Subtermmengen.) Es sei α < Ω_{1} mit Sub_{Ω_{1}}(α) ⊆ α ⋈ x. Dann folgt aus β ∈ α ⋈ x immer schon Sub_{Ω_{1}}(β) ⊆ α ⋈ x.

Beweis : Es gilt β = α[x]^{k} ⪯_{x} … ⪯_{x} α^{0}[x] = α für ein k ∈ IN. Sub_{Ω_{1}}(α)[x]^{l−1} ⊆ α ⋈ x ergibt Sub_{Ω_{1}}(α)[x]^{l} ⊆ α ⋈ x nach dem Abstiegslemma 7.3. Die Behauptung folgt daher aus Sub_{Ω_{1}}(α) ⊆ α ⋈ x durch Iteration. □

8 Zum Vergleich der schnell und der langsam wachsenden Hierarchie für große abzählbare Ordinalzahlen

Als Korollar zu den Ergebnissen der letzten drei Abschnitte erhalten wir, daß G_{α}(x) ≤ C_{α}(x + 2) für alle hinreichend großen x ∈ IN gilt. Hieraus resultiert eine Vielzahl von neuen Ergebnissen über den Vergleich von langsam und schnell wachsender Hierarchie. Es zeigt sich überraschenderweise, daß man die subrekursive Erreichbarkeit einer abzählbaren Ordinalzahl α ∈ T (Ω)∩Ω_{1} im wesentlichen schon an der syntaktischen Gestalt des α repräsentierenden Terms erkennen kann. Insbesondere hängt subrekursive Erreichbarkeit intrinsisch mit dem syntaktischen Verhalten der Aufzählungsfunktion der überabzählbaren Kardinalzahlen unter der punktweisen Kollabierungsfunktion zusammen.

Lemma 8.1 G_{Ω_{1}}(α) < β ⇒ G_{Ω_{1}}(Sub_{Ω_{1}}(α)) < β. Beweis durch Induktion nach N(α): Falls α nicht die Gestalt ψ_{Ω_{1}}(γ) hat so folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung. Es gelte daher α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ). Dann folgt Sub_{Ω_{1}}(α) = {α} ∪ Sub_{Ω_{1}}(Ω_{1}) ∪ Sub_{Ω_{1}}(γ). G_{Ω_{1}}(γ) ⊆ G_{Ω_{1}}(α) < β ergibt G_{Ω_{1}}(Sub_{Ω_{1}}(γ)) < β. Deshalb gilt G_{Ω_{1}}(Sub_{Ω_{1}}(α)) < β. □

Lemma 8.2

a) ξ ∈ Sub_{Ω_{1}}(α) ⇒ ξ ≤ α.

b) ξ ∈ Sub_{Ω_{1}}(α) \ {α} ⇒ ξ < α. Beweis :

a) Beweis durch Induktion nach N(α). Falls α nicht die Gestalt ψ_{Ω_{1}}(γ) hat so folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung. Es gelte daher α =_{NF} ψ_{Ω_{1}}(γ). Für α = ξ ist nichts zu zeigen. Es sei daher ξ ∈ Sub_{Ω_{1}}(γ). Die Normalformbedingung ergibt G_{Ω_{1}}(γ) < γ. Lemma 8.1 ergibt G_{Ω_{1}}(Sub_{Ω_{1}}(γ)) < γ. Somit folgt Sub_{Ω_{1}}(γ) ⊆ C_{Ω_{1}}(γ), also ξ < ψ_{Ω_{1}}(γ).

b) folgt sofort aus a). □

Lemma 8.3 Aus Sub_{Ω_{1}}(α) ⊆ α ⋈ x und β ≺_{x} γ ⪯_{x} α < Ω_{1} folgt C_{x+2}(β) < C_{x+2}(γ). Beweis durch Induktion nach γ: Die Induktionsvoraussetzung ergibt

(∗) (∀ξ, η ∈ γ[x] ⋈ x)[ξ < η ⇒ C_{x+2}(ξ) < C_{x+2}(η)].

Speziell gilt C_{x+2}(β) ≤ C_{x+2}(γ[x]). Zu zeigen ist nun C_{x+2}(γ[x]) < C_{x+2}(γ). Nach Theorem 7.1, dem Abstiegstheorem für Subtermmengen, gilt

Sub_{Ω_{1}}(γ) ⊆ α ⋈ x.

