Verschiedene Charakterisierungen der IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen

Wolfgang Burr

dem Institut für

mathematische Logik und Grundlagenforschung

am FB 15 - Mathematik

der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster als Diplomarbeit eingereicht

im März 1996

Einleitung

Ein Anliegen der mathematischen Logik ist die Untersuchung formaler Theorien. Die vielleicht natürlichste formale Theorie ist die Peano Arithmetik (P A): sie beinhaltet lediglich die definierenden Axiome für die Grundoperationen Nachfolger, Addition und Multiplikation sowie die <-Relation auf den natürlichen Zahlen vermehrt um eine erststufige Version der vollständigen Induktion in Form des Schemas: A(0) ∧ ∀x(A(x) → A(Sx)) → ∀xA(x). Die Peano Arithmetik ist intendiert als erststufige Axiomatisierung der Struktur der natürlichen Zahlen. Viele zahlentheoretische Sätze, wie die euklidische Division, die Unbeschränktheit der Primzahlen oder der chinesische Restsatz können in P A (sogar in sehr viel schwächeren Fragmenten) bewiesen werden. Ihre eigentliche Stärke bezieht die Peano Arithmetik aus dem Induktionsschema. Eine Möglichkeit, diese Beweisstärke zu messen, ist die Berechnung der beweistheoretischen Ordinalzahl. Gerhard Gentzen hat erstmals ε_{0} als die beweistheoretische Ordinalzahl von P A nachgewiesen (vgl.[10],[11]), d.h. gezeigt, daß P A kanonische Wohlordnungen bis zum Ordnungstyp ε_{0} als solche erkennt, ε_{0} selbst jedoch nicht mehr.

Eine weitere Möglichkeit, die Stärke einer formalen Theorie zu beschreiben, ist die Charakterisierung ihrer beweisbar rekursiven Funktionen. (Für P A wurde eine solche Charakterisierung erstmals 1952 von Kreisel durchgeführt, vgl. [16]). Hierfür wollen wir etwas weiter ausholen. Eine Frage, die erst 1977 von Paris und Harrington positiv beantwortet wurde, ist die folgende: Gibt es im Standardmodell N gültige kombinatorische zahlentheoretische Prinzipien (im Gegensatz zu dem in Gödels erstem Unvollständigkeitsatz angegebenen unabhängigen Satz, der als metamathematische Aussage interpretiert werden kann), die in P A nicht bewiesen werden können? Das von Paris und Harrington beschriebene Prinzip besagt nun folgendes: Ist X eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und sind n, c ∈ IN, so heißt eine Abbildung F : {(x_{1}, …, x_{n})|x_{1} < … < x_{n}; x_{1}, …, x_{n} ∈ X} → {0, … c−1} eine Färbung oder Partition der n-elementigen Teilmengen von X in c Farben. Eine Teilmenge H ⊆ X heißt homogen, falls F auf H konstant ist, und weiter relativ groß, falls min H ≤ card(H) gilt. Das von Paris und Harrington angegebene, von P A unabhängige Prinzip lautet nun: Zu allen natürlichen Zahlen n, k und c gibt es ein m ∈ IN, so daß jede Färbung der n-elementigen Teilmengen des Intervalls [0, m] in c Farben eine relativ große homogene Menge der Mächtigkeit k besitzt. Ein kombinatorisches Prinzip wie dieses kann nun immer schon als rekursive Funktion (oder als Π_{2}-Theorem) aufgefaßt werden, und das Prinzip von Paris und Harrington liefert folgende korrespondierende rekursive Funktion: Zu n, k, c ∈ IN sei f(n, k, c) das minimale m ∈ IN, so daß jede Färbung der n-elementigen Teilmengen von [0, m] in c Farben eine relativ große homogene Menge der Mächtigkeit k besitzt. Nach dem Unabhängigkeitsergebnis von Paris und Harrington kann diese schnellwachsende Funktion von P A nicht mehr als total erkannt werden (d.h. der Satz (∀x, y, w)(∃z)f(x, y, w) = z ist in P A nicht beweisbar). Anhand dieses Beispiels wird deutlich, wie mit Hilfe von kombinatorischen Prinzipien bzw. rekursiven Funktionen formale Theorien charakterisiert werden können: Mittels einer rekursiven Funktion (bzw. eines kombinatorischen Prinzips) kann die Π_{2}-Beweistärke einer Theorie beschrieben werden. Eine kanonische Charakterisierung der beweisbar rekursiven Funktionen einer formalen Theorie, die auch Ziel dieser Arbeit ist, ist die Angabe einer sogenannten Hülle (oder eines Einhüllendensystems) ihrer beweisbar rekursiven Funktionen. Darunter wird eine Schar rekursiver Funktionen (f_{k})_{k∈ℕ} verstanden mit der Eigenschaft, daß (i) jedes f_{k} beweisbar rekursiv ist und (ii) jede einstellige beweisbar rekursive Funktion von einem f_{k} majorisiert wird. Eine Hülle beschreibt also die Π_{2}-Konsequenzen sehr exakt: Das Wachstum jeder beweisbar rekursiven Funktion wird durch eine Funktion aus der Hülle beschränkt, und durch ein einfaches Diagonalverfahren kann sofort eine Funktion konstruiert werden, deren Wachstum die Beweisstärke der Theorie sprengt: F (n) := f_{n}(n).

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es nun, solche Hüllen für die Teiltheorien IΣ_{n+1} der Peano Arithmetik anzugeben. P A ergibt sich in natürlicher Weise als Vereinigung über die Hierarchie der Fragmente IΣ_{n+1}, bei denen das Induktionsschema auf Formeln der Komplexität Σ_{n+1} in der arithmetischen Hierarchie beschränkt wird. Eine Untersuchung dieser Teiltheorien im Gegesatz zu der von P A liefert zusätzlich Informationen. Für das eben beschriebene Prinzip nach Paris und Harrington bedeutet das, daß sichtbar wird, wie die in IΣ_{n+1} zur Verfügung stehende Induktion eingesetzt wird, um ein auf IΣ_{n+1} relativiertes Prinzip zu beweisen und daß diese auch in vollem Umfang benötigt wird, um das Ziel zu erreichen. Diese Information geht bei einer Untersuchung von P A verloren; da P A die Vereinigung der IΣ_{n+1} ist, kann die Induktion großzügig eingesetzt werden. Daraus resultiert gleichzeitig, daß die Untersuchung der Teiltheorien im Vergleich zu der von P A deutlich aufwendiger ist. Neben dem von Paris und Harrington beschriebenen Prinzip gibt es eine Reihe weiterer kombinatorischer Prinzipien, mit deren Hilfe die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen beschrieben werden können, so z.B. die in Kapitel 3 verwendeten subrekursiven Hierarchien. Im Einzelfall werden jedoch völlig verschiedenen Methoden verwendet, um nachzuweisen, daß die jeweiligen Funktionenscharen wirklich Einhüllendensysteme sind. Aber der oben beschriebene Grundgedanke, die Π_{2}-Beweisstärke einer Theorie mit Hilfe kombinatorischer Prinzipien zu beschreiben, liegt all diesen Ansätzen zugrunde. Für obige Motivation bietet sich der Ansatz von Paris und Harrington an, da deren Prinzip besonders einfach und mittels elementarer Begriffe beschrieben werden kann.

Im folgenden soll kurz der Aufbau der vorliegenden Arbeit beschreiben werden: Im ersten Kapitel werden zunächst die Grundbegriffe fixiert und die in die folgenden Kapitel eingehenden Grundlagen dargestellt. Ausgangspunkt des zweiten Teils und dieser Arbeit insgesamt ist das Buch ”Models of Peano Arithmetic“ von Richard Kaye [15]. Ein zentrales Thema dieses Buches ist der oben angedeutete Unabhängigkeitsbeweis nach Paris und Harrington und die daraus resultierende Charakterisierung der beweisbar rekursiven Funktionen von P A. Die Darstellung bei Kaye geht auf Kanamori und McAloon [14] zurück und bedeutet eine wesentliche Vereinfachung der ursprünglichen Arbeiten von Paris und Harrington [18],[20]. Der für diese Untersuchung wesentliche Begriff ist der des Indikators; die Konstruktion eines Indikators für eine Theorie T ⊇ IΣ_{1} liefert immer schon eine Hülle der T -beweisbar rekursiven Funktionen. Die diesem Vorgehen zugrunde liegende Idee wurde oben bereits beschrieben: Es geht darum, ein kombinatorisches Prinzip zu formulieren, welches genau die Grenze Π_{2}-Beweisstärke von T beschreibt. Ebenfalls mit Hilfe von Indikatoren wurde von Paris 1980 eine Charakterisierung der Fragmente von P A durchgeführt [19]. Ein Versuch, das von Kaye beschriebene Verfahren auf die Teilsysteme zu übertragen, scheitert aus den oben schon angesprochenen Gründen: In P A kann im wesentlichen der übliche mengentheoretische Beweis des kombinatorischen Prinzips formalisiert werden, es ist nicht erforderlich, die Formelkomplexität zu kontrollieren. Bei den Teilsystemen ist dies sehr wohl nötig, und es ist nicht mehr möglich, den Beweis zu ”übersetzen“. Eine formalisierte Version des rekursionstheoretischen Low-Basis-Theorems (vgl. 2.4.4) ist der Schlüssel zu einer genauen Kontrolle über die Formelkomplexität und erlaubt eine exakte Charakterisierung der Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1}. Dabei wird folgendes deutlich: Der Exponent n des Partitionsprinzips ist im wesentlichen verantwortlich für die Komplexität des kombinatorischen Prinzips und korrespondiert zu der benötigten Induktion: Die Theorie IΣ_{n+1} beweist ein Paris-Harrington Prinzip mit Exponent n + 2.

Bei Kapitel 2 handelt es sich nun um die Ausarbeitung und Zusammenfügung verschiedener Arbeiten: Grundlage für den Abschnitt 2.1 bilden die Seiten 245-248 aus dem Buch von Hájek und Pudlák [13], hier wird der Begriff des Indikators eingeführt und der Zusammenhang zu den beweisbar rekursiven Funktionen einer Theorie dargestellt. In 2.2 werden spezielle Indikatoren für IΣ_{n+1} sowie die Hauptresultate angegeben, welche in den drei folgenden Abschnitten bewiesen werden. 2.3 basiert auf [14], 2.4 auf den Kapiteln I und II von [13] und der Abschnitt 2.5 schließlich auf einem Artikel von Mills [17].

Kapitel 3 ist auf Anregung von Herrn Priv.-Doz. Dr. Andreas Weiermann entstanden. In seiner Arbeit ”How to characterize provably total functions by local predicativity“ [27] werden die beweisbar rekursiven Funktionen von P A auf verblüffend einfache Weise charakterisiert. Obwohl dieses Verfahren in erster Linie im Hinblick auf stärkere Theorien entwickelt wurde, eignet es sich ebenfalls sehr gut zur Charakterisierung der Teilsysteme von P A. Die diesem Verfahren zugrunde liegende Idee ist die folgende: Existiert ein Beweis einer Π_{2}-Formel ∀x∃yF (x, y) in IΣ_{n+1}, so kann aus diesem Beweis die Information gewonnen werden, wie groß der Wert y in Abhängigkeit von x ist. Diese Information wird aus dem vorliegenden Beweis extrahiert, indem zunächst ein halbformaler Kalkül eingeführt wird, der die spezielle Eigenschaft hat, daß bei Existenzschlüssen die Information über das Beispiel in geeigneter Weise in der Herleitungsordnung konserviert wird. Es werden nun weiter subrekursive Hierarchien definiert (vgl. 3.1), mittels derer sich die in den Beweisbäumen des halbformalen Kalküls konservierten Informationen kontrollieren lassen. Mit den üblichen Techniken der Schnittelimination, Kollabierung und Einbettung können nun mit Hilfe der subrekursiven Hierarchien Hüllen für die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen angegeben werden (vgl. 3.2). Anschließend wird mit Methoden von G. Gentzen ein formalisiertes Schema der transfiniten Induktion für IΣ_{n+1} bewiesen, mit dessen Hilfe die einhüllenden Funktionen selbst als beweisbar rekursiv nachgewiesen werden können. Ähnliche Ergebnisse wurden bereits von Rathjen und Carnielli [5] und Fairtlough und Wainer [7] bewiesen, jedoch erweist sich der vorliegende Zugang als besonders einfach. Zudem weist er im Vergleich zu [5] den Vorzug auf, daß hier eine Untersuchung schon von IΣ_{1} möglich ist (vgl. 3.4), während in [5] die Analyse erst bei IΣ_{2} beginnt. Anfang 1996 entwickelte Andreas Weiermann in Zusammenarbeit mit Benjamin Blankertz ein noch eleganteres Verfahren zur Charakterisierung der P A-beweisbar rekursiven Funktionen [1], welches auch zur Untersuchung der Fragmente geeignet ist. Dieser Ansatz konnte in der vorliegenden Arbeit nicht mehr berücksichtigt werden.

Abschließend ein kurzer Vergleich der beiden Ansätze: Faßt man auch die subrekursiven Hierarchien als kombinatorische Prinzipien auf, so leisten beide Ansätze ähnliches: Jeweils wird die Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1} durch kombinatorische Prinzipien exakt gekennzeichnet. Dagegen unterscheiden sich die Wege hin zu diesem Ergebnis auf grundlegende Weise: Im ersten Ansatz stehen die Modelle der zu untersuchenden Theorien im Vordergrund, deren Abschlußeigenschaften werden untersucht und beschrieben. Im zweiten Ansatz dagegen stehen Beweise im Mittelpunkt, aus diesen formalen Objekten werden Informationen extrahiert. Es dürfte ins Auge springen, daß der zweite Ansatz einen deutlich geringeren Aufwand erfordert (es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß mit Ausnahme der grundlegenden Ergebnisse der Prädikatenlogik und Berechenbarkeitstheorie sowie zweier kombinatorischer Prinzipien alle benötigten Hilfsmittel in dieser Arbeit entwickelt werden). Den geringeren Aufwand des beweistheoretischen Ansatzes betreffend muß jedoch folgende Einschränkung gemacht werden: Der modelltheoretische Ansatz liefert in dem Sinne ein stärkeres Ergebnis, als die Eigenschaft (ii) der Hüllen für die beweisbar rekursiven Funktionen sogar in formalisierter Version abfällt (vgl. dazu Definition 1.1.6). Das beweistheoretische Ergebnis ist in diesem Punkt schwächer, die stärkere Fassung erfordert zusätzlich eine formalisierte Schnittelimination. Die Anstrengungen, die eine Untersuchung der Teilsysteme erfordert, haben sich insofern gelohnt, als sie eine Reihe von Einsichten offenbaren, die bei einer Untersuchung der vollen Theorie P A verschleiert werden. Die Nebeneinanderstellung zweier so unterschiedlicher Ansätze zeigt die folgende Korrespondenz: Der Übergang von Σ_{n}- zu Σ_{n+1}-Induktion entspricht genau dem Übergang von H_{α} zu H_{ω^{α}} bei den subrekursiven Hierarchien und ebenfalls einer Erhöhung des Exponenten um 1 bei den Paris-Harrington-Prinzipien.

Das Ergebnis entspricht damit den Erwartungen.

Danken möchte ich an dieser Stelle dem Betreuer dieser Arbeit, Herrn Prof. Dr. Justus Diller, dessen Vorlesungen mein Interesse an der mathematischen Logik weckten, und der mich im Verlauf meines Studiums stets unterstützt hat. Mein Dank gilt auch Herrn Dipl.-Math. (USA) Kai F. Wehmeier und Herrn Priv.-Doz. Dr. Andreas Weiermann, mit denen ich viele konstruktive Gesprächen führte, sowie allen Mitgliedern des Instituts für mathematische Logik und Grundlagenforschung der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 1 1.1 Grundbegriffe: L_{A}, L_{P R}, P A, IΣ_{n}, P RA . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Theorie IΔ_{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Die Theorie IΣ_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Kodierung endlicher Folgen . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Definierbare Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Primitive Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Endliche Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Arithmetisierung von Syntax und Semantik . . . . . . 14

1.4 Die Theorien IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Overspill, Persistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Modelltheoretische Charakterisierung 19 2.1 Beweisbar rekursive Funktionen und Indikatoren . . . . . . . . 19 2.2 Indikatoren für IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Verschiedene Partitionsprinzipien . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Eine Formalisierung der Partitionsprinzipien . . . . . . 25 2.2.3 Indikatoren für IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Die Unabhängigkeitsaussage (2.2.11) . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Die Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1} (2.2.12) . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2 Arithmetisierung definierbarer Relationen . . . . . . . 41 2.4.3 Die Formelklasse lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.4 Das Low-Basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.5 Der Beweis eines unendlichen Ramseysatzes für IΣ_{n+1} 65 2.4.6 Der Beweis von Satz 2.2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5 Der Beweis von 2.2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 Beweistheoretische Charakterisierung 81

3.1 Ordinalzahlen, Funktionenhierarchien . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 Schranken für IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2.1 Ein halbformaler Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2.2 Einbettung von IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.3 Majorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3 Die Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.1 Arithmetisierung von E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.2 Ein formalisiertes Schema der transfiniten Induktion . 107 3.3.3 H_{ω_{n+2}(k)} und B_{ω_{n+1}(k)} sind IΣ_{n+2}-beweisbar rekursiv . 109

3.4 Ein Ergebnis für IΣ_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A  122

A.1 Die Beweise von 2.5.6 und 2.5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 A.2 Der Beweis von Satz 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Grundbegriffe: L_{A}, L_{P R}, P A, IΣ_{n}, P RA

Definition 1.1.1 (Die Sprache der Arithmetik)

(i) Es sei

L_{A} := {0, S, +, ∗, <}

die erststufige Sprache der Arithmetik, wobei 0 ein Konstantensymbol, S ein einstelliges, + und ∗ zweistellige Funktionszeichen und < ein zweistelliges Relationszeichen sind. Als logische Zeichen haben wir

- das Gleichheitszeichen =

- unendlich viele Variablen v_{1}, v_{2}, v_{3} …

- Junktoren ∧, ∨, ¬

- Quantoren ∀, ∃

- Klammern (,)

Häufig verwenden wir als weitere Variablensymbole lateinische Kleinbuchstaben x, y, z, x_{0}, x_{1}, a, b, … und weitere Klammersymbole {, }, [,].

(ii) L_{A}-Terme, L_{A}-Primformeln und L_{A}-Formeln werden wie üblich induktiv definiert, dazu simultan die Mengen der freien bzw. gebundenen Variablen einer Formel (FV bzw. BV). Formeln ohne freie Variablen nennen wir Sätze. Terme aus L_{A} bezeichnen wir mit den lateinischen Kleinbuchstaben t, s, t_{0}, t_{1}, …, Formeln aus L_{A} mit griechischen Kleinbuchstaben φ, ψ, θ, χ, α, β, φ_{0}, φ_{1}, …, sowie lateinischen Großbuchstaben F, G, X, F_{0}, F_{1}, . . .. Mit L_{A} bezeichnen wir häufig die Menge der L_{A}-Terme und L_{A}-Formeln.

2 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

(iii) φ → ψ :≡ ¬φ ∨ ψ; φ ↔ ψ :≡ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ). (iv) x ≤ y :≡ x < y ∨ x = y.

(v) Beschränkte Quantoren werden als Abkürzungen definiert: Sind x ≢ y

und ist φ ∈ L_{A} eine Formel mit x ∉ BV(φ), so sei - (∃x ≤ y)φ :≡ (∃x)(x ≤ y ∧ φ)

- (∀x ≤ y)φ :≡ (∀x)(x ≤ y → φ)

- (∃x < y)φ :≡ (∃x)(x < y ∧ φ)

- (∀x < y)φ :≡ (∀x)(x < y → φ) (vi) (∃!x)φ(x) :≡ (∃x)(φ(x) ∧ (∀y)(φ(y) → x = y)) (vii) Wir definieren induktiv Numerale \underline{n} ∈ L_{A} für n ∈ IN :

1. \underline{0} := 0

2. \underline{n + 1} = S\underline{n}. Wir schreiben oft n für \underline{n}. Als weitere Konvention wollen wir vereinbaren, mit k, l, m, n, n_{0}, n_{1}, … stets natürliche Zahlen zu bezeichnen.

(viii) Die Formelklasse Δ_{0} der beschränkten Formeln wird induktiv definiert: 1. Primformeln aus L_{A} sind in Δ_{0}.

2. Δ_{0} ist abgeschlossen unter ¬, ∧, ∨ und beschränkten Quantoren. Wir schreiben auch Σ_{0} := Π_{0} := Δ_{0}.

(ix) Die Formelklassen Π_{n}, Σ_{n}(n > 0) werden wie üblich definiert.

(x) Eine L_{A}-Theorie T ist eine Menge von L_{A}-Sätzen. (xi) Ist T eine Theorie, φ ∈ L_{A} eine Formel und n > 0 , so ist

- φ ∈ Σ_{n}(T)[bzw. Π_{n}(T)] :⇔ Für ein ψ ∈ Σ_{n}[bzw. Π_{n}] gilt T ⊢ ψ ↔ φ

- φ ∈ Δ_{n}(T) :⇔

Für ein ψ ∈ Σ_{n} und ein θ ∈ Π_{n} gilt T ⊢ φ ↔ ψ ↔ θ. Wir wollen folgende Konvention vereinbaren: Zu Beginn von Sätzen, Definitionen usw. geben wir die Theorie an, auf die sich die Begriffe Δ_{n}, Σ_{n}, Π_{n} beziehen.

1.1. GRUNDBEGRIFFE: L_{A}, L_{P R}, P A, IΣ_{N}, P RA 3

Definition 1.1.2 (Q, P A, IΣ_{n})

(i) Folgende acht Sätze bilden die Theorie Q:

\begin{matrix}(Q1) & (∀x) & ¬Sx = 0 \\ (Q2) & (∀x, y) & (Sx = Sy → x = y) \\ (Q3) & (∀x) & (x ≠ 0 → (∃y)x = Sy) \\ (Q4) & (∀x) & x + 0 = 0 \\ (Q5) & (∀x, y) & x + Sy = S(x + y) \\ (Q6) & (∀x) & x ∗ 0 = 0 \\ (Q7) & (∀x, y) & x ∗ Sy = (x ∗ y) + x \\ (Q8) & (∀x, y) & (x < Sy ↔ (∃z)S(x + z) = y). \end{matrix}

(ii) Sind φ, ψ ∈ L_{A}, x ∈ FV(φ) und x, y ∈ FV(ψ), so seien: Iφ_{x} :≡ φ(0) ∧ (∀x)(φ(x) → φ(Sx)) → (∀x)φ(x) Bψ_{x,y} :≡ (∀u)[(∀x ≤ u)(∃y)ψ(x, y) → (∃v)(∀x ≤ u)(∃y ≤ v)ψ(x, y)] Lφ_{x} :≡ (∃x)φ(x) → (∃x)(φ(x) ∧ (∀x′ < x)¬φ(x′)).

(iii) P A := Q ∪ {Iφ_{x} | φ ∈ L_{A}; x ∈ FV(φ)}.

(iv) IΣ_{n} := Q ∪ {Iφ_{x} | φ ∈ Σ_{n}; x ∈ FV(φ)} (n ∈ IN). IΠ_{n} := Q ∪ {Iφ_{x} | φ ∈ Π_{n}; x ∈ FV(φ)} (n ∈ IN).

(v) Für Γ = Σ_{n} bzw. Γ = Π_{n} (n > 0) seien:

- LΓ := Q ∪ {L_{φ_{x}} | φ ∈ Γ; x ∈ FV(φ) }

- BΓ := IΣ_{0} ∪ {B_{ψ_{x,y}} | ψ ∈ Γ; x, y ∈ FV(ψ)}.

Lemma 1.1.3 Sei n ∈ IN. Dann sind Σ_{n}- (bzw.Π_{n}-) Formeln abgeschlossen unter beschränkten Quantoren in BΣ_{n}. □

Definition 1.1.4 (L_{P R}, PRA) Sei ℙℝ die Menge der Funktions- und Prädikatszeichen für alle primitiv rekursiven Funktionen und Relationen. Dann sei L_{P R} := L_{A} ∪ ℙℝ. Für L_{P R} werden Terme, Primformeln, Formeln, beschränkte Quantoren und die Formelklassen Δ_{0}, Π_{n}, Σ_{n}, Δ_{n}(T), Π_{n}(T) und Σ_{n}(T) analog zu Definition 1.1.1 definiert. Weiter sei

P RA :≡ {(∀x)0 ≠ Sx, (∀x, y)(Sx = Sy → x = y)} ∪

{φ | φ ist definierendes Axiom für ein primitiv rekursives Funktions- oder Relationszeichen } ∪ {Iφ_{x} | φ ∈ L_{P R}, φ ∈ Σ_{1}}.

Für eine genaue Formulierung der definierenden Axiome verweisen wir auf Definition 3.2.2. In der Literatur wird P RA häufig als Theorie der primitiv rekursiven Arithmetik (d.h. den definierenden Axiomen für alle Zeichen aus L_{P R}) zusammen mit Induktion über quantorenfreie Formeln bezeichnet, vgl. hierzu die Bemerkung zu 1.3.21.

Definition 1.1.5 (Modelle von L_{A}, L_{P R}) Als Standardmodelle zu L_{A} bzw. L_{P R} bezeichnen wir:

N_{L_{A}} := (IN, 0_{N} , S_{N} , +_{N} , ∗_{N} , <_{N})
N_{L_{P R}} := (IN, (f_{N})_{f∈L_{P R}}, (P_{N})_{P ∈L_{P R}}).

Ist der Zusammenhang klar, so schreiben wir IN für N_{L_{A}} und N_{L_{P R}}. Mit I, N, M, M_{0}, … bezeichnen wir stets Nichtstandardmodelle zu L_{A} (d.h. Modelle M ≅ I̸N). Unter Berufung auf die Löwenheim-Skolem-Sätze wollen wir stets abzählbare Modelle betrachten.

Wir wollen an dieser Stelle noch keinen prädikatenlogischen Kalkül fixieren. IΣ_{n} ⊢ φ bezeichne, daß es in einem solchen Kalkül (z.B. einem Taitkalkül, vgl 3.2.2) eine Herleitung von φ gibt.

Definition 1.1.6 (Beweisbar rekursive Funktionen, Hüllen für beweisbar rekursive Funktionen) Sei T ⊇ IΣ_{1} eine Theorie zu L_{A} (bzw. L_{P R}).

(i) Eine rekursive Funktion f : IN^{k} → IN heißt T -beweisbar rekursiv, wenn es eine Formel G_{f} aus L_{A} (bzw. L_{P R}) gibt, mit

- G_{f} ∈ Σ_{1}

- IN ⊧ (∀n⃗, m)(f(n⃗) = m ↔ G_{f}(n⃗, m))

- T ⊢ (∀x⃗)(∃!y)G_{f}(x⃗, y).

G_{f} ist der Graph von f. Wir definieren primitiv rekursive Funktionen oft, indem wir eine L_{A}-Definition des Graphen angeben.

(ii) Eine Schar (g_{n})_{(n∈ℕ)} von rekursiven Funktionen heißt Hülle für die T - beweisbar rekursiven Funktionen, falls gilt

- Jedes g_{n} ist T -beweisbar rekursiv.

- Für jede einstellige T -beweisbar rekursive Funktion f gibt es ein n ∈ IN, so daß

IN ⊧ (∀k)(∃m < g_{n}(k)) f(k) = m.

(iii) Eine Schar rekursiver Funktionen (g_{n})_{(n∈ℕ)} heißt T -beweisbare Hülle, falls in (ii) eine verschärfte zweite Klausel gilt:

- Für jede einstellige T -beweisbar rekursive Funktion f gibt es ein n ∈ IN, so daß für die Graphen G_{f} und G_{g_{n}} gilt:

T ⊢ (∀x, y, z)(G_{f}(x, y) ∧ G_{g_{n}}(x, z) → y ≤ z).

6 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

1.2 Die Theorie IΔ_{0}

Definition 1.2.1 (Eine einfache Paarfunktion)

(i) Der Graph einer Paarfunktion sei gegeben durch (x, y) = z :≡ 2z = (x + y)(x + y + 1) + 2y.

(ii) Für n ≥ 2 definieren wir induktiv:

(x_{1}, …, x_{n}) = z :≡ (∃y < z)(y = (x_{2}, …, x_{n}) ∧ z = (x_{1}, y)).

Lemma 1.2.2 (i) IΔ_{0} ⊢ (∀x, y)(∃!z)(x, y) = z ∧ (∀z)(∃!x, y)z = (x, y). (ii) Seien n ≥ 0; φ ∈ L_{A} und FV(φ) = {x_{1}, …, x_{n}}. Dann gibt es ein

φ̃ ∈ L_{A} mit FV(φ̃) = {z} und einen Term t ∈ L_{A}, so daß gilt:

IΔ_{0} ⊢ (∀x_{1}, …, x_{n})(φ ↔ φ̃_{z}(t)). Beweis: Zu (ii):

1. n = 0 : φ̃ :≡ (z = z) ∧ φ und t :≡ z leisten das Gewünschte.

2. n = 1 : φ̃ :≡ φ_{x}(z) und t :≡ x_{1} leisten das Gewünschte.

3. n ≥ 2 : φ̃(z) :≡ (∃x_{1}, …, x_{n} ≤ z)(z = (x_{1}, …, x_{n}) ∧ φ(x_{1}, …, x_{n})). Offenbar kann (x_{1}, …, x_{n}) polynomial in x_{1}, …, x_{n} beschränkt werden, daher leistet ein Term aus L_{A} das Gewünschte. □

Satz 1.2.3 IΔ_{0} ist Π_{1}-axiomatisierbar (vgl. Kaye [15] S.73). □

1.3 Die Theorie IΣ_{1}

In den Abschnitten 1.3 bis 1.5 zitieren wir in der Regel nur die Ergebnisse (die Beweise sind in Diller [6], Kaye [15] und Hájek [13] zu finden).

1.3.1 Kodierung endlicher Folgen

Definition 1.3.1 (Die Gödelsche β-Funktion) Der Graph der Gödelschen β-Funktion wird definiert durch

\begin{aligned}β(x, i) = z :≡ & (∃a, m ≤ x)[x = (a, m) ∧ z < m(i + 1) + 1 ∧ \\ & (∃w ≤ a)(a = w(m(i + 1) + 1) + z)]. \end{aligned}

1.3. DIE THEORIE IΣ_{1} 7

Lemma 1.3.2 (i) \begin{matrix}IΣ_{1} ⊢ (∀z)(∃x)(β(x, 0) = z)∧ \\ (∀x, y, z)(β(x, y) = z → z ≤ x). \end{matrix}

(ii) IΣ_{1} ⊢ \begin{matrix}(∀x, y, z)(∃w)((∀i < z)(∃j < w)(β(w, i) = j ∧ β(y, i) = j)∧ \\ β(w, z) = x). □ \end{matrix}

Definition 1.3.3 (Der Graph der Exponentialfunktion)

\begin{aligned}2^{x} = y & :≡ (∃s)(β(s, 0) = 1 ∧ β(s, x) = y ∧ \\ & (∀j < x)(∃i_{1}, i_{2} < y)(β(s, j) = i_{1} ∧ β(s, j + 1) = i_{2} ∧ i_{1} · 2 = i_{2}). \end{aligned}

Lemma 1.3.4 IΣ_{1} ⊢ (∀x)(∃!y)2^{x} = y. □

Wir wollen nun eine technisch günstige Kodierung von endlichen Mengen einführen, dazu definieren wir:

Definition 1.3.5 \begin{aligned}bit(x, y) = z :≡ & z ≤ 1 ∧ (∃u ≤ y)(∃v ≤ y)(2^{x} = v ∧ \\ & (∃w < v)(y = 2^{x+1} ∗ u + 2^{x} ∗ z + w)). \end{aligned}

Lemma 1.3.6 IΣ_{1} ⊢ (∀x, y)(∃!z ≤ 1)(bit(x, y) = z). □ Definition 1.3.7

x\overline{∈}y  :≡ bit(x, y) = 1
x ⊆ y  :≡ (∀u < x)(u\overline{∈}x → u\overline{∈}y)
(≤ x)  :≡ 2^{x+1} − 1  (d.h.”(≤ x) = {0, 1, …, x}“)
(< x)  :≡ 2^{x} − 1  (d.h.”(< x) = {0, 1, …, x − 1}“)
Rel(x)  :≡ (∀u\overline{∈}x)(∃v, w ≤ u)u = (v, w)
dom(x) = y :≡ Rel(x) ∧ (∀u\overline{∈}y)(∃v ≤ x)(u, v)\overline{∈}x ∧
(∀u\overline{∈}x)(∃v\overline{∈}y)(∃z ≤ x)(v, z) = u
rng(x) = y :≡ Rel(x) ∧ (∀u\overline{∈}y)(∃v ≤ x)(v, u)\overline{∈}x ∧
(∀u\overline{∈}x)(∃v\overline{∈}y)(∃z ≤ x)(z, v) = u
Abb(x)  :≡ Rel(x)∧
(∀u, v_{1}, v_{2} ≤ x)((u, v_{1})\overline{∈}x ∧ (u, v_{2})\overline{∈}x → v_{1} = v_{2})
(x rest)y = z :≡ Abb(x) ∧ Abb(z) ∧ y ⊆ dom(x) ∧ dom(z) = y ∧
(∀u\overline{∈}y)(∀v ≤ x)((u, v)\overline{∈}x ↔ (u, v)\overline{∈}z)
Bij(x)  :≡ Abb(x) ∧ (∀z\overline{∈} dom(x))(∃!y)(z, y)\overline{∈}x.

In IΣ_{1} wird auf diese Weise jedes x als endliche Menge {y | bit(y, x) = 1)} aufgefaßt.

Lemma 1.3.8 (IΣ_{1}) (Σ_{1}-Komprehension) Für φ(u, z⃗) ∈ Δ_{1} gilt:

IΣ_{1} ⊢ (∀x)[(∃v)(2^{x} = v ∧ (∃y < v)(∀u < x)(u\overline{∈}y ↔ φ(u, z⃗)))].

Beweis: Die Formel in […] ist nach Lemma 1.1.3 in Σ_{1} und mit Induktion nach x zeigen wir die Behauptung: 1. x = 0 : ist klar.

2. x ⇝ x + 1 : Nach I.V. existiert ein y < 2^{x} gemäß Voraussetzung. Gilt φ(x, z⃗), so setzen wir y′ := y + 2^{x} und es ist y′ = y + 2^{x} <_{I.V.} 2^{x} + 2^{x} = 2^{x+1}. Gilt ¬φ(x, z⃗), so setzen wir y′ := y. □

Satz 1.3.9 IΣ_{1} beweist: Für alle x, y gibt es eindeutig bestimmte {x}, x ∪ y, x ∩ y, x\y, Pot(x) und card x mit folgenden Eigenschaften:

(∀u) (u\overline{∈}\{x\} ↔ u = x)
(∀u) (u\overline{∈}x ∪ y ↔ u\overline{∈}x ∨ u\overline{∈}y)
(∀u) (u\overline{∈}x ∩ y ↔ u\overline{∈}x ∧ u\overline{∈}y)
(∀u) (u\overline{∈}x\y ↔ u\overline{∈}x ∧ ¬u\overline{∈}y)
(∀u) (u\overline{∈} Pot(x) ↔ u ⊆ x)
(∀u) (card x = u ↔ (∃f)(Bij(f) ∧ dom(f) = x ∧ rng(f) = (< u)).

Beweis: Mit Σ_{1}-Komprehension. □ Wir können nun endliche Folgen als endliche Abbildungen definieren:

Definition 1.3.10 (Endliche Folgen)

Seq(s)  :≡ (∃x ≤ s)(Abb(s) ∧ dom(s) = (< x))
lh(s) = y  :≡ Seq(s) ∧ dom(s) = (< y)
(s)_{x} = y  :≡ Seq(s) ∧ ((x < lh(s) ∧ (x, y)\overline{∈}s) ∨ (x ≥ lh(s) ∧ y = 0))
s ⌢ ⟨x⟩ = w :≡ (Seq(s) ∧ (∀u < w)(u\overline{∈}w ↔ (u\overline{∈}s ∨ u = (lh(s), x))))∨
(¬ Seq(s) ∧ w = 0)
max(s) = z :≡ Seq(s) ∧ (∃i < lh(s))((s)_{i} = z ∧ (∀i < lh(s))(s)_{i} ≤ z)
min(s) = z :≡ Seq(s) ∧ (∃i < lh(s))((s)_{i} = z ∧ (∀i < lh(s))(s)_{i} ≥ z)
⟨⟩  := 0, lh(⟨⟩) := 0
x ⌢ y = z :≡ Seq(x) ∧ Seq(y) ∧ Seq(z) ∧ lh(z) = lh(x) + lh(z)∧
(∀i < lh(x))(x)_{i} = (z)_{i} ∧ (∀i < lh(y))(y)_{i} = (z)_{lh(x)+i}
s ↾ i = t  :≡ Seq(s) ∧ Seq(t) ∧ lh(t) = i ∧ (∀j < i)(s)_{j} = (t)_{j}
x ∈ s  :≡ Seq(s) ∧ (∃i < lh(s))x = (s)_{i}.

1.3. DIE THEORIE IΣ_{1} 9

Für jedes n > 0 definieren wir den Graph einer n-stellige Kodierfunktion:

- ⟨x⟩ = z :≡ z = ⟨⟩ ⌢ ⟨x⟩

- ⟨x_{1}, …, x_{n+1}⟩ = z :≡ z = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ ⌢ ⟨x_{n+1}⟩.

Mit Σ_{1}-Komprehension können folgende Eigenschaften endlicher Folgen bewiesen werden:

Satz 1.3.11 (Endliche Folgen)

IΣ_{1} ⊢ (∀s, s′)(Seq(s) ∧ Seq(s′) → [lh(s) ≤ s ∧ (∀u < lh(s))((s)_{u} < s) ∧
Seq(0) ∧ lh(0) = 0 ∧ (∀u < lh(s))(s)_{u} = (s ⌢ ⟨z⟩)_{u} ∧
(s ⌢ ⟨z⟩)_{lh(s)} = z ∧ lh(s ⌢ ⟨z⟩) = lh(s) + 1∧
(lh(s) ≤ lh(s′) ∧ (∀u < lh(s))(s)_{u} ≤ (s′)_{u}) → s ≤ s′∧

(lh(s) = lh(s′) ∧ (∀u < lh(s))(s)_{u} = (s)_{v}) → s = s′]). □

1.3.2 Definierbare Mengen und Funktionen

Definition 1.3.12 (Definierbare Relationen und Funktionen) Seien M ⊧ IΣ_{1}; n > 0; X ⊆ M^{n}; Γ ⊆ L_{A} und F : X^{n} → M. Dann sei:

(i) X ist (Γ-) definierbar, falls es ein φ (∈ Γ) mit FV(φ) = {x_{1}, …, x_{n}} gibt, so daß für alle a_{1}, …, a_{n} ∈ M gilt:

a_{1}, …, a_{n} ∈ X ⇔ M ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}).

(ii) X ist mit Parametern b_{1}, …, b_{m} (Γ-) definierbar, falls es ein φ(∈ Γ) mit FV(φ) = {x⃗, y⃗} gibt, so daß für alle a_{1}, …, a_{n} ∈ M gilt:

a_{1}, …, a_{n} ∈ X ⇔ M ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{m}).

(iii) F : X^{n} → M ist (Γ-) definierbar (mit Parametern) :⇔ Der Graph von F ist (Γ-) definierbar (mit Parametern).

Bemerkung: Ist φ die definierende Formel von X ⊆ M^{n}, so identifizieren wir oft X mit φ und schreiben a_{1}, …, a_{n} ∈ φ für φ(a_{1}, …, a_{n}).

Die ∈-Relation aus (i) und (ii) ist zunächst keine in L_{A} definierbare erststufige Relation. Erst mit Hilfe einer Arithmetisierung der Syntax und Semantik von L_{A} kann für bestimmte Formelklassen Γ die ∈-Relation in L_{A} formalisiert werden.

Definition 1.3.13 (T -beweisbar totale Funktionen) Sei T ⊇ IΣ_{1}. Eine Formel F ∈ L_{A} mit FV(φ) ⊆ {x⃗, y} heißt Graph einer T -beweisbar totalen Funktion, falls gilt:

T ⊢ (∀x⃗)(∃!y)F (x⃗, y).

F heißt T -beweisbar rekursiv, falls zusätzlich F ∈ Σ_{1} ist.

Lemma 1.3.14 (IΣ_{1}) Seien φ ∈ Δ_{1}, z ∈ FV(φ) und F ∈ Σ_{1} Graph einer IΣ_{1}-beweisbar totalen Funktion. Dann gilt:

(i) F (x⃗) = y :≡ F (x⃗, y) ∈ Δ_{1}.

(ii) φ_{z}(F (x⃗)) :≡ (∃y)(F (x⃗, y) ∧ φ_{z}(y)) ∈ Δ_{1}.

Beweis: (i) IΣ_{1} ⊢ ¬F (x⃗, y) ↔ (∃y′)(y ≠ y′ ∧ F (x⃗, y)). (ii) IΣ_{n} ⊢ φ_{z}(F (x⃗)) ↔ (∀y)(F (x⃗, y) → φ(y)). □

1.3.3 Primitive Rekursion

Satz 1.3.15 (IΣ_{1})(Primitive Rekursion)

(i) Die Grundfunktionen S, P_{k}^{n}, C_{k}^{n} sind IΣ_{1}-beweisbar rekursiv.

(ii) Die IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen sind abgeschlossen unter Substitution und primitiver Rekursion.

Beweis: Zur Substitution: Seien H_{1}, …, H_{m}, G die Σ_{1}-Graphen von n- bzw. m-stelligen IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen. Dann definieren wir

Sub(G, H_{1}, …, H_{m})(x⃗, y) :≡ (∃z⃗)( ⋀_{i=1}^{m} H_{i}(x⃗, z_{i}) ∧ G(z⃗, y)).

Zur primitiven Rekursion: Sind G, H ∈ Σ_{1} Graphen von n bzw. n+2 stelligen IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen, so definieren wir

R(GH)(x⃗, z, y) :≡ (∃s)[(∃j ≤ s)(β(s, 0) = j ∧ G(x⃗, j)) ∧ β(s, z) = y∧

(∀i < z)(∃j_{1}, j_{2} ≤ s)(β(s, i) = j_{1} ∧ β(s, i + 1) = j_{2} ∧

H(x⃗, i + 1, j_{1}, j_{2}))].

Damit sind Sub(G, H_{1}, …, H_{m}) und R(GH) ∈ Σ_{1} und die Totalität kann durch Induktion (und mit Lemma 1.3.2) bewiesen werden.

Korollar 1.3.16 Die primitiv rekursiven Funktionen sind IΣ_{1}-beweisbar rekursiv. □

Definition 1.3.17 (Wertverlauf und Iteration) Seien T ⊇ IΣ_{1} und F ∈ L_{A} eine T -beweisbar totale Funktion.

(i) Der Wertverlauf von F sei definiert durch: \overline{F} (x⃗, y) = s :≡ Seq(s)∧lh(s) = y+1∧(s)_{0} = ⟨⟩∧(∀i ≤ y)F (x⃗, i) = (s)_{i}.

(ii) Ist F einstellig so definieren wir die Iteration von F:

\begin{aligned}F^{(x)}(y) = z :≡ & (∃s)[Seq(s) ∧ lh(s) = x + 1 ∧ (s)_{0} = y ∧ (s)_{x} = z ∧ \\ & (∀i < x)F ((s)_{i}) = (s)_{i+1}]. \end{aligned}

Satz 1.3.18 (Wertverlauf und Iteration) Der Wertverlauf und die Iteration jeder (einstelligen) IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktion sind IΣ_{1}-beweisbar rekursiv. □

Satz 1.3.19 (Wertverlaufsrekursion) Ist H eine n + 2-stellige IΣ_{1}-beweisbar rekursive Funktion, so gibt es eine (intensional) eindeutig bestimmte IΣ_{1}-beweisbar rekursive Funktion F mit

IΣ_{1} ⊢ (∀x⃗, y, z)(F (x⃗, y) = z ↔ H(x⃗, y, \overline{F} (x⃗, y)) = z).

Satz 1.3.20 Die P RA-beweisbar rekursiven Funktionen sind genau die primitiv rekursiven Funktionen.

Beweis: Es ist klar, daß alle primitiv rekursiven Funktionen P RA-beweisbar rekursiv sind. Der Beweis der Gegenrichtung geht auf Parsons zurück (vgl. [22], S.34), einen weiteren Beweis führen wir in Abschnitt 3.4. □

Satz 1.3.21 (i) P RA ist eine konservative Erweiterung von IΣ_{1}.

(ii) Die P RA-beweisbar rekursiven Funktionen sind genau die IΣ_{1}-beweis-bar rekursiven Funktionen.

Beweis: (i): Wir skizzieren den Beweis: Mit Satz 1.3.15 sind alle primitiv rekursiven Funktionen in L_{A} Σ_{1}-definierbar und Σ_{1}-beweisbar total. Sei umgekehrt für jede primitiv rekursive Funktion f G_{f} ∈ L_{A} die kanonische Σ_{1}-Definition des Graphen von f aus dem Beweis von Satz 1.3.15. Dann ist

IΣ′_{1} := {(∀x⃗, y)(f(x⃗) = y ↔ G_{f}(x⃗, y)) | f primitiv rekursiv } ∪
{P (x⃗) ↔ G_{χ_{P}} (x⃗, 0) | P primitiv rekursiv } ∪ IΣ_{1}

eine definitorische und damit konservative Erweiterung von IΣ_{1}. Es gilt: P RA=IΣ′_{1}.

(ii): Sei f rekursiv. Ist f IΣ_{1}-beweisbar rekursiv, so ist f auch schon P RAbeweisbar rekursiv. Umgekehrt ist nach Satz 1.3.20 jede P RA-beweisbar rekursive Funktion primitiv rekursiv. Weiter ist für G_{f} aus (i)

PRA ⊢ (∀x⃗, y)(f(x) = y ↔ G_{f}(x⃗, y)).

Nach Voraussetzung gilt P RA ⊢ (∀x⃗)(∃y)f(x⃗) = y. Damit folgt

PRA ⊢ (∀x⃗)(∃y)G_{f}(x⃗, y).

Da P RA eine konservative Erweiterung von IΣ_{1} und G_{f} ∈ L_{A} ist, folgt die Behauptung. □ Bemerkung: Mit P RA wird in der Literatur häufig eine weitere Theorie bezeichnet: Primitiv rekursive Arithmetik zusammen mit Induktion über quantorenfreie Formeln. Diese Theorie ist schwächer als IΣ_{1}, insbesondere beweist diese Theorie nicht Σ_{1}-Induktion. Jedoch ist IΣ_{1} auch Π_{2}-konservativ über der schwächeren Version von P RA. Wir haben P RA gemäß Pohlers [22] definiert.

