Mathematische Logik

Kongruenz von unlösbaren Lambda -Termen

Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

der Naturwissenschaften im Fachbereich Mathematik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster

vorgelegt von Enno Folkerts aus Höxter

Dekan: Prof. Dr. F.-K. Holtmeier Erster Gutachter: Prof. Dr. J. Diller Zweiter Gutachter: Prof. Dr. W. Pohlers Tag der mündlichen Prüfungen:

Tag der Promotion:

Vorwort

Der λ-Kalkül ist eine mathematische Theorie, deren Objekte abstrakte Algorithmen sind. Diese Objekte heißen λ-Terme. Die Vielfalt der Theorie kommt darin zum Ausdruck, daß sowohl die Eingabedaten als auch die Ausgabedaten eines Algorithmus wieder Algorithmen sind. Insbesondere ist es erlaubt, einen Algorithmus auf sich selbst anzuwenden. Das hat interessante Fixpunktsätze zur Folge. Andererseits ergibt sich als Konsequenz, daß im λ-Kalkül Terme ohne Normalform - das sind Algorithmen, deren Rechnung nicht terminiert - existieren. Schränkt man die Möglichkeiten der Termbildung ein, so kann man zu wichtigen Teiltheorien des λ-Kalküls gelangen, bei denen alle Terme eine Normalform besitzen. Dies geschieht durch Typen, die regeln, wann ein Term auf einen anderen angewandt werden darf. Im extensionalen λ-Kalkül wird über Funktionen gesprochen. Von einem Algorithmus fällt dann nur noch ins Gewicht, was er berechnet - nicht aber, wie er es berechnet. Der Ausgangspunkt für diese Arbeit war die Frage, ob alle im geschlossenen Termmodell des extensionalen Kalküls bijektiven Terme auch invertierbar sind. Dies ist ein Spezialfall der allgemeineren Fragestellung, wann externe Funktionen durch interne Funktionen repräsentiert werden können: Jede intern bijektive Funktion besitzt ein Inverses. Kann dieses Inverse wieder durch eine interne Funktion repräsentiert werden? Da die invertierbaren Terme im einfach getypten λ-Kalkül einen Typ besitzen, kann die Ausgangsfrage auch als Frage nach der Typbarkeit der bijektiven Terme verstanden werden. Mit Hilfe von unlösbaren Termen gelingt es, die vorgegebene Frage positiv zu beantworten. Für diesen Beweis ist es erforderlich, auf der Menge der unlösbaren Terme eine Äquivalenzrelation ≈ zu betrachten. Diese, Kongruenz genannte, Äquivalenzrelation vermittelt eine Betrachtung der unlösbaren Terme modulo der für die Unlösbarkeit unwesentlichen Bestandteile. Durch das Abstreifen der unwesentlichen Bestandteile wird der Blick frei für die reiche Struktur der unlösbaren Terme. Das Studium dieser Struktur ist das zentrale Thema der vorliegenden Dissertation. Vom Leser werden nur geringe Grundkenntnisse des λ-Kalküls erwartet. Eine gewisse Vertrautheit mit β-Reduktionen und unlösbaren Termen ist von Vorteil. Das sorgfältige Studium der eher technisch orientierten Paragraphen 2 bis 4 ist dagegen für das Verständnis der Arbeit unabdingbar. Alle Beweise werden mit konstruktiven Mitteln geführt. Die Zitate zu Beginn der einzelnen Paragraphen stammen aus dem Buch Leben und Meinungen des Herrn Tristam Shandy von Lawrence Sterne. Ganz herzlich möchte ich Herrn Prof. Dr. Justus Diller für die Betreuung und hilfreiche Wegweisung bei der Erstellung dieser Dissertation danken. Seiner Vorlesung über den λ-Kalkül im WS 90/91 verdanke ich mein Interesse an diesem Gebiet. Zur Vertiefung des Stoffs hat die intensive Prünfungsvorbereitung mit Herrn Dr. Karl Stroetmann im Mai 1991 beigetragen. Auch bei ihm möchte ich mich bedanken. Durch den Besuch von Herrn Dr. Erik Barendsen beim Logik Kolloquium 1992 in Münster wurde mein Interesse für den λ-Kalkül wieder neu geweckt. Er hat schließlich auch den Kontakt mit Herrn Prof. Dr. Henk Barendregt geknüpft, der im März 1993, während einer Tagung über getypte Kalküle in Utrecht, meine Aufmerksamkeit auf das Invertierbarkeitsproblem gelenkt hat. Beiden Herren aus Nijmegen schulde ich ebenfalls Dank dafür, daß sie über mehr als zwei Jahre mein Forschungsvorhaben mit Interesse verfolgt haben und für Fragen stets ein offenes Ohr hatten. Einen großen Einfluß auf die Entwicklung des Kongruenzbegriffes hat der Artikel [?] Every countable poset is embeddable in the poset of unsolvable terms von Statman. Von diesem Artikel habe ich erst durch das von Herrn Dr. Andreas Schlüter betreute Online-Recherchesystem erfahren. Die Konsequenzen dieser Arbeit konnte ich mit Herrn Dr. Thomas Glaß eingehend diskutieren. Diesen beiden und allen weiteren ehemaligen und jetzigen Mitarbeitern und Studenten des Instituts für mathematische Logik und Grundlagenforschung, sowie den Herren Professores Dr. Wolfram Pohlers und Dr. Justus Diller möchte ich für die hervorragende Arbeitsatmosphäre und für das entgegengebrachte Interesse großen Dank aussprechen. Der langjährigen Weggefährtin Frau Eva Maria Krause verdanke ich viele interessante Gespräche und nicht zuletzt das Programm, ohne das die Erstellung der vielen Zeichnungen kaum möglich gewesen wäre. Ein ganz besonderes herzliches Dankeschön geht an Frau Dagmar Neuhaus, die diese Dissertation in vielfältiger Weise unterstützt hat.

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 1

2 Grundbegriffe des Lambda-Kalküls 5 Konversion, Kontraktion und Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lösbarkeit und Unlösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Markierte Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Eta-Reduktionen 24 Kritische Beta-Reduktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Unkritische Eta-Reduktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 λη-Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Einfach markierte Terme 65 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Lösbarkeit und Unlösbarkeit im markierten Kalkül . . . . . . . . . 77 Spuren für Eta-Reduktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Kongruenz 90 Konfluenz von ρ_{1}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Konfluenz von ρ_{3}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Konfluenz von ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Unlösbarkeitsgrade 148

7 Atomare Terme 165 Nichtstandardatome im extensionalen Kalkül . . . . . . . . . . . . 175 Extraktion und Erzeugung von Nichtstandardatomen . . . . . . . . 182

8 Invertierbarkeit 185 Surjektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Injektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Zusammenfassung 210

Literaturverzeichnis 213

1 Einführung

Ich hasse die regelmäßigen Dissertationen; - und vor allem ist es eines der einfältigsten Dinge, wenn man seine Hypothese dadurch erschwert, daß man eine Anzahl großer dunkler Worte eins vor das andere in gerader Linie zwischen das eigene Begriffsvermögen und das des Lesers stellt, - während wenn man sich recht umgesehen hätte, man höchst wahrscheinlich irgend etwas hätte herumstehen oder hängen sehen, was den betreffenden Punkt sofort aufgeklärt hätte;…

Ein Kombinator M ist lösbar, wenn es Kombinatoren P_{1}, …, P_{n} mit λ ⊢ MP_{1} … P_{n} = I gibt. Das ist gleichbedeutend damit, daß der Kopfreduktionspfad von M mit einer Kopfnormalform terminiert. Üblicherweise werden Terme mit Normalform als Objekte mit vollständiger Information, lösbare Terme als Objekte mit partieller Information und unlösbare Terme als informationslose Objekte angesehen. Das kommt insbesondere bei den cpo-Modellen D_{∞}, P ω und D_{A} zum Ausdruck. Terme mit Normalform werden in diesen Modellen durch maximale Elemente der jeweiligen cpo und unlösbare Terme werden grundsätzlich durch das kleinste Element ⊥ interpretiert. Eine ähnliche Interpretation geschieht bei der Darstellung von partiell-rekursiven Funktionen f durch λ-Terme f . Die partiell-rekursive Funktion f ist genau dann an einer Stelle n definiert, wenn f n eine Normalform besitzt. f(n) ist undefiniert, falls f n unlösbar ist. Eine gute Begründung für diese Interpretation liefert das Generizitätslemma. Wenn U unlösbar ist, und MU eine Normalform N bersitzt, so besitzt jeder Term MP die Normalform N. Unlösbare Terme leisten keinen Beitrag bei der Berechnung von Normalformen. Aus ihnen läßt sich keine Information gewinnen. Barendregt folgert auf Seite 411 von [?]: This shows the computational irrelevance of the unsolvable terms and also suggests that they may be identified. Schon bei diesem Zitat wird aber deutlich, daß unlösbare Terme nicht als vollständig informationslos, sondern nur informationslos in Bezug auf algorithmische Aspekte sind.

In dieser Arbeit soll die These vertreten werden, daß es Sinn macht, unlösbare Terme als Informationträger aufzufassen. Das Generizitätslemma legt nahe, daß die Informationen nicht innerhalb des des Kalküls (durch λ-Terme) zu gewinnen sind. Der Informationsgehalt von unlösbaren Termen muß außerhalb beschrieben werden. An dieser Stelle bietet sich ein Vergleich mit den isolierten Singularitäten einer holomorphen Funktion an. Ist z eine isolierte Singularität einer holomorphen Funktion f, so kann f an der Stelle z nicht ausgewertet werden. Berechnet man - mit den Mitteln der komplexen Analysis - den Typ der Singularität bei z, so können Rückschlüsse auf das Verhalten von f in einer punktierten Umbebung von z gezogen werden. Unlösbare Terme sind die Singularitäten des λ-Kalküls. Wie Theorem 8.16 zeigt, kann mit Hilfe von unlösbaren Termen nachgewiesen werden, daß die im geschlossenen Termmodell M^{0}(λη) bijektiven Terme invertierbar sind. Invertierbare Terme besitzen eine Normalform. Somit können unlösbare die Terme dazu dienen, für gewisse Terme den Nachweis der vollständigen algorithmischen Relevanz zu erleichtern. Beim Beweis des Satzes von Wadsworth in [?], 8.3.11-14 treten drei Abschlußeigenschaften der unlösbaren Terme zutage. Wenn M unlösbar ist, so sind auch MP, M[x := P] und λx.M unlösbar. Der β-Kopfreduktionspfad von MP, M[x := P] und λx.M ist mit dem von M stark verwandt. Die Unlösbarkeit von M ist für die Unlösbarkeit dieser Terme verantwortlich, also ein für die Unlösbarkeit wesentlicher Bestandteil dieser Terme. Da hier versucht werden soll, unlösbaren Termen charakteristische Größen zuzuordnen, ist es naheliegend unwesentliche Unterschiede zu vernachlässigen. Nur so gelingt es, sich auf die wesentlichen Bestandteile zu konzentrieren. Es stellt sich allerdings heraus, daß nicht immer der wesentliche Bestandteil eines unlösbaren Termes fixiert werden kann. Zwei unlösbare Terme M und N heißen kongruent (M ≈ N), wenn sie höchstens an den für die Unlösbarkeit unwesentlichen Stellen verschieden sind. Formal wird die Kongruenz als transitiver Abschluß von Stauchungen, Streckungen und der Gleichheit in der jeweils zugrundeliegenden Theorie eingeführt. Wenn M unlösbar ist, so heißt der Term MP Streckung von M um P, und M heißt Stauchung von MP um P. Das Hinzufügen oder Fortlassen von P ist für die Unlösbarkeit irrelevant. P ist nur ein Kongruenzfaktor. Für unlösbare Terme M folgen dann die Kongruenzen:

M ≈ MP ≈ M[x := P] ≈ λx.M

Die zweite These dieser Arbeit besagt, daß die Identifikation von kongruenten Termen sinnvoll ist. Zuallererst bedeutet dies, daß durch die Identifikation von kongruenten Termen nicht alle Unterschiede zwischen unlösbaren Termen verwischt werden. Andernfalls hätte man das Ziel, durch Kongruenz unwesentliche Unterschiede zu vernachlässigen, weit verfehlt. Das könnte die Interpretation nahelegen, daß eben doch keine echten Unterschiede zwischen unlösbaren Termen existieren. Im Verlauf dieser Arbeit werden drei Beweise für die Existenz von verschiedenen Kongruenzklassen angegeben. Mit dem ersten und einfachsten Beweis (5.5) wird nur die Existenz von zwei verschiedenen Kongruenzklassen gesichert. Das geschieht durch den Nachweis, daß Terme mit unendlicher Ordnung niemals zu Termen mit endlicher Ordnung kongruent sind. Im zweiten und aufwendigsten Beweis wird die Konfluenz einer, die Kongruenz erzeugenden, zweistelligen Relation ρ gezeigt. M ⟶^{ρ} N bedeutet, daß N durch Vereinfachung - Fortlassen von unwesentlichen Bestandteilen - aus M hervorgeht. Dann läßt sich die Inkongruenz von bestimmten Termen unproblematisch nachweisen. Für den dritten und vielleicht ansprechendsten Beweis, wird unlösbaren Termen M ein numerischer Wert U(M) aus IN^{+} ∪ {∞} zugeordnet. U(M) heißt Unlösbarkeitsgrad von M und ist ein asymptotisches Maß für die Anzahl der für die Unlösbarkeit von M relevanten äußeren Applikationen. Da U gegenüber Kongruenz invariant ist, müssen Terme mit unterschiedlichem Unlösbarkeitsgrad inkongruent sein. Es ist leicht, Terme mit verschiedenem Unlösbarkeitsgrad anzugeben. Durch den Unlösbarkeitsgrad U(M) wird einem unlösbaren Term eine für ihn charakteristische Größe zugeordnet. Während die Unterteilung in Kongruenzklassen eine Betrachtung der unlösbaren Terme relativ zu anderen unlösbaren Termen vermittelt, ermöglicht der Unlösbarkeitsgrad eine Einteilung nach absolutem Maßstab. Diese ist gröber als die durch die Kongruenz definierte Unterteilung. Auch andere numerische Maße als U sind denkbar, jedoch scheint U ein recht kanonisches Maß zu sein. Da die Einteilung durch U(M) sehr grob ist, mag man den Zugang über die numerische Charakterisierung unpassend für die relativ komplexe Struktur der unlösbaren Terme finden. Ein anderer Zugang wäre die Charakterisierung der Kongruenzklassen durch möglichst einfache Repräsentanten - Terme, die keine unwesentlichen Bestandteile enthalten. Solche Terme heißen Nichtstandardatome. Es zeigt sich aber, daß nur ausgesuchte Kongruenzklassen Nichtstandardatome besitzen. Die Menge der unlösbaren Terme ist eine Struktur, die sich einfachen Klassifizierungen widersetzt. Insgesamt stellt sich heraus, daß die Einteilung in Kongruenzklassen eine relativ feine Strukturierung der unlösbaren Terme zur Folge hat. Dadurch wird die zweite These dieser Arbeit bestätigt. Die erste These, daß es Sinn macht, unlösbare Terme als Informationsträger aufzufassen, wird dadurch ebenfalls gestützt. Es bleibt aber schwierig, diese Information zu fixieren. Die Möglichkeit, die Kongruenzklasse [M]_{≈} als die von M gelieferte Information zu interpretieren, ist etwas unbefriedigend. Besser ist es, den Unlösbarkeitsgrad U(M) als die in M enthaltene Information aufzufassen.

Eine weitere Bestätigung beider Thesen wird durch die hier vorgestellte Lösung des Invertierbarkeitsproblems in M^{0}(λη) gegeben. Die Unterteilung der unlösbaren Terme in Kongruenzklassen ist ein wesentliches Hilfsmittel beim Beweis, daß alle in M^{0}(λη) bijektiven Terme invertierbar sind. Sie stellt sicher, daß jeder in M^{0}(λη) injektive Term kein Atomgenerator ist (8.14). Dadurch wird, obwohl in M^{0}(λη) nicht jeder surjektive Term rechtsinvertierbar ist, eine Analogie zum offenen Termmodell möglich.

2 Grundbegriffe des Lambda-Kalküls

De gustibus non est disputandum, zu deutsch: gegen Steckenpferde läßt sich nichts sagen; ich selbst thue es selten; ich könnte es wohl auch nicht mit Anstand thun, und wenn ich ein noch so großer Feind derselben wäre; denn da ich zu gewissen Zeiten und Mondwechseln zugleich Geiger und Maler bin, je nach dem mich die Fliege sticht, so muß ich Ihnen sagen, daß ich selbst ein Paar solche Paßgänger im Stalle habe, auf denen ich abwechslungsweise (es ist mir auch gleichgültig, ob man es weiß oder nicht) ausreite und frische Luft schöpfe.

Hier werden die der Arbeit zugrundeliegenden Begriffe vorgestellt. Als Referenz für nicht angeführte Notationen sei auf [?] verwiesen. Das Alphabet des λ-Kalküls besteht aus abzählbar viele Zeichen x, y, z, … und c, d, e, …, den Symbolen λ, . und aus Klammern (). Die Zeichen x, y, z, … heißen Variablen und die Zeichen c, d, e, … heißen Konstanten. Ein Zeichen a heißt Atom, falls es entweder eine Variable oder eine Konstante ist.

2.1 DEFINITION. Die Menge Λ der λ-Terme ist induktiv definiert.

(a) Jedes Atom a ist ein λ-Term.

(b) Sind M und N λ-Terme, so ist auch (MN) ein λ-Term.

(c) Ist M ein λ-Term, so ist auch (λx.M) ein λ-Term.

Für λ-Terme verwenden wir die Buchstaben M, N, P, …, manchmal auch F, G, … Außerdem sei auf die gängigen Klammerkonventionen verwiesen. Weiterhin betrachten wir Λ modulo α-Kongruenz. Üblicherweise werden keine Konstanten in den reinen λ-Kalkül aufgenommen. In diesem Text treten Konstanten an die Stelle von freien Variablen, die nicht durch λ-Abstraktionen gebunden werden sollen. Konstanten mit eigenständiger Bedeutung - wie zum Beispiel ⊥ - werden in dieser Arbeit nicht verwendet.

2.2 DEFINITION.

(a) a_{1}, … a_{n} seien Atome, und M, M_{1}, …, M_{n} seien λ-Terme. Dann bezeichnet sub(M; a_{1}, …, a_{n}; M_{1}, …, M_{n}) den Term, der entsteht, wenn für die Atome a_{i} simultan die Terme M_{i} substituiert werden. Man beachte, daß keine freie Variable aus den Substituten gebunden werden darf.

(b) sub(M; a_{1}, …, a_{n}; P) bezeichnet sub(M; a_{1}, …, a_{n}; \underbrace{P, …, P}_{n}).

(c) M[x := N] :≡ sub(M; x; N)

2.3 DEFINITION.

(a) Ein Kombinator ist ein λ-Term, in dem weder freie Variablen noch Konstanten auftreten.

(b) F V (M) bezeichnet die Menge der in M frei auftretenden Variablen.

Einige bekannte Kombinatoren sind:

I ≡ λx.x
K ≡ λxy.x
S ≡ λxyz.(xz)(yz)
F ≡ λxy.y
Π_{l}^{n} ≡ λx_{1} … x_{n}.x_{l} für 1 ≤ l ≤ n
K^{n} ≡ Π_{1}^{n+1}.

Sind P und Q λ-Terme, so ist [P, Q] ≡ λx.xP Q. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen IN in Λ zu repräsentieren. Eine sei hier vorgestellt:

\begin{aligned}0 & ≡ & I \\ n + 1 & ≡ & [F, n ] \end{aligned}

Ebenfalls ist eine große Anzahl von Fixpunktkombinatoren bekannt. Wir verwenden den Turing’schen Fixpunktkombinator Y_{T}; dieser wird in [?] mit Θ bezeichnet.

Y_{T} ≡ (λxy.y(xxy))(λxy.y(xxy))

In Theorien werden Gleichungen von λ-Termen hergeleitet. Die Basistheorie besteht aus den Axiomen und Regeln (refl), (sym), (tran) und

\begin{aligned}(lapp) & M = N & ⊢ & ML = NL \\ (rapp) & M = N & ⊢ & LM = LN \\ (ξ) & M = N & ⊢ & λx.M = λx.N . \end{aligned}

Die Theorie λ entsteht, wenn zur Basistheorie das Axiom

(β) (λx.M)N = M[x := N]

hinzugenommen wird. Abweichend von [?], nennen wir jede axiomatisierte Erweiterung von λ eine (λ)-Theorie.

Konversion, Kontraktion und Reduktion

Eine Konversion ist eine zweistellige Relation R ⊆ Λ×Λ mit der Eigenschaft:

(M, N) ∈ R ⇒ F V (N) ⊆ F V (M)

Jede Konversion R erzeugt eine R-Kontraktion und eine R-Reduktion. Wir schreiben

-  \overline{}R  für R-Kontraktion.
-  [figure: R]  für R-Reduktion.
- [figure: R]  für die reflexive Hülle von  \overline{}R .

- =_{R} für die transitive, reflexive und symmetrische Hülle der R-Kontraktion.

Eine zweistellige Relation P auf Λ×Λ heißt konfluent, wenn zu gegebenen (M, N) und (M, K) aus P ein Term L mit (N, L) ∈ P und (K, L) ∈ P existiert. Wenn Reduktionen konfluent sind, so sagt man auch, daß sie die Church-Rosser-Eigenschaft besitzen. Die bekannteste Konversion ist die β-Konversion. Diese entsteht, indem dem Axiom (β) eine Richtung gegeben wird.

β := {((λx.M)N, M[x := N]) | M, N ∈ Λ}

β-Reduktionen besitzen die Church-Rosser-Eigenschaft und sind substitutiv.

2.4 LEMMA. Gegeben sei M ⟶ ⟶^{β} N. Dann gilt

sub(M; a_{1}, …, a_{n}; P_{1}, …, P_{n}) ⟶ ⟶^{β} sub(N; a_{1}, …, a_{n}; P_{1}, …, P_{n}).

Wenn X eine Menge von λ-Termen ist, so sucht man häufig nach einer von X erzeugten Menge, die unter =_{R} abgeschlossen ist. Dann bietet sich X_{R} := {M | ∃N ∈ X mit M =_{R} N} an. Für manche Zwecke ist diese Menge aber zu groß. Man vergleiche dazu die Diskussion vor Lemma 6.4. Verfolgt man die Idee, daß sich die Eigenschaft Element von X zu sein nicht ausreduzieren lassen darf, so gelangt man zur Definition des Limes superior von X. Will man dagegen die Menge der Terme fixieren, bei denen die Eigenschaft Element von X zu sein irgendwann stationär wird, so betrachtet man den Limes inferior von X.

2.5 DEFINITION.

(a) \overline{lim}_{R}X := \{M | ∀M ⟶ ⟶^{R} N ∃N ⟶ ⟶^{R} L mit L ∈ X \}

(b) \underline{lim}_{R}X := \{M | ∃M ⟶ ⟶^{R} N ∀N ⟶ ⟶^{R} L mit L ∈ X \}

Falls ⟶ ⟶^{R} konfluent ist, so gilt \underline{lim}_{R}X ⊆ \overline{lim}_{R}X, und sowohl \underline{lim}_{R}X als auch \overline{lim}_{R}X ist unter =_{R} abgeschlossen. Für \overline{lim}_{β}X und \underline{lim}_{β}X schreiben wir \overline{lim}X bzw. \underline{lim}X. Im allgemeinen gilt keine der Inklusionen X ⊆ \overline{lim}_{R}X, X ⊆ \underline{lim}_{R}X, \overline{lim}_{R}X ⊆ X und \underline{lim}_{R}X ⊆ X.

Beispiele

Für ω_{n} :≡ λx.xx \underbrace{x … x}_{n} und σ_{1} :≡ λyx.xxy gilt:

(a) \overline{lim}\{ω_{0}ω_{0}\} = \{M | λ ⊢ M = ω_{0}ω_{0}\}

(b) \overline{lim}\{ω_{1}ω_{1}\} = ∅

(c) \overline{lim}\{ω_{n}ω_{n} | n ∈ IN\} = \{M | λ ⊢ M = ω_{0}ω_{0}\}

(d) \underline{lim}\{ω_{n}ω_{n} | n ∈ IN\} = \{M | λ ⊢ M = ω_{0}ω_{0}\}

(e) \overline{lim}\{σ_{1}σ_{1}σ_{1}\} = \{σ_{1}σ_{1}σ_{1}, (λx.xxσ_{1})σ_{1}\}

(f) \underline{lim}\{σ_{1}σ_{1}σ_{1}\} = ∅ Wenn wir die Terme aus \overline{lim}X und \underline{lim}X genauer beschreiben wollen, so ist es nötig für Terme M ∈ X, den Reduktionsgraphen G_{β}(M) := {N | M ⟶ ⟶^{β} N}^{‡} zu studieren. Insbesondere ist der Reduktionsgraph von Y_{T} wichtig. 2.6 DEFINITION. Für λ-Terme M wird die Menge F IX_{T} (M) induktiv definiert:

(a) Y_{T} M ∈ F IX_{T} (M)

(b) Mit K ist auch MK in F IX_{T} (M).

(c) Falls K ∈ F IX_{T} (x), so ist (λx.xK)M in F IX_{T} (M).

2.7 LEMMA.

(a) F IX_{T} (M) ⊆ G_{β}(Y_{T} M)

(b) Ist M in β-Normalform und keine Abstraktion, so gilt F IX_{T} (M) = G_{β}(Y_{T} M).

2.8 DEFINITION. Die Menge F IX_{T} ist induktiv definiert.

(a) Y_{T} ∈ F IX_{T}

(b) Falls L ∈ F IX_{T} (x), so ist λx.xL in F IX_{T}.

2.9 KOROLLAR. F IX_{T} = G_{β}(Y_{T})

2.10 KOROLLAR. F IX_{T} (M) besitzt die alternative Darstellung:

(a) Falls Y ∈ F IX_{T}, so ist Y M in F IX_{T} (M).

‡Eigentlich ist G_{β}(M) nur die Menge der Terme, die im Reduktionsgraphen von M auftreten.

(b) Mit K ist auch MK in F IX_{T} (M).

Der Begriff des Kontextes soll in dieser Arbeit vermieden werden. Der Grund dafür ist, daß Kontexte nicht wie Terme modulo α-Kongruenz betrachtet werden dürfen. Kontexte können als Operationen auf Λ aufgefaßt werden. Diese sind global definiert. Statt dessen wird hier ein lokaler Begriff eingeführt. Gegeben seien Terme P, Q und M. Wenn P ein Subterm von M ist - dieser Begriff wird erst in 2.12 exakt definiert - , so ist ein Term N gesucht, der dadurch entsteht, daß in M der Term P durch Q ersetzt wird. Diese Situation ist aus der Definition der β-Kontraktion bekannt. Wenn P ⟶^{β} Q eine β-Konversion ist, und P ein Subterm von M ist, so wird ein Term N angegeben zu dem M β-kontrahiert. Das Paar (M, N) kontrahiert über dem Paar (P, Q). Das ist der Grund für die Namensgebung der folgenden Definition.

2.11 DEFINITION. Gegeben seien Terme P, Q, M und N. Die Relation (M, N) kontrahiert über (P, Q). wird induktiv definiert. Sie wird mit (P, Q) ⊢ (M, N) bezeichnet.

(a) (P, Q) |^{\underline{0}} (P, Q)

(b) Falls (P, Q) |^{\underline{n}} (M, N) so gilt (P, Q) |^{\underline{n+1}} (ML, NL).

(c) Falls (P, Q) |^{\underline{n}} (M, N) so gilt (P, Q) |^{\underline{n+1}} (LM, LN).

(d) Falls (P, Q) |^{\underline{n}} (M, N) so gilt (P, Q) |^{\underline{n+1}} (λx.M, λx.N).

Man beachte, daß freie Variablen aus P und Q unter eine Bindung geraten dürfen. Wenn die Tiefe n der Kontraktion (P, Q) |^{\underline{n}} (M, N) nicht relevant ist, wird diese Ziffer nicht notiert. Ist γ eine Konversion, so gilt M ⟶^{γ} N genau dann, wenn es ein Paar (P, Q) aus γ mit (P, Q) ⊢ (M, N) gibt.

2.12 DEFINITION. P heißt Subterm von M, falls (P, P) ⊢ (M, M).

Lösbarkeit und Unlösbarkeit

2.13 DEFINITION.

(a) Ein Kombinator M heißt lösbar, wenn es Terme P_{1}, …, P_{n} mit λ ⊢ MP_{1} … P_{n} = I gibt.

(b) Ein beliebiger Term M heißt lösbar (M ∈ SOL), falls es Atome a_{1}, …, a_{n} und Kombinatoren Q_{1}, … Q_{n} gibt, so daß der Term sub(M; a_{1}, …, a_{n}; Q_{1}, …, Q_{n}) ein lösbarer Kombinator ist.

(c) Ein Term heißt unlösbar (M ∈ USOL), falls er nicht lösbar ist.

Die Kombinatoren I, K, S, F und jedes Atom sind lösbar. Ω ≡ (λx.xx)(λx.xx) ist der einfachste unlösbare Term. Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ω als einfachsten Vertreter einer Schar von unlösbaren Termen zu verstehen. Zum Beispiel sind die Terme Ω_{n} :≡ ω_{n}ω_{n} und Σ_{n} :≡ \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n+2} unlösbar, und es gilt Ω ≡ Ω_{0} ≡ Σ_{0}. Setzt man für

i mit 0 ≤ i ≤ n

σ_{n}^{i} :≡ λy_{i+1} … y_{n}λx.xx \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{i} y_{i+1} … y_{n} und Σ_{n}^{i} :≡ σ_{n}^{i} \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{(n+1)−i} ,

so gilt

Σ_{n} ≡ Σ_{n}^{0} ⟶^{β} Σ_{n}^{n} ⟶^{β} … ⟶^{β} Σ_{n}^{1} ⟶^{β} Σ_{n}^{0} ≡ Σ.

Da jeder Term Σ_{n}^{i} genau einen Redex besitzt, ist damit der ganze β-Reduk-tionsgraph von Σ_{n} begannt. Dieser ist zyklisch mit Ordnung n + 1.

2.14 DEFINITION. Ein Term M ist in Kopfnormalform (KNF), falls er für ein Atom a von der Form

λy_{1} … y_{m}.aM_{1} … M_{l}

ist.

2.15 SATZ. (Wadsworth) Ein Term ist genau dann lösbar, wenn er in der Theorie λ eine Kopfnormalform besitzt.

Daher macht es Sinn, Lösbarkeit anhand von Kopfnormalformen zu klassifizieren.

2.16 DEFINITION. Ein Term F heißt regulär, falls er in λ eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} besitzt.

2.17 DEFINITION.

(a) Ein Term M liegt in SOL_{a} ist, falls er in der Theorie λ eine Kopfnormalform λy_{1} … y_{m}.aM_{1} … M_{l} mit a ∉ {y_{1}, …, y_{m}} besitzt.

(b) Ein Term M liegt in GSOL - ist geschlossen lösbar - , falls er in der Theorie λ eine Kopfnormalform λy_{0} … y_{m}.y_{i}M_{1} … M_{m} mit 0 ≤ i ≤ l besitzt.

(c) FSOL := ⋃{SOL_{y} | y ist eine Variable.}

Das Atom a ist charakteristisch für Terme aus SOL_{a}. Falls a und b verschiedene Atome sind, so gilt SOL_{a} ∩ SOL_{b} = ∅. Wenn M geschlossen lösbar ist, und P in einer Menge SOL_{a} liegt, so ist MP entweder wie M geschlossen lösbar oder in SOL_{a}. Der zweite Fall tritt genau dann ein, wenn M regulär ist. Allgemeiner gilt:

2.18 BEMERKUNG. Gegeben seien Atome a_{1}, …, a_{n+1} sowie Terme M und P mit M ∈ GSOL ∪ SOL_{a_{1}} ∪ … ∪ SOL_{a_{n}} und P ∈ SOL_{a_{n+1}}. Dann ist MP ein Element von GSOL ∪ SOL_{a_{1}} ∪ … ∪ SOL_{a_{n+1}}.

Ein Term besitzt in λ genau dann eine Kopfnormalform, wenn sein Kopfreduktionspfad endlich ist. Daher sind Kopfreduktionen ein wichtiges Hilfsmittel bei der Analyse von Lösbarkeit und Unlösbarkeit.

2.19 DEFINITION. Gegeben sei eine β-Kontraktion M ⟶^{β} N.

(a) Falls in der gegebenen Kontraktion der Kopfredex kontrahiert wird, so schreiben wir M ⟶^{hβ} N.

(b) Wird kein Kopfredex kontrahiert, so schreiben wir M ⟶^{iβ} N.

(c) ⟶ ⟶^{hβ} bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von ⟶^{hβ}.

(d) ⟶ ⟶^{iβ} bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von ⟶^{iβ}.

Für lösbare Terme M bezeichne ∥M∥_{h} die Länge des Kopfreduktionspfades. Wir notieren einige einfache Eigenschaften von ∥M∥_{h}. 2.20 LEMMA.

(a) Ist M[x := N] lösbar, so gilt ∥M∥_{h} ≤ ∥M[x := N]∥_{h}.

(b) Ist λx.M lösbar, so gilt ∥M∥_{h} = ∥λx.M∥_{h}.

(c) Ist MN lösbar, so gilt ∥M∥_{h} ≤ ∥MN∥_{h}.

(d) Ist M lösbar und M ⟶^{hβ} N, so gilt ∥M∥_{h} = ∥N∥_{h} + 1.

(e) Ist M lösbar und M ⟶^{iβ} N, so gilt ∥M∥_{h} ≥ ∥N∥_{h}.

(f) Ist M lösbar und M ⟶ ⟶^{β} N, so gilt ∥M∥_{h} ≥ ∥N∥_{h}.

Beweis. Der Beweis von (a)-(d) ist elementar; für (e) benötigt man 11.4.5 (⋆) aus [?]. (f) folgt aus (d) und (e). □ Wenn der Kopfreduktionspfad eines Termes zu unübersichtlich ist, so kann man Quasikopfreduktionen betrachten. 2.21 DEFINITION.

(a) M ⟶^{qh} N gilt genau dann, wenn es Terme K, L und Reduktionen

M ⟶ ⟶^{β} K ⟶^{hβ} L ⟶ ⟶^{β} N gibt.

(b) ⟶ ⟶^{qh} bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von ⟶^{qh}.

2.22 BEMERKUNG. Ist M lösbar und M ⟶^{qh} N, so gilt ∥N∥_{h} < ∥M∥_{h}.

Zur Illustration betrachte man den Beweis des folgenden Lemmas. Dort ist wesentlich ist, daß bei der Reduktion P_{0} ⟶ ⟶^{β} λy_{1} … y_{m}.P_{1}S_{1} … S_{l} mindestens ein Kopfredex kontrahiert wird. Die anderen Einzelheiten der Reduktion sind nebensächlich. Das ist ein typischer Fall für Quasikopfreduktionen.

2.23 LEMMA. P_{m} und Q_{m} seien λ-Terme mit P_{m} ⟶ ⟶^{β} Q_{m}P_{m+1}. Falls P_{0} lösbar ist, so gibt es ein minimales n, so daß Q_{n} nicht regulär ist.

Beweis. Induktion nach ∥P_{0}∥_{h} Wegen P_{0} ⟶ ⟶^{β} Q_{0}P_{1} ist auch Q_{0} lösbar. Wenn Q_{0} nicht regulär ist, sind wir fertig. Andernfalls gibt es eine Reduktion Q_{0} ⟶ ⟶^{β} λxλy_{1} … y_{m}.xR_{1} … R_{l}. Somit gilt für S_{i} :≡ R_{i}[x := P_{1}]

P_{0} ⟶ ⟶^{β} (λxλy_{1} … y_{m}.xR_{1} … R_{l})P_{1} ⟶^{hβ} λy_{1} … y_{m}.P_{1}S_{1} … S_{l},

also P_{0} ⟶^{qh} λy_{1} … y_{m}.P_{1}S_{1} … S_{l}.

Aus 2.22 und 2.20 (b),(c) folgt ∥P_{1}∥_{h} < ∥P_{0}∥_{h}. Setzt man Pm^{′} :≡ P_{m+1} und Qm^{′} :≡ Q_{m+1}, so folgt mit der Induktionsvoraussetzung die Existenz eines minimalen k, so daß Q_{k+1} ≡ Qk^{′} nicht regulär ist. Man wähle n := k + 1. □

Wenn M unlösbar ist, dann ist auch jeder Term MP_{1} … P_{l} unlösbar. Der Kopfreduktionspfad von MP_{1} … P_{l} läßt sich elementar aus dem Kopfreduktionspfad von M berechnen. Aber auch die Elemente von G_{β}(MP_{1} … P_{l}) stehen in einer einfachen Beziehung zum Kopfreduktionspfad von M. Eine genaue Analyse wird in Lemma 2.24 und Korollar 2.25 durchgeführt.

2.24 LEMMA. M sei unlösbar, und MP ⟶ ⟶^{β} Q. Dann gibt es zwei Fälle:

(a) Q ist eine Applikation Q_{1}Q_{2} und M ⟶ ⟶^{β} Q_{1} und P ⟶ ⟶^{β} Q_{2}.

(b) M ⟶ ⟶^{hβ} λz.N und N[z := P] ⟶ ⟶^{iβ} Q.

2.25 KOROLLAR. Sei M unlösbar, und MP_{1} … P_{l} ⟶ ⟶^{β} Q. Dann gibt es eine Zahl 0 ≤ k ≤ l, Variablen x_{1}, …, x_{k} und Terme Q_{0}, … Q_{l−k} mit

(a) M ⟶ ⟶^{hβ} λx_{1} … x_{k}.N

(b) sub(N; x_{1}, …, x_{k}; P_{1}, …, P_{k}) ⟶ ⟶^{iβ} Q_{0}

(c) P_{j+k} ⟶ ⟶^{β} Q_{j} für alle j mit 1 ≤ j ≤ l − k.

(d) Q ≡ Q_{0}Q_{1} … Q_{l−k}.

2.26 DEFINITION. Eine Theorie ist halbsinnvoll, wenn in ihr lösbare nur mit lösbaren Termen identifiziert werden.

Wie kann man feststellen, ob ein Term M unlösbar ist? Es reicht zu zeigen, daß alle Terme aus G_{β}(M) einen Kopfredex besitzen. Bezeichnet KR die Menge aller Terme, die einen Kopfredex besitzen, so bedeutet das also, daß die Inklusion

(U1) G_{β}(M) ⊆ KR

zu zeigen ist. Nun kann es sein, daß die Menge G_{β}(M) schwierig zu bestimmen ist. Für die Unlösbarkeit von M ist außerdem eventuell nicht die genaue Gestalt der Terme in G_{β}(M) relevant. Für den Beweis der Bedingung (U1) kann es daher nützlich sein, eine Menge X mit

• X besitzt eine einfache syntaktische Charakterisierung.

• G_{β}(M) ⊆ X ⊆ KR

zu suchen. Um zum Beispiel die Unlösbarkeit der Terme Ω_{n} zu beweisen, setzt man

X_{n} = {ω_{n}ω_{n}P_{1} … P_{m} | m ∈ IN}.

Dann gilt G_{β}(Ω_{n}) ⊆ X_{n} ⊆ KR, und Ω_{n} ist unlösbar.

Die Bedingung G_{β}(M) ⊆ X kann weiter abgeschwächt werden. Es ist ausreichend, wenn ein unendlich langer Quasikopfreduktionspfad von M in X liegt. Um die Unlösbarkeit von M nachzuweisen reicht es dann, eine Menge X mit M ∈ X und

(U2) ∀N ∈ X ∃K ∈ X mit N ⟶^{qh} K

anzugeben. Die Bedingung X ⊆ KR ist in diesem Fall redundant. Da {Σ_{n}} die Eigenschaft (U2) besitzt, folgt so die Unlösbarkeit von Σ_{n}. Auch das zweite Kriterium ist manchmal zu streng. Bei der Bedingung (U2) ist es nicht notwendig, daß der Term K tatsächlich in X liegt. Es ist ausreichend, wenn wesentliche Bestandteile von K aus X sind. Wesentlich heißt hier wesentlich für die Unlösbarkeit. Man folgt daher den drei bekannten Abschlußeigenschaften der Menge USOL.

(a) Mit M liegt auch MP in USOL.

(b) Mit M liegt auch λx.M in USOL.

(c) Mit M liegt auch M[x := P] in USOL.

M ist dann wesentlich für die Unlösbarkeit von MP, λx.M und M[x := P], der Term M ist also ein wesentlicher Bestandteil der anderen drei Terme. Ist X eine Menge von λ-Termen, so sei H(X) die Menge aller Terme, die wesentliche Bestandteile aus X besitzen. H(X) wird induktiv definiert:

2.27 DEFINITION.

(a) X ⊆ H(X)

(b) Mit M ist auch MP in H(X).

(c) Mit M ist auch λx.M in H(X).

(d) Mit M ist auch M[x := P] in H(X).

Damit ist das dritte Kriterium für Unlösbarkeit formilierbar.

2.28 LEMMA. Unlösbarkeitstest X sei eine Menge von λ-Termen mit

(U3) ∀M ∈ X ∃N ∈ H(X) mit M ⟶^{qh} N.

Dann sind alle Terme aus H(X) unlösbar.

Beweis. Durch Induktion nach dem Aufbau von H(X) zeigt man, daß H(X) dem Kriterium (U2) genügt. □

Der Unlösbarkeitstest kann bei jedem unlösbarem Term M angewandt werden. Man wähle X = G_{β}(M). Das obige Lemma hat aber keinen theoretischen Anspruch. Es soll nur ein Hilfsmittel zum Nachweis der Unlösbarkeit eines Termes sein. Zur Illustration geben wir nun drei Terme an, deren Unlösbarkeit mit den Methoden des obigen Lemmas bewiesen werden kann.

Beispiele

(a)

\begin{aligned}Z_{1} & :≡ & λxλy.y(Y_{T} (xx)) \\ V_{1} & :≡ & Z_{1}Z_{1} \\ U_{1} & :≡ & Y_{T} V_{1} \end{aligned}

Dann gilt

\begin{aligned}U_{1} & ≡ Y_{T} V_{1} \\ & ⟶ ⟶^{β} & V_{1}U_{1} \\ & ⟶^{h} & (λy.y(Y_{T} V_{1}))U_{1} \\ & ⟶^{h} & U_{1}U_{1} \end{aligned}

Dann ist U_{1} nach 2.28 unlösbar. Man wähle X = {U_{1}}.

(b) Für beliebige Terme M wird der Term (M)_{n}^{α} definiert.