Nach Lemma 8.2 folgt daher

(Sub(γ) \ {γ}) ∩ Ω_{1} = Sub_{Ω_{1}}(γ) \ {γ} ⊆ γ[x] ⋈ x.

Daher folgt aus (∗) mit dem Übertragungstheorem 6.1

(∀ξ, η ∈ Sub(γ) \ {γ})[ξ < η ⇒ C_{x+2}(ξ) < C_{x+2}(η)].

Speziell gilt also nach Lemma 6.1

(∀ξ, η ∈ CARD(γ))[ξ < η ⇒ C_{x+2}(ξ) < C_{x+2}(η)].

Daher ist λξ.C_{x+2}(x) lokal ordnungstreu für γ und das Kollabierungstheorem 5.1 ergibt C_{x+2}(γ[x]) < C_{x+2}(γ). □

Theorem 8.1 Es sei α < Ω mit Sub_{Ω_{1}}(α) ⊆ α ⋈ x. Falls β ∈ α ⋈ x, so folgt G_{β}(x) ≤ C_{x+2}(β). Speziell gilt G_{α}(x) ≤ C_{x+2}(α). Beweis durch Induktion nach β:

1. Fall: β = 0. Dann gilt G_{β}(x) = G_{0}(x) = 0 = C_{x+2}(β).

2. Fall: β = β′ + 1. Mit β ∈ α ⋈ x ist auch β′ = β[x] ∈ α ⋈ x und die Induktionsvoraussetzung ergibt G_{β+1}(x) = G_{β}(x) + 1 ≤ C_{x+2}(β) + 1 = C_{x+2}(β + 1).

3. Fall: β ∈ L. Hier haben wir wiederum β[x] ∈ α ⋈ x und die Induktionsvoraussezung ergibt G_{β}(x) = G_{β[x]}(x) ≤ C_{x+2}(β[x]) < C_{x+2}(β) nach Lemma 8.3. □

Lemma 8.4 α < Ω_{1} ⇒ (∃x < ω)[Sub_{Ω_{1}}(α) ⊆ α ⋈ x]. Beweis : Im Falle von β ∈ Sub_{Ω_{1}}(α) \ {α} ist nach Lemma 8.2 b) β < α und somit existiert ein x(β) < ω mit β ≺_{x(β)} α. Es sei x := max{x(β) : β ∈ Sub_{Ω_{1}}(α)}. Theorem 2.3 b) ergibt daher β ⪯_{x} α für alle β ∈ Sub_{Ω_{1}}(α). □

Lemma 8.5 α < β ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} ⟹ (∃k)(∀x ≥ k)[G_{α}(x) < G_{β}(x)]. Beweis : Dieses Standardresultat folgt zum Beispiel aus Aoyama und Kadota (1990) bzw. Dennis-Jones und Wainer (1984). □ Aus Abschnitt 5 ist bereits das folgende Korollar bekannt. Dieses folgt erneut aus Theorem 8.1.

Korollar 8.1

a) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ω_{n}(Ω_{1}+1))}(x) ≤ F_{ω_{n}(ω+1)+2}(x)].

b) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{1}+1})}(x) ≤ F_{ε_{0}}(x)].

c) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ω_{n}(Ω_{m+1}+1))}(x) ≤ F_{D_{Ω_{1}}(ω_{n}(Ω_{m}+1))+2}(x)].

d) (∀x ∈ IN)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{m+1}+1})}(x) ≤ F_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ωm+1})}(x)]. Beweis :

a) Dies folgt aus Theorem 8.1 unter Beachtung von F_{α}(x + 2) ≤ F_{α+2}(x).

b) folgt unmittelbar aus a) (Vergleiche auch Girard (1981)).

c) Dies folgt erneut aus Theorem 8.1.

d) Dies folgt aus c) [Vergleiche auch Wainer (1989)]. □ Nach Wainer (1989) ist ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω}), die beweistheoretische Ordinalzahl von ID_{<ω} sogar die kleinste subrekursiv unerreichbare Ordinalzahl. Was kann über die ,,slow-growing“ Ordinalzahlen^{61} der Theorien ID_{ν} (bzw. ID_{<ν} für ω ≤ ν < Ω_{1} gesagt werden? Aus Korollar 5.2 wissen wir schon, daß weder die beweistheoretische Ordinalzal von ID_{ω+1} noch die von ID_{<ω·2} subrekursiv unerreichbar sind. Allgemeiner gilt das folgende Ergebnis.