1.3.4 Endliche Mengen und Funktionen

Definition 1.3.22 (IΣ_{1}) (Endliche Mengen und Funktionen) Sei M ⊧ IΣ_{1}. h ∈ M heißt Kode einer endlichen Menge (h ⊆_{fin} M), wenn M ⊧ Seq(h) ∧ (∀i < j < lh(h))(h)_{i} < (h)_{j} gilt. f ∈ M heißt Kode einer endlichen Funktion, falls M ⊧ Abb(f) gilt. Weiter definieren wir:

(i) |h| = z :≡ Seq(s) ∧ lh(h) = z ∧ (∀i < j < lh(h))(h)_{i} < (h)_{j}

(ii) f(x) = y :≡ Abb(f) ∧ (x, y)\overline{∈}f

(iii) φ(f(x)) :≡ Abb(f) ∧ (∃y < f)((x, y)\overline{∈}f ∧ φ(y))

(iv) x ∈ 2^{<ω} :≡ Seq(x) ∧ (∀i < lh(x))(x)_{i} ≤ 1

(v) x ⊆_{a} y :≡ Seq(x) ∧ Seq(y) ∧ (∀i < lh(x))(x)_{i} = (y)_{i}

(vi) f : a → b :≡ Abb(f) ∧ dom(f) = (< a) ∧ rng(f) ⊆ (< b)

(vii) \begin{aligned}[a, b]^{c} = z :≡ & y\overline{∈}z ↔ (Seq(y) ∧ lh(y) = c ∧ \\ & (∀i < c)(a ≤ (y)_{i} ≤ b) ∧ (∀i < j < c)(y)_{i} < (y)_{j}) \end{aligned}

(viii) f : [a, b]^{c} → d :≡ Abb(f) ∧ dom(f) = [a, b]^{c} ∧ rng(f) ⊆ (< d) Weiter schreiben wir für x ∈ [a, b]^{c} :

f(x) = y :≡ (x, y)\overline{∈}f.

Ist c ∈ IN, so schreiben wir auch:

f(x_{1}, …, x_{c}) = y :≡ f(⟨x_{1}, …, x_{c}⟩) = y.

Lemma 1.3.23 (Schranken für endliche Folgen und Funktionen)

(i) Es gibt eine zweistellige primitiv rekursive Funktion Seqb, so daß

IΣ_{1} ⊢ (∀x, y, z)((Seq(z) ∧ lh(z) ≤ x ∧
(∀i < lh(z))(z)_{i} ≤ y) → z ≤ Seqb(x, y)).

(ii) IΣ_{1} ⊢ (∀u, y)(y < 2^{u} ↔ (∀x)(x\overline{∈}y → x < u)).

(iii) (∀a, b, c, d, f)((f : [a, b]^{c} → d) → f < 2^{(Seqb(c,b),d)}).

Beweis: (i): Wir definieren Seqb(0, y) := ⟨⟩ Seqb(x + 1, y) := Seqb(x, y) ⌢ ⟨y⟩.

(ii) ” → “ ist klar. ” ← “: Wir zeigen die Kontraposition. Sei 2^{u} ≤ y und x maximal mit y ≥ 2^{x}. Dann ist y = 2^{x} + w für ein w < 2^{x} und damit gilt x\overline{∈}y und x ≥ u. (iii) folgt sofort aus (ii), denn für ein solches f gilt: x\overline{∈}f → (∃y, z)(x = (y, z) ∧ Seq(y) ∧ lh(y) = c ∧ (∀i < c)(a ≤ (y)_{i} ≤ b) ∧ z < d). □

Lemma 1.3.24 (IΣ_{1}) Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, b, c, d ∈ M und θ(x, y) ∈ Δ_{1}. Weiter gelte für alle x\overline{∈}[a, b]^{c} :

M ⊧ (∃!y < d)θ(x, y).

Dann gibt es ein f ∈ M (f ist der Kode von θ auf dem Intervall [a, b]), so daß für alle x\overline{∈}[a, b]^{c} gilt:

M ⊧ f(x) = y ↔ θ(x, y)

Beweis: Wir setzen \begin{aligned}ψ(u, a, b, c, d) :≡ & Seq(u) ∧ lh(u) = 2 ∧ (u)_{0}\overline{∈}[a, b]^{c} ∧ \\ & (u)_{1} < d ∧ θ((u)_{0}, (u)_{1}). \end{aligned}

Mit Σ_{1}-Komprehension gilt dann

(∗) (∀x)(∃y < 2^{x})(∀u < x)(u\overline{∈}y ↔ ψ(u, a, b, c, d)).

Symbol Gödelnummer
s  v(s)
0  0
S  1
+  2
∗  3
=  4
<  5
¬  6
∧  7
∨  8
∀  9
∃  10
(  11
)  12
v_{j}  (13, j)

Gödelnummern für die Grundzeichen aus L_{A}

Das vorangehende Lemma liefert eine Schranke x_{0} für alle Kodes von Funktionen f : [a, b]^{c} → d. Für dieses x_{0} existiert nach (∗) ein y und f := y leistet das Gewünschte.

1.3.5 Arithmetisierung von Syntax und Semantik

Mit den bisher entwickelten Hilfsmitteln kann eine Arithmetisierung der Syntax und Semantik von L_{A} in IΣ_{1} durchgeführt werden:

Definition 1.3.25 (Kodierung und Arithmetisierung von L_{A}) Zunächst definieren wir eine Abbildung v : L_{A} → IN (vgl. Tabelle). Als nächstes wird eine Funktion : W (L_{A}) → IN definiert (W (L_{A}) ist die Menge der Wörter über L_{A} einschließlich des leeren Wortes ⟨⟩):

\begin{aligned}: & ⟨⟩ & ↦ 0 \\ & uw & ↦ ⟨v(s)⟩ ⌢ w & für w ∈ W (L_{A}), u ∈ L_{A}. \end{aligned}

D.h. für Terme t ∈ L_{A} und Formeln φ ∈ L_{A} sind t , φ ∈ IN. Wir schreiben oft t für \underline{t} , φ für \underline{φ} . Das Prädikat GN(x) (”x ist Gödelnummer eines Wortes aus W (L_{A})“) wird folgendermaßen definiert:

GN(x) :≡ Seq(x) ∧ (∀i < lh(x))((x)_{i} ≤ 12 ∨ (∃j ≤ x)(x)_{i} = (13, j)).

Damit ist GN(x) ∈ Δ_{1}(IΣ_{1}) und jedes Wort w ∈ W (L_{A}) hat eine eindeutig bestimmte Gödelnummer w ∈ IN mit IΣ_{1} ⊢ GN( w ).

Aus x, y mit GN(x), GN(y) können neue Gödelnummern gebildet werden, z.B. z := ( ⌢ x ⌢ + ⌢ y ⌢ ) . Hierfür wird folgende Notation eingeführt:

(. + .) sei die zweistellige primitiv rekursive Funktion
(. + .) : x, y ↦ ( ⌢ x ⌢ + ⌢ y ⌢ )

Analog werden Funktionen für alle Zeichen der Sprache L_{A} definiert.

Satz 1.3.26 (IΣ_{1})(Syntax) Es gibt Δ_{1}-Formeln Term(x), AtForm(x), Form(x), Form_{Σ_{n}}(x), Form_{Π_{n}}(x), so daß für Wörter t, φ aus W (L_{A}) gilt :

(i) t ist ein Term aus L_{A} ⇔ IN ⊧ Term( t ) ⇔ IΣ_{1} ⊢ Term( \underline{t} ).

(ii) φ ist eine Formel aus L_{A} ⇔ IN ⊧ Form( φ ) ⇔ IΣ_{1} ⊢ Form( \underline{φ} ).

Analoge Aussagen gelten für Form_{Σ_{n}}(x), Form_{Π_{n}}(x) und AtForm(x).

Definition 1.3.27 Es seien primitiv rekursive Prädikate und Funktionen wie folgt definiert:

(i) Var(y) :≡ (∃z ≤ y)(y = (13, z)) (y ist Kode einer Variable).

(ii) Durch Wertverlaufsrekursion wird definiert:

Var_{Term}(x) := \{ \begin{matrix}\{x\}; & Var(x) \\ 0; & x = 0 ∨ ¬ Term(x) \\ Var_{Term}(y); & x = Sy \\ Var_{Term}(y) ∪ Var_{Term}(z); & x = (y_{+}^{∗}z) . \end{matrix}

(iii) Ebenfalls durch Wertverlaufsrekursion wird definiert:

FV(x) := \{ \begin{matrix}Var_{Term}(s) ∪ Var_{Term}(t); & x = s_{<}^{=}t \\ FV(y) ∪ FV(z); & x = y_{∨}^{∧}z \\ FV(y)\\{u\}; & x = (Qu)y \\ 0; & ¬ Form(x). \end{matrix}

(iv)

Bel(e, x) :≡ Abb(e)∧ ((Term(x) ∧ dom(e) ⊇ Var_{Term}(x))∨
(Form(x) ∧ dom(e) ⊇ FV(x))).

(v)

Val(t, e) = z :≡ [Term(t) ∧ Bel(e, t) ∧ ((Var(t) ∧ z = e(t))∨
(t = 0 ∧ z = 0) ∨ ((∃t_{1} < t)t = St_{1} ∧
z = S(Val(t_{1}, e))) ∨ ((∃t_{1}, t_{2} < t)t = t_{1}_{+}^{∗}t_{2} ∧
z = Val(t_{1}, e)_{+}^{∗} Val(t_{2}, e)))]∨
((¬ Term(t) ∨ ¬ Bel(e, t)) ∧ z = 0).

Definition 1.3.28 Für jedes n ≥ 0 definieren wir eine n-stellige primitiv rekursive Funktion […] :

[x_{1}, …, x_{n}] = e :≡ Abb(e) ∧ dom(e) = { v_{1} , …, v_{n} } ∧ ⋀_{i=1}^{n}(e( v_{i} ) = x_{i}).

Weiter sei e ∼_{u} e′ :≡ Abb(e) ∧ Abb(e′) ∧ dom(e′) = dom(e) ∪ \{u\} ∧ (∀x\overline{∈} dom(e))(x ≠ u → e(x) = e′(x)).

Lemma 1.3.29 (i) IΣ_{1} ⊢ (∀x, y)(∃!z)(Val(x, y) = z).

(ii) Ist t(v_{1}, …, v_{n}) ∈ L_{A} ein Term, so gilt IΣ_{1} ⊢ (∀x_{1}, …, x_{n})t(x_{1}, …, x_{n}) = Val( t , [x_{1}, …, x_{n}]).

Satz 1.3.30 (IΣ_{1}) (Semantik) Es gibt eine Formel Sat_{Δ_{0}}(x, y) ∈ Δ_{1}, so daß für alle θ(v_{1}, …, v_{n}) ∈ Δ_{0} gilt:

IΣ_{1} ⊢ (∀x_{1}, …, x_{n})(θ(x_{1}, …, x_{n}) ↔ Sat_{Δ_{0}}( θ(v_{1}, …, v_{n}) , [x_{1}, …, x_{n}])).

Analog existieren Formeln Sat_{Σn} ∈ Σ_{n} und Sat_{Πn} ∈ Π_{n} (n > 0) mit den entsprechenden Eigenschaften. □

1.4. DIE THEORIEN IΣ_{N+1} 17

1.4 Die Theorien IΣ_{n+1}

Satz 1.4.1 (Σ_{n}-Kollektion und das Prinzip der kleinsten Zahl)

- Es gilt: IΣ_{n+1} ⊢ BΣ_{n+1}.

- Es gilt: IΣ_{n} = LΣ_{n} = IΠ_{n} = LΠ_{n}. □

Lemma 1.4.2 (IΣ_{n}) Seien n > 0; φ ∈ Δ_{n}; z ∈ FV(φ) und F ∈ Σ_{n} Graph einer IΣ_{n}-beweisbar totalen Funktion. Dann gilt:

(i) F (x⃗) = y :≡ F (x⃗, y) ∈ Δ_{n}.

(ii) φ_{z}(F (x⃗)) :≡ (∃y)(F (x⃗, y) ∧ φ(y)) ∈ Δ_{n}. □

Satz 1.4.3 Die Σ_{n+1}-definierbaren und IΣ_{n+1}-beweisbar totalen Funktionen sind abgeschlossen unter primitiver Rekursion, Wertverlaufsrekursion und (für einstellige Funktionen) Iteration. □

Satz 1.4.4 (IΣ_{n})(Δ_{n}-Komprehension) Sei φ(u, z⃗) ∈ Δ_{n+1}. Dann gilt:

IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y < 2^{x})(∀u < x)(u\overline{∈}y ↔ φ(u, z⃗)).

Beweis: Analog zu Lemma 1.3.8. □ Bemerkung: Manchmal schreiben wir y := {z | φ(z) & z < w} und bezeichnen damit das y, welches gemäß Δ_{n}-Komprehension existiert.

Satz 1.4.5 Sei IΣ′_{n+1} := P RA ∪ {Iφ_{x} | φ ∈ L_{P R}; φ ∈ Σ_{n+1}}. Dann ist IΣ′_{n+1} eine konservative Erweiterung von IΣ_{n+1} und wieder sind die beweisbar rekursiven Funktionen beider Theorien dieselben. □

Bemerkung 1.4.6 Mit 1.4.5 können wir IΣ′_{n+1} mit IΣ_{n+1} identifizieren und für die weiteren Untersuchungen die Theorie zur jeweils günstigeren Sprache wählen. Da wir in Kapitel 2 mit Erfüllungsprädikaten arbeiten, bietet sich hier die Theorie zur kleineren Sprache L_{A} an. Dagegen ist es in Kapitel 3 aus technischen Gründen günstig, L_{P R} zugrunde zu legen. Denn mit Hilfe des Kleeneschen T-Prädikats ist eine rekursive Funkion f IΣ_{n}-beweisbar rekursiv, falls für das e ∈ IN mit {e}(x⃗) ≃ f(x⃗) gilt

IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗)(∃y)T (e, x⃗, y).

Zwar können wir T (e, x⃗, y) auch durch eine L_{A}-Formel ersetzen, diese ist dann keine Primformel und enthält beschränkte Quantoren. Das würde den Beweis von 3.2.13 unnötig komplizieren.

1.5 Overspill, Persistenz

Definition 1.5.1 (Schnitte, Enderweiterungen) Seien M, N L_{A}-Strukturen.

(i) N heißt Enderweiterung von M(M ⊆_{e} N) :⇔ Für alle a, b ∈ N gilt:

(a < b & b ∈ M) ⇒ a ∈ M

(ii) Eine nichtleere Teilmenge I ⊆ M heißt Schnitt, falls I ⊆_{e} M und a ∈ I ⇒ Sa ∈ I gelten.

(iii) Ist I ⊆ M, so schreiben wir x_{1} < … < x_{n} ∈ I :⇔ x_{1}, …, x_{n} ∈ I & x_{1} < … < x_{n}. Weiter schreiben wir für c ∈ M : c > I :⇔ für alle a ∈ I ist a < c.

Satz 1.5.2 (Overspill) Seien M ⊧ IΣ_{n+1}; φ(y, x⃗) ∈ Σ_{n+1}; I ⊊ M ein Schnitt und a⃗ ∈ M. Weiter gelte

M ⊧ φ(b, a⃗) für alle b ∈ I.

Dann existiert ein c > I, so daß

M ⊧ (∀x ≤ c)φ(x, a⃗).

Beweis: Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Dann gilt

b ∈ I ⇔ M ⊧ (∀y < b)φ(y, a⃗).

Also gilt M ⊧ (∀y < 0)φ(y, a⃗) und weil I abgeschlossen ist unter S gilt:

M ⊧ (∀y < x)φ(y, a⃗) → (∀y < Sx)φ(y, a⃗).

Mit Induktion folgt M = I. Widerspruch. □

Satz 1.5.3 (Persistenz) Seien N ⊆_{e} M L_{A}-Strukturen; δ(x⃗) ∈ Δ_{0}; π(x⃗) ∈ Π_{1}; σ(x⃗) ∈ Σ_{1} Formeln aus L_{A} und a⃗ ∈ N. Dann gelten:

(i) M ⊧ δ(a⃗) ⇔ N ⊧ δ(a⃗) (Δ_{0}-Absolutheit).

(ii) M ⊧ π(a⃗) ⇒ N ⊧ π(a⃗) (Π_{1}-Abwärtspersistenz).

(iii) N ⊧ σ(a⃗) ⇒ M ⊧ σ(a⃗) (Σ_{1}-Aufwärtspersistenz).

Modelltheoretische Charakterisierung

2.1 Beweisbar rekursive Funktionen und In-

dikatoren

Definition 2.1.1 (Indikatoren) Seien M ⊧ IΣ_{1} und T eine L_{A}-Theorie. Eine zweistellige L_{A}-definierbare Funktion Y : M^{2} → M ist ein Indikator für T in M, falls gilt: (Y 1) Y ∈ Σ_{1} & M ⊧ (∀x, y)(∃!z)Y (x, y) = z. (Y 2) Für alle c ≤ a ≤ b ≤ d ∈ M gilt: Y (a, b) ≤ Y (c, d). (Y 3) Für alle a < b ∈ M gilt

Y (a, b) > IN ⇔ es gibt ein I ⊆_{e} M mit a ∈ I < b & I ⊧ T.

Folgender Satz stellt den Zusammenhang zwischen Indikatoren und beweisbar rekursiven Funktionen von Theorien T ⊇ IΣ_{1} her: Satz 2.1.2 Seien T ⊇ IΣ_{1}; M ⊧ IΣ_{1} und Y ein Indikator für T in M. Dann gilt:

(i) (∀n ∈ IN) T ⊢ (∀x)(∃y)(Y (x, y) ≥ n). (ii) T ⊬ (∀x, z)(∃y)(Y (x, y) ≥ z). (iii) Ist IN ⊧ T, so ist der Satz (∀x, z)(∃y)(Y (x, y) ≥ z) unabhängig von T.

20 KAPITEL 2. MODELLTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG

(iv) Die Funktionen

G_{n}(x) = min_{y}(Y (x, y) ≥ n)

bilden eine beweisbare Hülle für die beweisbar rekursiven Funktionen von T.

Beweis: (i): Ist M ⊧ IΣ_{1} abzählbar, so liegen echte Schnitte I ≅ M cofinal in M (vgl. Hájek-Pudlak [13], S.244). Der Beweis geht auf Ressayre zurück, ein analoges Ergebnis für PA wurde von Friedman bewiesen, vgl. hierzu Kaye [15], S.164. Seien also M ⊧ T, a ∈ M und n ∈ IN. Dann existiert ein I mit a ∈ I, I ⊊_{e} M und I ≅ M. Damit ist I ⊧ T und es ist für alle b > I : Y (a, b) > IN, also Y (a, b) > n. Damit gilt

(∀x)(∃y)(Y (a, b) ≥ n).

(ii): Seien M ⊧ T und IN < c < a. Dann gilt einer der beiden Fälle:

1. Für alle b ∈ M ist Y (a, b) < c und die Behauptung folgt.

2. Es gibt ein b ∈ M mit Y (a, b) ≥ c. Mit LΣ_{1} gibt es ein minimales b_{0}. Mit Eigenschaft (Y3) existiert ein I mit a ∈ I < b und I ⊧ T. Aufgrund der Minimalität von b_{0} und mit Aufwärtspersistenz (denn Y ∈ Σ_{1}) existiert in I kein b mit I ⊧ Y (a, b) ≥ c. Weil I ⊧ T ist, folgt die Behauptung. (iii): Folgt aus (i) und (ii). (iv): Mit (i) sind alle G_{n} T -beweisbar rekursiv. Sei F T -beweisbar rekursiv. Wir nehmen an

T + {(∃x)F (x) ≥ G_{n}(x) | n ∈ IN} ⊬ ⊥.

Mit

G_{n}(x) = min_{y}(Y (x, y) ≥ n)

und a < b ≤ d → Y (a, b) ≤ Y (a, d) folgt

T_{∞} := T + {(∃x)Y (x, F (x)) ≥ n | n ∈ IN} ⊬ ⊥.

Sei nun M ⊧ T_{∞}. Mit Overspill existiert ein c ∈ M − IN und

(∀z ≤ c)(∃x)Y (x, F (x)) ≥ z.

Also existiert ein a mit Y (a, F (a)) ≥ c. Aus der Indikatoreigenschaft (Y 3) folgt dann die Existenz eines I mit a < I < F (a) und I ⊧ T. Damit ist F in I nicht total. Widerspruch. □

2.1. BEWEISBAR REKURSIVE FUNKTIONEN UND INDIKATOREN21

Ein Indikator für eine Theorie T ⊇ IΣ_{1} liefert also sofort eine beweisbare Hülle für die T -beweisbar rekursiven Funktionen. Unser Ziel ist daher, Indikatoren für IΣ_{n+1} anzugeben.

Bemerkung: Wir haben (i) für beliebige Theorien T ⊇ IΣ_{1} bewiesen. Wenn wir im nächsten Abschnitt explizit Indikatoren für IΣ_{n+1} angeben, so werden wir die Lücke, die wir in (i) durch den Verweis auf [13] gelassen haben, schließen, indem wir 2.1.2 (i) für diese Indikatoren beweisen.

Wir wollen im folgenden den Begriff des Indikators und den Zusammenhang mit den beweisbar rekursiven Funktionen einer Theorie erläutern: Ein Indikator Y für eine Theorie T in M (mit T ⊇ IΣ_{1} und M ⊧ IΣ_{1}) testet gewissermaßen für gegebene a, b ∈ M, ob das Anfangsstück [0, a] ⊆ M unterhalb von b zu einem Modell I ⊧ T abgeschlossen werden kann:

Dieser Prozeß des Abschließens steht in einem engen Zusammenhang mit den T -beweisbar rekursiven Funktionen: Einerseits kann es ein a ∈ I < b mit I ⊧ T nur geben, falls das Intervall [0, a] unterhalb von b gegenüber allen T -beweisbar rekursiven Funktionen abgschlossen werden kann. Ist andererseits Y (a, b) = l ∈ IN, so ist G_{l+1}(x) ein Beispiel für eine beweisbar rekursive Funktion, die diese Abschlußeigenschaft verletzt:

G_{l+1}(a) > b.

Eine interessante Beobachtung ergibt sich beim Studium des Beweises eines Satzes, der besagt, daß zu allen rekursiv axiomatisierten Theorien T ⊆ L_{A} Indikatoren für T in M ⊧ P A existieren (vgl. Kaye ([15]), Satz 11.7). Im Verlauf des Beweises werden diese Indikatoren explizit angegeben, und es zeigt sich, daß diese Funktionen im wesentlichen nur testen, ob das Intervall [0, a] unterhalb von b gegenüber allen T -beweisbar rekursiven Funktionen abgeschlossen werden kann. Der Abschluß unter den T -beweisbar rekursiven Funktionen reicht also aus, [0, a] unterhalb von b zu einem Modell von T abzuschließen.

Es zeigt sich, daß der Nachweis der Indikatoreigenschaft (Y 3) für die Theorie T = IΣ_{n+1} im wesentlichen Beweise von (i) und (ii) aus Satz 2.1.2 erfordert: Zunächst muß für einen Beweis von

(∀k ∈ IN) IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y)(Y (x, y) ≥ k)

die volle Beweisstärke von IΣ_{n+1} ausgeschöpft werden (vgl. 2.2.12), wobei wir mit voller Beweisstärke die Tatsache bezeichnen, daß die Allausage

(∀x, z)(∃y)(Y (x, y) ≥ z)

in IΣ_{n+1} nicht mehr beweisbar ist (es also ein ω-Defekt vorliegt). Dieses zweite Ergebnis, welches selbstverständlich nur mit (relativ zu T) metamathematischen Methoden gezeigt werden kann, entspricht folgender Aussage: Die Existenz eines c ∈ M − IN mit

M ⊧ Y (a, b) = c

liefert bereits die Existenz eines I ⊧ IΣ_{n+1} mit a ∈ I < b, d.h. die Funktion

G_{c}(x) := min_{y}(Y (x, y) ≥ c)

ist nicht mehr IΣ_{n+1}-beweisbar total (vgl. 2.2.13).

2.2. INDIKATOREN FÜR IΣ_{N+1} 23

2.2 Indikatoren für IΣ_{n+1}

2.2.1 Verschiedene Partitionsprinzipien

Die Indikatoren für IΣ_{n+1} beruhen auf formalisierten Versionen verschiedener Partitionsprinzipien. Zunächst wollen wir diese formulieren; dazu führen wir folgende Begriffe ein:

Definition 2.2.1 (Verschiedene Partitionseigenschaften) Seien X ⊆ IN und k, n, c ∈ IN. Wir identifizieren alle m ∈ IN mit der Menge ihrer Vorgänger gemäß m = {0, …, m − 1}. Dann seien:

(i) [X]^{n} := {⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ | x_{1} < … < x_{n} ∈ X}

(ii) Sei f : [X]^{n} → c. H ⊆ X heißt f-homogen, falls f konstant ist auf [H]^{n}. Wir nennen f auch eine Partition von [X]^{n} in c Farben und schreiben

f(x_{1}, …, x_{n}) :≡ f(⟨x_{1}, …, x_{n}⟩); falls x_{1} < … < x_{n}.

(iii) X ⟶ (k)_{c}^{n} :⇔ für jede Funktion f : [X]^{n} → c gibt es eine f- homogene Menge H ∈ [X]^{k}.

(iv) X ⟶ (IN)_{c}^{n} :⇔ für jede Funktion f : [X]^{n} → c gibt es eine fhomogene, unendliche Menge.

(v) H ⊆ IN ist relativ groß :⇔ card(H) ≥ min(H).

(vi) X ⟶_{∗} (k)_{c}^{n} :⇔ für jede Funktion f : [X]^{n} → c gibt es eine relativ große f-homogene Menge H ∈ [X]^{k}.

(vii) f : [X]^{n} → IN ist regressiv :⇔ für alle x_{1} < … < x_{n} ∈ X^{n} mit x_{1} > 0

gilt

f(x_{1}, …, x_{n}) < x_{1}

(viii) Ist f : [X]^{n} → IN regressiv, so heißt H ⊆ X f-min-homogen :⇔ für alle x_{1} < … < x_{n}, x_{1} < y_{2} < … < y_{n} ∈ H ist

f(x_{1}, …, x_{n}) = f(x_{1}, y_{2}, …, y_{n}).

(ix) X ⟶ (k)_{reg}^{n} :⇔ für alle regressiven f : [X]^{n} → IN gibt es eine f-min-homogene Menge H der Mächtigkeit k.

(x) X ⟶ (IN)_{reg}^{n} :⇔ für alle regressiven f : [X]^{n} → IN gibt es eine unendliche f-min-homogene Menge H.

Satz 2.2.2 (Unendlicher Satz von Ramsey)

(∀n, c ∈ IN) IN ⟶ (IN)_{c}^{n}.

Beweis: Vgl.[23]. Eine gute Darstellung ist in Fraisse [9] zu finden. □

Korollar 2.2.3 (Endlicher Satz von Ramsey)

(∀n, k, c ∈ IN)(∃m ∈ IN) m ⟶ (k)_{c}^{n}.

Beweis: Ebenfalls in [9]. □ Satz 2.2.4

(∀n ∈ IN) IN ⟶ (IN)_{reg}^{n}.

Beweis: Siehe Anhang A.2. □

Satz 2.2.5 (Das Paris-Harrington-Prinzip)

(P H) (∀n, k, c ∈ IN)(∃m ∈ IN) m ⟶_{∗} (k)_{c}^{n}.

Beweis: Vgl. [20] bzw. 2.2.12. □ Bemerkung: Eine formalisierte Version von (PH) ist unabhängig von PA.

Satz 2.2.6 (Das Kanamori-McAloon-Prinzip)

(KM) (∀n, k ∈ IN)(∃m ∈ IN) m ⟶ (k)_{reg}^{n}.

Beweis: Angenommen, es gibt n, k ∈ IN, so daß für alle m ∈ IN eine regressive Funktion

f_{m} : [m]^{n} ⟶ IN

existiert ohne min-homogene Menge der Mächtigkeit k. Wir definieren

f : [IN]^{n+1} ⟶ IN

als Diagonalfunktion durch

f(x_{0}, …, x_{n}) := f_{x_{n}}(x_{0}, …, x_{n−1}).

Dann gibt es mit 2.2.4 eine unendliche, für f min-homogene Menge H. Für l := max\{k, min(H)\} + 1 sei \overline{H} die Menge der ersten l − 1 Elemente aus H und x_{l} das l-te Element. Dann ist card(\overline{H}) ≥ min(\overline{H}) und \overline{H} ist min-homogen für f_{x_{l}}, denn für alle x_{0} < … < x_{n−1}, x_{0} < y_{1} < … < y_{n−1} ∈ \overline{H} ist

f_{x_{l}}(x_{0}, …, x_{n−1}) = f(x_{0}, …, x_{n−1}, x_{l}) = f(x_{0}, y_{1}, …, y_{n}, x_{l}) =
f_{x_{l}}(x_{0}, y_{1}, …, y_{n−1}).

Das ist ein Widerspruch. □

2.2.2 Eine Formalisierung der Partitionsprinzipien

Der unendliche Satz von Ramsey und 2.2.4 lassen sich nicht in L_{A} formalisieren. Dagegen können die übrigen Prinzipien durch Formeln aus L_{A} (sogar Δ_{1}(IΣ_{1})) beschrieben werden:

Definition 2.2.7 (Eine Formalisierung der Kanamori-Mc-Aloon-und Paris-Harrington-Prinzipien)

[x, y] ⟶_{∗} (z)_{c}^{u} :≡ (∀f)[(Abb(f) ∧ dom(f) = [x, y]^{u} ∧ rng(f) ⊆ (< c))→
(∃h)(Seq(h) ∧ lh(h) = z ∧ lh(h) ≥ (h)_{0}∧

(∀i < lh(h) − · 1)(x ≤ (h)_{i} < (h)_{i+1} ≤ y) ∧ (∃c′ < c) (∀v ∈ dom(f))(((∀i < lh(v))(v)_{i} ∈ h) → f(v) = c′))]

[x, y] ⟶ (z)_{reg}^{u} :≡ (∀f)[(Abb(f) ∧ dom(f) = [x, y]^{u} ∧ rng(f) ⊆ (< y)∧
(∀w, c_{0} < f)((w, c_{0})\overline{∈}f → (w)_{0} < c_{0})) →
(∃h)(Seq(h) ∧ lh(h) = z∧
(∀i < lh(h) − · 1)(x ≤ (h)_{i} < (h)_{i+1} ≤ y)
∧(∀i < y)(∃c < y)(∀v ∈ dom(f))((v)_{0} = i∧
(∀i < lh(v))((v)_{i} ∈ h) → f(v) = c))].

Lemma 2.2.8 [x, y] ⟶_{∗} (z)_{c}^{u}; [x, y] ⟶ (z)_{reg}^{c} sind in Δ_{1}(IΣ_{1}).

Beweis: Zu zeigen ist, daß sich die Quantoren (∀f) und (∃h) primitiv rekursiv beschränken lassen: Der Allquantor kann mit Lemma 1.3.23 beschränkt werden und für h mit Seq(h), lh(h) = c und (h)_{i} ≤ y (für alle i < lh(h)) gilt: h ≤ Seqb(c, y). □

2.2.3 Indikatoren für IΣ_{n+1}

Satz 2.2.9 Seien M ⊧ IΣ_{1} und n > 0. Dann gilt:

Y_{KM_{n}}(x, y) := max_{c} [x, y] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}

Y_{P H_{n}}(x, y) := max_{c} [x, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}

sind Indikatoren für IΣ_{n} in M.

Korollar 2.2.10 Sei n ∈ IN. Dann sind die Funktionenscharen

G_{n+1,k}(x) := min_{y} Y_{KM_{n+1}}(x, y) ≥ k

H_{n+1,k}(x) := min_{y} Y_{P H_{n+1}}(x, y) ≥ k

beweisbare Hüllen für die beweisbar rekursiven Funktionen von IΣ_{n+1}.

Die Tatsache, daß wir zwei verschiedene Indikatoren angeben, hat folgenden Grund. Wie wir bereits gesehen haben, verlangt der Nachweis der Indikatoreigenschaft (Y3) im wesentlichen ein positives und ein negatives Ergebnis. Es stellt sich nun heraus, daß sich die Partitionseigenschaften im Sinne von Paris-Harrington gut eignen, die Beweisstärke von IΣ_{n+1} zu charakterisieren (siehe Satz 2.2.12). Andererseits eignen sich min-homogene Mengen bestimmter regressiver Funktionen dazu, um Ununterscheidbare zu produzieren, mittels derer wiederum Modelle konstruiert werden können. Damit kann das negative Ergebnis (Satz 2.2.11) bewiesen werden. Allerdings erfordert diese ”Aufgabenteilung“ einen gewissen kombinatorischen Aufwand, da eine Verbindung zwischen den beiden Prinzipien hergestellt werden muß (dies leistet Satz 2.2.13). Aus den nachstehenden drei Sätzen folgen 2.2.9 und 2.2.10 fast unmittelbar:

Satz 2.2.11 Seien n > 0; M ⊧ IΣ_{1}; a, c ∈ M; c ∈ M − IN, und M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}. Dann existiert ein I ⊆_{e} M mit

a ∈ I < b & I ⊧ IΣ_{n}.

Satz 2.2.12 Sei n > 0. Dann gilt:

(∀k ∈ IN) IΣ_{n} ⊢ (∀x, q)(∃y)[x, y] ⟶_{∗} (q)_{k}^{n+1}.

Satz 2.2.13 (i) Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, b ∈ M und n > 0. Dann gilt:

Y_{P H_{n}}(a, b) > IN ⇒ Y_{KM_{n}}(a, b) > IN.

(ii) (∀k ∈ IN) IΣ_{n} ⊢ (∀x)(∃y)[x, y] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Beweis von Satz 2.2.9 (wir zeigen 2.2.11-2.2.13 in den nachfolgenden Abschnitten): Es ist zu zeigen, daß Y_{KM_{n}}, Y_{P H_{n}}(n > 0) Indikatoren sind: Seien dazu M ⊧ IΣ_{1} und n > 0. Es gilt für c′ > c ∈ M :

M ⊧ ([x, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{c′}^{n+1}) → ([x, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}),

M ⊧ ([x, y] ⟶ (c′)_{reg}^{n+1}) → ([x, y] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}).

Daher können wir

\begin{matrix}Y_{P H_{n}}(x, y) = c :≡ & [x, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1} ∧ ¬[x, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{c+1}^{n+1}, \\ Y_{KM_{n}}(x, y) = c :≡ & [x, y] ⟶ (c)_{reg}^{n+1} ∧ ¬[x, y] ⟶ (c + 1)_{reg}^{n+1} \end{matrix}

definieren.Wir zeigen die Eigenschaften (Y1)-(Y3) aus Definition 2.1.1: (Y1): Mit Lemma 2.2.8 sind beide Formeln in Σ_{1}. Für alle a, b ∈ M gilt

M ⊧ [a, b] ⟶ (0)_{reg}^{n+1} ∧ [a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{0}^{n+1}

sowie für c_{1} := b − a + 1, c_{2} := \binom{b−a}{n+1}

M ⊧ ¬([a, b] ⟶ (c_{1})_{reg}^{n+1}) ∧ ¬([a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{c_{2}}^{n+1}).

Mit LΣ_{1} existieren damit minimale c_{0}, c_{1} > 0 mit

M ⊧ ¬([a, b] ⟶ (c_{0})_{reg}^{n+1}) ∧ ¬([a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{c_{1}}^{n+1}).

Somit sind Y_{KM_{n}} und Y_{P H_{n}} : M^{2} ⟶ M totale Funktionen. (Y2): Die Monotonieeigenschaft folgt unmittelbar aus der Definition von Y_{KM_{n}} und Y_{P H_{n}}, da bei einer Vergrößerung des Ausgangsintervalls die Partitionseigenschaften erhalten bleiben. (Y3): Zu zeigen ist für alle a < b ∈ M :

Y (a, b) > IN ⇔ ∃ I ⊆_{e} M (a ∈ I < b & I ⊧ IΣ_{n}).

Seien also a < b ∈ M

”⇒“ (a): Sei Y_{KM_{n}}(a, b) > IN. Dann liefert Satz 2.2.11 sofort die Behauptung. (b): Sei Y_{P H_{n}}(a, b) > IN. Mit Satz 2.2.13 folgt Y_{KM_{n}}(a, b) > IN. Wieder folgt mit Satz 2.2.11 die Behauptung.

”⇐“ Seien I ⊆_{e} M; a ∈ I < b und I ⊧ IΣ_{n}. Mit Satz 2.2.12 gilt dann:

(∀k ∈ IN) I ⊧ (∃y)[a, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{k}^{n+1}

Wegen I ⊆_{e} M und I < b folgt mit Aufwärtspersistenz

(∀k ∈ IN) M ⊧ (∃y < b)[a, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{k}^{n+1}.

Mit Overspill (1.5.2) existiert ein c ∈ M − IN so daß

M ⊧ (∀z ≤ c)(∃y < b)[a, y] ⟶_{∗} (n + 2)_{z}^{n+1}, daraus folgt

M ⊧ [a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}

und schließlich Y_{P H_{n}}(a, b) > IN.

Mit Satz 2.2.13 ist dann auch Y_{KM_{n}}(a, b) > IN. □

Wir schließen nun die Lücke im Beweis von 2.1.2 (i) und beweisen damit Korollar 2.2.10: Seien dazu n > 0 und k ∈ IN : Wir zeigen

(i) IΣ_{n} ⊢ (∀x)(∃y)(Y_{P H_{n}}(x, y) ≥ k)

(ii) IΣ_{n} ⊢ (∀x)(∃y)(Y_{KM_{n}}(x, y) ≥ k).

Seien M ⊧ IΣ_{n} und a ∈ M. Satz 2.2.12 liefert ein b mit

[a, b] ⟶ (n + 2)_{k}^{n+1}.

Damit ist Y_{P H_{n}}(a, b) ≥ k und (i) ist bewiesen. Satz 2.2.13 liefert ein b′ ∈ M mit

[a, b′] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Damit folgt (ii) und das Korollar ist bewiesen. □

2.3 Die Unabhängigkeitsaussage (2.2.11)

Im folgenden Abschnitt zeigen wir, wo die Grenze der Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n} (n > 0) im Sinne der Kanamori-McAloon-Prinzipien liegt: Die Partitionseigenschaft

M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}; c ∈ M − IN

ist stark genug, ein Modell von IΣ_{n} zwischen a und b zu legen. Der Beweis von Satz 2.2.11 wird mit Hilfe von Ununterscheidbaren geführt. Hierzu zunächst einige Definitionen:

Definition 2.3.1 Zu n ∈ IN gibt es ein primitiv rekursives Prädikat Form_{Δ_{0},n}(x) mit folgenden Eigenschaft: Für φ ∈ L_{A} gilt:

φ ∈ Δ_{0} und FV(φ) ⊆ {v_{1}, …, v_{n}} ⇔ IΣ_{1} ⊢ Form_{Δ_{0},n}( φ ).

Sei nun φ_{n}(x) := \{ \begin{matrix}x; \\ v_{1} = v_{1} ; \end{matrix} falls Form_{Δ_{0},n}(x). sonst

Damit ist φ_{n}(x) primitiv rekursiv und zählt alle Δ_{0}-Formeln in höchstens n Variablen auf (n > 0). Sei weiter φ_{n,i} die i-te Formel gemäß dieser Aufzählung, d.h. φ_{n,i} = φ_{n}(i).

Um die Lesbarkeit des folgenden Abschnittes zu verbessern, wollen wir abweichend von der bisherigen Konvention mit H, H_{0}, H_{1}, \overline{H}, … in diesem Abschnitt stets ”endliche “Mengen (H ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}) im Sinne von Definition 1.3.22 bezeichnen.

Definition 2.3.2 (IΣ_{1}) (Ununterscheidbare) Seien M ⊧ IΣ_{1}; n, e ∈ IN und H ⊆_{fin} M. Die Elemente von H heißen Ununterscheidbare für die ersten (e + 1) Δ_{0}- Formeln in höchstens n + 1 Variablen :⇔ Für alle c_{0} < c_{1} < … < c_{n}; c_{0} < d_{1} < … < d_{n} ∈ H; p < c_{0} ∈ M; und i ≤ e gilt:

M ⊧ φ_{n+1,i}(p, c_{1}, …, c_{n}) ↔ φ_{n+1,i}(p, d_{1}, …, d_{n}).

Mit Hilfe des Erfüllungsprädikates Sat_{Δ_{0}} gibt es eine Δ_{1}-Definition dieses Begriffes:

θ_{n}(x, z) :≡ Seq(x) ∧ (∀i < j < lh(x))((x)_{i} < (x)_{j}) ∧ (∀i_{0} < … < i_{n} < lh(x))(∀j_{1} < … < j_{n} < lh(x)) (∀p < (x)_{i_{0}})(∀i ≤ z)(i_{0} < j_{1} → (Sat_{Δ_{0}}(φ_{n+1}(i), [(x)_{i_{1}}, .., (x)_{i_{n}}, p]) ↔ Sat_{Δ_{0}}(φ_{n+1}(i), [(x)_{j_{1}}, .., (x)_{j_{n}}, p]))). Damit ist der Begriff Ununterscheidbare für die ersten (e + 1) Formeln auch sinnvoll für ein e > IN.

Der nächste Satz zeigt, wie Ununterscheidbare die gewünschten Modelle liefern:

Satz 2.3.3 Seien M ⊧ IΣ_{1}; n > 0; e ∈ M−IN und c ⊆_{fin} M eine Menge von Ununterscheidbaren für die ersten e Δ_{0}-Formeln in höchstens n+1 Variablen mit lh(c) > IN und ∀i ∈ IN ((c)_{i}^{2} < (c)_{i+1}). Sei weiter I := {x ∈ M | x < (c)_{i} für ein i ∈ IN}. Dann gilt:

I ⊧ IΣ_{n}.

Beweis: (i): I ist eine L_{A}-Struktur: Seien x, y ∈ I, ohne Einschränkung x ≤ y und x > 0. Dann existiert j ∈ IN mit x < (c)_{j}, y < (c)_{j}. Dann gilt: x+y ≤ y+y < (c)_{j} +(c)_{j} ≤ (c)_{j+1}^{2} < (c)_{j+2}. Damit ist x + y ∈ I. Analog zeigen wir x ∗ y ∈ I. (ii): I ⊧ IΔ_{0}. Dies folgt aus I ⊆_{e} M, M ⊧ IΔ_{0}, (i), der Tatsache, daß IΔ_{0} Π_{1}-axiomatisier-bar ist und Abwärtspersistenz. (iii): Sind p ∈ M; i_{0} < i_{1} < … < i_{n} und p < (c)_{i_{0}}, so sind für θ(x⃗, y) ∈ Δ_{0} aufgrund der Eigenschaft der Ununterscheidbaren und mit θ(x⃗, y) < e äquivalent:

- (∃i_{1} > i_{0} ∈ IN) M ⊧ θ((c)_{i_{1}}, (c)_{i_{1}+i_{2}}, … (c)_{i_{1}+i_{n}}, p)
- (∀i_{1} > i_{0} ∈ IN) M ⊧ θ((c)_{i_{1}}, (c)_{i_{1}+i_{2}}, … (c)_{i_{1}+i_{n}}, p)
- M ⊧ θ((c)_{i_{0}+1}, (c)_{i_{0}+2}, … (c)_{i_{0}+n}, p).

(iv): Für Δ_{0}-Formeln θ(x_{1}, …, x_{n}, y), p ∈ I und i_{0} ∈ IN mit p < (c)_{i_{0}} gilt:

I ⊧ (∃x_{1})(∀x_{2}) … (Qx_{n})θ(x_{1}, …, x_{n}, p)
⇔ I ⊧ (∃x_{1} < c_{i_{0}+1})(∀x_{2} < c_{i_{0}+2}) … (Qx_{n} < c_{i_{0}+n})θ(p, x_{1}, …, x_{n}).

Durch Induktion nach n beweisen wir simultan auch die duale Behauptung für Π_{n}-Formeln:

1. n = 1 : Aufgrund der Definition von I gilt

I ⊧ (∃x_{1})θ(x_{1}, p)

⇔ es existiert i_{1} > i_{0} ∈ IN mit

I ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{1}})θ(x_{1}, p).

Wegen I ⊆_{e} M ist dies äquivalent zur Existenz von i_{1} > i_{0} ∈ IN mit

M ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{1}})θ(x_{1}, p)

und mit (iii) folgt

⇔ M ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})θ(x_{1}, p)
⇔ I ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})θ(x_{1}, p).

Analog beweist man dies für Π_{1}-Formeln.

2. n ⇝ n + 1 :

I ⊧ (∃x_{1})(∀x_{2}) … (Qx_{n+1})θ(x⃗, p)

⇔ Es existieren i_{1} > i_{0} ∈ IN, x_{1} < (c)_{i_{1}} mit

I ⊧ (∀x_{2}) … (Qx_{n+1})θ(x⃗, p).

Mit einer Kodierung nach Lemma 1.2.2 (I ist Modell von IΔ_{0}) erhalten wir für ein geeignetes θ′ : ⇔ Es existieren i_{1} > i_{0} ∈ IN, x_{1} < (c)_{i_{1}} mit

I ⊧ (∀x_{2}) … (Qx_{n+1})θ′(x_{2}, …, x_{n+1}, (p, x_{1}))

Mit (p, x_{1}) < (c)_{i_{1}+l} für ein l ∈ IN (mit (i) ist I abgeschlossen unter + und ∗) ist mit I.V.: ⇔ Es existieren i_{1} > i_{0} ∈ IN, x_{1} < (c)_{i_{1}} mit

I ⊧ (∀x_{2} < (c)_{i_{1}+l+1}) … (Qx_{n+1} < (c)_{i_{1}+l+n})θ′(x_{2}, …, x_{n+1}, (p, x_{1})).

⇔ Es existieren i_{1} > i_{0} ∈ IN, x_{1} < (c)_{i_{1}} mit

M ⊧ (∀x_{2} < (c)_{i_{1}+l+1}) … (Qx_{n+1} < (c)_{i_{1}+l+n})θ(x_{1}, …, x_{n+1}, p).

⇔ Es existiert i_{1} > i_{0} ∈ IN mit

M ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{1}})(∀x_{2} < (c)_{i_{1}+l+1}) … (Qx_{n+1} < (c)_{i_{1}+l+n})θ(x_{1}, …, x_{n+1}, p)

mit (iii) ist dies schließlich äquivalent zu

M ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})(∀x_{2} < (c)_{i_{0}+2}) … (Qx_{n+1} < (c)_{i_{0}+n})θ(x_{1}, …, x_{n+1}, p).

Der duale Fall wird analog bewiesen.