(M)_{0}^{α} :≡ M
(M)_{n+1}^{α} :≡ λuvw.(M)_{n}^{α}u(vw)

Außerdem sei M^{α} :≡ (M)_{1}^{α} und α_{n} :≡ (λxy.yxx)_{n}^{α}. Dann setze

\begin{aligned}Z_{2} & :≡ & λfλx.x(fx^{α}) \\ W_{2} & :≡ & Y_{T} Z_{2} \\ V_{2,n} & :≡ & W_{2}α_{n} \\ U_{2} & :≡ & V_{2,0}V_{2,0}. \end{aligned}

Man beachte für k < n

(1) (R)^{α}Q(P_{0} … P_{k})P_{k+1} … P_{n} ⟶ ⟶^{β} RQ(P_{0} … P_{k+1})P_{k+2} … P_{n}

und

(2) V_{2,n}P_{0} … P_{n} ⟶ ⟶^{β} α_{n}V_{2,n+1}P_{0} … P_{n}.

Dann folgt

(3) V_{2,n}P_{0} … P_{n} ⟶ ⟶^{β} (λy.yV_{2,n+1}V_{2,n+1})(P_{0} … P_{n})

und für n > 0 und 0 ≤ m ≤ n

(4)  \underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{m+1} ⟶ ⟶^{β} λy_{m} … y_{n}.y_{m} … y_{n}. \underbrace{V_{2,n+1} … V_{2,n+1}}_{2m+2} .

Also erhält man

\underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{n+2} ≡ V_{2,n} \underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{n+1}
wegen (3) ⟶ ⟶^{β} (λy.yV_{2,n+1}V_{2,n+1})(\underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{n+1})
⟶^{β}  \underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{n+1} V_{2,n+1}V_{2,n+1}
wegen (4) ⟶ ⟶^{β} (λy.y \underbrace{V_{2,n+1} … V_{2,n+1}}_{2n+2})V_{2,n+1}V_{2,n+1}
⟶^{qh}  \underbrace{V_{2,n+1} … V_{2,n+1}}_{2·(n+2)}
≡ \underbrace{V_{2,n+1} … V_{2,n+1}}_{(n+1)+2} \underbrace{V_{2,n+1} … V_{2,n+1}}_{n+1}

Dann ist U_{2} unlösbar. Man wähle X = \{\underbrace{V_{2,n} … V_{2,n}}_{n+2} | n ∈ IN\}.

(c) Für beliebige Terme M wird der Term (M)_{n}^{β} definiert. (M)_{0}^{β} :≡ M (M)_{n+1}^{β} : λx.x((M)_{n}^{β}x)

Weiterhin sei M^{β} :≡ (M)_{1}^{β} und β_{n} :≡ (λx.xx^{β})_{n}^{β}. Dann setze U_{3} :≡ β_{0}β_{1}. Man zeigt

(1) β_{n} ⟶ ⟶^{β} λx. \underbrace{… x(…}_{n}(xx^{β}) \underbrace{…) …}_{n}

und für gewisse P_{1}, …, P_{q}

(2) β_{n}β_{n+1} ⟶^{qh} β_{n+1}β_{n+2}P_{1} … P_{q}.

Dann ist auch U_{3} unlösbar. Man wähle X = {β_{n}β_{n+1} | n ∈ IN}.

Ordnung

Die Ordnung mißt den Grad der Funktionalität eines λ-Terms. Zu diesem Zwecke zählt man die Anzahl der äußeren Abstraktionen.

2.29 DEFINITION. Zu jedem λ-Term M sei abs(M) die Anzahl der äußeren Abstraktionen.

2.30 DEFINITION. M sei ein λ-Term.

(a) Falls n = max{abs(N) | λ ⊢ M = N}, so hat M die Ordnung n. Wir schreiben O(M) = n.

(b) M hat unendliche Ordnung, falls die Menge {abs(N) | λ ⊢ M = N} unbeschränkt ist. Wir schreiben O(M) = ∞.

2.31 BEMERKUNG.

(a) Aus M ⟶ ⟶^{β} N folgt abs(M) ≤ abs(N).

(b) Terme mit unendlicher Ordnung sind unlösbar.

(c) K^{∞} :≡ Y_{T} K hat unendliche Ordnung.

Gegeben sei ein Term M mit O(M) = n. Dann ist die Ordnung von λx_{1} … x_{m}.Mx_{1} … x_{m} leicht berechenbar. Es gilt O(λx_{1} … x_{m}.Mx_{1} … x_{m}) = m + (O(M)^{\underline{.}} m) = m + (n^{\underline{.}} m). In der Theorie λη = λ + \{λx.Nx | x ∉ F V (N)} wird M mit λx_{1} … x_{m}.Mx_{1} … x_{m} identifiziert. M wird in λη also mit Termen beliebig großer Ordnung identifiziert. Ist es nun sinnvoll, dem Term M in der Theorie λη und in anderen Theorien eine eindeutige Ordnung zuzuweisen? Diese Ordnung müßte unter λη- bzw. T -Gleichheit invariant sein. Im Fall λη kann das nur vernünftig sein, wenn man das Minimum über alle Ordnungen von Termen, die in λη mit M identifiziert werden, wählt. Die folgende allgemeinere Definition ist auf die Situation in λη zugeschnitten.

2.32 DEFINITION. M sei ein λ-Term und T eine Theorie.

(a) M hat in T die Ordnung n (O_{T} (M) = n), falls

n = min{O(N) | T ⊢ M = N}.

(b) M hat in T unendliche Ordnung (O_{T} (M) = ∞), falls alle N mit T ⊢ M = N unendliche Ordnung besitzen.

Markierte Terme

Marken und markierte Terme sind ein typisches Hilfsmittel des λ-Kalküls. Häufig werden Redizes markiert, es ist dann einfach über deren Residuen zu sprechen. Auf die Art kann zum Beispiel die Endlichkeit der Entwicklungen [?], (11.2.21) und der Approximationssatz für D_{∞} bewiesen werden [?], (14.1.12). Ebenso sind Marken bekannt, die η-Redizes darstellen [?], Kapitel 15. Verschiedene Typen von Marken werden auch in [?] vorgestellt. Diese Marken dienen ebenfalls dazu, β- oder η-Redizes hervorzuheben. Ein anderes Ziel verfolgt die Markierung durch unterstrichene Terme [?], (17.3.4). Hier soll kenntlich gemacht werden, was im Verlauf einer Reduktion mit einem bestimmten Term (Kombinatoren der Ordnung Null) geschieht. Spurtreue Mengen und Ideale, die wir im vierten Paragraphen definieren werden, leisten ähnliche Dienste. Die in diesem Abschnitt definierten markierten Terme stellen einen Versuch dar, viele der bekannten Systeme zu vereinheitlichen. Vor allem aber sollen die beiden Markierungstypen, die in diser Arbeit verwandt werden, zusammengefaßt werden.

Wesentlich bei der Definition einer Markierung ist der Substitutionsalgorithmus vom markierten Termen. Die Substitution wird durch eine Verkettungsoperation ∘ auf den Marken gesteuert.

2.33 DEFINITION. (IM, ∘, e) sei eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Wir wollen die Elemente von IM als Marken verwenden, und definieren die IM-markierten Terme Λ^{IM} induktiv.

(a) Ist a ein Atom und m ∈ IM eine Marke, so ist a^{m} ein markierter Term.

(b) Sind A_{1} und A_{2} markierte Terme, und ist m eine Marke aus IM, so ist (A_{1}A_{2})^{m} ein markierter Term.

(c) Ist A ein markierter Term und m eine Marke aus IM, so ist (λx.A)^{m} ein markierter Term.

Ist A ein markierter Term, so bezeichne |A| den λ-Term, der entsteht, wenn alle Marken ausradiert werden. Die Marke e heißt triviale Marke, sie wird häufig fortgelassen. Ist L aus Λ, so bezeichnet L_{IM} den markierten Term, der entsteht, wenn jeder Subterm von L mit e markiert wird. Auf diese Weise ist es möglich, Λ kanonisch als Teilmenge von Λ^{IM} aufzufassen. Ein markierter Term heißt trivial markiert, falls nur die triviale Marke in ihm auftritt.

2.34 DEFINITION.

(a) Ist A ein markierter Term, so bezeichnet val(A) die äußere Marke von A

(i) val(a^{m}) = m (ii) val((A_{1}A_{2})^{m}) = m (iii) val((λx.A)^{m}) = m.

(b) Ist A ein markierter Term und n eine Marke, so wird A ∘ n rekursiv definiert.

(i) a^{m} ∘ n :≡ a^{m∘n} (ii) (A_{1}A_{2})^{m} ∘ n :≡ (A_{1}A_{2})^{m∘n} (iii) (λx.A)^{m} ∘ n :≡ (λx.A)^{m∘n}.

(c) Ist A ein markierter Term und n eine Marke, so bezeichnet A|n den Term, der entsteht, wenn die äußere Marke durch n ersetzt wird.

(i) a^{m}|n :≡ a^{n}

(ii) (A_{1}A_{2})^{m}|n :≡ (A_{1}A_{2})^{n}

(iii) (λx.A)^{m}|n :≡ (λx.A)^{n}.

Es gilt also A ∘ n ≡ A|(val(A) ∘ n) und (A ∘ n) ∘ p ≡ A ∘ (n ∘ p). Auf den markierten Termen sollen auch β-Reduktionen möglich sein. Daher ist es nötig, Substitutionen auf den markierten Termen zu definieren. Dabei ist hauptsächlich von Interesse, inwieweit die Marken übertragen werden.

2.35 DEFINITION. A und B seien zwei markierte Terme. Wir definieren den Term A[x := B] rekursiv. Dabei ist zu beachten, daß in A eventuell gebundene Variablen umbenannt werden müssen.

(a) x^{m}[x := B] :≡ B ∘ m

(b) a^{m}[x := B] :≡ a^{m} falls a ≢ x

(c) (A_{1}A_{2})^{m}[x := B] :≡ (A_{1}[x := B]A_{2}[x := B])^{m}

(d) (λy.A)^{m}[x := B] ≡ (λy.A[x := B])^{m}

2.36 LEMMA.

(A[x := B]) ∘ m ≡ (A ∘ m)[x := B].

Dann ist es auch möglich, β-Reduktionen auf Λ^{IM} zu definieren. Ist C ein markierter Term mit |C| ≡ (λx.P)Q, so gibt es markierte Terme A, B und Marken m, n mit

• C ≡ ((λx.A)^{m}B)^{n}

• |A| ≡ P

• |B| ≡ Q.

Damit jede Reduktion zu einer Reduktion auf den markierten Termen geliftet werden kann, wird jeder Term der Gestalt ((λx.A)^{m}B)^{n} zu einem Redex in Λ_{IM}. Zu jeder Marke m gibt es eine Reduktion β_{m}. Wir geben hier nur die Konversionen an.

2.37 DEFINITION.

(a) ((λx.P)^{m}Q)^{n} ⟶^{βm} (P [x := Q]) ∘ (m ∘ n)

(b) β_{IM} := {β_{m} | m ∈ IM}

Kontraktionen werden wie üblich über den Termaufbau definiert. β_{m}-Konversionen folgen drei Prinzipien:

(i) Das Projektum muß eine β-Konversion sein.

(ii) Ist eine Funktion - der Term (λx.A) - mit m markiert, so soll auch jeder Funktionswert - der Term A[x := B] - mit m markiert sein.

(iii) Äußere Marken - im obigen Fall die Marke n - übertragen sich.

Um die Prinzipien (ii) und (iii) gleichzeitig erfüllen zu können, wird der Term A[x := B] mit der Marke (m ∘ n) verkettet.

2.38 LEMMA. Jede β-Reduktion läßt sich liften. Falls |A| ⟶ ⟶^{β} N, so gibt es eine β_{IM}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{IM}} B mit N ≡ |B|.

2.39 LEMMA. Jede β_{IM}-Reduktion läßt sich projezieren.

Falls A ⟶ ⟶^{β_{IM}} B, so gilt |A| ⟶ ⟶^{β} |B|.

β_{IM}-Reduktionen besitzen außerdem die Church-Rosser-Eigenschaft. Für den Beweis kann ein abgewandeltes Tait’sches Parallelschrittverfahren verwendet werden. Mehr Details können dem Beweis von Satz 4.21 entnommen werden. Damit ist es sinnvoll, von Gleichheit im markierten Kalkül zu sprechen. Liegt das Paar (A, B) in der transitiven, reflexiven und symmetrischen Hülle von β_{IM}, so schreiben wir λIM ⊢ A = B.

3 Eta-Reduktionen

Da nicht Einer unserer Schriftsteller über Logik, nicht Einer der Commentatoren derselben, so weit ich weiß, es für angezeigt gehalten hat, dieser besonderen Beweisart einen Namen zu geben - so nehme ich mir hier die Freiheit es selbst zu thun, und zwar aus zwei Gründen; erstens damit derselbe, um alle Verwirrung bei Wortgefechten zu vermeiden, ein für alle Mal von jeder anderen Beweisart so vollständig geschieden dastehe - wie das Argumentum ad Verecundiam, ex Absurdo, ex Fortiori, oder irgend ein anderes Argument; - und zweitens, damit wenn mein Haupt zur Ruhe gelegt ist, meine Kindeskinder sagen können, der Kopf ihres gelehrten Großvaters habe sich mit ebensoviel wichtigen Dingen beschäftigt als der anderer Leute; - er habe einen Namen erfunden, - und ihn in edelmüthiger Weise dem Schatz der der Ars Logika überlassen, als einer der unwiderleglichsten Beweise der ganzen Wissesnschaft; und wenn der Zweck eines Wortstreits eher darin besteht, den Gegner zum Schweigen zu bringen als ihn zu überzeugen - so können sie wenn sie wollen, noch hinzufügen - zugleich als einen der besten Beweise.

Die Objekte des reinen λ-Kalküls repräsentieren Algorithmen. Daher werden extensional gleiche Terme nicht immer identifiziert. Wenn man dagegen funktionale Eigenschaften von Algorithmen betrachten will, so nimmt man zu den Axiomen und Regeln des reinen λ-Kalküls die Extensionalitätsregel

(ext) Mx = Nx ⊢ M = N , falls x nicht in MN auftritt,

hinzu. Die Gleichheit im reinen λ-Kalkül kann durch β-Reduktionen analysiert werden. Erweitert man diese um η-Reduktionen, welche durch die Konversion

λx.Mx ⟶^{η} M , falls x nicht in M auftritt,

eingeführt werden, so kann auch die Gleichheit im extensionalen λ-Kalkül mit Hilfe von Reduktionen studiert werden. Ist eine Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N gegeben, so heißt M auch η-Expansion von N. Ein Anliegen dieser Arbeit ist es, möglichst viele für λ bewiesene Ergebnisse auch im extensionalen Kalkül λη zu formulieren und zu beweisen. Besonders wichtig ist es, die Rolle der η-Anteile in βη-Reduktionen zu untersuchen. Das geschieht in diesem Paragraphen. Ein Gegenstand dieses Paragraphen ist insbesondere die Frage, inwieweit sich η-Reduktionen als unwesentliche Reduktionen herausstellen. Diese Frage kann natürlich nicht abschließend beantwortet werden. Korollar 3.26, Korollar 3.40 und Satz 3.51 sind Gründe, die Frage positiv zu beantworten. Ebenso spricht 6.9 dafür. Man beachte aber die Probleme bei der Definition eines irreduziblen Terms im siebten Paragraphen. Da sich diese Arbeit im Schwerpunkt mit unlösbaren Termen beschäftigt, ist die erste Fragestellung nun, ob Lösbarkeit und Unlösbarkeit unter Gleichheit im extensionalen Kalkül abgeschlossen ist. Das ist der Fall, ein Beweis findet sich in [?], 15.1.7. Ebenso ist bekannt, daß für η-Reduktionen und für βη-Reduktionen die Church-Rosser-Eigenschaft gilt. Weitere klassische Resultate sind der Satz über Postponement von η und die Kommutativität von β- und η-Reduktionen. Ein Beweis dieser Ergebnisse findet sich in [?]. Um nachvollziehen zu können, was im Verlauf einer β-Reduktion mit einem η-Redex passiert, wird dort die Menge Λ^{η}, der mit η markierten Terme, eingeführt. Anstatt λx.Mx wird dann der markierte Term M^{η} betrachtet. M^{η} ist die Markierung der Konversion λx.Mx ⟶^{η} M. In diesem Paragraphen soll die Markierungstechnik aus [?] verfeinert werden. Wir erhalten damit zwei neue Resultate über den λη-Kalkül.

(I) Der Satz über Postponement von η kann verschärft werden. Jede βη-Reduktion läßt sich in einen β- und einen unkritischen η-Anteil zerlegen. η-Reduktionen sind unkritisch, wenn die kontrahierten Redizes nicht wesentlicher Bestandteil eines β-Redex sind. Unkritische η-Reduktionen sind sehr übersichtlich, daher wird diese Verschärfung vielseitige Anwendungen finden.

(II) Weiterhin können wir für jeden Term M die Äquivalenz von O_{λ}(M) = ∞ und O_{λη}(M) = ∞ beweisen.

Dazu ist es erforderlich, daß beliebige η-Reduktionen markiert werden können. Mit der erwähnten Technik aus [?] können nur parallele η-Reduktionen markiert werden. Schon die Reduktion

λx.z(λy.xy) ⟶^{η} λx.z.x ⟶^{η} z

ist mit den Marken aus [?] nicht markierbar. Das liegt daran, daß der letzte Redex λx.zx nicht Residuum eines Redex in λx.z(λy.xy) ist. Wir führen daher iterierte Marken IH ein. Jede Marke κ ∈ IH ist Kode für eine η-Expansion eines Atoms. Zur Motivation betrachten wir die möglichen η-Expansionen eines Atoms a.

(a) a ist triviale η-Expansion von a. Diese η-Expansion wird durch die triviale Marke ⟨⟩ kodiert.

(b) M ist eine nicht triviale η-Expansion von a. Dann ist M von der Gestalt λx.M_{0}. Man könnte nun annehmen, daß M_{0} für eine η-Expansion N von a die Form Nx besitzt. Das ist aber nicht generell der Fall. Es können noch η-Expansionen der Variablen x, diese werden hier mit L bezeichnet, und äußere η-Expansionen der Applikation NL hinzutreten. - Ein Term P ist äußere η-Expansion von Q, falls es eine Variable y und eine η-Expansion R von y mit P ≡ R[y := Q] gibt. Die Gestalt von Q bleibt in P vollständig erhalten. - Es gibt demnach Terme N, K und L mit

M ≡ λx.K[y := (NL)] und

(i) K ist η-Expansion einer neuer Variablen y.

(ii) L ist η-Expansion von x.

(iii) N ist η-Expansion von a.

Nicht triviale η-Expansionen setzen sich also aus drei Komponenten zusammen. Daher setzen sich auch deren Kodes κ aus drei Komponenten - drei schon vorher definierten Kodes λ, μ, ν - zusammen. Es erweist sich als vorteilhaft κ := λ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ zu setzen.

Marken sind demnach Sequenzen, deren Einträge aus Paaren von Marken bestehen. Die Verkettung wird kanonisch durch die Verkettung der Sequenzen definiert.

3.1 DEFINITION. Die Menge IH der iterierten η-Marken ist induktiv definiert durch:

(a) ⟨⟩ ist in IH.

(b) Sind κ, μ und ν in IH, so ist auch κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ in IH.

Dabei steht ∗ für die Verknüpfung von Sequenzen. 1 := ⟨(⟨⟩, ⟨⟩)⟩ ist die einfachste echte Marke; diese ist das Äquivalent zur Marke η aus [?] und kodiert die Reduktion λx.zx ⟶ z.

Die nächste Definition gibt an, wie aus einer Marke und einem Term eine η-Expansion dieses Termes berechnet wird.

3.2 DEFINITION. M sei ein Term und κ sei aus IH. exp(M, κ) wird durch Rekursion nach κ definiert.

(a) exp(M, ⟨⟩) :≡ M

(b) exp(M, κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ :≡ λx. exp(exp(M, κ) exp(x, μ), ν) (Dabei sei x eine neue Variable.)

Beispiele

(a) 0 := ⟨⟩, n + 1 := n ∗ 1 Dann gilt exp(M, n) ≡ λx_{1}.(… (λx_{n}.Mx_{n}) …)x_{1}.

(b) θ_{0} = 0, θ_{n+1} :=< (0, θ_{n}) > Dann gilt exp(M, θ_{n}) ≡ λx_{1} … x_{n}.Mx_{1} … x_{n}.

(c) exp(z, ⟨(1, 0)⟩) ≡ λx.z(λy.xy)

3.3 BEMERKUNG.

(a) exp(exp(M, κ), λ) ≡ exp(M, κ ∗ λ)

(b) exp(M, κ)[x := P] ≡ exp(M[x := P], κ)

(c) exp(M, κ) ⟶ ⟶^{η} M

(d) exp ist in beiden Argumenten einzeln injektiv.

(e) Ist γ eine Konversion, so folgt aus M ⟶^{γ} N schon

exp(M, κ) ⟶^{γ} exp(N, κ).

Es gilt exp(M, κ ∗ 1) ≡ λx. exp(M, κ)x ⟶^{η} exp(M, κ). Der Übergang von κ ∗ 1 nach κ spiegelt eine η-Konversion wider. Das ist ein guter Grund, den Übergang κ ∗ 1 ⟶ κ eine η-Konversion auf IH zu nennen. Diese wiederum induziert η-Kontraktionen und η-Reduktionen auf IH.

3.4 DEFINITION. η-Reduktionen auf IH

(a) κ ∗ 1 ⟶^{mη} κ.

(b) Falls κ ⟶^{mη} κ′, so κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ ⟶^{mη} κ′ ∗ ⟨(μ, ν)⟩.

(c) Falls μ ⟶^{mη} μ′, so κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ ⟶^{mη} κ ∗ ⟨(μ′, ν)⟩.

(d) Falls ν ⟶^{mη} ν′, so κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩ ⟶^{mη} κ ∗ ⟨(μ, ν′)⟩.

(e) ⟶ ⟶^{mη} bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von ⟶^{mη}.

Aus κ ⟶ ⟶^{mη} λ folgt dann exp(M, κ) ⟶ ⟶^{η} exp(M, λ). η-Reduktionen auf Marken induzieren η-Reduktionen auf markierten Termen.

3.5 DEFINITION. (mη-Reduktionen auf Λ^{IH}) mη-Reduktionen auf Λ^{IH} werden durch die folgende Konversion definiert:

A ∗ κ ⟶^{mη} A ∗ λ , falls κ ⟶^{mη} λ.

3.6 DEFINITION. κ sei nicht die triviale Marke ⟨⟩. Dann gibt es eindeutige λ, κ_{1} und κ_{2} mit κ = λ ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩. Wir setzen ∂(κ) := λ.

IH wird mittels der Verkettungsoperation ∗ zu einer Halbgruppe mit neutralem Element 0. Damit ist es nach 2.33 möglich, die mit IH markierten Terme Λ^{IH} zu betrachten. Da in diesem Paragraphen keine anderen markierten Terme auftreten, nennen wir die Terme aus Λ^{IH} manchmal nur markiert. Jedem markiertem Term A soll nun eine η-Expansion φ(A) von |A| zugeordnet werden. Jede in A auftretende Marke κ kodiert eine η-Expansion. φ(A) setzt sich aus diesen Expansionen zusammen.

3.7 DEFINITION.

(a) φ(a^{κ}) :≡ exp(a, κ).

(b) φ((AB)^{κ}) :≡ exp(φ(A)φ(B), κ).

(c) φ((λx.A)^{κ}) :≡ exp(λx.φ(A), κ).

3.8 DEFINITION. Ist A ein markierter Term mit val(A) ≠ ⟨⟩, so sei ∂(A) := A|∂(val(A)).

3.9 BEMERKUNG.

(a) φ(A) ⟶ ⟶^{η} |A|.

(b) φ(A ∗ κ) ≡ exp(φ(A), κ)

(c) φ(A[x := B]) ≡ φ(A)[x := φ(B)]

(d) Falls κ = ∂(κ) ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩ = val(A), so ist

φ(A) ≡ λx. exp(φ(∂(A)) exp(x, κ_{1}), κ_{2}).

Die Abbildung φ dekodiert die Marken in einem markierten Term und rechnet die entsprechenden η-Expansionen aus. φ - und nicht | | - ist die passende Übersetzung zwischen Λ^{IH} und Λ.

Wir wollen nun zeigen, daß sich jede η-Reduktion markieren läßt; das bedeutet, daß zu jeder η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N ein markierter Term A mit φ(A) ≡ M und |A| ≡ N existiert. Das soll durch Induktion nach der Länge der gegebenen Reduktion geschehen. Damit diese Induktion gelingt, muß die Aussage etwas verschärft werden. Zu jedem markierten Term B mit M ⟶ ⟶^{η} N und φ(B) ≡ N muß ein markierter Term A mit φ(A) ≡ M und A ⟶ ⟶^{mη} B konstruiert werden. Dies ist ein rückwärtsgerichtetes Lifting von η- zu mη-Reduktionen.

[figure: M; N; η; A; B; mη; φ; φ]

Wir betrachten zunächst eine einfache Version, die ohne markierte Terme auskommt.

3.10 LEMMA. Gegeben seien λ-Terme M, N und Q mit M ⟶^{η} N und eine Marke λ ∈ IH mit exp(Q, λ) ≡ N. Dann gibt es zwei Fälle:

(a) Für ein κ mit κ ⟶^{mη} λ gilt M ≡ exp(Q, κ).

(b) Für ein P mit P ⟶^{η} Q gilt M ≡ exp(P, λ), und P ⟶^{η} Q ist keine Konversion.

Beweis. In diesem Beweis erweist es sich als hilfreich, Kontraktionen im Sinn von Definition 2.11 zu betrachten. Wir beweisen die folgende Aussage: Gegeben sei eine Kontraktion (λy.Sy, S) |^{\underline{n}} (M, N), ein Term Q und eine Marke λ mit exp(Q, λ) ≡ N. Dann tritt einer der folgenden Fälle ein:

(a) Für eine Marke κ ∈ IH mit κ ⟶^{mη} λ gilt M ≡ exp(Q, κ).

(b) Für einen Term P und eine Zahl l mit 0 < l ≤ n gilt M ≡ exp(P, λ) und (λy.Sy, S) |^{\underline{l}} (P, Q).

Dies wird durch Induktion nach (λy.Sy, S) |^{\underline{n}} (M, N) bewiesen.

1.Fall n = 0

Dann ist M ≡ λy.Ny, und mit κ := λ ∗ 1 tritt Fall (a) ein.

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2}, N ≡ N_{1}M_{2} und

\begin{aligned}(λy.Sy, S) & |^{\underline{n}} & (M_{1}, N_{1}) \\ & |^{\underline{n+1}} & (M_{1}M_{2}, N_{1}M_{2}). \end{aligned}

Dann ist λ = ⟨⟩, und mit P ≡ M tritt Fall (b) ein.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2}, N ≡ M_{1}N_{2} und

\begin{aligned}(λy.Sy, S) & |^{\underline{n}} & (M_{2}, N_{2}) \\ & |^{\underline{n+1}} & (M_{1}M_{2}, M_{1}N_{2}). \end{aligned}

Dann ist λ = ⟨⟩, und mit P ≡ M tritt Fall (b) ein.

4.Fall M ≡ λx.M_{0}, N ≡ λx.N_{0} und

\begin{aligned}(λy.Sy, S) & |^{\underline{n}} & (M_{0}, N_{0}) \\ & |^{\underline{n+1}} & (λx.M_{0}, λx.N_{0}). \end{aligned}

Fallunterscheidung nach λ:

4.1 λ = ⟨⟩ Dann tritt mit P :≡ M Fall (b) ein.

4.2 λ = μ ∗ ⟨(λ_{1}, λ_{2})⟩ Dann ist N_{0} ≡ exp(exp(Q, μ) exp(x, λ_{1}), λ_{2}).

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es somit zwei Fälle.

4.2.1 Für eine Marke κ_{2} mit κ_{2} ⟶^{mη} λ_{2} gilt M_{0} ≡ exp(exp(Q, μ) exp(x, λ_{1}), κ_{2}). Dann tritt mit κ := μ ∗ ⟨(λ_{1}, κ_{2})⟩ Fall (a) ein.

4.2.2 Für ein R und ein k mit 0 < k ≤ n gilt

(λy.Sy, S) |\underline{k} (R, exp(Q, μ) exp(x, λ_{1})).

Da k > 0, ist R eine Applikation R_{1}R_{2}, und es gibt zwei Fälle.

4.2.2.1 R_{2} ≡ exp(x, λ_{1}) und

(λy.Sy, S) |^{\underline{k−1}} (R_{1}, exp(Q, μ))
|^{\underline{k}}  (R_{1}R_{2}, exp(Q, μ) exp(x, λ_{1}))

Dann gibt es nach Induktionsvoraussetung zwei Fälle.

4.2.2.1.1 Für ein ν mit ν ⟶^{mη} μ gilt R_{1} ≡ exp(Q, ν).

Dann wird κ := ν ∗ ⟨(λ_{1}, λ_{2})⟩ gesetzt, und Fall (a) tritt ein.

4.2.2.1.2 Für ein P und ein l mit 0 < l ≤ k − 1 gilt exp(P, μ) ≡ R_{1} und (λy.Sy, S) |^{\underline{l}} (P, Q). Dann tritt Fall (b) ein.

4.2.2.2 R_{1} ≡ exp(Q, μ) und

(λy.Sy, S) |^{\underline{k−1}} (R_{2}, exp(x, λ_{1}))
|^{\underline{k}}  (R_{1}R_{2}, exp(Q, μ) exp(x, λ_{1}))

Dann läßt sich wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es kann nur Fall (a) auftreten. Es gibt also ein κ_{1} mit κ_{1} ⟶^{mη} λ_{1} und R_{2} ≡ exp(x, κ_{1}). Für κ := μ ∗ ⟨(κ_{1}, λ_{2})⟩ tritt Fall (a) ein.

□

Die Aussage des Lemmas ist, daß einfache η-Expansionen von exp(Q, λ) entweder η-Expansionen von Q oder η-Expansionen von λ sind. η-Kontraktionen können nun durch markierte Terme beschrieben werden.

3.11 KOROLLAR. Gegeben seien M und N aus Λ und B aus Λ^{IH} mit M ⟶^{η} N und N ≡ φ(B). Dann gibt es ein A mit A ⟶^{mη} B und φ(A) ≡ M.

[figure: M; N; η; A; B; mη; φ; φ]

Beweis. Durch Induktion nach B.

1.Fall B ≡ a^{λ} φ(B) ≡ exp(a, λ) Nach dem vorausgehenden Lemma gibt es ein κ mit κ ⟶^{mη} λ und M ≡ exp(a, κ). Man setze A :≡ a^{κ}.

2.Fall B ≡ (B_{1}B_{2})^{λ} φ(B) ≡ exp(φ(B_{1})φ(B_{2}), λ) Nach dem letzten Lemma gibt es nun zwei Möglichkeiten.

2.1 Für ein κ mit κ ⟶^{mη} λ gilt M ≡ exp(φ(B_{1})φ(B_{2}), κ).

In diesem Fall sei A ≡ (B_{1}B_{2})^{κ}.

2.2 Für ein P mit P ⟶^{η} φ(B_{1})φ(B_{2}) gilt M ≡ exp(P, λ).

Da dies außerdem keine Konversion sein darf, gibt es zwei Kontraktionsmöglichkeiten.

2.2.1 P ≡ P_{1}φ(B_{2}) und P_{1} ⟶^{η} φ(B_{1}).

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein A_{1} mit A_{1} ⟶^{mη} B_{1} und φ(A_{1}) ≡ P_{1}. In dem Fall sei A :≡ (A_{1}B_{2})^{λ}.

2.2.2 P ≡ φ(B_{1})P_{2} und P_{2} ⟶^{η} φ(B_{2})

Dieser Fall ist symmetrisch zu 2.2.1 .

3.Fall B ≡ (λx.B_{0})^{λ}

Dann ist φ(B) ≡ exp(λx.φ(B_{0}), λ), nach dem vorausgehendem Lemma gibt es zwei Fälle.

3.1 Für ein κ mit κ ⟶^{mη} λ gilt M ≡ exp(λx.φ(B_{0}), κ).

Dann sei A :≡ (λx.B_{0})^{κ}.

3.2 Für ein R mit R ⟶^{η} λx.φ(B_{0}) gilt M ≡ exp(R, λ).

Da diese Kontraktion außerdem keine Konversion ist, gibt es ein R_{0} mit R_{0} ⟶^{η} φ(B_{0}) und R ≡ λx.R_{0}. Nach Induktionsvoraussetung gibt es dann ein A_{0} mit A_{0} ⟶^{mη} B_{0} und φ(A_{0}) ≡ R_{0}. In dem Fall sei A ≡ (λx.A_{0})^{λ}.

□

3.12 KOROLLAR. (Backward Lifting) Gegeben seien M und N aus Λ und B aus Λ^{IH} mit M ⟶ ⟶^{η} N und N ≡ φ(B). Dann gibt es ein A mit A ⟶ ⟶^{mη} B und φ(A) ≡ M.

[figure: M; N; η; A; B; mη; φ; φ]

3.13 KOROLLAR. Jede η-Reduktion läßt sich markieren. Zu jeder Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N gibt es einen markierten Term A aus Λ^{IH} mit φ(A) ≡ M und |A| ≡ N.

[figure: M; N; η; A; φ; | |]

Beweis. Man setze B :≡ N_{IH}. Nach Korollar 3.12 gibt es einen markierten Term A mit φ(A) ≡ M und A ⟶ ⟶^{mη} B. Da durch mη-Reduktionen nur Marken verändert werden, gilt |A| ≡ |B| ≡ N. □

Der Term A ist nicht eindeutig. Für N ≡ λx.Lx und M ≡ λy.(λx.Lx)y leisten (λx.(L ∗ 1)x) und (λx.Lx)^{1} das Gewünschte. Das liegt daran, daß es mehrere Kontraktionen von M zu N geben kann. Verschiedene Kontraktionen ergeben verschiedene Markierungen. Die Konstruktion in Lemma 3.10 und in den Korollaren 3.11-13 liefert aber zu jeder η-Reduktion einen eindeutig bestimmten Term A. Im folgenden ist es somit möglich, von dem markierten Term einer η-Reduktion zu sprechen.

Kritische Beta-Reduktionen

Wir wollen nun analysieren, was im Verlauf einer β-Reduktion mit η-Redizes und η-Expansionen geschieht. Dazu betrachten wir zunächst zwei besonders interessante Fälle:

(kr 1) (λx.Mx)N ⟶ MN

(kr 2) λx.(λy.M)x ⟶ λy.M

Diese Fälle heißen in [?] critical cases. Man beachte auch die Diskussion in [?] auf Seite 252. In den Termen (λx.Mx)N und (λx.(λy.M)x) sind β- und η-Redizes miteinander verzahnt. (λx.Mx)N heißt kritisches Redexpaar der ersten Art, und λx.(λy.M)x heißt kritisches Redexpaar der zweiten Art. Die obigen Übergänge können sowohl durch β- als auch durch η-Kontraktionen erfolgen. β-Kontraktionen vernichten in diesen Fällen η-Redizes auf eine nicht triviale Weise. Ist ein λ-Term M Übersetzung eines markierten Terms A, gilt also φ(A) ≡ M, so kann es sein, daß ein kritisches Redexpaar in M durch eine Marke in A erzeugt wird. Der β-Redex des kritischen Redexpaars findet dann in A keinen korrespondierenden β_{IH}-Redex. Als Beispiel betrachte man M ≡ (λx.yx)z ≡ φ(y^{1}z). Nun soll der obige Effekt - bei dem β-Kontraktionen η-Redizes auf eine nicht triviale Weise zerstören - auf die markierten Terme übertragen werden. Das bedeutet, daß gewisse β-artige Reduktionen von markierten Termen gesucht sind, welche Marken vernichten oder zumindest deren Komplexität^{§} vermindern. Diese β-artigen Reduktionen werden im folgenden kritische oder krβ-Reduktionen genannt. Es stellt sich heraus, daß drei Versionen der krβ-Reduktion benötigt werden. Zu diesen drei Versionen der krβ-Reduktion gelangt man auch, wenn man β-artige Reduktionen auf Λ^{IH} sucht, die ein Lifting von unmarkierten zu markierten Termen erlauben. Das Lifting muß bezüglich der Übersetzungsabbildung φ erfolgen. Wenn M ⟶ ⟶^{η} N und φ(A) ≡ M, so ist ein B mit

[figure: M; N; β; A; B; β_{?}; φ; φ]

gesucht. Gesucht ist vor allen Dingen eine passende Form der β-Reduktion auf Λ^{IH}. Für das Lifting benötigt man die schon bekannte β_{0}-Reduktion und alle drei Versionen der kritischen β-Reduktion. Eine der drei Versionen, die krβ_{2}-Reduktion, ist eine Verallgemeinerung der β^{η}-Reduktion aus [?],15.1.1(ii).

Eine andere der drei Versionen der krβ-Reduktion ist eine Reduktion, die durch β-artige Reduktionen auf den Marken erzeugt wird. Man betrachte die Reduktion

λx.(λy.zy)(λu.xu) ⟶^{η} λx.(λy.zy)x ⟶^{η} λx.zx ⟶^{η} z

und deren Markierung z^{1∗⟨(1,0)⟩}. Der Term φ(z^{1∗⟨(1,0)⟩}) ≡ λx.(λy.zy)(λu.xu) besitzt einen β-Redex. Wird dieser kontrahiert, so erhalten wir

M′ ≡ λx.z(λu.xu) ≡ φ(z^{⟨(1,0)⟩}).

Wir können damit ⟨(1, 0)⟩ als β-Kontraktum von 1 ∗ ⟨(1, 0)⟩ auffassen. Wir definieren allgemeiner β-Reduktionen auf IH.

3.14 DEFINITION. mβ-Konversionen auf IH werden definiert durch

κ ∗ ⟨(μ_{0}, μ_{1})⟩ ∗ ⟨(ν_{0}, ν_{1})⟩ ⟶^{mβ} κ ∗ ⟨(ν_{0} ∗ μ_{o}, μ_{1} ∗ ν_{1})⟩.

§Für eine genaue Definition dieser Komplexität sei auf 3.31 verwiesen.

Kontraktionen und Reduktionen sind analog 3.4 (b)-(e) definiert. Jede Marke mit Länge größer als eins ist ein Redex. Die Menge der β-Normalformen auf IH besitzt somit eine einfache induktive Definition.

3.15 DEFINITION.

(a) ⟨⟩ ist in NF_{β}.

(b) Sind κ und λ in NF_{β}, so ist auch ⟨(κ, λ)⟩ in NF_{β}.

3.16 LEMMA. Falls κ ⟶^{mβ} λ, so gilt exp(M, κ) ⟶^{β} exp(M, λ).

Beweis. Wegen 3.3(e) reicht es, den Fall der Konversion zu prüfen. Für κ = κ_{0} ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩ ∗ ⟨(λ_{1}, λ_{2})⟩ gilt

exp(M, κ) ≡ λx. exp(exp(M, κ_{0} ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩) exp(x, λ_{1}), λ_{2})
≡ λx. exp((λx. exp(exp(M, κ_{0}) exp(x, κ_{1}), κ_{2})) exp(x, λ_{1}), λ_{2})
→^{β} λx. exp(exp(exp(M, κ_{0}) exp(x, κ_{1}), κ_{2})[x := exp(x, λ_{1})], λ_{2})
(3.3(b)) ≡ λx. exp(exp(exp(M, κ_{0}) exp(exp(x, λ_{1}), κ_{1}), κ_{2}), λ_{2})
(3.3(a)) ≡ λx. exp(exp(M, κ_{0}) exp(λ_{1} ∗ κ_{1}), κ_{2} ∗ λ_{2})
≡ exp(M, κ_{0} ∗ ⟨(λ_{1} ∗ κ_{1}, κ_{2} ∗ λ_{2})⟩)
□

β-Reduktionen von Marken induzieren β-Reduktionen von markierten Termen. Diese werden wir krβ_{1}-Reduktionen nennen. Es gibt aber noch zwei weitere Fälle, bei denen Marken einen β-Redex erzeugen. Ein einfacher Fall ist der Term (z^{1}x). Dann ist φ((z^{1}x)) ≡ (λu.zu)x ein β-Redex. Daher ist es sinnvoll, (z^{1}x) als β-Redex zu verstehen. Diese Art von Reduktion soll krβ_{2}-Reduktion heißen. Ein drittes Beispiel ist der Term (λx.x)^{1}. φ((λx.x)^{1}) ≡ λu.(λx.x)u besitzt wieder einen β-Redex. Das führt zu krβ_{3}-Reduktionen. Man beachte, daß krβ_{2}-Redizes einem kritischen Redexpaar der ersten Art und krβ_{3}-Redizes einem kritischen Redexpaar der zweiten Art entsprechen. krβ_{1}-Redizes entsprechen sowohl einem kritischen Redexpaar der ersten als auch der zweiten Art.

3.17 DEFINITION. Kritische β-Reduktionen auf Λ^{IH}. Diese werden durch die folgenden Konversionen erzeugt.

(a) A ∗ κ ⟶^{krβ_{1}} A ∗ λ, falls κ ⟶^{mβ} λ.

(b) (A_{1}A_{2})^{κ} ⟶^{krβ_{2}} (∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ},

falls val(A_{1}) = μ = ∂(μ) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩.

(c) (λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ} ⟶^{krβ_{3}} (λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}

(d) krβ := krβ_{1} ∪ krβ_{2} ∪ krβ_{3}

(e) β_{+} := krβ ∪ β_{0}

Zuerst einige einfach Eigenschaften von β_{+}:

3.18 LEMMA.

(a) Falls A ⟶ ⟶^{krβ} B, so gilt |A| ≡ |B|.

(b) Falls A ⟶ ⟶^{β_{0}} B, so gilt |A| ⟶ ⟶^{β} |B|.

(c) Falls A ⟶ ⟶^{β_{+}} B, so gilt |A| ⟶ ⟶^{β} |B|.

Eine ganz andere, und etwas kompliziertere, Aussage als 3.18(c) macht das nächste Lemma. Die Übersetzung einer β_{+}-Reduktion in Λ ist eine normale β-Reduktion.

3.19 LEMMA. Aus A ⟶ ⟶^{β_{+}} B folgt φ(A) ⟶ ⟶^{β} φ(B).

Beweis. Wir betrachten die vier Konversionen.

1.Fall β_{0}-Konversion

φ(((λx.A)^{0}B)^{κ}) ≡ exp(φ((λxA)^{0})φ(B), κ)
≡ exp((λx.φ(A))φ(B), κ)
(3.3(e)) ⟶^{β} exp(φ(A)[x := φ(B)], κ)
(3.9(b)) ≡ exp(φ(A[x := B]), κ)
(3.9(c)) ≡ φ(A[x := B] ∗ κ).

2.Fall krβ_{1}-Konversion

A ∗ κ ⟶^{krβ_{1}} A ∗ λ mit κ ⟶^{mβ} λ.

Mit 3.16 gilt

φ(A ∗ κ) ≡ exp(φ(A), κ) ⟶^{β} exp(φ(A), λ) ≡ φ(A ∗ λ).