Korollar 8.2 Es sei ω ≤ τ < Ω_{1} und G_{Ω_{1}}(τ) < Ω_{τ}. Dann gibt es eine natürliche Zahl k < ω derart daß G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{τ})}(x) ≤ G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ωτ +1})}(x) ≤ G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{Ω_{1}})}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω})+1}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ωω+1})}(x) für alle x ≥ k gilt. Beweis : Dies folgt aus Theorem 8.1 und Lemma 8.4. □

61Die ,,slow-growing“-Ordinalzahl eines vernünftigen formalen Systems S, das die Peano-Arithmetik umfaßt, ist die kleinste Ordinalzahl α, derart daß x ↦ G_{α}(x) in S nicht beweisbar rekursiv ist.

Damit sind weder die Ordinalzahlen ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω+1}), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω+ω}), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω·n}), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ω^{n}}), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{ε_{0}}), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{Γ_{0}}), noch die beweistheoretischen Ordinalzahlen von ID_{ω+1}, ID_{ω+1}, ID_{ω·2}, ID_{ε_{0}}, ID_{Γ_{0}} usw. subrekursiv unerreichbar.

Korollar 8.3 (∃k < ω)(∀x ≥ k)[G_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ω_{Ω_{1}} +1})}(x) ≤ F_{ψ_{Ω_{1}}(ε_{Ωω+1})+1}(x)]. Beweis : Dies folgt aus Theorem 8.1 und Lemma 8.4. □ Diese Resultat steht im Einklang mit einem in Arai (1991) gezeigten Resultat. Bei dem Araischen Ergebnis wird aber eine ,,unorthodoxe“ Hauptfolgenzuordnung zugrundegelegt. Was kann über die übrigen subrekursiv unerreichbaren Ordinalzahlen in T (Ω) ∩ Ω_{1} ausgesagt werden? Aus Abschnitt 4 ist bekannt, daß genau die Ordinalzahlen ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) subrekursiv unerreichbar für die Hierarchie der punktweisen Kollabierungsfunktionen sind. Aufgrund von Theorem 8.1 sind daher alle Ordinalzahlen in T (Ω) ∩ Ω_{1}, die nicht die Gestalt ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)) haben, subrekursiv erreichbar. Wir halten abschließend fest.

Korollar 8.4 Falls α ∈ T (Ω) ∩ Ω_{1} und α ∉ {ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)) : 0 ≤ m < ω}, so ist α nicht subrekursiv unerreichbar.^{62} Beweis : (Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Theorem 8.1 im Verein mit den Theoremen 4.1 und 4.2. Der folgende Beweis verwendet anstelle von Theorem 4.1 Lemma 8.5.)

1. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) + ω, ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(Ω_{1}))]. Nach Theorem 8.1 gilt in diesem Fall G_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω))+2}(x) für alle hinreichend großen x, da G_{α}(x) ≤ G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(Ω_{1}))}(x) für fast alle x nach Lemma 8.5 gilt.

62Ob die Ordinalzahlen in {ψ_{Ω_{1}}(Ω_{m+1}(ω)) : 0 ≤ m < ω} genau die subrekursiv unerreichbaren Ordinalzahlen in T (Ω) ∩ Ω_{1} sind, bleibt eine noch zu klärende Frage.

2. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 1)) + ω, ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2))]. Theorem 8.1 ergibt G_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m+1))+1}(x) für alle hinreichend großen x.

3. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω)) + ω]. Nach Theorem 8.1 gilt sodann G_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω))}(x) für alle hinreichend großen x, da G_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(ω))+ω}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(x+2))}(x) nach Theorem 8.1 gilt.