(v): Wir zeigen zunächst: I ⊧ LΣ_{n}. Sei φ(z, y⃗) ∈ Σ_{n}. Für ein θ ∈ Δ_{0} ist φ(z, y⃗) ≡ (∃x_{1})(∀x_{2}) … (Qx_{n})θ(z, x⃗, y⃗). Weiter sei p⃗ ∈ I und es gelte für ein a ∈ I ⊧ φ(a, p⃗). Da I ⊧ IΔ_{0} ist, können die Parameter a, p⃗ nach Lemma 1.2.2 zusammenkodiert werden und es gibt ein θ′(x⃗, y) ∈ Δ_{0}, so daß

I ⊧ φ(a, p⃗) ⇔ I ⊧ (∃x_{1})(∀x_{2}) … (Qx_{n})θ′(x⃗, (p⃗, a)).

Für ein i_{0} ∈ IN mit (p⃗, a) < (c)_{i_{0}} gilt dann nach (iv):

I ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})(∀x_{2} < (c)_{i_{0}+2}) … (Qx_{n} < (c)_{i_{0}+n})θ′(x⃗, (p⃗, a))

und damit

I ⊧ ∃z[(∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})(∀x_{2} < (c)_{i_{0}+2}) … (Qx_{n} < (c)_{i_{0}+n})θ(z, x⃗, p⃗)].

Die Formel in […] ist Δ_{0} und mit I ⊧ IΔ_{0} existiert ein minimales solches a_{0} ∈ I. Mit (iv) folgt I ⊧ φ(a_{0}, p⃗).Wäre dieses a_{0} nicht minimal in I, so gäbe es ein a′_{0} < a_{0} mit I ⊧ φ(a′_{0}, p⃗). Dann ist auch (p⃗, a′_{0}) < (c)_{i_{0}} und mit (iv) folgt

I ⊧ (∃x_{1} < (c)_{i_{0}+1})(∀x_{2} < (c)_{i_{0}+2}) … (Qx_{n} < (c)_{i_{0}+n})θ(a′_{0}, x⃗, p⃗).

Widerspruch. Mit IΣ_{n} = LΣ_{n} folgt die Behauptung. □

Satz 2.2.12 können wir also beweisen, indem wir eine Folge von Ununterscheidbaren einer Länge c > IN erzeugen. Dies erreichen wir, indem wir die min-homogenen Mengen einer geeigneten regressiven Funktion betrachten. Vorher müssen einige Hilfsfunktionen eingeführt werden, da die Ununterscheidbaren ”weit auseinander liegen“ sollen: um Satz 2.3.3 anwenden zu können, müssen die Ununterscheidbaren z.B. die Eigenschaft haben, daß für alle i ∈ IN gilt: (c)_{i}^{2} < (c)_{i+1}.

Lemma 2.3.4 Seien M ⊧ IΣ_{1} und a < b ∈ M. Dann gibt es ν_{1}, ν_{2}, ν_{3}, g ∈ M, so daß gilt:

(i) ν_{1}, ν_{2}, ν_{3} und g sind Kodes von Funktionen: [a, b]^{2} → b mit:

ν_{1}(x, y) = \{ \begin{matrix}0; & falls x + x ≤ y \\ y − x; & sonst \end{matrix}

ν_{2}(x, y) = \{ \begin{matrix}0; & falls x ∗ x ≤ y \\ u; & für u ∗ x ≤ y ≤ (u + 1) ∗ x \end{matrix}

ν_{3}(x, y) = \{ \begin{matrix}0; & falls x^{x} ≤ y \\ u; & für x^{u} ≤ y ≤ x^{(u+1)} \end{matrix}

g(x, y) = \{ \begin{matrix}0; & falls ν_{i}(x, y) = 0 für i = 1, 2, 3 \\ i; & falls i = min\{ j | ν_{j}(x, y) ≠ 0\}. \end{matrix}

(ii) ν_{i}, g sind regressive Funktionen.

(iii) Ist H ⊆_{fin} M min-homogen für ν_{1}, ν_{2}, ν_{3}, homogen für g und sind h_{1}, h_{2}, h_{3} die größten Elemente von H, so gilt für H′ := H\{h_{1}, h_{2}, h_{3}} :

- x < y ∈ H′ ⇒ g(x, y) = 0

- x < y ∈ H′ ⇒ x^{x} ≤ y.

Beweis: (i): Die Kodes existieren nach Lemma 1.3.24. (ii) ist klar. (iii): Angenommen, g wäre auf H konstant 1. Dann existieren x < y ∈ H′ mit ν_{1}(x, y) ≠ 0. Da H min-homogen ist, folgt

y − x = ν_{1}(x, y) = ν_{1}(x, h_{3}) = y − h_{3}

und damit x = h_{3}. Widerspruch. Angenommen, g wäre auf H konstant 2. Wieder existieren x < y ∈ H′ mit ν_{2}(x, y) ≠ 0. Dann ist ν_{2}(x, y) = ν_{2}(x, h_{2}) = u > 0 und für dieses u ist

u ∗ x ≤ y < h_{2} ≤ (u + 1) ∗ x.

Mit ν_{1}(y, h_{2}) = 0 folgt

(u + 1) ∗ x ≤ x + y < y + y ≤ h_{2},

d.h. h_{2} < h_{2}. Widerspruch. Ist schließlich g auf H konstant 3, so existieren x < y ∈ H′ mit ν_{3}(x, y) ≠ 0. Dann ist ν_{3}(x, y) = ν_{3}(x, h_{1}) = u > 0 und für dieses u ist

x^{u} ≤ y < h_{1} ≤ x^{u+1}.

Mit ν_{2}(y, h_{1}) = 0 folgt

x^{u+1} ≤ x ∗ y < y ∗ y ≤ h_{1},

d.h. h_{1} < h_{1}. Widerspruch. Die zweite Eigenschaft folgt sofort aus der Definition von ν_{3}. □

Definition 2.3.5 (Kodierung von (0,1)-Folgen)

≪s≫= y :≡ (s ∉ 2^{<ω} ∧ y = 0) ∨ (s ∈ 2^{<ω} ∧ y = Σ_{i<lh(s)}2^{i}(s)_{i}).

Lemma 2.3.6 (i) IΣ_{1} ⊢ (∀s ∈ 2^{<ω})(∃!y)(≪s≫= y).

(ii) IΣ_{1} ⊢ (∀s ∈ 2^{<ω})(≪s≫< 2^{lh(s)}).

Beweis: Induktion nach lh(s). □

Mit Hilfe dieser Kodierung werden wir nun den Kode einer Funktion f definieren, die für x_{0} < … < x_{n} ∈ [a, b] und k ∈ IN die Wahrheitswerte aller Sätze φ_{n,i}(x_{1}, …, x_{n}, p) mit p < x_{0} ∈ M und i ≤ k kodiert. Für alle x_{0} ∈ [a, b], k ∈ IN muß f eine (0,1)-Folge der Länge (k + 1) ∗ x_{0} kodieren, diese kann mit 2.3.6 (ii) als maximalen Wert 2^{(k+1)x_{0}} − 1 annehmen. Damit f regressiv wird, muß nun die Anzahl der Parameter p beschränkt werden. Dies wird mit Hilfe einer primitiv rekursiven Funktion γ erreicht, die zu gegebenen x_{0} und k das maximale z bestimmt mit 2^{(k+1)z} < x_{0}:

Definition 2.3.7 γ(x, y) = z : ≡ 2^{(y+1)z} < x ∧ 2^{(y+1)(z+1)} ≥ x.

Lemma 2.3.8 (i) IΣ_{1} ⊢ (∀x, y)(∃!z)γ(x, y) = z.

(ii) (∀k ∈ IN) IΣ_{1} ⊢ (∀x)(∀s ∈ 2^{<ω})(lh(s) ≤ (k + 1) ∗ γ(x, k) →≪s≫< x).

Beweis: (i) ist klar. (ii): Seien k, x und s laut Voraussetzung gegeben. Dann ist

≪s≫< 2^{lh(s)} ≤ 2^{(k+1)∗γ(x,k)} < x

aufgrund der Definition von γ. □ Der nächste Satz zeigt, wie mit der Voraussetzung M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1} für ein c > IN Folgen von Ununterscheidbaren beliebiger Länge k ∈ IN erzeugt werden können.

Satz 2.3.9 Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, b, c ∈ M; c ∈ M − IN, n, k ∈ IN; und gelte M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}. Dann existiert eine Menge H ∈ [a, b]^{k} von Ununterscheidbaren für die ersten (k + 1) Δ_{0}-Formeln in höchstens n + 1 Variablen.

Beweis: Für jedes x_{0} ∈ [a, b] sei α_{x_{0}} der Kode einer Bijektion:

α_{x_{0}} : {j | j < (k + 1)γ(x_{0}, k)} ↔ {(i, p) | i ≤ k, p < γ(x_{0}, k)}.

Weiter sei f ∈ M der Kode der Funktion

f : [a, b]^{n+1} ⟶ b

⟨x_{0}, …, x_{n}⟩ ↦≪⟨s_{0}, …, s_{((k+1)γ(x_{0},k)− · 1)}⟩≫ wobei

(s)_{j} := \{ \begin{matrix}0; & M ⊧ φ_{n,i}(x_{1}, …, x_{n}, p) mit i = (α_{x_{0}}(j))_{0}, p = (α_{x_{0}}(j))_{1} \\ 1; & sonst \end{matrix} sei.

Dieses f existiert nach Lemma 1.3.24, und zwar mit

θ(x, y) :≡ (∃s ∈ 2^{<ω})(lh(s) = (k + 1)γ(x_{0}, k)∧
y =≪s≫ ∧(∀i ≤ k + 1)(∀p < γ(x_{0}, k))
((s)_{α^{−1}(i,p)} = 0 ↔ Sat_{Δ_{0}}(φ_{n+1}(i), [(x)_{0}, …, (x)_{n}, p]))).

Weiter sei h ∈ M der Kode der Funktion (g, ν_{1}, ν_{2}, ν_{3} aus Lemma 2.3.4)

h : [a, b]^{n+1} ⟶ b

⟨x_{0}, …, x_{n}⟩ ↦ \{ \begin{matrix}ν_{j}(x_{0}, x_{1}); & falls g(x_{0}, x_{1}) = j > 0 \\ f(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩); & sonst. \end{matrix}

Wieder existiert h nach Lemma 1.3.24. Mit Lemma 2.3.6 und Lemma 2.3.8 ist h regressiv. Aus dem endlichen Ramseysatz 2.2.3 folgt nun, daß es ein w ∈ IN gibt mit:

IN ⊧ w ⟶ (2^{k+1} + 1 + 2k + n + 3)_{4}^{n+1}.

Bemerkung: Wir wählen gerade (2^{k+1} + 1 + 2k + n + 3)-viele Elemente, um zunächst die (n + 3)- maximalen Element auszulassen (vgl.Lemma 2.3.4 und (∗∗)), danach die ersten 2^{k+1} + 1 Element auszulassen (damit werden die verbleibenden Element echt größer als 2^{k+1}). Schließlich können wir von den übrigen 2k Elementen jedes zweite auswählen und erhalten eine Menge der Mächtigkeit k. Mit IN ⊆_{e} M und Aufwärtspersistenz folgt

(∗) M ⊧ w ⟶ (2^{k+1} + 1 + 2k + n + 3)_{4}^{n+1}.

Da c ∈ M − IN und damit c > w ist, können wir nun die Voraussetzung M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1} anwenden und erhalten eine für h min-homogene Menge \overline{H} ∈ [a, b]^{w}. Offensichtlich existiert der Kode einer Bijektion i : w ⟷ \overline{H} und wir wählen \overline{g} : [w]^{2} ⟶ 4 mit:

\overline{g}(x, y) := g(i(x), i(y)).

Mit (∗) existiert nun H′ ⊆ w homogen für \overline{g} mit |H′| = 2^{k+1} + 1 + 2k + n + 3. Betrachten wir nun das Bild von H′ unter i:

H_{0} := {i(x) |x ∈ H′},

so gilt: H_{0} ist min-homogen für h; homogen für g; H_{0} ⊆_{fin} [a, b] und |H_{0}| = 2^{k+1} + 1 + 2k + n + 3. Sind x_{1}, … x_{n+3} die n + 3 größten Elemente von H_{0}, so setzen wir:

H_{1} := H_{0}\{x_{1}, …, x_{n+3}}.

Wir zeigen:

(∗∗) H_{1} ist min-homogen für ν_{1}, ν_{2}, ν_{3}.

Angenommen, es gäbe ein i ∈ {1, 2, 3} und y < z_{1} < z_{2} ∈ H_{1} mit ν_{i}(y, z_{1}) ≠ ν_{i}(y, z_{2}). Da H_{1} homogen für g ist, gibt es zwei Fälle:

1. g(y, z_{1}) = g(y, z_{2}) > 0. Weil H_{0} min-homogen für h ist, folgt

ν_{i}(y, z_{1}) = h(y, z_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = h(y, z_{2}, x_{2}, …, x_{n}) = ν_{i}(y, z_{2}).

Das ist ein Widerspruch.

2. g(y, z_{1}) = g(y, z_{2}) = 0. Dann sind ν_{i}(y, z_{1}) = ν_{i}(y, z_{2}) für i = 1, 2, 3. Das ist ein Widerspruch und es folgt (∗∗). Lemma 2.3.4 (iii) liefert: g ist konstant 0 auf H_{1}. Nach Definition von h und g folgt nun für alle x_{0} < … < x_{n} ∈ H_{1}:

h(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩) = f(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩),

sowie für x < y ∈ H:

x^{x} ≤ y.

Sei nun H_{2} := {(H_{1})_{i} | 2^{k+1} + 1 ≤ i ≤ 2^{k+1} + 1 + 2k − 1} die Menge der 2k größten Elemente von H_{1}. Damit gilt für Elemente x < y ∈ H_{2} :

2^{k+1} < x & x^{x} ≤ y.

Also ist

2^{(k+1)∗x} < x^{x} ≤ y,

und damit

(∗ ∗ ∗) x ≤ γ(y, k).

Jetzt wählen wir jedes zweite Element von H_{2}:

H_{3} := {(H_{2})_{2i} | i < k}.

Zu zeigen bleibt: Die Elemente von H_{3} bilden die gewünschten Ununterscheidbaren.

Seien also c_{0} < … < c_{n} ; c_{0} < d_{1} < … < d_{n} ∈ H_{3}, p < c_{0}, i ≤ k. Für ein i < k ist dann c_{0} = x_{2i} und somit ist

c_{0} < x_{2i+1} < c_{1} < … < c_{n} & c_{0} < x_{2i+1} < d_{1} < … < d_{n}.

Mit (∗ ∗ ∗) folgt

c_{0} ≤ γ(x_{2i+1}, k).

Für c′_{0} := x_{2i+1} ist dann p < γ(c′_{0}, k), und somit

f(⟨c′_{0}, c_{1}, …, c_{n}⟩) = f(⟨c′_{0}, d_{1}, …, d_{n}⟩).

Aufgrund der Definition von f folgt nun

M ⊧ φ_{n+1,i}(p, c_{1}, …, c_{n}) ↔ φ_{n+1,i}(p, d_{1}, …, d_{n}).

Damit ist der Satz bewiesen. □ Nun können wir Satz 2.2.11 beweisen: Seien n > 0; M ⊧ IΣ_{1}; c ∈ M − IN und gelte M ⊧ [a, b] ⟶ (c)_{reg}^{n+1}. Sei θ_{n}(x, z) die Δ_{1}-Definition für Ununterscheidbare aus Definition 2.3.2. Mit Satz 2.3.9 folgt:

(∀k ∈ IN) M ⊧ (∃z)[θ_{n}(z, k) ∧ lh(z) = k ∧ (∀i < lh(z))(a ≤ (z)_{i} ≤ b)].

Die Formel in […] ist Σ_{1}, mit Overspill folgt daher: Es gibt ein d ∈ M − IN, so daß gilt:

M ⊧ (∃z)[θ_{n}(z, d) ∧ lh(z) = d ∧ (∀i < lh(z))(a ≤ (z)_{i} ≤ b)].

Wir wählen ein solches c ∈ M und definieren

I := {x ∈ M | x < (c)_{i} für ein i ∈ IN}.

Dann ist I ⊆_{e} M, a ∈ I < b. Der Beweis von 2.3.9 liefert (c)_{i}^{2} < (c)_{i+1} für alle i ∈ IN. Mit Satz 2.3.3 folgt dann I ⊧ IΣ_{n}. □

2.4 Die Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1} (2.2.12)

2.4.1 Motivation

In diesem Abschnitt wollen wir folgendes ”positive“ Ergebnis für die Theorie IΣ_{n} (n > 0) beweisen:

(1) (∀k ∈ IN) IΣ_{n} ⊢ (∀x, q)(∃y) [x, y] ⟶_{∗} (q)_{k}^{n+1}.

Diese Aussage kennzeichnet gewissermaßen die maximale Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n} ausgedrückt durch Paris-Harrington-Prinzipien. Daß dieses Ergebnis maximal ist wird deutlich in Zusammenhang mit Satz 2.2.11 und 2.2.13. Die Theorie beweist die Aussage für alle k ∈ IN, nicht aber die Allaussage: Es liegt ein typischer ω-Defekt vor. Um den Beweis von (1) zu motivieren, wollen wir den Beweis des Satzes

(2) (∀k ∈ IN) : P A ⊢ (∀x, z)(∃y)[x, y] ⟶_{∗} (2z)_{z}^{k}

analysieren (vgl. Kaye [15]). Hier wurde zunächst ein auf PA relativierter unendlicher Ramseysatz bewiesen:

Satz 2.4.1 Sind M ⊧ P A, c ∈ M, X ⊆ M eine unbeschränkte definierbare Teilmenge von M und ist F : [X]^{n} ⟶ c eine definierbare Funktion, so existiert eine definierbare, für F homogene, unbeschränkte Menge Y ⊆ X.

Der Beweis formalisiert im wesentlichen den Beweis des unendlichen Ramseysatzes (vgl. [9]), relativiert auf in P A definierbare Mengen und Funktionen (vgl. hierzu Definition 1.3.12). In einem zweiten Schritt wird dann die Annahme zum Widerspruch geführt, es gäbe n ∈ IN; M ⊧ P A und a, c ∈ M mit:

(3) M ⊧ (∀y)¬([a, y] ⟶_{∗} (2c)_{c}^{n}).

Denn gäbe es zu jedem b ∈ M, b > a, einen (minimalen) Kode f_{b} für eine Funktion

(4) f_{b} : [a, b]^{n} ⟶ c

ohne relativ große homogene Menge h ⊆ [a, b], so könnte eine Diagonalfunktion

F : [a, ∞)^{n+1} ⟶ c, F (x_{1}, …, x_{n+1}) := f_{x_{n+1}}(x_{1}, …, x_{n})

2.4. DIE Π_{2}-BEWEISSTÄRKE VON IΣ_{N+1} (2.2.12) 39

definiert werden. Diese Funktion hat dann mit Satz 2.4.1 eine definierbare, unbeschränkte und homogene Menge H. Wählen wir nun ein genügend großes h_{0} ∈ H, so erhalten wir leicht eine relativ große homogene Menge für f_{h_{0}} im Widerspruch zu (4). Versuchen wir im Beweis von (1) dieser Strategie zu folgen, müssen wir wesentlich genauer vorgehen: Bei einer auf IΣ_{n} relativierten Version des unendlichen Ramseysatzes dürfen wir nur von Mengen sprechen, für die IΣ_{n} genügend Eigenschaften beweisen kann. Hier ergibt sich bereits die erste Schwierigkeit. Eine Möglichkeit wäre z.B., einen solchen Satz wie folgt zu formulieren:

Ist M ⊧ IΣ_{n+k+1}, X ⊆ M unbeschränkt und Δ_{k}-definierbar; c ∈ M und F : [X]^{n} ⟶ c Δ_{k}-definierbar, so gibt es eine unbeschränkte Δ_{k+1}-definier-bare homogene Menge H ⊆ X.

Es stellt sich heraus, daß eine solche Aussage zumindest nicht analog zum unendlichen Ramseysatz bewiesen werden kann: Die Metainduktion nach n läßt die Formelkomplexitäten zu schnell ansteigen (siehe unten). Wir müssen daher einen anderen Weg einschlagen: Zunächst definieren wir (arithmetische) Mengenklassen mit guten Abschlußeigenschaften:

Definition 2.4.2 (informal) Seien Γ ⊆ L_{A} und T ⊇ IΣ_{1}. Dann ist lowΓ(T) die Klasse aller der X ∈ Γ, so daß jede Σ_{1}(X)-definierbare Menge selbst in Γ(T) ist.

Mit dieser Begriffsbildung steht uns ein starkes rekursionstheoretisches Ergebnis zur Verfügung:

Satz 2.4.3 Low-Basis-Theorem (informal, vgl. [13], S.92, 3.10 (2) und (5)):

- (k = 1) : Jeder Δ_{1}-definierbare unbeschränkte Δ_{1}-majorisierte Baum hat einen lowΔ_{2} -definierbaren unbeschränkten Pfad.

- (k ≥ 2) : Jeder lowΔ_{k}-definierbare unbeschränkte endlich verzweigte Baum hat einen lowΔ_{k+1}-definierbaren unbeschränkten Pfad.

Es zeigt sich, daß die Formelklasse lowΔ_{n} (n > 1) zu komplex ist, um einen geeigneten unendlichen Ramseysatz in IΣ_{n} zu beweisen, da in IΣ_{n} i.a. keine Induktion über Δ_{n+1}- Formeln zur Verfügung steht. Daher führen wir eine Teilklasse Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) ⊆ Δ_{n+1} (n > 1) ein (vgl. Definition 2.4.20), über die in IΣ_{n} Induktion geführt werden kann. Das Low-Basis-Theorem wird dann in einer auf diese Mengenklassen zugeschnittenen Formulierung bewiesen.

Nun sind wir in der Lage, eine abgeschwächte, aber ausreichende Version des unendlichen Ramseysatzes für IΣ_{n} zu beweisen:

Satz 2.4.4 Seien n, k, m ∈ IN; n, m > 0, M ⊧ IΣ_{m+n−1}; q ∈ M; X ⊆ M unbeschränkt, G : [X]^{n+1} ⟶ k, beide lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m})-definierbar. Dann existiert eine relativ große homogene Menge h ⊆_{fin} M der Mächtigkeit q.

Um die Idee, die dem Beweis dieses Satzes zugrunde liegt zu verstehen, wollen wir uns die Situation im Induktionsschritt des Beweises des unendlichen Ramseysatzes vergegenwärtigen: Gegeben ist eine Funktion

G : [X]^{n+1} ⟶ k.

Die Suche nach einer für G homogenen relativ großen Menge der Mächtigkeit q wird zurückgeführt auf die Suche nach einer solchen für eine Funktion

H : [X′]^{n} ⟶ k; H(x_{1}, …, x_{n}) := G(x_{1}, …, x_{n+1}) mit x_{n+1} > x_{n}.

Dabei muß X′ ⊆ X folgende Eigenschaft haben (damit ist G auch wohldefiniert):

(∗) Für alle x_{1} < … < x_{n} ∈ X′; y_{1}, y_{2} ∈ X′ mit y_{1}, y_{2} > x_{n} gilt

G(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}) = G(x_{1}, …, x_{n}, y_{2}).

Damit die Induktionsvoraussetzung angewendet werden kann, muß die Menge X′ unbeschränkt sein. An dieser Stelle werden die Schwierigkeiten bei der oben beschriebenen Version eines auf IΣ_{n} relativierten Ramseysatzes deutlich: Eine Formel, die X′ definiert, muß eine Klausel enthalten, die sicherstellt, daß X′ ebenfalls unbeschränkt ist; dies leistet z.B. die Formel (∀x)(∃y)(y ∈ X ∧ x ≤ y), jedoch können die Quantoren i.a. nicht beschränkt werden. Diese Klausel ist notwendig Π_{2}(X) – ein Indiz dafür, daß die Formelkomplexität zu schnell ansteigt. Die Induktionsvoraussetzung liefert nun eine relativ große, für H homogene Menge der Mächtigkeit q, diese ist wegen (∗) schon homogen für G. Eine Menge mit der Eigenschaft (∗) nennen wir prähomogen für G. In unserem Fall betrachten wir nun zu gegebener Menge X und Funktion G : [X]^{n+1} ⟶ c, beide lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m})-definierbar, den Baum aller aufsteigenden prähomogenen Folgen (d.h. die Menge der Folgenglieder ist prähomogen) von Elementen aus X. Für einen gewissen endlich verzweigten Teilbaum erhalten wir mit dem Low-Basis-Theorem einen lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m+1}) definierbaren, unendlichen Pfad. Dieser Pfad bestimmt nun die gesuchte prähomogene Menge und wir können die oben beschriebene Funktion G konstruieren. Da die Formelkomplexität nur um eins zugenommen hat, können wir die I.V. anwenden und erhalten eine für G relativ große homogene Menge der Mächtigkeit q. Diese ist nach Konstruktion auch homogen für F. In einem zweiten Schritt wird nun wieder die Annahme zum Widerspruch geführt, zu M ⊧ IΣ_{n} gäbe es a, q ∈ M und k ∈ IN so daß gilt:

M ⊧ (∀y)¬([a, y] ⟶_{∗} (q)_{k}^{n+1})

Hierzu betrachten wir einen von den Funktionen ohne relativ große homogene Menge induzierten Baum. Mit Hilfe des Low-Basis-Theorems erhalten wir einen lowΣ_{0}^{F} (Σ_{1})-definierbaren unendlichen Pfad. Dieser bestimmt eine Funktion

F : [a, ∞)^{n+1} ⟶ k

ohne relativ große homogene Menge der Mächtigkeit q. Dies ist ein Widerspruch zu Satz 2.4.4. Im folgenden wollen wir eine Theorie der lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m})- definierbaren Mengen entwickeln, das Low-Basis-Theorem in IΣ_{n} beweisen und damit schließlich Satz 2.2.12 beweisen.

2.4.2 Arithmetisierung definierbarer Relationen

Die Definition lowΓ enthält Begriffe wie Σ_{1}(φ)-definierbar. Zunächst wollen wir diese Begriffe exakt formulieren, um im zweiten Schritt eine Arithmetisierung vornehmen zu können. Dies ist notwendig, um das Low-Basis-Theorem zu beweisen und einige günstige Eigenschaften der Klasse lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) zu zeigen. Zunächst also folgende Definition:

Definition 2.4.5 Seien φ, F Formeln aus L_{A} mit FV(φ) ⊆ {x_{1}, …, x_{n}} und FV(F) = {x, y}. Induktiv definieren wir folgende Formelklassen:

(i) Σ_{0}(φ) :

- Sind t_{1}, …, t_{n} Terme aus L_{A}, so ist φ(t_{1}, …, t_{n}) in Σ_{0}(φ)

- Alle Atomformeln aus L_{A} sind in Σ_{0}(φ)

- Σ_{0}(φ) ist abgeschlossen unter ¬, ∨, ∧ sowie beschränkten Quantoren.

(ii) Σ_{0}^{F} (φ) definieren wir wie Σ_{0}(φ) mit einer weiteren Klausel:

- Sind ψ ∈ Σ_{0}^{F} (φ), x ≢ y und x ∉ BV(φ), so sind auch (∃x ≤ F (y))φ :≡ (∃z)(F (y, z) ∧ (∃x ≤ z)φ) und (∀x ≤ F (y))φ :≡ (∃z)(F (y, z) ∧ (∀x ≤ z)φ) in Σ_{0}^{F} (φ).

(iii) Σ_{1}(φ) := {(∃x)ψ | ψ ∈ Σ_{0}(φ), x ∉ BV(ψ)} Π_{1}(φ) := {(∀x)ψ | ψ ∈ Σ_{0}(φ), x ∉ BV(ψ)}.

(iv) Ist T eine Theorie, so sei ψ ∈ Δ_{1}(φ)(T), falls es Formeln σ ∈ Σ_{1}(φ) sowie π ∈ Π_{1}(φ) gibt mit T ⊢ ψ ↔ σ ↔ π.

(v) Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) :

- Alle Atomformeln aus L_{A} sind in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}).

- Alle Formeln φ ∈ Σ_{n} sind in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}).

- Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) ist abgeschlossen unter Junktoren, beschränkten Quantoren und Quantoren der Form (Qx ≤ F (y))φ.

Bemerkung: Ist ψ ∈ Σ_{0}^{(F)}(Σ_{n}), so gibt es ein φ ∈ Σ_{n} mit ψ ∈ Σ_{0}^{(F)}(φ).

Diese Begriffe lassen sich gut formalisieren, wenn die Formel φ aus der obigen Definition genau eine freie Variable enthält. Mit Lemma 1.2.2 finden wir zu jeder Formel φ mit FV(φ) = {x_{1}, …, x_{n}} eine Formel φ̃ und einen Term t, so daß FV(φ̃) = {z} und IΣ_{1} ⊢ φ ↔ φ̃_{z}(t) gelten. Damit können wir mit Hilfe einer um ein einstelliges Prädikatszeichen Z, und um ein einstelliges Funktionszeichen F erweiterten Sprache die Syntax von Definition 2.4.5 formalisieren:

Definition 2.4.6 (i) L_{A,F,X} := L_{A} ∪ {Z, F}.

Die Terme von L_{A,F,X} sind genau die Terme von L_{A}. Die Formelklasse Σ_{0}^{F}(Z) ⊆ L_{A,F,X} wird induktiv definiert:

- t = s, t < s, Z(t) sind Atomformeln aus Σ_{0}^{F}(Z), falls t und s Terme aus L_{A} sind.

- Σ_{0}^{F}(Z) ist abgeschlossen unter den Booleschen Junktoren und beschränkten Quantoren.

- Sind φ ∈ Σ_{0}^{F}(Z), x ∉ BV (φ) und x ≢ y, so sind auch (∀x ≤ F(y))φ und (∃x ≤ F(y))φ in Σ_{0}^{F}(Z).

(ii) Σ_{0}(Z) ⊆ Σ_{0}^{F}(Z) wird anlalog zu (i ) ohne dritte Klausel definiert.

(iii) φ ∈ Σ_{1}(Z) :⇔ Für ein ψ ∈ Σ_{0}(Z) ist φ ≡ (∃x)ψ. Analog wird Π_{1}(Z) definiert.

(iv) Für Formeln φ, F ∈ L_{A} mit FV(φ) ⊆ {x_{1}, …, x_{n}}, FV(F) = {x, y} wird eine Übersetzung definiert (mit φ̃ gemäß Lemma 1.2.2):

∗_{φ,F} : Σ_{0}^{F}(Z)  ⟶ L_{A}
∗_{φ,F} : t = s  ⟼ t = s
t < s  ⟼ t < s
Z(t)  ⟼ φ̃(t)
φ_{∨}^{∧}ψ  ⟼ φ^{∗_{φ,F}} _{∨}^{∧}ψ^{∗_{φ,F}}
¬φ  ⟼ ¬(φ)^{∗_{φ,F}}
(Qx ≤ y)φ  ⟼ (Qx ≤ y)φ^{∗}
(Qx ≤ F(y))φ ⟼ (∃z)(F (y, z) ∧ (Qx ≤ z)φ^{∗_{φ,F}})

(v) Analog definieren wir ^{∗_{φ}} : Σ_{0}(Z) → L_{A} ohne die letzte Klausel.

(vi) Weiter definieren wir ^{∗_{φ}} : Σ_{1}(Z) → L_{A}:

((∃x)χ)^{∗_{φ}} ↦ (∃x)χ^{∗_{φ}} (χ ∈ Σ_{0}(Z)).

Offensichtlich ist es möglich, in IΣ_{1} die Syntax der erweiterten Sprache zu arithmetisieren; insbesonders haben wir Prädikate (vgl.Satz 1.3.26)

At Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(x), Form_{Σ_{0}(Z)}(x), Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(x), Form_{Σ_{1}(Z)}(x) ∈ Δ_{1}(IΣ_{1})

mit entsprechenden (in IΣ_{1} beweisbaren) Eigenschaften. Weiter haben wir ∗_{φ,F} als primitiv rekursive Funktion auf den Kodes von Σ_{0}^{F}(Z)- Formeln und erhalten folgendes Lemma:

Lemma 2.4.7 Sind φ ∈ L_{A} und ψ ∈ Σ_{0}^{F} (φ) (bzw.Σ_{0}(φ)) mit FV(ψ) ⊆ {x_{1}, …, x_{n}}, so existiert ein χ ∈ Σ_{0}^{F}(Z) (bzw.Σ_{0}(Z)) mit FV(χ) = FV(ψ) und

IΣ_{1} ⊢ ψ ↔ χ^{∗_{φ,F}} .

Beweis: Induktion nach dem Aufbau von ψ:

1. ψ ≡ φ(t_{1}, …, t_{n}) : Mit Lemma 1.2.2 gibt es einen Term t ∈ L_{A}, so daß

IΣ_{1} ⊢ φ(t_{1}, …, t_{n}) ↔ φ̃(t).

Da ψ ≡ φ(t_{1}, …, t_{n}) und φ̃(t) ≡ (Z(t))^{∗_{φ,F}} sowie FV{t_{1}, …, t_{n}} = FV{t} sind, folgt die Behauptung.

2. ψ ≡ (∀x ≤ F (x_{i}))ψ_{0} ≡ (∃z)(F (x_{i}, z) ∧ (∀x ≤ z)ψ_{0}) für ein i ∈ {1, … n}. Nach I.V. existiert zu ψ_{0} ein χ_{0} ∈ Σ_{0}^{F}(Z) mit den entsprechenden Eigenschaften. Weil (∃z)(F (x_{i}, z) ∧ (∀x ≤ z)(χ_{0})^{∗_{φ,F}}) ≡ (∀x ≤ F (x_{i}))χ_{0}^{∗_{φ,F}} ist, folgt mit der I.V. die Behauptung. Die übrigen Fälle folgen sofort mit der I.V. □ Als Korollar erhalten wir damit:

Korollar 2.4.8 Ist ψ ∈ Σ_{1}(φ), so gibt es ein χ ∈ Σ_{1}(Z) mit

IΣ_{1} ⊢ ψ ↔ χ^{∗_{φ}}.

Beweis: ψ ∈ Σ_{1}(φ), d.h. für ein θ ∈ Σ_{0}(φ) und ein x ∉ BV(ψ) ist

ψ ≡ (∃x)θ(x).

Mit Lemma 2.4.7 existiert ein χ_{0}(x) ∈ Σ_{0}(Z) mit FV(χ) = FV(θ), so daß

IΣ_{1} ⊢ θ ↔ χ^{∗_{φ}}.

Damit gilt

IΣ_{1} ⊢ (∃x)θ(x) ↔ ((∃x)χ_{0})^{∗_{φ}},

und χ :≡ (∃x)χ_{0} leistet das Gewünschte. □

Das folgende Lemma liefert eine Schranke für den Wert eines Termes in Abhängigkeit seines Kodes und der Belegung der freien Variablen:

Lemma 2.4.9 IΣ_{1} ⊢ (∀t, p, r, e)(Term(t) ∧ Bel(e, t) ∧ max(e) ≤ r ∧ r ≥ 2 ∧ t < p → Val(t, e) < r^{p}).

Beweis: Wir zeigen durch Induktion nach lh(t) (der Länge der von t kodierten Zeichenreihe):

(∗) Val(t, e) ≤ r^{lh(t)}.

1. lh(t) = 1. Dann ist entweder t = 0 und damit Val(t, e) = 0 ≤ r. Oder es ist Var(t) und damit Val(t, e) = e(t) ≤ max(e) ≤ r.

2. lh(t) > 1. Es gibt t_{1}, t_{2} ≤ t mit t = t_{1} + t_{2} . Dann ist lh(t) > lh(t_{1})+lh(t_{2}) und es gilt: Val(t, e) = Val(t_{1}, e) + Val(t_{2}, e) ≤_{I.V.} r^{lh(t_{1})} + r^{lh(t_{2})} ≤_{(r≥2)} r^{lh(t_{1})} ∗ r^{lh(t_{2})} = r^{lh(t_{1})+lh(t_{2})} ≤ r^{lh(t)}. Die anderen Fälle (S und ∗) werden analog bewiesen. Da lh(t) ≤ t < p ist, folgt aus (∗) die Behauptung. □

Nachdem wir mit Hilfe der erweiterten Sprache die Syntax von Definition 2.4.5 beschreiben können, wollen wir uns nun ihrer Semantik zuwenden. Hierzu wollen wir für bestimmte definierbare Funktionen F ein partielles Erfüllungsprädikat P Sat_{Σ,0}^{F} ∈ L_{A} definieren, mit dessen Hilfe wir Formeln aus Σ_{0}^{F}(Z) so interpretieren können, daß den syntaktischen Zeichen Z und F die intendierte Bedeutung zukommt: P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) treffe zu, falls q die Wahrheitswerte aller Σ_{0}^{F}(Z)- Formeln mit Kode ≤ p bei Belegung der (Kodes von) freien Variablen durch Werte ≤ r, Interpretation der Mengenvariable Z durch die (0-1)-Folge s gemäß

Z(t) ↔ (s)_{t} = 0

und Interpretation des Zeichens F durch F kodiert. Bei beschränkten Quantoren der Form (Qy ≤ F(x)) muß q auf F (x) viele ”frühere Werte“ zurückgreifen, daher beschränken wir für jede Formel mit Kode ≤ p die Belegung der freien Variablen in Abhängigkeit folgender Quantorentiefe:

Definition 2.4.10 Durch Wertverlaufsrekursion definieren wir eine primitiv rekursive Funktion, die den Kodes von Σ_{0}^{F}(Z)- Formeln eine Quantorentiefe zuordnet:

qt(z) := \{ \begin{matrix}0; & falls At Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∨ ¬ Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) \\ max\{qt(z_{1}), qt(z_{2})\}; & falls z = z_{1}_{∨}^{∧}z_{2} \\ qt(z_{3}); & falls z = ¬z_{3} ∨ z = (Qz_{1} ≤ z_{2})z_{3} \\ qt(z_{3}) + 1; & falls z = (Qz_{1} ≤ F(z_{2}))z_{3} \end{matrix}

Wir wollen nun P Sat_{Σ,0}^{F} definieren:

Definition 2.4.11 Seien n > 0 und F (x, y) ∈ L_{A}. Wir definieren (wobei wir q(e, z) für q((e, z)) schreiben) : P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) :⇔ s ∈ 2^{<ω} ∧ lh(s) > r^{p} ∧ Abb(q) ∧ dom(q) = {(z, e) | Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ z ≤ p ∧ Bel(e, z) ∧ dom(e) ⊆ (≤ p) ∧ F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ r\} ∧ rng(q) ⊆ \{0, 1\} ∧ (∀z, e)((z, e)\overline{∈}q → [(∀t, s < z)(z = t = s → (q(z, e) = 0 ↔ Val(t, e) = Val(s, e))) ∧

(∀t, s < z)(z = t < s → (q(z, e) = 0 ↔ Val(t, e) < Val(s, e))) ∧

(∀t < z)(z = Z(t) → (q(z, e) = 0 ↔ (s)_{Val(t,e)} = 0)) ∧

(∀z_{1} < z)(z = ¬z_{1} → (q(z, e) = 0 ↔ q(z_{1}, e) = 1)) ∧ (∀z_{1}, z_{2} < z)(z = z_{1} ∧ z_{2} → (q(z, e) = 0 ↔ q(z_{1}, e) = 0 ∧ q(z_{2}, e) = 0)) ∧

(∀z_{1}, z_{2} < z)(z = z_{1} ∨ z_{2} → (q(z, e) = 0 ↔ q(z_{1}, e) = 0 ∨ q(z_{2}, e) = 0)) ∧

(∀z_{1}, u, v < z)(z = (∀u ≤ v)z_{1} → (q(z, e) = 0 ↔ (∀e ∼_{u} e′)(Bel(e′, z_{1}) ∧ Val(u, e′) ≤ Val(v, e) → q(z_{1}, e′) = 0))) ∧

(∀z_{1}, u, v < z)(z = (∃u ≤ v)z_{1} → (q(z, e) = 0 ↔ (∃e ∼_{u} e′)(Bel(e′, z_{1}) ∧ Val(u, e′) ≤ Val(v, e) ∧ q(z_{1}, e′) = 0))) ∧

(∀z_{1}, v, u < z)(z = (∀u ≤ F(v))z_{1} → (q(z, e) = 0 ↔ (∀e ∼_{u} e′)(Bel(e′, z_{1}) ∧ Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e)) → q(z_{1}, e′) = 0))) ∧

(∀z_{1}, v, u < z)(z = (∃u ≤ F(v))z_{1} → (q(z, e) = 0 ↔ (∃e ∼_{u} e′)(Bel(e′, z_{1}) ∧ Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e)) ∧ q(z_{1}, e′) = 0)))]).

Die Theorie, in der wir die intendierten Eigenschaften von P Sat_{Σ,0}^{F} beweisen wollen, muß bestimmte Eigenschaften von F beweisen können. Im folgenden Lemma wollen wir diese fixieren und folgendes zeigen: Die Forderung F^{qt(z))}(max(e)) ≤ r aus der Definition von P Sat_{Σ,0}^{F} vererbt sich auf Teilformeln wie folgt: Trifft P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) zu und ist ( (∀u ≤ F(v))χ_{0} , e) ∈ dom(u), so folgt: Für alle Belegungen e′, die bis auf u mit e übereinstimmen und für die e′(u) ≤ F (e(v)) gilt, ist q schon ( χ_{0} , e′)\overline{∈} dom(q).

Lemma 2.4.12 Seien n > 0; F (x, y) ∈ L_{A} und gelte

- F (x, y) ∈ Σ_{n}(IΣ_{n})
- IΣ_{n} ⊢ (∀x)(∃!y)F (x, y)
- IΣ_{n} ⊢ (∀x, x′)(x < x′ → F (x) < F (x′))
- IΣ_{n} ⊢ (∀x)F (x) ≥ Seqb(x, 1).

(Bemerkung: Die letzte Klausel spielt erst beim Beweis des Low-Basis-Theo-rems eine Rolle, wir führen sie auf, obwohl die Ergebnisse dieses Abschnittes auch ohne sie bewiesen werden können.) Dann beweist IΣ_{n}(mit F^{(x)}(y) als Iteration, vgl. 3.1.10): Sind Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z), Bel(e, z), z = (∀u ≤ F(v))z′ und F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ Val(v, e), so gilt für alle e′ mit Bel(e′, z′); e ∼_{u} e′ und Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e)) :

F^{(qt(z′))}(max(e′)) ≤ Val(v, e).

Beweis: Seien u_{e′} := Val(u, e′), v_{e} := Val(v, e). Ist u_{e′} ≤ max(e) so folgt sofort die Behauptung. Sei also u_{e′} > max(e). Mit u_{e′} ≤ F (v_{e}) und der Monotonie von F folgt dann: F^{(qt(z′))}(max(e′)) = F^{(qt(z′))}(u_{e′}) ≤ F^{(qt(z′))}(F (v_{e})) = F^{(qt(z))}(v_{e}) ≤ F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ v_{e}. □

Satz 2.4.13 (IΣ_{n}) Seien n > 0 und F wie in 2.4.12. Dann gelten:

(i) P Sat_{Σ,0}^{F} ∈ Δ_{n}.

(ii) IΣ_{n} ⊢ (∀z, q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}, r_{1}, r_{2}, s_{1}, s_{2}, e) (P Sat_{Σ,0}^{F}(q_{1}, p_{1}, r_{1}, s_{1}) ∧ P Sat_{Σ,0}^{F}(q_{2}, p_{2}, r_{2}, s_{2}) ∧ (z, e)\overline{∈}(dom(q_{1}) ∩ dom(q_{2})) ∧ (∀i < min\{lh(s_{1}), lh(s_{2})\})(s_{1})_{i} = (s_{2})_{i}) → q_{1}(z, e) = q_{2}(z, e)).

(iii) IΣ_{n} ⊢ (∀p, r, s)(s ∈ 2^{<ω} ∧ lh(s) > r^{p} → (∃q)P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s)).

Beweis: (i): Zu zeigen ist:

1. dom(q) läßt sich durch eine Δ_{n}-Formel beschreiben: Ist x = (z, e)\overline{∈} dom(q), so ist z ≤ p und e eine Folge, die allen Kodes von Variablen aus z Werte ≤ r zuordnet, daher ist x ≤ (p, Seqb(p, (p, r))). Definieren wir

H(x, y) := (x, Seqb(x, (x, y))),

so ist H eine primitiv rekursive Funktion und es gilt: Die Formel (dom(q) = {(z, e) | Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ z ≤ p ∧ Bel(e, z) ∧ dom(e) ⊆ (≤ p) ∧ F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ r}) aus der Definition von P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) ist äquivalent zu {(∀x, e, z ≤ H(p, r))(x = (z, e) ∧ Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ Bel(e, z) ∧ dom(e) ⊆ (≤ p) ∧ F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ r → (∃y ∈ \{0, 1\})(x, y)\overline{∈}q) ∧ (∀x\overline{∈}q)(∃z, e < x)(∃y ∈ \{0, 1\})(x = ((z, e), y) ∧ Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ Bel(e, z) ∧ dom(e) ⊆ (≤ p) ∧ F^{(qt(z))}(max(e)) ≤ r}. Die Formel in {… } ist in Δ_{n}(IΣ_{n}).

2. Weiter ist zu zeigen, daß sich die unbeschränkten Quantoren in den letzten beiden Klauseln von P Sat_{Σ,0}^{F} beschränken lassen: Mit e ∼_{u} e′ und Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e)) ist e′ ≤ e ⌢ ⟨(u, F (Val(v, e)))⟩. (ii): Induktion nach z: Sei (z, e)\overline{∈} dom(q_{1}) ∩ dom(q_{2}).

1. z ist Kode einer Primformel aus L_{A}, z.B. z = t = s . Dann ist q_{1}(z, e) = 0 ↔ Val(t, e) = Val(s, e) ↔ q_{2}(z, e) = 0.

2. z = Z(t) . Dann ist mit Lemma 2.4.9 Val(t, e) < r^{p}, also Val(t, e) < min{lh(s_{1}), lh(s_{2})} und es gilt: q_{1}(z, e) = 0 ↔ (s_{1})_{Val(t,e)} = 0 ↔ (s_{2})_{Val(t,e)} = 0 ↔ q_{2}(z, e) = 0.

3. z = ¬z_{1} oder z = z_{1}_{∨}^{∧}z_{2} . In diesen Fällen folgt die Behauptung sofort aus der Induktionsvoraussetzung.

4. z = (∀u ≤ F(v))z_{1} . Sind (z, e)\overline{∈} dom(q_{1}) ∩ dom(q_{2}) , e ∼_{u} e′ und Val(u, e′) < F (Val(v, e)), so sind nach Lemma 2.4.12 q_{1}(z′, e′) und q_{2}(z′, e′) definiert und nach I.V. gleich. Es folgt q_{1}(z, e) = q_{2}(z, e).

5. Die übrigen Fälle werden analog bewiesen.

(iii): Induktion nach p:

1. p = 0: Die leere Abbildung q := 0 leistet das Gewünschte.

2. p ⇝ p + 1: Die I.V. liefert ein q mit P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s). Wir unterscheiden folgende Fälle:

(a) p′ := p + 1 ist Kode einer Variable. Damit tritt p′ in keiner Formel mit Kode ≤ p′ auf, und wir müssen q um genau die Paare ((z, e′), i) erweitern, für die es (z, e)\overline{∈} dom(q) gibt, mit

- F^{(Val(p′,e′))}(qt(z)) ≤ r
- e′ ∼_{p′} e
- q(z, e) = i.