3.Fall krβ_{2}-Konversion

(A_{1}A_{2})^{κ} ⟶^{krβ_{2}} (∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ} mit val(A_{1}) = μ = ∂(μ) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩.

Dann gilt

φ(A_{1})φ(A_{2}) ≡ (λx. exp(φ(∂(A_{1})) exp(x, μ_{1}), μ_{2}))φ(A_{2})
⟶^{β} exp(φ(∂(A_{1})) exp(x, μ_{1}), μ_{2})[x := φ(A_{2})]
≡ exp(φ(∂(A_{1})) exp(φ(A_{2}), μ_{1})), μ_{2})
≡ φ((∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}}).

Folglich erhalten wir mit 3.3

\begin{aligned}φ((A_{1}A_{2})^{κ}) & ≡ & exp(φ(A_{1})φ(A_{2}), κ) \\ & ⟶^{β} & φ((∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ}). \end{aligned}

4.Fall krβ_{3}-Konversion

(λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ} ⟶^{krβ_{3}} (λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}

Es gilt

φ((λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩}) ≡ exp(λx.φ(A), ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩)
≡ λx. exp((λx.φ(A)) exp(x, μ_{1}), μ_{2})
⟶^{β} λx. exp(φ(A)[x := exp(x, μ_{1})], μ_{2})
≡ λx. exp(φ(A[x := x^{μ_{1}}]), μ_{2})
≡ λx.φ((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}).

Dann folgt

φ((λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ}) ≡ exp(φ((λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩}), κ)
⟶^{β} exp(λx.φ(A[x := x^{μ_{1}}] ∗ μ_{2}), κ)
≡ φ((λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}).
□

Wenn A ein markierter Term ist, und φ(A) einer β-Reduktion unterworfen wird, so ist es möglich, diese Reduktion zu einer β_{+}-Reduktion zu liften. Das ist die Aussage von Korollar 3.22, zu dessen Beweis wir nun den ersten Schritt unternehmen. Der Beweis ist elementar. Da aber viele Fälle zu unterscheiden sind, ist er von beachtlicher Länge. Wie in 3.10 betrachten wir zunächst eine Version ohne markierte Terme.

3.20 LEMMA. P und N seien ein λ-Terme; P sei keine Abstraktion. Weiterhin gelte exp(P, κ) ⟶^{β} N. Dann treten zwei Fälle auf.

(a) Für eine Marke λ mit κ ⟶^{mβ} λ gilt N ≡ exp(P, λ).

(b) Für einen Term Q mit P ⟶^{β} Q gilt N ≡ exp(Q, κ).

Beweis. Induktion nach κ:

Falls κ = ⟨⟩, so kann Q ≡ N gewählt werden, und Fall (b) tritt ein. Für κ = μ ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩ gilt

exp(P, κ) ≡ λx.(exp(exp(P, μ) exp(x, κ_{1}), κ_{2}).

Dann ist N eine Abstraktion, und es gibt ein N_{0} mit N ≡ λx.N_{0}. Es gilt somit exp(exp(P, μ) exp(x, κ_{1}), κ_{2}) ⟶^{β} N_{0}. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es hier zwei Fälle.

1.Fall Für ein λ_{2} mit κ_{2} ⟶^{mβ} λ_{2} gilt N_{0} ≡ exp(exp(P, μ) exp(x, κ_{1}), λ_{2}). Mit λ = μ ∗ ⟨(κ_{1}, λ_{2})⟩ tritt Fall (a) ein.

2.Fall Für ein R mit exp(P, μ) exp(x, κ_{1}) ⟶^{β} R gilt N_{0} ≡ exp(R, κ_{2}). Je nach Art dieser Kontraktion gibt es drei weitere Fälle.

2.1 Für ein exp(P, μ) ⟶^{β} R_{1} gilt R ≡ R_{1} exp(x, κ_{1}). Nach Induktionsvoraussetzung gibt es zwei Fälle.

2.1.1 Für ein ν mit μ ⟶^{mβ} ν gilt R_{1} ≡ exp(Q, ν).

Mit λ = ν ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩ tritt Fall (a) ein.

2.1.2 Für ein Q mit P ⟶^{β} Q gilt R_{1} ≡ exp(P, μ).

Dann tritt Fall (b) ein.

2.2 Für ein R_{2} mit exp(x, κ_{1}) ⟶^{β} R_{2} gilt R ≡ exp(P, μ)R_{2}. Da x keinen β-Redex besitzt, folgt aus der Induktionsvoraussetzung die Existenz eines λ_{1} mit κ_{1} ⟶^{mβ} λ_{1} mit R_{2} ≡ exp(x, λ_{1}). Dann tritt mit λ = μ ∗ ⟨(λ_{1}, κ_{2})⟩ Fall (a) ein.

2.3 exp(P, μ) ist eine Abstraktion λx.S und R ≡ S[x := exp(x, κ_{1})]. Da P keine Abstraktion ist, kann μ nicht die triviale Marke sein. Es gibt also Marken μ_{0}, μ_{1} und μ_{2} mit μ = μ_{0} ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩. Wir erhalten S ≡ exp(exp(P, μ_{0}) exp(x, μ_{1}), μ_{2}) und

R ≡ exp(exp(P, μ_{0}) exp(x, μ_{1}), μ_{2})[x := exp(x, κ_{1})]
(3.3(b)) ≡ exp(exp(P, μ_{0}) exp(exp(x, κ_{1}), μ_{1}), μ_{2})
(3.3(a)) ≡ exp(exp(P, μ_{0}) exp(x, κ_{1} ∗ μ_{1}), μ_{2}).

Also gilt ebenfalls

N ≡ λx. exp(exp(exp(P, μ_{0}) exp(x, κ_{1} ∗ μ_{1}), μ_{2}), κ_{2})
(3.3(a)) ≡ λx. exp(exp(P, μ_{0}) exp(x, κ_{1} ∗ μ_{1}), μ_{2} ∗ κ_{2})
≡ exp(P, μ_{0} ∗ ⟨(κ_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ κ_{2})⟩

Da

κ = μ ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩
= μ_{0} ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ ⟨(κ_{1}, κ_{2})⟩
⟶^{mβ} μ_{0} ∗ ⟨(κ_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ κ_{2})⟩,

tritt hier Fall (a) ein.

□

3.21 LEMMA. Gegeben seien M, N aus Λ und A aus Λ^{IH} mit M ≡ φ(A) ⟶^{β} N Dann gibt es einen markierten Term B mit φ(B) ≡ N und A ⟶^{β_{+}} B.

[figure: M; N; β; A; B; β_{+}; φ; φ]

Beweis. Induktion nach A

1.Fall A ≡ a^{κ}

Es gilt φ(A) ≡ exp(a, κ).

Nach Lemma 3.20 gibt es eine Marke λ mit κ ⟶^{mβ} λ und N ≡ exp(a, κ). B wird somit als a^{λ} gewählt.

2.Fall A ≡ (A_{1}A_{2})^{κ} Dann gilt φ(A) ≡ exp(φ(A_{1})φ(A_{2}), κ). Nach Lemma 3.20 gibt es zwei Fälle.

2.1 Für ein λ ∈ IH mit κ ⟶^{mβ} λ gilt N ≡ exp(φ(A_{1})φ(A_{2}), λ). In diesem Fall wird B ≡ (A_{1}A_{2})^{λ} gesetzt.

2.2 Für einen Term L mit φ(A_{1})φ(A_{2}) ⟶^{β} L gilt N ≡ exp(L, κ). Dann gibt es drei Möglichkeiten für diese β-Kontraktion.

2.2.1 Für ein φ(A_{1}) ⟶^{β} L_{1} gilt L ≡ L_{1}φ(A_{2}). Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein markierter Term B_{1} mit

A_{1} ⟶^{β_{+}} B_{1} und φ(B_{1}) ≡ L_{1}.

In diesem Fall sei B ≡ (B_{1}A_{2})^{κ}.

2.2.2 ist symmetrisch zu 2.2.1.

2.2.3 Für ein L_{0} gilt φ(A_{1}) ≡ λx.L_{0} und L ≡ L_{0}[x := φ(A_{2})]. Es müssen zwei weitere Fälle unterschieden werden.

2.2.3.1 val(A_{1}) = ⟨⟩ Dann ist A_{1} ≡ λx.A_{10}, und

L ≡ φ(A_{10})[x := φ(A_{2})] ≡ φ(A_{10}[x := A_{2}]).

In diesem Fall sei B ≡ (A_{10}[x := A_{2}]) ∗ κ, und wir erhalten

A ⟶^{β_{0}} B.

2.2.3.2 A_{1} ≡ ∂(A_{1}) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ Dann ist

L ≡ exp(φ(∂(A_{1})) exp(x, μ_{1}), μ_{2})[x := φ(A_{2})]
≡ exp(φ(∂(A_{1})) exp(φ(A_{2}), μ_{1}), μ_{2})
≡ exp(φ(∂(A_{1}))φ(A_{2} ∗ μ_{1}), μ_{2}).

Also ist

N ≡ exp(φ(∂(A_{1}))φ(A_{2} ∗ μ_{1}), μ_{2} ∗ κ).

Für B ≡ (∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ} folgt somit A ⟶^{krβ_{2}} B und die Behauptung.

3.Fall A ≡ (λx.A_{0})^{κ} Da 3.20 hier nicht direkt anwendbar ist, benötigen wir noch eine Induktion nach κ.

3.1 κ = ⟨⟩ Dann ist M ≡ λx.φ(A_{0}) und N ≡ λx.N_{0}. Nach Hauptinduktionsvoraussetzung gibt es einen markierten Term B_{0} mit A_{0} ⟶^{β_{+}} B_{0} und N_{0} ≡ φ(B_{0}). B ≡ (λx.B_{0}) leistet das Gewünschte.

3.2 κ = ∂(κ) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ Dann gilt M ≡ λx. exp(φ(∂(A)) exp(x, μ_{1}), μ_{2}) und N ≡ λx.N_{0}. Nach 3.20 gibt es zwei Fälle.

3.2.1 Für ein ν_{2} mit μ_{2} ⟶^{mβ} ν_{2} gilt N_{0} ≡ exp(φ(∂(A)) exp(x, μ_{1}), ν_{2}). Dann sei B :≡ ∂(A) ∗ ⟨(μ_{1}, ν_{2})⟩ .

3.2.2 Für einen Term L gilt φ(∂(A)) exp(x, μ_{1}) ⟶^{β} L und N_{0} ≡ exp(L, μ_{2}). Dann gibt es drei Kontraktionsmöglichkeiten.

3.2.2.1 Für einen Term L_{1} gilt φ(∂(A)) ⟶^{β} L_{1} und L ≡ L_{1} exp(x, μ_{1}). Die Nebeninduktionsvoraussetzung liefert in diesem Fall einen markierten Term C mit ∂(A) ⟶^{β_{+}} C und φ(C) ≡ L_{1}. Für B :≡ C ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ folgt die Behauptung.

3.2.2.2 Für einen Term L_{2} gilt exp(x, μ_{1}) ⟶^{β} L_{2} und L ≡ φ(∂(A))L_{2}. Nach 3.20 gibt es dann eine Marke ν_{1} mit μ_{1} ⟶^{mβ} ν_{1} und L_{2} ≡ exp(x, ν_{1}). Für B :≡ ∂(A) ∗ ⟨(ν_{1}, μ_{2})⟩ folgt die Behauptung.

3.2.2.3 φ(∂(A)) ≡ λx.L_{0} und L ≡ L_{0}[x := exp(x, μ_{1})].

3.2.2.3.1 ∂(κ) = ⟨⟩

Dann ist A ≡ (λx.A_{0})^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩} und

L ≡ φ(A_{0})[x := exp(x, μ_{1})] ≡ φ(A_{0}[x := x^{μ_{1}}]).

Für B ≡ (λx.((A_{0}[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2})) folgt A ⟶^{krβ_{3}} B und die Behauptung.

3.2.2.3.2 ∂(κ) = ∂^{2}(κ) ∗ ⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩

Dann ist

L_{0} ≡ exp(φ(∂^{2}(A)) exp(x, ν_{1}), ν_{2}),

und

L ≡ exp(φ(∂^{2}(A)) exp(exp(x, μ_{1}), ν_{1}), ν_{2})
≡ exp(φ(∂^{2}(A)) exp(x, μ_{1} ∗ ν_{1}), ν_{2}).

Also ist

N ≡ λx.N_{0}
≡ λx. exp(φ(∂^{2}(A)) exp(x, μ_{1} ∗ ν_{1}), ν_{2} ∗ μ_{2})
≡ φ(∂^{2}(A) ∗ ⟨(μ_{1} ∗ ν_{1}, ν_{2} ∗ μ_{2})⟩).

Für B ≡ ∂^{2}(A) ∗ ⟨(μ_{1} ∗ ν_{1}, ν_{2} ∗ μ_{2})⟩ folgt A ⟶^{krβ_{1}} B und wegen

φ(B) ≡ φ(∂^{2}(A) ∗ ⟨(μ_{1} ∗ ν_{1}, ν_{2} ∗ μ_{2})⟩) ≡ N

die Behauptung.

□

Damit ist der Nachweis erbracht, daß die eingeführten kritischen β-Reduktionen zum Lifting einer gewöhnlichen β-Reduktion ausreichen.

3.22 KOROLLAR. Lifting Gegeben sei eine β-Reduktion M ⟶ ⟶^{β} N und ein markierter Term A mit φ(A) ≡ M. Dann gibt so gibt es einen markierten Term B mit φ(B) ≡ N

und A ⟶ ⟶^{β_{+}} B.

[figure: M; N; β; A; B; β_{+}; φ; φ]

Tatsächlich kann man 3.22 auch als markierte Version der Kommutativität von β und η auffassen.

3.23 KOROLLAR. β- und η-Reduktionen kommutieren. Beweis. Gegeben seien Reduktionen M ⟶ ⟶^{η} K und M ⟶ ⟶^{β} N. Die η-Reduktion läßt sich markieren. Also gibt es einen markierten Term A mit |A| ≡ K und φ(A) ≡ M. Nach 3.22 existiert dann auch ein markierter Term

B mit φ(B) ≡ N und A ⟶ ⟶^{β_{+}} B.

Aus Bemerkung 3.9 folgt N ⟶ ⟶^{η} |B|. Wegen 3.18 gilt K ≡ |A| ⟶ ⟶^{β} |B|; daher folgt mit L :≡ |B| die Behauptung.

[figure: | |; A; φ; M; K; η; N; L; η; β; β; B; φ; | |; β_{+}]
□

Die potentiellen η-Redizes - das sind die Marken - in A können entlang einer gegebenen β-Reduktion der Übersetzung von A - das ist φ(A) - mit Hilfe einer β_{+}-Reduktion durchgeschoben werden. Im Term B verbleiben nun die Marken, die benötigt werden, um das Diagramm zu schließen - genauer, die Marken, welche die benötigte η-Reduktion kodieren.

Unkritische Eta-Reduktionen

Nach der umfangreichen technischen Vorarbeit sollen nun die Früchte geerntet werden. Gegeben sei eine η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N. Wenn im Verlauf dieser Reduktion kritische η-Redizes der Form (kr 1) oder (kr 2) kontrahiert werden, so kann an diesen Stellen die η-Kontraktion durch eine (kritische) β-Kontraktion ersetzt werden. Wegen des Satzes über Postponement von η können diese β-Kontraktionen vorgezogen werden. Daher ist es plausibel, daß sich die gegebene Reduktion in einen β-Anteil und einen η-Anteil, in dem keine kritischen η-Redizes kontrahiert werden, zerlegen läßt. Es bietet sich an, eine η-Reduktion unkritisch zu nennen, wenn in ihr keine kritischen Redizes kontrahiert werden. Wir wollen aber einen anderen Zugang wählen. Der Begriff der unkritischen η-Reduktion von M nach N (M ⟶ ⟶^{uη} N) wird rekursiv über den Aufbau von N eingeführt. Dann ist M ⟶ ⟶^{uη} N keine Reduktion im eigentlichen Sinn. Die rekursive Definition von uη ermöglicht es, aus der Gestalt von N Rückschlüsse auf die Gestalt von M zu ziehen. In dieser Eigenschaft ähnelt die unkritische η-Reduktion der β-Standardreduktion M ⟶ ⟶^{sβ} N. Auch diese ist keine Reduktion im strengen Sinn; sie hat aber vielfältige Anwendungen in Strukturuntersuchungen.

Gleichzeitig mit den unkritischen η-Reduktionen ⟶ ⟶^{uη} müssen wir den Begriff der inneren unkritischen η-Reduktion ⟶ ⟶^{iuη} definieren.

3.24 DEFINITION.

(a) Gegeben seien disjunkte und von a verschiedene Variablen u_{1}, …, u_{r} mit U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}. Dann ist

λu_{1} … u_{r}.aU_{1} … U_{r} ⟶ ⟶^{uη} a

eine unkritische η-Reduktion. Im Fall r = 0 ist dies eine innere Reduktion.

(b) Gegeben seien disjunkte Variablen u_{1}, …, u_{r} und M_{1}, M_{2}, U_{1}, … U_{r}

mit M_{1} ⟶ ⟶^{iuη} N_{1}, M_{2} ⟶ ⟶^{uη} N_{2}, U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i} und {u_{1}, …, u_{r}}∩F V (N_{1}N_{2}) =

∅. Dann ist

λu_{1} … u_{r}.M_{1}M_{2}U_{1} … U_{r} ⟶ ⟶^{uη} N_{1}N_{2}

eine unkritische η-Reduktion. Im Fall r = 0 ist dies eine innere Reduktion.

(c) Gegeben sei eine unkritische η-Reduktion M ⟶ ⟶^{uη} N. Dann ist auch

λx.M ⟶ ⟶^{uη} λx.N

eine unkritische η-Reduktion. Dies ist generell eine innere Reduktion.

Aus einer unkritischen η-Reduktion M ⟶ ⟶^{uη} N läßt sich kanonisch eine η-Reduktion konstruieren, welche ohne Kontraktion von kritischen Redizes auskommt. Ebenso gibt jede η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N ohne Kontraktion kritischer Redizes Anlaß zu einer unkritischen η-Reduktion M ⟶ ⟶^{uη} N. Schon bei der Definition von M ⟶ ⟶^{uη} N sieht man, daß große Teile der Struktur von N auch in M zu finden sind. Durch eine leichte Induktion zeigt man:

3.25 LEMMA. Gegeben sei eine unkritische η-Reduktion M ⟶ ⟶^{uη} N.

(a) Falls für N ≡ N_{0} … N_{l} mit l > 0, so besitzt M die Gestalt

λu_{1} … u_{r}.M_{0} … M_{l}U_{1} … U_{r} mit

(i) M_{0} ⟶ ⟶^{iuη} N_{0}

(ii) Für 0 < i ≤ l gilt M_{i} ⟶ ⟶^{uη} N_{i}.

(iii) Für 1 ≤ i ≤ r gilt U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}.

(b) Falls N ≡ λy_{1} … y_{m}.N_{0}, so besitzt M die Gestalt λy_{1} … y_{m}.M_{0} mit

M_{0} ⟶ ⟶^{uη} N_{0}.

Dieses Lemma findet seine erste Anwendung bei β-Normalformen und Termen mit Kopfredex. Bei beliebigen η-Reduktionen können β-Redizes zerstört werden. Daher ist es möglich, daß ein Term mit β-Redizes durch eine η-Reduktion in eine β-Normalform überführt wird. Im Fall von unkritischen η-Reduktionen M ⟶ ⟶^{uη} N kann das nicht passieren. Die Normalformstruktur von N übeträgt sich auf M.

3.26 KOROLLAR. Es gelte M ⟶ ⟶^{uη} N. Mit N ist dann auch M in β-Normalform.

Beweis. Man verwende die rekursive Charakterisierung der Terme in β-Normalform und Lemma 3.25. □

In dieser Arbeit werden häufig unlösbare Terme untersucht. Diese sind von der Form λx_{1} … x_{m}.(λy.P_{0})P_{1} … P_{l}. Unkritische η-Expansionen solcher Terme besitzen eine ähnliche Gestalt. Das wird in 6.9 und 8.1 von großem Nutzen sein.

3.27 KOROLLAR. Gegeben sei eine unkritische η-Reduktion Q ⟶ ⟶^{uη} λx_{1} … x_{m}.(λy.P_{0})P_{1} … P_{l} mit l > 0. Dann gibt es Terme Q_{0}, …, Q_{l+r} mit

(i) Q ≡ λx_{1} … x_{m}λu_{1} … u_{r}.(λy.Q_{0})Q_{1} … Q_{l+r}

(ii) Für 0 ≤ i ≤ l gilt Q_{i} ⟶ ⟶^{uη} P_{i}.

(iii) Für 1 ≤ i ≤ r gilt Q_{l+i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}.

Beweis. Nach 3.25 (b) besitzt Q die Gestalt λx_{1} … x_{m}.R mit R ⟶ ⟶^{uη} (λy.P_{0})P_{1} … P_{l}. Wegen 3.25 (a) ist R von der Gestalt λu_{1} … u_{r}.S_{0} … S_{l}U_{1} … U_{r} mit

(i) S_{0} ⟶ ⟶^{iuη} (λy.P_{0})

(ii) S_{i} ⟶ ⟶^{uη} P_{i} für (1 ≤ i ≤ l)

(iii) U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}.

S_{0} ist folglich eine Abstraktion (λy.Q_{0}) mit Q_{0} ⟶ ⟶^{uη} P_{0}. Für i mit 1 ≤ i ≤ l setze man Q_{i} :≡ S_{i}, und im Fall l < i ≤ l + r sei Q_{i} :≡ U_{i−l}. □

Wie können wir den unkritischen Anteil einer gegebenen η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N konstruieren? Die Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N läßt sich nach 3.13 markieren. Es gibt also einen Term A mit φ(A) ≡ M und |A| ≡ N. Die kritischen Anteile finden sich in kritischen β-Redizes wieder. Zu beweisen sind dann die folgenden Aussagen:

(1) Wenn B in krβ-Normalform ist, so gilt φ(B) ⟶ ⟶^{uη} |B|.

(2) Jeder markierte Term besitzt eine krβ-Normalform.

Wir wenden uns zunächst der ersten Aussage zu.

3.28 LEMMA. N sei keine Abstraktion.

(a) Gegeben seien disjunkte Variablen u_{1}, … u_{r}, welche nicht in N auftreten sowie Reduktionen M ⟶ ⟶^{iuη} N und U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}. Dann gilt

λu_{1} … u_{r}.MU_{1} … U_{r} ⟶ ⟶^{uη} N.

(b) Falls M ⟶ ⟶^{uη} Nx und x nicht in N auftritt, so gilt λx.M ⟶ ⟶^{uη} N.

Beweis.

(a) ist klar.

(b) Dann ist M von der Form λu_{1} … u_{r}.M_{1}M_{2}U_{1} … U_{r}, mit M_{1} ⟶ ⟶^{iuη} N,

M_{2} ⟶ ⟶^{uη} x und U_{i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}. Die Behauptung folgt jetzt aus Teil (a).

□

3.29 LEMMA. N sei keine Abstraktion. κ sei eine Marke in β-Normalform. Aus M ⟶ ⟶^{iuη} N folgt dann exp(M, κ) ⟶^{uη} N.

Beweis. Wir verwenden die induktive Definition der Marken in β-Normalform aus 3.15.

1.Fall κ = ⟨⟩

Dann ist exp(M, κ) ≡ M und nichts zu zeigen.

2.Fall κ = ⟨(μ, ν)⟩ für μ, ν in β-Normalform.

Nach Induktionsvoraussetzung gilt exp(x, μ) ⟶ ⟶^{uη} x. Da M ⟶ ⟶^{iuη} N, erhalten wir M exp(x, μ) ⟶ ⟶^{iuη} Nx. Auf diese Reduktion wenden wir nochmals die Induktionsvoraussetzung an. Es folgt exp(M exp(x, μ), ν) ⟶ ⟶^{uη} Nx. Mit 3.28 folgt dann auch

exp(M, κ) ≡ λx. exp(M, exp(x, μ), ν) ⟶ ⟶^{uη} N.

□

3.30 SATZ. A sei in krβ-Normalform.

(a) Es gilt φ(A) ⟶ ⟶^{uη} |A|.

(b) Falls val(A) = ⟨⟩, so gilt φ(A) ⟶ ⟶^{iuη} |A|.

Beweis. Induktion nach A.

1.Fall A ≡ a^{κ} Dann ist φ(A) ≡ exp(a, κ). Da κ in β-Normalform ist, folgt die Behauptung aus dem letzten Lemma.

2.Fall A ≡ (A_{1}A_{2})^{κ} Dann ist φ(A) ≡ exp(φ(A_{1})φ(A_{2}), κ). Da A in krβ_{2} -Normalform ist, muß val(A_{1}) = ⟨⟩ gelten. Wir erhalten mit der Induktionsvoraussetzung φ(A_{1}) ⟶ ⟶^{iuη} |A_{1}| und φ(A_{2}) ⟶ ⟶^{uη} |A_{2}|. Daraus folgt φ(A_{1})φ(A_{2}) ⟶ ⟶^{iuη} |A_{1}||A_{2}|. Mit dem letzten Lemma folgt dann die Behauptung.

3.Fall A ≡ (λx.A_{0})^{κ} Dann ist φ(A) ≡ exp(λx.φ(A_{0}), κ). Da A in krβ_{3}-Normalform ist, folgt κ = ⟨⟩. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt φ(A_{0}) ⟶ ⟶^{uη} |A_{0}|. Wir erhalten somit φ(A) ≡ λx.φ(A_{0}) ⟶ ⟶^{iuη}

λx.|A_{0}| ≡ |λx.A_{0}|. □

Zu markierten Termen A ist also eine krβ-Normalform B gesucht. Tatsächlich führt jede Reduktionsstrategie zu einer Normalform. Alle markierten Terme sind bezüglich krβ stark normalisierbar. Zum Beweis der starken Normalisierbarkeit wird jeder markierte Term A mit einer Norm ∥A∥ versehen. Die Norm von A ist ein Maß für die Komplexität der krβ-Redizes in A. Da diese Redizes von Marken induziert werden, hängt ∥A∥ von den in A auftretenden Marken ab. Daher wird zunächst eine Norm auf den Marken eingeführt.

3.31 DEFINITION. Die Norm einer η-Marke κ ist eine Ordinalzahl kleiner als ω^{ω}. Diese wird rekursiv definiert.

(a) ∥⟨⟩∥ := 0

(b) ∥κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩∥ := ∥κ∥^{#} (∥μ∥ · ω)^{#} ∥ν∥^{#} 1 Bei der Berechnung von ∥⟨(μ, ν)⟩∥ geht ∥μ∥ mit größerem Gewicht als ∥ν∥ ein. Das liegt daran, daß bei krβ_{3}-Kontraktionen der Term x^{μ} mit der Norm ∥μ∥ substituiert wird. Nach dem Substitutionsprozess kann x^{μ} an mehren Stellen des Resultats auftreten. x^{μ} kann aber nur an endlich vielen Stellen auftreten. Der Vervielfachungsprozess wird also durch ∥μ∥ · ω abgefangen. Man vergleiche auch die Diskussion nach Satz 3.38.

3.32 BEMERKUNG. ∥κ ∗ λ∥ = ∥κ∥^{#} ∥λ∥

Die Norm der Marken IH wird auf markierte Terme übertragen.

3.33 DEFINITION.

(a) ∥a^{κ}∥ := ∥κ∥

(b) ∥(A_{1}A_{2})^{κ}∥ := ∥A_{1}∥^{#} ∥A_{2}∥^{#} ∥κ∥

(c) ∥(λx.A_{0})^{κ}∥ := ∥A_{0}∥^{#} ∥κ∥

Aus 3.32 folgt ∥A ∗ κ∥ = ∥A∥^{#} ∥κ∥.

3.34 LEMMA. ∥A[x := B]∥ ≤ ∥A∥^{#} (∥B∥ · lh(|A|))

Beweis. Induktion nach A

1.Fall A ≡ x^{κ}

∥x^{κ}[x := B]∥ ≡ ∥B ∗ κ∥ = ∥B∥^{#} ∥κ∥ = ∥A∥^{#} ∥B∥

2.Fall A ≡ a^{κ} für a ≢ x.

∥a^{κ}[x := B]∥ = ∥a^{κ}∥ = ∥A∥.

Die restlichen Fälle folgen direkt aus der Induktionsvoraussetzung.

□

In den folgenden Lemmata wird gezeigt, daß krβ-Reduktionen die Norm eines markierten Termes verkleinern. Da die Norm kummulativ definiert ist, reicht es, Konversionen zu betrachten.

3.35 LEMMA.

(a) Falls κ ⟶^{mβ} λ, so gilt ∥λ∥ < ∥κ∥.

(b) Aus A ⟶^{krβ_{1}} B folgt ∥B∥ < ∥A∥.

Beweis. Gegeben seien Marken κ und λ mit κ = μ ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ ⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩ ⟶^{mβ} μ ∗ ⟨(ν_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ ν_{2})⟩ = λ. Dann gilt

∥μ ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ ⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩∥ = ∥μ ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩∥^{#} (∥ν_{1}∥ · ω)^{#} ∥ν_{2}∥^{#} 1
= ∥μ∥^{#} (∥μ_{1}∥ · ω)^{#} ∥μ_{2}∥^{#} (∥ν_{1}∥ · ω)^{#} ∥ν_{2}∥^{#} 2
= ∥μ∥^{#} ((∥ν_{1}∥^{#} ∥μ_{1}∥) · ω)^{#} (∥μ_{2}∥^{#} ∥ν_{2}∥)^{#} 2
> ∥μ∥^{#} ((∥ν_{1} ∗ μ_{1}∥) · ω)^{#} (∥μ_{2} ∗ ν_{2}∥)^{#} 1
= ∥μ ∗ ⟨(ν_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ ν_{2})⟩∥

Damit ist (a) bewiesen. Dann folgt auch (b). □

3.36 LEMMA. Falls A ⟶^{krβ_{2}} B, so gilt ∥B∥ < ∥A∥.

Beweis.

Gegeben sei (A_{1}A_{2})^{κ} ⟶^{krβ_{2}} (∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ} mit

val(A_{1}) = μ = ∂(μ) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩.

Dann gilt

∥(∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ}∥ = ∥∂(A_{1})∥^{#} ∥A_{2} ∗ μ_{1}∥^{#} ∥μ_{2} ∗ κ∥
= ∥∂(A_{1})∥^{#} ∥A_{2} ∗ μ_{1}∥^{#} ∥μ_{2}∥^{#} ∥κ∥
= ∥∂(A_{1})∥^{#} ∥μ_{1}∥^{#} ∥μ_{2}∥^{#} ∥A_{2}∥^{#} ∥κ∥
< (∥∂(A_{1})∥^{#} (∥μ_{1}∥ · ω)^{#} (∥μ_{2}∥^{#} 1)^{#} ∥A_{2}∥^{#} ∥κ∥
= ∥∂(A_{1}) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩∥^{#} ∥A_{2}∥^{#} ∥κ∥
= ∥(A_{1}A_{2})^{κ}∥.
□

3.37 LEMMA. Falls A ⟶^{krβ_{3}} B, so gilt ∥B∥ < ∥A∥.

Beweis. Gegeben sei (λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ} ⟶^{krβ_{3}} (λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}.

∥(λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}∥ = ∥A[x := x^{μ_{1}}]∥^{#} ∥μ_{2}∥^{#} ∥κ∥
(3.34) ≤ ∥A∥^{#} (∥μ_{1}∥ · lh(|A|))^{#} ∥μ_{2}∥^{#} ∥κ∥
< ∥A∥^{#} (∥μ_{1}∥ · ω)^{#} ∥μ_{2}∥^{#} ∥κ∥
< ∥A∥^{#} ∥⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ κ∥
= ∥(λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ}∥.
□

3.38 SATZ.

(a) krβ-Kontraktionen verkleinern die Norm.

Falls A ⟶^{krβ} B, so gilt ∥B∥ < ∥A∥.

(b) krβ ist stark normalisierbar.

Beweis. Die Aussage dieses Satzes folgt aus Lemma 3.35-3.37. □

Im Beweis treten unendliche Ordinalzahlen auf. Wie schon bei der Diskussion nach 3.31 angedeutet, liegt das an der krβ_{3}-Reduktion. ω ist eine Ordinalzahl, welche die Länge jedes Terms dominiert. Mit etwas mehr kombinatorischer Sorgfalt läßt sich auch eine endliche Norm angeben. Zuerst wird eine Schar von Normen ∥κ∥_{n} dadurch definiert, daß in 3.31 die Ordinalzahl ω durch die Zahl n ersetzt wird. Das induziert gemäß Definition 3.33 eine Schar von Normen ∥A∥_{n} auf den markierten Termen. Setzt man nun ∥A∥_{fin} := ∥A∥_{lh(|A|)}, so erhält man eine endliche Norm. Diese endliche Norm wird durch krβ-Kontraktionen ebenfalls echt verkleinert.

3.39 KOROLLAR. Jede η-Reduktion läßt sich in eine β-Reduktion und eine unkritische η-Reduktion aufteilen. Falls M ⟶ ⟶^{η} N, so gibt es ein K mit

M ⟶ ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{uη} N.

Beweis. Man markiere die gegebene Reduktion durch A mit φ(A) ≡ M und |A| ≡ N. A besitzt nach 3.38 eine krβ-Normalform B. Es gilt A ⟶ ⟶^{krβ} B, und nach 3.19 auch φ(A) ⟶ ⟶^{β} φ(B). Dann folgt mit 3.30 φ(B) ⟶ ⟶^{uη} |B|. Wegen 3.18(a) ist |B| ≡ |A| ≡ N. Man setze K ≡ φ(B).

[figure: | |; A; φ; M; N; η; K; |B|; uη; β; ≡; B; φ; | |; krβ]

□

3.40 KOROLLAR.

(a) Jede βη-Reduktion läßt sich in eine β-Reduktion und eine unkritische η-Reduktion aufteilen. Falls M ⟶ ⟶^{βη} N, so gibt es einen Term K mit

M ⟶ ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{uη} N.

(b) Jede βη-Reduktion läßt sich in drei Bestandteile zerlegen: Einen Teil mit hβ-Reduktionen, einen Teil mit inneren β-Reduktionen und einen Teil mit unkritischen η-Reduktionen. Falls M ⟶ ⟶^{βη} N, so gibt es Ter-

me K und L mit M ⟶ ⟶^{hβ} K, K ⟶ ⟶^{iβ} L und L ⟶ ⟶^{uη} N.

Beweis. Mit dem letzten Korollar, dem Satz über Postponement der η-Reduktionen und im Teil (b) mit 11.4.4 aus [?]. □

An dieser Stelle sei noch einmal an die Fragestellung zu Beginn dieses Paragraphen erinnert. Können η-Reduktionen als unwesentlicher Bestandteil der βη-Reduktionen aufgefaßt werden? Diese Frage reduziert sich mit Hilfe von 3.40 zur Frage, ob unkritische η-Reduktionen als unwesentlich oder unproblematisch aufgefaßt werden können. Diese Frage kann nur durch die Praxis beantwortet werden.

λη-Ordnung

In diesem Abschnitt wird die Äquivalenz von O(M) = ∞ und O_{λη}(M) = ∞ gezeigt. Diese Aussage ist deswegen bemerkenswert, weil die Äquivalenz für endliche Ordnungen nicht korrekt ist. Die λη-Ordnung eines Terms kann kleiner sein als seine (λ)-Ordnung. Der Fall, daß die λη-Ordnung echt kleiner ist, tritt schon bei einfachen Beispielen auf. Zum Beispiel ist O_{λη}(λxy.Ωxy) = 0 und O(λxy.Ωxy) = 2. Während im Verlauf einer β-Reduktion der Wert von abs höchstens steigen kann (2.31), kann abs im Verlauf einer η-Reduktion sowohl fallen, als auch steigen.

Beispiele

(a) abs(λxy.Ωxy) = 2 > abs(Ω) = 0

(b) abs(λx.(λyz.yzz)x)) = 1 < abs(λyz.yzz) = 2

Mehr Übersicht geben auch in diesem Fall unkritische η-Reduktionen.

3.41 LEMMA.

Aus M ⟶ ⟶^{uη} N folgt abs(N) ≤ abs(M).

Beweis.

1.Fall N ≡ a

Dann ist abs(N) = 0 ≤ abs(M).

2.Fall N ≡ N_{1}N_{2}

Dann ist abs(N) = 0 ≤ abs(M).

3.Fall N ≡ λx.L und für K ⟶ ⟶^{uη} L ist M ≡ λx.K.

Nach Induktionsvoraussetzung ist abs(L) ≤ abs(K), also auch

abs(N) = abs(L) + 1 ≤ abs(K) + 1 = abs(M).
□

Mit 3.40 läßt sich jede βη-Reduktion in einen Teil, bei dem abs steigt, und einen Teil, bei dem abs fällt aufteilen.

3.42 KOROLLAR. M sei ein Term mit (λ)-Ordnung Null. Dann hat jedes βη-Redukt von M auch (λ)-Ordnung Null.

Beweis. Gegeben sei eine Reduktion M ⟶ ⟶^{βη} N. Diese Reduktion läßt sich nach 3.40 in eine β- und eine unkritische η-Reduktion aufspalten. Es gibt ein K mit M ⟶ ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{uη} N. Da M von (λ)-Ordnung Null ist, gilt abs(K) = 0; aus dem letzten Lemma folgt dann auch abs(N) = 0. □

Jeder Term M mit (λ)-Ordnung Null besitzt auch λη-Ordnung Null. Die Umkehrung gilt, wie schon an einfachen Beispielen gezeigt wurde, nicht.

Am anderen Ende deer Ordnungsskala, bei unendlichen Ordnungen, gelten beide Richtungen. Ein Term besitzt genau dann unendliche (λ)-Ordnung, wenn er eine unendliche λη-Ordnung besitzt. Dabei ist klar, daß jeder Term mit unendlicher λη-Ordnung unendliche (λ)-Ordnung besitzt. Für die andere Richtung beweist man zunächst das folgende Lemma.

3.43 LEMMA. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) O_{λη}(M) = ∞

(b) Für alle N mit M ⟶ ⟶^{βη} N gilt O(N) = ∞.

(c) Für alle N mit M ⟶ ⟶^{βη} N und alle n ∈ IN gibt es einen Term L mit

N ⟶ ⟶^{β} L und abs(L) ≥ n.

Beweis. (a)⇒(b)⇒(c) ist trivial. (c)⇒(a): Gegeben sei ein Term K mit λη ⊢ M = K. Wir müssen zeigen, daß K eine unendliche (λ)-Ordnung besitzt. Sei also eine natürliche Zahl n vorgegeben. Das Church-Rosser-Theorem liefert ein gemeinsames βη-Redukt N von M und K. Wegen (c) besitzt N ein β-Redukt L mit abs(L) ≥ n. Jetzt gilt K ⟶ ⟶^{βη} N ⟶ ⟶^{β} L, also K ⟶ ⟶^{βη} L. Wegen 3.40 erhalten wir ein R mit

K ⟶ ⟶^{β} R und R ⟶ ⟶^{uη} L.

Aus 3.41 folgt dann abs(R) ≥ abs(L) ≥ n.

[figure: M; N; βη; K; βη; L; β; R; uη; β]
□

Wenn gezeigt werden soll, daß jeder Term M mit O(M) = ∞ auch unendliche λη-Ordnung besitzt, so reicht es gemäß 3.43(b) zu beweisen, daß die Menge der Terme mit unendlicher (λ)-Ordnung gegen βη-Reduktionen abgeschlossen ist. Es ist klar, daß diese Menge gegen β-Reduktionen abgeschlossen ist, daher reicht es zu zeigen, daß sie gegen η-Reduktionen abgeschlossen ist. Als intuitive Begründung hiervon kann man anführen, daß die potentiell unendlich vielen Abstraktionen in M nicht durch endlich viele η-Kontraktionen zerstört werden können. Die Begründung ist aber zu ungenau, in M und in jedem Redukt von M stehen nur endlich viele Abstraktionen. Zu zeigen ist, daß die Bestandteile von M, welche immer neue Abstraktionen produzieren, durch η-Kontraktionen nicht zerstört werden können. Wieder ist eine Betrachtung im markierten Kalkül hilfreich. Gegeben sei ein M mit O(M) = ∞, und eine Reduktion M ⟶ ⟶^{η} K. Zu einer vorgegebenen Zahl n ist ein Term L mit K ⟶ ⟶^{β} L und abs(L) ≥ n gesucht. Die Reduktion M ⟶ ⟶^{η} K wird mit A markiert. Da M unendliche Ordnung besitzt, können Terme N mit M ⟶ ⟶^{β} N und beliebig großen Werten abs(N) angegeben werden. Die β-Reduktion kann geliftet werden, und wir erhalten einen Term B mit A ⟶ ⟶^{β_{+}} B und φ(B) ≡ N. Wie im Beweis der Kommutativität gilt dann K ⟶ ⟶^{β} |B|.

[figure: | |; A; φ; M; K; η; N; |B|; η; β; β; B; φ; | |; β_{+}]

Jetzt soll L :≡ |B| gesetzt werden. Dann ist abs(|B|) aus den gegebenen Daten zu berechnen. Gegeben sind der markierte Term A und der Wert abs(φ(B)). Der Zusammenhang zwischen A, abs(φ(B)) und abs(|B|) kann durch ein weiteres Komplexitätsmaß auf den markierten Termen beschrieben werden. Dieses wird o genannt und mißt die Anzahl der Abstraktionen, die durch mη-Reduktionen fortfallen. Das ist die Ungleichung (o1). Wir besitzen jedoch keine genauen Informationen über B und o(B). Gegeben ist nur der Term A. Wenn aber der Wert von o im Verlauf einer β_{+}-Reduktion nicht steigt, so kann o(B) durch den bekannten Wert o(A) beschränkt werden. Das ist die Ungleichung (o2). Diese Bedingung führt dazu, daß bei der Berechnung von o(A) auch auf innere Marken geachtet werden muß. Gesucht ist eine Abbildung o von Λ^{IH} nach IN mit:

(o1) abs(φ(B)) ≤ abs(|B|) + o(B)

(o2) Aus A ⟶ ⟶^{β_{+}} B folgt o(B) ≤ o(A).

Wählt man N mit abs(N) ≥ o(A) + n, so erhält man abs(|B|) ≥ n. Das ist zu zeigen. Wir kommen nun zur Konstruktion von o(A). Wie bei ∥A∥ wird o zunächst auf den Marken eingeführt.

3.44 DEFINITION. Die Ordnung o(κ) einer Marke κ wird rekursiv definiert.

(a) o(⟨⟩) := 0

(b) o(κ ∗ ⟨(μ, ν)⟩) := max{o(κ), o(μ), o(ν) + 1}

Dies wird auf markierte Terme übertragen.

3.45 DEFINITION.

(a) o(a^{κ}) := o(κ)

(b) o((A_{1}A_{2})^{κ}) := max{o(A_{1}), o(A_{2}), o(κ)}

(c) o((λx.A)^{κ}) := max{o(A), o(κ)}

Es gilt o(z^{θ_{n}}) = o(θ_{n}) = n und

abs(φ(z^{θ_{n}})) = abs(λx_{1} … x_{n}.zx_{1} … x_{n}) = n.