4. Fall: α ∈]ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2)), ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m + 2)) + ω]. Theorem 8.1 liefert schließlich G_{α}(x) < F_{ψ_{Ω_{1}}(Ω_{n}(m+1))+2}(x) für alle hinreichend großen x. □ Die Methoden dieser Arbeit sind nicht an das Bezeichnungssystem T (Ω) gebunden. Die Techniken der vorangegangenen Abschnitte im Verein mit Weiermann (1990) liefern entsprechende Vergleiche der langsam und schnell wachsenden Hierarchie für das in Schütte (1986/87) zusammen mit den ausgezeichneten Hauptfolgen definierte Ordinalzahlbezeichnungssystem. Eine vollständige Klassifikation der bezüglich der entsprechend verallgemeinerten punktweisen Kollabierungsfunktionen subrekursiv unerreichbaren Ordinalzahlen sollte für dieses Bezeichnungsystem ebenfalls möglich sein.

Bibliographie:

Aczel (1980) P. Aczel: Another elementary treatment of Girard’s result connecting the slow and fast growing hierarchies of number-theoretic functions, Manuskript.

Arai (1991) T. Arai: A slow growing analogue to Buchholz’ proof. Annals of Pure und Applied Logic 54, 101-120.

Aoyama und Kadota (1990) K. Aoyama und N. Kadota: Some extensions of built-upness on systems of fundamental sequences. Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 36, 357-364.

Bachmann (1950) Die Normalfunktionen und das Problem der ausgezeichneten Folgen von Ordinalzahlen. Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zürich 95, 115-147.

Blankertz (1994) B. Blankertz: Eine einfache Charakterisierung der beweisbar totalen zahlentheoretischen Funktionen von KP M. Diplomarbeit Münster.

Buchholz (1977) W. Buchholz: Eine Erweiterung der Schnitteliminationsmethode, Habilitationsschrift, München.

Buchholz (1980) W. Buchholz: Three contributions to the conference on recent advances in proof theory, Manuskript.

Buchholz (1981) W. Buchholz: The Ω_{μ+1}-rule. Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis: Recent Proof-Theoretical Studies, W. Buchholz, S. Feferman, W. Pohlers, W. Sieg (Herausgeber), Lecture Notes in Mathematics 897. Springer, Berlin, 188-233.

Buchholz (1981a) W. Buchholz: Ordinal analysis of ID_{ν}. Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis: Recent Proof-Theoretical Studies, W. Buchholz, S. Feferman, W. Pohlers, W. Sieg (Herausgeber), Lecture Notes in Mathematics 897. Springer, Berlin, 234-260.

Buchholz und Schütte (1983) W. Buchholz und K. Schütte: Ein Ordinalzahlensystem für die beweistheoretische Abgrenzung der Π_{2}^{1}-Sepa-ration und Bar-Induktion. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse.

Buchholz (1986) W. Buchholz: A new system of proof-theoretic ordinal functions. Annals of Pure and Applied Logic 32, 195-207.

Buchholz und Wainer (1987) W. Buchholz und S.S. Wainer: Provably computable functions and the fast growing hierarchy. Logic and Combinatorics. Contemporary Mathematics 65, American Mathematical Society, 179-198.

Buchholz (1987) W. Buchholz: An independence result for (Π_{1}^{1}−CA)+BI. Annals of Pure and Applied Logic 33, 131-155.

Buchholz und Schütte (1988) W. Buchholz und K. Schütte: Proof Theory of Impredicative Subsystems of Analysis. Bibliopolis, Neapel.

Buchholz, Cichon und Weiermann (1993) W. Buchholz, A. Cichon und A. Weiermann: A uniform approach to fundamental sequences and hierarchies. Erscheint in: Mathematical Logic Quarterly.

Cichon und Wainer (1983) E.A. Cichon und S.S. Wainer: The slow growing and the Grzegorczyk hierarchies. The Journal of Symbolic Logic 48 (2), 399-408.

Cichon (1990) E.A. Cichon: Bounds on derivation lengths from termination proofs. Report-CSD-TR-622. Royal Holloway and Bedford New College, University of London.

Cichon (1993) E.A. Cichon: Termination orderings und complexity characterizations. Proof Theory: A Selection of Papers from the Leeds Proof Theory Meeting 1990, P. Aczel, H. Simmons, S.S. Wainer (Herausgeber). Cambridge University Press, 171-193.

Dennis-Jones und Wainer (1984) E.C. Dennis-Jones und S.S. Wainer: Subrecursive hierarchies via direct limits. Computation and Proof Theory. Lecture Notes in Mathematics 1104, Springer, Berlin, 118-128.