Für solche Paare gilt mit H wie in (i) definiert:

((z, e′), i) ≤ (H(p′, r), 1)

Definieren wir nun

\begin{aligned}θ(u, q, p, r) :⇔ & (∃z, e, e′, i < u)[u = ((z, e′), i) ∧ e ∼_{p′} e′ ∧ \\ & F^{(qt(z))}(Val(p′, e′)) ≤ r ∧ ((z, e), i)\overline{∈}q] ∨ (u\overline{∈}q) \end{aligned}

so ist θ ∈ Δ_{n} und mit Δ_{n}-Komprehension (vgl. 1.4.4) gilt:

(∀x)(∃y)(∀u < x)(u\overline{∈}y ↔ θ(u, p′, r, q)).

Für ein hinreichend großes x erhalten wir ein y, und q′ := y leistet das Gewünschte.

(b) p′ := p + 1 ist Kode einer Σ_{0}^{F}(Z)-Formel. Wir betrachten die interessanten Fälle: p′ = Z(t) : Wir definieren

θ(u, p′, t, q, s) :⇔ (∃e, z < u)((z, e)\overline{∈} dom(q) ∧ (s)_{Val(t,e)} = 0∧
u = ((p′, e), 0)) ∨ (∃e, z < u)((z, e)\overline{∈} dom(q) ∧
(s)_{Val(t,e)} = 1 ∧ u = ((p′, e), 1)) ∨ (u\overline{∈}q).

Wieder erhalten wir mit Δ_{n}-Komprehension ein q′ mit den gewünschten Eigenschaften. p′ = (∀u ≤ F(v))p_{0} . Dann muß q um genau die Paare ((p′, e), i) erweitert werden, für die gilt:

- Bel(e, p′)
- dom(e) ⊆ (≤ p)
- F^{(qt(p′))}(max(e)) ≤ r

- i = 0 ⇔ für alle e′ ∼ e mit Val(u, e′) < F (Val(v, e)) ist q(p_{0}, e′) = 0.

Wieder erhalten wir mit Δ_{n}-Komprehension das gewünschte q′. Dabei ist wesentlich, daß qt(p′) = qt(p_{0}) + 1 ist und daher nach I.V. q(p_{0}, e′) für alle diese e′ definiert ist . □

Bemerkung: Analog können wir für Σ_{0}(Z)-Formeln ein Prädikat P Sat_{Σ,0}(q, p, r, s) definieren, bei dem wir die das Funktionssymbol F betreffenden Klauseln fortlassen. Dann ist

(i) P Sat_{Σ,0} ∈ Δ_{1}(IΣ_{1}).

(ii) Die Aussagen (i) und (ii) aus Satz 2.4.13 mit P Sat_{Σ,0} anstelle von P Sat_{Σ,0}^{F} können in IΣ_{1} bewiesen werden.

Mit P Sat_{Σ,0}^{F} können wir nun ein Erfüllungsprädikat Sat_{Σ,0,φ}^{F} definieren, welches die Kodes von Σ_{0}^{F}(Z)-Sätzen unter einer Belegung e, Interpretation von F durch F und Z durch φ gemäß

Z(t) ↔ φ̃(t)

auswertet. Die Theorie, in der wir Sat_{Σ,0,φ}^{F} auswerten, muß die Existenz beliebig langer Anfangsstücke von φ in Form von (0, 1)-Folgen beweisen können (solche Formeln nennen wir approximierbar). Nur so kann der Wahrheitswert jeder Σ_{0}^{F}(Z)-Formel bei Interpretation von Z durch φ ermittelt werden. Wir definieren daher:

50 KAPITEL 2. MODELLTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG Definition 2.4.14 Seien φ ∈ L_{A} und x ∈ FV(φ). Wir definieren folgende L_{A}-Formeln (mit φ̃ aus 1.2.2):

(i) Anf_{φ_{x}}(s) :≡ s ∈ 2^{<ω} ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ↔ φ_{x}(i)). (ii) Anf_{φ}(s) :≡ s ∈ 2^{<ω} ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ↔ φ̃_{x}(i)). (iii) App_{φ_{x}} :≡ (∀y)(∃s)(lh(s) = y ∧ Anf_{φ_{x}}(s)). (iv) App_{φ} :≡ (∀y)(∃s)(lh(s) = y ∧ Anf_{φ}(s)). Damit sind wir in der Lage, folgende Definitionen zu treffen: Definition 2.4.15 Seien n > 0; F wie in 2.4.12 und φ ∈ L_{A}. Wir definieren:

(i) Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) :≡ (∃q, p, r, s)(Anf_{φ}(s) ∧ P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) ∧ q(z, e) = 0). (ii) Sat_{Σ,0,φ}(z, e) :≡ (∃q, p, r, s)(Anf_{φ}(s) ∧ P Sat_{Σ_{,}0}(q, p, r, s) ∧ q(z, e) = 0). (iii) Sat_{Σ,1,φ}(z, e) :≡ Form_{Σ_{1}(Z)}(z) ∧ Bel(e, z) ∧

(∃e′, z′, u < z)(z = (∃u)z′ ∧ Bel(e′, z′) ∧ e ∼_{u} e′ ∧ Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z′, e′)). (iv) W Sat(z, e, s) :≡ s ∈ 2^{<ω} ∧

(∃u, z′ < z)(z = (∃u)z′ ∧ Bel(e, z) ∧ Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ ¬u\overline{∈} dom(e) ∧ (∃q, p, r)(∃y ≤ s)(P Sat_{Σ,0}(q, p, r, s) ∧ q(z′, e ∪ {(u, y)}) = 0)).

Wir sagen W Sat(z, e, s) trifft zu, falls das Anfangsstück s die Formel mit Kode z unter der Belegung e bezeugt. Satz 2.4.16 Seien n > 0; F wie in 2.4.12, φ ∈ L_{A} und IΣ_{n} ⊢ App_{φ}.

(i) IΣ_{n} beweist die Tarskischen Wahrheitsbedingungen für Sat_{Σ,0,φ}^{F}: - Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) → Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z) ∧ Bel(e, z)

- (∀t, s < z)(z = t_{<}^{=}s → (Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) ↔ Val(t, e)_{<}^{=} Val(s, e)))

- (∀t < z)(z = Z(t) → (Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) ↔ φ̃(Val(t, e))))

- (∀z′ < z)(z = ¬z′ → (Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) ↔ ¬Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z′, e)))

- (∀z′, z′′ < z)(z = z′_{∨}^{∧}z′′ → (Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) ↔ Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z′, e)_{∨}^{∧}Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z′′, e)))

- (∀u, v, z′ < z)(z = (∀z ≤ F(v))z′ → (Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e) ↔ (∀e′)(Bel(e′, z′) ∧ (∀i\overline{∈} FV(z′))e(i) = e′(i) ∧ Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e)) → Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z′, e′))))

- Analog für die übrigen Quantoren.

(ii) Ist χ ∈ Σ_{0}^{F}(Z) und sind FV(χ) = {x_{1}, …, x_{n}}, so gilt:

IΣ_{n} ⊢ (∀x_{1}, …, x_{n})(χ^{∗_{φ,F}} ↔ Sat_{Σ,0,φ}^{F}( χ , [x_{1}, …, x_{n}])).

(iii) IΣ_{1} beweist analoge Aussagen für Sat_{Σ,0,φ}.

Beweis: (i): Induktion nach z:

1. z = Z(t) . Es gelte Sat_{Σ,0,φ}^{F}(z, e). Aus der Definition folgt

(∃q, p, r, s)[Anf_{φ}(s) ∧ P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) ∧ q(z, e) = 0].

Mit q(z, e) = 0 ist (s)_{Val(t,e)} = 0 und damit φ̃(Val(t, e)). Gilt umgekehrt φ̃(Val(t, e)), so folgt die Behauptung aus der Voraussetzung App_{φ} und Satz 2.4.13 (iii).

3. z = (∀u ≤ F (v))z′ . Mit I.V. gilt die Äquivalenz bereits für alle e′ mit e′ ∼ e. Ist nun e′ mit

Bel(e′, z′) ∧ (∀i\overline{∈} FV(z′))(e(i) = e′(i)) ∧ Val(u, e′) ≤ F (Val(v, e))

gegeben, so kann e′ auch auf weiteren (Kodes von) Variablen definiert sein, i.a. ist also nicht e′ ∼ e. Da aber diese weiteren Variablen für die Auswertung von z′ irrelevant sind, folgt die Behauptung mit I.V. Die übrigen Fälle folgen sofort mit der Induktionsvoraussetzung.

(ii): Induktion nach dem Aufbau von χ: Die Behauptung folgt mit (i).

Das Prädikat W Sat wird im Beweis des Low-Basis Theorems eine wichtige Rolle spielen, wir beweisen nun die entscheidenden Eigenschaften:

Lemma 2.4.17 (i) W Sat ∈ Δ_{1}(IΣ_{1}).

(ii) Ist φ ∈ L_{A} und gilt IΣ_{1} ⊢ App_{φ}, so sind in IΣ_{1} äquivalent :

- Sat_{Σ,1,φ}(z, e)

- (∃s)(Anf_{φ}(s) ∧ W Sat(z, e, s))

52 KAPITEL 2. MODELLTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG

- (∃w)(∀s)(Anf_{φ}(s) ∧ lh(s) ≥ w → W Sat(z, e, s)). (iii) IΣ_{1} ⊢ (∀z, e, s, s′)(s ⊆_{a} s′ ∧ W Sat(z, e, s) → W Sat(z, e, s′)). Beweis: zu (i): Wir haben folgende Äquivalenz:

IΣ_{1} ⊢ W Sat(z, e, s) ↔

(s ∈ 2^{<ω} ∧ (∃u, z′ < z)

(z = (∃u)z′ ∧ Bel(e, z) ∧ Form_{Σ_{0}^{F} (Z)}(z)∧

(∀q, p, r)(P Sat_{Σ,0}(q, p, r, s) → (∃y ≤ s)q(z′, e ∪ {(u, y)}) = 0))). (ii) und (iii) folgen aus der Definition. □ Als unmittelbare Folgerung erhalten wir: Korollar 2.4.18 Seien χ ∈ Σ_{1}(Z); φ ∈ L_{A} und gelte IΣ_{1} ⊢ App_{φ} . Weiter sei FV(φ) = {x_{1}, …, x_{n}}. Dann gilt:

IΣ_{1} ⊢ (∀x_{1}, …, x_{n})(χ^{∗_{φ}} ↔ (∃s)(Anf_{φ}(s) ∧ W Sat( χ , [x_{1}, …, x_{n}], s))). Beweis: Es gibt ein χ_{0} ∈ Σ_{0}(Z) mit χ ≡ (∃y)χ_{0}. Damit gilt: χ^{∗_{φ}} ↔ ((∃y)χ_{0})^{∗_{φ}} ↔ (∃y)Sat_{Σ,0,φ}( χ_{0} , [y, x⃗]) ↔_{Def} Sat_{Σ,1,φ}( χ , [x⃗]). Mit Lemma 2.4.17 folgt nun die Behauptung. □

Wir können nun die wesentlichen Eigenschaften von Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) beweisen: Satz 2.4.19 Es seien n > 0; F wie in 2.4.12; φ ∈ Σ_{n}; ψ ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n}); y ∈ FV(φ); FV(ψ) = {x_{1}, …, x_{m}} und x = x_{i} für ein i ∈ {1, …, m}. Dann gelten:

(i) Anf_{φ_{y}}, Anf_{φ} ∈ Δ_{n+1}(IΣ_{n}). (ii) ψ ∈ Δ_{n+1}(IΣ_{n}). (iii) IΣ_{n} ⊢ App_{φ_{y}} ∧ App_{φ}. (iv) IΣ_{n} ⊢ App_{ψ_{x}} ∧ App_{ψ}.

(v) IΣ_{n} ⊢ Lψ_{x}. (vi) IΣ_{n} ⊢ Iψ_{x}. Beweis: (i): Nach Voraussetzung existiert ein φ_{0}(u) ∈ Π_{n−1}, mit

φ(y) ≡ (∃u)φ_{0}(y, u).

Damit gilt: Anf_{φ_{y}}(s)

↔ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ↔ φ_{y}(i))

↔ (∀i < lh(s))[(s)_{i} ≠ 0 ∨ (∃u)φ_{0}(i, u)) ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ∨ ¬φ(i)] ↔ (∀i < lh(s))(∃u)((s)_{i} ≠ 0 ∨ φ_{0}(i, u)) ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ∨ ¬φ(i))

Mit BΣ_{n} ist dies äquivalent zu:

(∃r)[(∀i < lh(s))(∃u ≤ r){(s)_{i} ≠ 0∨φ_{0}(i, u)∧(∀j < lh(s))((s)_{j} = 0∨¬φ(j))}]

Die Formel in {… } ist Π_{n} und da Π_{n} abgeschlossen ist unter beschränkten Quantoren (in IΣ_{n}) ist auch die Formel in […] aus Π_{n}, insgesamt ist damit Anf_{φ_{y}} ∈ Σ_{n+1}. Weiter ist

¬ Anf_{φ_{y}}(s) ↔ (∃u, i)(i < lh(s) ∧ (((s)_{i} ≠ 0 ∧ φ_{0}(i, u)) ∨ ((s_{i}) = 0 ∧ ¬φ(i))))

und damit ebenfalls Σ_{n+1}. Da φ̃ in Σ_{n} ist, folgt analog die zweite Behauptung. (ii): Es ist ψ ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n}), d.h. für ein θ ∈ Σ_{n} und ein χ ∈ Σ_{0}^{F}(Z) ist ψ ≡ (χ)^{∗_{θ,F}} . Damit gilt: IΣ_{n} ⊢ ψ

↔ (∃s, p, q, r)(Anf_{θ}(s) ∧ P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s) ∧ q( χ , [x_{1}, …, x_{m}]) = 0)
↔ (∀s, p, q, r)(Anf_{θ}(s) ∧ P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s)∧
(∃i ≤ 1)q( χ , [x_{1}, …, x_{m}]) = i → i = 0).

Wegen Anf_{θ} ∈ Δ_{n+1}, ist die erste Formel in Σ_{n+1}, die zweite in Π_{n+1} und die Behauptung ist bewiesen. (iii): Zu zeigen ist

IΣ_{n} ⊢ (∀z)(∃s)(lh(s) = z ∧ s ∈ 2^{<ω} ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ↔ φ_{y}(i))).

Sei z gegeben. Wir betrachten

Q(f) :≡ Abb(f) ∧ dom(f) = (< z) ∧ rng(f) ⊆ {0, 1}∧
(∀i\overline{∈} dom(f))(¬φ_{y}(i) → f(i) = 1)

Der Kode der Funktion, die auf {0, …, z −1} konstant 1 ist, ist in Q. Weiter ist Q ∈ Σ_{n} und mit LΣ_{n} existiert ein minimales f_{0} mit Q(f_{0}). Für alle i < z gilt dann 1.: Aus f_{0}(i) = 0 folgt φ(i) (da sonst f_{0}(i) = 1).

2.: Aus f_{0}(i) = 1 folgt ¬φ(i) (da sonst f′(x) := \{ \begin{matrix}f(x) & x ≠ i \\ 0 & x = i \end{matrix} einen Kode

< f_{0} hätte und dies ein Widerspruch zur Minimalität von f_{0} wäre). Damit ist f_{0} das gesuchte Anfangsstück. Analog zeigen wir App_{φ}.

(iv): Seien θ, χ wie in (ii). Sei ohne Einschränkung x = x_{1}. Weiter sei x⃗ = x_{2}, …, x_{n}. Wir zeigen:

IΣ_{n} ⊢ (∀z, x⃗)(∃s)(lh(s) = z ∧ s ∈ 2^{<ω} ∧ (∀i < lh(s))((s)_{i} = 0 ↔ ψ(i, x⃗))).

Seien z, x⃗ gegeben. Wir definieren p := χ und r := F^{(qt(p))}(max{z, y⃗}). Weiter wählen wir mit (ii) ein Anfangsstück s von θ mit einer Länge > r^{p}. Nach Satz 2.4.13 existiert ein q mit P Sat_{Σ,0}^{F}(q, p, r, s). Aufgrund der Definition von P Sat_{Σ,0}^{F} ist q(p, [i, x⃗]) definiert für alle i ≤ z. Wir definieren

Q(t) :≡ lh(t) = z ∧ t ∈ 2^{<ω} ∧ (q(p, [i, x⃗]) = 1 → (t)_{i} = 1).

Wieder gilt (∃x)Q(x) und mit LΣ_{1} existiert ein minimales t_{0} mit Q(t_{0}). Dieses ist das gesuchte Anfangsstück von ψ der Länge z. (v): Wir zeigen IΣ_{n} ⊢ (∃x)ψ(x) → (∃x)(ψ(x) ∧ (∀x′ < x)¬ψ(x)). Sei x mit ψ(x). Nach (i) können wir ein Anfangsstück s von ψ_{x} mit Länge > x wählen. Dann ist (s)_{x} = 0. Mit LΣ_{1} wählen wir ein minimales i_{0} ≤ x, so daß (s)_{i} = 0. Dieses i_{0} ist bereits minimal mit ψ(i_{0}). Nun folgt sofort die Behauptung. (vi) folgt mit (v). □

2.4.3 Die Formelklasse lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})

Wir definieren die Formelklasse lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}):

Definition 2.4.20 Seien n > 0; F wie in Lemma 2.4.12 und T ⊇ IΣ_{1}. Eine Formel φ ∈ L_{A} ist lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})(T), falls gilt:

(i) φ ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n})(T).

(ii) Jedes ψ ∈ Σ_{1}(φ) ist in Σ_{0}^{F} (Σ_{n})(T).

Weiter sei φ ∈ LL_{n}(T), falls für ein F wie in Lemma 2.4.12 gilt:

φ ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})(T).

Lemma 2.4.21 Mit n > 0; T ⊇ IΣ_{1}; F wie in 2.4.12; φ ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})(T) und ψ ∈ Π_{1}(φ) ist auch ψ ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n})(T). Weiter ist jedes χ ∈ Σ_{0}(φ) schon lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})(T).

Beweis: Die erste Behauptung folgt aus der Tatsache, daß Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) abgeschlossen unter Negation ist. Die zweite Behauptung ist offensichtlich. □

lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) ist ein relativer Begriff, daher wollen wir wieder jeweils zu Beginn von Sätzen, Definitionen usw. die Theorie angeben, auf die sich der Begriff bezieht. Aufgrund der Abschlußeigenschaft von lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) können wir nun eine Reihe von Eigenschaften dieser Formelklasse beweisen. Die Induktionen verlaufen in der Regel analog zum bekannten Ergebnis (für Σ_{n}), wesentlich ist jeweils nachzuweisen, daß die Formel, über die Induktion geführt wird, in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) ist.

Satz 2.4.22 (IΣ_{n})(Kollektion für lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})) Seien n > 0; φ ∈ LL_{n}; ψ ∈ Σ_{1}(φ) und x, y ∈ FV(ψ). Dann gilt:

IΣ_{n} ⊢ Bψ_{x,y}(≡ (∀u)[(∀x ≤ u)(∃y)ψ(x, y) → (∃v)(∀x ≤ u)(∃y ≤ v)ψ(x, y)]).

Beweis: φ ist in lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) für ein F wie in 2.4.12. Sei u gegeben und gelte die Prämisse der Behauptung. Wegen ψ ∈ Σ_{1}(φ) gibt es ein ψ_{0} ∈ Σ_{0}(φ) mit ψ(x, y) ≡ (∃z)ψ_{0}(x, y, z). Wir zeigen durch Induktion nach w:

(∀w ≤ u)[(∃v)(∀x ≤ y)(∃y ≤ v)ψ_{0}(x, (y)_{0}, (y)_{1})].

Dabei ist die Formel in […] in Σ_{1}(φ), damit in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) und mit Satz 2.4.19 (vi) können wir die Behauptung durch Induktion beweisen. □

Satz 2.4.23 (IΣ_{n})(Starke Kollektion) Seien n > 0; φ ∈ LL_{n} und x, y ∈ FV(φ). Dann gilt:

IΣ_{n} ⊢ (∀z)(∃u)(∀x < z)[(∃y)φ(x, y) → (∃y < u)φ(x, y)].

Beweis: Wieder ist φ ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) für ein F wie in Lemma 2.4.12. Sei z gegeben. Dann ist (∃y)φ(x, y) in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) Mit Satz 2.4.19 (iv) können wir ein Anfangstück s dieser Formel mit Länge z wählen und mit Induktion nach w zeigen:

w ≤ z → [(∃v)(∀x ≤ w)((s)_{t} = 1 → (∃y ≤ v)φ(x, y))].

Die Formel in […] ist Σ_{1}(φ) und damit in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}), mit Induktion (2.4.19 (vi)) folgt die Behauptung:

1. w = 0 ist klar.

2. w ⇝ w + 1 : Sei v nach I.V. gegeben. Dann gilt entweder ¬(∃y)φ(w + 1, y) und v′ := v leistet das Gewünschte oder für ein y gilt φ(w + 1, y) und wir setzen v′ := max{v, y}. □

Satz 2.4.24 (IΣ_{n}) (Δ_{1}(LL_{n}) = LL_{n}) Seien n > 0; φ ∈ LL_{n} und ψ ∈ Δ_{1}(φ). Dann ist

ψ ∈ LL_{n}.

Beweis: Nach Voraussetzung gibt es ein F wie in Lemma 2.4.12, so daß φ ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) ist. Da ψ ∈ Σ_{1}(φ) ist, ist nach Definition von lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) auch ψ ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n}). Sei FV(ψ) = {x_{1}, …, x_{n}}. Weiter gibt es wegen ψ ∈ Δ_{1}(φ) Formeln σ_{0} ∈ Σ_{1}(Z) und σ_{1} ∈ Σ_{1}(Z), mit

IΣ_{1} ⊢ ψ ↔ (σ_{0})^{∗_{φ}} ∧ ¬ψ ↔ (σ_{1})^{∗_{φ}}

Zu zeigen ist: Jede Σ_{1}(ψ)-definierbare Formel ist wieder in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}). Sei dazu ξ ∈ Σ_{1}(Z) mit FV(ξ) = {v_{1}, …, v_{m}}. Wir zeigen:

ξ^{∗_{ψ}} ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n})

Es gilt für z⃗ := z_{1}, …, z_{n} :

Anf_{ψ}(t) ↔ (∀i < lh(t))(∃s){Anf_{φ}(s) ∧ (
(t)_{i} = 0 → (∃z⃗ < i)(i = (z_{1}, …, z_{n}) ∧ W Sat( σ_{0} , [z⃗], s))∧
(t)_{i} = 1 → (∃z⃗ < i)(i = (z_{1}, …, z_{n}) ∧ W Sat( σ_{1} , [z⃗], s)))∨
(∀z_{1}, …, z_{n} < i)i ≠ (z_{1}, …, z_{n})}

Die Formel θ(t, s) := {… } ist in lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) und mit Kollektion (2.4.22) folgt:

\begin{matrix}↔ & (∃q)(∀i < lh(t))(∃s ≤ q)θ(t, s) \\ ↔ & (∃s)(Anf_{φ}(s) ∧ θ(t, s)) \end{matrix}

Also gilt dann:

\begin{aligned}ξ^{∗_{ψ}} & ↔ (∃t)(Anf_{ψ}(t) ∧ W Sat( ξ , [y_{1}, …, y_{m}], t)) \\ & ↔ (∃t)(∃s)(Anf_{φ}(s) ∧ θ(t, s) ∧ W Sat( ξ , [y_{1}, …, y_{m}], t)). \end{aligned}

Die letzte Formel ist Σ_{1}(φ) und damit nach Voraussetzung in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}). □

Lemma 2.4.25 (IΣ_{n})(Wertverlauf) Seien n > 0; F wie in Lemma 2.4.12; G ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) und gelte

IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗, y)(∃!z)G(x⃗, y, z).

Dann gilt:

(i) \overline{G} ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) (\overline{G} ist der Wertverlauf von G, vgl. Definition 1.3.17 ).

(ii) IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗, y)(∃!z)\overline{G}(x⃗, y, z).

Beweis: (i) folgt aus der Definition von \overline{G}. (ii) Durch Induktion nach z kann leicht

(∀x⃗, y)[(∃z)\overline{G}(x⃗, y, z)].

gezeigt werden, denn die Formel in […] ist in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}). □

Satz 2.4.26 (IΣ_{n})(Primitive Rekursion) Seien n > 0; F wie in Lemma 2.4.12; G(x⃗, y) ∈ Δ_{0} und H(x⃗, z_{1}, z_{2}, y) ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) Graphen IΣ_{n}- beweisbar totaler Funktionen. Dann ist R(GH) in lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) und es gilt:

IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗, y)(∃!z)R(GH)(x⃗, y, z).

Beweis: Mit R(GH) ∈ Δ_{1}(H) ist R(GH) ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) (mit 2.4.24) und die Behauptung kann wie üblich durch Induktion nach y bewiesen werden. □

Satz 2.4.27 (IΣ_{n})(Wertverlaufsrekursion) Seien n > 0; F wie in Lemma 2.4.12 und H ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) Graph einer (k + 2)-stelligen IΣ_{n}-beweisbar totalen Funktion. Dann gibt es ein k + 1stelliges, ebenfalls IΣ_{n}-beweisbar totales G ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) mit

(∗) IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗, v, w, y, z)(G(x⃗, z, y) ∧ \overline{G}(x⃗, z, v) ∧ H(x⃗, z, v, w) → y = w).

Dieses G ist eindeutig in dem Sinne, daß für alle G′ mit (∗) gilt:

IΣ_{n} ⊢ (∀x⃗, z, y, y′)(G′(x⃗, z, y) ∧ G(x⃗, z, y′) → y = y′).

Beweis: Wir definieren

\begin{aligned}G_{1}(x⃗, y) & :≡ y = ⟨⟩ \\ G_{2}(x⃗, z_{1}, z_{2}, y) & :≡ (∃y′)(H(x⃗, z_{1}, z_{2}, y′) ∧ y = z_{2} ⌢ ⟨y′⟩). \end{aligned}

Mit G_{2}(x⃗, z_{1}, z_{2}, y) ↔ (∀y′)(H(x⃗, z_{1}, z_{2}, y′) → y = z_{2} ⌢ ⟨y′⟩) ist auch G_{2} ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}). Dann ist nach Satz 2.4.26 R(G_{1}G_{2}) ebenfalls in lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) und IΣ_{n}-beweisbar total.

G(x⃗, y, z) :≡ (∃s)(R(G_{1}G_{2})(x⃗, y, s) ∧ lh(s) = y + 1 ∧ z = (s)_{y})

ist in Δ_{1}(RG_{1}G_{2}) und leistet das Gewünschte. □ Bemerkung: 2.4.22 bis 2.4.27 gelten i.a. nicht für Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) statt lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}).

2.4.4 Das Low-Basis Theorem

Wir führen nun die zur Formulierung des Low-Basis-Theorems verwendeten Begriffe ein:

Definition 2.4.28 Seien T, F (x, y), P, X, G Formeln aus L_{A}; z ∈ FV(T) ∩ FV(P) und n, k ∈ IN. Dann definieren wir folgende L_{A}-Formeln:

- Baum (T_{z}) :≡ (∀s, t)[(T_{z}(s) → Seq(s)) ∧ (T_{z}(s) ∧ Seq(t) ∧ t ⊆_{a} s → T_{z}(t))]

- TFun (F) :≡ (∀x)(∃!y)F (x, y)

- T_{z} ist unbeschränkt über s :≡ (∀x)(∃y)(y > x ∧ T_{z}(y) ∧ s ⊆_{a} y)

- T_{z} ist unbeschränkt :≡ T_{z} ist unbeschränkt über ⟨⟩.

- F majorisiert T_{z} :≡ (∀x, s)[T_{z}(s) ∧ lh(s) = x → s ≤ F (x)]

- T_{z} ist endlich verzweigt :≡ (∀s)[T_{z}(s) → (∃b)(∀t)(T_{z}(t) ∧ s ⊆_{a} t ∧ lh(t) = lh(s) + 1 → t < b)]

- T_{z} ist engverzweigt :≡ (∃b)(∀s)[T_{z}(s) → (∀t)(T (t) ∧ s ⊆_{a} t ∧ lh(t) = lh(s) + 1 → t < b)]

- Pfad_{T_{z}}(P_{z}) :≡ (∀s, t)[(P_{z}(s) → T_{z}(s)) ∧ (P_{z}(s) ∧ P_{z}(t) → t ⊆_{a} s ∨ s ⊆_{a} t)]

- G : [X]^{n} → k :≡ (∀x_{1} < … < x_{n} ∈ X)(∃!y < k)G(x⃗, y).

Bemerkung: Ist der Zusammenhang klar, so lassen wir den Index z oft fort.

Lemma 2.4.29 (IΣ_{n}) Seien n > 0; M ⊧ IΣ_{n}; T, F ⊆ M Δ_{n}-definierbare Relationen (eventuell mit Parametern) und gelte

M ⊧ Baum(T_{z}) ∧ TFun(F) ∧ F majorisiert T_{z}.

Dann gelten:

(i) M ⊧ (T_{z} ist unbeschränkt ) ↔ (∀y)(∃s)(T_{z}(s) ∧ lh(s) = y).

(ii)

M ⊧ (T_{z} ist unbeschränkt ) →
(∃s)(T_{z}(s) ∧ lh(s) = 1 ∧ T_{z} ist unbeschränkt über s).

(iii) (T_{z} ist unbeschränkt über s) ∈ Π_{n}.

Beweis: (i): ” ← “ folgt sofort mit s ≥ lh(s). ” → “: Angenommen, es existiert eine Schranke b, so daß alle Elemente aus T eine Länge < b haben. Nach Voraussetzung gibt es dann ein s mit s > F (b) ∧ T (s). Damit ist lh(s) > b und das ist ein Widerspruch. (ii): Sei b := F (1), d.h. für alle s ∈ T mit lh(s) = 1 ist s ≤ b. Annahme: Für alle s ∈ T mit lh(s) = 1 ist T_{z} beschränkt über s. Dann gilt:

(∀i < b)[T (⟨i⟩) → (∃h)(∀s < F (h))(lh(s) = h ∧ (s)_{0} = i → ¬T (s))]

Mit BΣ_{n} folgt

(∃h)(∀i < b)[T (⟨i⟩) → (∀s < F (h))(lh(s) = h ∧ (s)_{0} = i → ¬T (s))].

Damit hat T keine Elemente der Länge h. Das ist ein Widerspruch zu (i). (iii): Wir definieren

φ :≡ (∀x, y)[x ≥ lh(s) ∧ y = F (x) → (∃t ≤ y)(T_{z}(t) ∧ lh(t) = x ∧ s ⊆_{a} t)].

Dann ist φ ∈ Π_{n} und mit (i) gilt: (T_{z} ist unbeschränkt über s) ↔ φ. □

Bemerkung: Ist in IΣ_{1} T ein Baum und P ein Pfad durch T, so kann jedes s ∈ P als Anfangsstück von P aufgefasst werden. Formal aber sind Anfangsstücke von Formeln als (0, 1)-Folgen definiert. Daher definieren wir eine primitiv rekursive Funktion, die endliche Folgen in Anfangsstücke umrechnet und modifizieren das Prädikat W Sat entsprechend:

Definition 2.4.30 Um(s) = u :≡ [Seq(u) ∧ Seq(s) ∧ u ∈ 2^{<ω} ∧ lh(u) = s

∧(∀i < s)((u)_{i} = 0 ↔ i ⊆_{a} s)] ∨ (¬ Seq(s) ∧ u = 0).

W Sat modifizieren wir wie folgt: W Sat′(x, y, s) :≡ W Sat(x, y, Um(s)).

Lemma 2.4.31 (i) IΣ_{1} ⊢ (∀s)(∃!u) Um(s) = u.

(ii) Sind T, P ∈ L_{A} mit IΣ_{1} ⊢ Pfad_{T} (P) ∧ Baum (T), so gilt: IΣ_{1} ⊢ (∀x, y, s)[P (s) → (W Sat′(x, y, s) ↔ W Sat(x, y, Um(s)))]. □

Satz 2.4.32 (IΣ_{m})(Low-Basis-Theorem) Seien n > 0; F wie in Lemma 2.4.12, M ⊧ IΣ_{n}; T, F ⊆ M Δ_{n} definierbar und gelte

M ⊧ Baum(T) ∧ F majorisiert T ∧ T ist unbeschränkt .

Dann gibt es eine lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})-definierbare Menge P ⊆ M mit:

M ⊧ Pfad_{T} (P) ∧ P ist unbeschränkt.

Beweis: Analog zu 2.3.1 definieren wir eine primitiv rekursive Funktion

ψ(x) := \{ \begin{matrix}x; & falls Form_{Σ_{1}(Z)}((x)_{0}) & Bel((x)_{1}, (x)_{0}) \\ ( v_{1} = v_{1} , \{( v_{1} , 0)\}); & sonst, \end{matrix}

die alle Paare (z, e) mit Form_{Σ_{1}(Z)}(z), Bel(e, z) aufzählt. Seien weiter φ(x), β(x) primitiv rekursive Funktionen, so daß φ(i) die i-te Formel gemäß dieser Aufzählung ist und β(i) die dazugehörende Belegung (d.h. φ(x) = (x)_{0} und β(x) = (x)_{1}). Wir definieren nun durch Induktion nach x die Elemente p des gesuchten Pfades P. Simultan definieren wir dazu (0, 1)-Folgen w. Jede dieser (0, 1)-Folgen kodiert die Wahrheitswerte der ersten x Formeln gemäß obiger Aufzählung bei Auswertung unter der jeweiligen Belegung und Interpretation der Mengenvariable Z durch den Pfad P. Damit können wir P ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) nachweisen: jeder Wahrheitswert einer Σ_{1}(P)-definierbaren Formel kann aus einem genügend langen w abgelesen werden. Im Induktionsschritt müssen nun gegebene p ∈ P, w ∈ 2^{<ω} erweitert werden. Eine Schwierigkeit dabei ist, daß der Wahrheitswert von φ(x) unter der Belegung β(x) festgelegt werden muß, obwohl der Pfad P noch nicht vollständig konstruiert ist. Weiter dürfen sich die bisher festgelegten Wahrheitswerte nach der Wahl von p′ nicht ändern. Auch müssen wir sicherstellen, daß der über p′ liegende Teilbaum von T weiterhin unbeschränkt ist, damit die Konstruktion fortgeführt werden kann.

Zudem sollte das Verfahren ein eindeutig bestimmtes p′ liefern. Wir nutzen im folgenden wesentlich die Eigenschaften von W Sat′ aus. Wir wollen nun veranschaulichen, wie im Induktionsschritt gegebene p, w der Länge x zu p′, w′ mit Länge x + 1 erweitert werden. Seien dazu p, w gegeben. Wir betrachten:

T^{•} := {z | T (p ⌢ z) ∧ (∀i < x)((w)_{i} = 1 → ¬W Sat′(φ(i), β(i), p ⌢ z))∧

¬W Sat′(φ(x), β(x), p ⌢ z)}

Dann gibt es zwei Fälle: 1.Fall: T^{•} ist beschränkt. Für jedes z ∈ T^{•}, das größer als diese Schranke ist, bezeugt also p ⌢ z das Paar φ(x), β(x). In diesem Fall sei w′ := w ⌢ ⟨0⟩. Wir betrachten nun

T^{∘} := {z | T (p ⌢ z) ∧ (∀i < x)((w)_{i} = 1 → ¬W Sat′(φ(i), β(i), p ⌢ z))}.

Alle z ∈ T^{∘} haben die Eigenschaft, daß p ⌢ z die bisher festgelegten Wahrheitswerte respektiert, denn für kein i < x ist

(w)_{i} = 1 & W Sat′(φ(i), β(i), p ⌢ z).

Wir müssen nun zeigen, daß es ein i gibt, über dem T^{∘} unbeschränkt ist und setzen für ein minimales i_{0} : p′ := p ⌢ ⟨i_{0}⟩. So stellen wir sicher, daß die Konstruktion eindeutig ist und fortgeführt werden kann. 2.Fall: T^{•} ist unbeschränkt. Wir können w′ := w ⌢ ⟨1⟩ setzen und ein minimales i_{0} wählen, so daß T^{•} unbeschränkt über ⟨i_{0}⟩ ist. Wieder setzen wir p′ := p ⌢ ⟨i_{0}⟩ . Es bleibt nun zu zeigen, daß diese Konstruktion in IΣ_{n} durchgeführt werden kann. Dazu definieren wir:

T^{∘}(p, w, z) :≡ Seq(p) ∧ w ∈ 2^{<ω} ∧ T (p ⌢ z) ∧ lh(p) = lh(w)∧
(∀i < lh(p))((w)_{i} = 1 → ¬W Sat′(φ(i), β(i), p ⌢ z))
T^{•}(p, w, z) :≡ T^{∘}(p, w, z) ∧ ¬W Sat′(φ(lh(p)), β(lh(p)), p ⌢ z).

Mit T ∈ Δ_{n}, W Sat′ ∈ Δ_{1} sind T^{•}, T^{∘} ∈ Δ_{n} und mit Lemma 2.4.29 gilt:

- (T^{∘}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über s) ∈ Π_{k}
- (T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über s) ∈ Π_{k}.

Wir können nun die Bedingungen formalisieren, unter denen p, w zu p′, w′ erweitert werden:

Bed(p, w, p′, w′) :≡ lh(p′) = lh(w′) = lh(p) + 1 = lh(w) + 1 ∧
(∃j < 2)(∃i_{0} < p′)(p′ = p ⌢ ⟨i_{0}⟩ ∧ w′ = w ⌢ ⟨j⟩∧
([T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt ∧ j = 1∧
T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i_{0} ∧

(∀i < i_{0})(¬(T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i))]∨

[(T^{•}(p, w, z)_{z} ist beschränkt ∧ j = 0∧
T^{∘}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i_{0}∧

(∀i < i_{0})(¬(T^{∘}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i))])).

Damit ist Bed ∈ Σ_{0}(Σ_{n}). Schließlich definieren wir eine Formel Korr(p, w) die besagt, daß p und w gemäß diesen Bedingungen lokal korrekt gebildete Folgen sind:

Korr(p, w) :≡ p = w = ⟨⟩ ∨ [T (p) ∧ w ∈ 2^{<ω} ∧ lh(p) = lh(w) > 0∧
(∀i < lh(p))(Bed(p ↾ i, w ↾ i, p ↾ (i + 1), w ↾ (i + 1))].

Offensichtlich ist Korr ∈ Σ_{0}(Σ_{n}). Wir zeigen folgende Behauptungen:

(i) (∀x)[(∃p, w ≤ F (x))(lh(p) = x ∧ Korr(p, w))].

(ii) (∀p, p′, w, w′)(lh(p) = lh(p′) ∧ Korr(p, w) ∧ Korr(p′, w′) → p = p′ ∧ w = w′)

(iii) (∀x)(∀p, w)(lh(p) = x ∧ Korr(p, w) → T^{∘}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt).

Die Formel in […] ist in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}), nach Satz 2.4.19 können wir (i) und (iii) simultan durch Induktion nach x beweisen, die Konstruktion liefert die Eindeutigkeit (ii):

1. x = 0 : Wir setzen p := w := ⟨⟩. Dann ist T^{∘}(p, w, z)_{z} = T und damit nach Voraussetzung unbeschränkt.

2. x ⇝ x + 1 : Nach I.V. existieren p, w mit Korr(p, w), so daß T^{∘}(p, w, z)_{z} unbeschränkt ist. Wir unterscheiden die beiden möglichen Fälle:

1. Fall T^{•}(p, w, z)_{z} ist beschränkt. Dann sei w′ := w ⌢ ⟨0⟩. Mit Lemma 2.4.29 (i) und I.V. gibt es ein i mit

(∗) T^{∘}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i.

Nach Lemma 2.4.29 ist (∗) ∈ Π_{n} daher gibt es mit LΠ_{n} ein minimales i_{0} und wir setzen p′ := p ⌢ ⟨i_{0}⟩. Damit gilt p′, w′ ≤ F (x + 1) (an dieser Stelle geht die letzte Klausel von Lemma 2.4.12 ein: F (x) majorisiert auch die Kodes von (0, 1)-Folgen mit Länge x). Weiter ist Korr(p′, w′). Es bleibt zu zeigen: T^{∘}(p′, w′, z)_{z} ist unbeschränkt. Nach (∗) reicht es, zu zeigen, daß gilt:

(∀z)(T^{∘}(p, w, z) ∧ (z)_{0} = i_{0} → T^{∘}(p′, w′, z)).

Sei also z mit T^{∘}(p, w, z) ∧ (z)_{0} = i_{0}. Da (w′)_{lh(w′)− · 1} = 0 ist, gilt:

(∀i < lh(p′))((w′)_{i} = 1 → ¬W Sat′(φ(i), β(i), (p ⌢ z))).

Damit gilt T^{∘}(p′, w′, z).

2. Fall: T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt. Dann sei w′ := w ⌢ ⟨1⟩. Wieder gibt es nach Lemma 2.4.29 ein i mit

(∗∗) T^{•}(p, w, z)_{z} ist unbeschränkt über i

und mit LΠ_{n} wählen wir ein minimales i_{0}. Wir setzen p′ := p ⌢ ⟨i_{0}⟩. Damit gilt für alle t ∈ T^{•}(p, w, z)_{z} mit p′ ⊆_{a} t :

(∗ ∗ ∗) ¬W Sat′(φ(x), β(x), t).

Damit gilt für alle z:

(T^{•}(p, w, z) ∧ (z)_{0} = i_{0}) ⇒_{(∗∗∗)} T^{•}(p′, w′, z) ⇒_{Def} T^{∘}(p′, w′, z).

Wegen (∗∗) ist dann T^{∘}(p′, w′, z)_{z} unbeschränkt. Damit sind die Behauptungen bewiesen. Wir definieren jetzt P:

P (p) :≡ (∃w ≤ 2^{Seqb(lh(p),1)}) Korr(p, w).

Offensichtlich gilt (und hier geht die letzte Klausel von Lemma 2.4.12 ein): P ∈ Σ_{0}^{F} (Σ_{n}), Pfad_{T} (P) und P ist unbeschränkt. Zu zeigen bleibt: P ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}). Sei dazu ψ ∈ Σ_{1}(Z) eine Formel mit FV(ψ) = {v_{1}, …, v_{m}}. Sei [x_{1}, …, x_{m}] eine Belegung dieser freien Variablen. Mit Satz 2.4.19 (i) ist P approximierbar und es gilt für x := ( ψ , [x_{1}, …, x_{m}]):

(†)(ψ)^{∗_{P}} (x⃗) ↔ (∃p, w ≤ F (x + 1))(lh(p) = x + 1 ∧ Korr(p, w) ∧ (w)_{x} = 0).

Denn für p, w ≤ F (x + 1) mit Korr(p, w) und lh(p) = x + 1 (und diese existieren immer) gilt:

- Aus (w)_{x} = 0 folgt T^{•}(p ↾ x, w ↾ x, z)_{z} ist beschränkt. Ist b eine solche

Schranke, so gilt für jedes z > b mit T^{•}(p ↾ x, w ↾ x, z)
W Sat′( ψ , [x⃗], z)
und damit (ψ)^{∗_{P}} (x_{1}, …, x_{n}) nach Korollar 2.4.18.

- Ist (w)_{x} = 1 so ist T^{•}(p ↾ x, w ↾ x, z) unbeschränkt. Also ist für kein

q ∈ P
W Sat′( ψ , [x⃗, q])
und damit ¬(ψ)^{∗_{P}} (x⃗) nach Korollar 2.4.18.

Also ist jede Σ_{1}(P)-definierbare Menge schon Σ_{0}^{F} (Σ_{n}) (vgl. die zweite Formel in (†)) und die Behauptung ist gezeigt. □

Lemma 2.4.33 (IΣ_{n+1}) Seien n > 0; M ⊧ IΣ_{n+1}; T ⊆ M ein LL_{n}-definierbarer, endlich verzweigter Baum. Dann gibt es eine Formel H ∈ Δ_{n+1} so daß

(i) M ⊧ (∀x)(∃!y)H(x, y).

(ii) M ⊧ (∀x, y, s)(T (s) ∧ H(x, y) ∧ lh(s) = x → s ≤ y).

An dieser Stelle geht wesentlich die Abschlußeigenschaft der lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n})- Relationen ein, für Δ_{n+1}-definierbare Bäume finden wir im allgemeinen keine Δ_{n+1}-definierbare majorisierende Funktion. Beweis: Für ein F wie in Lemma 2.4.12 ist T ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}). Sei

\begin{aligned}H(x, y) :≡ & (∀s)((lh(s) = x ∧ T (s) → s ≤ y)∧ \\ & (∀y′ < y)(∃s′ ≤ y)(lh(s) = x ∧ T (s) ∧ y′ < s′)). \end{aligned}

Dann ist H(x, y) ∈ Π_{1}(T) und aufgrund der Definiton von lowΣ_{0}^{F} (Σ_{n}) selbst in Σ_{0}^{F} (Σ_{n}). Mit Satz 2.4.19(ii) gilt:

H(x, y) ∈ Δ_{n+1}.

Damit folgt (ii) sofort aus der Definition von H, und (i) kann durch Induktion nach x bewiesen werden. □ Als Korollar erhalten wir nun eine Version des Low-Basis-Theorems, die im Induktionsschritt des Beweises von Satz 2.4.4 angewendet werden kann.

Korollar 2.4.34 (IΣ_{n+1}) Seien n > 0; M ⊧ IΣ_{n+1}; T ⊆ M LL_{n}-definierbar und es gelte

M ⊧ Baum(T) ∧ T ist endlich verzweigt ∧ T ist unbeschränkt .

Dann existiert eine LL_{n+1}-definierbare Menge P ⊆ M mit:

M ⊧ Pfad_{T} (P) ∧ P ist unbeschränkt.

Beweis: Nach Satz 2.4.19 ist T ∈ Δ_{n+1}. Lemma 2.4.33 liefert ein F′, das T majorisiert. Dann erfüllt F (x) := F′(x) + Seqb(x, 1) die Bedingungen aus Lemma 2.4.12 und mit dem Low-Basis Theorem für n + 1 folgt die Behauptung. □

2.4.5 Der Beweis eines unendlichen Ramseysatzes für IΣ_{n+1}

Wir beweisen nun Satz 2.4.4 durch Induktion nach n. Für den Induktionsanfang n = 1 führen wir folgende Begriffe ein:

Definition 2.4.35 Für Formeln X(x), F (x_{1}, x_{2}, y) ∈ L_{A} werden folgende Begriffe in L_{A} formalisiert:

(i) s ist eine bzgl. F und X prähomogene Folge :⇔ s ist eine aufsteigende Folge von Elementen aus X, (s)_{0} ist das Minimum von X und die Folgenelemente bilden eine für F prähomogene Menge (vgl. (∗) in Satz 2.4.4).

prehom_{F,X}(s) :≡ Seq(s) ∧ (∀i < lh(s))X((s)_{i}) ∧ (∀i_{1} < i_{2} < i_{3} < lh(s))
(∃c < k)(F ((s)_{i_{1}}, (s)_{i_{2}}, c) ∧ F ((s)_{i_{1}}, (s)_{i_{3}}, c))∧
(∀i_{1} < i_{2} < lh(s))(s)_{i_{1}} < (s)_{i_{2}} ∧ (∀x < (s)_{0})¬X(x).