Für n > 0 ist dagegen o(z^{n}) = o(n) = 1 und

abs(φ(z^{n})) = abs(λx_{1}.(… (λx_{n}.zx_{n}) …)x_{1}) = 1.

3.46 BEMERKUNG.

(a) o(κ ∗ λ) = max{o(κ), o(λ)}

(b) o(A ∗ κ) = max{o(A), o(κ)}

(c) o(A[x := B]) ≤ max{o(A), o(B)}

Ist M keine Abstraktion, so läßt sich die Abstraktionsordnung von exp(M, κ) gut abschätzen.

3.47 LEMMA. Aus abs(M) = 0 folgt abs(exp(M, κ)) ≤ o(κ).

Beweis. Induktion nach κ

1.Fall κ = ⟨⟩

Dann gilt abs(exp(M, ⟨⟩)) = abs(M) = 0.

2.Fall κ = ∂(κ) ∗ ⟨(μ, ν)⟩

Dann gilt

abs(exp(M, κ)) = abs(λx. exp(exp(M, ∂(κ)) exp(x, μ), ν))
= abs(exp(exp(M, ∂(κ)) exp(x, μ), ν) + 1
(I.V.) ≤ o(ν) + 1
≤ o(κ).
□

3.48 KOROLLAR. abs(φ(A)) ≤ abs(|A|) + o(A)

Beweis. Induktion nach A

1.Fall A ≡ a^{κ}

Wegen 3.47 ist abs(φ(a^{κ})) = abs(exp(a, κ)) ≤ o(κ).

2.Fall A ≡ (A_{1}A_{2})^{κ} Wegen 3.47 ist abs(φ((A_{1}A_{2})^{κ})) = abs(exp(φ(A_{1})φ(A_{2}), κ)) ≤ o(κ).

3.Fall A ≡ (λx.A_{0})^{κ} Hier müssen zwei Möglichkeiten betrachtet werden.

3.1 κ = ⟨⟩ Dann ist abs(φ(A)) = abs(λx.φ(A_{0})) = abs(φ(A_{0})) + 1. Nach Induktionsvoraussetzung erhält man abs(φ(A_{0})) ≤ abs(|A_{0}|) + o(A_{0}). Also ist abs(φ(A)) ≤ abs(|A_{0}|) + o(A_{0}) + 1 = abs(|λx.A_{0}|) + o((λx.A_{0})).

3.2 κ = ∂(κ) ∗ ⟨(μ, ν)⟩ Dann ist

abs(φ(A)) = abs(λx. exp(φ(∂(A)) exp(x, μ), ν))
= abs(exp(φ(∂(A)) exp(x, μ), ν)) + 1
(3.47) ≤ o(ν) + 1
≤ o(κ)

□

Damit ist die erste von o(A) geforderte Eigenschaft nachgewiesen. Wir wenden uns nun der zweiten zu. Für die zweite Eigenschaft werden nun β_{+}- Reduktionen bzw. -Konversionen betrachtet.

3.49 LEMMA. Falls κ ⟶^{mβ} λ, so gilt o(κ) = o(λ).

Beweis. Es reicht, sich auf Konversionen zu beschränken.

Gegeben sei κ = μ ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ ⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩ ⟶^{mβ} μ ∗ ⟨(ν_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ ν_{2})⟩ = λ.

Dann gilt

o(κ) = o(μ ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩ ∗ ⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩)
= max{o(μ), o(⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩), o(⟨(ν_{1}, ν_{2})⟩)}
= max{o(μ), o(μ_{1}), o(μ_{2}) + 1, o(ν_{1}), o(ν_{2}) + 1}
= max{o(μ), o(ν_{1} ∗ μ_{1}), o(μ_{2} ∗ ν_{2}) + 1}
= o(μ ∗ ⟨(ν_{1} ∗ μ_{1}, μ_{2} ∗ ν_{2})⟩)
= o(λ).
□

3.50 KOROLLAR. Falls A ⟶^{β_{+}} B, so gilt o(B) ≤ o(A).

Beweis. Es reicht, sich auf Konversionen zu beschränken.

1.Fall β_{0}-Konversion

o(((λx.A)B)^{κ}) = max{o(λx.A), o(B), o(κ)}
= max{o(A), o(B), o(κ)}
(3.46) ≥ max{o(A[x := B]), o(κ)}
= o((A[x := B]) ∗ κ).

2.Fall krβ_{1}-Konversion Dieser Fall wurde schon in 3.49 abgehandelt.

3.Fall krβ_{2}-Konversion

Gegeben sei (A_{1}A_{2})^{κ} ⟶^{krβ_{2}} (∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ} mit

val(A_{1}) = μ = ∂(μ) ∗ ⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩. Dann gilt

o((∂(A_{1})(A_{2} ∗ μ_{1}))^{μ_{2}∗κ}) = max{o(∂(A_{1})), o(A_{2} ∗ μ_{1}), o(μ_{2} ∗ κ)}
= max{o(∂(A_{1})), o(A_{2}), o(μ_{1}), o(μ_{2}), o(κ)}
≤ max{o(∂(A_{1})), o(A_{2}), o(⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩), o(κ)}
= max{o(A_{1}), o(A_{2}), o(κ)}
= o((A_{1}A_{2})^{κ}).

4.Fall krβ_{3}-Konversion

Gegeben sei (λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ} ⟶^{krβ_{3}} (λx.((A[x := x^{μ_{1}}]) ∗ μ_{2}))^{κ}. Dann gilt

o((λx.A[x := x^{μ_{1}}])^{μ_{2}∗κ}) = max{o(A[x := x^{μ_{1}}]), o(μ_{2}), o(κ)}
(3.49) ≤ max{o(A), o(x^{μ_{1}}), o(μ_{2}), o(κ)}
≤ max{o(A), o(⟨(μ_{1}, μ_{2})⟩), o(κ)}
= o((λx.A)^{⟨(μ_{1},μ_{2})⟩∗κ}).
□

3.51 SATZ. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) O(M) = ∞

(b) O_{λη}(M) = ∞.

Beweis. (b)⇒(a) ist trivial. (a)⇒(b): Wegen 3.43(b) ist nur noch zu zeigen, daß die Menge der Terme M mit O(M) = ∞ unter η-Reduktionen abgeschlossen ist. Man beachte auch die Diskussion nach 3.43. Gegeben sei ein M mit O(M) = ∞, eine η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} K und eine natürliche Zahl n. Nach 3.13 gibt es einen Term A mit φ(A) ≡ M und |A| ≡ K. M hat unendliche (λ)-Ordnung; es gibt somit einen Term N mit M ⟶ ⟶^{β} N und abs(N) ≥ n+o(A). Diese Reduktion liften wir nach 3.22 zu einer β_{+}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{+}} B mit φ(B) ≡ N. Wie im Beweis der Kommutativität von β und η, gilt K ⟶ ⟶^{β} |B| und N ⟶ ⟶^{η} |B|. Wir erhalten

n + o(A) ≤ abs(N)
= abs(φ(B))
(3.48) ≤ abs(|B|) + o(B)
(3.50) ≤ abs(|B|) + o(A).

Für L :≡ |B| folgt somit abs(L) ≥ n.

[figure: | |; A; φ; M; K; η; N; L; η; β; β; B; φ; | |; β_{+}]
□

Für den Beweis des Satzes ist es natürlich ausreichend, Kontraktionen M ⟶^{η} K zu betrachten. η-Kontraktionen können schon mit den Marken aus [?] markiert werden. Daher ist die neue Markierungstechnik für Satz 3.51 nicht notwendig. Im fünften Paragraphen werden weitere Abschlußeigenschaften der Terme mit unendlicher Ordnung untersucht. Diese Terme sind auch unter λη-Kon-gruenz abgeschlossen. Satz 3.51 ist ein wesentlicher Baustein für den Beweis dieser Tatsache.

4 Einfach markierte Terme

So wahr ich ein Christ bin, rief die Schildwache, es ist eine Nase, wie die meinge, nur sechs Mal größer. Ich hörte sie knittern, sagte der Tambour. Donnerwetter! erwiderte die Schildwache, sie blutete ja. Schade, schade! sagte der Tambour, daß wir sie nicht Beide befühlten!

Wir kommen nun zur einfachsten^{¶} nicht trivialen Möglichkeit, einen Term zu markieren. Die Menge der Marken besteht dann aus der trivialen - und einer weiteren Marke.

4.1 DEFINITION.

(a) IE = {0, 1}

(b) Für i und j aus IE sei i ∘ j := max{i, j}.

(IE, ∘, 0) ist eine Halbgruppe mit neutralem Element 0. Das definiert nach 2.33 die Menge der mit IE markierten Terme Λ^{IE}. Die Terme aus Λ^{IE} heißen einfach markierte Terme. Da in diesem Paragraphen keine anderen markierten Terme auftreten, besteht keine Verwechslungsgefahr, wenn wir hier die Elemente aus Λ^{IE} auch manchmal nur als markierte Terme bezeichnen. Wir stellen nun zwei Probleme vor, bei denen einfach markierte Terme mit Gewinn eingesetzt werden können.

(I) Ein Term M ist Subterm eines Terms K, und K wird einer β-Reduktion K ⟶ ⟶^{β} L unterworfen. Dann wollen wir wissen, was im Verlauf der β-Reduktion mit M passiert. Genauer wollen wir wissen, wie sich die Gestalt von M im Verlauf der β-Reduktion verändert. Wie wir sehen werden, treten bei einer β-Kontraktion K ⟶^{β} L drei essentielle Fälle auf. Zur Verdeutlichung sei (λx.P)Q der zu kontrahierende Redex.

1.Fall M und der Redex (λx.P)Q sind disjunkt.

Dann bleibt M vollständig erhalten. Dies ist ein trivialer Fall.

¶Es gibt noch die Möglichkeit, auf der Menge {0, 1} die zyklische Gruppe der Ordnung zwei zu betrachten. Wegen 1 ∘ 1 = 0, löschen sich zwei aufeinanderfolgende Marken. Das wird hier nicht als vernünftige Möglichkeit angesehen.

2.Fall Der Redex (λx.P)Q tritt innerhalb von M auf.

Das definiert kanonisch einen Term N mit M ⟶^{β} N. Der Term N übernimmt die Rolle von M.

3.Fall M ist identisch (λx.P).

Dann ist M ein wesentlicher Bestandteil des Redex. Man könnte einwenden, daß M zerstört wird, und daß es keinen Sinn macht, über die Spur von M zu sprechen. Es erweist sich aber trotzdem als hilfreich, den Term P [x := Q] als Überbleibsel von M aufzufassen.

4.Fall M ist Subterm von P.

Dann kann der Term Q in M für x substituiert werden.

5.Fall M ist Subterm von Q.

Dann kann M vervielfältigt oder auch vernichtet werden. Aber die Gestalt von M bleibt unangetastet. Dies ist ein trivialer Fall.

Nur in den Fällen 2, 3 und 4 wird die Gestalt von M eventuell verändert. Eine Menge ist spurtreu, wenn sie gegen die drei Transformationen, die in diesen Fällen auftreten, abgeschlossen ist. Die Spur eines Terms M ist die Menge aller Terme, in die M mit Hilfe einer der drei Tranformationen überführt werden kann; das ist die Menge der Terme, die im Verlauf einer β-Reduktion in die Rolle von M schlüpfen können. In der Spur von M sind alle Terme enthalten zu denen M durch die Reduktion K ⟶ ⟶^{β} L umgeformt worden ist. - Man beachte, daß M vervielfältigt werden kann und daß deswegen auch M zu meheren Termen umgeformt werden kann. - Da die Spur von M weder von K noch von den möglichen Redukten L von K abhängt, kann diese Menge sehr groß werden. In vielen Fällen ist die Spur von M die Menge aller λ-Terme. Ist M aber unlösbar, so sind alle Terme in der Spur von M auch unlösbar. Es gilt sogar mehr; alle Terme aus der Spur von M sind gemäß Definition 5.1 zu M kongruent. Um deutlich zu machen, daß der Subterm M von K untersucht wird, ist es günstig M mit der Marke 1 zu versehen. Dadurch entsteht ein einfach markierter Term A. Tritt in einem β_{IE}-Redukt B von A eine Marke 1 auf, so kennzeichnet diese einen Subterm N von |B|, der von M stammt - das heißt, daß N in der Spur von M liegt.

(II) Ein Subterm M von K kennzeichnet eine Stelle in K, deren genaue Gestalt uns nicht interessiert. Betrachtet man wieder den markierten Term A, der aus K durch Markierung des Subterms M mit der Marke 1 entsteht, so sind wir jetzt an dem Teil von A interessiert, der unmarkiert ist. Wenn dann an die Stelle von M ein anderer mit 1 markierter Term tritt, so ist das nur eine unwesentliche Veränderung. Das führt zum Begriff der Isomorphie von einfach markierten Termen. Diese Methode ist wichtig, wenn die Fragestellung Welches sind die relevanten Teile eines unlösbaren Terms? untersucht werden soll. Man beachte auch Lemmata 4.28 und 5.4.

(I) und (II) können nicht völlig getrennt voneinander betrachtet werden. Durch Einsetzen von markanten Termen kann mittels (I) Information für (II) gesammelt werden. Wir beschäftigen uns daher zunächst mit der ersten Problemstellung und geben die formale Definition einer spurtreuen Menge an. Diese folgt in allen Punkten den obigen Ausführungen.

4.2 DEFINITION. Eine Menge Δ von λ-Termen heißt spurtreu, falls sie unter den folgenden Regeln abgeschlossen ist.

(sp1) Mit M liegt auch jeder Term M[x := P] in Δ.

(sp2) Mit (λx.M) liegt auch jeder Term M[x := P] in Δ.

(sp3) Mit M liegt auch jede β-Kontraktion von M in Δ.

4.3 DEFINITION. Spur(M) bezeichnet die von M erzeugte spurtreue Menge. Diese Menge heißt Spur von M.

Beispiele

(a) Spur(x) = Λ

(b) Spur(Ω) = {Ω}

(c) Spur(λx.xxK) = Λ

(d) Spur(c) = {c}

(e) Spur(λx.cx) = {λx.cx} ∪ {cM | M ∈ Λ} (f) Spur(λx.cxyx) = {λx.cxyx} ∪ {λx.cxNx | x ∉ F V (N)}

∪ {cMNM | M, N ∈ Λ}

(g) Die Menge der unlösbaren Terme ist spurtreu.

(h) SOL_{c} ist spurtreu. Die Spur von Termen der Form cM_{1} … M_{l} wird uns im achten Paragraphen interessieren. Es gelten die folgenden Aussagen: 4.4 LEMMA. Gegeben seien Terme L, M_{1}, …, M_{l} und eine Konstante c. L sei ein Element von Spur(cM_{1} … M_{l}).

(a) Es gibt eindeutige Terme N_{1}, …, N_{l} mit L ≡ cN_{1} … N_{l}.

(b) Falls alle Terme N_{i} in FSOL liegen, so liegen auch alle Terme M_{i} in FSOL.

Beweis. Durch Induktion nach L ∈ Spur(cM_{1} … M_{l}). □

Um festhalten zu können, von welcher Gestalt die mit 1 markierten Subterme eines einfach markierten Terms A sind, definieren wir rekursiv den Begriff A ist mit Δ markiert. Dabei ist Δ eine Menge von λ-Termen. A ist mit Δ markiert, falls nur Terme aus Δ in A mit der Marke 1 markiert, d.h. hervorgehoben, sind. 4.5 DEFINITION. Δ sei eine Menge von λ-Termen.

(a) a ist mit Δ markiert.

(b) Falls a ∈ Δ, so ist a^{1} mit Δ markiert.

(c) Falls A und B mit Δ markiert sind, so ist auch (AB) mit Δ markiert.

(d) Falls A und B mit Δ markiert sind, und |A| |B| in Δ liegt, so ist auch (AB)^{1} mit Δ markiert.

(e) Falls für alle y ∉ F V (λx.A) der Term A[x := y] mit Δ markiert ist, so ist auch λx.A mit Δ markiert.

(f) Falls für alle y ∉ F V (λx.A) der Term A[x := y] mit Δ markiert ist, und λx. |A| in Δ liegt, so ist auch (λx.A)^{1} mit Δ markiert.

Wegen Klausel (e) und (f) ist der Begriff A ist mit Δ markiert gegen α-Kongruenz abgeschlossen. Besitzt |A| keine Subterme aus Δ, und ist A mit Δ markiert, so ist A trivial markiert. Es gilt A ≡ (|A|)_{IE}.

Beispiele

(a) (x(Ω ∘ 1)) ist mit {Ω} markiert.

(b) (xy^{1}) ist mit {y} markiert.

(c) (λx.x^{1}) ist mit {y | y ∈ F V } markiert.

(d) (λx.x^{1}) ist nicht mit {x} markiert.

Die ersten drei Teile des folgenden Lemmas entsprechen grob den drei relevanten Fällen unter (I) aus der Einleitung dieses Paragraphen. Spurtreue Mengen sind gute Buchhalter.

4.6 LEMMA. Gegeben sei eine spurtreue Menge Δ. A sei mit Δ markiert.

(a) Ist B mit Δ markiert, so ist auch A[x := B] mit Δ markiert.

(b) Falls A ⟶^{β_{1}} B, so ist B mit Δ markiert.

(c) Falls A ⟶^{β_{0}} B, so ist B mit Δ markiert.

(d) Falls A ⟶ ⟶^{β_{E}} B, so ist B mit Δ markiert.

Beweis.

(a) Induktion nach |A|

1.Fall A ≡ x

Dann ist A[x := B] ≡ B mit Δ markiert.

2.Fall A ≡ x^{1}

Dann ist Δ = Λ und nichts zu zeigen.

3.Fall A ≡ a^{i} mit x ≢ a Dann ist A[x := B] ≡ A mit Δ markiert.

4.Fall A ≡ (A_{1}A_{2})^{i} Dann sind A_{1} und A_{2} mit Δ markiert. Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir, daß A_{1}[x := B] und A_{2}[x := B] mit Δ markiert sind. Im Fall i = 0 ist dann nichts mehr zu zeigen. Falls i = 1, so ist |A_{1}| |A_{2}| ∈ Δ. Da Δ wegen (sp1) gegen Substitutionen abgeschlossen ist, liegt auch (|A_{1}| |A_{2}|)[x := |B|] ≡ |(A_{1}A_{2})[x := B]| in Δ. In jedem Fall ist (A_{1}A_{2})^{i}[x := B] ≡ (A_{1}[x := B]A_{2}[x := B])^{i} mit Δ markiert.

5.Fall A ≡ (λy.C)^{i} Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei x ∈ F V (λy.C) und y ∉ F V (B). Dann folgt x ≢ y. Gegeben sei ein z ∉ F V (λy.C[x := B]) = (F V (λy.C) − {x}) ∪ F V (B). Für eine neue Variable u ist C[x := u] nach Voraussetzung mit Δ markiert. Aus der I.V. folgt nun, daß auch C[x := u][y := z] und C[x := u][y := z][u := B] ≡ C[x := B][y := z] mit Δ markiert sind. Also ist (λy.C[x := B]) mit Δ markiert. Im Fall i = 0 ist nichts mehr zu zeigen. Falls i = 1, so benutzt man wieder die Tatsache, daß Δ gegen Substitutionen abgeschlossen ist.

(b),(c) Wir betrachten nur Konversionen A ⟶^{β_{IE}} B.

Gegeben sei eine Konversion

A ≡ ((λy.A_{0})^{i}A_{2})^{j} ⟶^{β_{i}} (A_{0}[x := A_{2}]) ∘ (i ∘ j).

Dann sind A_{0} und A_{2} mit Δ markiert. Aus (a) folgt, daß A_{0}[x := A_{2}] mit Δ markiert ist.

1.Fall i = 0 und j = 0. Dann ist nichts zu zeigen.

2.Fall i = 0 und j = 1. Dann liegt |λx.A_{0}| |A_{2}| in Δ. Da Δ gegen β-Kontraktionen abgeschlossen ist, liegt |A_{0}[x := A_{2}]| in Δ.

3.Fall i = 1 Dann liegt λx. |A_{0}| in Δ. Wegen (sp2) liegt also auch der Term |A_{0}[x := A_{2}]| in Δ.

(d) folgt aus (b) und (c). □

Wenn nur Terme der Ordnung Null markiert sind, dann können keine β_{1}-Reduktionen auftreten. Die Situation vereinfacht sich merklich.

4.7 LEMMA. Δ sei eine spurtreue Menge, welche nur Terme der Ordnung Null enthält. A sei mit Δ markiert. Aus A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B folgt dann A ⟶ ⟶^{β_{0}} B.

Beweis. Wegen 4.6 sind alle Terme der gegebenen Reduktionskette mit Δ markiert. Da in Δ keine Abstraktionen enthalten sind, kann an keiner Stelle eine β_{1}-Kontraktion durchgeführt werden. □

Im siebten Paragraphen dieser Arbeit werden Nichtstandardatome untersucht. Das sind spezielle unlösbare Terme der Ordnung Null. Dort ist Lemma 4.7 von Nutzen. Spezielle Markierungsverfahren für Terme der Ordnung Null sind schon aus der Literatur bekannt. Man beachte insbesondere 17.3.3 - 17.3.13 aus [?]. Mit dem dort underlining genannten Verfahren werden ebenfalls unlösbare Terme der Ordnung Null markiert. Beschränkt man sich auf β-Reduktionen, so kann das in diesem Abschnitt angegebene Markierungsverfahren die Methode des underlining ersetzen. Für βη-Reduktionen sei auf den letzten Abschnitt dieses Paragraphen verwiesen.

Isomorphie

Ist M unlösbar, so sind auch die Terme M[x := P] und M[x := Q] unlösbar. Gemäß Definition 5.1 sind M[x := P] und M[x := Q] kongruent. Setzt man A :≡ M[x := (P ∘ 1)] und B :≡ M[x := (Q ∘ 1)], so sind gerade die irrelevanten Anteile von A und B markiert. Die (für die Unlösbarkeit) relevanten Anteile von A und B stimmen überein. Man vergleiche auch die Diskussion unter (II) auf Seite 66. In diesem Abschnitt soll untersucht werden, was passiert, wenn auf die Gestalt der mit 1 markierten Subterme eines Terms A aus Λ^{IE} nicht geachtet wird. Das führt zum Begriff der Isomorphie von zwei einfach markierten Termen. Dieser wird nun rekursiv definiert.

4.8 DEFINITION.

(a) A ≅_{IE} B, falls val(A) = val(B) = 1.

(b) a ≅_{IE} a

(c) (A_{1}A_{2}) ≅_{IE} (B_{1}B_{2}), falls A_{1} ≅_{IE} B_{1} und A_{2} ≅_{IE} B_{2}.

(d) (λx.A) ≅_{IE} (λx.B), falls A ≅_{IE} B.

Für die Isomorphie gelten kanonische Inversionsregeln und die Substitutionsregel:

Aus A_{i} ≅_{IE} B_{i} folgt A_{1}[x := A_{2}] ≅_{IE} B_{1}[x := B_{2}].

Jetzt ist von Interesse, ob β_{IE}-Reduktionen und Isomorphie miteinander verträglich sind: Wenn A ≅_{IE} B und A ⟶^{β_{IE}} C gilt, gibt es dann einen Term D

mit C ≅_{IE} D und B ⟶^{β_{IE}} D?

Das ist im allgemeinen nicht der Fall. Es gilt (λx.x)^{1}y ≅_{IE} x^{1}y und (λx.x)^{1}y ⟶^{β_{1}} y^{1}. Aber es gibt keinen Term D mit y^{1} ≅_{IE} D und x^{1}y ⟶^{β_{IE}} D. β_{1}- Kontraktionen und Isomorphie kommutieren also nicht. Ein β_{1}-Redex kann durch Isomorphie zerstört werden. Um die Situation zu retten, wird daher eine weitere Konversion auf den einfach markierten Termen eingeführt.

4.9 DEFINITION.

(a) ϵ-Reduktionen werden durch die Konversion

((A ∘ 1)B)^{j} ⟶^{ϵ} (AB)^{1}

definiert.

(b) β_{IE}^{+} := β_{IE} ∪ ϵ.

ϵ-Reduktionen folgen der abstrakten Regel: Wenn eine Funktion markiert ist, so macht es auch Sinn, jeden einzelnen Funktionswert als markiert aufzufassen. Da die Gestalt der Funktion - der Term A in der obigen Konversion - nicht mehr in die Formulierung der Reduktion eingeht, entsprechen ϵ-Reduktionen eher der Vorgabe dieses Abschnitts, nicht auf die Gestalt der mit 1 markierten Subterme zu achten.

4.10 BEMERKUNG.

(a) β_{1}-Reduktionen sind in β_{IE}^{+} redundant.

(b) Jede β-Reduktion läßt sich zu einer β_{IE}^{+}-Reduktion liften.

Falls |A| ⟶ ⟶^{β} N, so gibt es eine β_{IE}^{+}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} B mit N ≡ |B|.

(c) Jede β_{IE}^{+}-Reduktion läßt sich projizieren.

Falls A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} B, so gilt |A| ⟶ ⟶^{β} |B|.

(d) Falls val(A) = 1 und A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} B, so ist auch val(B) = 1.

Beweis.

(a) Zu zeigen ist, daß in β_{0} ∪ ϵ eine β_{1}-Konversion durchgeführt werden kann. Gegeben sei eine β_{1}-Konversion ((λx.A)^{1}B)^{j} ⟶^{β_{1}} (A[x := B]) ∘ 1. Es gilt

\begin{aligned}((λx.A)^{1}B)^{j} & ⟶^{ϵ} & ((λx.A)B)^{1} \\ & ⟶^{β_{0}} & (A[x := B]) ∘ 1. \end{aligned}

(b) ist trivial.

(c) ϵ-Reduktion verändern das Projektum nicht.

(d) ist trivial.

□

Wegen 4.10 (a) wird von nun an β_{IE}^{+} wie β_{0} ∪ ϵ behandelt. Liegt das Paar (A, B) in der reflexiven, symmetrischen und transitiven Hülle von β_{IE}^{+} so schreiben wir zukünftig λIE^{+} ⊢ A = B. β_{IE}^{+}-Reduktionen sind mit der Isomorphie verträglich.

4.11 LEMMA. β_{IE}^{+}-Reduktionen und Isomorphie kommutieren. Es gilt sogar mehr. β_{0}- und ϵ-Reduktionen kommutieren einzeln mit der Isomorphie. γ sei β_{0} oder ϵ. Falls A ≅_{IE} C und A ⟶ ⟶^{γ} B, so gibt es einen einfach markierten Term D

mit C ⟶ ⟶^{γ} D und B ≅_{IE} D.

[figure: ≅_{IE}; ≅_{IE}; A; B; γ; C; D; γ]

Beweis. Es genügt, den Konversionsfall zu betrachten. Im Fall einer echten Kontraktion verwende man geeignete Inversionsregeln für ≅_{IE}. Falls val(A) = val(C) = 1, so gilt val(B) = 1. Man setze in dem Fall D :≡ C. Es sei also val(A) = val(C) = 0.

1.Fall β_{0}-Konversion A ≡ (λx.A_{0})A_{1} ⟶^{β_{0}} A_{0}[x := A_{1}] ≡ B

Dann ist C von der Form (λx.C_{0})C_{1} mit A_{i} ≅_{IE} C_{i}. Mit der Substitutionsregel erhält man A_{0}[x := A_{1}] ≅_{IE} C_{0}[x := C_{1}]. Man setze D :≡ C_{0}[x := C_{1}].

2.Fall ϵ-Konversion A ≡ ((A_{1} ∘ 1)A_{2}) ⟶^{ϵ} (A_{1}A_{2})^{1} ≡ B

Dann ist C von der Form C_{1}C_{2} mit val(C_{1}) = 1.

Wegen C_{1} ≡ C_{1} ∘ 1 folgt mit D ≡ (C_{1}C_{2})^{1} die Behauptung.

□

Spurtreue Mengen sind auf β_{IE}-Reduktionen zugeschnitten. Lemma 4.6 wird für β_{IE}^{+}-Reduktionen falsch. Man betrachte das einfache Beispiel der Kontraktion c^{1}Ω ⟶^{ϵ} (cΩ)^{1}. Anders als (c^{1}Ω) ist (cΩ)^{1} nicht mit Spur(c) = {c} markiert. Für β_{IE}^{+}-Reduktionen werden daher Ideale betrachtet. Das sind spurtreue Mengen I mit einer weiteren Abschlußeigenschaft.

4.12 DEFINITION. Ein Ideal ist eine Mange I von λ-Termen mit den folgenden Abschlußeigenschaften:

(id1) Wenn M in I liegt, so auch M[x := P].

(id2) Wenn λx.M in I liegt, so auch M[x := P].

(id3) I ist unter β-Kontraktionen abgeschlossen.

(id4) Wenn M in I liegt, so auch MP.

Die Bedingung (id2) ist wegen (id4) und (id3) überflüssig. Jedes Ideal ist spurtreu.

4.13 DEFINITION. I(M) bezeichne das von M erzeugte Ideal.

Beispiele

(a) I(x) = Λ

(b) I(Ω) = {ΩM_{1} … M_{l} | l ∈ IN, M_{i} ∈ Λ}

(c) I(λx.xxK) = Λ

(d) I(c) = {cM_{1} … M_{l} | l ∈ IN, M_{i} ∈ Λ}

(e) I(λx.cx) = {(λx.cx)M_{1} … M_{l} | l ∈ IN, M_{i} ∈ Λ} ∪ {cM_{0} … M_{l} | l ∈ IN, M_{i} ∈ Λ}

(f) USOL ist ein Ideal.

(g) SOL_{c} ist ein Ideal.

Damit kann nun das Äquivalent zu Lemma 4.6 bewiesen werden.

4.14 LEMMA. Gegeben sei ein Ideal I und ein mit I markierter Term

A. Falls A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} B, so ist auch B mit I markiert.

Beweis. Wegen Lemma 4.6 bleibt nur noch der Fall einer ϵ-Kontraktion zu untersuchen. Wir beschränken uns sogar auf ϵ-Konversionen. Gegeben sei eine Konversion ((A ∘ 1)B)^{j} ⟶^{ϵ} (AB)^{1}. Nach Voraussetzung sind A ∘ 1 und B, also auch A und B mit Δ markiert. Da A ∘ 1 mit I markiert ist, liegt |A| in I Wegen (id4) liegt dann auch |A| |B| in I. Das war noch zu zeigen. □

Das Generizitätslemma besagt, daß unlösbare Terme bei der Berechnung von Normalformen keinen Beitrag leisten. Sie können durch beliebige Terme ersetzt werden. Wir geben hier einen elementaren Beweis des Generizitätslemmas an. Es ist ein Spezialfall des I-Generizitätslemmas für Ideale I.

Da wir ohne Kontexte arbeiten, wird das Generizitätslemma etwas umformuliert. Zunächst müssen wir jeder Kontraktion (P, Q) ⊢ (M, N) ein Paar von markierten Termen zuordnen. In diesem Paar sind gerade die Terme makiert, über die kontrahiert wird.

4.15 DEFINITION. Gegeben sei eine Kontraktion (P, Q) ⊢ (M, N). Dazu wird rekursiv ein Paar (A, B) von markierten Termen definiert. Wir schreiben

(P, Q) ⊢ (M, N) : (A, B).

(a) Falls M ≡ P und N ≡ Q, so sei A ≡ M ∘ 1 und B ≡ N ∘ 1.

(b) Falls (P, Q) ⊢ (M_{1}, N_{1}) : (A_{1}, B_{1}), so (P, Q) ⊢ (M_{1}L, N_{1}L) : (A_{1}L, B_{1}L).

(c) Falls (P, Q) ⊢ (M_{2}, N_{2}) : (A_{2}, B_{2}), so (P, Q) ⊢ (LM_{2}, LN_{2}) : (LA_{2}, LB_{2}).

(d) Falls (P, Q) ⊢ (M, N) : (A, B), so (P, Q) ⊢ (λx.M, λx.N) : (λx.A, λx.B).

4.16 BEMERKUNG. Gegeben seien Terme P, Q, M, N, A und B mit (P, Q) ⊢ (M, N) : (A, B). Dann gilt

(i) |A| ≡ M

(ii) |B| ≡ N

(iii) A ist mit I(P) markiert.

(iv) B ist mit I(Q) markiert.

(v) A ≅_{IE} B

4.17 LEMMA. (I-Generizitätslemma) Gegeben sei eine Kontraktion (P, Q) ⊢ (M, N) und ein Ideal I mit P ∈ I. Außerdem sei eine Reduktion M ⟶ ⟶^{β} L gegeben. Falls kein Subterm von L in I auftritt, so gilt λ ⊢ M = N.

Beweis. Wir betrachten die nach 4.15 der Kontraktion zugeordneten markierten Terme A und B. Die β-Reduktion M ⟶ ⟶^{β} L kann nach 4.10 zu einer β_{IE}^{+}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} C mit |C| ≡ L geliftet werden. Aus Lemma 4.14 folgt, daß C wie A mit I markiert ist. Da aber in L keine Terme aus I als Subterme auftreten, ist C trivial markiert. Nun gilt nach Konstruktion A ≅_{IE} B. Wegen 4.11 gibt es eine Reduktion

B ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} D mit C ≅_{IE} D. C ist nur trivial markiert, somit gilt sogar C ≡ D. Mit 4.10 erhalten wir N ≡ |B| ⟶ ⟶^{β} |D| ≡ |C| ≡ L und also λ ⊢ N = L. Aus M ⟶ ⟶^{β} L folgt nun λ ⊢ M = L und λ ⊢ M = N.

[figure: A; C; β_{IE}^{+}; M; L; β; | |; | |; ≅_{IE}; ≅_{IE}; N; |D|; β; B; D; β_{IE}^{+}; | |; | |]
□

Für das klassische Generizitätslemma setze man I = USOL. Besitzt der Term M eine β-Normalform L, so hat L keine unlösbaren Subterme. Also gilt für jede Kontraktion (P, Q) ⊢ (M, N) mit unlösbarem P die Gleichung λ ⊢ M = N.

Lösbarkeit und Unlösbarkeit im markierten Kalkül

Ein markierter Term A heißt (un)lösbar, wenn seine Projektion |A| (un)lösbar ist. Dieser Begriff ist aber nicht invariant unter Isomorphie. Zum Beispiel ist Ω ∘ 1 ≅_{IE} x^{1}. Daher definieren wir starke Lösbarkeit (SSOL) und starke Unlösbarkeit (SUSOL) auf den markierten Termen. Diese Begriffe werden über Kopfnormalformen eingeführt, für eine alternative Definition beachte man Korallar 4.28.

4.18 DEFINITION.

(a) Ein markierter Term A ist in starker Kopfnormalform (A ∈ SKNF), falls A von der Form λx_{1} … x_{m}.yA_{1} … A_{l} ist.

(b) Ein markierter Term A ist in markierter Kopfnormalform (A ∈ MKNF), falls A von der Form λx_{1} … x_{m}.A_{0} … A_{l} mit val(A_{0}) = 1 ist.

Starke und markierte Kopfnormalformen sind gegen Isomorphie und β_{IE}^{+}- Reduktionen abgeschlossen.

4.19 DEFINITION. A sei ein einfach markierter Term.

(a) A ist stark lösbar (A ∈ SSOL), falls es einen Term B ∈ SKNF mit λIE ⊢ A = B gibt.

(b) A ist markiert lösbar (A ∈ MSOL), falls es einen Term B ∈ MKNF mit λIE ⊢ A = B gibt.

(c) A ist stark unlösbar (A ∈ SUSOL), falls A weder stark noch markiert lösbar ist.

4.20 LEMMA. Wenn |A| lösbar ist, so ist A entweder stark oder markiert lösbar.

Beweis. |A| besitzt ein β-Redukt N in Kopfnormalform N ≡ λx_{1} … x_{m}.yN_{1} … N_{l}. Diese Reduktion läßt sich nach 2.38 liften. Wir erhalten eine Reduktion

A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B mit |B| ≡ N.

B ist dann entweder in starker oder markierter Kopfnormalform. □

Um zu zeigen, daß die Mengen SSOL, MSOL und SUSOL gegen Isomorphie abgeschlossen sind, müssen wegen Lemma 4.11 wieder β_{IE}^{+}-Reduktionen betrachtet werden. Da über gewisse Normalformen gesprochen wird, benötigen wir die Church-Rosser-Eigenschaft von β_{IE}^{+}.

4.21 SATZ. β_{IE}^{+}-Reduktionen besitzen die Church-Rosser-Eigenschaft.

Beweis. Im wesentlichen kann hier das Tait’sche Parallelschrittverfahren angewandt werden. Man führt fünf Parallelschrittreduktionen ein:

(p0) a^{j} ≥ a^{j}

(p1) Falls A_{i} ≥ B_{i}, so (A_{1}A_{2})^{j} ≥ (B_{1}B_{2})^{j}.

(p2) Falls A ≥ B, so (λx.A)^{j} ≥ (λx.B)^{j}.

(pβ) Falls A_{i} ≥ B_{i}, so ((λx.A_{1})A_{2})^{j} ≥ (B_{1}[x := B_{2}]) ∘ j.

(pϵ) Falls A_{i} ≥ B_{i}, so ((A_{1} ∘ 1)A_{2})^{j} ≥ (B_{1}B_{2})^{1}.

Dann gilt die Substitutionsregel

(1) Aus A_{i} ≥ B_{i} folgt A_{1}[x := A_{2}] ≥ B_{1}[x := B_{2}].

Weiterhin folgt wie in [?], 3.25 (i)

(2) Wenn λx.A ≥ B, so gibt es ein C mit A ≥ C und λx.C ≡ B.

Für (pϵ) beweist man eine entsprechende Aussage

(3) Falls A ∘ 1 ≥ B, so gibt es ein C mit A ≥ C und C ∘ 1 ≡ B.

Nun reicht es, zu zeigen, daß ≥ die Diamanteigenschaft,

(4) falls A ≥ B und A ≥ C, so gibt es ein D mit B ≥ D und C ≥ D,

besitzt. Hier können die meisten Fälle aus dem Beweis für β übernommen werden. Man beachte, daß der Fall (pβ)/(pϵ) nicht auftritt. Der Fall (pϵ)/(pϵ) folgt leicht aus der Induktionsvoraussetzung. Der einzig wirklich neue Fall ist (pϵ)/(p1). Dann ist A von der Form ((A_{1} ∘ 1)A_{2})^{j}. Für B_{i} mit A_{i} ≥ B_{i} ist B von der Form (B_{1}B_{2})^{1}. Weiterhin hat C die Gestalt (C_{1}C_{2})^{j}, wobei A_{1} ∘1 ≥ C_{1} und A_{2} ≥ C_{2} gelten. Wegen (3) erhalten wir einen Term C_{3} mit C_{1} ≡ C_{3} ∘ 1 und A_{1} ≥ C_{3}. Nach Induktionsvoraussetzung existieren somit Terme D_{1} und D_{2} mit B_{1} ≥ D_{1}, C_{3} ≥ D_{1}, B_{2} ≥ D_{2} und C_{2} ≥ D_{2}. Man wähle D :≡ (D_{1}D_{2})^{1}.

[figure: ((A_{1} ∘ 1)A_{2})^{j}; (B_{1}B_{2})^{1}; ≤; (C_{3} ∘ 1)C_{2})^{j}; ≥; (D_{1}D_{2})^{1}; ≥; ≤]

Dann folgt (4) und die Behauptung. □

4.22 KOROLLAR. Zwei markierte Terme sind in λIE^{+} genau dann gleich, wenn sie ein gemeinsames β_{IE}^{+}-Redukt besitzen.

Da markierte und starke Kopfnormalformen unter β_{IE}^{+}-Reduktionen abgeschlossen sind, folgt so die Abgeschlossenheit der Mengen SSOL, MSOL und SUSOL unter Gleichheit in λIE^{+}. Eine weitere Folgerung ist, daß man sich in der Definition dieser Mengen auf β_{0}-Gleichheit beschränken kann. Um den Beweis hierfür zu erleichtern, wird zunächst ein neues technisches Hilfsmittel eingeführt. Wenn wir uns für die Gestalt von A modulo Isomorphie interessieren, kann es hilfreich sein, einen geeigneten Repräsentanten von [A]≅_{IE} zu wählen. Das geschieht, indem jeder markierte Subterm von A durch einen Term (N ∘ 1) ersetzt wird. Der Term N muß je nach Anwendung gewählt werden.

4.23 DEFINITION. A sei ein einfach markierter Term. N sei ein λ-Term. Wir definieren den markierten Term A[1 ← N] rekursiv.

(a) A[1 ← N] :≡ N ∘ 1, falls val(A) = 1.

(b) a[1 ← N] :≡ a

(c) (A_{1}A_{2})[1 ← N] :≡ (A_{1}[1 ← N]A_{2}[1 ← N])

(d) (λx.A)[1 ← N] :≡ (λx.A[1 ← N]).

Dabei ist zu beachten, daß Variablen aus N nicht unter eine Bindung substituiert werden.

4.24 BEMERKUNG.

(a) A[1 ← N] ist zu A isomorph.

(b) A[1 ← N] ist mit Spur(N) und I(N) markiert.

(c) Aus A ⟶ ⟶^{β_{0}} B folgt A[1 ← N] ⟶ ⟶^{β_{0}} B[1 ← N].

4.25 KOROLLAR. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

(a) A ist markiert lösbar.

(b) Es gibt einen Term B ∈ MKNF mit λIE^{+} ⊢ A = B.

(c) A besitzt ein β_{IE}^{+}-Redukt in markierter Kopfnormalform.

(d) A besitzt ein β_{0}-Redukt in markierter Kopfnormalform.

Beweis. (a)⇒(b) ist trivial. (b)⇒(c): Gegeben sei ein Term B in markierter Kopfnormalform mit λIE^{+} ⊢ A = B. Die Terme A und B besitzen nach 4.22 ein gemeinsames β_{IE}^{+}-Redukt C. Da die Menge der markierten Kopfnormalformen unter β_{IE}^{+}-Reduktionen abgeschlossen ist, folgt (c).