Fairtlough und Wainer (1992) M.V.H. Fairtlough und S.S. Wainer: Ordinal complexity of recursive definitions. Information and Computation 99, 123-153.

Feferman (1962) S. Feferman: Classification of recursive functions by means of hierarchies. Transactions of the American Mathematical Society 104, 101-122.

Feferman (1970) S. Feferman: Formal theories for transfinite iterations of generalized inductive definitions and some subsystems of analysis. Intuitionism and Proof Theory: Proceedings of The Summer Conference at Buffalo N.Y. 1968. A. Kino, J. Myhill, R.E. Vesley (Herausgeber), North-Holland, Amsterdam, 303-326.

Girard (1981) J.Y. Girard: Π_{2}^{1}-logic: Part 1: Dilators. Annals of Mathematical Logic 21 (1981), 75-219.

Girard (1987) J.Y. Girard: Proof Theory and Logical Complexity: Studies in Proof Theory. Monographs 1, Bibliopolis, Neapel.

Glaß (1990) T. Glaß: Partielle Modelle von Theorien imprädikativer Mengenlehre. Diplomarbeit Münster.

Gödel (1958) K. Gödel: Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunkts. Dialectica 12, 280-287.

Grzegorczyk (1953) A. Grzegorczyk: Some classes of recursive functions. Rozprawy Matematycne IV. Warschau.

Handley und Wainer (1992) W.G. Handley und S.S. Wainer: Equational derivation versus computation. Manuskript.

Hardy (1904) G. Hardy: A theorem concerning the infinite cardinal numbers. Quarterly Journal of Mathematics 35, 87-94.

Howard (1972) W.A. Howard: A system of abstract constructive ordinals. The Journal of Symbolic Logic 37, 353-374.

Jäger und Pohlers (1982) G. Jäger und W. Pohlers: Eine beweistheoretische Untersuchung von (Δ_{2}^{1} − CA) + (BI) und verwandter Systeme. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch Naturwissenschaftliche Klasse.

Jäger (1984) G. Jäger: ρ-inaccessible ordinals, collapsing functions and a recursive notation system. Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 24, 49-62.

Jech (1978) T. Jech, Set theory. Academic Press, San Diego.

Jervell (1979) H.R. Jervell: Homogeneous trees. Vorlesungsausarbeitung, München.

Kadota (1993) N. Kadota: On Wainer’s notation for a minimal subrecursive inaccessible ordinal. Mathematical Logic Quarterly 39, 217-227.

Ketonen und Solovay (1981) J. Ketonen und R.M. Solovay: Rapidly growing Ramsey functions. Annals of Mathematics 113, 267-314.

Kreisel (1952) G. Kreisel: On the interpretation of non-finitist proofs II. The Journal of Symbolic Logic 17, 43-58.

Levitz (1970) H. Levitz: On the relationship between Takeuti’s ordinal diagram’s O(n) and Schütte’s system of ordinal notation Σ(n). Intuitionism and Proof Theory: Proceedings of The Summer Conference at Buffalo N.Y. 1968. A. Kino, J. Myhill, R. E. Vesley (Herausgeber), North-Holland, Amsterdam, 377-405.

Löb und Wainer (1970) M.H. Löb und S.S. Wainer: Hierarchies of numbertheoretic functions I,II. Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 13, 39-51 und 97-113.

Myhill (1953) J.R. Myhill: A stumbling block in constructive mathematics. The Journal of Symbolic Logic 18, Abstrakt, 190-191.

Paris und Harrington (1977) J. Paris und L. Harrington: A mathematical incompleteness in Peano arithmetic. Handbook of Mathematical Logic. J. Barwise (Herausgeber). North-Holland, Amsterdam, 1133-1142.

Pohlers (1977) W. Pohlers: Beweistheorie der iterierten induktiven Definitionen, Habilitationsschrift, München.

Pohlers (1981) W. Pohlers: Proof-theoretical analysis of ID_{ν} by the method of local predicativity. Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis: Recent Proof-Theoretical Studies, W. Buchholz, S. Feferman, W. Pohlers, W. Sieg (Herausgeber), Lecture Notes in Mathematics 897. Springer, Berlin, 261-357.