(ii) c ist die Farbe von x in s :⇔ F (x, (s)_{lh(s)− · 1}) = c. Farbe_{F,X}(x, s, c) :≡ F (x, (s)_{lh(s)− · 1}, c).

(iii) u ist minimale prähomogene Erweiterung von s :⇔ s und s ⌢ ⟨u⟩ sind prähomogen und für alle u < v ist entweder s ⌢ ⟨u⟩ nicht prähomogen oder die Farben von (s)_{lh(s)− · 1} in s ⌢ ⟨u⟩ und s ⌢ ⟨v⟩ sind verschieden.

MPE_{F,X}(s, u) :≡ prehom_{F,X}(s) ∧ prehom_{F,X}(s ⌢ ⟨u⟩) ∧
(∀v < u)(¬ prehom_{F,X}(s ⌢ ⟨v⟩) ∨ (∃c_{1}, c_{2} < k)
(Farbe_{F,X}(s ⌢ ⟨u⟩, (s)_{lh(s)− · 1}, c_{1})∧
Farbe_{F,X}(s ⌢ ⟨v⟩, (s)_{lh(s)− · 1}, c_{2}) ∧ c_{1} ≠ c_{2})).

(iv) s ist erblich minimal prähomogen (emph) :⇔ für alle i < lh(s) ist (s)_{i} minimale prähomogene Erweiterung von s ↾ i.

EMPH_{F,X}(s) :≡ prehom_{F,X}(s) ∧ (∀i < lh(s)) MPE_{F,X}(s ↾ i, (s)_{i}).

Lemma 2.4.36 (IΣ_{m}) Seien k, m ∈ IN; m > 0, M ⊧ IΣ_{m}; F, X ∈ LL_{m} und gelte

M ⊧ X ist unbeschränkt ∧ F : [X]^{2} → k.

Für T (s) :≡ EMPH(s) gilt dann

(i) M ⊧ Baum(T).

(ii) M ⊧ T ist k-verzweigt.

(iii) T ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m}) .

(iv) M ⊧ T ist unbeschränkt.

(v) Für \begin{aligned}H(x, y) :≡ & (∀s)[T (s) ∧ lh(s) = x → s ≤ y] ∧ \\ & (∀y′ < y)(∃s ≤ y)[T (s) ∧ lh(s) = x ∧ s > y′] \end{aligned}

gilt:

M ⊧ (∀x)(∃!y)H(x, y).

Beweis: (i) und (ii) gelten nach Definition von EMPH bzw. MPE. (iii): Wir zeigen zunächst: X ∈ Δ_{1}(F). Da das Bild von F eine Teilmenge von {0, …, k − 1} ist, haben wir dom(F) ∈ Δ_{1}(F), d.h.:

X(x) ↔ (∃z)(∃c < k)
({F ((z)_{0}, (z)_{1}, c) ∧ (∀z′ < z)(∀c′ < k)¬F ((z′)_{0}, (z′)_{1}, c′)}∧
[x = (z)_{0} ∨ x = (z)_{1} ∨ (∃c′ < k)F ((z)_{0}, x, c′)])
↔ (∀z)(∀c < k)({… } → […]).

Damit ist X ∈ Δ_{1}(F). Mit T ∈ Σ_{0}(X, F) ist T ∈ Δ_{1}(F) und mit Satz 2.4.24 folgt die Behauptung. (iv): Angenommen, T sei beschränkt. Dann existiert eine obere Schranke b für T. Seien x ∈ X, x > b und s_{0} := min X. Wir zeigen :

(∗) (∀z)[(∃s){lh(s) = z ∧ prehom(⟨s_{0}⟩ ⌢ s ⌢ ⟨x⟩) ∧ EMPH(s_{0} ⌢ s)}].

Die Formel in {… } ist in LL_{n} und damit ist […] ∈ LL_{n}. Nach Satz 2.4.19 kann (∗) durch Induktion nach z bewiesen werden:

1. z = 0 : Mit s := ⟨⟩ ist ⟨s_{0}, x⟩ prähomogen und ⟨s_{0}⟩ emph.

2. z ⇝ z + 1: Sei s nach I.V. gegeben. Also ist ⟨s_{0}⟩ ⌢ s ⌢ ⟨x⟩ prähomogen und mit x > b ist ⟨s_{0}⟩ ⌢ s ⌢ ⟨x⟩ ∉ T. Also existiert ein y < x, so daß s_{0} ⌢ s ⌢ ⟨y⟩ emph ist und es gilt

(∗∗) Farbe((s)_{lh(s)− · 1}, ⟨s_{0}⟩ ⌢ s ⌢ ⟨x⟩) = Farbe((s)_{lh(s)− · 1}, s_{0} ⌢ s ⌢ ⟨y⟩).

Für s′ := s ⌢ ⟨y⟩ ist dann wegen (∗∗) auch s_{0} ⌢ s ⌢ ⟨y⟩ ⌢ ⟨x⟩ prähomogen und (∗) ist bewiesen. Für ein s mit lh(s) = x gemäß (∗) ist dann b < x ≤ ⟨s_{0}⟩ ⌢ s ∈ T. Das ist ein Widerspruch. (v): Bemerkung: Im Gegensatz zu Lemma 2.4.33 müssen wir die Behauptung in IΣ_{m} ohne (!) Induktion beweisen, denn i.a. ist (∃y)H(x, y) ∈ Σ_{n+1}. Dabei geht wesentlich die Bedingung ein, daß T k-verzweigt ist. Zunächst definieren wir durch Wertverlaufsrekursion

G(s) := \{ \begin{matrix}0; & falls ¬T (s) \\ ⟨⟩; & falls s = ⟨⟩ \\ G(s′) ⌢ ⟨i⟩; & falls s = s′ ⌢ ⟨u⟩ der i-te Nachfolger von \\ & s′ in T ist. \end{matrix}

Aus dem Satz 2.4.25 über Wertverlaufsrekursion folgt, daß ein solches G ∈ LL_{m} existiert und IΣ_{m}-beweisbar total ist. Sei

G(T)(s) :≡ (∃y ≤ s)(T (y) ∧ G(y) = s)).

Dann ist G(T) ebenfalls ein Baum. Da T k-verzweigt ist, gilt für alle s ∈ G(T) und i < lh(s): (s)_{i} < k. Es folgt daher:

(†) (∀x)(∃b)(G(T)(s) ∧ lh(s) ≤ x → s < b).

Mit dem Satz über starke Kollektion (2.4.23) und der Tatsache, daß mit G ∈ Δ_{1}(T) auch (T (y) ∧ G(y, t)) ∈ LL_{m} ist, erhalten wir für alle b ∈ M :

(‡) (∃d)(∀t < b)[(∃y)(T (y) ∧ G(y) = t) → (∃y < d)(T (y) ∧ G(y, t))].

Wir zeigen (∀x)(∃!y)H(x, y) (ohne Induktion): Sei a ∈ M. (†) liefert ein b, für das gilt:

z ∈ G(T) ∧ lh(z) ≤ a → z < b.

Sei d nach (‡) gewählt. Ist nun s ∈ T mit lh(s) = a so gibt es ein t < b mit G(s) = t. Damit ist aufgrund von (‡) für ein y < d schon y ∈ T und G(y) = t. Weil G injektiv ist folgt s = y < d. Also gilt:

(∃c){(∀s)(T (s) ∧ lh(s) = a → s ≤ c)}.

Die Formel in {… } ist Π_{1}(T), daher LL_{m}. Mit Satz 2.4.19 existiert ein minimales c_{0} mit dieser Eigenschaft. Wir setzen y := c_{0} und es gilt H(x, y).□

Mit diesem Lemma beweisen wir den Induktionsanfang von Satz 2.4.4: Seien dazu m, k ∈ IN; m > 0; M ⊧ IΣ_{m}; q ∈ M; X, F ∈ LL_{m} und gelte

M ⊧ X ist unbeschränkt ∧ F : [X]^{2} → k.

Wir betrachten T (s) :≡ EMPH(s), H aus Lemma 2.4.36 (v) und

G(x) := H(x) · (k + 1).

Dann gilt (∀x)(∃!y)G(x, y). Wir wählen r := G^{(k+1)}(q). Ein solches r existiert, da k eine Standardzahl ist (die Iteration von G ist i.a. keine (in M) totale Funktion). Wieder nach Lemma 2.4.36 (iv) existiert ein s ∈ T mit Länge r. Sei nun für i ≤ k + 1

r_{i} := G^{(i)}(q) sowie s_{i} := s ↾ r_{i}

Dann ist r_{i+1} = G(r_{i}) = H(r_{i})(k + 1) für i < k. Für j < lh(s) − · 1 setzen wir:

Color((s)_{j}) := F ((s)_{j}, (s)_{j+1}),

und für i ≤ (k + 1)

col(s_{i}) := { z | (∃i < lh(s_{i})) Color(s_{i})_{j} = z}.

Da stets Color((s)_{i}) < k ist, existiert ein i_{0} < k + 1 mit col(s_{i_{0}}) = col(s_{i_{0}+1}) und wir setzen:

h_{0} := {(s_{i_{0}+1})_{j} | j < lh(s_{i_{0}+1})}.

Dann ist card(h_{0}) = H(r_{i_{0}})(k + 1) und für ein c < (k + 1) ist

h := { z | z ∈ h_{0} ∧ Color(z) = c}

eine Menge mit |h| > H(r_{i_{0}}). h ist homogen für F und es gilt:

|h| > H(r_{i_{0}}) = H(G^{(i_{0})}(q)) ≥ q.

Zu zeigen bleibt, daß min h ≤ |h| gilt: Da H(r_{i_{0}}) eine obere Schranke für Elemente aus T mit Länge r_{i_{0}} ist, gilt:

H(r_{i_{0}}) ≥ s_{i_{0}} ≥ (s_{i_{0}})_{lh(s_{i_{0}})− · 1} = (s)_{r_{i_{0}}}.

Aus col(s_{i_{0}}) = col(s_{i_{0}+1}) folgt min(h) ≤ (s_{i_{0}})_{lh(s_{i_{0}}− · 1)}, denn sonst wäre Color(min h) ∉ col(s_{i_{0}}) und Color(min h) ∈ col(s_{i_{0}+1}). Dies ist ein Widerspruch zur Wahl von i_{0}. Damit ist schließlich:

min h ≤ (s_{i_{0}})_{lh(s_{i_{0}})− · 1} ≤ s_{i_{0}} ≤ H(r_{i_{0}}) < |h|. □

Im Induktionsschritt betrachten wir wieder den Baum aller erblich minimal prähomogenen Folgen. Das Low-Basis-Theorem liefert einen unbeschränkten Pfad P, wir definieren eine Diagonalfunktion G und wenden die I.V. an. Dabei ist G ∈ Δ_{1}(P, F), im allgemeinen also \underline{nicht} in LL_{n}. Daher modifizieren wir den Begriff prähomogen wie folgt:

Definition 2.4.37 Sei n > 2. Für Formeln X(x), F (x_{1}, …, x_{n}, y) ∈ L_{A} werden folgende Begriffe in L_{A} formalisiert:

(i) s ist prähomogen :⇔ s ist eine Folge von Paaren, die ersten Komponenten bilden eine im Sinne von Definition 2.4.35 prähomogene Folge und jede zweite Komponente ist der Kode von F auf den bisherigen Folgengliedern.

prehom_{F,X}(s) :≡ Seq(s) ∧ (∀i < lh(s))[Seq((s)_{i}) ∧ lh((s)_{i}) = 2 ∧
X(((s)_{i})_{0}) ∧ (i < lh(s) − · 1 → ((s)_{i})_{0} < ((s)_{i+1})_{0}) ∧
(∀i_{1} < … < i_{n+1} < lh(s))
F (((s)_{i_{1}})_{0}, …, ((s)_{i_{n}})_{0}) =
F (((s)_{i_{1}})_{0}, …, ((s)_{i_{n−1}})_{0}, ((s)_{i_{n+1}})_{0}) ∧ i > n →
(Seq(((s)_{i})_{1}) ∧ lh(((s)_{i})_{1}) = \binom{i− · 1}{n} ∧ (∀i_{1}, …, i_{n} < i)
F (((s)_{i_{1}})_{0}, …, ((s)_{i_{n}})_{0}) = (((s)_{i})_{1})_{a(⟨i_{1}, …, i_{n}⟩)}].

wobei a Kode einer bijektive Abbildung a : [i − · 1]^{n} ↔ \binom{i− · 1}{n} ist.

(ii) \begin{matrix}col(s, q) := & \{⟨i_{1}, …, i_{n−2}, c⟩ | i_{1} < … < i_{n−2} < lh(s) − · 1 & \\ & F ((s)_{i_{1}}, …, (s)_{i_{n−2}}, (s)_{lh(s)− · 1}, (q)_{0}, c)\}. \end{matrix}

(iii) s ⌢ ⟨u⟩ ist minimale prähomogene Erweiterung, falls s ⌢ ⟨u⟩ prähomogen ist und für alle u < v gilt: s ⌢ ⟨v⟩ ist nicht prähomogen oder col(s, v) ≠ col(s, u). (iv) s ist erblich minimal prähomogen :⇔ Entweder ist lh(s) ≤ n und jedes ((s)_{i})_{0} ist das i-te Element von X. Oder lh(s) ≥ n und ((s)_{0})_{0}, .., ((s)_{n−2})_{0} sind die ersten n − 1 Elemente aus X und für alle i zwischen n − 1 und lh(s) ist (s)_{i} eine minimale prähomogene Erweiterung von s ↾ i. Eine Formalisierung von (ii) bis (iv) erhalten wir analog zu Definition 2.4.35.

Lemma 2.4.38 (IΣ_{m}) Seien k, m ∈ IN; m > 1; n > 2; M ⊧ IΣ_{m}; F, X ∈ LL_{n} und gelte

M ⊧ X ist unbeschränkt ∧ F : [X]^{n} → k.

Für T (s) :≡ EMPH(s) gilt dann

(i) M ⊧ Baum(T).

(ii) M ⊧ T ist endlich verzweigt.

(iii) T ∈ lowΣ_{0}^{F} (Σ_{m}).

(iv) M ⊧ T ist unbeschränkt.

Beweis: (i) und (ii) gelten nach Definition. (iii) und (iv) werden analog zu Lemma 2.4.36 bewiesen. □ Wir können jetzt den Induktionsschritt von Satz 2.4.4 beweisen: Seien dazu n, m, k ∈ IN; n, m > 0; M ⊧ IΣ_{m+(n+1)−1}, q ∈ M, F, X ∈ LL_{m} und

M ⊧ X ist unbeschränkt ∧ F : [X]^{n+2} → k.

Für T (s) :≡ EMPH(s) liefert das Korollar 2.4.34 zum Low-Basis-Theorem einen unbeschränkten Pfad P ∈ LL_{m+1}. Sei

Z(z) :≡ (∃y)(∃i < lh(y))(P (y) ∧ z = (y)_{i}).

Weil prähomogene Folgen aufsteigen, gilt zudem

Z(z) ↔ (∀y ∈ P)(lh(y) > z → (∃i < lh(y))z = (y)_{i}).

Also ist Z ∈ Δ_{1}(P) und somit in LL_{m+1}. Wir definieren

G : [Z]^{n+1} → k

durch \begin{aligned}G(y_{0}, …, y_{n}) = z :≡ & (∃y_{n+1}, y_{n+2}) ([Z(y_{n+1}) ∧ Z(y_{n+2})∧ \\ & (y_{n})_{0} < (y_{n+1})_{0} < (y_{n+2})_{0}]∧ \\ & \{F ((y_{0})_{0}, …, (y_{n+1})_{0}) = z\}). \end{aligned}

Die gesamte Formel ist äquivalent zu

(∀y_{n+1}, y_{n+2}) ([…] → {… }).

An dieser Stelle nun geht die Modifikation des Begriffs der prähomogenen Folgen ein: der Funktionswert von F kann aus y_{n+2} herausgelesen werden. Damit ist G ∈ Δ_{1}(Z) und nicht bloß Δ_{1}(Z, F) und so selbst in LL_{m+1} . M ist ein Modell von IΣ_{(m+1)+n−1} und nach I.V. existiert eine relativ große für G homogene Menge h der Mächtigkeit q. Also ist

\overline{h} := \{((h)_{i})_{0} | i < lh(h)\}

eine Menge mit Mächtigkeit q und

min \overline{h} ≤ min h ≤ card(h) = card \overline{h}.

Zu zeigen bleibt, daß \overline{h} homogen für F ist. Seien dazu x_{0} < … < x_{n+1}, y_{0} < … < y_{n+1} aus \overline{h}. Dann existieren x⃗′, y⃗′, so daß ⟨x_{i}, x′_{i}⟩, ⟨y_{i}, y′_{i}⟩ Elemente von h sind (i ∈ {0 …, n + 1}). Da h homogen für G ist folgt schließlich:

F (x_{0}, …, x_{n+1}) = G(⟨x_{0}, x′_{0}⟩, …, ⟨x_{n}, x′_{n}⟩) =
G(⟨y_{0}, y′_{0}⟩, …, ⟨y_{n}, y′_{n}⟩) = F (y_{0}, …, y_{n+1}). □

2.4.6 Der Beweis von Satz 2.2.12

Wir können jetzt Satz 2.2.12 beweisen: Für n > 0 gilt:

(∀k ∈ IN) IΣ_{n} ⊢ (∀x, q)(∃y)[x, y] ⟶_{∗} (q)_{k}^{n+1}.

Beweis: Sei M ⊧ IΣ_{n}. Wir nehmen an, es existieren a, q ∈ M und k ∈ IN, so daß es für jedes b ≥ a + n einen Kode einer Funktion

f_{b} : [a, b]^{n+1} ⟶ k

ohne relativ große homogene Menge der Mächtigkeit q gibt. Wir definieren eine primitiv rekursive Funktion δ mit folgender Eigenschaft:

(∀y ≥ a + n) δ(y) = |[a, y]^{n+1}|

durch δ(y) := \{ \begin{matrix}\binom{y−a+1}{n+1} & , falls y ≥ a + n, \\ 0; & sonst. \end{matrix}

Weiter definieren wir eine primitiv rekursive Funktion α, die [a, ∞)^{n+1} so aufzählt, daß

(∗) (∀y > a + n)[α^{−1}([a, y]^{n+1}) ⊆_{e} M]

gilt (d.h. für alle y bildet α das Intervall [0, δ(y)) bijektiv auf [a, y]^{n+1} ab). Dies wird auf folgende Weise erreicht: [a, ∞)^{n+1} wird lexikographisch angeordnet gemäß

(x_{0}, …, x_{n}) <_{l} (y_{0}, …, y_{n}) :≡ (∃i ≤ n)[(∀j < i)(y_{j} = x_{j}) ∧ x_{i} < y_{i}]

und dann entlang dieser Ordnung aufgezählt. Dann erfüllt α die Eigenschaft (∗), denn: Sind y > a+n, z ∈ α^{−1}([a, y]^{n+1}) und z′ < z, so existieren x_{0} < … < x_{n} ∈ M, y_{0} < … < y_{n} ∈ [a, y]^{n+1} mit

α(z) = ⟨y_{0}, …, y_{n}⟩, α(z′) = ⟨x_{0}, …, x_{n}⟩.

Da z′ < z ist, folgt (x_{0}, …, x_{n}) <_{l} (y_{0}, …, y_{n}) und so x_{n} ≤ y_{n}. Damit ist auch (x_{0}, …, x_{n}) ∈ [a, y]^{n+1} und z′ ∈ α^{−1}([a, y]^{n+1}). Wir definieren nun folgenden Baum: T sei der Baum aller Folgen ⟨g_{0}, …, g_{s}⟩, so daß

- jedes g_{i} ist Kode einer Funktion

g_{i} : [0, δ(i)) → k

ohne relativ große homogene Menge der Mächtigkeit q.

- jedes g_{i+1} ist eine Fortsetzung von g_{i}.

Formal definieren wir

T (s) :≡ Seq(s) ∧ (∀i < lh(s)) [Abb((s)_{i}) ∧ dom((s)_{i}) = [0, δ(i))∧
rng((s)_{i}) ⊆ (< k) ∧ (∀h ≤ Seqb(q, δ(i)))
((Seq(h) ∧ lh(h) = q ∧ (h)_{0} < lh(h) ∧ (∀j_{1} < j_{2} < lh(h))
((h)_{j_{1}} < (h)_{j_{2}} ∧ (h)_{j_{1}} < δ(i))) → (∃j_{1} ≠ j_{2} < lh(h))

(s)_{i}(j_{1}) ≠ (s)_{i}(j_{2})) ∧ (∀i < lh(s) − · 1)((s)_{i+1} rest(< δ(i)) = (s)_{i}].

Dann gelten

(i) T ∈ Δ_{1}(IΣ_{1}) & M ⊧ Baum(T).

(ii) M ⊧ T ist unbeschränkt.

(iii) T ist Δ_{1} majorisiert.

(i) folgt sofort aus der Definition von T. (ii): Sei y ≥ a + n beliebig. Dann gibt es nach Voraussetzung ein

f_{y} : [a, y]^{n+1} → k

ohne relativ große homogene Menge. Vermittels α^{−1} erhalten wir einen Kode einer Funktion

s_{y} : [0, δ(y)) → k

ohne entsprechende homogene Menge. Aus diesem s_{y} kann dann ein Element s ∈ T mit s ≥ y konstruiert werden. (iii): Sei x > 1 beliebig, s ∈ T und lh(s) = x. Dann ist (s)_{lh(s)− · 1} der Kode einer Funktion

g : [0, δ(x − 1)) → k.

Mit Lemma 1.3.23 können (s)_{lh(s)− · 1} und damit s primitiv rekursiv in x und k beschränkt werden. Also gibt es eine primitiv rekursive Funktion in x und k, die T majorisiert. Damit sind die Bedingungen für das Low-Basis-Theorem (mit n = 1) erfüllt. Dieses liefert einen LL_{1}-definierbaren und unbeschränkten Pfad P durch T. Sei nun

G(x_{0}, .., x_{n}) = y :≡ (∃s)[P (s)∧lh(s) = x_{n}∧((s)_{lh(s)− · 1})(α^{−1}(⟨x_{0}, .., x_{n}⟩)) = y].

Bemerkung: Mit α^{−1}(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩) < δ(x_{n}) und lh(s) = x_{n} ist ((s)_{lh(s)− · 1})(α^{−1}(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩)) stets definiert. Wegen

G(x⃗) = y ↔ (∀s)[P (s) ∧ lh(s) = x_{n} → ((s)_{lh(s)− · 1})(α^{−1}(⟨x_{0}, .., x_{n}⟩)) = y] ist G ∈ Δ_{1}(P) und damit in LL_{1}. Satz 2.4.4 liefert eine für G relativ große homogene Menge h der Mächtigkeit q. Dann ist h ⊆ δ(y_{0}) − · 1 für ein y_{0}. Daher gibt es ein s ∈ P mit lh(s) = y_{0} + 1, so daß (s)_{lh(s)− · 1} der Kode einer Funktion

g : [0, δ(y_{0})) → k

ist ohne relativ große homogene Menge der Mächtigkeit q. Dies ist ein Widerspruch, da h homogen für g ist. Denn: Sind z_{1}, z_{2} ∈ h, so gibt es x_{0}, …, x_{n}, x′_{0}, …, x′_{n} ∈ [a, y_{0}], mit z_{1} = α^{−1}(⟨x_{0}, …, x_{n}⟩), z_{2} = α^{−1}(⟨x′_{0}, …, x′_{n}⟩). Nach Definition ist

g(z_{1}) = G(x_{0}, …, x_{n}) = G(x′_{0}, …, x′_{n}) = g(z_{2}). □

2.5 Der Beweis von 2.2.13

In diesem Abschnitt spielen spezielle endliche Bäume eine wichtige Rolle. Zunächst wollen wir daher den Begriff eines A-Baumes motivieren: Ist A ⊆ IN eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen, und T eine binäre Ordnung auf A, so heißt T ein A-Baum, falls T ein Baum ist (vgl. Definition 2.5.1), die Knoten von T genau die Elemente von A sind und aT b immer schon a < b impliziert (a, b ∈ A). Ist f : IN → IN eine schwach monoton wachsende Funktion, so heißt ein A-Baum T f(x)-engverzweigt, falls jedes a ∈ A höchstens f(a) viele unmittelbare Nachfolger in T hat. Für Beispiele und weitere Motivationen verweisen wir auf [17]. Auch in diesem Abschnitt wollen wir mit den lateinischen Großbuchstaben A, B, H, A_{0}, … stets Kodes von endlichen Mengen H ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1} (vgl. Definition 1.3.22) bezeichnen. Abweichend von Definition 1.3.7 schreiben wir in diesem Abschnitt für A, B ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}:

A ⊆ B :≡ (∀i < lh(A))(∃j < lh(B))((A)_{i} = (B)_{j}).

Wir wollen nun den Begriff des A-Baumes in L_{A} formalisieren, dazu fassen wir einen A-Baum T als Kode einer Funktion T : [A]^{2} → {0, 1} auf und definieren aT b :≡ T (a, b) = 0:

Definition 2.5.1 (A-Bäume) Sei A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}. T ∈ M ist ein A-Baum :⇔

(i) T : [A]^{2} → {0, 1}

(ii) (∀a_{1} < a_{2} < a_{3} ∈ A)(T (a_{1}, a_{2}) = T (a_{2}, a_{3}) = 0 → T (a_{1}, a_{3}) = 0) (Transitivität)

(iii) (∀a ∈ A)(∀b_{1}, b_{2} ∈ A)(T (b_{1}, a) = T (b_{2}, a) = 0 → T (b_{1}, b_{2}) = 0 ∨ T (b_{2}, b_{1}) = 0). (Für jedes a ∈ A wird die Menge der T -Vorgänger linear geordnet.)

(iv) (∃!a ∈ A)(∀y ∈ A)(a ≠ y → T (a, y) = 0). (Es gibt eine eindeutig bestimmte Wurzel).

Bemerkung: [A]^{2} = {(a, b) | a < b ∈ A} ist die Menge der geordneten Paare von Elementen aus A. Damit gilt immer schon: aT b → a < b. Weiter definieren wir

- aT b :≡ T (a, b) = 0

2.5. DER BEWEIS VON 2.2.13 75

- T_{a} := {x ∈ A | xT a}

- rank_{T} a := card(T_{a})

- für H ⊆ A sei glb(H) = c :≡ c ∈ H ∧ (∀d ∈ H)(c ≤ d)

- p(a) = c :≡ cT a ∧ (¬∃b ∈ A)(cT b ∧ bT a)

- a ist direkter Nachfolger von b :≡ bT a ∧ (∀c ∈ A)(¬bT c ∨ ¬cT a)

- IS_{T} (a) := {b ∈ A | b ist direkter Nachfolger von a}

- P ist ein Pfad in T :⇔ P ⊆ A & T ist eine lineare Ordnung auf P - P ist ein vollständiger Pfad in T ⇔ Es gibt keinen Pfad in T, der P

echt erweitert.

- a\underline{T} b :≡ aT b ∨ a = b

- comp(a, b) :≡ aT b ∨ bT a

- âb = c :≡ c\underline{T} a ∧ c\underline{T} b ∧ (∀d ∈ A)(d\underline{T} a ∧ d\underline{T} b → d\underline{T} c)

- root(T) = c :≡ c ∈ A ∧ (∀b ∈ A)c\underline{T} b

- A^{∘} := A\{max A}. Sei F (x) eine primitiv rekursive, schwach monoton wachsende Funktion. Ein A-Baum T heißt F (x)-engverzweigt, falls gilt:

(∀a ∈ A) card(IS_{T} (a)) ≤ F (a).

Wir definieren nun induktiv den für diesen Abschnitt wesentlichen Begriff: - A ist \underline{0}-fach c-F (x)-arboreal :≡ card(A^{∘}) ≥ c.

- A ist \underline{n + 1}-fach c-F(x)-arboreal :≡ Jeder F (x)-engverzweigte A-Baum

hat einen Pfad P, so daß P^{∘} n-fach-c-F (x) arboreal ist. Bemerkung: Einige der an dieser Stelle eingeführten Begriffe verwenden wir erst im Anhang.

Lemma 2.5.2 Alle Begriffe aus Definition 2.5.1 sind Δ_{1}-definierbar.

Beweis: Die Begriffe können ähnlich wie in 2.2.8 durch Δ_{1}-Formeln definiert werden. Insbesonders kann der Allquantor ”Jeder F(x)-engverzweigte A-Baum“ beschränkt werden. Für jedes n ∈ IN ist also

φ(y, z) :≡ y ist \underline{n}-fach z-F (x)-arboreal

eine L_{A}-Formel mit FV(φ) = {z, y} ∪ FV(F), falls F ∈ L_{A} ist. □

Bemerkung: IΣ_{1} ⊢ A ist 1-fach c-F (x)-arboreal ↔ Jeder F (x)-engverzweigte A-Baum hat einen Pfad der Länge c + 2. Denn card(P^{∘∘}) ≥ c liefert card(P) ≥ c + 2.

Definition 2.5.3 Seien n > 0; A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; d, f ∈ M, f : [A]^{n} → d und B ⊆ A. Wir sagen (abweichend von 2.4.4 und Definition 2.4.35 für diesen Abschnitt) : B ist prehomogen für f :⇔ es existiert ein g : [B^{∘}]^{n−1} → d mit

(∀x_{1} < … < x_{n} ∈ B) f(x_{1}, …, x_{n}) = g(x_{1}, …, x_{n−1}).

Satz 2.5.4 Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1} mit min(A) > 0; c ∈ M; n ∈ IN; c, n ≥ 1 und A n-fach c-x^{2^{x}}-arboreal. Sei weiter f : [A]^{n+1} → M regressiv. Dann existiert eine für f prehomogene Menge H ⊆ A, so daß H^{∘} (n − 1)- fach-c-x^{2^{x}}-arboreal ist.

Beweis: Wir definieren einen A-Baum T wie folgt:

1. a_{0} := min(A) sei die Wurzel von T.

2. Ist T auf {a_{0}, …, a_{r}} bereits definiert, so sei

AV_{r+1} := {a_{j} | 0 ≤ j ≤ r & (∀x_{1} < … < x_{n} ∈ T_{a_{j}})f(x⃗, a_{j}) = f(x⃗, a_{r+1})}.

Wegen a_{0} ∈ AV_{r+1} ist AV_{r+1} ≠ ∅. Wir wählen ein a_{s} ∈ AV_{r+1} mit maximalem rank_{T} und der Eigenschaft

(∗) (∀a_{j} ∈ T_{a_{s}}) a_{j} ∈ AV_{r+1}.

Wir fügen a_{r+1} zu den direkten Nachfolgern von a_{s} hinzu. Damit ist T auf ganz A definiert. Wir zeigen T ist x^{2^{x}}-engverzweigt:

(∗∗) (∀a ∈ A) card(IS_{T} (a)) ≤ a^{2^{a}}.

Ist card(IS_{T} (a)) ≤ 1 für alle a ∈ A, so folgt sofort die Behauptung. Andernfalls fixieren wir ein a_{s} und a < b ∈ IS_{T} (a_{s}). Nach Konstruktion ist a_{s} maximal mit der Eigenschaft, daß a_{s} ∈ AV_{b} \underline{und} (∀a_{i} ∈ T_{a_{s}} a_{i} ∈ AV_{b}) gilt. Damit ist a ∉ AV_{b} und das bedeutet, daß es x_{1} < … < x_{n} ∈ T_{a} gibt, mit

f(x⃗, a) ≠ f(x⃗, b).

Das heißt, daß a und b verschiedene regressive Funktionen f : [T_{a}]^{n} → a_{s} induzieren. Damit ist

card(IS_{T} (a_{s})) ≤ card{f | f : [T_{a}]^{n} → a_{s}}.

Da a_{s} = max(T_{a}) und min(T_{a}) ≥ 1 sind, ist card(T_{a}) ≤ a_{s}. Damit ist card([T_{a}]^{n}) ≤ (_{n}^{a_{s}}) und daher

card{f | f : [T_{a}] → a_{s}} ≤ a_{s}^{(_{n}^{as})} ≤ a_{s}^{2^{as}}.

Daraus folgt (∗∗). Nach Voraussetzung existiert nun ein Pfad B in T, so daß B^{∘} (n − 1)-fach c-x^{2^{x}}-arboreal ist. Sei b := max(B) und g : [B^{∘}]^{n} → M gemäß

g(x_{1}, …, x_{n}) := f(x_{1}, …, x_{n}, b).

Dann gilt für alle x_{1} < … < x_{n+1} ∈ B entweder x_{n+1} = b oder x_{n}T b. Mit (∗) ist x_{n} ∈ AV_{b} und es folgt

f(x_{1}, …, x_{n+1}) = f(x_{1}, …, x_{n}, b) = g(x_{1}, …, x_{n}).

Damit ist der Satz bewiesen. □

Satz 2.5.5 Seien n ∈ IN; c ∈ M ⊧ IΣ_{1}, c ≥ 2; A ⊆_{fin} M mit min(A) > 0 und A n-fach (c − 1)-x^{2^{x}}-arboreal. Dann gilt:

A ⟶ (c)_{reg}^{n+1}.

Beweis: Wir führen Induktion nach n:

1. n = 0 : Nach Voraussetzung ist card(A^{∘}) ≥ c − 1, also card(A) ≥ c. Für jedes regressive f : A → M ist dann A eine min-homogene Menge.

2. n = 1: Sei f : [A]^{2} → M regressiv. Satz 2.5.4 liefert eine für f prehomogene Menge H ⊆ A, so daß H^{∘} 0-fach (c − 1)-x^{2^{x}}-arboreal ist Daraus folgt card(H^{∘∘}) ≥ c − 2 und somit card(H) ≥ c. Da H prehomogen ist, existiert ein g : H^{∘} → M mit

(∀x_{1} < x_{2} ∈ H) f(x_{1}, x_{2}) = g(x_{1}).

Also ist H min-homogen für f und die Behauptung ist gezeigt.

3. n + 1 > 1 : Sei f : [A]^{n+2} → M regressiv. Lemma 2.5.4 liefert wieder eine für f prehomogene Menge H ⊆ A, so daß H^{∘} n-fach-(c − 1)-x^{2^{x}}-arboreal ist. Aus der Definition von prehomogenen Mengen folgt die Existenz eines g : [H^{∘}]^{n+1} → M mit

(∀x⃗ ∈ [H]^{n+2}) f(x_{1}, …, x_{n+2}) = g(x_{1}, …, x_{n+1}).

Damit ist auch g regressiv und die I.V. ergibt

H^{∘} → (c)_{reg}^{n+1}.

So existiert eine für g min-homogene Menge H_{1} ⊆ H^{∘} mit card(H_{1}) ≥ c. Dann ist H_{1} auch min-homogen für f, denn für x_{1} < … < x_{n+2} ∈ H_{1} und x_{1} < y_{2} < … < y_{n+2} ∈ H_{1} ist

f(x_{1}, …, x_{n+2}) = g(x_{1}, …, x_{n+1}) = g(x_{1}, y_{2}, …, y_{n+1}) = f(x_{1}, y_{1}, …, y_{n+1}).

Damit ist der Satz bewiesen. □

Wir zitieren nun zwei Ergebnisse aus [17], die Beweise sind im Anhang A zu finden:

Satz 2.5.6 Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; min(A) ≥ 4; c ∈ M und c ≥ 1. Dann gelten (mit id als Identitätsfunktion):

(i) M ⊧ (A ist 1-fach-(c + 3)-id-arboreal ∧ min(A) ≥ c) → (A ist 1-fach c-x^{2^{x}}-arboreal).

(ii) M ⊧ (A ⟶_{∗} (3)_{c}^{2}) → A ist1-fach (c − 1)-id-arboreal.

Satz 2.5.7 Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; c ∈ M; n ∈ IN; n, c ≥ 2 und min(A) ≥ max{n^{2n}, c}. Dann gelten:

(i) M ⊧ (A ist n-fach (c + 1)-id-arboreal) → (A ist n-fach c-x^{2^{x}}-arboreal).

(ii) M ⊧ (A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}) → (A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n)- id - arboreal).

Damit können wir den Zusammenhang zwischen den Paris-Harrington- und den Kanamori-Mc-Aloon-Prinzipien herstellen:

Satz 2.5.8 Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; c ∈ M, c > 4; min(A) ≥ max{4, c − 4} und gelte A ⟶_{∗} (3)_{c}^{2}. Dann folgt

A ⟶ (c − 3)_{reg}^{2}.

Beweis: Aus der Voraussetzung folgt mit 2.5.6 (ii):

A ist 1-fach-(c − 1)-id-arboreal.

2.5.6 (i) liefert

A ist 1-fach (c − 4)-x^{2^{x}}-arboreal.

Mit Satz 2.5.5 folgt nun die Behauptung □

Satz 2.5.9 Seien n ≥ 2, A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; c ∈ M, c > 4; min(A) ≥ max{n^{2n}, c} und gelte A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}. Dann folgt

A ⟶ ([\frac{c}{2}] − · n)_{reg}^{n+1}.

Beweis: Aus der Voraussetzung folgt mit 2.5.7 (ii) :

A ist n-fach ([\frac{c}{2}] − · n)-id-arboreal.

2.5.7 (i) ergibt

A ist n-fach ([\frac{c}{2}] − · n − · 1)-x^{2^{x}}-arboreal.

Mit Satz 2.5.5 folgt die Behauptung. □ Als Korollar erhalten wir:

Korollar 2.5.10 Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, b, c ∈ M, n > 0, c ∈ M − IN, a ≥ max{n^{2n}, c} und gelte

M ⊧ [a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}.

Dann existiert ein c′ ∈ M − IN mit

[a, b] ⟶ (c′)_{reg}^{n+1}.

Beweis: Mit 2.5.8 und 2.5.9. □ Wir sind nun in der Lage, Satz 2.2.13 zu beweisen.

(i) Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, b ∈ M; und n > 0. Dann gilt:

Y_{P H_{n}}(a, b) > IN ⇒ Y_{KM_{n}}(a, b) > IN.

(ii): (∀k ∈ IN)IΣ_{n} ⊢ (∀x)(∃y)[x, y] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}. Beweis: (i): Es seien a, b, c ∈ M; n > 0; c ∈ M − IN und es gelte

M ⊧ [a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}.

Wir unter unterscheiden zwei Fälle: 1.Fall: a ∈ M − IN. Sei d := min{a, c}. Damit ist auch

M ⊧ [a, b] ⟶_{∗} (n + 2)_{d}^{n+1}

und a ≥ d. Aus 2.5.10 folgt die Behauptung. 2.Fall a ∈ IN. Dann ist b ∈ M − IN. Satz 2.2.6 besagt

IN ⊧ (∀n, k)(∃m) m ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Damit gibt es für alle k ∈ IN ein m ∈ IN mit

IN ⊧ [a, a + m] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Mit Aufwärtspersistenz folgt: für alle k ∈ IN gibt es ein m ∈ IN mit:

M ⊧ [a, a + m] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Da b > IN ist, folgt für alle k ∈ IN :

M ⊧ [a, b] ⟶ (k)_{reg}^{n+1}.

Mit Overspill folgt die Behauptung. (ii): Sei M ⊧ IΣ_{n}, a ∈ M. Ist a ∈ IN, so folgt die Behauptung aus dem Kanamori-Mc-Aloon-Prinzip 2.2.6 und Aufwärtspersistenz. Andernfalls unterscheiden wir zwei Fälle:

1. n = 1 : Satz 2.2.12 liefert ein b mit

M ⊧ [a, b] ⟶_{∗} (3)_{k+3}^{2}.

Mit Satz 2.5.8 folgt die Behauptung.

2. n > 1 : Die Behauptung folgt analog mit 2.2.12 und 2.5.9. □

Beweistheoretische Charakterisierung

3.1 Ordinalzahlen, Funktionenhierarchien

In der folgenden Untersuchung werden wir die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen mittels subrekursiver Funktionenhierarchien charakterisieren, dazu wollen wir im folgenden Abschnitt diese Hierarchien einführen und die im weiteren verwendeten Ergebnisse bereitstellen.

Zunächst benötigen wir für eine beweistheoretische Untersuchung der beweisbar rekursiven Funktionen von IΣ_{n+1} Ordinalzahlen bis ϵ_{0}. Dazu wollen wir ein geeignetes Bezeichnungssystem für diese Ordinalzahlen einführen. Dabei seien < die übliche Wohlordung auf den Ordinalzahlen und + und ω^{(·)} die üblichen arithmetischen Ordinalzahloperationen (z.B. α+0 := 0; α+(β′) := (α + β)′; α + λ := sup_{ξ<λ}{α + ξ} (λ ∈ Lim) und ω^{α} := en_{ℍ}(α) die Aufzählungsfunktion der additiven Hauptzahlen). Weiter sei ϵ_{0} := min{ξ | ω^{ξ} = ξ}. Damit können wir folgendes Bezeichnungssystem definieren:

Definition 3.1.1 (Ein Bezeichnungssystem für ϵ_{0}) Wir definieren die Menge E ⊆ On :

(i) 0 ∈ E

(ii) Mit α_{1}, …, α_{n} ∈ E, α_{1} ≥ … ≥ α_{n}, ist auch ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} ∈ E.

Wir schreiben α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}, falls α_{1}, …, α_{n} ∈ E und für alle 1 ≤ i < n gilt : α_{i} ≥ α_{i+1}. Es bezeichne ω^{α_{1}} +…+ω^{α_{n}} stets eine Ordinalzahl in Normalform.

82 KAPITEL 3. BEWEISTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG

Lemma 3.1.2 E = ϵ_{0} und für α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{m}} und β =_{NF} ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}} gilt:

\begin{matrix}α < β :⇔ (m > n ∧ (∀1 ≤ i ≤ n)α_{i} = β_{i})∨ \\ (∃i_{0} ≤ min\{n, m\})((∀1 ≤ i < i_{0})((α_{i} = β_{i}) ∧ α_{i_{0}} < β_{i_{0}}). \end{matrix} □

Wir können nun arithmetische Operationen auf dem Bezeichnungssystem E definieren. Als Konvention wollen wir vereinbaren, in diesem Kapitel mit den griechischen Kleinbuchstaben α, β, γ, α_{0}, α_{1} … stets Ordinalzahlen kleiner ϵ_{0} zu bezeichnen. Weiter identifizieren wir IN mit ω und bezeichnen mit den lateinischen Kleinbuchstaben k, l, m, n, p, q, n_{1}, n_{2}, … stets endliche Ordinalzahlen.

Definition 3.1.3 (Arithmetische Operationen auf E) Wir definieren folgende arithmetische Operationen auf dem Bezeichnungssystem E:

(i) α + 0 := α; 0 + α := α und (ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}) + (ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}}) := ω^{γ_{1}} + … + ω^{γ_{k}}; falls es ein 1 ≤ i < n gibt, so daß α_{i+1} < β_{1} & α_{i} ≥ β_{1} & γ_{1}, …, γ_{k} = α_{1}, …, α_{i}, β_{1}, …, β_{m}, oder γ_{1}, …, γ_{k} = α_{1}, …, α_{n}, β_{1}, …, β_{m} gilt.

(ii) ω · 0 = 0 ω · (ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}) = ω^{1+α_{1}} + … + ω^{1+α_{n}}.

(iii) ω^{α} · n := ω^{α} + … + ω^{α} (n-mal ).

(iv) α#0 := α; 0#α := α und (ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}})#(ω^{α_{n+1}} + … + ω^{α_{n+m}}) := ω^{α_{π(1)}} + … + ω^{α_{π(n+m)}}; falls π ∈ S_{n+m} mit (∀1 ≤ i < n + m)π(i) ≥ π(i + 1) ist.

Definition 3.1.4 \begin{aligned}ω_{0}(α) & := α \\ ω_{n+1}(α) & := ω^{ω_{n}(α)}. \end{aligned}

Definition 3.1.5 (Eine Normfunktion für Ordinalzahlen aus E) Wir definieren folgende Normfunktion:

- N(0) := 0
- N(ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}) := N(α_{1}) + … + N(α_{n}) + n.

Damit zählt N die Anzahl der Auftreten des Zeichens ω in α ∈ E. Z.B. ist Nω = N(ω^{ω^{0}}) = 2. Wir schreiben oft Nα für N(α).

3.1. ORDINALZAHLEN, FUNKTIONENHIERARCHIEN 83

Lemma 3.1.6 N erfüllt folgende Bedingungen: (N1) N(α#β) = Nα + Nβ. (N2) N(ω^{α}) = Nα + 1. (N3) card{α ∈ E | Nα < k} < ω für jedes k ∈ IN. (N4) N(α + n) = N(α) + n für alle n ∈ IN. Lemma 3.1.7 Für alle α gibt es eindeutig bestimmte β, m mit α = ω·β+m. Beweis: Sei α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} + m mit α_{n} ≥ 1. Für β ≥ ω ist ωω^{β} = ω^{1+β} = ω^{β}. Damit ist für i ≤ n mit α_{i} ≥ ω, α_{i+1} < ω :

α = ω(ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{i}} + ω^{α_{i+1}−1} + … + ω^{α_{n}−1}) + m. □ Definition 3.1.8 (Eine fixpunktfreie 2^{(.)}-Funktion auf E) Für α = ω · β + m sei

\overline{2}^{α} := ω^{β} · 2^{m+1}.

Lemma 3.1.9 Für alle α, β ∈ E und k ∈ IN gilt:

(i) \overline{2}^{ωk} = ω^{k} · 2 ≤ ω^{k+1}. (ii) Nβ ≤ N(ωβ). (iii) N(ωβ) + 1 ≤ 2 · N(ω^{β}). (iv) N(α) + 1 ≤ N(\overline{2}^{α}).

(v) N(\overline{2}^{α}) ≤ \overline{2}^{Nα}. Beweis: (i) gilt nach Definition. (ii): Induktion nach β : β = 0 ist klar. Für β > 0 ist β =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} und ωβ = ωω^{α_{1}} + … + ωω^{α_{n}}. Ist n > 1, so folgt die Behauptung sofort mit der I.V. Anderfalls haben wir

Nβ = Nα_{1} + 1 ≤ N(1 + α_{1}) + 1 = N(ω^{1+α_{1}}) = N(ωω^{α_{1}}). (iii): Für β = 0 ist die Behauptung klar. Ist β =_{NF} ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{k}} und ωβ = ω^{1+β_{1}} + … + ω^{1+β_{k}}, so ist k ≤ Nβ und es gilt

N(ωβ) + 1 ≤ Nβ + k + 1 ≤ 2(Nβ + 1) = 2(N(ω^{β})).