(c)⇒(d): Gegeben sei eine Reduktion A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} B mit B in markierter Kopfnormalform. Dann betrachte man für eine neue Konstante c den Term A[1 ← c]. Es gilt A ≅_{IE} A[1 ← c], also gibt es nach 4.11 eine Reduktion

A[1 ← c] ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} D mit B ≅_{IE} D. Dabei ist D wie B in markierter Kopfnormalform, besitzt also eine Gestalt D ≡ λy_{1} … y_{m}.D_{0} … D_{l} mit val(D_{0}) = 1. Durch Projektion erhält man eine Reduktion |A[1 ← c]| ⟶ ⟶^{β} |D|, und diese wiederum kann nach 4.7 und 2.38 zu einer β_{0}-Reduktion A[1 ← c] ⟶ ⟶^{β_{0}} E mit |D| ≡ |E| geliftet werden. Wegen 4.11 existiert jetzt eine β_{0}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{0}} F mit E ≅_{IE} F. Der Term D ist nach 4.14 wie A[1 ← c] mit I(c) = {cL_{1} … L_{k} | k ∈ IN, L_{i} ∈ Λ} markiert. Da val(D_{0}) = 1, ist |D_{0}| von der Form cL_{1} … L_{k}. Also besitzt |D| die Gestalt λy_{1} … y_{m}.cL_{1} … L_{k+l}, wobei für i mit 1 ≤ i ≤ l L_{k+i} ≡ |D_{i}| gilt. Der Term E ist wegen 4.6 sogar mit Spur(c) = {c} markiert, somit besitzt E die Gestalt λy_{1} … y_{m}.c^{1}E_{1} … E_{l+k}. Da E ≅_{IE} F, ist auch F in markierter Kopfnormalform. Damit ist (d) gezeigt. (d)⇒(a) ist trivial.

[figure: A[1 ← c]; D; β_{IE}^{+}; A; B; β_{IE}^{+}; ≡; ≡; |A[1 ← c]|; |D|; A[1 ← c]; D; | |; | |; A[1 ← c]; E; β_{0}; |A[1 ← c]|; |D|; β; | |; | |; ≡; ≡; A; F; β_{0}]
□

Eine ähnliche Aussage gilt für stark lösbare Terme.

4.26 KOROLLAR. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

(a) A ist stark lösbar.

(b) Es gibt einen Term B ∈ SSOL mit λIE^{+} ⊢ A = B.

(c) A besitzt ein β_{IE}^{+}-Redukt in starker Kopfnormalform.

(d) A besitzt ein β_{0}-Redukt in starker Kopfnormalform.

Beweis. Wieder ist nur die Implikation (c)⇒(d) interessant. Man verwende wieder das Diagramm aus Korollar 4.25. □

Es stellt sich somit heraus, daß β_{1} und ϵ bei der Definition der Mengen SSOL, MSOL und SSOL keine wesentliche Rolle spielen. Für die starke Lösbarkeit bzw. Unlösbarkeit ist nur das β_{0}-Reduktionsverhalten eines Termes relevant. Ein verwandtes Ergebnis findet sich in 7.13. Jetzt ist es ein Leichtes die Invarianz von SSOL, MSOL und SUSOL unter Isomorphie zu zeigen.

4.27 LEMMA. Gegeben seien zwei markierte Terme A, B mit A ≅_{IE} B.

(a) A ist genau dann stark lösbar, wenn B stark lösbar ist.

(b) A ist genau dann markiert lösbar, wenn B markiert lösbar ist.

(c) A ist genau dann stark unlösbar, wenn B stark unlösbar ist.

Beweis.

(a) folgt aus 4.11 und 4.26.

(b) folgt aus 4.11 und 4.25.

(c) folgt aus (a) und (b).

□

4.28 KOROLLAR.

(a) A ist genau dann stark lösbar, wenn alle B mit A ≅_{IE} B lösbar sind.

(b) A ist genau dann stark unlösbar, wenn alle B mit A ≅_{IE} B unlösbar sind.

Beweis.

(a) Wenn A stark lösbar ist, so sind nach 4.27 auch alle zu A isomorphen Terme stark lösbar, also auch lösbar. Wenn alle zu A isomorphen Terme B lösbar sind, so betrachtet man den Term B :≡ A[1 ← Ω]. Nach 4.20 ist B entweder stark oder markiert lösbar. Im Fall der markierten Lösbarkeit von B wäre |B| unlösbar. Das kann nicht sein. Also ist B, und damit auch A stark lösbar.

(b) Wenn A stark unlösbar ist, so sind auch alle zu A isomorphen Terme stark unlösbar, also auch unlösbar. Wenn alle zu A isomorphen Terme unlösbar sind, dann ist insbesondere der Term B :≡ A[1 ← c] unlösbar. Wir wollen nun zeigen, daß B weder stark noch markiert lösbar ist. Aus der starken Lösbarkeit von B folgt die Lösbarkeit von B, dieser Fall kann also nicht eintreten. Aus der markierten Lösbarkeit von B folgt, daß |B| Element der Menge SOL_{c} ist. Insbesondere ist B in diesem Fall lösbar. Das kann nicht sein. Somit ist B stark unlösbar. Wegen 4.27 gilt das nun auch für A.

□

Im obigen Beweis werden die Terme A[1 ← Ω] und A[1 ← c] eingesetzt, weil jeweils der Fall der markierten Lösbarkeit ausgeschlossen werden muß. Ist A markiert lösbar, so ist A[1 ← Ω] unlösbar und A[1 ← c] lösbar. Die Klauseln aus Korollar 4.28 eignen sich auch zur Definition der starken Lösbarkeit und Unlösbarkeit. Sie sind der ursprüngliche Grund für die Namensgebung. A ist stark lösbar, wenn nicht nur A, sondern auch alle zu A isomorphen Terme lösbar sind. Gleiches gilt für stark unlösbare Terme.

Wir sammeln noch einige Ergebnisse, die im sechsten Paragraphen dieser Arbeit wichtig werden.

4.29 BEMERKUNG. Wenn A markiert lösbar ist, so ist auch jeder Term AB_{1} … B_{n} markiert lösbar.

4.30 LEMMA. AB_{1} … B_{n} sei stark unlösbar. Ist dann |A| lösbar, so ist A stark lösbar.

Beweis. Nach 4.20 ist A entweder stark oder markiert lösbar. Wäre A markiert lösbar, so nach der letzten Bemerkung auch AB_{1} … B_{n}. Das widerspricht der Voraussetzung. A ist also stark lösbar. □

4.31 LEMMA. Ist M unlösbar, so ist M[x := (P ∘ 1)] stark unlösbar.

Beweis. c sei eine neue Konstante. Wegen 4.27 reicht es zu zeigen, daß A :≡ M[x := (c ∘ 1)] stark unlösbar ist. Es sei angenommen, daß A entweder stark oder markiert lösbar ist. Dann besitzt A ein β_{0}-Redukt B in starker oder markierter Kopfnormalform. Durch Projektion erhält man eine Reduktion

M[x := c] ⟶ ⟶^{β} L mit |B| ≡ L.

Durch Umbenennung der Atome (2.4) erhält man eine Reduktion

sub(M[x := c]; c; x) ≡ M ⟶ ⟶^{β} sub(L; c; x).

sub(L; c; x) ist wie L in Kopfnormalform. Da M unlösbar ist, kann das nicht sein. M[x := (P ∘ 1)] ist stark unlösbar. □

Spuren für Eta-Reduktionen

Im letzten Abschnitt dieses Paragraphen wird untersucht, in wieweit die Ergebnisse der drei vorangehenden Abschnitte auf η-Reduktionen übertragbar sind. Allerdings wird die Situation nicht in ihrer vollen Breite dargestellt; letztendlich dient dieser Abschnitt nur dazu, den Beweis von Satz 7.24 zu ermöglichen. Gegeben sei eine η-Konversion λx.Mx ⟶^{η} M. Wenn A ein markierter Term mit |A| ≡ λx.Mx ist, so hat A die Gestalt (λx.(Bx^{i})^{j})^{k} mit |B| ≡ M und i, j, k ∈ {0, 1}. Angestrebt wird wieder, daß jede η-Reduktion zu einer markierten η-Reduktion geliftet werden kann. Der Term (λx.(Bx^{i})^{j})^{k} sollte demnach ein Redex sein. Die Frage ist nun, wie das Redukt von (λx.(Bx^{i})^{j})^{k} auszusehen hat. Wenn i = 0 ist, so findet diese Frage eine befriedigende Antwort. Die äußeren Marken müssen in ihrer Reihenfolge übertragen werden, also ist B ∘ (j ∘ k) ein vernünftiges Redukt. Aber was geschieht im Fall i = 1 mit der Marke i? Unsere Lösung ist es, die Marke i - wie den Term x - fortfallen zu lassen. Die Lösung ist einigermaßen natürlich, und sie hat technische Vorteile.

4.32 DEFINITION. Markierte η-Reduktionen

(a) Sind i, j ∈ {0, 1}, so werden η_{i,j}-Reduktionen durch die Konversion

(λx.(Ax^{i})^{j})^{k} ⟶ ⟶^{η_{i,j}} A ∘ (j ∘ k) mit x ∉ F V (A)

eingeführt.

(b) η_{IE} := ⋃{η_{i,j} | i, j ∈ {0, 1}}

(c) βη_{IE} := β_{IE} ∪ η_{IE}

Es ist offensichtlich, daß das Projektum einer η_{IE}-Reduktion A ⟶ ⟶^{η_{IE}} B eine η-Reduktion |A| ⟶ ⟶^{η} |B| ist. Auch das folgende Lemma ist nach der einleitenden Diskussion klar.

4.33 LEMMA. (Lifting) Gegeben sei eine η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N und ein markierter Term A mit |A| ≡ M. Dann gibt es eine Reduktion A ⟶ ⟶^{η_{IE}} B mit |B| ≡ N.

Wir haben unter (I) auf Seite 65 untersucht, was im Verlauf einer β-Reduktion K ⟶ ⟶^{β} L mit einem Subterm M von K geschehen kann. Wir wollen diese Untersuchungen nun auf βη-Reduktionen K ⟶ ⟶^{βη} L ausweiten. Daher betrachten wir zunächst die Möglichkeiten, wie ein Subterm M von K in einer η-Kontraktion von K mitwirkt.

1.Fall M und der Redex sind disjunkt.

Dann bleibt M vollständig erhalten. Dies ist ein trivialer Fall.

2.Fall Der Redex tritt innerhalb von M auf.

Dann wird M durch eine η-Kontraktion von M ersetzt.

3.Fall M tritt echt innerhalb des Redex λx.P x auf.

3.1 M ≡ P x

Dann übernimmt P die Rolle von M.

3.2 M ≡ x

In diesem Fall bleibt keine Information von M erhalten. Daher ist dies ein trivialer Fall.

3.3 M ist ein Subterm von P.

Dann bleibt M vollständig erhalten. Dies ist deshalb ein weiterer trivialer Fall.

Die interssanten Fälle sind demnach der zweite und 3.1. Das führt zur Definition einer βη-spurtreuen Menge.

4.34 DEFINITION. Eine Menge Δ heißt βη-spurtreu, falls sie spurtreu und unter den folgenden Gesetzen abgeschlossen ist.

(η-sp1) Falls Mx ∈ Δ mit x ∉ F V (M), so ist M ∈ Δ.

(η-sp2) Mit M ist auch jedes η-Kontraktum von M in Δ.

Klausel (η-sp1) entspricht Fall 3.1 und Klausel (η-sp2) entspricht dem zweiten Fall aus den Vorüberlegungen.

4.35 DEFINITION. Spur_{η}(M) bezeichnet die von M erzeugte βη-spurtreue Menge. Diese Menge heißt βη-Spur von M.

Wie in 4.6 beweist man nun jetzt das folgende Lemma.

4.36 LEMMA. Gegeben sei eine Reduktion A ⟶ ⟶^{βη_{IE}} B. Falls A mit einer βη-spurtreuen Menge Δ markiert ist, so ist auch B mit Δ markiert.

Beweis. Man beachte, daß im Fall der η_{1,j}-Kontraktion Δ notwendig die Menge aller λ-Terme ist. Dann ist nichts zu zeigen. Im Fall der η_{0,1}-Kontrak-tion verwende man (η-sp1), und im Fall einer η_{0,0}-Kontraktion verwende man (η-sp2). □

In Lemma 4.7 haben wir gesehen, daß im Fall einer Markierung mit Termen der Ordnung Null, das Lifting einer β-Reduktion allein mit β_{0}- Reduktionen gelingt. Nun soll eine verwandte Aussage für βη formuliert werden. Die β_{0}-Reduktion ist gerade die, bei der die Marken den β-Redex nicht stören. Bei den markierten η-Reduktionen trifft das genau für die η_{0,0}- Reduktion zu. Gesucht ist jetzt ein Kriterium, wann ein Lifting nur mit η_{0,0} (und β_{0}) möglich ist. Um ein Lifting nur mit β_{0} und η_{0,0} zu konstruieren, reicht die Voraussetzung, daß der Ausgangsterm nur mit Termen der Ordnung Null markiert ist, nicht aus. Man betrachte den Fall λx.(Ωx)^{1} ⟶^{η_{0,1}} Ω ∘ 1. Es ist aber ausreichend, zu fordern, daß nur geschlossene Terme markiert sind.

4.37 LEMMA. Δ sei eine βη-spurtreue Menge, in der nur geschlossene Terme der Ordnung Null auftreten. A sei mit Δ markiert.

Falls A ⟶ ⟶^{η_{IE}} B, so gilt A ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B.

Beweis. Die Fälle η_{1,j} und η_{0,1} können nicht auftreten. In diesen Fällen treten freie Variablen unter einer Markierung auf. □

Für das obige Lemma reicht es zu fordern, daß Δ nur geschlossene Terme enthält und unter η-Reduktionen abgeschlossen ist. Da aber fast immer auch β-Reduktionen betrachtet werden, ist hier eine schwächere Formulierung gewählt worden

4.38 LEMMA. (Backward Lifting) Gegeben sei eine Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N und ein markierter Term B mit |B| ≡ N. Dann gibt es einen markierten Term A mit |A| ≡ M und A ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B.

Beweis. Im Fall der Konversion M ≡ λx.Nx ⟶^{η} N setze man A :≡ λx.Bx. □

Da in β_{0}- und η_{0,0}-Reduktionen keine Marken die Redizes stören, können Eigenschaften für β und η übertragen werden.

4.39 LEMMA. β_{0}- und η_{0,0}-Reduktionen kommutieren.

Beweis. Der Beweis von 3.3.8 aus [?] läßt sich wortwörtlich übertragen. □

Eine andere mögliche Beweismethode wäre es, eine isomorphe Einbettung von β_{0} und η_{0,0} in β bzw. η anzugeben. Dann folgt das Lemma aus der schon bewiesenen Kommutativität von β und η.

η_{IE}-Reduktionen sind im Sinne des zweiten Abschnitts nicht mit Isomorphie verträglich. Bei η_{1,j}- und η_{0,1}-Reduktionen kann durch Isomorphie die Gestalt des Redex völlig verändert werden. Aber auch bei η_{0,0}-Reduktionen gibt es Probleme. Die Variablenbedingung kann durch Isomorphie verletzt weden. Betrachtet man eine durch Variablenbedingungen eingeschränkte Isomorphie, so kann eine abgeschwächte Version der Kommutativität bewiesen werden. Wir zeigen nur einen einfachen Spezialfall.

4.40 LEMMA. Falls A ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B, so gilt für jede Konstante c A[1 ← c] ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B[1 ← c].

Beweis. Wir betrachten nur die Konversion (λx.Bx)^{k} ⟶^{η_{0,0}} B ∘ k. Falls k = 1, so ist (λx.Bx)^{k}[1 ← c] ≡ c^{k} ≡ (B ∘ k)[1 ← c].

Im Fall k = 0 gilt (λx.Bx)^{k}[1 ← c] ≡ (λx.B[1 ← c]x) ⟶^{η_{0,0}} B[1 ← c]. □

Zum Abschluß beweisen wir noch ein technisches Lemma über η_{0,0}- Reduktionen und starke Unlösbarkeit.

4.41 LEMMA. Gegeben sei eine Reduktion A ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B mit stark unlösbarem B. Dann ist auch A stark unlösbar.

Beweis. Zu zeigen ist, daß A weder stark noch markiert lösbar ist. Wenn A stark lösbar ist, dann besitzt A nach 4.26 ein β_{0}-Redukt C in starker Kopfnormalform. Da β_{0} und η_{0,0} kommutieren, gibt es einen Term D mit B ⟶ ⟶^{β_{0}} D und C ⟶ ⟶^{η_{0,0}} D. Dann ist D wie C in starker Kopfnormalform. B ist also stark lösbar. Das kann nicht sein. Ebenso beweist man mit 4.25, daß A nicht markiert lösbar sei kann. Folglich ist A stark unlösbar. □

Mit mehr Aufwand kann man zeigen, daß die Mengen SSOL, MSOL und SUSOL unter η_{0,0}-Gleichheit abgeschlossen sind. Aber das führt über die Ziele dieses Abschnittes hinaus.

5 Kongruenz

Der Leser dieses rhapsodischen Werkes hat die Hebamme schon solange verlassen, daß es hohe Zeit sein dürfte, dieselbe ihm wieder in Erinnerung zu bringen, nur um ihm zu Gemüthe zu führen , daß noch so Jemand auf der Welt ist, den ich, so weit ich meinen Plan gegenwärtig übersehe, im Begriff bin, alles Ernstes bei ihm einzuführen.

Wir kommen nun zum zentralen Begriff dieser Arbeit. Wenn ein Term M unlösbar ist, so ist auch jeder Term MP unlösbar. Wesentlich für die Unlösbarkeit von MP ist der Term M, dessen Kopfreduktionskette die von MP bestimmt. Die Unlösbarkeiten von M und MP unterscheiden sich nur um den Kongruenzfaktor P. Die Terme M und MP sind kongruent. MP heißt Streckung von M um P, und M heißt Stauchung von MP um P. Zwei unlösbare Terme sind kongruent, wenn sie durch endlich viele Streckungen, Stauchungen und Gleichheit auseinander hervorgehen.

5.1 DEFINITION. T sei eine halbsinnvolle Theorie.

(a) Die Kongruenzrelation ≈_{T} wird induktiv definiert.

(K1) Für unlösbare M, N mit T ⊢ M = N gilt M ≈_{T} N. (K2) Für unlösbare M und beliebige P gilt MP ≈_{T} M. (K3) ≈_{T} ist unter der Symmetrieregel abgeschlossen. (K4) ≈_{T} ist unter der Transitivitätsregel abgeschlossen.

(b) Für ≈_{λ} schreiben wir auch ≈.

(c) Zwei Terme M, N heißen in T kongruent, falls M ≈_{T} N.

Für unlösbare M gilt dann auch

(K5) (λx.M) ≈_{T} (λx.M)x ≈_{T} M und

(K6) M[x := P] ≈_{T} (λx.M)P ≈_{T} (λx.M) ≈_{T} M.

Kongruente Terme haben wir schon an mehreren Stellen in den vorangehenden Paragraphen kennengelernt. Man beachte 2.25, 2.28 und 4.31, aber auch in der Kontraposition von 2.20 treten kongruente Terme auf. Der Begriff soll nun eingehender untersucht werden. Wenn M und N kongruent sind, so soll das heißen, daß M und N ähnlich sind. Das kann nur dann sinnvoll sein, wenn es auch Terme gibt, die nicht ähnlich sind. Die Frage ist also, ob es verschiedene Kongruenzklassen gibt, und ob es einfache Kriterien gibt, durch die inkongruente Terme unterschieden werden können. In diesem Paragraphen wenden wir uns hauptsächlich der ersten Fragestellung zu. Wir geben einen kurzen und einen zweiten sehr ausführlichen Beweis für die Existenz verschiedener Kongruenzklassen an.

Beispiele

(a) ΩI ≈ Ω

(b) Ist M unlösbar, so sind alle Terme aus I(M) zueinander kongruent.

(c) Ω ≈_{λη} (λxλy.xxx)(λxλy.xxx)

Für die Verifikation des dritten Beispiels setze man ω_{P} :≡ λxλy.xxP. Es gilt

λ ⊢ ω_{x}ω_{x} = ω_{Kxy}ω_{Kxy} ≡ (ω_{zxy}ω_{zxy})[z := K].

(ω_{zxy}ω_{zxy}) ist unlösbar. Mit zwei Anwendungen von (K6), Symmetrie und Transitivität erhält man

(ω_{zxy}ω_{zxy})[z := K] ≈_{λ} (ω_{zxy}ω_{zxy})[z := F].

Ferner gilt

λη ⊢ (ω_{zxy}ω_{zxy})[z := F] = ω_{y}ω_{y} = Ω,

also Ω ≈_{λη} (λxλy.xxx)(λxλy.xxx).

Das dritte Beispiel ist überraschend. Es läßt ahnen, daß ≈_{λη} wesentlich unübersichtlicher als ≈_{λ} ist.

Am Anfang des letzten Paragraphen wurde der Zusammenhang zwischen Isomorphie und Kongruenz schon erwähnt. Um beweisen zu können, daß für zwei stark unlösbare Terme A, B mit A ≅_{IE} B die Kongruenz von |A| und |B| folgt, wird ein einfach markierter Term [A, B]_{M} definiert, welcher sowohl Anteile von A und B enthält und außerdem zu beiden isomorph ist. M ist dabei ein unmarkierter λ-Term, der die Kodierung von A und B steuert.

5.2 DEFINITION. Es gelte A ≅_{IE} B. M sei ein λ-Term. Der einfach markierte Term [A, B]_{M} wir rekursiv definiert.

(a) Falls val(A) = val(B) = 1, so sei [A, B]_{M} :≡ (MAB)^{1}.

(b) Falls A ≡ a ≡ B, so sei [A, B]_{M} :≡ a.

(c) Falls A ≡ A_{1}A_{2} und B ≡ B_{1}B_{2} mit A_{i} ≅_{IE} B_{i}, so sei [A, B]_{M} :≡ ([A_{1}, B_{1}]_{M}[A_{2}, B_{2}]_{M}).

(d) Falls A ≡ λx.A_{0} und B ≡ λx.B_{0} mit A_{0} ≅_{IE} B_{0}, so sei [A, B]_{M} :≡ λx.[A_{0}, B_{0}]_{M}.

Dabei ist zu beachten, daß keine freie Variable aus M unter eine Bindung geraten darf.

5.3 BEMERKUNG. A ≅_{IE} B

(a) A ≅_{IE} [A, B]_{M} ≅_{IE} B

(b) ([A, B]_{M})[y := N] ≡ [A[y := N], B[y := N]]_{M[y:=N]}

(c) λIE ⊢ [A, B]K = A

(d) λIE ⊢ [A, B]F = B

Für neue Variablen x ist ⊲ A, B ⊳:≡ λx.[A, B]_{x} wegen (c) und (d) ein spezielles Paar von A und B. A und B können aus ⊲ A, B ⊳ herausgelesen werden. 5.4 LEMMA. A und B seien stark unlösbar. Aus A ≅_{IE} B folgt |A| ≈ |B|. Beweis. x sei eine neue Variable. Wegen 5.3 (a) und 4.28 sind |[A, B]_{x}| und λx. |[A, B]_{x}| unlösbar. Dann gilt

λ ⊢ |A| = |[A, B]K|
= (λx. |[A, B]_{x}|)K
mit (K2) ≈ (λx. |[A, B]_{x}|)
mit (K2) ≈ (λx. |[A, B]_{x}|)F
= |[A, B]F|
= |B| . □

Im Verlauf dieser Arbeit werden wir uns hauptsächlich für ≈ und ≈_{λη} interessieren. Wir kommen nun zum ersten Beweis, daß verschiedene Kongruenzklassen in ≈ und ≈_{λη} existieren.

5.5 LEMMA. Terme mit unendlicher Ordnung sind unter λ- und λη-Kongruenz abgeschlossen. Insbesondere sind Ω und K^{∞} inkongruent.

Beweis. Terme mit unendlicher Ordnung sind per definitionem gegen λ-Gleichheit abgeschlossen. Nach Satz 3.50 sind sie auch gegen λη-Gleichheit abgeschlossen. Daher muß nur noch überprüft werden, ob ein unlösbarer Term M genau dann unendliche Ordnung hat, wenn MP unendliche Ordnung hat. Sei zunächst O(M) = ∞ und eine natürliche Zahl n vorgeben. Dann gibt es eine Reduktion M ⟶ ⟶^{β} N mit abs(N) ≥ n + 1. Für einen Term K gilt dann N ≡ λy.λx_{1} … x_{n}.K. Der Term MP besitzt folglich das β-Redukt λx_{1} … x_{n}.K[y := P] mit abs(λx_{1} … x_{n}.K[y := P]) ≥ n. Also hat MP auch unendliche Ordnung. Gelte nun O(MP) = ∞, und sei ein n vorgegeben. Dann besitzt MP ein β-Redukt L mit abs(L) ≥ n. Da M unlösbar ist, gibt es hier nach 2.25 zwei Möglichkeiten.

1.Fall L ≡ NQ mit M ⟶ ⟶^{β} N.

In dem Fall ist n = 0 und abs(N) ≥ n.

2.Fall L ist inneres Redukt von M_{0}[x := P] mit M ⟶ ⟶^{hβ} λx.M_{0}.

Dann ist abs(λx.M_{0}) > abs(M_{0}) = abs(M_{0}[x := P]) = abs(L) ≥ n. Man beachte bei der Gleichungskette, daß M_{0} wie M unlösbar ist, und somit abs(M_{0}[x := P]) = abs(M_{0}) gilt.

In jedem Fall besitzt M ein β-Redukt N mit abs(N) ≥ n. M hat demnach unendliche Ordnung. □

Das Ergebnis ist nicht verwunderlich. Jetzt ist zwar bewiesen, daß es mindestens zwei verschiedene Kongruenzklassen gibt, aber über die genaue Struktur von ≈ und ≈_{λη} ist noch nicht viel bekannt. In den Anwendungen im letzten Paragraphen werden unendlich viele inkongruente Terme der Ordnung Null benötigt. Nicht nur deswegen soll nun die Struktur von ≈ und ≈_{λη} genauestens untersucht werden. Dazu werden Transformationen τ_{0}, …, τ_{5} angegeben, deren transitive Hülle die Relation ≈_{λη} erzeugt. Liest man die Klauseln (K2), (K5) und (K6) in der Richtung von links nach rechts, so ergeben sich Regeln zur Verkürzung und Vereinfachung eines unlösbaren Terms. Drei der sechs Transformationen folgen diesen Vereinfachungsregeln. Hinzu kommen Transformationen für β- und η-Kontraktion. Eine sechste Transformation wird notwendig, wenn die Konfluenz der transitiven Hülle der Transformationen bewiesen werden soll. Ohne Konfluenz aber wären die Transformationen wertlos. Da die Transformationen entweder eine βη-Kontraktion oder eine Vereinfachung beschreiben, bedeutet die Konfluenz, daß zwei kongruente Terme eine gemeinsame Vereinfachung besitzen. Besser noch, zwei unlösbare Terme sind genau dann kongruent, wenn sie eine gemeinsame Vereinfachung besitzen. Mit diesem Hilfsmittel gewinnt man mehr Übersicht bezüglich Kongruenz und Inkongruenz. Die gerichteten Klauseln (K2),(K5) und (K6) werden nicht wortwörtlich übernommen. Zur Vereinfachung fixieren wir für den Rest dieses Paragraphen eine Konstante c. Diese Konstante soll Subterme von unlösbaren Termen markieren, die für die Unlösbarkeit nicht relevant sind. Der Markierungsprozess wird durch die Reduktion ι_{c} modelliert. Um möglichst allgemein zu bleiben, wird die Reduktion für beliebige Konstanten d definiert.

5.6 DEFINITION. d sei eine Konstante. ι_{d}-Reduktionen werden durch die folgende Konversion definiert:

P ⟶^{ι_{d}} d ,für beliebiges P.

Von wirklichem Interesse sind nur ι_{c}-Reduktionen, deren Redukt unlösbar ist. Diese ähneln der Regel

(K6) : M[x := P] ≈_{T} M.

Ist λx.Mc Subterm eines unlösbaren Terms U, so kann U durch eine ι_{c}- Kontraktion aus einem Term V mit (λx.Mx, λx.Mc) ⊢ (V, U) entstanden sein. Ein η-Redex wurde zerstört. Dies soll durch die Einführung einer zusätzlichen Regel korrigiert werden.

5.7 DEFINITION. d sei eine Konstante. η_{d}-Reduktionen sind durch die Konversion

λx.Md ⟶^{η_{d}} M für M mit x ∉ F V (M)

definiert.

Wie im Fall der ι_{c}-Reduktionen kann eine η_{c}-Reduktion nur interessant sein, wenn die Konstante c in einem unlösbaren Umfeld auftritt. Wir sind jetzt in der Lage, die Transformationen τ_{0}, …, τ_{5} anzugeben.

5.8 DEFINITION.

(a) M ⟶^{τ_{0}} N, wenn M und N unlösbar sind und N ein β-Kontraktum von M ist.

(b) M ⟶^{τ_{1}} N, wenn M und N unlösbar sind und N ein ι_{c}-Kontraktum von M ist.

(c) M ⟶^{τ_{2}} N, wenn M und N unlösbar sind und N ein η-Kontraktum von M ist.

(d) M ⟶^{τ_{3}} N, wenn M und N unlösbar sind und N ein η_{c}-Kontraktum von M ist.

(e) λx.M ⟶^{τ_{4}} M, wenn M unlösbar ist und x nicht in M auftritt.

(f) Mc ⟶^{τ_{5}} M wenn M unlösbar ist.

Die Transformation τ_{1} entspricht der Klausel (K6), die Transformationen τ_{4} und τ_{5} sind sehr spezielle Fälle der gerichteten Klauseln (K5) und (K2). Daher mag es zuerst verwundern, daß diese Transformationen die Kongruenz erzeugen sollen. In der Gegenwart von τ_{1} ist das aber kein Problem. Die Einschränkung bei τ_{4} und τ_{5} macht den Umgang mit den Transformationen leichter. Die Konstante c, die für diesen Paragraphen fixiert wurde, dient als Atom, das nicht unter eine Bindung geraten kann. Man vergleiche auch die Diskussion nach Definition 2.1. Es ist auch möglich, bei den obigen Transformationen beliebige Konstanten zuzulassen. Die Beweise werden dann etwas länger. Es ist auch möglich, ganz auf Konstanten zu verzichten. Dann können Variablen deren Platz einnehmen; in diesem Fall muß die Sorgfalt und die Buchführung wesentlich verschärft werden. Ferner besteht noch die Möglichkeit, die Transformation τ_{1} symmetrisch zu formulieren. Zum Beispiel kann M ⟶^{τ_{1}} N gesetzt werden, falls M ≡ |A| und N ≡ |B| für zwei stark unlösbare Terme A und B mit A ≅_{IE} B gilt. Das führt aber zu Informationsverlusten gegenüber der in 5.8(b) formulierten Version.

5.9 DEFINITION.

(a) σ_{i} bezeichne den reflexiven Abschluß von τ_{i} und ρ_{i} bezeichne den transitiven Abschluß von σ_{i}.

(b) Für ξ ∈ {τ, σ, ρ} sei ξ_{j}^{i} := ξ_{i} ∪ … ∪ ξ_{j} und ξ_{i_{1},...,i_{n}} = ξ_{i_{1}} ∪ … ∪ ξ_{i_{n}}.

(c) Für ξ ∈ {τ, σ, ρ} sei ξ := ξ_{5}^{0} und ξ^{−} := ξ_{0,1,4,5}.

(d) =_{ρ^{−}} bezeichne den reflexiven, symmetrischen und transitiven Abschluß von σ^{−}.

(e) =_{ρ} bezeichne den reflexiven, symmetrischen und transitiven Abschluß von σ.

Die weiteren Ziele dieses Paragraphen sind:

(I) Für unlösbare M und N sind M =_{ρ} N und M ≈_{λη} N äquivalent.

(II) ρ ist konfluent.

Für ≈ und ρ^{−} gilt ein ähnliches Resultat. Wir werden uns aber hauptsächlich auf ≈_{λη} und ρ konzentrieren. Wir wenden uns nun der Aussage (I) zu. Um zeigen zu können, daß die Transformation τ_{1} nicht aus einer Kongruenzklasse hinausführt, werden zunächst wieder einfach markierte Terme betrachtet.

5.10 LEMMA. A sei aus Λ^{IE} und mit SOL_{c} markiert. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(i) A ist stark unlösbar.

(ii) |A| ist unlösbar.

Beweis. Für jeden stark unlösbaren Term A ist die Projektion |A| unlösbar. Sei also |A| unlösbar. Wir müssen zeigen, daß A weder stark noch markiert lösbar ist.

1. A ist stark lösbar.

Dann ist |A| lösbar. Das widerspricht der Voraussetzung.

2. A ist markiert lösbar.

Dann gibt es eine Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B ≡ λx_{1} … x_{m}.B_{0} … B_{l} mit val(B_{0}) =

1. Wegen 4.6 liegt |B_{0}| in SOL_{c}, und damit sind auch |B| und |A| in SOL_{c}. Das kann nicht sein.

B ist stark unlösbar. □

5.11 KOROLLAR. Aus M ⟶^{τ_{1}} N folgt M ≈ N.

Beweis. Wegen M ⟶^{τ_{1}} N gibt es eine Kontraktion (P, c) ⊢ (M, N). A und B seien die in 4.15 der Kontraktion zugeordneten markierten Terme. B ist mit SOL_{c} markiert. Da N nach Voraussetzung unlösbar ist, ist nach 5.10 der Term B stark unlösbar. Wegen A ≅_{IE} B folgt die Behauptung nun aus 4.27.

□

η_{c}-Kontraktionen können in einen ι_{c}- und einen η-Anteil aufgespalten werden.

5.12 LEMMA. Gegeben sei eine η_{c}-Kontraktion M ⟶^{ηc} N. Dann gibt es einen Term L mit L ⟶^{ιc} M und L ⟶^{η} N.

Beweis. Durch Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{ηc} N. Wir betrachten nur den Konversionsfall M ≡ λx.Nc für x ∉ F V (N). Dann sei L ≡ λx.Nx.

□

5.13 KOROLLAR. Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{τ_{3}} N. Dann gibt es einen Term L mit L ⟶^{τ_{1}} M und L ⟶^{η} N.

[figure: M; N; τ_{3}; L; τ_{1}; η]

.

5.14 SATZ. M und N seien unlösbar.

(a) M und N sind genau dann in λ kongruent, wenn sie ρ^{−}-gleich sind.

(b) M und N sind genau dann in λη kongruent, wenn sie ρ-gleich sind.

Beweis. Seien zuerst M und N in λ(η) kongruent. Durch Induktion nach der Definition der Kongruenz wird gezeigt, daß M und N ρ- bzw. ρ^{−}-gleich sind. Dabei ist nur (K2) von Interesse. Gegeben sei ein unlösbarer Term M mit MP ≈_{λ(η)} M. Dann gilt

MP ⟶^{τ_{1}} Mc ⟶^{τ_{5}} M.

Nun gelte M =_{ρ^{−}} N. Da die Kongruenz unter Symmetrie und Transitivität abgeschlossen ist, reicht es zu zeigen, daß die Kongruenz unter den Transformationen τ_{0}, …, τ_{5} abgeschlossen ist. τ_{0} und τ_{2} sind unproblematisch, τ_{4} entspricht (K5) und τ_{5} entspricht (K2).

Für M ⟶^{τ_{1}} N haben wir schon in 5.11 eingesehen, daß M und N kongruent sind. Für M ⟶^{τ_{3}} N gibt es nach 5.13 einen Term L mit

[figure: M; N; τ_{3}; L; τ_{1}; η]

.

Dann gilt M ≈ L ≈_{λη} N. □

Jetzt bleibt noch die Konfluenz von ρ und ρ^{−} zu zeigen. Wie schon bemerkt werden wir uns hauptsächlich auf ρ konzentrieren. Der Beweis zerfällt in drei Teile. Der Reihe nach wird die Konfluenz von ρ_{1}^{0}, ρ_{3}^{0} und ρ_{5}^{0} verifiziert. Das geschieht jeweils in den drei folgenden Abschnitten. Zuerst jedoch untersuchen wir noch einmal ι_{c}-Reduktionen. Wie schon angemerkt sind ι_{c}-Reduktionen M ⟶ ⟶^{ιc} N mit beliebigem Redukt N nicht besonders sinnvoll. Die von ι_{c} erzeugte Gleichheit ist inkonsistent. Von Interesse ist es aber, Kriterien dafür aufzustellen, wann eine ι_{c}-Kontraktion eine τ_{1}-Transformation ist.

5.15 LEMMA. Gegeben sei eine Kontraktion M ⟶^{ιc} N. Dann sind äquivalent:

(a) N ist unlösbar.

(b) M und N sind unlösbar.

(c) M ⟶^{τ_{1}} N.

Beweis. Nur (a)⇒(b) ist zu zeigen. Wie im Beweis von 5.11 betrachte man die der Kontraktion (P, c) ⊢ (M, N) zugeordneten einfach markierten Terme A und B. N ist unlösbar, also ist B nach 5.10 stark unlösbar. Dann ist auch A stark unlösbar und M ≡ |A| unlösbar. □

Wenn wir beweisen wollen, daß M ⟶^{ιc} N eine τ_{1}-Transformation ist, so werden wir fast immer immer auf dieses Lemma zurückgreifen. Die in den nächsten Abschnitten gegebenen Konfluenzbeweise werden häufig nach dem folgenden Schema ablaufen:

• Beweise gewünschte Kommutativität für eine Version, in der anstatt τ_{1} nur eine ι_{c}-Kontraktion betrachtet wird. Dies geschieht ohne Nebenbedingungen über Unlösbarkeit; denn die Unlösbarkeit eignet sich nicht für eine Induktion nach dem Termaufbau (Kontraktion). Subterme von unlösbaren Termen sind nicht generell wieder unlösbar.

• Überprüfe, daß aus der Unlösbarkeit der Ausgangsterme auch die Unlösbarkeit der gefundenen Terme folgt. Lemma 5.15 macht diese Arbeitsweise möglich. Für τ_{3}-Kontraktionen ist eine ähnliche Vorgehensweise möglich. Man beachte Korollar 5.20.

5.16 KOROLLAR. Gegeben sei eine Reduktion M ⟶ ⟶^{ιc} N. Dann sind äquivalent:

(a) N ist unlösbar.

(b) M und N sind unlösbar.

(c) M ⟶^{ρ_{1}} N.

Wir haben nun gesehen, daß ι_{c}-Reduktionen niemals Unlösbarkeiten aus Lösbarkeiten erzeugen. Der Term wird durch ι_{c} einfacher. Es ist aber möglich, daß wir durch eine ι_{c}-Kontraktion eine Unlösbarkeit zerstören.

5.17 LEMMA. Gegeben sei eine Kontraktion M ⟶^{ιc} N. Falls N lösbar und M unlösbar ist, so ist N schon in SOL_{c}.

Beweis. (A, B) sei das der Kontraktion zugeordnete markierte Paar. Dann ist B mit SOL_{c} markiert. |B| ≡ N ist lösbar, also ist B entweder stark oder markiert lösbar. Wäre B stark lösbar, so auch A ≅_{IE} B. Da |A| ≡ M unlösbar ist, kann das nicht sein. B ist demnach markiert lösbar. Da B mit SOL_{c} markiert ist, liegt |B| in SOL_{c}. □

Die Frage, wann eine ι_{c}-Kontraktion eine τ_{1}-Transformation ist, läßt sich leichter beantworten, wenn bei der ι_{c}-Konversion P ⟶^{ιc} c nur bestimmte Terme P zugelassen werden. Wir betrachten den Fall, wenn P in SOL_{c} liegt.

5.18 DEFINITION. si_{c}-Reduktionen werden durch die Konversion

P ⟶^{sic} c für P ∈ SOL_{c}

definiert.

Um zu zeigen, daß si_{c}-Reduktionen nicht aus unlösbaren Termen hinausführen, wird auf einfach markierte Terme zurückgegriffen.

5.19 LEMMA. si_{c}-Reduktionen führen nicht aus den unlösbaren Termen hinaus. Insbesondere ist M ⟶^{sic} N genau dann eine Transformation τ_{1}, wenn M unlösbar ist.

Beweis. Wir beschränken uns auf Kontraktionen. Gegeben sei eine Kontraktion (P, c) ⊢ (M, N) mit P ∈ SOL_{c}. Wir betrachten nun das der Kontraktion zugeordnete markierte Paar (A, B). Dann sind A und B mit SOL_{c} markiert und A ≅_{IE} B. Nach Voraussetzung ist |A| ≡ M unlösbar. Aus Lemma 5.10 folgt, daß A stark unlösbar ist. Somit ist auch B stark unlösbar, und |B| ≡ N ist unlösbar. □

Mit Hilfe von 5.12 und 5.15 ist es auch möglich, für η_{c}-Kontraktionen ein Kriterium zu entwickeln, wann diese τ_{3}-Transformationen sind.

5.20 KOROLLAR. Gegeben sei eine η_{c}-Kontraktion M ⟶^{ηc} N. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) M ist unlösbar.

(b) M und N sind unlösbar.

(c) M ⟶^{τ_{3}} N

Beweis. Es ist nur (a)⇒(b) zu zeigen. Gegeben sei eine η_{c}-Kontraktion M ⟶^{ηc} N. Nach Lemma 5.12 gibt es einen Term L mit L ⟶^{ιc} M und L ⟶^{η} N. Wegen 5.15 ist L unlösbar. Also ist auch N unlösbar. □

5.21 KOROLLAR. Gegeben sei eine η_{c}-Reduktion M ⟶ ⟶^{ηc} N. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) M ist unlösbar.

(b) M und N sind unlösbar.

(c) M ⟶^{ρ_{3}} N

Man beachte wieder die Diskussion unter 5.15.

Konfluenz von ρ_{1}^{0}

Dieser Abschnitt zerfällt in drei Hauptteile:

• σ_{1} ist konfluent.

• Postponement von ρ_{1} bezüglich ρ_{0}.

• Kommutative Eigenschaften von ρ_{0} und ρ_{1}.

Für die Konfluenz von σ_{1} und ρ_{1} ist es günstig, die Konstante c durch geeignete andere Konstanten zu ersetzen. Dann kann besser unterschieden werden, welches Auftreten einer Konstante von welcher Transformation stammt.

5.22 LEMMA. Gegeben sei eine Konstante d ∈ {d_{1}, …, d_{n}} und eine Kontraktion M ⟶^{ι_{d}} N. Dann gilt

sub(M; d_{1}, …, d_{n}; c) ⟶^{ιc} sub(N; d_{1}, …, d_{n}; c).

In Diagrammschreibweise erhält man:

[figure: sub(M; d⃗; c); sub(N; d⃗; c); ι_{c}; M; N; ι_{d}; sub(.; d⃗; c); sub(.; d⃗; c)]

Beweis. Durch Induktion nach der gegebenen Kontraktion. Wir betrachten nur den Konversionsfall N ≡ d. Dann ist

sub(M; d_{1}, …, d_{n}; c) ⟶^{ιc} sub(d; d_{1}, …, d_{n}; c) ≡ c

eine ι_{c}-Konversion. □

5.23 LEMMA. Gegeben seien Konstanten {d_{1}, …, d_{n}} und eine Kontraktion M ⟶^{ιc} N. Falls die Konstanten {d_{1}, …, d_{n}} in M nicht auftreten, so gibt es zu jedem d aus {d_{1}, …, d_{n}} einen Term L mit M ⟶^{ι_{d}} L und sub(L; d_{1}, …, d_{n}; c) ≡ N.

[figure: L; N; sub(.; d⃗; c); ι_{c}; M; ι_{d}]

Beweis. Durch Induktion nach der gegebenen Kontraktion.