Pohlers (1989) W. Pohlers: Proof Theory. An Introduction. Lecture Notes in Mathematics 1407. Springer, Berlin.

Pohlers (1993) W. Pohlers: A short course in ordinal analysis. Proof Theory: A Selection of Papers from the Leeds Proof Theory Meeting 1990, P. Aczel, H. Simmons, S.S. Wainer (Herausgeber). Cambridge University Press, 115-147.

Rathjen (1988) M. Rathjen: Untersuchungen zu Teilsystemen der Zahlentheorie zweiter Stufe und der Mengenlehre mit einer zwischen Δ_{2}^{1} −CA und Δ_{2}^{1} − CA + BI liegenden Beweisstärke. Dissertation Münster.

Rathjen (1989) M. Rathjen: Hauptfolgen für das Ordinalzahlbezeichnungssystem B(ε_{Ω+1}). Manuskript, Münster.

Rathjen (1991) M. Rathjen: Proof-theoretic analysis of KP M. Archive for Mathematical Logic 30, 377-403.

Schmerl (1981) U.R. Schmerl: Über die schwach und die stark wachsende Hierarchie zahlentheoretischer Funktionen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaft-liche Klasse.

Schmerl (1982) U. Schmerl: Number theory and the Bachmann/Howard ordinal. Proceedings of the Herbrand Symposium, J. Stern (Herausgeber), North-Holland, Amsterdam, 287-298.

Schütte (1977) K. Schütte: Proof Theory. Springer, Berlin.

Schütte (1986/87) K. Schütte: Majorisierungsrelationen und Fundamentalfolgen eines Ordinalzahlensystems von G. Jäger. Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 26, 29-55.

Schwichtenberg (1971) H. Schwichtenberg: Eine Klassifikation der ε_{0}-re-kursiven Funktionen. Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 61-74

Schwichtenberg (1980) H. Schwichtenberg: Lecture at the conference on Recent Advances in Proof Theory, Oxford.

Schwichtenberg (1993) H. Schwichtenberg: Proofs as programs. Proof Theory: A Selection of Papers from the Leeds Proof Theory Meeting 1990, P. Aczel, H. Simmons, S.S. Wainer (Herausgeber). Cambridge University Press, 81-113.

Takeuti (1987) G. Takeuti: Proof Theory. North-Holland, Amsterdam.

Wainer (1970) S.S. Wainer: A classification of the ordinal recursive functions. Archiv für Mathematische Logik 13, 136-153.

Wainer (1972) S.S. Wainer: Ordinal recursion and a refinement of the extended Grzegorczyk Hierarchie. The Journal of Symbolic Logic 37, 287-292.

Wainer (1972a) S.S. Wainer: A subrecursive hierarchy over the predicative ordinals. Conference in Mathematical Logic, London ’70, W. Hodges (Herausgeber). Lecture Notes in Mathematics 255, Springer, Berlin, (Abstrakt), 350-351.

Wainer (1985) S.S. Wainer: The slow growing Π_{2}^{1}-approach to hierarchies. Recursion Theory. A. Nerode, R. Shore (Herausgeber), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 42, American Mathematical Society, Providence, 487-502.

Wainer (1988) S.S. Wainer: Hierarchies of provably computable functions. The University of Leeds, Department of Mathematics, Preprint series 9.

Wainer (1989) S.S. Wainer: Slow growing versus fast growing. The Journal of Symbolic Logic 54 (2), 608-614.

Weiermann (1990) A. Weiermann: Ein neuer Zugang zu Kollabierungsfunktionen. Dissertation, Münster.

Weiermann (1991) A. Weiermann: Vereinfachte Kollabierungsfunktionen und ihre Anwendungen. Archive for Mathematical Logic 31, 85-94.

Weiermann (1992) A. Weiermann: Termination proofs by lexicographic path orderings yield multiply recursive derivation lengths. Erscheint in: Theoretical Computer Science.

Weiermann (1993) A. Weiermann: A simple characterization of the provably total functions of P A, P A+T I(≺) and KP ω. Zur Veröffentlichung eingereicht.

Weiermann (1993a) A. Weiermann: Bounding derivation lengths with functions from the slow growing hierarchy. Zur Veröffentlichung eingereicht.