(iv): Ist α < ω so folgt sofort die Behauptung. Andernfalls ist α = ωβ + m. Dann gilt: Nα + 1 = N(ωβ) + m + 1 ≤ 2 · (N(ω^{β})) + m ≤_{(∗)} N(ω^{β}) · \overline{2}^{m} = N(ω^{β} · \overline{2}^{m}) = N(\overline{2}^{α}). (∗) folgt aus 2 · (n + 1) + m ≤ (n + 1) · 2^{m+1}. (v): Sei α = ωβ + n. Dann gilt

N(\overline{2}^{α}) = N(ω^{β} · 2^{n+1}) = (Nβ + 1) · 2^{n+1} ≤
2^{Nβ} · 2^{n+1} ≤_{(ii)} 2^{N(ωβ)+n+1} = \overline{2}^{N(ωβ)+n} = \overline{2}^{Nα}. □

Definition 3.1.10 (Eine Variante der Ackermannfunktion) Für f : IN → IN sei f^{(0)} :≡ id und f^{n+1} :≡ f ∘ f^{n} die Iteration von f. Damit definieren wir für alle n ∈ IN Funktionen F_{n} : IN → IN:

\begin{aligned}F_{0}(m) & := 2^{m+1} \\ F_{n+1}(m) & := F_{n}^{m+2}(m). \end{aligned}

Bemerkung: Jedes F_{n} ist primitiv rekursiv. Wir definieren folgende Version der Ackermannfunktion: Φ(n) := F_{n}(n).

Lemma 3.1.11 (Eigenschaften von Φ)

(Φ1) (Φ(n) ≥ 2 & Φ(n) + Φ(n) + 2 ≤ Φ(n + 1)) für alle n ∈ IN.

(Φ2) \overline{2}^{Φ(n+1)+1} ≤ Φ(n + 2) für alle n ∈ IN.

(Φ3) Für jeden Term t ∈ L_{P R} mit FV(t) ⊆ {x_{1}, …, x_{n}} existiert ein p ∈ IN, so daß für alle k⃗ ∈ IN^{n} gilt: t(k_{1}, …, k_{n}) < Φ(p + k_{1} + … + k_{n}).

Beweis: (Φ2) Es gelten:

- F_{n}(m) < F_{n}(m + 1), d.h. l < m ⇒ F_{n}(l) < F_{n}(m)
- m < F_{n}(m)
- n ≤ m ⇒ F_{n}(x) ≤ F_{m}(x)
- 2^{m} ≤ F_{n}(m)
- 2^{F_{n}(m)} ≤ F_{n}^{2}(m)
- 2^{F_{n}^{k}(m)} ≤ F_{n}^{k+1}(m).

Damit zeigen wir die Behauptung: \overline{2}^{Φ(n+1)+1} = 2^{F_{n}^{n+3}(n+1)+2} ≤ 2^{F_{n+1}^{n+3}(n+2)} ≤ F_{n+1}^{n+4}(n + 2) = Φ(n + 2). (Φ1) folgt aus (Φ2), zu (Φ3) siehe Lemma 3.4.3 □ Definition 3.1.12 (Die Relation <_{n}^{1}⊆ E × E) Wir definieren β <_{n}^{1} α :⇔ β < α & Nβ ≤ Φ(Nα + n). Weiter sei ≤_{n}^{1} der reflexive Abschluß von <_{n}^{1}, <_{n} der transitive Abschluß von <_{n}^{1} und ≤_{n} der reflexive Abschluß von <_{n}.

Lemma 3.1.13 Es gelten:

(i) β <_{n}^{1} α ⇒ (γ#β <_{n}^{1} γ#α & ω^{β} <_{n}^{1} ω^{α} & \overline{2}^{β} <_{n}^{1} \overline{2}^{α}).

(ii) α_{0}, α_{1} <_{n}^{1} α ⇒ (ω^{α_{0}}#ω^{α_{1}} <_{n}^{1} ω^{α} & \overline{2}^{α_{0}}#\overline{2}^{α_{1}} ≤_{n}^{1} \overline{2}^{α}).

(iii) β <_{n}^{1} α ⇒ β + n + 1 <_{0}^{1} α + n + 1.

(iv) 2 · (n + 1) <_{n}^{1} ω.

(v) β <_{n}^{1} α ∧ n ≤ m ⇒ β <_{m}^{1} α.

(vi) Analoge Aussagen gelten auch für <_{n} bzw. ≤_{n} anstelle von <_{n}^{1} und ≤_{n}^{1}.

Beweis: Zu (i):

N(γ#β) = Nγ+Nβ ≤ Nγ+Φ(Nα+n) ≤ Φ(Nγ+Nα+n) = Φ(N(γ#α)+n).

N(ω^{β}) = Nβ + 1 ≤ Φ(Nα + n) + 1 ≤ Φ(Nα + n + 1) = Φ(N(ω^{α}) + n).

N(\overline{2}^{β}) ≤ \overline{2}^{Nβ} ≤ \overline{2}^{Φ(Nα+n)} ≤_{(∗)} Φ(Nα + n + 1) ≤_{(∗∗)} Φ(N(\overline{2}^{α}) + n).

(∗) folgt aus (Φ2) und (∗∗) folgt mit Lemma 3.1.9 (iv). (ii): N(ω^{α_{0}}#ω^{α_{1}}) = Nα_{0} + 1 + Nα_{1} + 1 ≤ Φ(Nα + n) + Φ(Nα + n) + 2

≤ Φ(Nα + n + 1) = Φ(N(ω^{α}) + n).

Sei ohne Einschränkung Nα_{1} ≥ Nα_{0}. Dann gilt:

N(\overline{2}^{α_{0}}#\overline{2}^{α_{1}}) ≤ \overline{2}^{Nα_{1}} + \overline{2}^{Nα_{1}} ≤ \overline{2}^{Nα_{1}+1} ≤
\overline{2}^{Φ(Nα+n)+1} ≤_{(Φ2)} Φ(Nα + n + 1) ≤_{(∗∗∗)} Φ(N(\overline{2}^{α}) + n).

(∗ ∗ ∗) folgt aus Lemma 3.1.9 (iv). (iii): N(β + n + 1) = Nβ + n + 1 ≤ Φ(Nα + n) + n + 1 ≤_{(Φ2)} Φ(Nα + n + 1). (iv): N(2n + 2) = 2n + 2 ≤ Φ(n + 2) = Φ(Nω + n).

(v) ist klar. (vi): Die Behauptung folgt sofort aus (i)-(v), da wir für β <_{n} α haben: β = γ_{0} <_{n}^{1} γ_{1} <_{n}^{1} … <_{n}^{1} γ_{k} = α. □

Definition 3.1.14 (Die Hierarchien H_{α}, B_{α}) Wir definieren für alle α ∈ E Funktionen H_{α}, B_{α} : IN → IN wie folgt:

\begin{matrix}H_{α}(n) := & max(\{n\} ∪ \{H_{β}(n + 1) | β <_{n}^{1} α\}) \\ B_{α}(n) := & max(\{n^{2}\} ∪ \{B_{β}(B_{β}(n + 1)) | β <_{n}^{1} α\}). \end{matrix}

Bemerkung: Mit (N3) sind H_{α}(n), B_{α}(n) stets definiert.

Lemma 3.1.15 (Eigenschaften von H_{α})

(i) Für α > 0 ist H_{α}(n) > n, d.h. H_{α}(n) = H_{β}(n + 1) für ein β <_{n}^{1} α.

(ii) H_{m}(n) = m + n.

(iii) β <_{n}^{1} α ⇒ H_{β}(n) < H_{α}(n).

(iv) β <_{n} α ⇒ H_{β}(n) < H_{α}(n).

(v) H_{α}(n) < H_{α}(n + 1), d.h. n < m ⇒ H_{α}(n) < H_{α}(m).

(vi) H_{α}(n + 1) = H_{α+1}(n).

Beweis: (i): Die Behauptung ist klar für α = 1. Ist α > 1, so ist 1 <_{n}^{1} α und damit gilt

H_{α}(n) ≥ H_{1}(n + 1) ≥ n + 1 > n.

(ii): Induktion nach m : 1. m = 0 ist klar. 2. m ⇝ m + 1 :

H_{m+1}(n) = max({n} ∪ {H_{k}(n + 1) | k < m + 1 & Nk ≤ Φ(Nm + n)}) =_{I.V.}

max({n} ∪ {k + n + 1 | k < m + 1}) = n + m + 1.

(iii): Induktion nach α: 1.α = 0 ist klar.

2. α > 0: Ist β = 0 so folgt ebenfalls die Behauptung. Sonst gilt H_{β}(n) = H_{γ}(n + 1) für ein y <_{n}^{1} β. Mit 3.1.13 (v) ist γ <_{n+1}^{1} β und mit I.V. gilt H_{γ}(n + 1) < H_{β}(n + 1). Mit (i) und β <_{n}^{1} α folgt die Behauptung. (iv): Folgt sofort mit (iii). (v): Induktion nach α: 1. α = 0 ist klar.

2. Für α > 0 folgt mit 3.1.13 (v):

H_{α}(n) = H_{β}(n + 1) <_{I.V.} H_{β}(n + 2) ≤ H_{α}(n + 1).

(vi): Für α = 0 gilt offensichtlich die Behauptung. Ist α > 0, so gilt: ” ≤ “: Diese Richtung folgt mit α < α + 1 und Nα ≤ Φ(Nα + 1 + n), d.h. α <_{n}^{1} α + 1 und somit H_{α}(n + 1) ≤ H_{α+1}(n).

” ≥ “: H_{α+1}(n) = H_{β}(n + 1) für ein β <_{n}^{1} α + 1. Dann ist entweder α = β oder es ist β < α und mit Nβ ≤ Φ(Nα + 1 + n) folgt

H_{β}(n + 1) ≤ H_{β}(n + 2) ≤ H_{α}(n + 1). □

Lemma 3.1.16 (Eigenschaften von B_{α})

(i) Für α > 0 ist B_{α}(n) > n^{2}, d.h. B_{α}(n) = B_{β}(B_{β}(n+1)) für ein β <_{n}^{1} α.

(ii) n ≤ B_{n}(0).

(iii) β <_{n}^{1} α ⇒ B_{β}(n) < B_{α}(n).

(iv) β <_{n} α ⇒ B_{β}(n) < B_{α}(n).

(v) B_{α}(n) < B_{α}(n + 1).

Beweis: Analog zu Lemma 3.1.15. □

Lemma 3.1.17 Seien n, k ∈ IN; n ≥ 1. Dann gilt:

(∀p ∈ IN) B_{ω_{n}(k)+p+1}(0) ≤ B_{ω_{n}(k+1)}(p).

Beweis: Dies folgt sofort aus ω_{n}(k) + p + 1 <_{p} ω_{n}(k + 1). □

Definition 3.1.18 Wir definieren ·[·] : E − {0} × IN ⟶ E durch:

α[n] := max{ β | β <_{n}^{1} α} (α > 0).

Lemma 3.1.19 (Eigenschaften von ·[·]) Für alle α > 0, n ∈ IN, β <_{n} α und γ <_{n}^{1} α gilt:

(i) Ist α = α_{0} + 1, so ist α[n] = α_{0} und β ≤_{n+1}^{1} α[n] = α_{0}.

(ii) Ist α ∈ Lim, so ist N(α[n]) = Φ(Nα + n). Weiter ist γ ≤_{n}^{1} α[n] und β ≤_{n} α[n].

Beweis: (i): α_{0} <_{n}^{1} α_{0} + 1 gilt für alle α_{0} ∈ E, n ∈ IN. Damit ist α_{0} = max{ β | β <_{n}^{1} α}. Die zweite Behauptung folgt aus β ≤ α[n] und β <_{n} α. (ii): Angenommen N(α[n]) < Φ(Nα + n). Dann ist wegen α ∈ Lim auch α[n] + 1 < α. Widerspruch zur Maximalität von α[n]. Ist γ <_{n}^{1} α, so ist γ ≤ α[n] und mit N(α[n]) = Φ(Nα + n) ist Nγ ≤ Φ(N(α + n)) ≤ Φ(Nα[n]). Also ist γ ≤_{n}^{1} α[n]. Damit folgt die Behauptung auch für β. □

Lemma 3.1.20 (Effektive Version von H_{α}) Für alle α > 0 gilt:

(∀n ∈ IN) H_{α}(n) = H_{α[n]}(n + 1).

Beweis: ” ≥ “ folgt sofort aus der Definition. ” ≤ “ 1.Fall: α = α_{0} + 1. Dann folgt mit Lemma 3.1.15 (vi) und α[n] = α_{0} : H_{α}(n) = H_{α_{0}}(n + 1).

2. Fall α ∈ Lim. Dann ist Φ(Nα+n) = N(α[n]). Weiter ist H_{α}(n) = H_{β}(n+1) für ein β <_{n}^{1} α. Entweder ist β = α[n] oder nach Lemma 3.1.19 (ii) ist β ≤_{n}^{1} α[n], also β ≤_{n+1}^{1} α[n]. Daraus folgt H_{β}(n + 1) ≤ H_{α[n]}(n + 1). □

Lemma 3.1.21 (Abschlußeigenschaft und effektive Version von B_{α})

(i) α_{0}, α_{1} <_{n} α ⇒ B_{α_{0}}(B_{α_{1}}(n)) < B_{α}(n).

(ii) α > 0 ⇒ B_{α}(n) = B_{α[n]}(B_{α[n]}(n + 1)).

Beweis: (i) 1.α = α′+1: Dann sind nach Lemma 3.1.19 α_{0}, α_{1} ≤_{n+1} α[n] = α′ und es folgt mit Lemma 3.1.16 (iv) und (v):

B_{α_{0}}(B_{α_{1}}(n)) < B_{α_{0}}(B_{α_{1}}(n + 1)) ≤ B_{α_{0}}(B_{α′}(n + 1))
≤ B_{α′}(B_{α′}(n + 1)) ≤ B_{α}(n).

2. α ∈ Lim: Wieder nach Lemma 3.1.19 sind α_{0}, α_{1} ≤_{n} α[n] und die Behauptung folgt analog zum Nachfolgerfall. (ii) ” ≥ “ folgt sofort aus der Defintion. ” ≤ “ B_{α}(n) = B_{β}(B_{β}(n + 1)) für ein β <_{n}^{1} α. Mit Lemma 3.1.19 ist dann β ≤_{n+1}^{1} α[n] und es folgt

B_{β}(B_{β}(n + 1)) ≤ B_{β}(B_{α[n]}(n + 1)) ≤ B_{α[n]}(B_{α[n]}(n + 1)). □

Lemma 3.1.22 Sei α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} > 0 und p ∈ IN. Dann existieren m ≥ 0 und β_{1}, …, β_{m} < α_{n}, so daß

α[p] =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} + ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}}.

Dabei ist m = 0 genau dann, wenn α_{n} = 0.

Beweis: Wegen ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} <_{m}^{1} α gilt:

ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} ≤ α[m] < ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}.

Daraus folgt die Behauptung. □

Lemma 3.1.23 Sei α > 0, α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}}. Dann gilt:

(∀p ∈ IN) H_{α}(p) < B_{ω·(α_{1}+1)}(… B_{ω·(α_{n}+1)}(Φ(Nα + p + 1)) …).

Beweis: Induktion nach α :

1. α = 1 ist klar.

2. α =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} > 1. Zunächst wollen wir eine Reihe von Aussagen festhalten, die wir im Induktionsschritt verwenden:

(i) N(α[p]) ≤ Φ(Nα + p).

(ii) B_{ω·α+n}(n) < B_{ω·(α+1)}(n), denn (ω · α + n) <_{n} ω · (α + 1).

(iii) Ist nach Lemma 3.1.22 für p ∈ IN α[p] =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} + ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}}, so gilt:

m ≤ N(α[p]) ≤ Φ(Nα + p).

(iv) Φ(n) ≤ B_{ω}(n), denn ω[n] = Φ(2 + n) und B_{ω}(n) > B_{Φ(n)}(n) > Φ(n).

(v) N(α[p]) + p + 2 ≤_{(i)} Φ(Nα + p) + Φ(Nα + p) ≤ Φ(Nα + p + 1).

(vi) Ist nach Lemma 3.1.22 für p ∈ IN α[p] =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} + ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}}, so gilt:

(a) B_{ω·(β_{m}+1)}(B_{ω}(N(α[p]) + p + 2)) < B_{ω·α_{n}+1}(N(α[p]) + p + 2), sowie für i < m und k ∈ IN:

(b) B_{ω·(β_{m_{i}}+1)}(B_{ω·α_{n}+k}(N(α[p]) + p + 2)) < B_{ω·α_{n}+k+1}(N(α[p]) + p + 2).

(a) und (b) folgen jeweils aus Lemma 3.1.21 (i)

Damit beweisen wir den Induktionsschritt: Sei p ∈ IN und nach Lemma 3.1.22 sei α[p] =_{NF} ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n−1}} + ω^{β_{1}} + … + ω^{β_{m}}. Dann gilt:

H_{α}(p) = H_{α[p]}(p + 1) <_{I.V.}
B_{ω·(α_{1}+1)}(… B_{ω·(β_{m}+1)}(Φ(N(α[p]) + p + 2)) …) <_{(iv)}

B_{ω·(α_{1}+1)}(… \underbrace{B_{ω·(β_{1}+1)}(… (B_{ω·(β_{m}+1)}(B_{ω}}_{nach (iii) ≤Φ(Nα+p)+1 T erme}(N(α[p]) + p + 2)))) …)

Φ(Nα + p)-Anwendungen von (vi) liefern:

< B_{ω·(α_{1}+1)}(… B_{ω·(α_{n})+Φ(Nα+p)}(N(α[p] + p + 2)) …) ≤_{(v)}
B_{ω·(α_{1}+1)}(… B_{ω·(α_{n})+Φ(Nα+p)}(Φ(Nα + p + 1)) …) <_{(ii)}
B_{ω·(α_{1}+1)}(… (B_{ω·(α_{n}+1)}(Φ(Nα + p + 1)) …).

Damit ist das Lemma bewiesen. □

90 KAPITEL 3. BEWEISTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG

Korollar 3.1.24 (Majorisierung von H_{ω^{α}} durch B_{ω(α+1)}) Sei α ∈ E. Dann gilt :

(∀n ∈ IN) H_{ω^{α}}(n) < B_{ω(α+1)}(Φ(N(ω^{α}) + n + 1)). □ Ziel der nächsten beiden Abschnitte ist folgender Satz:

Satz 3.1.25 (Hüllen für die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen) Sei n > 0. Dann sind

(i) (H_{ω_{n+1}(k)})_{(k∈ℕ)} und (ii) (B_{ω_{n}(k)})_{(k∈ℕ)} Hüllen für die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen.

3.2. SCHRANKEN FÜR IΣ_{N+1} 91

3.2 Schranken für IΣ_{n+1}

Wir fixieren nun zunächst einen erststufigen Herleitungskalkül für IΣ_{n+1} über der Sprache L_{P R}. Da wir für jedes Prädikatszeichen P ∈ L_{P R} ein duales Zeichen \overline{P} ∈ L_{P R} haben, können wir von nun an ”¬“ als gemäß folgenden Regeln definierte Abkürzung auffassen:

\begin{aligned}¬P (t_{1}, …, t_{n}) & :≡ \overline{P} (t_{1}, …, t_{n}) \\ ¬(A ∧ B) & :≡ ¬A ∨ ¬B \\ ¬(A ∨ B) & :≡ ¬A ∧ ¬B \\ ¬(∀x)A & :≡ (∃x)(¬A) \\ ¬(∃x)A & :≡ (∀x)(¬A). \end{aligned}

Damit können wir einen Taitkalkül definieren. Um den Schnittrang einer Herleitung zu bezeichnen, wollen wir zunächst jeder Formel aus L_{P R} einen Rang zuordnen:

Definition 3.2.1 (Der Rang einer Formel)

(i) rk(A) := 0; falls A eine Primformel ist.

(ii) rk(A ∧ B) := rk(A ∨ B) := max{rk(A), rk(B)} + 1.

(iii) rk((∃x)A) := rk((∀x)A) := rk(A) + 1.

Bemerkung: Für jeden Term t ∈ L_{P R} und jede Formel A ∈ L_{P R} ist rk(A) = rk(A_{x}(t)), sowie rk(A) ∈ IN. Wir bezeichnen im folgenden mit den griechischen Großbuchstaben Γ, Δ, Γ_{0}, Γ_{1}, … stets endliche Formelmengen aus L_{P R} und schreiben Γ, A := Γ ∪ {A} sowie Γ, Δ := Γ ∪ Δ.

Definition 3.2.2 (Ein Taitkalkül IΣ_{n+1} m Γ) Wir definieren für n, m ∈ IN:

(AxM) Für alle primitiv rekursiven Funktions- und Relationszeichen mit geeigneten Stellenzahlen gelte:

IΣ_{n+1} m 0 ≠ Sx.

IΣ_{n+1} m Sx ≠ Sy ∨ x = y

IΣ_{n+1} m C_{k}^{l}(x_{1}, …, x_{l}) = \underline{k}.

IΣ_{n+1} m P_{k}^{l}(x_{1}, …, x_{l}) = x_{k}.

92 KAPITEL 3. BEWEISTHEORETISCHE CHARAKTERISIERUNG

IΣ_{n+1} m Sub(g, h_{1}, …, h_{l})(x_{1}, …, x_{k}) = g(h_{1}(x⃗), … h_{l}(x⃗)).

IΣ_{n+1} m Rgh(0, x⃗) = g(x⃗).

IΣ_{n+1} m z ≠ Su ∨ Rgh(z, x⃗) = h(u, x⃗, Rgh(u, x⃗)).

IΣ_{n+1} m ¬P x_{1}, …, x_{n} ∨ χ_{P} (x_{1}, …, x_{n}) = 0.

IΣ_{n+1} m P x_{1}, …, x_{n} ∨ χ_{P} (x_{1}, …, x_{n}) = 1.

(AxL) IΣ_{n+1} m Γ, A, ¬A; falls rk(A) = 0.

(=) IΣ_{n+1} m Γ, t = t & IΣ_{n+1} m Γ, t ≠ s, s = t &

IΣ_{n+1} m Γ, t ≠ s, ¬A(t), A(s); falls rk(A) = 0.

(∧) (IΣ_{n+1} m Γ, A & IΣ_{n+1} m Γ, B) ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, A ∧ B.

(∨l) IΣ_{n+1} m Γ, A ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, A ∨ B.

(∨r) IΣ_{n+1} m Γ, B ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, A ∨ B.

(∀) IΣ_{n+1} m Γ, A_{x}(y) ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, (∀x)A; falls y ∉ FV(Γ, A).

(∃) IΣ_{n+1} m Γ, A_{x}(t) ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, (∃x)A.

(Cut) (IΣ_{n+1} m Γ, A & IΣ_{n+1} m Γ, ¬A & rk(A) < m) ⇒ IΣ_{n+1} m Γ.

(Ind) (IΣ_{n+1} m Γ, A_{x}(0) & IΣ_{n+1} m Γ, ¬A, A_{x}(x + 1)) ⇒ IΣ_{n+1} m Γ, A_{x}(s);

falls x ∉ FV(Γ), rk(A) ≤ n + 1 und s ein Term ist. Wir sagen IΣ_{n+1} Γ, falls für ein m ∈ IN gilt: IΣ_{n+1} m Γ. Bemerkung: Die mathematischen Axiome sind so formuliert, daß alle einen Rang < 2 haben. Wir haben IΣ_{n+1} als Theorie mit Induktionsregel fixiert. Das nächste Lemma zeigt, daß diese äquivalent zur Version von IΣ_{n+1} mit Induktionsaxiom (d.h mit Axiom (Ind): IΣ_{n+1} ⊢ A_{x}(0) ∧ (∀x)(A → A_{x}(x + 1)) → (∀x)A für A ∈ Σ_{n+1}, vgl. Definition 1.1.1) ist: Lemma 3.2.3 Seien n ∈ IN und A ∈ Σ_{n+1} aus L_{P R}. Dann gelten:

(i) Es gibt eine Primformel A_{0} mit IΣ_{1} ⊢ A ↔ (∃x_{1})(∀x_{2}) … (Qx_{n+1})A_{0}.

(ii) Für den Taitkalkül IΣ_{n+1} aus Definition 3.2.2 gilt: IΣ_{n+1} ⊢ A_{x}(0) ∧ (∀x)(A → A_{x}(x + 1)) → (∀x)A.

(iii) Für IΣ_{n+1} mit Induktionsaxiom gilt für alle Γ mit x ∉ FV(Γ): (IΣ_{n+1} Γ, A_{x}(0) & IΣ_{n+1} Γ, ¬A, A_{x}(x + 1)) ⇒ IΣ_{n+1} Γ, A_{x}(s).

Beweis: (i): Jede Δ_{0}-Formel ist äquivalent zu einer primitiv rekursiven Gleichung. (ii): Mit (i) können wir ohne Einschränkung rk(A) = n + 1 annehmen. Als Tautologien sind herleitbar

(1)  ⊢ A_{x}(0), ¬A_{x}(0)  und
(2) ⊢ (∀x)(A → A_{x}(x + 1)), (∃x)(A(x) ∧ ¬A_{x}(x + 1)).

Eine (∀)- und eine (∨)-Inversion ergeben

(3) ⊢ ¬A, A_{x}(x + 1), (∃x)(A(x) ∧ ¬A_{x}(x + 1)).

Die (Ind)-Regel ergibt für (1) und (3)

⊢ ¬A_{x}(0), (∃x)(A ∧ ¬A(x + 1), A.

Die Variablenbedingung ist erfüllt und mit (∀) und (∨) folgt die Behauptung. (iii): Es gelte

(1) ⊢ Γ, A_{x}(0) und
(2) ⊢ Γ, ¬A, A_{x}(x + 1).

Ein (∨) und ein (∀)-Schluß ergeben

(3) ⊢ Γ, (∀x)(A → A_{x}(x + 1)).

Das Induktionsaxiom ergibt

(4) ⊢ A_{x}(0) ∧ (∀x)(A → A_{x}(x + 1)) → (∀x)A.

Zwei (∨)-Inversionen liefern

(5) ⊢ Γ, ¬A_{x}(0), (∃x)(A ∧ ¬A_{x}(x + 1)), (∀x)A.

(1),(3) und (5) und (Cut) liefern die Behauptung.

Lemma 3.2.4 Es seien k, n ∈ IN; A ∈ L_{P R}; rk(A) = n + 2 + k und es gelte

IΣ_{n+1} n+2+k Γ, A und IΣ_{n+1} n+2+k Γ, ¬A. Dann gilt:

IΣ_{n+1} n+2+k Γ.

Beweis: Wir können die übliche Gentzensche Schnittreduktion durchführen, da nach Voraussetzung A nicht durch Anwendung eines (Ind)-Schlusses entstanden ist und kein mathematisches Axiom ist (diese haben einen Rang < n + 2). □

Korollar 3.2.5 Gilt IΣ_{n+1} Γ, so folgt IΣ_{n+1} n+2 Γ.

Beweis: Mit Lemma 3.2.4 können wir durch übliche Schnitteliminationen den Schnittrang auf n + 2 verringern. □

3.2.1 Ein halbformaler Kalkül

Definition 3.2.6 D(IN) := {A | A Primformel & IN ⊧ A }.

Definition 3.2.7 (^{α}_{m} Γ ) Sei Γ eine Menge von geschlossenen Formeln aus L_{P R}.

α_{m} Γ :⇔ einer der folgenden Fälle gilt:
(Ax) Γ ∩ D(IN) ≠ ∅,
(∨l) A_{0} ∨ A_{1} ∈ Γ & ^{α_{0}}_{m} Γ, A_{0} & α_{0} <_{0} α,
(∨r) A_{0} ∨ A_{1} ∈ Γ & ^{α_{0}}_{m} Γ, A_{1} & α_{0} <_{0} α,
(∧) A_{0} ∧ A_{1} ∈ Γ & ^{α_{0}}_{m} Γ, A_{0} & ^{α_{1}}_{m} Γ, A_{1} & α_{0}, α_{1} <_{0} α,
(∃) (∃x)A ∈ Γ & ^{α_{0}}_{m} Γ, A_{x}(k) & α_{0} <_{0} α & k + 1 <_{0} α,
(∀) (∀x)A ∈ Γ & ( ∀n ∈ IN) (^{α_{n}}_{m} Γ, A_{x}(n) & α_{n} <_{n} α),
(Cut) ^{α_{0}}_{m} Γ, D & ^{α_{1}}_{m} Γ, ¬D & rk(D) < m & α_{0}, α_{1} <_{0} α.

Wesentlich bei diesem halbformalen Kalkül ist die Forderung k + 1 <_{0} α beim Existenzschluß. Damit werden die im Herleitungsbaum auftretenden Numerale in der Herleitungsordnung α konserviert und können später (vgl. Kollabierung I und II, 3.2.12 sowie 3.2.13) wieder extrahiert werden. Wir zeigen nun die wesentlichen Eigenschaften des halbformalen Kalküls.

Lemma 3.2.8 (Abschwächung, Inversion)

(i) ( ^{α}_{m} Γ & Γ ⊆ Δ & α ≤_{0} β & m ≤ k) ⇒ ^{β}_{k} Δ .

(ii) ^{α}_{m} Γ, A ∧ B ⇒ (^{α}_{m} Γ, A & ^{α}_{m} Γ, B).

(iii) ( ^{α}_{m} Γ, (∀x)A ⇒ ^{α+n+1}_{m} A_{x}(n) ) für alle n ∈ IN.

Beweis: (i) und (ii) sind klar. Wegen (i) können wir von nun an ohne Einschränkung annehmen, daß bei jedem Schluß die Hauptformel bereits in den Prämissen auftaucht. (iii):Induktion nach α :

(Ax) Ist (Γ, (∀x)A) ∩ D(IN) ≠ ∅, so ist auch Γ ∩ D(IN) ≠ ∅ und die Behauptung folgt mit Abschwächung.

(∧) Es ist B ∧ C ∈ Γ & _{m}^{α_{0}} Γ, B, (∀x)A & _{m}^{α_{1}} Γ, C, (∀x)A & α_{0}, α_{1} <_{0} α. Mit I.V. folgt _{m}^{α_{0}+n+1} Γ, B, A_{x}(n) & _{m}^{α_{1}+n+1} Γ, C, A_{x}(n). (∧) liefert die Behauptung.

(∨l), (∨r), (∃), (Cut) analog.

(∀) Dann haben wir ( _{m}^{α_{n}} Γ, A_{x}(n), (∀x)A) für alle n ∈ IN. Mit I.V. erhalten wir _{m}^{α_{n}+n+1} Γ, A_{x}(n). Es folgt α_{n} + n + 1 <_{0} α + n + 1 und mit Lemma 3.1.13 (iii) und (iv) ist die Behauptung ist gezeigt. □

Lemma 3.2.9 (Reduktion) Seien rk(A) ≤ m ; ^{α}_{m} Γ, A und ^{β}_{m} Δ, ¬A . Dann gilt:

α#β_{m} Γ, Δ .

Beweis: Induktion nach α#β.

1. α#β = 0 : Dann ist entweder D(IN) ∩ Γ ≠ ∅ oder D(IN) ∩ Δ ≠ ∅.

2. α#β > 0 : A oder ¬A ist nicht Hauptformel des letzten Schlusses, z.B:

(∃x)B ∈ Γ & _{m}^{α_{0}} Γ, A, B_{x}(k) & k + 1 <_{0} α, α_{0} <_{0} α.

Die I.V. ergibt _{m}^{α_{0}#β} Γ, Δ, B_{x}(k) und mit Lemma 3.1.13 ist α_{0}#β <_{0} α#β und k + 1 <_{0} α#β. Mit (∃) folgt die Behauptung. Sind andernfalls A und ¬A Hauptformeln des jeweils letzten Schlusses, so hat eine der beiden Formeln die Gestalt B ∨ C oder (∃x)B. Wir betrachten nur den zweiten Fall: Die Prämisse des letzten Schlusses war: _{m}^{α_{0}} B_{x}(k), Γ, A mit k + 1 <_{0} α_{0}. Mit I.V. erhalten wir

_{m}^{α_{0}#β} Γ, Δ, B_{x}(k).

Für die duale Formel gilt ¬(∃x)B ≡ (∀x)(¬B). Eine (∀)-Inversion ergibt daher für die zweite Herleitung: _{m}^{β+k+1} Δ, ¬B_{x}(k). Mit

(k + 1)#β <_{0} α_{0}#β <_{0} α#β, rk(B) < m

und (Cut) folgt die Behauptung. □

Satz 3.2.10 (Schnittelimination)

(i) ^{α}_{m+1} Γ ⇒ ^{ω^{α}}_{m} Γ .

(ii) ^{α}_{m+1} Γ ⇒ ^{\overline{2}^{α}}_{m} Γ .

(iii) ^{ω·k}_{m+1} Γ ⇒ ^{ω^{k′}}_{m} Γ für ein k′ > k.

Beweis: Wir zeigen (ii), der Beweis von (i) verläuft vollständig analog. Induktion nach α:

1. Der letzte Schluß war kein Schnitt mit Schnittrang m. Dann folgt die Behauptung sofort aus der I.V., z.B.:

(∀) (∀x)A ∈ Γ & (∀n ∈ IN) (^{α_{n}}_{m} Γ, A_{x}(n) & α_{n} <_{n} α). Die I.V. liefert (∀n ∈ IN) (^{\overline{2}^{αn}}_{m} Γ, A_{x}(n) ). Mit Lemma 3.1.13 ist \overline{2}^{α_{n}} <_{n} \overline{2}^{α} und mit (∀) folgt die Behauptung.

2. Der letzte Schluß war ein Schnitt, d.h. für eine Formel A ist rk(A) = m und ^{α_{0}}_{m} Γ, A & ^{α_{1}}_{m} Γ, ¬A & α_{0}, α_{1} <_{0} α. Mit dem Reduktionslemma folgt _{m}^{\overline{2}^{α_{0}}#\overline{2}^{α_{1}}} Γ und mit Lemma 3.1.13 (ii) (\overline{2}^{α_{0}}#\overline{2}^{α_{1}} ≤_{n} \overline{2}^{α}) und Abschwächung folgt die Behauptung. (iii): Sei ^{ω·k}_{m+1} Γ . Mit (ii) und Lemma 3.1.9 (i) (\overline{2}^{ω·k} = ω^{k} · 2) folgt die Behauptung für k′ := N(ω^{k} · 2). □

Das nächste Ziel ist nun, aus der Information ^{α}_{i} (∃x)A (i ∈ {1, 2}, A Primformel) ein n ∈ IN zu extrahieren mit IN ⊧ A_{x}(n). Dazu führen wir folgende Begriffe ein:

Definition 3.2.11 (i) A ist eine Σ-Formel, falls A folgende Gestalt hat:

- A ist Primformel oder

- A ≡ (∃x)A_{0} für eine Primformel A_{0}.

(ii) A ist eine Π-Formel, falls für eine Primformel A_{0} gilt: A ≡ (∀x)A_{0}.

(iii) Ist m ∈ IN so definieren wir für Σ-Formeln A und Π-Formeln B:

- A^{m} :≡ A; falls A Primformel.

- A^{m} :≡ (∃x)(x < m ∧ A_{0}); falls A ≡ (∃x)A_{0}.

- B^{m} :≡ (∀x)(¬x < m ∨ B_{0}); falls B ≡ (∀x)B_{0}.

Seien Γ eine Menge von Σ-Formeln; Δ eine Menge von Π-Formeln, m ∈ IN und μ : Δ → ω. Dann definieren wir:

- Γ^{m} := {A^{m} | A ∈ Γ}

- Δ^{μ} := {A^{μ(A)} | A ∈ Δ}

Nun sind wir in der Lage, das erste zentrale Ergebnis zu beweisen: Gilt ^{α}_{1} Γ für eine Menge geschlossener Σ-Formeln, so wird Γ wahr unterhalb von H_{α}(0).

Satz 3.2.12 (Kollabierung I) Sei Γ eine Menge von geschlossenen Σ-Formeln und gelte ^{α}_{1} Γ . Dann gilt:

IN ⊧ Γ^{H_{α}(0)}.

Beweis: Induktion nach α :

(Ax) Für A ∈ D(IN) ist A^{m} = A.

(_{∨}^{∧}) Die Behauptung folgt sofort aus der Induktionsvoraussetzung.

(∃) Wir haben:

(∃x)A ∈ Γ & ^{α_{0}}_{1} Γ, A_{x}(k) & α_{0} <_{0} α & k + 1 <_{0} α.

Mit I.V. folgt

IN ⊧ (Γ, A_{x}(k))^{H_{α_{0}}(0)}.

Dann ist entweder schon IN ⊧ (Γ)^{H_{α_{0}}(0)} und mit α_{0} <_{0} α ist auch H_{α_{0}}(0) < H_{α}(0). Oder es gilt IN ⊧ A_{x}(k) und mit k + 1 <_{0} α sowie k + 1 = H_{k+1}(0) < H_{α}(0) folgt die Behauptung.

(∀) Kommt nicht vor.

(Cut) Wir haben für eine Primformel D :

α_{0}_{1} Γ, D & ^{α_{1}}_{1} Γ, ¬D & α_{0}, α_{1} <_{0} α.

Die I.V. liefert für die linke Seite IN ⊧ Γ^{H_{α_{0}}(0)}, D. Dann gilt entweder wegen α_{0} <_{0} α und H_{α_{0}}(0) < H_{α}(0) die Behauptung, oder IN ⊧ D gilt. Die I.V. angewendet auf die rechte Seite ergibt IN ⊧ Γ^{H_{α_{1}}(0)}, ¬D, also IN ⊧ Γ^{H_{α_{1}}(0)} und mit α_{1} <_{0} α folgt die Behauptung. □

Wollen wir für ^{α}_{2} Γ ein ähnliches Ergebnis erzielen, so benötigen wir für den Induktionsschritt beim (Cut) die stärkeren Abschlußeigenschaften von B_{α}. Weiter zwingt uns die Erhöhung des Schnittranges, die Behauptung zu verallgemeinern, indem wir Mengen von Σ- und Δ-Formeln betrachten.

Satz 3.2.13 (Kollabierung II) Sei Γ eine Menge von geschlossenen Σ-Formeln, Δ eine Menge von geschlossenen Π-Formeln und es gelte ^{α}_{2} Γ, Δ . Dann gilt für alle μ : Δ → ω und m ≥ max(rng(μ) ∪ {0}) :

IN ⊧ Γ^{B_{α}(m)}, Δ^{μ}.

Beweis: Induktion nach α :

(Ax), (∧) und (∨) sind klar.

(∃) Wir haben:

(∃x)A ∈ Γ & ^{α_{0}}_{2} Γ, Δ, A_{x}(k) & α_{0} <_{0} α & k + 1 <_{0} α.

Mit I.V. folgt

IN ⊧ Γ^{B_{α_{0}}(m)}, Δ^{μ}, A_{x}(k).

Weiter ist mit α_{0} <_{0} α auch B_{α_{0}}(m) < B_{α}(m) und mit k + 1 <_{0} α folgt k < k + 1 < B_{k+1}(m) < B_{α}(m). Damit folgt die Behauptung.

(∀) Es ist

(∀x)A ∈ Δ & (∀n ∈ IN) (^{α_{n}}_{2} Γ, Δ, A_{x}(n) & α_{n} <_{n} α).

Die I.V. liefert für alle n ∈ IN :

IN ⊧ Γ^{B_{αn}(m)}, Δ^{μ}, A_{x}(n).

Insbesondere gilt dies für alle n < μ((∀x)A) ≤ m. Mit α_{n} <_{n} α & n ≤ m ist dann α_{n} <_{m} α und so B_{α_{n}}(m) < B_{α}(m). Wegen

Δ^{μ}, (∀x)(¬x < μ((∀x)A) ∨ A) ≡ Δ^{μ}

ist die Behauptung gezeigt.

(Cut) Es gilt: ^{α_{0}}_{2} Γ, Δ, (∃x)A & ^{α_{1}}_{2} Γ, Δ, (∀x)¬A & α_{0}, α_{1} <_{0} α. Für alle m′ gilt dann mit I.V. angewendet auf die rechte Seite:

IN ⊧ Γ^{B_{α_{1}}(max(rng(μ)∪{m′}))}, Δ^{μ}, (∀x)(x < m′ → ¬A).

Für die linke Seite erhalten wir mit I.V.:

IN ⊧ Γ^{B_{α_{0}}(max(rng(μ))}, Δ^{μ}, (∃x)(x < B_{α_{0}}(max(rng(μ))) ∧ A).

Für m′ := B_{α_{0}}(max(rng(μ))) gilt dann wegen α_{0}, α_{1} <_{0} α :

B_{α_{0}}(max(rng(μ))) < B_{α}(max(rng(μ)))

und mit Lemma 3.1.21 folgt

B_{α_{1}}(B_{α_{0}}(max(rng(μ)))) < B_{α}(max(rng(μ))).

Also haben wir:

IN ⊧ Γ^{B_{α}(max(rng(μ))}, Δ^{μ}, (∀x)(x < m′ → ¬A) und

IN ⊧ Γ^{B_{α}(max(rng(μ))}, Δ^{μ}, (∃x)(x < m′ ∧ A).

Damit folgt die Behauptung. □

Korollar 3.2.14 Sei (∃x)A eine geschlossene Σ-Formel. Dann gelten:

(i) Ist ^{α}_{1} (∃x)A, so gibt es ein m < H_{α}(0) mit IN ⊧ A_{x}(m).

(ii) Ist ^{α}_{2} (∃x)A, so gibt es ein m < B_{α}(0) mit IN ⊧ A_{x}(m).

Beweis: Mit Kollabierung I und II. □

3.2.2 Einbettung von IΣ_{n+1}

In diesem Abschnitt zeigen wir, wie Beweise in IΣ_{n+1} von geschlossenen Formelmengen in den halbformalen Kalkül eingebettet werden können.

Definition 3.2.15 Für Formeln A, A′ ∈ L_{P R} definieren wir: A ∼ A′ :⇔ Für ein D ∈ L_{P R}, paarweise verschiedene x_{1}, …, x_{n} und geschlossene Terme t_{1}, …, t_{n}, s_{1}, …, s_{n} ∈ L_{P R} mit IN ⊧ t_{i} = s_{i} (i = 1, …, n) ist A ≡ Dx_{1}, …, x_{n}(t_{1}, …, t_{n}), A′ ≡ Dx_{1}, …, x_{n}(s_{1}, …, s_{n}). Weiter sei für einen geschlossenen Term t ∈ L_{P R} Val(t) das n ∈ IN mit IN ⊧ t = \underline{n}.

Lemma 3.2.16 (Tautologie-Lemma)

(i) A ∼ A′ ⇒ ^{ω·rk(A)}_{0} A, ¬A′ .

(ii) Sei t ein Term aus L_{P R} und l := Val(t(n_{1}, …, n_{k})). Dann gilt:

α_{m} Γ , A_{x}(t(n_{1}, …, n_{k})) ⇔ ^{α}_{m} Γ, A_{x}(l) .

Beweis: (i): Induktion nach rk(A):

rk (A) = 0 : Dann ist entweder A ∈ D(IN), oder ¬A′ ∈ D(IN).

A ≡ C ∧ B : Sei k := max{rk(B), rk(C)}. Es ist ¬A′ ≡ ¬B′ ∨ ¬C′. Die I.V. liefert _{0}^{ω·k} B, ¬B′ & _{0}^{ω·k} C, ¬C′. (∨l) und (∨r) ergeben _{0}^{ω·k+1} B ∨ C, ¬B′ & _{0}^{ω·k+1} B ∨ C, ¬C′. Mit (∧) folgt ^{ω·(k+1)}_{0} A, ¬A .

A ≡ (∃x)B : Wir setzen k := rk(B). Dann ist ¬A′ ≡ (∀x)¬B′. Mit I.V. gilt _{0}^{ω·k} B_{x}(n), ¬B′_{x}(n) für alle n ∈ IN. (∃) liefert _{0}^{ω·k+n+2} (∃x)B, ¬B′_{x}(n) für alle n ∈ IN. Wegen ω · k + n + 2 <_{n} ω · (k + 1) erhalten wir mit (∀) die Behauptung.

Die übrigen Fälle sind ähnlich. (ii): Eine einfache Induktion nach α. □

Wir wollen folgende Abkürzung vereinbaren: Für n⃗ ∈ IN^{l} sei Σn⃗ :≡ n_{1} + … + n_{l}. Ist E ein Term, eine Formel oder eine Formelmenge, so sei E(n⃗) :≡ Ex_{1}, …, x_{l}(n_{1}, …, n_{l}).

Satz 3.2.17 (Einbettung) Seien Γ ⊆ L_{A}; FV(Γ) ⊆ {x_{1}, …, x_{l}}; n ∈ IN und gelte IΣ_{n+1} _{n+2} Γ . Dann existiert ein k ∈ IN, so daß für alle m⃗ ∈ IN^{l} gilt:

ω·k+Σm⃗_{n+2} Γ(m_{1}, …, m_{l}) .

Beweis: Induktion nach IΣ_{n+1} _{n+2} Γ .

(AxL), (AxM), (∧) und (∨) sind einfach.

(=) Es ist (n = n) ∈ D(IN) und D(IN) ∩ {k ≠ m, m = k} ≠ ∅. Weiter ist t(m⃗) ≠ s(m⃗) ∈ D(IN) oder D(IN) ∩ {¬A(t)(m⃗), A(s)(m⃗)} ≠ ∅.

(∀) Wir haben (∀x)A ∈ Γ und IΣ_{n+1} n+2 Γ, A_{x}(y).

Aufgrund der Variablenbedingung ist y ∉ {x⃗}. Für ein k ∈ IN ist mit I.V. _{n+2}^{ω·k+Σm⃗+p} Γ(m⃗), A(m⃗)_{x}(p). Da ω · k + Σm⃗ + p <_{p} ω · (k + 1) + Σm⃗ ist, erhalten wir mit (∀) : _{n+2}^{ω·(k+1)+Σm⃗} Γ(m⃗), (∀x)A(m⃗).

(∃) (∃x)A ∈ Γ und IΣ_{n+1} n+2 Γ, A_{x}(t) gelten nach Voraussetzung. Seien FV(Γ, A_{x}(t)) ⊆ {x_{1}, …, x_{l_{0}}, y_{1}, …, y_{l_{1}}} und ohne Einschränkung gelte x ∉ {x_{1}, …, x_{l_{0}}, y_{1}, …, y_{l_{1}}}. Nach I.V. existiert ein k_{0} ∈ IN, so daß für alle m⃗ ∈ IN^{l_{0}} gilt:

_{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+0} Γ(m⃗), A(m⃗)_{x}(t(m⃗,0))

Mit Lemma 3.2.16 gilt _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+0} Γ(m⃗), A(m⃗)_{x}(Val(t(m⃗,0)). Mit (Φ3) existiert ein k ≥ k′, so daß Val(t(m⃗, q⃗)) + 1 < Φ(k + Σm⃗ + Σq⃗) gilt für alle m⃗ ∈ IN^{l_{0}}, q⃗ ∈ IN^{l_{1}}. Damit ist Val(t(m⃗,0)) + 1 <_{0} ω · k + m⃗ für alle m⃗ ∈ IN^{l_{0}}. Mit (∃) erhalten wir die Behauptung.