1.Fall N ≡ c

Dann sei L :≡ d.

2.Fall N ≡ N_{1}M_{2}, M ≡ M_{1}M_{2} und M_{1} ⟶^{ιc} N_{1}.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term L_{1} mit M_{1} ⟶^{ι_{d}} L_{1} und sub(L_{1}; d_{1}, …, d_{n}; c) ≡ N_{1}. In dem Fall sei L :≡ L_{1}M_{2}. Da die Konstanten {d_{1}, …, d_{n}} nicht in M_{2} auftreten, gilt nun auch sub(M_{2}; d_{1}, …, d_{n}; c) ≡ M_{2} und sub(L; d_{1}, …, d_{n}; c) ≡ N.

Die zwei verbleibenden Kontraktionsfälle werden ähnlich bewiesen.

□

5.24 LEMMA. Gegeben seien zwei verschiedene Konstanten e und d und zwei Kontraktionen M ⟶^{ι_{d}} N und M ⟶^{ιe} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: M; N; ι_{d}; K; ι_{e}; L; ι_{e}; ι_{d}]

Beweis. Durch Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{ι_{d}} N.

1.Fall N ≡ d Dann sei L :≡ d.

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ N_{1}M_{2} und M_{1} ⟶^{ι_{d}} N_{1}.

Wir betrachten nun die möglichen Fälle der Kontraktion M ⟶^{ιe} K.

2.1 K ≡ e Dann sei L :≡ e.

2.2 K ≡ K_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{ιe} K_{1}.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es in diesem Fall einen Term L_{1} so, daß

[figure: M_{1}; N_{1}; ι_{d}; K_{1}; ι_{e}; L_{1}; ι_{e}; ι_{d}]

kommutiert. Dann sei L :≡ L_{1}M_{2}.

2.3 K ≡ M_{1}K_{2} mit M_{2} ⟶^{ιe} K_{2}.

Dann sei L ≡ N_{1}K_{2}.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{ι_{d}} N_{2}.

Dies wird wie im zweiten Fall bewiesen.

4.Fall M ≡ λx.M_{0} und N ≡ λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{ι_{d}} N_{0}.

Wir betrachten die möglichen Fälle der Kontraktion M ⟶^{ιe} K.

4.1 K ≡ e Dann sei L ≡ e.

4.2 K ≡ λx.K_{0} mit M_{0} ⟶^{ιe} K_{0}.

Hier greift die Induktionsvoraussetzung.

□

5.25 KOROLLAR. σ_{1} ist konfluent.

Beweis. Gegeben seien Kontraktionen M ⟶^{ιc} N und M ⟶^{ιc} K mit unlösbaren N und K. e und d seien zwei für diese Terme neue Konstanten. Nach 5.23 gibt es Terme N′ und K′ mit

• M ⟶^{ι_{d}} N′ und

• sub(N′; d, e; c) ≡ N und

• M ⟶^{ιe} K′ und

• sub(K′; d, e; c) ≡ K.

Mit 5.24 gibt es einen Term L′, so daß

[figure: M; N′; ι_{d}; K′; ι_{e}; L′; ι_{e}; ι_{d}]

kommutiert. Aus 5.22 folgt nunmehr N ⟶^{ιc} sub(L′; d, e; c) und K ⟶^{ιc} sub(L′; d, e; c). Für L ≡ sub(L′; d, e; c) und γ ≡ sub(.; d, e; c) kommutiert jetzt das folgende Diagramm:

[figure: M; N′; ι_{d}; K′; ι_{e}; L′; ι_{e}; ι_{d}; N; ι_{c}; K; ι_{c}; L; ι_{c}; ι_{c}; γ; γ; γ]

Es ist noch zu zeigen, daß L unlösbar ist. Sei also die Lösbarkeit von L angenommen. Dann ist auch L′ lösbar. N′ ist wie N unlösbar. Aus 5.17 folgt somit L′ ∈ SOL_{e}. Ebenso folgt L′ ∈ SOL_{d}. Da SOL_{d} ∩ SOL_{e} leer ist, kann das nicht sein. L ist unlösbar. □

Hier endet der erste Teil dieses Abschnitts. Bisher wurden nur τ_{1}-Transforma-tionen betrachtet. Für ρ_{1}^{0} müssen nun noch β-Reduktionen hinzugenommen werden. Wenn das Ergebnis N einer τ_{1}-Transformation M ⟶^{τ_{1}} N einen β-Redex enthält, so findet sich dieser Redex - eventuell in veränderter Form - auch im Term M. Daher kann β bzw. τ_{0} vor τ_{1} ausgeführt werden. ρ_{1} kann bezüglich ρ_{0} nach hinten verlagert werden. Wir kommen zum formalen Beweis.

5.26 LEMMA. Gegeben seien Kontraktionen M ⟶^{ιc} N und N ⟶^{β} L. Dann gibt es einen

Term K mit M ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{ιc} L.

[figure: K; L; ι_{c}; M; N; ι_{c}; β; β]

Beweis. Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{ιc} N.

1.Fall N ≡ c Dieser Fall tritt nicht auf.

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ N_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{ιc} N_{1}.

In diesem Fall gibt es drei Möglichkeiten für die β-Kontraktion.

2.1 N_{1} ≡ (λx.N_{0}) und L ≡ N_{0}[x := M_{2}]. Dann ist M_{1} von der Form λx.M_{0} mit M_{0} ⟶^{ιc} N_{0} und für K :≡ M_{0}[x := M_{2}] folgt die Behauptung.

2.2 L ≡ L_{1}M_{2} mit N_{1} ⟶^{β} L_{1}.

Die Induktionsvoraussetzung, auf M_{1} ⟶^{ιc} N_{1} ⟶^{β} L_{1} angewandt, liefert einen Term K_{1} mit M_{1} ⟶^{β} K_{1} ⟶^{ιc} L_{1}. Für K ≡ K_{1}M_{2} folgt die Behauptung.

2.3 L ≡ N_{1}L_{2} mit M_{2} ⟶^{β} L_{2}.

Dann sei K :≡ M_{1}L_{2}.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{ιc} N_{2}.

Wir betrachten wieder drei Möglichkeiten der β-Kontraktion.

3.1 M_{1} ≡ λx.M_{0} und L ≡ M_{0}[x := N_{2}]. Für K :≡ M_{0}[x := M_{2}] folgt die Behauptung. Man beachte, daß dies der Fall ist, welcher eine Vervielfältigung der ι_{c}-Kontraktion ermöglichen kann.

3.2 L ≡ L_{1}N_{2} mit M_{1} ⟶^{β} L_{1}.

Dann sei K :≡ L_{1}M_{2}.

3.3 L ≡ M_{1}L_{2} mit N_{2} ⟶^{β} L_{2}.

Dieser Fall entspricht dem Fall 2.2.

4.Fall M ≡ λx.M_{0} und N ≡ λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{ιc} N_{0}.

Dann ist L von der Form λx.L_{0} mit N_{0} ⟶^{β} L_{0}. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term K_{0} mit M_{0} ⟶^{β} K_{0} ⟶^{ιc} L_{0}. Dann sei K ≡ λx.K_{0}.

□

5.27 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{τ_{1}} N und N ⟶^{τ_{0}} L. Dann gibt es einen Term K mit M ⟶^{τ_{0}} K und K ⟶^{ρ_{1}} L.

[figure: K; L; ρ_{1}; M; N; τ_{1}; τ_{0}; τ_{0}]

Beweis. M, N und L sind nach Voraussetzung unlösbar. Das letzte Lemma liefert einen Term K mit M ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{ιc} L. Dann ist auch K unlösbar. Da nach 5.16 ι_{c}-Reduktionen mit unlösbarem Redukt schon ρ_{1} Transformationen sind, folgt die Behauptung. □

5.28 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ_{1}} N und N ⟶^{τ_{0}} L. Dann gibt es einen Term K mit M ⟶^{τ_{0}} K und K ⟶^{ρ_{1}} L.

[figure: K; L; ρ_{1}; M; N; ρ_{1}; τ_{0}; τ_{0}]

5.29 KOROLLAR. Postponement von ρ_{1} bezüglich ρ_{0}. Falls M ⟶^{ρ^{0}_{1}} N, so gibt es einen Term K mit M ⟶^{ρ_{0}} K und K ⟶^{ρ_{1}} N.

[figure: M; N; ρ_{1}^{0}; K; ρ_{0}; ρ_{1}]

Beweis. Induktion nach der Länge der τ_{1}^{0}-Kette. Falls M ≡ N, so ist nichts zu zeigen. Gegeben seien also Transformationen M ⟶^{ρ^{0}_{1}} N′ ⟶^{τ^{0}_{1}} N. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term K′ mit M ⟶^{ρ_{0}} K′ und K′ ⟶^{ρ_{1}} N′.

1.Fall N′ ⟶^{τ_{0}} N

Dann gibt es nach 5.28 einen Term K mit K′ ⟶^{τ_{0}} K und K ⟶^{ρ_{1}} N.

[figure: M; N′; ρ_{1}^{0}; N′; N; τ_{0}; K′; ρ_{0}; ρ_{1}; K; τ_{0}; ρ_{1}]

2.Fall N′ ⟶^{τ_{1}} N

Dann folgt die Behauptung mit K ≡ K′.

□

Damit sind zwei Bausteine für die Konfluenz von ρ_{1}^{0} bewiesen. Der wichtigste Teil folgt nun. Hier wird untersucht, inwieweit β und ι_{c} bzw. τ_{0} und τ_{1} kommutieren.

5.30 LEMMA. Gegeben seien Kontraktionen M ⟶^{β} N und M ⟶^{ιc} K. γ bezeichne den reflexiven Abschluß von β ∪ si_{c}. Dann gibt es einen Term L, so daß das nachstehende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; β; K; ι_{c}; L; ι_{c}; γ]

Beweis. Durch Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{ιc} K. 1.Fall K ≡ c Dann sei L :≡ c.

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und K ≡ K_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{ιc} K_{1}.

Wir betrachten die drei Möglichkeiten für die β-Kontraktion.

2.1 M_{1} ≡ λx.M_{0} und N ≡ M_{0}[x := M_{2}].

2.1.1 K_{1} ≡ c

Dann ist K ≡ cM_{2}, also K ⟶^{sic} c. Mit L :≡ c folgt die Behauptung.

2.1.2 K_{1} ≡ λx.K_{0} mit M_{0} ⟶^{ιc} K_{0}.

Dann sei L :≡ K_{0}[x := M_{2}].

2.2 N ≡ N_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{β} N_{1}.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term L_{1}, so daß

[figure: M_{1}; N_{1}; β; K_{1}; ι_{c}; L_{1}; ι_{c}; γ]

kommutiert. Dann sei L :≡ L_{1}M_{2}.

2.3 N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{β} N_{2}.

Dann sei L :≡ K_{1}N_{2}.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und K ≡ M_{1}K_{2} mit M_{2} ⟶^{ιc} K_{2}.

Wir betrachten drei Möglichkeiten für die β-Kontraktion.

3.1 M_{1} ≡ λx.M_{0} und N ≡ M_{0}[x := M_{2}]. Dann sei L :≡ M_{0}[x := K_{2}].

3.2 N ≡ N_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{β} N_{1}.

Dann sei L :≡ N_{1}K_{2}.

3.3 N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{β} N_{2}.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term L_{2}, so daß

[figure: M_{2}; N_{2}; β; K_{2}; ι_{c}; L_{2}; ι_{c}; γ]

kommutiert. Dann sei L :≡ M_{1}L_{2}.

4.Fall M ≡ λx.M_{0} und K ≡ λx.K_{0} mit M_{0} ⟶^{ιc} K_{0}.

Dann ist N von der Form λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{β} N_{0}. Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Term L_{0}, so daß

[figure: M_{0}; N_{0}; β; K_{0}; ι_{c}; L_{1}; ι_{c}; γ]

kommutiert. Dann sei L :≡ λx.L_{0}.

□

5.31 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ_{0}} N und M ⟶^{σ_{1}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{0}; K; σ_{1}; L; ρ_{1}; σ_{1}^{0}]

Beweis. Für M ≡ N oder M ≡ K ist nichts zu zeigen Daher seien unlösbare M, N und K mit M ⟶^{β} N und M ⟶^{ιc} K gegeben. Nach 5.30 gibt es einen Term L mit N ⟶ ⟶^{ιc} L und K ⟶^{γ} L, wobei γ die reflexive Hülle von β ∪si_{c} bezeichnet.

1.Fall K ≡ L

Dann ist L unlösbar und N ⟶^{ρ_{1}} L.

2.Fall K ⟶^{β} L

L ist wieder unlösbar. Es gilt N ⟶^{ρ_{1}} L und K ⟶^{τ_{0}} L.

3.Fall K ⟶^{sic} L

Nach 5.19 ist L wie K unlösbar. Außerdem ist si_{c} ein Spezialfall von ι_{c}. Somit gilt N ⟶^{ρ_{1}} L und K ⟶^{τ_{1}} L.

□

5.32 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ^{0}_{1}} N und M ⟶^{σ_{1}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{1}^{0}; K; σ_{1}; L; ρ_{1}; σ_{1}^{0}]

Beweis. Mit 5.25 und 5.31. □

5.33 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ^{0}_{1}} N und M ⟶^{ρ_{1}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ_{1}^{0}; K; ρ_{1}; L; ρ_{1}; ρ_{1}^{0}]

Beweis. Zuerst zeige man mit 5.32 die Behauptung für M ⟶^{σ^{0}_{1}} N und K ⟶^{σ^{0}_{1}} L. Dann folgt die Behauptung mit Induktion nach der Länge der τ_{1}^{0}-Kette von M nach N. □

Wir tragen die Ergebnisse zusammen und erhalten die Konfluenz von ρ_{1}^{0}.

5.34 KOROLLAR. ρ_{1}^{0} ist konfluent.

Beweis. Gegeben seien zwei Transformationen M ⟶^{ρ^{0}_{1}} N und M ⟶^{ρ^{0}_{1}} K. Nach dem Lemma über Postponement der ρ_{1}-Transformation gibt es Terme N′ und K′ mit

(i) M ⟶^{ρ_{0}} N′ und

(ii) M ⟶^{ρ_{0}} K′ und

(iii) N′ ⟶^{ρ_{1}} N und

(iv) K′ ⟶^{ρ_{1}} K.

Also M ⟶ ⟶^{β} N′ und M ⟶ ⟶^{β} K′; nach dem Church-Rosser-Theorem für β gibt es einen Term L′ mit N′ ⟶ ⟶^{β} L′ und K′ ⟶ ⟶^{β} L′. Alle betrachteten Terme sind unlösbar, somit gilt N′ ⟶^{ρ_{0}} L′ und K′ ⟶^{ρ_{0}} L′. Mit dem letzten Korollar zeigt man nun die Existenz von Termen P und Q mit

(i) L′ ⟶^{ρ_{1}} P und

(ii) N ⟶^{ρ^{0}_{1}} P sowie

(iii) L′ ⟶^{ρ_{1}} Q und

(iv) K ⟶^{ρ^{0}_{1}} Q.

Da nach 5.25 ρ_{1} konfluent ist, gibt es einen Term L mit P ⟶^{ρ_{1}} L und

Q ⟶^{ρ_{1}} L. Wir folgern N ⟶^{ρ^{0}_{1}} L und K ⟶^{ρ^{0}_{1}} L.

[figure: M; N; ρ_{1}^{0}; N′; ρ_{0}; K′; ρ_{0}; K; ρ_{1}^{0}; P; ρ_{1}^{0}; L′; ρ_{0}; ρ_{1}; ρ_{0}; ρ_{1}; L; ρ_{1}; ρ_{1}; ρ_{1}; Q; ρ_{1}^{0}; ρ_{1}]
□

Konfluenz von ρ_{3}^{0}

Für den Konfluenzbeweis von ρ_{3}^{0} wird ρ_{3}^{0} in zwei Teile zerlegt. Man betrachte die Aufteilung ρ_{3}^{0} = ρ_{1}^{0} ∪ ρ_{3}^{1}. Für den Anteil ρ_{1}^{0} ist die Konfluenz schon bekannt. Nach dem Lemma von Hindley und Rosen reicht es nun die folgenden Aussagen zu verifizieren:

(a) ρ_{3}^{1} ist konfluent.

(b) ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{1} kommutieren.

Es ist leicht einzusehen, daß der η-Anteil ρ_{3}^{2} konfluent ist. Daher könnte man denken, daß die Einteilung von ρ_{3}^{0} in ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{2} praktischer ist. Die Konfluenz der Teile ist dann unproblematisch. Aber die Kommutativität wird falsch. Man betrachte beispielsweise

[figure: (λx.xx)(λx.xx(λy.xy)); (λx.xx)(λx.xx(λy.c)); τ_{1}; (λx.xx)(λx.xxx).; τ_{2}]

Der linke Term ist in ρ_{3}^{2}-Normalform, er kann außerdem nicht durch eine ρ_{1}^{0}- Transformation aus dem rechten Term entstehen. Dieser Fall wird in 4.1.1 aus Lemma 5.35 behandelt. Die Aufteilung ρ_{3}^{0} = ρ_{1}^{0} ∪ ρ_{3}^{1} erweist sich als vorteilhaft. Das obige Diagramm kommutiert, wenn man auf beiden Seiten τ_{1}-Transformationen zuläßt.

[figure: (λx.xx)(λx.xx(λy.c)); (λx.xx)(λx.xxc); τ_{1}; (λx.xx)(λx.xxx); τ_{1}]

Beim Konfluenzbeweis von ρ_{3}^{1} wird deutlich, warum die Transformation τ_{1} notwendig ist.

Da τ_{3} die einzige Transformation ist, die nicht direkt von einer der Regeln (K1)-(K6) stammt, wäre es wünschenswert, ohne τ_{3} auszukommen. Das ist aber nur möglich, wenn man andere Schwierigkeiten in Kauf nimmt. Man betrachte das dritte Kongruenzbeispiel von Seite 91. Ω und der Term (λxλy.xxx)(λxλy.xxx) sind in λη kongruent. Ω besitzt keine anderen ρ-Transformationen als sich selbst. Um von (λxλy.xxx)(λxλy.xxx) mit den Transformationen τ_{0}, …, τ_{5} zu Ω zu gelangen, ist τ_{3} notwendig.

\begin{aligned}(λxλy.xxx)(λxλy.xxx) & ⟶^{ρ_{1}} & (λxλy.xxc)(λxλy.xxc) \\ & ⟶^{ρ_{3}} & (λx.xx)(λx.xx) \end{aligned}

Ebenso ist τ_{3} erforderlich, um das nachstehende Diagramm zu schließen.

[figure: (λx.xx)(λxλy.xxy); (λx.xx)(λxy.xxc); τ_{1}; (λx.xx)(λx.xx); τ_{2}; (λx.xx)(λx.xx); τ_{3}; ≡]

Dieser Fall wird in 4.1.3 aus Lemma 5.35 behandelt. Es ist tatsächlich möglich, auf τ_{3} in dieser Form zu verzichten, aber die Alternativen bieten weder technische noch ästhetische Vorteile. Wir kommen zum Beweis der Konfluenz von σ_{3}^{1} und ρ_{3}^{1}. Wieder machen wir uns 5.15 und 5.20 zunutze. Wie schon auf Seite 100 angemerkt, ist es lokal möglich und sinnvoll, ι_{c} und η_{c} anstatt τ_{1} und τ_{3} zu betrachten. Daher wird das wesentliche Lemma nicht für Transformationen, sondern für Reduktionen formuliert.

5.35 LEMMA. η_{+} bezeichne η ∪ η_{c} und η_{∗} bezeichne η_{+} ∪ si_{c}. Gegeben seien Kontraktionen M ⟶^{ιc} N und M ⟶^{η_{+}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ι_{c}; K; η_{+}; L; η_{∗}; ι_{c}]

Beweis. Durch Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{ιc} N.

1.Fall N ≡ c Dann sei L :≡ c.

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ N_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{ιc} N_{1}.

2.1 K ≡ K_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{η_{+}} K_{1}.

Nach Induktionsvoraussetzung existiert nun ein Term L_{1} mit

[figure: M_{1}; N_{1}; ι_{c}; K_{1}; η_{+}; L_{1}; η_{∗}; ι_{c}] .

Dann sei L :≡ L_{1}M_{2}.

2.2 K ≡ M_{1}K_{2} mit M_{2} ⟶^{η_{+}} K_{2}.

Dann sei L :≡ N_{1}K_{2}.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{ιc} N_{2}.

Dieser Fall ist zum zweiten Fall symmetrisch.

4.Fall M ≡ λx.M_{0} und N ≡ λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{ιc} N_{0}.

Wir betrachten nun die Möglichkeiten der η_{+}-Kontraktion.

4.1 M_{0} ≡ Kx mit x ∉ F V (K). Wir betrachten weiter die Möglichkeiten der Kontraktion Kx ⟶^{ιc} N_{0}.

4.1.1 N_{0} ≡ c Dann sei L ≡ c, und es kommutiert

[figure: λx.Kx; λx.c; ι_{c}; K; η; c; si_{c}; ι_{c}] .

4.1.2 N_{0} ≡ K_{0}x mit K ⟶^{ιc} K_{0}.

Dann sei L :≡ K_{0}, und es kommutiert

[figure: λx.Kx; λx.K_{0}x; ι_{c}; K; η; L; η; ι_{c}] .

4.1.3 N_{0} ≡ Kc Dann sei L :≡ K, und es kommutiert

[figure: λx.Kx; λx.Kc; ι_{c}; K; η; K; η_{c}; ≡] .

Gerade für diesen Fall ist die η_{c}-Reduktion eingeführt worden. Es gibt keine Möglichkeit, ohne η_{c}-Reduktionen - oder verwandte Reduktionen - auszukommen.

4.2 M_{0} ≡ Kc mit x ∉ F V (K). Dieser Fall wird wie 4.1 bewiesen; allerdings ist das Äquivalent zu 4.1.3 hier trivial.

4.3 K ≡ λx.K_{0} mit M_{0} ⟶^{η_{+}} K_{0}.

Nach Induktionsvoraussetzung existert ein Term L_{0} mit

[figure: M_{0}; N_{0}; ι_{c}; K_{0}; η_{+}; L_{0}; η_{∗}; ι_{c}] .

Dann sei L :≡ λx.L_{0}. □

5.36 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ_{1}} N und M ⟶^{σ^{1}_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{1}; K; σ_{3}^{1}; L; σ_{3}^{1}; σ_{1}]

Beweis.

1.Fall M ⟶^{τ_{1}} K

Dann folgt die Behauptung aus 5.25 (Konfluenz von σ_{1}).

2.Fall M ⟶^{τ^{2}_{3}} K

Es sind also unlösbare Terme M, N und K mit M ⟶^{ιc} N und M ⟶^{η_{+}} K gegeben. Nach dem letzten Lemma existiert ein Term L mit

[figure: M; N; ι_{c}; K; η_{+}; L; η_{∗}; ι_{c}] .

Wegen 5.19 und 5.21 ist der Übergang von N nach L eine σ_{3}^{1}-Transformation. Somit ist L unlösbar. Der Übergang von K zu L ist daher nach 5.15 eine σ_{1}-Transformation.

□

5.37 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ_{1}} N und M ⟶^{σ^{1}_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ_{1}; K; σ_{3}^{1}; L; σ_{3}^{1}; ρ_{1}]

Beweis. Die Behauptung folgt durch Induktion nach der Länge der τ_{1}-Kette mit Lemma 5.36. □

5.38 KOROLLAR. σ_{3}^{1} ist konfluent.

Beweis. Man sieht sofort ein, daß τ_{3}^{2} konfluent ist. η- und η_{c}- Redizes können sich nicht behindern. Für eine genaue Beweisanleitung konsultiere man [?], 3.3.7. Dann folgt die Behauptung aus der Konfluenz von σ_{1} und 5.36. □

Nachdem die Konfluenz von σ_{3}^{1} und damit auch die von ρ_{3}^{1} gezeigt ist, müssen wir noch die Kommutativität von ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{1} beweisen. Wieder wird das technische Lemma für Reduktionen formuliert.

5.39 LEMMA. δ bezeichne die Vereinigung von β-Kontraktionen und ι_{c}-Reduktionen. Gegeben seien Kontraktionen M ⟶^{β} N und M ⟶^{ηc} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; β; K; η_{c}; L; η_{c}; δ]

Beweis. Durch Induktion nach der Kontraktion M ⟶^{β} N.

1.Fall M ≡ (λx.M_{0})M_{2} und N ≡ M_{0}[x := M_{2}]. Wir betrachten die möglichen Fälle einer η_{c}-Kontraktion.

1.1 M_{0} ≡ M_{3}c und K ≡ M_{3}M_{2} mit x ∉ F V (M_{3}). Dann sei L :≡ M_{3}c, und es kommutiert

[figure: (λx.M_{3}c)M_{2}; M_{3}c; β; M_{3}M_{2}; η_{c}; M_{3}c; ≡; ι_{c}].

1.2 K ≡ (λx.K_{0})M_{2} mit M_{0} ⟶^{ηc} K_{0}.

Dann sei L :≡ K_{0}[x := M_{2}], und es kommutiert

[figure: (λx.M_{0})M_{2}; M_{0}[x := M_{2}]; β; (λx.K_{0})M_{2}; η_{c}; K_{0}[x := M_{2}]; η_{c}; β] .

1.3 K ≡ (λx.M_{0})K_{2} mit M_{2} ⟶^{ηc} K_{2}.

Dann sei L :≡ M_{0}[x := K_{2}], und es kommutiert

[figure: (λx.M_{0})M_{2}; M_{0}[x := M_{2}]; β; (λx.M_{0})K_{2}; η_{c}; M_{0}[x := K_{2}]; η_{c}; β] .

2.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ N_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{β} N_{1}.

Wir betrachten die möglichen Fälle der η_{c}-Kontraktion.

2.1 K ≡ K_{1}M_{2} mit M_{1} ⟶^{ηc} K_{1}.

Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Term L_{1} mit

[figure: M_{1}; N_{1}; β; K_{1}; η_{c}; L_{1}; η_{c}; δ] .

Dann sei L :≡ L_{1}M_{2}.

2.2 K ≡ M_{1}K_{2} mit M_{2} ⟶^{ηc} K_{2}.

Dann sei L :≡ N_{1}K_{2}.

3.Fall M ≡ M_{1}M_{2} und N ≡ M_{1}N_{2} mit M_{2} ⟶^{β} N_{2}.

Dieser Fall ist symmetrisch zum zweiten Fall.

4.Fall M ≡ λx.M_{0} und N ≡ λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{β} N_{0}.

Wir betrachten die möglichen Fälle der η_{c}-Kontraktion.

4.1 K ≡ λx.K_{0} mit M_{0} ⟶^{ηc} K_{0}.

Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Term L_{0} mit

[figure: M_{0}; N_{0}; β; K_{0}; η_{c}; L_{0}; η_{c}; δ] .

Dann sei L :≡ λx.L_{0}.

4.2 M_{0} ≡ Kc mit x ∉ F V (K). Wir betrachten die Fälle der β-Kontraktion Kc ⟶^{β} N_{0}.

4.2.1 K ≡ λy.K_{0} und N_{0} ≡ K_{0}[y := c]. Dann sei L :≡ λx.(K_{0}[y := c]) ≡ λy.(K_{0}[y := c]), und das nachstehende Diagramm kommutiert.

[figure: λx.((λy.K_{0})c); λx.(K_{0}[y := c]); β; λy.K_{0}; η_{c}; λy.(K_{0}[y := c]); ≡; ι_{c}]

4.2.2 N_{0} ≡ K′c mit K ⟶^{β} K′.

Dann sei L :≡ K′, und das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: λx.Kc; λx.K′c; β; K; η_{c}; K′; η_{c}; β]

□

5.40 KOROLLAR. π bezeichne σ_{0}∪ρ_{1}. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ_{0}} N und M ⟶^{σ_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{0}; K; σ_{3}; L; ρ_{3}; π]

Beweis. Gegeben seien unlösbare Terme M, N und K sowie Kontraktionen M ⟶^{β} N und M ⟶^{ηc} K. Nach Lemma 5.39 gibt es einen Term L mit

[figure: M; N; β; K; η_{c}; L; η_{c}; δ] .

Dabei bezeichnet δ entweder eine β-Kontraktion oder eine ι_{c}-Reduktion. Da N unlösbar ist, folgt aus 5.21 die Unlösbarkeit von L. Im Fall der β-Kontraktion erhalten wir eine τ_{0}-Transformation von K nach L. Andernfalls handelt es sich wegen 5.16 um eine ρ_{1}-Transformation. □

Es ist schon bekannt, in welcher Form η mit β kommutiert. Mit 3.3.8 aus [?] erhalten wir das folgende Korollar.

5.41 KOROLLAR. π bezeichne wieder σ_{0} ∪ ρ_{1}. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ_{0}} N und M ⟶^{σ^{2}_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{0}; K; σ_{3}^{2}; L; ρ_{3}^{2}; π]

5.42 KOROLLAR. π bezeichne wieder σ_{0} ∪ ρ_{1}. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{π} N und M ⟶^{ρ^{1}_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; π; K; ρ_{3}^{1}; L; ρ_{3}^{1}; π]

Beweis. Durch Induktion nach der Länge der τ_{3}^{1}-Kette von M nach K. Im Fall M ≡ K ist nichts zu zeigen. Sei nun ein Term K′ mit M ⟶^{ρ^{1}_{3}} K′ und K′ ⟶^{τ^{1}_{3}} K gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Term L′ mit

[figure: M; N; π; K′; ρ_{3}^{1}; L′; ρ_{3}^{1}; π] .

1.Fall K′ ⟶^{σ_{0}} L′

1.1 K′ ⟶^{τ_{1}} K

Nach 5.31 gibt es einen Term L mit

[figure: K′; L′; σ_{0}; K; τ_{1}; L; ρ_{1}; π] .

1.2 K′ ⟶^{τ^{2}_{3}} K

Nach 5.41 gibt es einen Term L mit

[figure: K′; L′; σ_{0}; K; τ_{3}^{2}; L; ρ_{3}^{2}; π] .

2.Fall K′ ⟶^{ρ_{1}} L′

Nach 5.37 gibt es einen Term L mit

[figure: K′; L′; ρ_{1}; K; τ_{3}^{1}; L; σ_{3}^{1}; ρ_{1}] .

□

Daraus erhalten wir durch Induktion die Kommutativität von ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{1}.

5.43 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ^{0}_{1}} N und M ⟶^{ρ^{1}_{3}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ_{1}^{0}; K; ρ_{3}^{1}; L; ρ_{3}^{1}; ρ_{1}^{0}]

5.44 KOROLLAR. ρ_{3}^{0}-Transformationen sind konfluent.

Beweis. Das folgt mit dem Lemma von Hindley-Rosen aus der Kommutativität von ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{1}, sowie aus der Konfluenz von ρ_{1}^{0} und ρ_{3}^{1}. □

Konfluenz von ρ

Nachdem die Konfluenz von ρ_{3}^{0} gezeigt ist, müssen nun noch die Transformationen τ_{4} und τ_{5} hinzugenommen werden. Die Transformationen τ_{4} und τ_{5} greifen radikal in die (äußere) Struktur eines unlösbaren Terms ein. Daher könnte vermutet werden, daß hier größere Probleme auftreten. Das ist aber nicht der Fall. Die Beweise in diesem Abschnitt sind recht einfach. Zuerst wird bewiesen, daß in ρ = ρ_{5}^{0} die Anteile von ρ_{5}^{4} nach hinten geschoben werden können (Postponement von ρ_{5}^{4} bezüglich ρ_{3}^{0}). τ_{5}^{4}, σ_{5}^{4} und ρ_{5}^{4} sind aus trivialen Gründen - ein Term M kann niemals gleichzeitig einer τ_{4}- und einer τ_{5}-Transformation unterworfen werden - konfluent. Aus der Kommutativität von ρ_{3}^{0} und ρ_{5}^{4} würde nun die Konfluenz von ρ folgen. ρ_{3}^{0} und ρ_{5}^{4} kommutieren aber nicht. Man betrachte das einfache Beispiel

[figure: (λx.Ω)c; Ω; τ_{0}; λx.Ω; τ_{5}; Ω; ≡; τ_{4}]

.

Wir beweisen eine etwas schwächere Eigenschaft. Der Rest des Beweises der Konfluenz von ρ ist demnach in zwei Teile gegliedert:

• Postponement von ρ_{5}^{4}

• Kommutativität von ρ und ρ_{5}^{4}.

Wir kommen zum ersten Teil.

5.45 LEMMA. Für j ∈ {4, 5} und i ∈ {0, 1, 2, 3} seien Transformationen τ_{j} und τ_{i} mit M ⟶^{τ_{j}} N ⟶^{τ_{i}} L gegeben. Dann gibt es einen Term K mit M ⟶^{τ_{i}} K ⟶^{τ_{j}} N.

[figure: K; L; τ_{j}; M; N; τ_{j}; τ_{i}; τ_{i}]

Beweis. M ist entweder λx.N oder Nc. Im ersten Fall gilt

λx.N ⟶^{τ_{i}} λx.L ⟶^{τ_{4}} L.

Im zweiten Fall gilt

Nc ⟶^{τ_{i}} Lc ⟶^{τ_{5}} L.

□

5.46 KOROLLAR. Für j ∈ {4, 5} und i ∈ {0, 1, 2, 3} seien Transformationen ρ_{j} und τ_{i} mit M ⟶^{ρ_{j}} N ⟶^{τ_{i}} L gegeben. Dann gibt es einen Term K mit M ⟶^{τ_{i}} K ⟶^{ρ_{j}} N.

[figure: K; L; ρ_{j}; M; N; ρ_{j}; τ_{i}; τ_{i}]

5.47 KOROLLAR. (Postponement von ρ_{5}^{4}.)

(a) Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{ρ} N. Dann gibt es einen Term K mit

[figure: M; N; ρ; K; ρ_{3}^{0}; ρ_{5}^{4}]

.

(b) Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{ρ^{−}} N. Dann gibt es einen Term

K mit .

[figure: M; N; ρ^{−}; K; ρ_{1}^{0}; ρ_{5}^{4}]

Beweis. Durch Induktion nach der Länge der τ-Kette mit Hilfe von Korollar 5.46. □

Innerhalb von ρ_{5}^{4} können wir die Transformationen ebenfalls sortieren. Das ist für die Konfluenz von ρ unwesentlich, es wird aber beim Beweis von Satz 7.8 im Paragraphen über atomare Terme wichtig.

5.48 LEMMA. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{τ_{5}} N ⟶^{τ_{0,4}} L. Dann gibt es einen Term K mit

[figure: K; L; σ_{5}; M; N; τ_{5}; τ_{0,4}; τ_{0,4}]

.

Beweis. Im Fall N ⟶^{τ_{0}} L folgt die Behauptung aus Lemma 5.45. Sonst ist M ≡ (λx.N_{0})c und N ≡ (λx.N_{0}) mit x ∉ F V (N_{0}). Man wähle K :≡ N_{0}[x := c] ≡ N_{0} ≡ L. □

5.49 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ_{5}} N ⟶^{τ_{0,4}} L. Dann gibt es einen Term K mit

[figure: K; L; ρ_{5}; M; N; ρ_{5}; τ_{0,4}; τ_{0,4}]

.

5.50 KOROLLAR. Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{ρ^{4}_{5}} N. Dann gibt es Terme K und L, so daß

[figure: M; N; ρ_{5}^{4}; K; ρ_{0}; L; ρ_{4}; ρ_{5}]

kommutiert.

Beweis. Durch Induktion nach der Länge der τ_{5}^{4}-Kette. Beim Induktionsschritt ist nur der Fall interessant, daß die letzte Transformation eine τ_{4}- Transformation ist. Es gibt dann einen Term N′ mit M ⟶^{ρ^{4}_{5}} N′ und N′ ⟶^{τ_{4}} N. Nach Induktionsvoraussetzung existieren Terme K′ und L′ mit M ⟶^{ρ_{0}} K′,

K′ ⟶^{ρ_{4}} L′ und L′ ⟶^{ρ_{5}} N′.

Nach Korollar 5.49 gibt es folglich einen Term L mit L′ ⟶^{τ_{0,4}} L und L ⟶^{ρ_{5}} N. Im Fall L′ ⟶^{τ_{4}} L können wir K :≡ K′ wählen. Sonst finden wir wegen 5.46 einen Term K mit K′ ⟶^{τ_{0}} K und K ⟶^{ρ_{4}} L.

□

[figure: M; N′; ρ_{5}^{4}; K′; ρ_{0}; L′; ρ_{4}; ρ_{5}; K; τ_{0}; L; τ_{0}; ρ_{4}; N; τ_{4}; ρ_{5}]

5.51 KOROLLAR.

(a) Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{ρ} N. Dann gibt es Terme K und L mit

[figure: M; N; ρ; K; ρ_{3}^{0}; L; ρ_{4}; ρ_{5}] .

(b) Gegeben sei eine Transformation M ⟶^{ρ^{−}} N. Dann gibt es Terme K und L mit

[figure: M; N; ρ^{−}; K; ρ_{1}^{0}; L; ρ_{4}; ρ_{5}] .

Beweis. Korollar 5.47 und Korollar 5.50 führen zum Ziel. □

Wir kommen zur Kommutativität von ρ und ρ_{5}^{4}. Dazu betrachtet man

zunächst die Fälle M ⟶^{σ} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Der Fall M ⟶^{σ^{4}_{5}} N ist trivial. Für M ⟶^{σ^{0}_{1}} N und M ⟶^{σ^{2}_{3}} N werden zwei Lemmata bewiesen.

5.52 LEMMA. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ^{0}_{1}} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{1}^{0}; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; ρ^{−}]

Beweis. Fallunterscheidung nach M ⟶^{σ^{4}_{5}} K

1.Fall M ≡ Kc ⟶^{τ_{5}} K

Fallunterscheidung nach M ⟶^{σ^{0}_{1}} N.

1.1 N ≡ N_{1}c mit K ⟶^{σ^{0}_{1}} N_{1}.

Dann sei L :≡ N_{1}, und das nachstehende Diagramm kommutiert.

[figure: Kc; N_{1}c; σ_{1}^{0}; K; τ_{5}; N_{1}; τ_{5}; σ_{1}^{0}]

1.2 K ≡ λx.K_{0} und Kc ≡ (λx.K_{0})c ⟶^{β} K_{0}[x := c] ≡ N.

Dann sei L :≡ K_{0}[x := c], und das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: (λx.K_{0})c; K_{0}[x := c]; τ_{0}; λx.K_{0}; τ_{5}; K_{0}[x := c]; ≡; ρ^{−}; λx.(K_{0}[x := c]); ρ_{1}; τ_{4}]

2.Fall M ≡ λx.K ⟶^{τ_{4}} K

Dann ist N ≡ λx.N_{0} mit K ⟶^{σ^{0}_{1}} N_{0}. Für L :≡ N_{0} kommutiert

[figure: λx.K; λx.N_{0}; σ_{1}^{0}; K; τ_{4}; N_{0}; τ_{4}; σ_{1}^{0}] . □

5.53 LEMMA. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ^{2}_{3}} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ_{3}^{2}; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; σ]

Beweis. Fallunterscheidung nach M ⟶^{σ^{4}_{5}} K

1.Fall M ≡ Kc ⟶^{τ_{5}} K

Dann ist N ≡ N_{1}c mit K ⟶^{σ^{2}_{3}} N_{1}.

Für L :≡ N_{1} kommutiert das nachstehende Diagramm.

[figure: Kc; N_{1}c; σ_{3}^{2}; K; τ_{5}; N_{1}; τ_{5}; σ_{3}^{2}]

2.Fall M ≡ λx.K ⟶^{τ_{4}} K

Fallunterscheidung nach λx.K ⟶^{σ^{2}_{3}} N.

2.1 N ≡ λx.N_{0} mit K ⟶^{σ^{2}_{3}} N_{0}.

Dann sei L :≡ N_{0}, und es kommutiert

[figure: λx.K; λx.N_{0}; σ_{3}^{2}; K; τ_{4}; N_{0}; τ_{4}; σ_{3}^{2}] .

2.2 K ≡ Nc mit x ∉ F V (N).

Dann sei L :≡ N, und es kommutiert

[figure: λx.Nc; N; τ_{3}; Nc; τ_{4}; N; ≡; τ_{4}] .

Man beachte, daß wegen der Variablenbedingung für τ_{4} die Transformation M ⟶^{σ^{2}_{3}} N keine η-Konversion sein kann.

□

5.54 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; ρ]

Beweis. Wegen 5.52 und 5.53 fehlt uns nur noch die Konfluenz von σ_{5}^{4}. Da ein Term niemals gleichzeitig einer τ_{4}- und einer τ_{5}-Transformation unterzogen werden kann, ist das aber trivial. □

5.55 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{σ^{−}} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; σ^{−}; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; ρ^{−}]

Beweis. Wieder mit 5.52 und der Konfluenz von σ_{5}^{4}. □

Durch Induktion erhalten wir:

5.56 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; ρ]

Ebenfalls durch Induktion folgt:

5.57 KOROLLAR. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ^{−}} N und M ⟶^{σ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ^{−}; K; σ_{5}^{4}; L; σ_{5}^{4}; ρ^{−}]

Eine weitere Induktion liefert: 5.58 KOROLLAR.

(a) ρ und ρ_{5}^{4} kommutieren. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ} N und M ⟶^{ρ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ; K; ρ_{5}^{4}; L; ρ_{5}^{4}; ρ]

(b) ρ^{−} und ρ_{5}^{4} kommutieren.

Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ^{−}} N und M ⟶^{ρ^{4}_{5}} K. Dann gibt es einen Term L, so daß das folgende Diagramm kommutiert.

[figure: M; N; ρ^{−}; K; ρ_{5}^{4}; L; ρ_{5}^{4}; ρ^{−}]

5.59 SATZ. ρ und ρ^{−} sind konfluent.

Beweis. Wir beweisen nur die Konfluenz von ρ. Gegeben seien Transformationen M ⟶^{ρ} N und M ⟶^{ρ} K. Mit dem Postponement von ρ_{5}^{4} erhalten wir Terme N′ und K′, welche den folgenden Eigenschaften genügen:

(i) M ⟶^{ρ^{0}_{3}} N′

(ii) M ⟶^{ρ^{0}_{3}} K′

(iii) N′ ⟶^{ρ^{4}_{5}} N

(iv) K′ ⟶^{ρ^{4}_{5}} K

Da ρ_{3}^{0} konfluent ist, gibt es einen Term L′ mit N′ ⟶^{ρ^{0}_{3}} L′ und K′ ⟶^{ρ^{0}_{3}} L′. Wegen 5.58 gibt es nun Terme P und Q mit

(i) N ⟶^{ρ} P und

(ii) L′ ⟶^{ρ^{4}_{5}} P und

(iii) K ⟶^{ρ} Q und

(iv) L′ ⟶^{ρ^{4}_{5}} Q.

Wir haben schon im Beweis von 5.54 eingesehen, daß σ_{5}^{4} trivialerweise konfluent ist; gleiches gilt für ρ_{5}^{4}. Somit gibt es einen Term L mit P ⟶^{ρ^{4}_{5}} L und

Q ⟶^{ρ^{4}_{5}} L.