(Cut) IΣ_{n+1} n+2 Γ, C; IΣ_{n+1} n+2 Γ, ¬C; rk(C) < n + 2. Ohne Einschränkung seien FV(C) ⊆ {x_{1}, …, x_{l}}. Mit I.V. erhalten wir ein k_{0} ∈ IN mit _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗} Γ(m⃗), C(m⃗) und _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗} Γ(m⃗), ¬C(m⃗). Mit (Cut) und k := k_{0} + 1 folgt die Behauptung.

(Ind) Wir haben IΣ_{n+1} n+2 Γ, A_{x}(0) & IΣ_{n+1} n+2 Γ, ¬A, A_{x}(Sx), sowie einen Term s mit FV(s) ⊆ {x_{1}, …, x_{l}, x_{l+1}, …, x_{l+l′}}. Es gelte ohne Einschränkung FV(A) ⊆ {x}, x ∉ {x_{1}, …, x_{l+l′}}. Nach I.V. existiert ein k_{0} ∈ IN, so daß für alle m⃗ ∈ IN^{l} und p ∈ IN gilt:

( _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗} Γ(m⃗), A_{x}(0) & _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+p} Γ(m⃗), ¬A_{x}(p), A_{x}(Sp)).

Wir zeigen durch Nebeninduktion nach p:

(∗) _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+p} Γ(m⃗), A_{x}(p)

p = 0 : Die Behauptung gilt nach Hauptinduktionsvoraussetzung. p ⇝ p + 1 : Nach N.I.V. gilt _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+p} Γ(m⃗), A_{x}(p) und nach Voraussetzung _{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+p} Γ(m⃗), ¬A_{x}(p), A_{x}(p + 1). Mit (Cut) folgt

_{n+2}^{ω·k_{0}+Σm⃗+p+1} Γ(m⃗), A_{x}(p + 1).

Damit ist (∗) bewiesen. Fassen wir N(ω · k_{0}) + m_{1} + … + m_{l} + Val(s(m_{1}, …, m_{l+l′})) als Term in m_{1}, …, m_{l+l′} auf, so existiert mit (Φ3) ein k > k_{0}, so daß für alle

m⃗ ∈ IN^{l+l′} gilt:

(†)N(ω ·k_{0})+m_{1} +..+m_{l+l′} +Val(s(m_{1}..m_{l+l′})) < Φ(k +m_{1} +..+m_{l+l′})

Seien nun m_{1}, …, m_{l+l′} ∈ IN^{l+l′} gegeben. Wir zeigen:

\begin{matrix}ωk+m_{1}+...+m_{l+l′} \\ n+2 \end{matrix} Γ(m_{1}, …, m_{l}), A_{x}(s(m_{1}, …, m_{l+l′})).

Zunächst folgt aus (∗) und dem Tautologielemma:

\begin{matrix}ωk_{0}+m_{1}+...+m_{l}+Val(s(m⃗)) \\ n+2 \end{matrix} Γ(m_{1}, …, m_{l}), A_{x}(Val(s(m_{1}, …, m_{l+l′}))).

Mit (†) ist dann

wk_{0} + m_{1} + … + m_{l} + Val(s(m⃗)) <_{0} ωk + m_{1} + … + m_{l+l′}.

Damit folgt:

\begin{matrix}ωk+m_{1}+...+m_{l+l′} \\ n+2 \end{matrix} Γ(m_{1}, …, m_{l}), A_{x}(Val(s(m_{1}, …, m_{l+l′}))).

Mit dem Tautologielemma (ii) folgt dann die Behauptung. □

3.2.3 Majorisierung

Es stehen nun alle Ergebnisse zur Verfügung, um die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen zu majorisieren.

Satz 3.2.18 Seien n ≥ 0; A eine Primformel und FV(A) ⊆ {x, y}. Gelte weiter IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y)A. Dann gilt:

(i) (∃k ∈ IN)(∀p ∈ IN)(∃q < H_{ω_{n+1}(k)}(p + 1)) IN ⊧ A(p, q).

(ii) n ≥ 1 ⇒ (∃k ∈ IN)(∀p ∈ IN)(∃q < B_{ω_{n}(k)}(p)) IN ⊧ A(p, q).

Beweis: Es gelte IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y)A. Mit Korollar 3.2.5 folgt

IΣ_{n+1} n+2 (∀x)(∃y)A.

Mit dem Einbettungssatz 3.2.17 erhalten wir ein k_{0} ∈ IN mit

ω·k_{0}_{n+2} (∀x)(∃y)A .

Eine Schnittelimination gemäß Satz 3.2.10 (iii) liefert ein k ∈ IN mit

ω^{k}_{n+1} (∀x)(∃y)A .

Wir zeigen nun die Behauptung: n = 0. (i): Seien α := ω^{k} = ω_{1}(k) und p ∈ IN. Mit einer (∀)-Inversion

folgt dann ^{ω^{k}+p+1}_{1} (∃y)A_{x}(p) . Mit Kollabierung I (3.2.14 (i)) und der Eigenschaft H_{ω^{k}+p+1}(0) = H_{ω^{k}}(p + 1) folgt die Behauptung.

n = 1. (i): Mit einer Schnittelimination gemäß Satz 3.2.10 (i) erhalten wir ^{ω^{ω^{k}}}_{1} (∀x)(∃y)A . Wir setzen α := ω^{ω^{k}} = ω_{2}(k). Für p ∈ IN erhalten wir mit einer (∀)-Inversion ^{α+p+1}_{1} (∃y)A_{x}(p) . Wieder erhalten wir mit Kollabierung I die Behauptung. (ii): Es gilt ^{ω^{k}}_{2} (∀x)(∃y)A. Sei nun p ∈ IN. Mit (∀)-Inversion folgt dann ω^{k}+p+1_{2} (∃y)A_{x}(p) . Mit Kollabierung II ( 3.2.14 (ii)) und Lemma 3.1.17 (B_{ω_{n}(k)+p+1}(0) ≤ B_{ω_{n}(k+1)}(p + 1)) erhalten wir die Behauptung.

n > 1. Die Behauptung folgt sofort mit weiteren Schnitteliminationen gemäß Satz 3.2.10 (i). □

Damit ist Satz 3.1.25 bewiesen.

3.3 Die Π_{2}-Beweisstärke von IΣ_{n+1}

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, daß die Funktionen, die in Satz 3.2.18 die IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiven Funktionen majorisieren, selbst IΣ_{n+1}- beweisbar rekursiv sind. Offenbar gilt das nur für n > 0, da die <_{n}-Relation mit Hilfe einer Version der Ackermannfunktion definiert ist. Um deren Totalität zu beweisen, benötigen wir natürlich Induktion über Π_{2}-Formeln. Ein erster Schritt wird nun sein, einige Begriffe aus Abschnitt 3.1 zu formalisieren. Anschließend wollen wir ein Prinzip der transfiniten Induktion formulieren und in IΣ_{n+1}beweisen. Indem wir dann einen Algorithmus zur Berechnung von B_{α} angeben und diesen durch eine Formel aus L_{P R} beschreiben, können wir mit Hilfe der formalisierten transfiniten Induktion zeigen, daß B_{ω_{n}(k)} eine IΣ_{n+1}-beweisbar totale Funktion ist. Damit können wir dann das entsprechende Ergebnis für H_{ω_{n+1}(k)} zeigen.

3.3.1 Arithmetisierung von E

Definition 3.3.1 (Eine Kodierung von E)

Wir definieren eine Abbildung \begin{aligned}: E → IN \\ 0 & := 0 \\ ω^{α_{1}} + … + ω^{α_{n}} & := ⟨1, α_{1} , …, α_{n} ⟩. \end{aligned}

Weiter seien E ⊆ IN und ≺_{ℕ}, ≡_{ℕ}⊆ IN × IN wie folgt definiert:

\begin{aligned}E & := \{ α | α ∈ E\}, \\ n ≺_{ℕ} m & :⇔ (∃α, β ∈ E)( α = n & β = m & α < β), \\ n ≡_{ℕ} m & :⇔ n ∈ E & n = m. \end{aligned}

Lemma 3.3.2 (Eine Arithmetisierung von E) Es gibt primitiv rekursive Prädikate E, ≺ und ≡, so daß für n, m ∈ IN gilt:

(n ∈ E ⇔ E(n)) & (n ≺_{ℕ} m ⇔ n ≺ m) & (n ≡_{ℕ} m ⇔ n ≡ m).

Beweis: Es gilt:

\begin{aligned}n ∈ E ⇔ & n = 0 ∨ [Seq(n) ∧ (n)_{0} = 1 ∧ (∀i < lh(n))(0 < i → \\ & (n)_{i} ∈ E ) ∧ (∀i < lh(n) − · 1)(0 < i → (n)_{i+1} ⪯_{ℕ} (n)_{i})]. \end{aligned}

n ≺_{ℕ} m ⇔ n ∈ E ∧ m ∈ E ∧ [(n = 0 ∧ m ≠ 0)∨
((∃i < min{lh(m), lh(n)}) ((n)_{i} ≺_{ℕ} (m)_{i} ∧
(∀j < i)(0 < j → (n)_{j} = (m)_{j}))) ∨
(lh(n) < lh(m) ∧ (∀i < lh(n))(0 < i → (n)_{i} = (m)_{i}))].

3.3. DIE Π_{2}-BEWEISSTÄRKE VON IΣ_{N+1} 105

Damit können E und ≺ durch simultane Wertverlaufsrekursion definiert werden. Weiter kann x ≡ y :≡ E(x) ∧ x = y definiert werden. □

Lemma 3.3.3 (Arithmetische Operationen auf E ) Folgende Funktionen sind primitiv rekursiv:

(i) x ⊕ y :  IN×IN → IN

(n, m) ↦ \{ \begin{matrix}α + β ; & falls α, β ∈ E mit α = n, \\ & β = m existieren \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(ii) ω ⊙ y :  IN →  IN

n ↦  \{ \begin{matrix}ω · α ; & falls α ∈ E mit α = n \\ & existiert \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(iii)

exp(x) :  IN →  IN
n ↦  \{ \begin{matrix}ω^{α} ; & falls α ∈ E mit α = n \\ & existiert \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(iv)

exp(x)⊗y : IN×IN → IN
(n, m) ↦ \{ \begin{matrix}ω^{α} · k ; & falls α, k ∈ E mit α = n, \\ & k = m ≺_{ℕ} ω existieren \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(v)

Norm(x) : IN →  IN
n ↦  \{ \begin{matrix}N(α); & falls α ∈ E mit α = n \\ & existiert \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(vi)

x ⊖ y :  IN×IN → IN

(n, m) ↦ \{ \begin{matrix}γ ; & falls α, β, γ ∈ E mit α = n, \\ & β = m existieren und \\ & β < α und α = β + γ ist. \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Beweis: Z.B. können wir für (iii) folgende Definition treffen:

exp(x) := \{ \begin{matrix}⟨1, x⟩; & falls E(x) \\ 0; & sonst. \end{matrix}

(vi): Wir beschreiben das Verfahren, um zu gegebenen x, y mit E(x) und E(y) x ⊖ y zu bestimmen: Ist y = 0, so leistet x das Gewünschte. Sind y ≺ x, y ≻ 0 so haben x und y die Gestalt:

y = ⟨1, y_{1}, …, y_{w}⟩, x = ⟨1, x_{1}, …, x_{z}⟩.

Entweder ist w < z, (∀i ≤ w)(1 ≤ i → x_{i} = y_{i}) und y ⌢ ⟨x_{w+1}, .., x_{z}⟩ = x. Also gilt mit x ⊖ y = ⟨x_{w+1}, .., x_{z}⟩ die Behauptung. Andernfalls gibt es ein i ≤ z, so daß

(∗) (∀ 1 ≤ j < i)(x_{j} = y_{j}) ∧ (y_{i} ≺ x_{i}).

Dann ist für u := ⟨1, x_{i}, …, x_{z}⟩ :

y ⊕ u = ⟨1, y_{1}, …, y_{w}⟩ ⊕ ⟨1, x_{i}, …, x_{z}⟩ =_{(∗)} ⟨1, x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i}, …, x_{z}⟩ = x.

Also leistet x ⊖ y =: u das Gewünschte. Dieses Verfahren ist primitiv rekursiv. □

Zu α < β + ω^{μ} mit μ ≠ 0 existieren n < ω, δ < μ mit α < β + ω^{δ} · n. Dieses Ergebnis kann in IΣ_{1} formalisiert werden:

Lemma 3.3.4

\begin{aligned}IΣ_{1} ⊢ & (∀x, y, z)(x ≠ 0 ∧ z ≺ y ⊕ exp(x) → \\ & (∃u, v)(u ≺ ω ∧ v ≺ x ∧ z ≺ y ⊕ (exp(v) ⊗ u))). \end{aligned}

Beweis: Seien z, y und x gemäß Voraussetzung. Dann gibt es zwei Fälle: 1.Fall: z ⪯ y. v := 0 , u := 1 leisten das Gewünschte. 2.Fall: y ≺ z. Wir bestimmen nach Lemma 3.3.3 (vi) das z_{0} mit z = y ⊕ z_{0}. Dann ist z_{0} ≺ exp(x) sowie z_{0} = ⟨1, a_{1}, …, a_{w}⟩, falls a_{i} := (z_{0})_{i} (1 ≤ i < lh(z_{0})) und w := lh(z_{0}) − · 1 ist. Für alle diese a_{i} ist a_{i} ≺ x und somit z_{0} ≺ exp(a_{1}) ⊗ ( w + 1 ). Wir setzen u := ⟨1, \underbrace{0, …, 0}_{w+1}⟩, v := a_{1} und erhalten

die Behauptung. □

3.3.2 Ein formalisiertes Schema der transfiniten Induktion

Definition 3.3.5 (Progressivität, ein Schema der transfiniten Induktion, der Sprungoperator) Seien A(x) ∈ L_{P R} eine Formel mit einer freien Variable und E, ≺ aus Lemma 3.3.2. Wir definieren:

Prog(A) :≡ (∀x)[E(x) ∧ (∀y)(y ≺ x → A(y)) → A(x)]
TI(a, A) :≡ Prog(A) → (∀y ≺ a)A(y)
A(a)′  :≡ (∀y)[(∀z ≺ y)A(z) → (∀z ≺ y ⊕ exp(a))A(z)].

Folgender Satz spielt beim Beweis der formalisierten transfiniten Induktion eine wesentliche Rolle:

Satz 3.3.6 Seien n > 0 und A(x) ∈ Π_{n} eine Formel mit einer freien Variablen. Dann gilt:

IΣ_{n} ⊢ Prog(A) → Prog(A′).

Beweis: Es gelte

(∗) Prog(A) (d.h. (∀x)(E(x) ∧ (∀y)(y ≺ x → A(y)) → A(x)).

Wir zeigen: (∀x)(E(x) ∧ (∀y)(y ≺ x → A′(y)) → A′(x)). Sei dazu x gegeben mit

(∗∗) E(x) ∧ (∀y)(y ≺ x → A′(y)).

Zu zeigen ist A′(x), d.h. (∀y)((∀z ≺ y)A(z) → (∀z ≺ y ⊕ exp(x))A(z)). Seien dazu y mit

(∗ ∗ ∗) (∀z ≺ y)A(z)

und z ≺ y ⊕ exp(x) gegeben. Zu zeigen ist A(z). Es gibt zwei Fälle: x = 0: Dann ist entweder z ≺ y und mit (∗ ∗ ∗) folgt A(z), oder z = y. Mit (∗) und (∗ ∗ ∗) folgt die Behauptung. x > 0: Mit Lemma 3.3.4 existieren x_{0} ≺ x und u_{0} ≺ ω mit

z ≺ y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u_{0}).

Wir zeigen

(∀u)[u ≺ ω → (∀r)(r ≺ y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u) → A(r))]

durch Induktion nach u. Dabei ist die folgende Eigenschaft wesentlich: Sind u, v ≺ ω und u ≺ v so gilt u < v. Weiter ist die Formel in […] äquivalent zu einer Π_{n} Formel.

1. u = 0: Mit (∗ ∗ ∗) folgt die Behauptung.

2. u ⇝ u + 1 : Dann ist entweder ¬u ≺ ω oder für ein u_{0} < u + 1 ist u + 1 = u_{0} ⊕ 1 und

(†) y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ (u + 1)) = y ⊕ ((exp(x_{0}) ⊗ u) ⊕ exp(x_{0})).

Die I.V. liefert

(I.V.) (∀r)(r ≺ y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u_{0}) → A(r)).

Da x_{0} ≺ x ist, folgt mit (∗∗) : A′(x_{0}), d.h.

(∀w)((∀r ≺ w)A(r) → (∀r ≺ w ⊕ exp(x_{0}))A(r)).

Damit gilt für w := y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u_{0}) :

(∀r ≺ y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u_{0}))A(r) → (∀r ≺ y ⊕ (exp(x_{0}) ⊗ u_{0}) ⊕ exp(x_{0}))A(r).

Mit der I.V. und (†) folgt dann die Behauptung. □

Satz 3.3.7 Seien n > 0; A(x) ∈ Π_{n} eine Formel mit einer freien Variablen und α ∈ E. Dann gilt:

IΣ_{n} ⊢ TI( α , A′) → TI(exp( α ), A).

Beweis: Wir haben nach Voraussetzung:

(∗) Prog(A′) → (∀y ≺ α )A′(y), sowie
(∗∗) Prog(A).

Zu zeigen ist

(∀y ≺ exp( α ))A(y).

(∗∗) und Satz 3.3.6 ergeben

(∗ ∗ ∗) Prog(A′).

(∗ ∗ ∗) und (∗) liefern (∀y ≺ α )A′(y). (∗ ∗ ∗) ergibt A′( α ), d.h.

(∀y)((∀z ≺ y)A(z) → (∀z ≺ y ⊕ exp( α ))A(z)).

Wir wählen y := 0 und erhalten

(∀z ≺ exp( α ))A(z). □

Lemma 3.3.8 Für k ∈ IN und A ∈ L_{P R} mit einer freien Variable gilt:

IΣ_{1} ⊢ TI( k , A).

Beweis: Es gelte Prog(A). Dann gilt A( 0 ). Mit Prog(A) folgt A( 1 ). Dieses Verfahren k-fach iteriert liefert die Behauptung . □

Satz 3.3.9 (Transfinite Induktion für Π_{2}-Formeln in IΣ_{n+2}) Seien n ≥ 2; A(x) ∈ Π_{2} mit einer freien Variable; k ∈ IN und α := ω_{n−1}(k). Dann gilt

IΣ_{n} ⊢ TI( α , A).

Beweis: Wir definieren induktiv den iterierten Sprungoperator A^{(0)} :≡ A; A^{(n+1)} :≡ (A^{(n)})′. Dann ist A^{(n−2)} ∈ Π_{n} und für k ∈ IN gilt mit Lemma 3.3.8:

IΣ_{n} ⊢ TI( k , A^{(n−1)}).

Eine (n − 1)-fache Anwendung von Satz 3.3.7 liefert

IΣ_{n} ⊢ TI( α , A^{(0)}). □

Korollar 3.3.10 Seien n ≥ 1; A(x) ∈ Π_{2} eine Formel mit einer freien Variablen; IΣ_{n+1} ⊢ Prog(A); k ∈ IN und α = ω_{n}(k) . Dann gilt

IΣ_{n+1} ⊢ (∀a ≺ α )A(a). □

3.3.3 H_{ω_{n+2}(k)} und B_{ω_{n+1}(k)} sind IΣ_{n+2}-beweisbar rekursiv

Im folgenden Lemma zeigen wir, daß sich die Kodes von Ordinalzahlen mit Norm kleiner n primitiv rekursiv in n beschränken lassen:

Lemma 3.3.11 Es gibt eine primitiv rekursive Funktion Nm mit folgender Eigenschaft:

IΣ_{1} ⊢ (∀x, y)(E(x) ∧ N(x) ≤ y → x ≤ Nm(y)).

Beweis: Wir definieren Nm(0) := 0 Nm(y + 1) := Seqb(y + 2, Nm(y)).

Dann folgt die Behauptung durch Induktion nach y. Bemerkung: Wir hatten Seqb(0, y) := ⟨⟩; Seqb(x + 1, y) := Seqb(x, y) ⌢ ⟨y⟩ definiert. □

Im folgenden wollen wir zeigen, daß die Version Φ der Ackermannfunktion (vgl. 3.1.10) rekursiv und IΣ_{2}-beweisbar total ist. Hierzu zunächst ein Lemma:

Lemma 3.3.12 Für n, k ∈ IN sei I_{n,k} : IN → IN wie folgt definiert:

I_{n,k}(0) := k und I_{n,k}(m + 1) := F_{n}^{I_{n,k}(m)+2}(I_{n,k}(m)).

Dann gilt für alle n, m, k ∈ IN:

F_{n+1}^{m}(k) = I_{n,k}(m).

Bemerkung: Wir hatten F_{0}(m) := 2^{m+1} und F_{n+1}(m) := F_{n}^{m+2}(m) definiert (vgl.3.1.10).

Beweis: Induktion nach m:

1. m = 0 ist klar.

2. m ⇝ m + 1 :

F_{n+1}^{m+1}(k) = F_{n+1}(F_{n+1}^{m}(k)) =_{I.V.} F_{n+1}(I_{n,k}(m)) =_{Def.F}
F_{n}^{I_{n,k}(m)+2}(I_{n,k}(m)) =_{Def.I} I_{n,k}(m + 1).

Damit ist das Lemma bewiesen. □

Beispiel 3.3.13 Anhand eines Beispieles wollen wir nun die Strategie erläutern, nach der wir F_{n}^{m}(k), bzw. allgemeiner F_{n_{1}}^{m_{1}}(… F_{n_{l}}^{m_{l}}(k) …) auswerten wollen (n_{1} > … > n_{l}):

F_{2}^{2}(F_{1}^{3}(1)) = F_{2}^{2}(F_{1}^{2}(F_{0}^{3}(1))) = F_{2}^{2}(F_{1}^{2}(F_{0}^{2}(2^{3}))) = ….

Wir werten F also von innen nach außen aus. Eine solche Berechnung kann als eine Sequenz von Konfigurationen folgender Art aufgefaßt werden: ⟨⟨2, 2⟩, ⟨1, 3⟩, 1⟩, ⟨⟨2, 2⟩, ⟨1, 2⟩, ⟨0, 3⟩, 1⟩, ⟨⟨2, 2⟩, ⟨1, 2⟩, ⟨0, 2⟩, 2^{3}⟩ . . ..

Satz 3.3.14 (Σ_{1}-Definitionen der Graphen von F und I) Es gibt Σ_{1}-Formeln G_{F} und G_{I}, so daß für alle n, m, k, l ∈ IN

(i) IN ⊧ F_{n}^{m}(k) = l ⇔ IN ⊧ G_{F} (n, m, k, l)

(ii) IN ⊧ I_{n,k}(m) = l ⇔ IN ⊧ G_{I}(n, m, k, l)

gilt und eine formalisierte Version von Lemma 3.3.12 bewiesen werden kann:

(∗) IΣ_{2} ⊢ (∀y)[(∀x, w, z)(G_{F} (x + 1, y, w, z) ↔ G_{I}(x, y, w, z))].

Beweis: Analog zur Arithmetisierung von Registermaschinen ist es offensichtlich möglich, den im Beispiel 3.3.13 beschriebenen Algorithmus in L_{P R} zu formalisieren. Hierzu werden zunächst geeignete primitiv rekursive Prädikate Konfig(x), Endkonfig(x) und F olgekonfig(x, y) definiert, die beschreiben, daß x Kode einer Konfiguration oder einer Endkonfiguration ist, bzw. daß x Kode einer Folgekonfiguration der von y kodierten Konfiguration gemäß des beschriebenen Algorithmus ist. Anschließend definieren wir

Rechnung_{F} (s, x, y) :≡ Seq(s) ∧ (s)_{0} = x ∧ (s)_{lh(s)− · 1} = (y)_{0}∧
(∀i < lh(s) − · 1)F olgekonfig((s)_{i+1}, (s)_{i})∧
Endkonfig(y).

Um (∗) nachweisen zu können, treffen wir weiter folgende Definition:

Rechnung_{I}(s, x, y, w, z) :≡ Seq(s) ∧ lh(s) = y ∧ (s)_{0} = w ∧ (s)_{y− · 1} = z∧
(∀i < lh(s) − · 1)(∃s)
Rechnung_{F} (s, ⟨⟨x, (s)_{i} + 2⟩, (s)_{i}⟩, ⟨(s)_{i+1}⟩).

Bemerkung: Bei Rechnung_{F} (s, x, y) sind also x, y Kodes von Konfigurationen, während bei Rechnung_{I}(s, x, y, w, z) x, y, w den Argumenten der Funktion I entsprechen. Damit können wir die Σ_{1}-Definitionen angeben: G_{F} (x, y, w, z) :≡ (∃s)Rechnung_{F} (s, ⟨⟨x, y⟩, w⟩, ⟨z⟩), G_{I}(x, y, w, z) :≡ (∃s)Rechnung_{I}(s, x, y, w, z). Offenbar leisten diese Definitionen (i) und (ii). Um (∗) nachzuweisen, ist es notwendig, die Kodes bestimmter Berechnungen auf primitiv rekursive Weise zu transformieren. Ist z.B. s eine Berechnung von F_{n+1}^{m+1}(k), so kann aus diesem s der Kode s′ der Berechnung von F_{n+1}^{m}(k), sowie der Zwischenwert k_{1} := F_{n+1}^{m}(k) berechnet werden. Aus s_{1} und k_{1} kann dann primitiv rekursiv der Kode einer Berechnung von F_{n+1}^{1}(k_{1}) bestimmt werden. Alle solche Transformationen, die bei einer formalisierten Version von Lemma 3.3.12 verwendet werden, sind primitiv rekursiv. Auf eine explizite Angabe dieser Transformationen wollen wir an dieser Stelle verzichten und auf 3.3.20 verweisen, hier wird für ein einfaches Beispiel eine solche Transformation explizit angegeben. Wir beweisen nun (∗) durch Induktion nach w (die Formel in […] ist Π_{2} und es gilt IΣ_{2} = IΠ_{2}):

1. y = 0 ist klar.

2. y ⇝ y + 1. Wir zeigen die Hinrichtung und folgen dem Beweis von 3.3.12: Seien x, y, z gegeben und gelte G_{F} (x+1, y +1, w, z). Dann existiert ein s mit

Rechnung_{F} (s, ⟨⟨x + 1, y + 1⟩, w⟩, ⟨z⟩).

Nach obiger Bemerkung lassen sich nun s_{1}, s_{2}, z_{1} bestimmen mit

Rechnung_{F} (s_{1}, ⟨⟨x + 1, y⟩, w⟩, ⟨z_{1}⟩) ∧ Rechnung_{F} (s_{2}, ⟨⟨x + 1, 1⟩, z_{1}⟩, ⟨z⟩).

Dann gilt insbesonders G_{F} (x + 1, y, w, z_{1}). Mit I.V. existiert dann ein s_{3} mit

Rechnung_{I}(s_{3}, x, y, w, z_{1}).

Primitiv rekursiv in s_{2} und s_{3} erhalten wir ein s_{4} mit

Rechnung_{F} (s_{4}, ⟨⟨x, z_{1} + 2⟩, z_{1}⟩, ⟨z⟩).

Aus s_{4} und z schließlich kann s_{5} bestimmt werden mit

Rechnung_{I}(s_{5}, x, y, w, z).

Damit gilt G_{I}(x, y, w, z). Die Rückrichtung kann analog bewiesen werden. □ Nun zeigen wir simultan die Totalität von F und I in IΣ_{2}:

Satz 3.3.15 IΣ_{2} ⊢ (∀x)(∀y_{1}, y_{2}, w_{1}, w_{2})(∃z_{1}, z_{2})(G_{F} (x, y_{1}, w_{1}, z_{1}) ∧ G_{I}(x, y_{2}, w_{2}, z_{2})).

Beweis: Induktion nach x:

1. x = 0 ist klar, da F_{0} primitiv rekursiv ist.

2. x ⇝ x + 1 : (i) Seien y_{1}, w_{1} gegeben. Nach I.V. existiert ein z_{1} mit G_{I}(x, y_{1}, w_{1}, z_{1}). Mit (∗) aus 3.3.14 folgt G_{F} (x + 1, y_{1}, w_{1}, z_{1}). (ii): Wir zeigen durch Nebeninduktion nach y_{2}:

(∀y_{2})(∀w_{2})(∃z_{2})(G_{I}(x + 1, y_{2}, w_{2}, z_{2})).

1. y_{2} = 0 ist klar.

2. y_{2} ⇝ y_{2} +1. Sei w_{2} gegeben. Nach Nebeninduktionsvoraussetzung existiert ein u mit

G_{I}(x + 1, y_{2}, w_{2}, u).

Mit (i) existiert ein z_{2} mit

G_{F} (x + 1, u, u + 2, z_{2}).

Nach Definition von I gilt dann schon

G_{I}(x + 1, y_{2} + 1, w_{2}, z_{2}).

Damit ist das Lemma bewiesen. □ Aus diesem Lemma erhalten wir sofort folgendes Korollar:

Korollar 3.3.16 Φ aus Definition 3.1.10 ist IΣ_{2}-beweisbar rekursiv. □

Wir wollen nun eine Σ_{1}-Definition der Graphen von H_{α} und B_{α} angeben. Dazu zeigen wir zunächst folgendes Lemma:

Lemma 3.3.17 Folgende Funktionen sind IΣ_{2}-beweisbar rekursiv:

(i) x[y] :  IN × IN → IN

(n, m) ↦ \{ \begin{matrix}α[k] ; & falls α, k ∈ E mit α = n \\ & und k = m existieren \\ 0; & sonst. \end{matrix}

(ii) G(x) :  IN → IN

n ↦  \{ \begin{matrix}⟨ α[k] , k + 1 ⟩ & falls lh(n) = 2 und es α, k ∈ E \\ & gibt mit α = (n)_{0}, k = (n)_{1} \\ & und k ≺ ω \\ n; & falls lh(n) = 2 und (n)_{0} = 0 ist \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(iii) Die Iteration G^{(z)} von G. (Die Iteration von G entspricht dem Ausrechnen des Wertes H_{α}(k), vgl. 3.3.22 ).

Beweis: Wir definieren:

x[y] = z :≡ [y ≺ ω ∧ z ≺ x ∧ (∃u, v)(u = Φ(Nx + Ny) ∧ v = Nm(u)
∧N(z) ≤ u ∧ (∀w ≤ v)(Nw ≤ u ∧ w ≺ x → w ⪯ z))]∨
[(¬(z ≺ x) ∨ ¬(y ≺ ω )) ∧ z = 0)].
G(x) = y :≡ [Seq(x) ∧ Seq(y) ∧ lh(x) = lh(y) = 2 ∧ (((x)_{0} = 0 ∧ y = x)

∨((x)_{0} ≻ 0 ∧ (∃z)(z = (x)_{0}[(x)_{1}] ∧ y = ⟨z, (x)_{1} ⊕ 1 ⟩)))]∨

[(¬ Seq(x) ∨ ¬ Seq(y) ∨ lh(x) ≠ 2 ∨ lh(y) ≠ 2) ∧ y = 0].

Da Nm und Φ (vgl. 3.3.11) beide IΣ_{2}-beweisbar rekursive Funktionen sind, gilt das offenbar auch für ·[·] und G. Ebenso ist die Iteration G^{(z)}(x) IΣ_{2}- beweisbar rekursiv (vgl. Satz 1.4.3). □

Beispiel 3.3.18 Anhand des folgenden Beispiels wollen wir eine Strategie erläutern, nach der B_{α}(n) berechnet werden kann:

B_{1}(2) = B_{0}(B_{0}(3)) = B_{0}(3^{2}) = 81.

Damit können wir folgende Sequenz als Berechnung von B_{1}(2) auffassen: ⟨1, 2⟩, ⟨3, 0, 0⟩, ⟨9, 0⟩, ⟨81⟩. Auf diese Weise erhalten wir weiter ⟨81, 1⟩, ⟨82, 0, 0⟩, ⟨82^{2}, 0⟩, ⟨82^{4}⟩ als Berechnung von B_{1}(81). Es ist nun ein einfaches, diese beiden Berechnungen zu einer Berechnung von B_{2}(1) (= B_{1}(B_{1}(2))) zu transformieren: ⟨1, 2⟩, ⟨2, 1, 1⟩, ⟨3, 0, 0, 1⟩, ⟨9, 0, 1⟩, ⟨81, 1⟩, ⟨82, 0, 0⟩, ⟨82^{2}, 0⟩, ⟨82^{4}⟩.

Satz 3.3.19 (Eine Σ_{1}-Definition des Graphen von B_{α}) Es gibt eine Formel C_{B}(a, x, y, z) ∈ Σ_{1}, so daß für alle α ∈ E, n, m ∈ IN gilt:

IN ⊧ (∃z)C_{B}( α , n, m, z) ⇔ B_{α}(n) = m.

Beweis: Wir wollen C_{B} so definieren, daß C_{B}( α , n, m, p) zutrifft, falls p eine Berechnung von B_{α}(n) mit Ergebnis m ist. Dazu geben wir einen Algorithmus zur Berechnung von B_{α}(n) an; die Strategie ist, B_{α} mit Hilfe der effektiven Version (vgl. Lemma 3.1.21 und Beispiel 3.3.18) von innen nach außen auszurechnen: Eine Berechnung von B_{α}(n) ist dann eine Folge der Gestalt

⟨x_{1}, a_{1}^{1}, … a_{m_{1}}^{1}⟩, …, ⟨x_{k}, a_{1}^{k}, …, a_{m_{k}}^{k}⟩

mit den folgenden Eigenschaften: x_{1} = n, m_{1} = 1, a_{1}^{1} = α , x_{k} = B_{α}(n), m_{k} = 0 und für alle 1 ≤ i < k gilt:

a_{1}^{i} = 0 ⇒ (x_{i+1} = x_{i}^{2} & m_{i+1} = m_{i} − 1 & a_{j}^{i+1} = a_{j+1}^{i} für 1 ≤ j ≤ m_{i+1})
a_{1}^{i} ≠ 0 ⇒ (x_{i+1} = x_{i} + 1 & m_{i+1} = m_{i} + 1 & a_{1}^{i+1} = a_{2}^{i+1} = a_{1}^{i}[x_{i} + 1] &
a_{j+1}^{i+1} = a_{j}^{i} für 2 < j < m_{i+1}).

Die Intention dabei ist, daß ⟨x_{i}, a_{1}^{i}, … a_{m_{1}}^{i}⟩ dem i-ten Rechenschritt B_{α_{m_{i}}}(… (B_{α_{1}}(x_{i})) …) entspricht. Es ist offensichtlich möglich, diesen Algorithmus mit Hilfe des Kodierapperates und einer Σ_{1}-Definition des Graphens von ·[·] durch eine Σ_{1}-Formel aus L_{P R} zu formalisieren. □

Satz 3.3.20 (Progressivität von C_{B})

IΣ_{2} ⊢ Prog((∀x)(∃y, z)C_{B}(a, x, y, z)).

Beweis: Sei a gegeben mit (∀b ≺ a)(∀x)(∃y, z)(C_{B}(b, x, y, z))∧E(a)∧a ≠ 0 . Wir zeigen:

(∀x)(∃y, z)C_{B}(a, x, y, z).

Sei x gegeben. Dann existiert a[x] und es gilt a[x] ≺ a. Nach Voraussetzung gibt es y_{0}, z_{0} mit C_{B}(a[x], x + 1, y_{0}, z_{0}). Ebenfalls nach Voraussetzung gibt es y_{1}, z_{1} mit C_{B}(a[x], y_{0}, y_{1}, z_{1}). Es bleibt nun zu zeigen, daß die Kodes z_{0}, z_{1} der beiden Rechnungen primitiv rekursiv zu einem Kode einer Rechnung z mit C_{B}(a, x, y_{1}, z) transformiert werden können. Dazu wählen wir z′_{0} so (vgl. Beispiel 3.3.18), daß lh(z_{0}) = lh(z′_{0}) und (∀i < lh(z_{0}))((z′_{0}) = (z_{0}) ⌢ ⟨a[x]⟩) gilt. Für z := z′_{0} ⌢ z_{1} gilt dann C_{B}(a, x, y_{1}, z). □ Damit sind wir in der Lage, mit Hilfe der formalisierten transfiniten Induktion die Totalität von B_{ω_{n}(k)} in IΣ_{n+1} zu beweisen (n > 0):

Korollar 3.3.21 Seien n > 0 und α < ω_{n+1}. Dann gilt:

IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y, z)C_{B}( α , x, y, z).

Beweis: Mit transfiniter Induktion für Π_{2}-Formeln (3.3.9) und der Progressivität von (∀x)(∃y, z)C_{B}(a, x, y, z) (3.3.20). □

Wir wollen nun nachweisen, daß H_{ω_{n+1}}(k) IΣ_{n+1}-beweisbar rekursiv ist. Die Idee dabei ist, daß H_{ω^{α}}(n) ausgerechnet werden kann, indem zunächst eine Majorante p von H_{ω^{α}}(n) bestimmt wird. Dies leistet Korollar 3.1.24. Anschließend wird die Funktion G aus Lemma 3.3.17 p-fach iteriert auf ⟨ ω^{α} , n ⟩ angewendet und wir erhalten H_{ω^{α}(n)}.

Definition 3.3.22 (Eine Σ_{1}-Definition des Graphen von H_{ω^{α}}) Wir definieren:

\begin{aligned}G_{H_{ω}}(a, x, y) :≡ & (∃z, w)[C_{B}( ω ⊙ (a ⊕ 1 ), Φ(N(exp(a)) + x + 1), w, z)∧ \\ & y = (G^{(w)}(⟨exp(a), x⟩))_{1}]. \end{aligned}

Satz 3.3.23 (i) Ist α = ω^{α_{1}}, so gilt:

(∀n, m ∈ IN) H_{ω^{α_{1}}}(n) = m ⇔ G_{H_{ω}}( α_{1} , n, m).

(ii) Für n > 1; m ∈ IN und α_{1} := ω_{n}(m) gilt:

IΣ_{n+1} ⊢ (∀x)(∃y)G_{H_{ω}}( α_{1} , x, y).

Beweis: (i): Sei α = w^{α_{1}} gegeben. Mit Korollar 3.1.24 erhalten wir:

(∀n ∈ IN) H_{ω^{α_{1}}}(n) < B_{ω·(α_{1}+1)}(Φ(N(ω^{α_{1}}) + n + 1)).

Dann ist für G aus Satz 3.3.17 und p := B_{ω·(α_{1}+1)}(Φ(N(ω^{α_{1}}) + n + 1)):

(∀m ∈ IN) IN ⊧ (H_{ω^{α_{1}}}(n) = m ⇔ ⟨0, m ⟩ = G^{(p)}(⟨ ω^{α_{1}} , n ⟩)).

Damit ist die Behauptung bewiesen. (ii): Seien n, m gegeben und α_{1} := ω_{n}(m). Dann ist ω · (α_{1} + 1) ≺ ω_{n}(m + 1) ≺ ω_{n+1} und Korollar 3.3.21 liefert:

(∗) IΣ_{n+1} ⊢ (∀v)(∃y, z)C_{B}( ω(α_{1} + 1) , v, y, z).

Damit zeigen wir die Behauptung: Sei x gegeben. (∗) liefert z, y mit

C_{B}(ω ⊙ ( α_{1} + 1 ), Φ(N( ω^{α_{1}} ) + x + 1), y, z).

Weiter existiert w := G^{(y)}( ω^{α_{1}} , x). Dann gilt G_{H_{ω}}( α_{1} , x, (w)_{1}). □

Korollar 3.3.24 Für alle n, m ∈ IN, n > 0 gilt:

H_{ω_{n+1}(m)} ist IΣ_{n+1} beweisbar rekursiv. □

3.4. EIN ERGEBNIS FÜR IΣ_{1} 117

3.4 Ein Ergebnis für IΣ_{1}

Die bisherigen Untersuchungen liefern für IΣ_{1} kein genaues Ergebnis. Zwar zeigt Satz 3.2.18 (i), daß die Schar (H_{ω^{k}})_{k∈ℕ} die IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen einhüllt. Da in die Definition von H_{α} die Ackermannfunktion Φ eingeht, sind die H_{ω^{k}} selbst nicht IΣ_{1}-beweisbar rekursiv. Eine Modifikation von Φ ermöglicht es, auch die IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen genau zu charakterisieren. Damit erhalten wir folgendes Ergebnis, welches auf Parsons zurückgeht, auch mit den Methoden aus den Abschnitten 3.1 bis 3.3:

Satz 3.4.1 Die IΣ_{1}-beweisbar rekursiven Funktionen sind genau die primitiv rekursiven Funktionen.

Zunächst wollen wir uns vergegenwärtigen, wo die Eigenschaften (Φ2) und (Φ3) von Φ eingehen: Die Abschlußeigenschaft (Φ2) benötigen wir, um

β <_{n}^{1} α → \overline{2}^{β} <_{n}^{1} \overline{2}^{α}

nachzuweisen. Ein geeigneter Zweig der Ackermannfunktion erfüllt bereits diese Eigenschaft. (Φ3) geht beim Beweis des Einbettungssatzes ein: Im Induktionsschritt müssen beim (∃)- und beim (Ind)-Schluß jeweils \underline{eine} primitiv rekursive Funktion majorisiert werden. Eine Herleitung IΣ_{n+1} ⊢ Γ ist jedoch ein endliches Objekt, daher müssen für ein festes Γ nur endlich viele primitiv rekursive Funktionen majorisiert werden. Auch diese Abschlußeigenschaft leistet bereits ein geeigneter Zweig der Ackermannfunktion (vgl. Lemma 3.4.3). Wir definieren:

Definition 3.4.2 (i) Φ_{0}(m) := 2^{m+2}

(ii) Φ_{n+1}(0) := Φ_{n}^{n+3}(0) Φ_{n+1}(m + 1) := Φ_{n}^{m+3}(Φ_{n+1}(m)).

Lemma 3.4.3 (i) Alle Φ_{n} sind primitiv rekursiv (n ∈ IN).

(ii) (∀n, m ∈ IN) (Φ_{n}(m) ≤ Φ_{n+1}(m) & Φ_{n}(m) ≤ Φ_{n}(m + 1)).

(iii) (∀n, m ∈ IN) Φ_{n}(m) ≥ 2^{m+2}.

(iv) (∀n, m ∈ IN) Φ_{n}(m + 1) ≤ Φ_{n+1}(m).

(v) (∀n, m, k, l ∈ IN) n, m < k → Φ_{n}(Φ_{m}(l)) ≤ Φ_{k}(l)). Weiter hat Φ_{n} folgende Eigenschaften (n > 0) :

(Φ_{n}1) (∀n, m ∈ IN) (Φ_{n}(m) ≥ 2 & Φ_{n+1}(m) + Φ_{n+1}(m) + 2 ≤ Φ_{n}(m + 1)) .

(Φ_{n}2) (∀n, m ∈ IN) \overline{2}^{Φ_{n+1}(m+1)+1} ≤ Φ_{n+1}(m + 2).

(Φ_{n}3) Für jede primitiv rekursive Funktion f : IN^{n} → IN gibt es ein p ∈ IN,

mit

(∀k⃗ ∈ IN^{n}) f(k⃗) < Φ_{p}(max k⃗).

Beweis: (i) Induktion nach n. Die Behauptung folgt jeweils sofort aus der I.V. und der Tatsache, daß die einstelligen primitiv rekursiven Funktionen abgeschlossen sind unter Iteration. (ii) ist klar. (iii): Φ_{n}(m) ≥ Φ_{0}(m) = 2^{m+2}. (iv): Induktion nach n + m: 1: n = 0 ist klar. 2.1: n > 0, m = 0 : Φ_{n}(1) = Φ_{n−1}^{3}(Φ_{n}(0)) ≤ Φ_{n}^{4}(0) ≤ Φ_{n+1}(0). 2.2: n > 0, m > 0 : Φ_{n}(m + 1) = Φ_{n−1}^{m+3}(Φ_{n}(m)) ≤_{I.V.} Φ_{n−1}^{m+3}(Φ_{n+1}(m − 1)) ≤ Φ_{n}^{m+3}(Φ_{n+1}(m − 1)) = Φ_{n+1}(m).

(v) ist klar nach Definition. Damit können wir die Eigenschaften (Φ_{n}1) bis (Φ_{n}3) zeigen (n > 0): (Φ_{n}1) ist klar. (Φ_{n}2) Φ_{n+1}(m + 2) = Φ_{n}^{m+3}(Φ_{n+1}(m + 1)) ≥_{(iii)} 2^{Φ_{n+1}(m+1)+2} = \overline{2}^{Φ_{n+1}(m+1)+1}. (Φ_{n}3) Sei : { f | f ist primitiv rekursive Funktion} → IN eine Kodierung der primitiv rekursiven Funktionen mit der Eigenschaft, daß g , h_{i} < Sub(g, h_{1}, …, h_{m}) und g , h < R gh gilt. Damit zeigen wir für jede primitiv rekursive Funktion f : IN^{n} → IN :

(∗) (∀k⃗ ∈ IN^{n}) f(k⃗) < Φ f (max k⃗).

durch Hauptinduktion nach dem Aufbau der primitiv rekursiven Funktionen:

1. S, P_{k}^{n} und C_{k}^{n} sind klar.

2. f = Sub(g, h_{1}, …, h_{m}). Dann gilt für k_{1}, …, k_{n}:

f(k⃗) = g(h_{1}(k⃗), …, h_{m}(k⃗)) <_{H.I.V.} g(Φ h_{1} (max k⃗), …, Φ h_{m} (max k⃗))

≤_{H.I.V.} Φ g (Φ_{max_{i}{ h_{i} }}(max k⃗)) ≤_{(v)} Φ f (max k⃗).

3. f = R gh, d.h. f(0, x⃗) = g(x⃗) und f(y + 1, x⃗) = h(y, x⃗, f(y, x⃗)). Seien m := max{ g , h }, k⃗ ∈ IN^{n} fest. Wir zeigen durch Nebeninduktion nach k:

(∗∗) f(k, k⃗) < Φ_{m}^{k+1}(max k⃗).

1. k = 0 : f(0, k⃗) = g(k⃗) <_{H.I.V.} Φ_{m}(max k⃗).

2. k ⇝ k + 1 : f(k + 1, k⃗) = h(k, k⃗, f(k, k⃗)) ≤_{N.I.V.} h(k, k⃗, Φ_{m}^{k+1}(max k⃗))

<_{H.I.V.} Φ_{m}(max{k, k⃗, Φ_{m}^{k+1}(max k⃗)}) = Φ_{m}(Φ_{m}^{k+1}(max k⃗)) = Φ_{m}^{k+2}(max k⃗).