[figure: M; N; ρ; N′; ρ_{3}^{0}; K′; ρ_{3}^{0}; K; ρ; P; ρ; L′; ρ_{3}^{0}; ρ_{5}^{4}; ρ_{3}^{0}; ρ_{5}^{4}; L; ρ_{5}^{4}; ρ_{5}^{4}; ρ_{5}^{4}; Q; ρ; ρ_{5}^{4}]

Die Konfluenz von ρ^{−} beweist man analog. □

Als typische Folgerung erhält man:

5.60 KOROLLAR.

(a) Zwei Terme M und N sind genau dann kongruent, wenn es Terme M_{1}, M_{2}, N_{1}, N_{2} und L mit

[figure: M; M_{1}; ρ_{1}^{0}; M_{2}; ρ_{4}; L; ρ_{5}; N; N_{1}; ρ_{1}^{0}; N_{2}; ρ_{4}; ρ_{5}]

gibt.

(b) Zwei Terme M und N sind genau dann λη-kongruent, wenn es Terme M_{1}, M_{2}, N_{1}, N_{2} und L mit

[figure: M; M_{1}; ρ_{3}^{0}; M_{2}; ρ_{4}; L; ρ_{5}; N; N_{1}; ρ_{3}^{0}; N_{2}; ρ_{4}; ρ_{5}]

gibt.

Beweis. 5.14, 5.51 und 5.59. □

Der Beweis der Konfluenz von ρ ist aufwendig. Merklich einfacher ist der Beweis der Konfluenz von ρ^{−}. Da wir uns hauptsächlich auf ρ konzentriert haben, fällt das kaum auf. Die Struktur von ≈_{λη} ist wesentlich komplizierter als die Struktur von ≈_{λ}. Das haben wir schon am dritten Beispiel auf Seite 91 gesehen. Jenes Beispiel zeigt auch, daß im allgemeinen die Kongruenzklasse [M]_{≈_{λη}} nicht vollständig von ⋃{[N]_{≈} | λη ⊢ M = N} ausgeschöpft wird. Die Kongruenzklasse [M]_{≈_{λη}} läßt sich also nicht elementar aus Kongruenzklassen [M]_{≈} bestimmen. Das ist der Grund, warum wir nicht nur die Konfluenz von ρ^{−} gezeigt haben.

Was haben wir nun durch den Konfluenzbeweis gewonnen? Zuerst das theoretische Resultat, daß zwei unlösbare Terme M und N genau dann kongruent sind, falls sie eine gemeinsame Vereinfachung besitzen. Dabei wird die Durchführung einer Transformation als Vereinfachung interpretiert. Das hat seine Berechtigung, muß aber etwas relativiert werden. Es gilt zum Beispiel

Ω =_{λ} (λx.Ω)x ⟶^{τ_{1}} (λx.Ω)c ⟶^{τ_{5}} (λx.Ω) und

Ω =_{λη} (λxλy.Ω(xyΩ))K ⟶^{τ_{1}} (λxλy.Ω(xyΩ))c ⟶^{τ_{5}} (λxλy.Ω(xyΩ)).

Die Resultate der τ_{1,5}-Transformationen können durch βη-Reduktionen nicht weiter vereinfacht werden. Auf den Äquivalenzklassen der λ(η)-Gleichheit kann durch ρ_{1,4,5} ein komplizierter Term entstehen.

Des weiteren ist es nun möglich, einzusehen, daß unendlich viele Kongruenzklassen existieren. Für verschiedene n und m sind nämlich die Terme Ω_{n} und Ω_{m} inkongruent. Die Resultate der ρ-Transformationen von Ω_{n} besitzen die Form

(λx.xxP_{1} … P_{n})(λx.xxQ_{1} … Q_{n})R_{1} … R_{k}.

Damit können Ω_{n} und Ω_{m} keine gemeinsamen ρ-Transformationen besitzen. Ebenso beweist man für verschiedene n und m die Inkongruenz der Terme Σ_{n} und Σ_{m}. Tatsächlich ist {M | Σ_{n} ⟶^{ρ} M} = G_{β}(Σ_{n}), alle M mit Σ_{n} ⟶^{ρ} M sind schon β-Redukte von Σ_{n}. Man beachte auch 7.14.

An den Konfluenzbeweis schließt sich die Frage nach der Existenz von Normalformen an. Echte ρ-Normalformen kann es unter den unlösbaren Termen nicht geben. Schließlich besitzt jeder unlösbare Term einen β-Redex, kann also einer τ_{0}-Transformation unterworfen werden. Aber der Term Ω ist quasi in Normalform. τ-Transformationen führen nur zum Term Ω selbst. Es ist keine Vereinfachung mehr möglich. Folgende Definition bietet sich an. Ein unlösbarer Term ist in Quasinormalform, falls er keiner τ_{5}^{1}-Transformation unterworfen werden kann. Dieser Begriff ist aber nicht unter β-Reduktionen abgeschlossen und daher nicht sehr fruchtbar. Man beachte

(λxλy.xx)(λxλy.xx) ⟶^{β} λz.(λxλy.xx)(λxλy.xx) ⟶^{τ_{4}} (λxλy.xx)(λxλy.xx).

Der Term (λxλy.xx)(λxλy.xx) - und auch jede ρ-Transformation dieses Terms - besitzt ein β-Redukt, welches einer τ_{4}-Transformation unterworfen werden kann. Normalformen gibt es im allgemeinen nicht. Ein anderer Zugang zum Thema Normalformen wird im siebten Paragraphen dieser Arbeit gewählt. Dort werden Nichtstandardatome untersucht. Das sind besonders einfache Repräsentanten ihrer Kongruenzklasse. Ein Nichtstandardatom kann daher als Normalform der zu ihm kongruenten Terme aufgefaßt werden. Insbesondere ist diese Art von Normalform eindeutig. Man beachte 7.11.

Von ganz anderer Natur ist die Frage, ob es einfache Kriterien gibt, die Inkongruenz von zwei unlösbaren Termen einzusehen. Ist es möglich, unlösbaren Termen eine charakteristische Größe zuzuordnen, die mit der Kongruenz verträglich ist? Diese Frage wird im nächsten Paragraphen beantwortet.

Zuletzt sei noch darauf hingewiesen, daß hier darauf verzichtet wurde, durch Kongruenz erzeugte Theorien zu betrachten. Ist T eine halbsinnvolle Theorie, so bezeichne T_{≈} die Theorie T + {M = N | M ≈_{T} N}. Da in T_{≈} keine T -inkongruenten Terme identifiziert werden, bringt das Studium von T_{≈} für unlösbare Terme keine neuen Erkenntnisse.

6 Unlösbarkeitsgrade

Nun war aber von allen Augen, die jemals geschaffen wurden, - von dem Ihrigen, verehrte Leserin , bis zu denen der Venus selbst, was gewiß ein Paar so venusische Augen waren, als nur je in einem Kopfe saßen, - keines so geeignet, meinen Onkel Toby aus der Ruhe zu bringen, als gerade das Auge, in welches er eben sah.

In diesem Paragraphen wird ein Komplexitätsmaß für unlösbare Terme eingeführt. Dieses Maß heißt Unlösbarkeitsgrad und nimmt alle Werte aus IN^{+} ∪ {∞} an. Ein Maß für unlösbare Terme ist aus der Literatur bekannt. In [?] werden unlösbare Terme M am Grad ihrer Funktionalität - das ist die Ordnung O(M) - gemessen. Dieses Maß kratzt aber nur an der Oberfläche eines unlösbaren Terms. Ist O(M) endlich, so ist O(M) eher ein Maß dafür, inwieweit der unlösbarer Term trotz seiner Unlösbarkeit funktionale Eigenschaften trägt. Der hier vorgestellte Unlösbarkeitsgrad U(M) eines unlösbaren Terms M soll die Anzahl der für die Unlösbarkeit relevanten (äußeren) Applikationen in M widergeben. Äußere Abstraktionen fallen dabei nicht ins Gewicht. Der Unlösbarkeitsgrad U(M) orientiert sich an den Termen Σ_{n} ≡ \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n+2}. Diese

bestehen jeweils aus n + 1 äußeren Applikationen; die Komplexität von Σ_{n} nimmt mit wachsendem n zu. Da für k < n + 2 alle Terme \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{k} lösbar

sind, sind alle n + 1 Applikationen für die Unlösbarkeit von Σ_{n} wichtig und relevant. Es wird U(Σ_{n}) = n + 1 gelten. Ebenso gilt U(Σ_{n}II) = U(Σ_{n}I) = U(λx_{1} … x_{k}.Σ_{n}) = n + 1. Probleme bei der Berechnung von U(Σ_{n}) können dadurch entstehen, daß im β-Reduktionsgraphen von Σ_{n} auch Terme mit weniger als n + 1 relevanten äußeren Applikationen existieren. Da der β-Reduktionsgraph von Σ_{n} sehr übersichtlich ist, lassen sich diese Probleme auf eine zufriedenstellende Art lösen. Die Frage ist, ob es auch für beliebige unlösbare Terme gelingt, die Anzahl der relevanten äußeren Applikationen vernünftig zu messen. Damit U(M) gegen λ-Gleichheit invariant ist, muß zuerst eine lokale Abbildung grad definiert werden. Ähnlich wie O(M) aus der Menge der Werte {abs(N) | M ⟶ ⟶^{β} N} berechnet wird, soll auch U(M) von den Werten {grad(N) | M ⟶ ⟶^{β} N} abhängen. grad(M) mißt lokal die Anzahl der für die Unlösbarkeit von N relevanten Applikationen. Vor der formalen Definition von grad betrachten wir fünf Beispiele.

Beispiele

(a) Ω ≡ (λx.xx)(λx.xx) Ω besteht aus einer äußeren Applikation. Diese ist für die Unlösbarkeit verantwortlich, grad(Ω) = 1.

(b) ΩI ≡ (λx.xx)(λx.xx)I ΩI besteht aus zwei äußeren Applikationen. Aber der Term I ist für die Unlösbarkeit nicht relevant, daher ist grad(ΩI) = 1.

(c) Σ_{1} ≡ σ_{1}σ_{1}σ_{1} Dieser Term besteht aus zwei äußeren Applikationen. Der Term σ_{1}σ_{1} ist lösbar, daher sind beide Applikationen für die Unlösbarkeit notwendig und relevant, grad(Σ_{1}) = 2.

(d) Σ_{1}^{1} :≡ (λx.xxσ_{1})σ_{1} Dieser Term besteht aus nur einer äußeren Applikation, daher ist grad(Σ_{1}^{1}) = 1. Man beachte Σ_{1} ⟶^{β} Σ_{1}^{1} ⟶^{β} Σ_{1}, die Abbildung grad ist nicht gegenüber β-Reduktionen invariant.

(e) grad(λuv.Ωuu) = 1 Wie in (b) begründet man grad(Ωuu) = 1. Da die äußeren Abstraktionen nicht ins Gewicht fallen, gilt somit grad(λuv.Ωuu) = 1.

Wie kann für unlösbare Terme M der Wert grad(M) bestimmt werden? Wir geben zunächst eine informale Definition der Abbildung grad an. Jeder unlösbare Term M besitzt die Gestalt

λx_{1} … x_{m}.(λy.M_{0})M_{1} … M_{l} mit l > 0.

Die äußeren Abstraktionen sind irrelevant für die Unlösbarkeit, daher wird grad(M) aus (λy.M_{0})M_{1} … M_{l} berechnet. Gesucht ist nun die kleinste Zahl n, so daß (λy.M_{0})M_{1} … M_{n} noch unlösbar ist.

1.Fall n > 0 Dann ist (λy.M_{0})M_{1} … M_{n−1} lösbar, und für alle k mit n ≤ k ≤ l sind die Terme (λy.M_{0})M_{1} … M_{k} unlösbar. n ist also die für die Unlösbarkeit von M relevante Anzahl der äußeren Applikationen, und grad(M) := n.

2.Fall n = 0

Dann ist M_{0} unlösbar. Da M_{0} kürzer als M ist, wird hier grad(M) := grad(M_{0}) gesetzt.

Diese Art der Berechnung von grad(M) ist nicht effektiv. Es ist nicht möglich, eine effektive Definition von grad anzugeben. Für die formale Definition von grad(M) wird daher ein anderer Zugang gewählt. Das geschieht über induktiv definierte Mengen U_{n}, in denen die Terme M mit grad(M) = n+1 liegen. 6.1 DEFINITION.

(a) Falls (λy.M_{0})M_{1} … M_{n} lösbar und (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} unlösbar ist, so ist (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} in U_{n}.

(b) Mit M ist auch MP in U_{n}.

(c) Mit M ist auch λx.M in U_{n}.

6.2 DEFINITION. grad(M) = n + 1 : ⟺ M ∈ U_{n} Damit sind alle Elemente von U_{n} unlösbar, außerdem haben für verschiedene n und m die Mengen U_{n} und U_{m} einen leeren Schnitt. Beispiele

(a) grad(IIIΩ) = 3

(b) grad(λx.ω_{n}ω_{n}ω_{n}) = 1

(c) grad(K^{∞}) = grad(Y_{T} K) = grad((λxy.y(xxy))(λxy.y(xxy))K) = 2 (d) grad((λxλy.xx)(λxλy.xx)) = 1

(e) grad(Σ_{n}) = n + 1

(f) Für i mit 0 < i ≤ n gilt grad(Σ_{n}^{i}) = i.

Für jeden unlösbaren Term ist es widerspruchsfrei, daß er in einer der Mengen U_{n} liegt, ein effektives Verfahren zur Berechnung dieser Zahl n kann aber nicht angegeben werden.

6.3 LEMMA.

(a) ∀M ∈ USOL ¬¬∃n ∈ IN M ∈ U_{n}.

(b) ∀M ∈ USOL ¬¬∃n ∈ IN grad(M) = n + 1.

Beweis. Durch Induktion nach der Länge von M.

1.Fall M ist eine Applikation M_{1}M_{2}. Annahme 1: ¬∃n ∈ IN M ∈ U_{n}

Annahme 2: M_{1} ist lösbar.

1.1 M_{1} ist eine Abstraktion. Dann liegt M in U_{0}. Das kann nach Annahme 1 nicht sein. Annahme 2 ist falsch, und M_{1} ist unlösbar.

1.2 M_{1} ist eine Applikation. Da M einen Kopfredex besitzt, hat M_{1} die Gestalt (λy.N_{0})N_{1} … N_{l}. Also liegt M in U_{l}. Das kann nach Annahme 1 nicht sein. Annahme 2 ist falsch, und M_{1} ist unlösbar.

In jedem Fall ist Annahme 2 falsch und M_{1} unlösbar. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ¬¬∃n ∈ IN M_{1} ∈ U_{n}. Daraus folgt auch ¬¬∃n ∈ IN M ∈ U_{n}. Das widerspricht Annahme 1.

Also ist Annahme 1 falsch. Es gilt ¬¬∃n ∈ IN M ∈ U_{n}.

2.Fall M ist eine Abstraktion λx.M_{0}. Dann ist M_{0} unlösbar, und aus der Induktionsvoraussetzung folgt ¬¬∃n ∈ IN M_{0} ∈ U_{n}. Daraus folgt dann auch ¬¬∃n ∈ IN M ∈ U_{n}.

□

Um einzusehen, daß es tatsächlich kein konstruktives Verfahren gibt, welches jedem unlösbaren Term M einen grad zuordnet, betrachtet man einen Kombinator F_{4}, der die charakteristische Funktion des diagonalsierten Kleene’schen T -Prädikats T (x, x, y) λ-definiert. Weiterhin seien

\begin{aligned}Z_{4} & :≡ & λhfyx.fxyKI(hf(suc y)x) \\ W_{4} & :≡ & Y_{T} Z_{4} \\ V_{4} & :≡ & W_{4}F_{4} 0 \\ U_{4}^{n} & :≡ & V_{4} n Ω. \end{aligned}

Dann gilt

(1) W_{4}F_{4} m n ⟶^{qh} F_{4} n m KI(W_{4}F_{4} m + 1 n ).

Also folgt

(2) W_{4}F_{4} m n ⟶^{qh} \{ \begin{matrix}W_{4}F_{4} m + 1 n & ¬T (n, n, m) \\ I & T (n, n, m). \end{matrix}

Damit ergibt sich die Äquivalenz von

(a) V_{4} n ist lösbar.

(b) λ ⊢ V_{4} n = I

(c) ∃m T (n, n, m).

Wäre nun U_{4}^{n} lösbar, so auch V_{4} n . Daraus folgt aber λ ⊢ U_{4}^{n} = Ω. Das kann nicht sein, also ist U_{4}^{n} unlösbar. Damit ist keine Aussage darüber getroffen, ob die Unlösbarkeit des Terms U_{4}^{n} vom Bestandteil V_{4} n oder Ω stammt. U_{4}^{n} ist ein Term, der aus sechs äußeren Applikationen besteht. V_{4} ist lösbar, also kann grad(U_{4}^{n}) höchtsens die Werte fünf und sechs annehmen. Es gilt (3) grad(U_{4}^{n}) = 5 genau dann, wenn V_{4} n unlösbar ist, und

(4) grad(U_{4}^{n}) = 6 genau dann, wenn V_{4} n lösbar ist. Sei nun angenommen, daß für alle unlösbaren Terme M ein grad gefunden werden kann. Dann besitzt jeder Term U_{4}^{n} einen grad. Nach den obigen Überlegungen gilt für alle natürlichen Zahlen n grad(U_{4}^{n}) = 5 oder grad(U_{4}^{n}) = 6. Aus (3) und (4) folgt somit ∀n V_{4} n ist lösbar oder V_{4} n ist unlösbar. Mit der obigen Äquivalenz erhählt man

∀n (∃m T (n, n, m) ∨ ¬∃m T (n, n, m)).

Es ist aber bekannt, daß sich diese Aussage nicht konstruktiv begründen läßt. Jeder Term U_{4}^{n} ist unlösbar; schwierig zu beantworten kann aber die Frage sein, welche Bestandteile von U_{4}^{n} für die Unlösbarkeit relevant sind.

Wie wir schon an mehren Beispielen gesehen haben, ist die Abbildung grad nicht gegenüber λ-Gleichheit invariant, ebenso sind die Mengen U_{n} nicht unter Gleichheit in λ abgeschlossen. Erwünscht ist aber eine Gradzuordnung, die unter λ-Gleichheit abgeschlossen ist. Dazu ist eine geeignete Abänderung der Mengen U_{n} gesucht, welche unter λ-Gleichheit abgeschlossen ist. Dann bietet sich zuerst die Menge U_{n}^{=} := {M | ∃N ∈ U_{n} mit λ ⊢ M = N} an. Für unlösbare Terme M ist aber (λy.yM)I ∈ U_{0} und \underbrace{I … I}_{n+2} M ∈ U_{n+1}. Also ist M in jeder Menge U_{n}^{=}; für jedes n gilt

USOL = U_{n}^{=}. Durch Gleichheit kann die Gestalt eines Terms allzusehr verzerrt werden. Wenn ein aussagekräftiger Unlösbarkeitsgrad definiert werden soll, darf auf solche störenden Effekte keine Rücksicht genommen werden. Sie müssen - wenn möglich - ausreduziert werden. In die Definition von U(M) gehen dann nur Eigenschaften von M ein, die im ganzen β-Reduktionsgraphen von M vorhanden sind. Für die Definition einer günstigen Abänderung der Mengen U_{n} bedeutet dies, daß ein Term in dieser Menge liegt, falls in seinem Reduktionsgraphen immer wieder Terme aus U_{n} auftreten. Für diesen Zweck haben wir im zweiten Paragraphen den Limes superior einer Menge eingeführt. Im Limes superior einer Menge X liegen die Terme, in deren β-Reduktionsgraphen immer wieder Terme aus X auftreten. Das ist hier der gewünschte Begriff. Jeder Term Σ_{n} ≡ Σ_{n}^{0} liegt in U_{n}, für k mit 0 ≤ k < n liegt Σ_{n}^{k+1} in U_{k}. Da alle Terme {Σ_{n}^{0}, …, Σ_{n}^{n}} im zyklischen Reduktionsgraphen von Σ_{n} immer wieder auftreten, ist Σ_{n} ein Element aller Mengen \overline{lim}U_{0}, …, \overline{lim}U_{n}. Die allgemeine Situation wird durch die folgenden Lemmata beleuchtet.

6.4 LEMMA. Jeder Term aus U_{n+1} besitzt ein β-Redukt in U_{n}.

Beweis. Induktion nach M ∈ U_{n+1}. Falls M ≡ (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+2} mit (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} ∈ SOL, so ist auch (λy.M_{0})M_{1} lösbar. (λy.M_{0})M_{1} besitzt also ein β-Redukt K in Kopfnormalform λz_{1} … z_{m}.wK_{1} … K_{l}. Da M unlösbar ist, gibt es eine Zahl j mit 1 ≤ j ≤ m und w ≡ z_{j}. Insbesondere ist m > 0, daher liegt N :≡ KN_{2} … N_{n+2} in U_{n}. Für die andern beiden Fälle der induktiven Definition von U_{n+1} greift sofort die Induktionsvoraussetzung. □

Damit ist auch klar, daß der Limes inferior hier zu keinem vernünftigen Begriff führt. Aus Lemma 6.4 folgt \underline{lim}U_{n+1} = ∅. \underline{lim}U_{0} dagegen ist bewohnt, schöpft aber nicht die Menge USOL aus. Es gilt Ω_{n} ∈ \underline{lim}U_{0} und Σ_{1} ∉ \underline{lim}U_{0}.

6.5 LEMMA. \overline{lim}U_{n+1} ⊆ \overline{lim}U_{n}.

Beweis. Gegeben sei ein Term M ∈ \overline{lim}U_{n+1}. Um zu zeigen, daß M auch ein Element von \overline{lim}U_{n} ist, sei eine Reduktion M ⟶ ⟶^{β} N vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es dann eine Reduktion N ⟶ ⟶^{β} K mit K ∈ U_{n+1} Wegen 6.4 besitzt K wiederum ein β-Redukt L ∈ U_{n}. Also liegt M ∈ \overline{lim}U_{n}. □

Aus 6.3(a) und 6.4 folgt \overline{lim}U_{0} ⊆ \{M | ∀M ⟶ ⟶^{β} N ∃N ⟶ ⟶^{β} K mit K ∈ U_{0}\} = USOL. Es gibt aber keine konstruktive Begründung für \overline{lim}U_{0} = USOL. Man verwende wieder die Terme U_{4}^{n} von Seite 151. Aus Lemma 6.5 geht hervor, daß ein unlösbarer Term M eventuell in mehreren Mengen \overline{lim}U_{n} liegen kann. Eine für M charakteristische Größe kann nur das Supremun der Zahlen n, so daß M ∈ \overline{lim}U_{n} liegt, sein. Da der Unlösbarkeitsgrad die Anzahl der relevanten Applikationen messen soll, muß dieser Wert noch um eins erhöht werden. Man vergleiche die Definition 6.2.

6.6 DEFINITION. M sei ein unlösbarer Term.

(a) M besitzt Unlösbarkeitsgrad n + 1 (U(M) = n + 1), falls n das Supremum der Zahlen m mit M ∈ \overline{lim}U_{m} ist.

(b) M besitzt unendlichen Unlösbarkeitsgrad (U(M) = ∞), falls M in allen Mengen \overline{lim}U_{n} liegt.

Da die Mengen \overline{lim}U_{n} gegen λ-Gleichheit abgeschlossen sind, ist der Wert U(M) invariant gegen λ-Gleichheit.

Beispiele

(a) U(Ω_{n}) = 1

(b) U(Σ_{n}) = n + 1

(c) U(Y_{T} K) = 2

Das dritte Beispiel kann weiter verallgemeinert werden. Ist R regulär, so ist der Term Y_{T} R unlösbar und hat Unlösbarkeitsgrad zwei. Dazu betrachte man die induktiv definierten Menge R:

(R1) Falls Y ∈ F IX_{T}, so ist jeder Term Y (λxλy_{1} … y_{m}.xS_{1} … S_{l}) in R.

(R2) Falls Z ∈ R, so ist jeder Term (λxλy_{1} … y_{m}.xS_{1} … S_{l})Z in R.

(R3) Falls Z ∈ R, so ist ZP und λu.Z in R.

Dann beweist man, daß R gegen β-Reduktion abgeschlossen ist und jeder Term aus R ein Redukt in U_{1} besitzt. Weiterhin gilt R ⊆ U_{0} ∪ U_{1}. Der reguläre Term R besitzt eine Kopfnormalform S ≡ λxλy_{1} … y_{m}.xS_{1} … S_{l}. Da G_{β}(Y_{T} S) ⊆ R, folgt nun U(Y_{T} R) = U(Y_{T} S) = 2.

Wenn M einen zyklischen β-Reduktionsgraphen besitzt, so ist U(M) = max{grad(N) | N ∈ G_{β}(M)}. Ist n die Ordnung des β-Reduktionsgraphen, so folgt aus Lemma 6.4 die Abschätzung U(M) ≤ n. Die Terme Σ_{n} sind Beispiele, bei denen in dieser Abschätzung die Gleichheit eintritt. Es gibt aber auch Terme mit zyklischem β-Reduktionsgraphen, bei denen der Unlösbarkeitsgrad kleiner als die Ordnung des β-Reduktionsgraphen ist. Man setze

V_{5} :≡ λxyz.zyxxyz und U_{5} :≡ V_{5}V_{5}Iω_{0}.

Dann betrachte man die Terme aus G_{β}(U_{5}) mit entsprechender Gradzuordnung:

grad
U_{5} ≡ V_{5}V_{5}Iω_{0}  3
⟶^{β} (λyz.zyV_{5}V_{5}yz)Iω_{0} 2
⟶^{β} (λz.zIV_{5}V_{5}Iz)ω_{0}  1
⟶^{β} ω_{0}IV_{5}V_{5}Iω_{0}  5
⟶^{β} IIV_{5}V_{5}Iω_{0}  5
⟶^{β} IV_{5}V_{5}Iω_{0}  4
⟶^{β} V_{5}V_{5}Iω_{0}  3

Es gilt also U(U_{5}) = 5, die Ordnung des zyklischen β-Reduktionsgraphen von U_{5} ist aber sechs.

Am Anfang dieses Paragraphen haben wir behauptet, daß es Terme mit unendlichem Unlösbarkeitsgrad gibt. Ein solcher wird nun angegeben.

6.7 SATZ. Es gibt einen Term G^{∞} mit U(G^{∞}) = ∞.

Beweis. Gesucht ist ein Term G^{∞}, in dessen β-Reduktiongraphen Terme mit beliebig großem Grad immer wieder auftreten. Hinter der Konstruktion von G^{∞} steckt die Idee, eine Folge von Termen G^{n} mit

G^{n} ⟶ ⟶^{β} ω_{n}IG^{n+1} ⟶^{β} \underbrace{I … I}_{n+2} G^{n+1}

zu bestimmen. G^{∞} kann dann gleich G^{0} gewählt werden. Zuerst werden daher Terme γ_{n} und δ_{n} mit

(1) γ_{n}δ_{n} ⟶ ⟶^{β} \underbrace{I … I}_{n+1}

gesucht. Für beliebige Terme M sei

\begin{aligned}(M)_{0}^{γ} & :≡ & M \\ (M)_{n+1}^{γ} & :≡ & λx.xK(M)_{n}^{γ}(xF)I und \\ (M)_{0}^{δ} & :≡ & M \\ (M)_{n+1}^{δ} & :≡ & [I, (M)_{n}^{δ}]. \end{aligned}

Sei zur Abkürzung M^{γ} :≡ (M)_{1}^{γ} und M^{δ} :≡ (M)_{1}^{δ}. Dann wird γ_{n} :≡ (I)_{n}^{γ} und δ_{n} :≡ (I)_{n}^{δ} gesetzt. Weiterhin sei C_{n} := {P | γ_{n}δ_{n} ⟶ ⟶^{β} P }. Es ist jetzt leicht zu sehen, daß (1) erfüllt ist. Für die Analyse des β-Reduktionsgraphen von G^{∞} wird aber noch eine etwas stärkere Eigenschaft benötigt. Für k mit 0 ≤ k ≤ n zeigt man durch Induktion nach k

(2) γ_{n}δ_{n} ⟶ ⟶^{hβ} γ_{n−k}(δ_{n} \underbrace{F … F}_{k}) \underbrace{I … I}_{k} .

Daraus folgt sofort

(3) γ_{n}δ_{n} ⟶ ⟶^{hβ} \underbrace{I … I}_{n+1} .

Mit dem Satz über Standardisierung folgt, daß jedes β-Redukt P von γ_{n}δ_{n} mit abs(P) > 0 schon der Term I ist:

(4) Für P ∈ C_{n} mit abs(P) > 0 gilt P ≡ I. Jetzt kann G^{∞} definiert werden.

\begin{aligned}Z_{6} & :≡ & λhyx.xyhy^{δ}x^{γ} \\ W_{6} & :≡ & Y_{T} Z_{6} \\ G^{∞} & :≡ & W_{6}δ_{0}γ_{0} (≡ W_{6}II). \end{aligned}

Der Reduktionsgraph von W_{6} läßt sich einfach charakterisieren. Wir definieren induktiv die Menge D.

(D1) Falls Y ∈ F IX_{T}, so ist Y Z_{6} in D.

(D2) Mit Q ist auch Z_{6}Q in D.

(D3) Mit Q ist auch λyx.xyQy^{δ}x^{γ} in D.

Durch Induktion nach Q ∈ D zeigt man

(5) Y_{T} Z_{6} ⟶ ⟶^{β} Q

und

(6) falls Q ⟶^{β} Q′, so ist auch Q′ in D. Dann folgt

(7) D = G_{β}(W_{6}). Weiterhin gilt:

(8) Für jeden Term Q aus D und n ∈ IN gibt es einen Term Q′ ∈ D mit

\begin{matrix}Qδ_{n}γ_{n} & ⟶ ⟶^{β} & γ_{n}δ_{n}Q′δ_{n+1}γ_{n+1} \\ Qδ_{n}γ_{n} & ⟶ ⟶^{β} & Q′δ_{n+1}γ_{n+1}. \end{matrix}

Die erste Aussage wird durch Induktion nach Q ∈ D gezeigt. Die zweite Aussage folgt dann mit (1). Auch für G_{β}(G^{∞}) geben wir eine (induktive) Definition an.

(E_{1}) Falls P ∈ C_{n} und Q ∈ D ist, so ist P Qδ_{n+1}γ_{n+1} in E.

(E_{2}) Falls Q ∈ D, so ist Qδ_{n}γ_{n} ∈ E.

(E_{3}) Falls Q ∈ D, so ist (λx.xδ_{n}Qδ_{n+1}x^{γ})γ_{n} in E.

Mit Hilfe von (4) und (8) beweist man

(9) E = G_{β}(G^{∞}). Es ist nun möglich genauere Aussagen über G_{β}(G^{∞}) zu machen. Durch Fallunterscheidung nach R ∈ E folgt:

(10) Jeder Term R aus E besitzt ein Redukt der Form Qδ_{n}γ_{n} mit Q ∈ D und n ∈ IN.

Wir können nun die entscheidende Aussage beweisen.

(11) Zu jedem Term R aus E und jeder Zahl k gibt es eine Zahl n ≥ k und einen Term Q ∈ D mit

R ⟶ ⟶^{β} \underbrace{I … I}_{n+1} Qδ_{n+1}γ_{n+1}.

Diese Aussage folgt mit Induktion nach k aus (10), (8) und (3). Der Term \underbrace{I … I}_{n+1} Qδ_{n+1}γ_{n+1} liegt in U_{n+2}. Nach 6.4 besizt dieser Term ein

β-Redukt in U_{k}. Da E = G_{β}(G^{∞}), liegt G^{∞} in jeder Menge \overline{lim}U_{k}. Also gilt U(G^{∞}) = ∞. □

Wir wollen nun zeigen, daß der Unlösbarkeitsgrad eines Terms gegenüber λη-Kongruenz invariant ist. Wir beginnen mit dem Beweis, daß U(M) gegenüber λη-Gleichheit invariant ist. Dazu werden entsprechende Abschlußeigenschaften der Mengen U_{n} studiert.

6.8 LEMMA. Gegeben sei ein Term M ∈ U_{n} und eine η-Kontraktion M ⟶^{η} N. Dann gibt es ein k mit N ∈ U_{n+k}.

Beweis. Induktion nach M ∈ U_{n}.

1.Fall M ≡ (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} mit (λy.M_{0})M_{1} … M_{n} ∈ SOL.

1.1 M_{0} ≡ M_{00}y und N ≡ M_{00}M_{1} … M_{n+1}.

Da N einen Kopfredex besitzt, ist M_{00} von der Form (λz.L_{0})L_{1} … L_{k} mit k ≥ 0. Also liegt N ∈ U_{n+k}.

1.2 Für Terme N_{i} gilt N ≡ (λy.N_{0})N_{1} … N_{n+1} und während sonst M_{i} ≡ N_{i} zutrifft, gilt für genau ein j M_{j} ⟶^{η} N_{j}. Dann bleibt (λy.N_{0})N_{1} … N_{n+1} unlösbar und (λy.N_{0})N_{1} … N_{n} lösbar. Also liegt N in U_{n}.

2.Fall M ≡ M_{0}P mit M_{0} ∈ U_{n}.

2.1 N ≡ N_{0}P mit M_{0} ⟶^{η} N_{0}.

Dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein k mit N_{0} ∈ U_{n+k}, also auch N ∈ U_{n+k}.

2.2 N ≡ M_{0}Q mit P ⟶^{η} Q.

Hier ist nichts zu zeigen.

3.Fall M ≡ λx.M_{0} mit M_{0} ∈ U_{n}

3.1 M_{0} ≡ M_{00}x und N ≡ M_{00}.

Also gilt M_{00} ∈ U_{n}. Dann ist M_{00} ≡ N unlösbar und Element von U_{n}.

3.2 N ≡ λx.N_{0} mit M_{0} ⟶^{η} N_{0}.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein k mit N_{0} ∈ U_{n+k}. Damit liegt

auch N in U_{n+k}. □

Bei beliebigen η-Reduktionen M ⟶ ⟶^{η} N kann grad(N) größer sein als grad(M). Zum Beispiel gilt bei der Konversion (λx. \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n+1} x)σ_{n} ⟶^{η} Σ_{n}

grad((λx. \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n+1} x)σ_{n}) = 1 und grad(Σ_{n}) = n+1. Betrachtet man aber un-

kritische η-Reduktionen M ⟶ ⟶^{uη} N, so bleibt der Grad gleich. Die Struktur eines Terms wird bei unkritischen η-Reduktionen nur unwesentlich verändert.

6.9 LEMMA. Gegeben sei eine unkritische η-Reduktion M ⟶ ⟶^{uη} N. Falls N in U_{n} liegt, so auch M.

Beweis. Induktion nach N ∈ U_{n}.

1.Fall N ≡ (λy.N_{0})N_{1} … N_{n+1} mit (λy.N_{0})N_{1} … N_{n} ∈ SOL. Wegen 3.27 ist M von der Form λu_{1} … u_{r}.(λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1}U_{1} … U_{r} mit M_{i} ⟶ ⟶^{uη} N_{i}. Daher liegt (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} in U_{n}. Das bedeutet, daß auch λu_{1} … u_{r}.(λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1}U_{1} … U_{r} ein Element von U_{n} ist.

2.Fall N ≡ N_{1}N_{2} mit N_{1} ∈ U_{n}.

Dann ist M von der Form λu_{1} … u_{r}.M_{1}M_{2}U_{1} … U_{r} mit M_{i} ⟶ ⟶^{uη} N_{i}. Nach

Induktionsvoraussetzung liegt M_{1} in U_{n}. Dann ist auch M in U_{n}.

3.Fall N ist λx.N_{0} mit N_{0} ∈ U_{n}. Dann ist M von der Form λx.M_{0} mit M_{0} ⟶ ⟶^{uη} N_{0}. Nach Induktionsvoraussetzung ist M_{0} Element von U_{n}. Also liegt auch M in U_{n}.

□

6.10 KOROLLAR. \overline{lim}U_{n} ist unter λη-Gleichheit abgeschlossen.

Beweis. Da die Mengen \overline{lim}U_{n} gegen λ-Gleichheit abgeschlossen sind, reicht es den Fall der η-Gleichheit zu prüfen. Wir zeigen zuerst:

(1) Ist M ∈ \overline{lim}U_{n} und M ⟶ ⟶^{η} M′, so ist M′ ∈ \overline{lim}U_{n}. Gegeben sei also eine β-Redukt N′ von M′. Dies ist zugleich ein βη -Redukt von M. Dann gibt es einen Term N mit M ⟶ ⟶^{β} N und N ⟶ ⟶^{η} N′. Nach Voraussetzung ist M Element von \overline{lim}U_{n}. Folglich gibt es eine Reduktion N ⟶ ⟶^{β} K mit K ∈ U_{n}. Nun kommutieren β- und η-Reduktionen. Es gibt einen Term K′ mit K ⟶ ⟶^{η} K′ und N′ ⟶ ⟶^{β} K′. Nach 6.8 gibt es eine Zahl k mit K′ ∈ U_{n+k}. Wegen 6.4 besitzt K′ ein β-Redukt L′ ∈ U_{n}. Also liegt M′ in \overline{lim}U_{n}. Die Umkehrung von (1) gilt auch, wir zeigen

(2) Ist M′ ∈ \overline{lim}U_{n} und M ⟶ ⟶^{η} M′, so ist M ∈ \overline{lim}U_{n}. Gegeben ist also eine β-Reduktion M ⟶ ⟶^{β} N. Da β und η kommutieren, existiert ein Term N′ mit N ⟶ ⟶^{η} N′ und M′ ⟶ ⟶^{β} N′. Nach Voraussetzung besitzt N′ ein β-Redukt K′ in U_{n}. K′ ist dann ein βη-Redukt von N. Mit 3.40 können wir diese Reduktion in eine β- und eine unkritische η-Reduktion aufteilen. Es existiert ein Term K mit N ⟶ ⟶^{β} K und K ⟶ ⟶^{uη} K′. Wegen 6.9 ist K ein Element von U_{n}. Also sind die Mengen \overline{lim}U_{n} gegen η- und λη-Gleichheit abgeschlossen. □

Um die Abgeschlossenheit der Menge \overline{lim}U_{n} unter Kongruenz zu zeigen, ist es nützlich, stark unlösbare Terme zu betrachten. Diese wurden in 4.19 eingeführt.

6.11 LEMMA. A und B seien einfach markierte stark unlösbare Terme mit A ≅_{IE} B. Dann gilt

|A| ∈ U_{n} ⟺ |B| ∈ U_{n}.

Beweis. Es reicht, eine Richtung der Äquivalenz zu beweisen. Wir zeigen durch Induktion nach |A| ∈ U_{n}, daß auch |B| ein Element von U_{n} ist.

1.Fall |A| ≡ (λy.M_{0})M_{1} … M_{n+1} und (λy.M_{0})M_{1} … M_{n} ist lösbar.

Da A nicht markiert lösbar ist, besitzt A die Gestalt (λy.A_{0})A_{1} … A_{n+1} mit |A_{i}| ≡ M_{i}. Wegen A ≅_{IE} B, besitzt B die Gestalt (λy.B_{0})B_{1} … B_{n+1} mit A_{i} ≅_{IE} B_{i}. |(λy.A_{0})A_{1} … A_{n}| ist lösbar, daher folgt aus 4.30, daß (λy.A_{0})A_{1} … A_{n} stark lösbar ist. Dann ist auch (λy.B_{0})B_{1} … B_{n} stark lösbar. Das bedeutet, daß |(λy.B_{0})B_{1} … B_{n}| lösbar ist, also liegt der Term |(λy.B_{0})B_{1} … B_{n+1}| in U_{n}.

2.Fall |A| ≡ MP mit M ∈ U_{n}.

Da A nicht markiert lösbar ist, gilt A ≡ A_{1}A_{2} mit |A_{1}| ≡ M. Dann besitzt B die Gestalt B_{1}B_{2} mit A_{i} ≅_{IE} B_{i}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt |B_{1}| ∈ U_{n}, also auch |B| ∈ U_{n}.

3.Fall |A| ≡ λx.M mit M ∈ U_{n}.

Da A nicht markiert lösbar ist, gilt A ≡ λx.A_{0} mit |A_{0}| ≡ M. Daher besitzt B die Gestalt λx.B_{0} mit A_{0} ≅_{IE} B_{0}. Mit der Induktionsvoraussetzung folgt nun die Behauptung.

□

6.12 LEMMA. A und B seien einfach markierte stark unlösbare Terme mit A ≅_{IE} B. Dann gilt |A| ∈ \overline{lim}U_{n} ⟺ |B| ∈ \overline{lim}U_{n}.

Beweis. Es reicht eine Richtung der Äquivalenz zu zeigen. Sei |A| ∈ \overline{lim}U_{n}. Gegeben sei eine β-Reduktion |B| ⟶ ⟶^{β} N′. Diese läßt sich

nach 4.10 liften. Wir erhalten eine β_{IE}^{+}-Reduktion B ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} D mit |D| ≡ N′. Da Isomorphie und β_{IE}^{+}-Reduktionen vertauschen, gibt es eine β_{IE}^{+}-Reduktion

A ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} C mit C ≅_{IE} D. Diese läßt sich projezieren. Wir erhalten eine Reduktion |A| ⟶ ⟶^{β} |C|. Nach Voraussetzung besitzt N :≡ |C| ein β-Redukt K in U_{n}. Der Prozeß des Liftens und Projezierens wird nun in der anderen Richtung wiederholt. Es gibt einen markierten Term E mit C ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} E und |E| ≡ K. Wegen 4.11

gibt es einen markierten Term F mit D ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} F und E ≅_{IE} F. Durch Projeziren erhält man eine β-Reduktion N′ ⟶ ⟶^{β} |F |. Setzt man K′ :≡ |F |, so folgt aus E ≅_{IE} F und Lemma 6.11 K′ ∈ U_{n}. Der Term |B| liegt somit in \overline{lim}U_{n}.

[figure: A; C; β_{IE}^{+}; |A|; N; β; | |; | |; E; β_{IE}^{+}; K; β; | |; |B|; N′; β; B; D; β_{IE}^{+}; | |; | |; ≅_{IE}; ≅_{IE}; K′; β; F; β_{IE}^{+}; | |; ≅_{IE}]
□

6.13 KOROLLAR. Für unlösbare Terme M und beliebige P und Q gilt

MP ∈ \overline{lim}U_{n} ⟺ MQ ∈ \overline{lim}U_{n}.

Beweis. Nach 4.31 sind A :≡ M(P ∘ 1) und B :≡ M(Q ∘ 1) stark unlösbar. Die Behauptung folgt dann aus Lemma 6.12. □

Für den Beweis, daß \overline{lim}U_{n} unter der zentralen Kongruenzregel (K2) abgeschlossen ist, müssen wir die Regel (K5) behandeln.