Damit ist (∗∗) bewiesen und für alle k, k_{1}, …, k_{n} ∈ IN mit max{k⃗} > 0 gilt:

f(k, k⃗) < Φ_{m}^{k+1}(max k⃗) ≤_{(iv)} Φ_{m+1}^{k+1}(max k⃗ − 1) ≤ Φ f (max k⃗).

Ist max{k⃗} = 0, so folgt die Behauptung ohne (iv) direkt. Damit ist (∗), also (Φ_{n}3) bewiesen. □

Wir definieren nun die Begriffe aus dem Abschnitt 3.1 mit Φ_{p}:

Definition 3.4.4 Sei p ∈ IN. Dann sei

(i) β <_{(n,Φ_{p})}^{1} α :⇔ β < α & Nβ ≤ Φ_{p}(Nα + n).

(ii) ≤_{(n,Φ_{p})}^{1} sei der reflexive Abschluß von <_{(n,Φ_{p})}^{1}, <_{(n,Φ_{p})} der transitive Abschluß von <_{(n,Φ_{p})}^{1} und ≤_{(n,Φ_{p})} der reflexive Abschluß von <_{(n,Φ_{p})} .

(iii) H_{α}^{Φ_{p}}(n) := max({n} ∪ {H_{β}^{Φ_{p}}(n + 1) | β <_{(n,Φ_{p})} α})

B_{α}^{Φ_{p}}(n) := max({n^{2}} ∪ {B_{β}^{Φ_{p}}(B_{β}^{Φ_{p}}(n + 1)) | β <_{(n,Φ_{p})} α}).

Für n > 0 erhalten wir alle Ergebnisse aus 3.1 auch für H_{α}^{Φ_{p}} und B_{α}^{Φ_{p}}. Wir definieren nun für alle n > 0 einen halbformalen Kalkül _{m,Φ_{p}}^{α} Γ analog zu ^{α}_{m} Γ , wobei wir die Relation <_{n} in 3.2.7 durch <_{(n,Φ_{p})} ersetzen. Analog zu den Ergebnissen in 3.2 können wir wieder Abschwächung, Inversion, Reduktion, Schnittelimination, Kollabierung I und II sowie das Tautologielemma beweisen. Weiter erhalten wir folgende Abschwächung:

Lemma 3.4.5 Für alle α, Γ, m, p, q mit p ≤ q & ^{α}_{m,Φ_{p}} Γ gilt:

α_{m,Φ_{q}} Γ .

Beweis: Die Behauptung folgt sofort durch Induktion nach α und folgender Monotonieeigenschaft:

(p ≤ q & α <_{(n,Φ_{p})} β) ⇒ α <_{(n,Φ_{q})} β. □

Den Einbettungssatz formulieren wir wie folgt:

Satz 3.4.6 (Einbettung) Seien Γ ⊆ L_{A}; FV(Γ) ⊆ {x_{1}, …, x_{l}}; n ∈ IN und gelte IΣ_{n+1} _{n+2} Γ . Dann existieren k, p ∈ IN, so daß für alle m⃗ ∈ IN^{l} gilt:

ω·k+Σm⃗_{n+2,Φ_{p}} Γ(m_{1}, …, m_{l}).

Beweis: Offensichtlich finden wir zu den in der Herleitung IΣ_{n+1} _{n+2} Γ auftretenden endlich vielen Termen ein p ∈ IN, so daß Φ_{p} die Eigenschaft (Φ_{p}3) für alle diese Terme erfüllt. Damit folgt die Behauptung beim (∃)- sowie beim (Ind)-Schluß. Die anderen Fälle können analog zu 3.2.17 bewiesen werden. □ Damit erhalten wir eine Modifikation von Satz 3.2.18:

Satz 3.4.7 Sei A eine Primformel und FV(A) ⊆ {x, y}. Gelte weiter IΣ_{1} ⊢ (∀x)(∃y)A. Dann gilt:

(∃k ∈ IN)(∀p ∈ IN)(∃q < H_{ω^{k}}^{Φ_{k}}(p + 1)) IN ⊧ A(p, q).

Beweis: Dies folgt analog zum Beweis von Satz 3.2.18 mit Lemma 3.4.5 □

Es bleibt nun zu zeigen, daß alle H_{ω^{k}}^{Φ_{k}} primitiv rekursiv sind. Dies zeigen wir wieder mit Hilfe von B_{α}:

Lemma 3.4.8 Seien 0 < α < ω^{2} und p ∈ IN. Dann gelten:

(i) Es gibt eindeutig bestimmte k, l ∈ IN mit α = ω · k + l.

(ii) Mit α = ω · k + l > 0 und m ∈ IN gilt:

α[m] = \{ \begin{matrix}ω · k + l − 1; & falls l > 0 \\ ω · (k − 1) + L_{p}(k, m); & falls l = 0. \end{matrix}

Dabei ist L_{p}(k, m) := Φ_{p}(2k − 2 + m) − 2k − 2 eine primitiv rekursive Funktion (es gilt L_{p}(k, x) = Φ_{p}(N(ω(k − 1)) + m) − N(ω(k − 1)). □

Definition 3.4.9 Wir definieren die Funktion B^{p} : IN^{3} → IN(p ∈ IN) :

\begin{aligned}B^{p}(0, 0, k) & := k^{2} \\ B^{p}(0, m + 1, k) & := B^{p}(0, m, B^{p}(0, m, k + 1)) \\ B^{p}(n + 1, 0, k) & := B^{p}(n, L_{p}(n + 1, k), B^{p}(n, L_{p}(n + 1, k), k + 1)) \\ B^{p}(n + 1, m + 1, k) & := B^{p}(n + 1, m, B^{p}(n + 1, m, k + 1)). \end{aligned}

Satz 3.4.10 (i) Sind α = ω · n + m und k, p ∈ IN, so ist

B_{α}^{Φ_{p}}(k) = B^{p}(n, m, k).

(ii) Für alle n, m, p ∈ IN ist B_{n,m}^{p}(k) := B^{p}(n, m, k) primitiv rekursiv.

Beweis: Die Behauptung (i) gilt offensichtlich. (ii): Wir zeigen die Behauptung durch Hauptinduktion nach n und Nebeninduktion nach m:

1. n = 0 ist klar 1.1 m = 0 : ist klar. 1.2 m ⇝ m + 1 : Mit Nebeninduktionsvoraussetzung ist B_{0,m} primitiv rekursiv, also auch die Substitution B_{0,m+1}(x) := B_{0,m}(B_{0,m}(x + 1)).

2. n ⇝ n + 1 : 2.1 m = 0 : Nach Hauptinduktionsvoraussetzung ist B_{n,m′} primitiv rekursiv für alle m′. L_{p}(x, y) ist ebenfalls primitiv rekursiv. Damit folgt die Behauptung. 2.2 m ⇝ m + 1 : Die Behauptung folgt sofort aus der Nebeninduktionsvoraussetzung. □ Damit können wir das folgende Ergebnis zeigen:

Satz 3.4.11 Für alle k ∈ IN gilt:

H_{ω^{k}}^{Φ_{k}} ist primitiv rekursiv.

Bemerkung: Dieses Ergebnis folgt auch schon aus [BCW 94]. Beweis: Sei k ∈ IN. Dann folgt analog zu Korollar 3.1.24:

(∀n ∈ IN) H_{ω^{k}}^{Φ_{k}}(n) < B_{ω·(k+1)}^{Φ_{k}}(Φ_{k}(N(ω^{k})+n+1)) = B_{k+1,0}^{k}(Φ_{k}(N(ω^{k})+n+1)).

Mit Satz 3.4.10 ist B_{k+1,p}^{k} primitiv rekursiv. Die Funktion G^{(x)}(y) aus Satz 3.3.17 ist mit Φ_{p} statt Φ ebenfalls primitiv rekursiv und es gilt:

(∀n ∈ IN) H_{ω^{k}}(n) = (G^{B_{k+1,0}^{k}(Φ_{k}(N(ω^{k})+n+1))}(⟨ ω^{k} , n⟩))_{1}.

Damit ist H_{ω^{k}}^{Φ_{k}} primitiv rekursiv. □ Als Korollar folgt aus 3.4.11 zusammen mit 3.2.18 (i) der Satz 3.4.1.

Anhang A

A.1 Die Beweise von 2.5.6 und 2.5.7

Lemma A.1.1 Seien M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} M; c, d ∈ M; c, d ≥ 1; F eine monoton wachsende primitiv rekursive Funktion; A 1-fach (c + d)-id-arboreal, sowie min(A) ≥ 3. Weiter gelte für alle x ≥ min A :

A ∩ [x, 2F (x) − 1] ist nicht 1-fach d-id-arboreal.

Dann ist A 1-fach c-F(x)-arboreal.

Beweis: Sei T ein F (x)-engverzweigter A-Baum, wobei A = {a_{1}, …, a_{t}} sei. Wir weisen die Existenz eines Pfades der Länge c + 2 durch T nach: Induktiv definieren wir hierzu Indizes i_{0}, …, i_{s} ≤ t (und dazu korrespondierende Elemente a_{i_{0}}, …, a_{i_{s}}) sowie Teilmengen A_{1}, …, A_{s+1} von A:

1. i_{0} := 1.

2. Sei i_{j} schon definiert für 0 ≤ j ≤ t. Dann sei

i_{j+1} := \{ \begin{matrix}i_{j} + 1; & falls a_{j+1} ein Endpunkt von T ist \\ min_{i>i_{j}}\{a_{i} ≥ 2F (a_{i_{j}})\}; & falls a_{j+1} kein Endpunkt von T ist \\ & und ein solches i existiert \\ ∗; & sonst \end{matrix}

Weiter sei s := max{j | i_{j} existiert} und für j ∈ {0, …, s} :

A_{j+1} := {a_{x} | i_{j} < x < i_{j+1}}.

Damit gilt

(∗) a_{j} ≤ a_{i_{j−1}} für 1 ≤ j ≤ t.

Nach Konstruktion gilt nun für alle 0 ≤ j ≤ s + 1 mit A_{j} ≠ ∅ :

A_{j} ⊆ [a_{i_{j−1}}, 2F (a_{i_{j−1}}) − 1] ∩ A.

Nach Voraussetzung sind diese A_{j} nicht d-id-arboreal und wir finden id-eng-verzweigte A_{j}-Bäume T_{j} ohne Pfade der Länge d + 2 (j ≤ s, A_{j} ≠ ∅). Wir definieren nun auf der Menge {a_{i_{j}} | j ≤ s} einen Baum T′ gemäß:

a_{i_{j}}T′a_{i_{k}} :⇔ a_{j}T a_{k}.

Damit gilt: (a_{j}T a_{k} ∧ k ≤ s) → j ≤ s. Als nächstes definieren wir ausgehend von T′ einen weiteren Baum T′′, indem wir für 2 ≤ k ≤ s den Baum T_{k} an das a_{i_{j}} anhängen, dessen direkter Nachfolger a_{i_{k}} ist. Ein Teilstück

in T wird also zu

in T′′. Schließlich wird aus a_{1}, T_{1}, T_{s+1}, T′′ folgender Baum T^{∗} gebildet:

Wir zeigen folgende Behauptung:

(∗∗) T^{∗} ist ein id-engverzweigterA-Baum.

1. Offensichtlich sind alle Elemente a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, ..., a_{i_{s}} und alle Elemente der A_{1}, …, A_{s+1} Knoten von T^{∗}.

2. |IS_{T^{∗}}(a_{1})| ≤ 3 ≤ min A = a_{1}.

3. Da alle T_{j} id-engverzweigt sind, ist für j ≤ s + 1 und a ∈ A_{j}

|IS_{T^{∗}}(a)| = |IS_{T_{j}}(a)| ≤ a.

4. Ist a = a_{i_{j}} für ein 1 < j ≤ s, so ist |IS_{T^{∗}}(a_{i_{j}})| = |IS_{T} (a_{j})∪{root(T_{k}) | a_{k} ∈ IS_{T} (a_{j})}|. Damit gilt

|IS_{T^{∗}}(a_{i_{j}})| ≤ 2|IS_{T} (a_{j})| ≤ 2F (a_{j}) ≤_{(∗)} 2F (a_{i_{j−1}}) ≤ a_{i_{j}}.

Die letzte Ungleichung gilt nach Konstruktion. Damit ist (∗∗) gezeigt. Nach Voraussetzung gibt es nun einen vollständigen Pfad P durch T^{∗} mit einer Länge ≥ c+d. Dann ist a_{1} das erste Element von P, höchstens d+1 Elemente gehören zu einem T_{k} und für alle j ≠ k ≤ s+1 gilt: P ∩T_{k} = ∅ oder P ∩T_{j} = ∅. Es gibt nun zwei Fälle: 1.Fall: P ∩ T_{k} = ∅ für alle 1 ≤ k ≤ s + 1. Dann ist P ∩ T′ ein Pfad in T′ mit Länge ≥ c + d + 1 ≥ c + 2 und wir erhalten einen korrespondierenden Pfad in T mit einer Länge ≥ c + 2.

2. Fall P ∩ T_{k} ≠ ∅ für ein 1 ≤ k ≤ s + 1. Dann ist |P ∩ T_{k}| ≤ d + 1 und |P ∩ T′| ≥ c. Sei a_{i_{j}} = max(P ∩ T′). Dann ist a_{i_{j}} der direkte Vorgänger von a_{i_{k}} und so a_{k} kein Endpunkt in T, d.h. für ein a_{m} ist a_{k}T a_{m}. Sei nun Q der in T zu P ∩ T′ korrespondierende Pfad. Dann ist a_{j} = max Q und Q ∪ {a_{k}, a_{m}} ein Pfad mit |Q ∪ {a_{k}, a_{m}}| = |Q| + 2 ≥ c + 2. In beiden Fällen folgt die Behauptung. □

Lemma A.1.2 Seien M ⊧ IΣ_{1}; a, c ∈ M und G, F primitiv rekursive Funktionen. Weiter sei für alle x ≥ a das Intervall [x, G(x)] nicht c-F (x)-arboreal. Dann ist für x ≥ a das Intervall [x, G^{(F (x))}(x)] nicht (c + 1)-F (x)-arboreal.

Beweis: Sei x ≥ a. Für i = 0, …, F (x) definieren wir x_{i} := G^{(i)}(x). Nach Voraussetzung sind alle [x_{i} + 1, x_{i+1}] nicht 1-fach-c-F (x)-arboreal. Sei jeweils T_{i} (i ∈ {0, …, F (x) − 1}) eine Zeuge dafür. Aus diesen T_{i} definieren wir folgenden Baum T:

Dann ist T ein F (x)-engverzweigter [x_{0}, ..., x_{F (x)}]-Baum ohne Pfad der Länge c + 3. Mit x_{0} = x und x_{F (x)} = G^{F (x)}(x) folgt die Behauptung. □

Lemma A.1.3 Seien F, G primitiv rekursiv mit IΣ_{1} ⊢ (∀x)F (x) ≤ G(x). Dann gilt

IΣ_{1} ⊢ A ist c- fach G(x)- arboreal → A ist c- fach F (x)- arboreal . □

Korollar A.1.4 Seien M ⊧ IΣ_{1} und x ∈ M. Dann sind [x, 2x^{2^{x}}] sowie [x, 2 · 2_{x}^{x}] nicht 1-fach 3-id-arboreal.

Beweis: Für x < 2 ist die Behauptung klar. Sei 2 ≤ x ∈ M. Dann ist [x, 2x] nicht 1-fach 1-id-arboreal:

Mit G(x) := 2x, F :≡id und Lemma A.1.2 ist dann [x, x2^{x}] nicht 1-fach 2id-arboreal. Eine weitere Anwendung von Lemma A.1.2 mit H(x) := x2^{x} liefert: [x, H^{x}(x)] ist nicht 1-fach 3-id arboreal. Da für x ≥ 2 gilt H^{2}(x) ≥ 2x2^{x}, folgt die erste Behauptung. Mit x ≥ 2 ist H^{x}(x) ≥ 2 · 2_{x}^{x}, und damit folgt die zweite Behauptung. □ Wir sind nun in der Lage, Satz 2.5.6 zu beweisen: Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; min(A) ≥ 4; c ∈ M und c ≥ 1. Dann gelten (mit id als Identitätsfunktion):

(i) M ⊧ (A ist 1-fach-(c + 3)-id-arboreal ∧ min(A) ≥ c) → (A ist 1-fach c-x^{2^{x}}-arboreal).

(ii) M ⊧ (A ⟶_{∗} (3)_{c}^{2}) → A ist1-fach (c − 1)-id-arboreal.

Beweis: Zu (i): Korollar A.1.4 ergibt: [x, 2 · x^{2^{x}} − 1] ist nicht 1-fach 3-id arboreal. Damit sind die Voraussetzungen von Lemma A.1.1 erfüllt und wir erhalten (i). Zu (ii): Wir zeigen zunächst durch Kontraposition die Implikation (wobei F (x) := x − 2 sei):

A ⟶_{∗} (3)_{c}^{2} ⇒ A ist 1-fach c-(x − 2)-arboreal.

Sei dazu A nicht 1-fach-c-(x − 2)-arboreal. Dann existiert ein A-Baum T, welcher (x−2)-engverzweigt ist und keinen Pfad der Länge c+2 besitzt. Wir definieren nun eine Funktion f gemäß

f(a, b) :≡ rank(âb),

und wegen rank(âb) ∈ {0, …, c − 1} ist f : [A]^{2} → c. Sei nun H eine beliebige für f homogene Menge und a := glb(H). Dann existieren x, y ∈ H mit f(x, y) = a und wegen der Homogenität von H ist für alle x, y ∈ H schon f(x, y) = a. Damit existiert eine Injektion i : H\{a} → IS_{T} (a). Denn angenommen, für ein b_{0} ∈ IS_{T} (a) gäbe es x ≠ y ∈ H mit b_{0}T x und b_{0}T y, so wäre f(x, y) ≥ b_{0} > a. Dies ist ein Widerspruch zu f(x, y) = a. Also ist |H| ≤ 1 + (a − 2) < a ≤ min H. Also ist A ↛_{∗} (3)_{c}^{2} und die erste Implikation ist gezeigt. Als zweites zeigen wir nun

A ist 1-fach c-(x − 2)-arboreal ⇒ A ist1-fach-(c − 1)-id-arboreal.

Sei A 1-fach c-(x−2)-arboreal, T ein id-engverzweigter A-Baum. Wir zeigen: Es existiert ein Pfad P durch T mit |P | ≥ c + 1. Seien dazu A = {a_{1}, …, a_{t}} die Elemente aus A. Wir definieren nun einen (A\{a_{1}, a_{2}})-Baum T′ gemäß

a_{i}T′a_{j} := a_{i−2}T a_{j−2} (2 < i < j ≤ t).

Dann erhalten wir folgenden A-Baum T′′:

Mit a_{1} ≥ 4 und a_{i+2} − 2 ≥ a_{i} ist T′′(x − 2)-engverzweigt und die Voraussetzung liefert einen Pfad in T′′ der Länge c + 2. Daraus folgt die Existenz eines Pfades der Länge c + 1 durch T und der Satz ist bewiesen. □

Nachdem wir mit Satz 2.5.6 den Induktionsanfang von Satz 2.5.7 bewiesen haben, wollen wir nun den Beweis von Satz 2.5.7 vorbereiten:

Lemma A.1.5 Sei M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} mit A = {a_{1}, …, a_{t}}; t, c ∈ M; n ∈ IN; F, G primitiv rekursiv und monoton wachsend, A nicht n-fach c-F (x)- arboreal; B ⊆_{fin} M mit B = {b_{1}, …, b_{s}}; s ∈ M und s ≤ t. Weiter sei für alle i = 1, ..., s schon F (a_{i}) ≤ G(b_{i}). Dann ist B nicht n-fach c-G(x)-arboreal.

Beweis: Induktion nach n:

1. n = 0 ist klar.

2. Die Behauptung gelte für n ≥ 0 und A sei nicht (n + 1)-fach-c-F (x)- arboreal. Es existiert also ein F (x)-engverzweigter A-Baum T ohne Pfad P, so daß P^{∘} n-fach-c-F (x)-arboreal ist. Wir bauen nun einen B-Baum T′ gemäß

b_{i}T′b_{j} :≡ a_{i}T a_{j} 1 ≤ i < j ≤ s.

T′ ist G(x)-engverzweigt, da |IS_{T′}(b_{i})| ≤ F (a_{i}) ≤ G(b_{i}). Ist nun P ⊆ B ein Pfad in T′ und Q der zu P korrespondierende Pfad in T, so ist P^{∘} nicht n-fach-c-F (x) arboreal. Nach I.V. ist dann Q^{∘} nicht n-fach-c-G(x)-arboreal und die Behauptung ist gezeigt. □

Lemma A.1.6 Sei M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} M; T ein A-Baum; X ⊆ A; n ∈ IN; b ∈ M; n ≥ 1; b ≥ 2 und sei weiter |X| ≥ b^{n}. Dann gilt entweder:

(i) Es existieren paarweise verschiedene x_{1}, …, x_{b+1} ∈ X mit x_{i} ≠ x̂_{i}x_{j} = x̂_{k}x_{l} (für alle i ≠ j, k ≠ l) :

oder

(ii) Es existieren paarweise verschiedene y_{1}, …, y_{n+1} ∈ X mit

{ \atop y_{i}y_{n+1}} ≠ { \atop y_{k}y_{n+1}} (i ≠ k ∈ \{1, ..., n + 1\}) :

Beweis: Induktion nach n:

1. n = 1: Dann ist |X| ≥ b^{1} ≥ 2. Damit existieren zwei verschiedene Elemente, diese erfüllen (ii).

2. n ⇝ n + 1: Die Behauptung gelte für n ≥ 1 und es sei |X| ≥ b^{n+1}. Wir definieren a := glb X und für alle u ∈ IS_{T} (a) sei X_{u} := {x ∈ X | x = u∨uT x}. Wir betrachten zwei Fälle:

1. Fall: Es gibt u_{1}, …, u_{b+1} ∈ IS_{T} (a) mit paarweise verschiedenen nichtleeren X_{u_{i}}. Dann können x_{i} ∈ X_{u_{i}} gewählt werden, diese erfüllen (i).

2. Fall: Es gibt weniger als b viele nichtleere X_{u}. Mit dem Schubfachprinzip existiert ein u mit |X_{u}| ≥ b^{n}. Nach I.V. erfüllt X_{u} entweder (i) oder (ii). Erfüllt X_{u} (i), so ist die Behauptung gezeigt, sonst gibt es y_{1}, …, y_{n+1} ∈ X_{u} mit (ii). Wir wählen ein y_{0} ∈ X mit { \atop y_{0}y_{n+1}} = a (dies ist wegen a= glb(X) möglich). Dann ist { \atop y_{0}y_{n+1}} ≠ { \atop y_{i}y_{n+1}} (i = 1, …, n + 1), denn es ist aT u und

für alle i = 1, …, n + 1 gilt u = { \atop y_{i}y_{n+1}} oder uT { \atop y_{i}y_{n+1}}.

Damit ist die Behauptung bewiesen. □

Satz A.1.7 Seien M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} M; c ∈ M; n ∈ IN; c ≥ 1; n ≥ 2; min A ≥ n^{2n} und T ein (x − 2)-engverzweigter A-Baum, so daß für jeden Pfad P in T gilt:

P^{∘} −̸→_{∗} (n + 1)_{c}^{n}.

Dann gelten

(i) Für n = 2 ist (A −̸→_{∗} (4)_{2c+2}^{3}).

(ii) Für n > 2 ist (A −̸→_{∗} (n + 2)_{c+2}^{n+1}).

Beweis: Für alle a ∈ A sei F_{a} : [T_{a}]^{n} → c eine Funktion ohne relativ große homogene Menge. Wir definieren ≺ als die lexikographische Baumordnung auf A, d.h.

a ≺ b :⇔ \{ \begin{matrix}aT b & oder \\ es existieren a_{1}, b_{1} ∈ IS_{T} (âb) mit (i)-(iii): \\ (i) a_{1} < b_{1} \\ (ii) a_{1}T a oder a = a_{1} \\ (iii) b_{1}T b oder b = b_{1} \end{matrix}

Wir definieren nun eine Funktion f : [A]^{n+1} → 2c + 2 (bzw. c + 2 für n = 2) wie folgt: Für x⃗ = ⟨x_{0}, …, x_{n}⟩ ∈ [A]^{n+1} sei

f(x⃗) := \{ \begin{matrix}1; & Fall 1 \\ 2 + f_{y_{n}}(p(ŷ_{0}y_{n}), …, p({ \atop y_{n−1}y_{n}})); & Fall 2 \\ F_{z_{n}}(p(ẑ_{0}z_{n}), …, p({ \atop z_{n−1}z_{n}})) + \{ \begin{matrix}2 + c; & n = 2 \\ 2; & n > 2 \end{matrix} ; & Fall 3 \\ 0 & sonst \end{matrix}

(p(x) bezeichnet den T -Vorgänger von x, vgl 2.5.1) mit: Fall 1: ⇔ (∀i ≠ j, k ≠ l)(x̂_{i}x_{j} = x̂_{k}x_{l}). Fall 2: ⇔ Es existiert eine Re-Indizierung y_{0}, …, y_{n} von x⃗, so daß min A, ŷ_{0}y_{n}, …, ŷ_{n}y_{n} alle verschieden sind und für i ∈ {0, .., n − 1} gilt y_{i} ≺ y_{n}. Fall 3: ⇔ Es existiert eine Re-Indizierung z_{0}, …, z_{1} von x⃗, so daß min A, ẑ_{0}z_{n}, …, ẑ_{n}z_{n} alle verschieden sind und für i ∈ {0, …, n − 1} gilt z_{i} ≺ z_{n}. Gelten für ein Tupel x⃗ mehrere Fälle, so sei f(x⃗) durch den ersten Fall definiert, der zutrifft. Wir nehmen nun an, es gäbe eine relativ große, für f homogene Menge H ⊆ A der Mächtigkeit 4 bzw. n + 2. Dann ist |H| ≥ min A ≥ n^{2n}. Lemma A.1.6 liefert nun einen der beiden Fälle:

(i) Es gibt x⃗ ∈ [H]^{n+1} mit x_{i} ≠ x̂_{i}x_{j} = x̂_{k}x_{l} für alle 0 ≤ i < j ≤ n und alle 0 ≤ k < l ≤ n. (ii) Es gibt w⃗ ∈ [H]^{2n+1}, so daß { \atop w_{i}w_{2n}} für i = 0, …, 2n paarweise verschieden sind. Ziel ist es nun, beide Fälle zum Widerspruch zu führen: Zu (i): Ein solches Tupel x⃗ fällt unter Fall 1 und damit ist f(x⃗) = 1. Sei a := x̂_{0}x_{1}. Unter der weiteren Annahme, es gäbe y, z ∈ H mit ŷz ≠ a folgt für ŷx_{0} = a : f(⟨y, z, x_{0}, w⃗⟩) ≠ 1, sowie für ŷx_{0} ≠ a : f(⟨y, x_{0}, x, w⃗⟩) ≠ 1, wobei w⃗ ∈ [H]^{n−2} beliebig ist. Dies ist jeweils ein Widerspruch zur Homogenität von H. Also gilt für alle y < z ∈ H : ŷz = a. Damit enthält H für jeden Nachfolger von a höchstens ein Element, es ist also

|H| ≤ 1 + |IS_{T} (a)| < a ≤ min H.

Dies ist ein Widerspruch, da H als relativ groß angenommen wurde. Zu (ii): Sei w⃗ ∈ [H]^{2n+1} gemäß (ii). Wir zeigen die folgenden vier Behauptungen (α) − (γ): (α): Alle x⃗ ∈ [H]^{n+1} fallen unter Fall 2 oder 3. Beweis: Es seien y_{0}, …, y_{s−1} die w_{i}’s mit min A ≠ { \atop w_{i}w_{2n}} und w_{i} ≺ w_{2n}, sowie

z_{0}, …, z_{t−1} die w_{i}’s mit min A ≠ { \atop w_{i}w_{2n}} und w_{2n} ≺ w_{i}

Da |{min A, y_{0}, …, y_{s−1}, z_{0}, …, z_{t−1}, w_{2n}}| ≥ 2n + 1 ist folgt s ≥ n oder t ≥ n. Wir re-indizieren y_{n} := w_{2n} bzw. z_{n} := w_{2n}, falls s ≥ n. Dann fallen ⟨y_{0}, …, y_{n}⟩ bzw. ⟨z_{0}, …, z_{n}⟩ unter Fall 2 oder 3, nicht aber unter Fall 1. Es gibt also mindestens ein Tupel x⃗ ∈ [H]^{n+1} mit 0 ≠ f(⟨x⃗⟩) ≠ 1. Damit fallen aufgrund der Homogenität von H alle Tupel unter Fall 2 oder 3. Damit folgt die Behauptung (α). (β): S := {x̂y | x, y ∈ H; x ≠ y} ist ein Pfad in T. Beweis: Angenommen, es gäbe x, y, w, z ∈ H mit x̂y = a ∧ ẑw = b ∧ ¬ comp(a, b):

Ohne Einschränkung seien a ≺ b, x ≺ y sowie z ≺ w. Mit ¬ comp(a, b) folgt x ≺ y ≺ z ≺ w. Dann gilt für n = 2 : x̂w = âb ≠ b = ẑw, sowie x̂w = âb = ŷw. Damit fällt ⟨x, z, w⟩ unter Fall 2, nicht jedoch ⟨x, y, w⟩. Dies ist ein Widerspruch zur Homogenität von H. Ist n > 2, so betrachten wir ein Tupel ⟨x, y, z, w, …, x_{n}⟩ ∈ [H]^{n+1}. Nach (α) fällt dieses Tupel unter Fall 2 oder 3, z.B. unter 2: Dann ist x̂y_{n} ≠ ŷy_{n}, also aT y_{n}. Denn die Annahmne ¬aT y_{n} führt mit y_{n} ≻ x und y_{n} ≻ y zum Widerspruch x̂y_{n} = ŷy_{n}. Weiter folgt aus ẑy_{n} ≠ ŵy_{n} : bT y_{n}. Zusammen mit aT y_{n} ist dies ein Widerspruch zu ¬ comp(a, b). Der Fall 3 wird annalog gezeigt. Damit ist (β) bewiesen. (γ) : Seien m := max S und y_{n}, z_{n} ∈ H mit { \atop y_{n}, z_{n}} = m, y_{n} ≠ z_{n}. Dann gilt für alle x ∈ H\{y_{n}, z_{n}} :

x̂y_{n} = x̂z_{n} ≠ m.

Beweis: Zunächst nehmen wir an, für a := x̂, y_{n} und b := x̂z_{n} sei a ≠ b. Dann sind a, b aus S, und ohne Einschränkung a\underline{T} b. (Wir hatten a\underline{T} b :≡ (aT b∨a = b definiert.) Da m = max S ist, folgt mit (β) : b\underline{T} m. Weiter ist m = ŷ_{n}z_{n}, also m\underline{T} y_{n}. Damit ist b\underline{T} y_{n}. Nach Wahl von b ist b\underline{T} x. Damit ist b\underline{T} ŷ_{n}x und schließlich b\underline{T} a. Dies ist ein Widerspruch und wir haben x̂y_{n} = x̂z_{n}. Als zweites nehmen wir an, es wäre x̂z_{n} = ŷ_{n}z_{n}. Führen wir diese Annahme zum Widerspruch, so ist mit m = ŷ_{n}z_{n} und x̂y_{n} = x̂z_{n} die Behauptung (γ) bewiesen. Sei dazu x⃗ = ⟨x, y_{n}, z_{n}, w⃗⟩ ∈ [H]^{n+1}. Dann fällt dieses x⃗ unter Fall 2 oder 3. Also existiert ein u = x_{i}, so daß x̂u, ŷ_{n}u, ẑ_{n}u paarweise verschieden sind. Ist u ∉ {y_{n}, z_{n}}, so ist ŷ_{n}u = ẑ_{n}u, ein Widerspruch. Mit u ∈ {y_{n}, z_{n}} kann ohne Einschränkung u = z_{n} angenommen werden, mithin ist x̂u = x̂z_{n} = m = ẑ_{n}y_{n} = ŷ_{n}u. Auch das ist ein Widerspruch. Damit ist Behauptung (γ) bewiesen. Sei nun ohne Einschränkung z_{n} ≺ y_{n}. (δ) : Einer der beiden folgenden Fälle gilt: (i): Für alle y⃗ ∈ [H\{y_{n}}]^{n} ist ⟨y⃗, y_{n}⟩ in Fall 2. (ii): Für alle z⃗ ∈ [H\{z_{n}}]^{n} ist ⟨z⃗, z_{n}⟩ in Fall 3. Beweis: Sei x⃗ ∈ [H]^{n+1} mit x_{0} = y_{n} und x_{1} = z_{n}. Dann fällt x⃗ unter Fall 2 oder 3, wir behandeln den Fall 2, 3 verläuft analog: Im Fall 2 existiert eine Re-Indizierung ⟨u_{0}, …, u_{n}⟩ so daß die { \atop u_{0}u_{n}}, …, { \atop u_{n}u_{n}} paarweise verschieden sind und u_{i} ≺ u_{n} für alle i = 0, …, n − 1 gilt. Wäre u_{n} ∉ \{y_{n}, z_{n}\} so ergäbe die Behauptung (γ): û_{n}z_{n} = { \atop u_{n}y_{n}}, ein Widerspruch. Wegen y_{n} ⊀ z_{n} ist auch u_{n} ≠ z_{n}, mithin gilt u_{n} = y_{n}. Die Elemente von x⃗ waren bis auf y_{n}, z_{n} beliebig und für x_{i} ≠ y_{n} ist x_{i} ≺ y_{n}, also gilt:

(∀x ∈ H\{y_{n}}) x ≺ y_{n}.

Also fällt für ⟨y_{0}, …, y_{n−1}⟩ ∈ [H\{y_{n}}]^{n} das Tupel ⟨y_{0}, …, y_{n}⟩ nicht unter Fall 3, insbesondere also unter Fall 2. Damit ist die Behauptung (δ) bewiesen.

Es gelte nun ohne Einschränkung: Für alle y⃗ ∈ [H\{y_{n}}]^{n} ist ⟨y⃗, y_{n}⟩ in Fall 2. Dann sei

H^{∗} := {p(ŷy_{n}) = | y ∈ H\{y_{n}}}.

Da ⟨y_{0}, …, y_{n}⟩ unter Fall 2 fällt, gilt: Ist y_{0} ≠ y_{1} so ist wegen y_{i} ≺ y_{n} auch p(ŷ_{0}y_{n}) ≠ p(ŷ_{1}y_{n}). Also ist

|H^{∗}| = |H| − 1.

Es ist nun nach Definition H^{∗} ⊆ T_{y_{n}} und H^{∗} homogen für f_{y_{n}}, d.h. entweder ist |H^{∗}| ≤ n und damit |H| ≤ n + 1. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, H wäre relativ groß. Oder es ist |H^{∗}| < min |H^{∗}|, denn die f_{a} waren Funktionen ohne relativ große homogene Mengen, also ist|H| ≤ min H^{∗}. Für y ∈ H gilt jedoch

min H^{∗} ≤ p(ŷy_{n}) < ŷy_{n} ≤ y,

also |H| < min H. Auch dies ist ein Widerspruch zur Annahme, H wäre relativ groß. Damit ist der Satz bewiesen. □

Lemma A.1.8 Seien M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} M; F primitiv rekursiv und monoton wachsend; n ∈ IN, c ∈ M; n ≥ 1; c ≥ 2; A n-fach-c-F (x)-arboreal. Sei weiter für ein 1 ≤ d ≤ F (min A) :

A\{min A} = ⋃_{i<d} A_{i}

Dann gibt es ein i < d, so daß A_{i} n-fach (c − 1)-F (x)-arboreal ist.

Beweis: Induktion nach n:

1. n = 1: Wir nehmen an, kein A_{i} wäre n-fach (c − 1)-F (x)-arboreal. Dann existiert für jedes i < d ein Zeuge T_{i} ohne entsprechenden Pfad. Wir bauen einen A-Baum T gemäß:

Dann ist |IS_{T} (min A)| ≤ d ≤ F (min A). Damit ist T F (x)-engverzweigt und hat nach Konstruktion keinen Pfad der Länge c+2. Das ist ein Widerspruch.

2. n > 1: Eine analoge Annahme liefert F (x)-engverzweigte A_{i}-Bäume T_{i}, so daß alle Pfade Q in T_{i} nicht (n − 1)-fach (c − 1)-F (x)-arboreal sind. Wie im Fall n = 1 bilden wir einen Baum T aus den T_{i} mit Wurzel min A. Sei nun P ein Pfad in T. Dann ist Q := P \{min P } = P \{min A} ein Pfad in einem der T_{i}, also ist Q^{∘} nicht (n − 1)-fach (c − 1)-F (x)-arboreal. Die I.V. angewendet auf P^{∘}\{min P = Q^{∘}} (Q^{∘} als Vereinigung einer Menge) liefert: P^{∘} ist nicht (n − 1)-fach c-F (x)-arboreal. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung: A ist n-fach-c-F (x) arboreal. Damit ist das Lemma bewiesen. □

Lemma A.1.9 Seien M ⊧ IΣ_{1}; A ⊆_{fin} M; min A ≥ 3; F primitiv rekursiv und monoton wachsend; n ∈ IN; c ∈ M; n ≥ 2; c ≥ 1; A n-fach-(c + 1)-id-arboreal und sei weiter für alle x ≥ min A die Menge A ∩ [x, 2F (x)] nicht n-fach c-F (x) arboreal. Dann ist A n-fach c-F (x)-arboreal.

Beweis: Sei T ein F (x)-engverzweigter A-Baum (A = {a_{1}, …, a_{t}} mit a_{i} < a_{j} für i < j). Zu zeigen ist: Es existiert ein Pfad Q durch T, welcher nicht (n − 1)-fach c-F (x)-arboreal ist. Wie in Lemma A.1.1 definieren wir hierzu Indizes i_{0}, …, i_{s} und damit Elemente a_{i_{0}}, …, a_{i_{s}}, sowie disjunkte Teilmengen A_{1}, …, A_{s+1}, wobei s := max{j | i_{j} existiert} sei. Dann gilt:

(i) j ≥ 1 ⇒ a_{j} ≤ a_{i_{j}−1}.

(ii) A_{j} ≠ ∅ ⇒ A_{j} ⊆ [a_{i_{j}−1}, 2F (a_{i_{j}−1})] ∩ A.

Nach Voraussetzung sind alle diese A_{j} nicht n-fach c-id-arboreal. Wie in Lemma A.1.1 konstruieren wir nun einen Baum T^{∗}. Dann folgt analog, daß T^{∗} ein engverzweigter A-Baum ist. Damit existiert ein Pfad P, so daß P^{∘} (n − 1)−fach-(c + 1)-arboreal ist. Es ist P^{∘} ∩ T_{k} ≠ ∅ für höchstens ein k, d.h. P^{∘}\{min P^{∘}} läßt sich darstellen als Vereinigung von zwei Mengen (zu T′ vgl. Lemma A.1.1):

P^{∘}\{min P^{∘}} = (P^{∘} ∩ T′) ∪ (P^{∘} ∩ T_{k}).

Lemma A.1.8 ergibt: Eine dieser beiden Mengen ist (n−1)-fach c-id-arboreal, wir unterscheiden die beiden möglichen Fälle: 1.Fall: (P^{∘} ∩ T_{k}) ist (n − 1)-fach c-id-arboreal. Damit ist P ∩ T_{k} ein Pfad in T_{k}, so daß (P ∩ T_{k})^{∘} = P^{∘} ∩ T_{k} (n − 1)-fach c-id-arboreal ist. Dies ist ein Widerspruch.

2. Fall: (P^{∘}∩T′) ist (n−1)-fach c-id-arboreal. Wir definieren X := {a_{j} | a_{i_{j}} ∈ P^{∘}∩T′}. Dann ist X ein Pfad in T und a_{j_{0}} := max X kann nach Konstruktion (vgl. Lemma A.1.1) kein Endpunkt sein. Sei also Q ein Pfad in T mit Q^{∘} = X. Angenommen Q^{∘} wäre nicht (n − 1)-fach-c-F (x)-arboreal. Aus dem Beweis von Lemma A.1.1 geht hervor, daß immer F (a_{j}) ≤ a_{i_{j}} gilt. Damit kann Lemma A.1.5 angewendet werden und es folgt: (P^{∘} ∩ T′) ist nicht (n − 1)-fach c-id-arboreal. Das ist ein Widerspruch und es folgt: A ist n-fach-c-F (x)-arboreal. □

Wir sind nun in der Lage, Satz 2.5.7 zu beweisen: Seien A ⊆_{fin} M ⊧ IΣ_{1}; c ∈ M; n ∈ IN; n, c ≥ 2 und min(A) ≥ max{n^{2n}, c}. Dann gelten:

(i) M ⊧ (A ist n-fach (c + 1)-id-arboreal) → (A ist n-fach c-x^{2^{x}}-arboreal).

(ii) M ⊧ (A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}) → (A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n)- id - arboreal).

Beweis: (i): Sei A n-fach (c + 1)-arboreal. Mit A.1.4 folgt: Für alle x ∈ M ist [x, 2x^{2^{x}}] nicht 1-fach-3-id-arboreal. Es existiert also ein [x, 2x^{2^{x}}]-Baum T ohne Pfad P der Länge 5. Damit gilt für alle Pfade P in T : P^{∘} ist nicht 1-fach-2-arboreal. Also ist [x, 2x^{2^{x}}] nicht 2-fach 2-arboreal. Ist nun n ≥ 2, c ≥ 2 und x ≥ min A, so ist A ∩ [x, 2x^{2^{x}}] nicht n-fach c-x2^{x}-arboreal. Lemma A.1.9 ergibt die Behauptung. (ii): Wir zeigen zwei Behauptungen: (α): Es gilt:

M ⊧ (A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}) → (A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n + 1)-(x − 2)- arboreal).

Wir führen Induktion nach n: Den Induktionsanfang n = 1 liefert Satz 2.5.6 (ii). Sei also n ≥ 2 und die Behauptung gelte für n − 1. Nach Voraussetzung ist

(A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}).

Ohne Einschränkung sei c gerade, d.h. c = 2d. Für d < n folgt die Behauptung, es sei also weiter d ≥ n, d.h. c ≥ 2n. Wir betrachten die beiden Fälle:

1. Fall: n = 2: Aus (A ⟶_{∗} (3)_{c}^{2}) folgt mit Satz A.1.7: Zu jedem (x − 2)- engverzweigten A-Baum T existiert ein Pfad P mit P^{∘} ⟶_{∗} (3)_{d−1}^{2}. Aus dem Beweis von Satz 2.5.6 (ii) geht hervor: P^{∘} ist (d − 1)-(x − 2)-arboreal. Damit ist A 2-fach (d − 1)-(x − 2)-arboreal und mit d − 1 = [\frac{c}{2}] − 1 = \frac{c}{2} − n + 1 folgt die Behauptung.

2. Fall: n ≥ 3: Aus (A ⟶_{∗} (n + 2)_{c}^{n+1}) folgt mit Satz A.1.7: Zu jedem (x − 2)-engverzweigten A-Baum T existiert ein Pfad P mit

P^{∘} ⟶_{∗} (n + 1)_{d−1}^{n}.

Mit I.V. ist dann P^{∘} (n − 1)-fach([\frac{c−2}{2}] − · (n − 1) + 1)-(x − 2)-arboreal. Es ist ([\frac{c−2}{2}] − · (n − 1) + 1) = ([\frac{c}{2}] − n + 1). Damit folgt: A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n + 1)-(x − 2)- arboreal und (α) ist beweiesen. (β): Es gilt

(A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n + 1)-(x − 2)- arboreal) ⇒
(A ist n- fach([\frac{c}{2}] − · n)- id - arboreal).

Sei A = {a_{1}, …, a_{t}}. Mit A\{min A} = {a_{2}} ∪ {a_{3}, …, a_{t}} ergibt Lemma A.1.8: \{a_{3}, …, a_{t}\} ist n-fach ([\frac{c}{2}] − · n)-(x − 2)-arboreal. Da a_{i} ≤ a_{i+2} − 2 ist, ergibt Lemma A.1.5: \{a_{3}, …, a_{t}\} ist n-fach ([\frac{c}{2}] − · n)-id-arboreal, also ist A nfach([\frac{c}{2}] − n)-arboreal. Damit ist (β) bewiesen, (α) und (β) zusammen ergeben 2.5.7 (ii). □

A.2 Der Beweis von Satz 2.2.4

In diesem Abschnitt wollen wir Satz 2.2.4 beweisen:

(∀n ∈ IN)IN ⟶ (IN)_{reg}^{n}.

Hierzu wollen wir zunächst folgende Definition treffen:

Definition A.2.1 (Kanonische Mengen) Seien X ⊆ IN; n ∈ IN und f : [X]^{n} → IN. Eine Menge H ⊆ X heißt kanonisch für f: ⇔ Es gibt eine Menge v ⊆ {0, …, n − 1}, die folgende Bedingung erfüllt: Für alle s, t ∈ [H]^{n} ist

f(s) = f(t) ⇔ (∀i ∈ v)(s)_{i} = (t)_{i}.

Das v, welches H kanonisch macht, nennen wir v(H).

Diese Definition liefert sofort folgendes Lemma:

Lemma A.2.2 Ist H kanonisch für f, so gilt:

1. Ist v(H) = ∅, so ist H homogen für f.

2. Ist f regressiv und v = {0}, so ist H min-homogen für f. □

Wir zitieren nun eine Erweiterung des unendlichen Ramseysatzes, die von Erdös und Rado bewiesen wurde:

Satz A.2.3 Seien n ∈ IN und f : IN^{n} → IN. Dann gibt es eine unendliche Menge H ⊆ IN, die kanonisch für f ist (vgl. Erdös und Rado [8], sowie [14]).

Damit können wir Satz 2.2.4 beweisen: Sei f : IN^{n} → IN regressiv. 1.Fall: n = 1. Dann ist IN die gesuchte min-homogene Menge. 2.Fall: n > 1. Satz A.2.3 liefert eine unendliche kanonische Menge H und ein v, welches H kanonisch macht. Zu zeigen ist: v = ∅ oder v = {0}. Denn dann folgt mit Lemma A.2.2 die Behauptung. Wir nehmen also an, es gäbe ein 0 ≠ i_{0} ∈ v. Sei h := min(H) − {0}. Es existieren unendlich viele aufsteigende Folgen

h < h_{1}^{i} < … < h_{n−1}^{i} mit (∀i, j ∈ IN) h_{i_{0}}^{i} ≠ h_{i_{0}}^{j}.

Nach Definition von v ist dann für alle i ≠ j ∈ IN :

f(h, h_{1}^{i}, …, h_{n−1}^{i}) ≠ f(h, h_{1}^{j}, …, h_{n−1}^{j}).

Da f regressiv ist, gibt es somit unendlich viele Funktionswerte kleiner als h. Das ist ein Widerspruch. □

Literaturverzeichnis

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[27] Weiermann, Andreas: How to characterize provably total functions by local predicativity. 1995 (wird im Journal of Symbolic Logic erscheinen).