6.14 LEMMA. Falls M unlösbar ist, so gilt

M ∈ \overline{lim}U_{n} ⟺ λx.M ∈ \overline{lim}U_{n}.

Beweis. Diese Aussage gilt, weil ein unlösbarer Term N_{0} genau dann in U_{n} liegt, wenn λx.N_{0} in U_{n} liegt. Außerdem beachte man, daß λx.N_{0} ⟶ ⟶^{β} K eine β-Reduktion N_{0} ⟶ ⟶^{β} K_{0} mit K ≡ λx.K_{0} zur Folge hat. □

6.15 SATZ.

(a) Die Mengen \overline{lim}U_{n} sind gegen λη-Kongruenz abgeschlossen.

(b) Der Unlösbarkeitsgrad eines Terms ist gegenüber λη-Kongruenz invariant.

Beweis. Zu zeigen bleibt, daß die Mengen \overline{lim}U_{n} gegen die Kongruenzregel (K2) abgeschlossen sind. Gegeben sei ein unlösbarer Term M und ein beliebiger Term P. Es gilt nun

M ∈ \overline{lim}U_{n} ⟺^{6.10} λx.Mx ∈ \overline{lim}U_{n}
⟺^{6.14} Mx ∈ \overline{lim}U_{n}
⟺^{6.13} MP ∈ \overline{lim}U_{n}.
□

Da bei der Abbildung grad die für die Unlösbarkeit relevante Anzahl von Applikationen gezählt wird, sollte dieses Ergebnis den Leser nicht allzusehr verwundern. Die Beschränkung auf relevante Teile eines Terms bedeutet gerade, daß modulo Kongruenz gerechnet wird. Trotzdem ist Satz 6.15 keine triviale Aussage. Die Mengen U_{n} sind gegen die Kongruenzregeln K2 und K5, aber nicht gegen die restlichen Kongruenzregeln abgeschlossen. Durch die Abbildung U wird die Menge der unlösbaren Terme geordnet. Was soll es nun bedeuten, wenn für zwei unlösbare Terme die Relation U(M) < U(N) gilt? Dann kann M als ein Term aufgefaßt werden, dessen Unlösbarkeit schneller und besser zu erkennen ist, als die von N. In diesem Sinne ist M stärker unlösbar als N, und Ω ist ein Term mit maximaler Unlösbarkeitsstärke. Der Term N liegt in mehr Mengen \overline{lim}U_{n} als M, größere Anteile von N sind noch lösbar. Die Unlösbarkeit von N kommt durch eine komplziertere Struktur zustande. N weist mehr Komplexität als M auf, das gilt bei der hier vorgeschlagenen Interpretation aber nicht als ein Zeichen von Stärke. Die Menge der Terme mit einem festen Unlösbarkeitsgrad m ∈ IN^{+} ∪ {∞} besteht aus unendlich vielen^{∥} Kongruenzklassen unlösbarer Terme. Diese Terme sind dann nicht allein im Sinne der Kongruenz ähnlich, sie besitzen eine gemeinsame Eigenschaft die durch den Unlösbarkeitsgrad widergegeben wird. Während bei der Klassifikation der unlösbaren Terme durch Kongruenzklassen ein unlösbarer Term relativ zu anderen unlösbaren Termen eingeordnet wir, erlaubt die Klassifikation durch Unlösbarkeitsgrade eine Einteilung anhand eines absoluten Maßstabes. Dies liefert zugleich den dritten Beweis, daß verschiedene Kongruenzklassen existieren. Die Terme Σ_{n} besitzen unterschiedliche Unlösbarkeitsgrade. Also sind verschiedene Σ_{n} und Σ_{m} inkongruent.

∥Die inkongruenten Terme Ω_{n} besitzen alle den Unlösbarkeitsgrad eins. Damit ist gesichert, daß in {M ∈ USOL | U(M) = 1} unendlich viele Kongruenzklassen liegen. Ähnliche Beispiele lassen sich auch für {M ∈ USOL | U(M) = n+2} und {M ∈ USOL | U(M) = ∞} finden.

7 Atomare Terme

Wenn sich ein Mann der Herrschaft einer Leidenschaft hingibt - odr mit anderen Worten, wenn sein Steckenpferd reitstättisch wird - dann gute Nacht kalte Vernunft und ordentliche Überlegung.

In diesem Paragraphen soll untersucht werden, inwieweit gewisse unlösbare Terme die Rolle von Variablen bzw. Atomen übernehmen können. Der Anlaß dazu ist das Problem, ob im geschlossenen Termmodell M^{0}(λη) alle bijektiven Terme invertierbar sind. Im offenen Termmodell M(λη) wird das Problem dadurch gelöst, daß man zu einem gegebenen bijektiven Term eine neue freie Variable findet. In M^{0}(λη) existieren keine Variablen. Diese sollen durch Nichtstandardatome simuliert werden. Die genauen Einzelheiten des Invertierbarkeitsproblems werden im nächsten Paragraphen beschrieben. Ein verwandtes Problem findet sich in [?], Kapitel 17. Dort wird untersucht, ob die ω-Regel

∀Z ∈ Λ^{0} MZ = NZ ⊢ M = N

im extensionalen λ-Kalkül zulässig ist. Es stellt sich heraus, daß die ω-Regel ist in λη nicht zulässig ist. Das impliziert, daß die Extensionalitätsregel (ext) in M^{0}(λη) nicht gilt. Für diesen Effekt sind die in M^{0}(λη) fehlenden Variablen verantwortlich. Wenn M und N allerdings keine universellen λη Erzeuger sind (siehe [?] 8.2.7), dann ist die Regel zulässig. Unter dieser Voraussetzung können variablenähnliche Kombinatoren die Rolle der Variablen übernehmen. Variablenähnliche Kombinatoren sind von der Form ΩU für spezielle U. Für den Beweis der partiellen Zulässigkeit wird nur ein variablenähnlicher Kombinator verwendet. Wir werden dagegen beliebig viele Nichtstandardatome benötigen. Es gibt keinen variablenähnlichen Term, der zugleich ein Nichtstandardatom ist. Es soll also auf Übereinstimmungen zwischen unlösbaren Termen und Variablen geachtet werden. Kombinatoren F sind genau dann lösbar, wenn es Terme P_{1}, …, P_{n} mit λ ⊢ F P_{1} … P_{n} = I gibt. Variablen sind (fast) per definitionem lösbar, aber es gibt keine Terme P_{1}, …, P_{n} mit λ ⊢ xP_{1} … P_{n} = I. Sie sind in dem Sinne singulär, daß die Menge {N | ∃P_{1}, …, P_{n} λ ⊢ xP_{1} … P_{n} = N} nicht ganz Λ ausschöpft. Diese Eigenschaft teilen sie mit den unlösbaren Termen.

7.1 DEFINITION.

(a) Ein Term M ist singulär, falls

{N | ∃P_{1}, …, P_{n} λ ⊢ MP_{1} … P_{n} = N} ≠ Λ.

(b) SING bezeichnet die Menge der singulären Terme.

Dann sind alle unlösbaren Terme singulär, ebenfalls sind für jedes Atom a alle Terme aus SOL_{a} singulär.

7.2 BEMERKUNG. Für einen Term M sind äquivalent:

(a) M ist singulär.

(b) ∀P_{1}, … P_{n} λ ⊬ MP_{1} … P_{n} = I.

(c) Ist M lösbar, so gibt es ein Atom a mit M ∈ SOL_{a}.

Der Begriff der Singularität läßt sich auch relativ zu einer Theorie T betrachten. Ist T halbsinnvoll, so ist die T -Singularität mit der gewöhnlichen Singularität identisch. Wir können ≈_{T}, dessen Feld die Menge der unlösbaren Terme ist, kanonisch auf SING expandieren. Insbesondere gilt dann MP ≈_{T} M für singuläre M. Es ist erlaubt, die expandierte Kongruenzrelation weiterhin mit ≈_{T} zu bezeichnen, sie ist konservativ über der in 5.1 definierten. Lösbare und unlösbare Terme sind weiterhin inkongruent. Ist a ein Atom, so bilden die Terme aus SOL_{a} eine Kongruenzklasse. Diese besitzt den kanonischen Repräsentanten a. Für unlösbare Terme M suchen wir ebenfalls besonders einfache und kanonische Repräsentanten der Klassse [M]_{≈}. Diese werden Nichtstandardatome heißen. Nicht jede Klasse [M]_{≈} wird ein Nichtstandardatom besitzen; M ist dann atomlos. Atome a sind in dem Sinn, daß sie keine echten Subterme besitzen, unteilbar. Unlösbare Terme besitzen immer echte Subterme. Daher kann diese Bedingung hier nicht zum Erfolg führen. Wir betrachten deshalb andere Eigenschaften von Atomen. Jedes Atom a besitzt keine Funktionalität und hat die Ordnung Null. Das soll die erste Anforderung für Nichtstandardatome werden.

7.3 DEFINITION.

Ein unlösbarer Term U heißt Ordnungsatom, falls O(U) = 0 gilt.

Für viele Anwendungen, bei denen Eigenschaften von echten Atomen durch unlösbare Terme simuliert werden sollen, ist es ausreichend Ordnungsatome zu betrachten. Man beachte insbesondere [?] und Lemma 8.1. Ordnungsatome können aber viele unlösbare Subterme und Teiler besitzen. Um den Begriff des unlösbaren Teilers zu präzisieren, verwenden wir eine Sprechweise, die von der Kongruenz stammt. Ein unlösbarer Term M heißt Teiler von N, falls N durch eine Streckung aus M hervorgeht.

7.4 DEFINITION. M und N seien unlösbar.

(a) M ist Teiler von N, falls für einen Term P die Gleichung λ ⊢ MP = N gilt.

(b) Falls λ ⊢ M = KN, so heißt M trivialer Teiler von N.

(c) M heißt irreduzibel, falls alle Teiler von M trivial sind.

(d) Ein Nichtstandardatom ist ein irreduzibles Ordnungsatom.

7.5 LEMMA. Ist U irreduzibel, so existiert ein Kombinator V mit λ ⊢ U = V.

Beweis. Es reicht zu zeigen, daß U ein β-Redukt besitzt, in dem ein vorgegebenes Atom nicht auftritt. Die Behauptung folgt dann durch Induktion nach der Anzahl der in U auftretenden Atome. Gegeben sei also ein Atom a. Zu einer neuen Variablen x gibt es dann einen Term U_{0} mit λ ⊢ (λx.U_{0})a = U, so daß a nicht in U_{0} auftritt. Da U irreduzibel ist, gilt λx.U_{0} = KU = λx.U. Daher besitzen U und U_{0} ein gemeinsames β-Redukt W. In diesem tritt a nicht auf. □

7.6 LEMMA.

(a) Mit U ist auch KU irreduzibel.

(b) Mit U ist auch jeder Term K^{n}U irreduzibel.

Beweis.

(a) Für einen unlösbaren Term V gelte λ ⊢ KU = V P. Gegeben sei eine neue Variable x. Dann folgt λ ⊢ U = V P x. Da x nicht in U auftritt, gibt es nach 2.25 einen Term W und eine neue Variable y mit λ ⊢ V = λyλx.W und λ ⊢ U = (λy.W)P. Der Term U ist irreduzibel, daher gilt λ ⊢ (λy.W) = KU und λ ⊢ W = U. Also folgt λ ⊢ V = λyλx.W = λyλx.U = K(KU).

(b) folgt durch Induktion aus (a).

□

7.7 KOROLLAR. Für unlösbares V und irreduzibles U gelte λ ⊢ V P_{1} … P_{n} = U. Dann folgt λ ⊢ V = K^{n}U.

Beweis. Durch Induktion nach n mit Hilfe von Lemma 7.6. □

7.8 LEMMA. λx.U sei irreduzibel. Dann gilt:

(a) λx.U = KU.

(b) U ist irreduzibel.

Beweis.

(a) z sei eine neue Variable. Aus λ ⊢ λx.U = (λzx.(λx.U)(zx))I folgt λ ⊢ λzx.(λx.U)(zx) = K(λx.U). Durch Anwendung auf Kz erhält man λ ⊢ λx.(λx.U)z = λx.U. Also gilt λ ⊢ U[x := z] = U und λ ⊢ λx.U = KU.

(b) Um die Irreduzibilität von U zu beweisen sei für einen unlösbaren Term V die Gleichheit λ ⊢ U = V P angenommen. x und y seien neue Variablen. Es folgt λ ⊢ KU = K(V P) = (λxy.(V x))P. Da KU nach Voraussetzung und (a) irreduzibel ist, gilt jetzt λ ⊢ λxy.(V x) = K(KU) = λxy.U. Das impliziert λ ⊢ V x = U und λ ⊢ V = KU.

□

Für irreduzible Terme U von endlicher Ordnung erweist sich die Forderung O(U) = 0 als Normierungseigenschaft. U ist der einfachste Vertreter der Menge {λx_{1} … x_{n}.U | n ∈ IN}.

7.9 LEMMA. Für zwei Nichtstandardatome U und V gelte λ ⊢ UP_{1} … P_{l} = V Q_{1} … Q_{m}. Dann folgt λ ⊢ U = V, l = m und für alle i mit 1 ≤ i ≤ m die Gleichheit λ ⊢ P_{i} = Q_{i}.

Beweis. UP_{1} … P_{l} und V Q_{1} … Q_{m} besitzten ein gemeinsames β-Redukt W. Da U und V die Ordnung Null besitzten, gibt es Terme U′, V′,Pi^{′} sowie Qj^{′} mit

W ≡ U′P1^{′} … Pl^{′} und W ≡ V′Q1^{′} … Qm^{′}
U ⟶ ⟶^{β} U′  V ⟶ ⟶^{β} V′
P_{i} ⟶ ⟶^{β} Pi^{′}  Q_{j} ⟶ ⟶^{β} Qj^{′}.

Falls l ≥ m, so gilt U′P1^{′} … P l−m_{′} ≡ V′. Daraus folgt nach 7.7 λ ⊢ U = K^{l−m}V. Da U und V die Ordnung Null besitzen, gilt l − m = 0 und l = m. Ebenso folgt im Fall m ≥ l die Gleichheit von l und m. □

Ist a ein Atom, so besitzen alle Terme M aus SOL_{a} eine eindeutige Darstellung λ ⊢ M = λx_{1} … x_{m}.aP_{1} … P_{l}. Diese Darstellung heißt Darstellung von M in a. Dabei darf a nicht eine der Variablen x_{1}, …, x_{m} sein. Außerdem ist die Darstellung nur modulo Umbenennung der Variablen x_{1}, …, x_{m} eindeutig. Diese Variablen dürfen also auch in den Termen P_{1}, … P_{l} umbenannt werden. Die Existenz einer eindeutigen Darstellung aller Terme aus SOL_{a} charakterisiert das Atom a. Modulo λ-Gleichheit ist a der einzige Term, durch den alle Terme aus SOL_{a} in der obigen Weise eindeutig dargestellt werden können. Gleiches gilt für Nichtstandardatome. Um zu beweisen, daß alle Terme aus der Kongruenzklasse [V]_{≈} eines Nichtstandardatoms V eine eindeutige Darstellung in V besitzen, ist es vorteilhaft eine induktive Charakterisierung der Kongruenzklasse [V]_{≈} anzugeben.

7.10 DEFINITION. U sei unlösbar. T sei eine halbsinnvolle Theorie.

(K1_{T} [U]) {W | T ⊢ W = U} ⊆ K_{T} [U]

(K2_{T} [U]) Falls für unlösbare W, Z mit Z ∈ K_{T} [U] die Gleichheit T ⊢ W P = Z gilt, so ist W in K_{T} [U].

(K3_{T} [U]) Falls W ∈ K_{T} [U] und T ⊢ W P = Z, so ist Z in K_{T} [U].

Mit K[U] bezeichnen wir die Menge K_{λ}[U].

Es ist leicht zu zeigen, daß [U]_{≈} = K[U] gilt. Die induktive Darstellung K[U] der Kongruenzklasse von U verkürzt nachfolgende Beweise.

7.11 SATZ. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) V ist ein Nichtstandardatom.

(b) Jeder Term M ≈ V besitzt eine eindeutige Darstellung

λ ⊢ M = λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{l}.

Beweis. (a)⇒(b): Zuerst wird durch Induktion nach M ∈ K[V] die Existenz einer Darstellung gezeigt. Der einzig interessante Fall ist (K2[V]). Gegeben sei also ein Term N ∈ K[V] mit λ ⊢ MQ = N. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt N eine Darstellung λ ⊢ N = λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{m}. Zu zeigen ist, daß auch M eine Darstellung in V besitzt. Da O(V) = 0, können wir ohne Einschränkung annehmen, daß eine β-Reduktion MQ ⟶ ⟶^{β} λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{l} existiert. Wir unterscheiden die beiden Fälle aus Lemma 2.24.

1.Fall

Es gibt ein L mit M ⟶ ⟶^{hβ} λz.L und L[z := Q] ⟶ ⟶^{iβ} λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{l}.

Da O(V) = 0, besitzt V die Gestalt (λy.V_{0})V_{1} … V_{q}. Daher ist L von der Form λx_{1} … x_{m}.(λy.L_{0})L_{1} … L_{q+l}. Weiterhin gilt für i mit 0 ≤ i ≤ q L_{i}[z := Q] ⟶ ⟶^{β} V_{i}, und für i mit 1 ≤ i ≤ l existiert eine Reduktion

L_{i+q}[x := Q] ⟶ ⟶^{β} P_{i}. Daraus folgt λ ⊢ (λz.(λy.L_{0})L_{1} … L_{q})Q = V.

Da V irreduzibel ist, gilt λ ⊢ λz.(λy.L_{0})L_{1} … L_{q}) = KV. Das impliziert λ ⊢ V = (λy.L_{0})L_{1} … L_{q}. Also besitzt M die Darstellung λ ⊢ M = λzλx_{1} … x_{m}.V L_{q+1} … L_{q+l}.

2.Fall λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{l} ist eine Applikation Q_{1}Q_{2}, und es gelten λ ⊢ M = Q_{1} sowie λ ⊢ Q = Q_{2}. Dann ist m = 0. Falls l = 0, so gilt λ ⊢ MQ = V und wegen der Irrduzibilität von V auch λ ⊢ M = KV = λx.V. Wenn l > 0 ist, so besitzt M die Darstellung λ ⊢ M = V P_{1} … P_{l−1}.

Die Eindeutigkeit der Darstellung folgt aus Lemma 7.9.

(b)⇒(a): Zuerst ist zu zeigen, daß V die Ordnung Null besitzt. Gegeben sei ein Term W mit λ ⊢ V = W. Falls W eine Abstraktion λx.W_{0} ist, so besitzt W die Darstellungen λ ⊢ W = V und λ ⊢ W = λx.W x = λx.V x. Das kann nicht sein. W ist eine Applikation. Um die Irreduzibilität von V nachzuweisen sei ein unlösbarer Term M mit λ ⊢ MQ = V gegeben. Dann ist M in der Kongruenzklasse von V, besitzt also eine eindeutige Darstellung λ ⊢ M = λx_{1} … x_{m}.V P_{1} … P_{l}. Daher gilt λ ⊢ V = MQ = λx_{2} … x_{m}.V (P_{1}[x_{1} := Q]) … (P_{l}[x_{1} := Q]). Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von V folgt somit m = 1 und l = 0. Also ist λ ⊢ M = λx_{1}.V = KV. □

7.12 LEMMA. Zwei kongruente Nichtstandardatome werden in λ identifiziert.

Beweis. Gegeben seien Nichtstandardatome U und V mit U ≈ V. Wegen 7.11 besitzt V eine Darstellung λ ⊢ V = λx_{1} … x_{m}.UP_{1} … P_{l}. Daraus folgt λ ⊢ V x_{1} … x_{m} = UP_{1} … P_{l}. Aus Lemma 7.9 folgt nun λ ⊢ U = V. □

Wir können an dieser Stelle noch keine Beispiele für Nichtstandardatome angeben. Es ist aber leicht zu sehen, daß gewisse Kongruenzklassen keine Nichtstandardatome besitzen. Die Kongruenzklasse von K^{∞} besteht nach 5.5 nur aus Termen von unendlicher Ordnung. Folglich ist [K^{∞}]_{≈} atomlos. Mit 5.60 beweist man, daß auch [Ω_{1}]_{≈} atomlos ist. Alle Terme aus [Ω_{1}]_{≈} werden in λ mit einem Term der Form λy_{1} … y_{m}.(λx.xxP)(λx.xxQ)R_{1} … R_{l} identifiziert. Diese Terme sind nicht irreduzibel.

Um die Existenz von irreduziblen Termen einzusehen, ist es vorteilhaft einfach markierte Terme zu betrachten. Ein Term U ist genau dann irreduzibel, wenn jeder stark unlösbare Term A mit λ ⊢ |A| = U modulo λIE keine Marken besitzt, d. h. wenn jeder Subterm von U, der für die Unlösbarkeit irrelevant ist, ausreduziert werden kann.

7.13 LEMMA. Für unlösbare Terme sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) U ist irreduzibel.

(b) Für alle V mit U ⟶ ⟶^{β} V und stark unlösbaren Terme A mit |A| ≡ V

gibt es eine β_{0}-Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{0}} B mit trivial markiertem B.

(c) Für alle stark unlösbaren Terme A mit λ ⊢ |A| = U gilt λIE ⊢ A = U.

Beweis. (a)⇒(b): Gegeben seien ein β-Redukt V von U und ein stark unlösbarer Term A mit |A| ≡ V. Für eine neue Variable x betrachte man den einfach markierten Term B :≡ λx.[A, A]_{x}. Wegen 5.3 und 4.27 ist B stark unlösbar. Daher ist |B| unlösbar, und es gilt λ ⊢ |B| F = |A| = U. Da U irreduzibel ist, folgt λ ⊢ |B| = KU. Somit gilt für alle Terme M die Gleichheit λ ⊢ |[A, A]_{M}| = U und speziell λ ⊢ |[A, A]_{c}| = U für eine neue Konstante c. Da c nicht in U auftritt, besitzt |[A, A]_{c}| eine β-Redukt W, in dem c nicht auftritt. Da [A, A]_{c} mit I(c) markiert ist, kann diese Reduktion kann nach 2.38 und 4.7 zu einer β_{0}-Reduktion [A, A]_{c} ⟶ ⟶^{β_{0}} C geliftet werden. Nun ist A isomorph zu [A, A]_{c}. Wegen 4.11 besitzt A ein β_{0}-Redukt D mit C ≅_{IE} D. Da C wie [A, A]_{c} mit I(c) markiert ist, aber in |C| die Konstante c nicht auftritt, ist C trivial markiert. Gleiches gilt für D. A besitzt ein trivial markiertes β_{0}-Redukt.

[figure: A; D; β_{0}; [A, A]_{c}; C; β_{0}; ≅_{IE}; ≅_{IE}]

(b)⇒(c): Gegeben sei ein stark unlösbarer Term A mit λ ⊢ |A| = U. Dann besitzen |A| und U ein gemeinsames β-Redukt V. Durch Liften erhält man eine Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B mit |B| ≡ V. Nach Voraussetzung besitzt B ein trivial markiertes β_{0}-Redukt C. Durch Projezieren gelangt man zu einer Reduktion V ⟶ ⟶^{β} |C| ≡ C. Daher gilt λIE ⊢ A = B = C = |C| = V = U. (c)⇒(a): Für ein unlösbares W gelte λ ⊢ W P = U. Dann betrachtet man den stark unlösbaren Term A :≡ W (P ∘ 1). Für diesen gilt nach Voraussetzung λIE ⊢ A = U und auch λIE^{+} ⊢ A = U. Insbesondere besitzt A ein trivial markiertes β_{IE}^{+}-Redukt B. Für eine neue Konstante c und C :≡ W (c ∘ 1)

gibt es nach 4.11 eine Reduktion C ⟶ ⟶^{β{+ \atop IE}} D mit D ≅_{IE} B.

Da B trivial markiert ist, gilt sogar B ≡ D und λ ⊢ U = W P = W c. Jetzt folgt λ ⊢ W = KU. Der Term U ist irreduzibel. □

7.14 LEMMA.

(a) Alle Terme Σ_{n} sind irreduzibel.

(b) Alle Terme Σ_{n} sind Nichtstandardatome.

Beweis. Da alle Σ_{n} ordnungsatome sind, reicht es, Teil (a) zu zeigen. Wir zeigen, daß jeder nicht trivial markierte Term A mit |A| ≡ Σ_{n} markiert lösbar ist. Dann kann jeder stark unlösbare Term A mit |A| ≡ Σ_{n} nur trivial markiert sein. Die Bedingung (b) von Lemma 7.13 ist dann erfüllt. Zu jedem nicht trivial markierten Term A mit |A| ≡ Σ_{n} wird das Gewicht von A ( gew(A)) durch das folgende Diagramm definiert:

Start

[figure: nein; ja]

Konsequenz: A ≡ A_{0}A_{n+1} … A_{1}
mit |A_{i}| ≡ σ_{n}.

gew(A) := 0

gew(A) := (μi. A_{i} ∈ MKNF) + 1

[figure: nein; ja]

Konsequenz: ∃i A_{i} ≢ |A_{i}|

gew(A) := (μi. A_{i} ≢ |A_{i}|) + n + 3

∃i A_{i} ∈ MKNF

A ∈ MKNF

gew(A) ist eine Zahl aus {0, …, 2(n + 2)}.

Mit n+1 Kopfreduktionen reduziert Σ_{n} zu sich selbst. Durch Lifting erhalten wir zu jedem A mit |A| ≡ Σ_{n} eine Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{IE}} A^{+} mit |A^{+}| ≡ Σ_{n}. Ist gew(A) > 0, so folgt durch Fallunterscheidung gew(A^{+}) < gew(A). Durch Induktion nach gew(A) beweist man jetzt, daß jeder nicht trivial markierte Term A mit |A| ≡ Σ_{n} ein β_{IE}-Redukt in markierter Kopfnormalform besitzt.

□

Da der β-Reduktionsgraph der Terme Y_{T} K^{n} relativ übersichtlich ist, folgt mit wenig Aufwand auch die Irreduzibilität von Y_{T} K^{n}. Der Term Y_{T} I ist somit ein Nichtstandardatom.

Nichtstandardatome im extensionalen Kalkül

Wir haben den Begriff des Nichtstandardatoms bislang nicht relativ zu einer Theorie T definiert. Das hat seine Gründe. Schon in λη besitzt jeder Term der Ordnung Null nicht nur triviale Teiler. Man betrachte einen unlösbaren Term M der Ordnung Null. Dann gilt λη ⊢ (λz.(λy.M(zy)))I = M. Wäre λz.(λy.M(zy)) ein trivaler Teiler von M, so würde das die Gleichhung λη ⊢ λz.(λy.M(zy)) = λz.M implizieren. Daraus folgt λη ⊢ λy.M(zy) = M und M(zy) = My. Da O(M) = 0, kann das nicht sein. Ein weiteres Beispiel liefert die Gleichung λη ⊢ (λz.(λxy.xx(zy))(λxy.xx(zy)))I = Ω. Wie man sich leicht überzeugt, ist λz.(λxy.xx(zy))(λxy.xx(zy)) kein trivialer Teiler von Ω und besitzt auch keine Darstellung in Ω. Anstatt Nichtstandardatome relativ zu einer Theorie, insbesondere zu λη, zu definieren, soll nun untersucht werden, welche Eigenschaften Nichtstandardatome in λη besitzen. Es ist offensichtlich, daß die Menge der Nichtstandardatome nicht unter λη-Gleichheit abgeschlossen ist. Schon λx.Ωx ist kein Nichtstandardatom. Man beachte, daß λx.Ωx weder die Ordnung Null besitzt, noch irreduzibel ist. Betrachtet man aber η-Redukte, so bleibt die Irreduzibilität (und die Ordnung Null) erhalten.

7.15 LEMMA. Mit U ist auch jedes βη-Redukt von U irreduzibel.

Beweis. Gegeben sei eine Reduktion U ⟶ ⟶^{βη} U′. Wir beweisen, daß U′ die Bedingung (b) aus Lemma 7.13 erfüllt. Gegeben sei also eine β-Reduktion U′ ⟶ ⟶^{β} V′ und ein stark unlösbarer Term A′ mit |A′| ≡ V′. Durch Postponement von η erhalten wir einen Term V und Reduktionen U ⟶ ⟶^{β} V sowie V ⟶ ⟶^{η} V′. Nach 4.38 gibt es jetzt einen markierten Term A und eine η_{0,0}- Reduktion A ⟶ ⟶^{η_{0,0}} A′ mit |A| ≡ V. Wegen 4.41 ist A wie A′ stark unlösbar. Da U irreduzibel ist, gibt es nach 7.13 einen trivial markiertren Term B mit A ⟶ ⟶^{β_{0}} B. In 4.39 haben wir bewiesen, daß β_{0} und η_{0,0} kommutieren. Es gibt demnach einen Term B′ sowie Reduktionen B ⟶ ⟶^{η_{0,0}} B′ und A′ ⟶ ⟶^{β_{0}} B′. Da B trivial markiert ist, ist auch B′ trivial markiert. Der Term A′ besitzt daher das trival markierte β_{0}-Redukt B′.

[figure: B; B′; η_{0,0}; A; A′; η_{0,0}; β_{0}; β_{0}; V; V′; η; U; U′; βη; β; β; | |; | |]
□

Wir können nun das Äquivalent von Lemma 7.9 in λη zeigen:

7.16 LEMMA. Für zwei Nichtstandardatome U und V gelte λη ⊢ UP_{1} … P_{l} = V Q_{1} … Q_{m}. Dann folgt λη ⊢ U = V, l = m und für alle i mit 1 ≤ i ≤ m die Gleichheit λη ⊢ P_{i} = Q_{i}.

Beweis. UP_{1} … P_{l} und V Q_{1} … Q_{m} besitzten ein gemeinsames βη-Redukt W. Da U und V die Ordnung Null besitzten, gibt es Terme U′, V′,Pi^{′} und

Qj^{′} mit

W ≡ U′P1^{′} … Pl^{′}  und  W ≡ V′Q1^{′} … Qm^{′}
U ⟶ ⟶^{βη} U′  V ⟶ ⟶^{βη} V′
P_{i} ⟶ ⟶^{βη} Pi^{′}  Q_{j} ⟶ ⟶^{βη} Qj^{′}.

Nach Lemma 7.15 sind U′ und V′ Nichtstandardatome. Im Fall l ≥ m gilt

U′P1^{′} … Pl−m^{′} ≡ V′. Daraus folgt nach 7.7 λ ⊢ U′ = K^{l−m}V′. Da U′ und V′

die Ordnung Null besitzen, gilt l − m = 0 und l = m. Ebenso folgt im Fall m ≥ l die Gleichheit von l und m. □

Die Menge der irreduziblen Terme ist nicht nur gegen βη-Reduktionen, sondern auch gegen ρ_{3}^{0}-Transformationen abgeschlossen. Wir beweisen sogar eine noch schärfere Aussage.

7.17 LEMMA. U sei irreduzibel. Falls U ⟶^{ρ^{0}_{3}} V, so gibt es einen Term W mit

[figure: W; V; β; ρ_{3}^{0}; U; βη] .

Beweis. Durch Induktion nach der Länge von der ρ_{3}^{0}-Kette. Wir greifen nur die beiden wesentlichen Fälle heraus.

1.Fall U ⟶^{τ_{1}} V

A und B seien die der ι_{c}-Kontraktion zugeordneten markierten Terme. Dann gilt A ≅_{IE} B mit |A| ≡ U und |B| ≡ V. Nach Lemma 5.10 sind A und B stark unlösbar. A besitzt nach Lemma 7.13 ein trivial markiertes β_{0}-Redukt C. Wegen 4.11 gilt auch B ⟶ ⟶^{β_{0}} C. Also folgt λ ⊢ U = |A| = |B| = V. U und V besitzten demnach ein gemeinsames β-Redukt.

2.Fall U ⟶^{τ_{3}} V

Nach 5.20 gibt es einen Term U′ mit U′ ⟶^{τ_{1}} U und U′ ⟶^{η} V. Wie im ersten Fall besitzen U und U′ ein gemeinsames β-Redukt Z. Wegen der Kommutativität von β und η existiert jetzt ein Term W mit Z ⟶ ⟶^{η} W

und V ⟶ ⟶^{β} W.

[figure: U; U′; τ_{1}; V; η; Z; β; W; η; β; τ_{3}; β]

Für den Induktionsschritt benötigt man außerdem die Tatsache, daß βη-Reduktionen mit β-Reduktionen kommutieren. □

Wir haben gesehen, daß eventuell nicht alle Terme aus [V]_{≈_{λη}} eine Darstellung im Nichtstandardatom V besitzen. [V]_{≈_{λη}} ist wesentlich größer und unübersichtlicher als [V]_{≈_{λ}}. Wie in [V]_{≈_{λ}} liegt in [V]_{≈_{λη}} aber höchstens ein Nichtstandardatom.

7.18 SATZ. Gegeben seien Nichtstandardatome U und V mit U ≈_{λη} V. Dann gilt schon λη ⊢ U = V.

Beweis. Wegen 5.60 (b) gibt es Terme U_{1}, U_{2}, V_{1}, V_{2} und W mit

[figure: U; U_{1}; ρ_{3}^{0}; U_{2}; ρ_{4}; W; ρ_{5}; V; V_{1}; ρ_{3}^{0}; V_{2}; ρ_{4}; ρ_{5}] .

Nach 7.17 gibt es nun Terme U1^{′} und V2^{′} mit

[figure: U1^{′}; U_{1}; β; ρ_{3}^{0}; U; βη] und [figure: V_{1}; V1^{′}; β; ρ_{3}^{0}; V; βη] .

Wegen 7.15 sind die Terme U_{1} und V_{1} sind wie U und V Nichtstandardatome und von Ordnung Null, also gilt U_{1} ≡ U_{2} und V_{1} ≡ V_{2}. Für zwei Zahlen n und m erhalten wir

(i) U_{1} ≡ U_{2} ≡ W \underbrace{c … c}_{m} und

(ii) V_{1} ≡ V_{2} ≡ W \underbrace{c … c}_{n}.

Für l := max\{n, m\} gilt jetzt λη ⊢ U_{1} \underbrace{c … c}_{l−m} = V_{1} \underbrace{c … c}_{l−n}.

Aus Lemma 7.16 folgt somit λη ⊢ U = V. □

Wir haben gesehen, daß für irrduzible V und unlösbare U aus λη ⊢ UP = V nicht generell λη ⊢ U = KV folgt. Das liegt daran, daß für U mit λη ⊢ U = λx.U_{0} durch die Substitution U_{0}[x := P] ein η-Redex entstehen kann. Man beachte die Beispiele auf Seite 175. Wenn P aber singulär ist, so kann das nicht passieren. P leistet zur Berechnung von V keinen entscheidenden Beitrag. Für singuläre P gilt also λη ⊢ U = KV. Wir beweisen jetzt nur eine abgeschwächte Version dieser Aussage.

7.19 LEMMA. U sei unlösbar, P sei ein Kombinator von Ordnung Null und V sei irreduzibel. Dann folgt aus λη ⊢ UP = V schon λη ⊢ U = KV.

Beweis. UP und V besitzen ein gemeinsames βη-Redukt W. Dieses ist nach 7.15 irreduzibel. Die Reduktion UP ⟶ ⟶^{βη} W zerfällt nach 3.40 in zwei Teile. Es gibt einen Term Z mit UP ⟶ ⟶^{β} Z und Z ⟶ ⟶^{uη} W. Dann betrachtet man den einfach markierten Term A :≡ U(P ∘ 1). Die Reduktionsanteile lassen sich nach 2.38 und 4.33 zu Reduktionen

A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B ⟶ ⟶^{η_{IE}} C

mit |B| ≡ Z und |C| ≡ W liften. Da P ein Kombinator der Ordnung Null ist, kommt man wegen 4.7 und 4.37 mit β_{0}- bzw. η_{0,0}-Reduktionen aus. Da W irreduzibel ist, gibt es nach 7.13 eine Reduktion C ⟶ ⟶^{β_{0}} D mit trivial markiertem D. Nun sei c eine neue Konstante. Mit 4.24 bzw. 4.40 erhalten wir Reduktionen

U(c ∘ 1) ≡ A[1 ← c] ⟶ ⟶^{β_{0}} B[1 ← c] ⟶ ⟶^{η_{0,0}} C[1 ← c] ⟶ ⟶^{β_{0}} D[1 ← c].

Da D trivial markiert ist, gilt D ≡ D[1 ← c]. Durch Projektion gelangen wir zu einer Reduktion Uc ⟶ ⟶^{βη} |D|. Also gilt λη ⊢ Uc = V. Daraus folgt λη ⊢ U = KV. □

Zwei interessante Eigenschaften, die Nichtstandardatome in λη besitzen, werden nun unter einem neuen Begriff zusammengefaßt.

7.20 DEFINITION. T sei eine halbsinnvolle Theorie. Ein Kombinator V der Ordnung Null heißt Pseudoatom in T, falls

(a) für lösbare F mit T ⊢ F V = V die Gleichheit T ⊢ F = I und

(b) für unlösbare F mit T ⊢ F V = V die Gleichheit T ⊢ F = KV

gilt.

Während man bei Nichtstandardatomen V fordert, daß beliebige unlösbare Terme U nur auf eine triviale Art in V auftreten dürfen, beschränkt man sich bei Pseudoatomen auf die Auftreten von Termen V′ mit T ⊢ V = V′. Ein Pseudoatom ist ein Kombinator V, der nur auf triviale Art und Weise in sich selbst auftritt. Das Auftreten ist hier nicht wortwörtlich zu verstehen.

7.21 BEMERKUNG. Setzt man

HSOL_{<} := {M | M ist unlösbar und besitzt nur lösbare echte Subterme.},

so ist jeder Term aus \overline{lim}_{βη}HSOL_{<} ein λη-Pseudoatom.

7.22 LEMMA. Nichtstandardatome sind Pseudoatome in λ und λη.

Beweis. Für λ ist das unmittelbar klar. Wir betrachten deshalb nur λη. Gegeben sei ein Term F mit λη ⊢ F V = V.

(a) Wenn F lösbar ist, so muß F regulär sein. F ist also von der Form λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Dann gilt für G_{i} :≡ F_{i}[x := V] die Gleichheit λη ⊢ V G_{1} … G_{l} = V y_{1} … y_{m}. Mit 7.16 folgt m = l und λη ⊢ G_{i} = y_{i}. Da V unlösbar ist, folgt mit dem Generizitätslemma λη ⊢ F_{i} = G_{i} und also auch λη ⊢ F = I.

(b) Wenn F unlösbar ist, so folgt mit 7.19 λη ⊢ F = KV.

□

Für n > 0 ist Ω_{n} kein Pseudoatom. Definiert man ϖ :≡ λxλy.yIy und U_{7} :≡ ϖIϖ, so ist U_{7} ein λη-Pseudo- aber kein Nichtstandardatom. Also sind die Inklusionen

Nichtstandardatome ⊆ λη-Pseudoatome ⊆ Ordnungsatome

echt.

Auf das letzte Lemma haben wir einige Mühe verwandt. Wir können damit zeigen, daß Nichtstandardatome einfach sind.

7.23 DEFINITION. Ein Kombinator V heißt einfach^{∗∗}, falls für alle Kombinatoren W die Theorie λη + V = W konsistent ist.

7.24 SATZ. λη-Pseudoatome sind einfach. Insbesondere sind Nichtstandardatome einfach.

Beweis. Man mache sich mit den Methoden von [?] und [?] vertraut. Man beachte das Lemma auf Seite 228 von [?]. In diesem Lemma treten zwei Kontexte T1^{′} und T2^{′} mit λη ⊢ Ti^{′}[V] = V auf. Wenn F_{i} :≡ λx.Ti^{′} lösbar ist, so folgt mit 7.20 (a) λη ⊢ Ti^{′}[x] = x. Ist F_{i} unlösbar, so gilt mit 7.20 (b) λη ⊢ Ti^{′}[x] = V. Unter Verwendung von klassischer Logik erhält man jetzt Bedingung (e) auf Seite 227 von [?]. Der Beweis weist dann starke Ähnlichkeiten mit dem Beweis von Theorem 1 auf Seite 229 von [?] auf. Durch Umformulierung von (e) läßt sich auch ein Beweis ohne klassische Methoden gewinnen. □

∗∗Manchmal wird die Einfachheit auch relativ zur Theorie λ definiert.

Bei einer gewissen Vertrautheit mit einfachen Termen ist leicht einzusehen, daß Pseudoatome einfach sind. Die Arbeit, die wir geleistet haben, liegt hauptsächlich in der Verifikation von 7.19. Damit genügen Nichtstandardatome der Bedingung 7.20 (b). 7.20 (a) ist schnell verifiziert, also sind Nichtstandardatome einfach.

Extraktion und Erzeugung von Nichtstandardatomen

Falls x ∉ F V (F), so impliziert die Gleichheit λ ⊢ F N = x, daß x in N auftritt. Das heißt, daß F die Variable x aus N extrahiert. Dieser Begriff soll nun für beliebige singuläre Terme definiert werden.

7.25 DEFINITION. T sei eine halbsinnvolle Theorie. U sei singulär. Ein Kombinator F extrahiert in T den Term U aus N, falls

(i) T ⊢ F N = U

(ii) Es gibt ein G mit F ∘ G ∈ SOL und einen singulären Term W mit W ≈_{T} U und T ⊢ GW = N.

Dabei bezeichnet F ∘ G den Term λzF (Gz). Die Forderung, daß F ∘ G lösbar sein soll, bedeutet, daß die Berechnung von U essentiell von einem singulären Bestandteil des Terms N abhängt; sie hat sogar die Regularität von F ∘ G zur Folge. Falls F ein echtes Atom a aus N extrahiert, so kann W ≡ a und G mit T ⊢ F ∘ G = I gewählt werden. Bei der Extraktion von unlösbaren Termen U aus N kann im allgemeinen aber weder W ≡ U noch G mit T ⊢ F ∘ G = I gewählt werden. Man betrachte F :≡ λx.xI und N :≡ λz.((λxy.xx(zy))(λxy.xx(zy))). Dann gilt λη ⊢ F N = Ω, aber es gibt keinen lösbaren Term G mit λη ⊢ GΩ = N.

Falls F in λη ein Ordnungsatom U aus einem Term N extrahiert, so gibt es einen Term R mit λη ⊢ F ∘ R = I. Das wird in 8.1 bewiesen. Wie man am obigen Beispiel sieht, gilt aber nicht immer λη ⊢ RU = N. Ist F ein Kombinator mit T ⊢ F N = x, so extrahiert F die Variable x aus N. Etwas allgemeiner ist das folgende Lemma:

7.26 LEMMA. T sei eine halbsinnvolle Theorie. Für ein F mit x ∉ F V (F) gelte T ⊢ F N_{1} … N_{n} = x. Dann gibt es eine Zahl i und einen Term L, welcher x aus N_{i} extrahiert.

Beweis. Gegeben seien neue Variablen x_{1}, …, x_{n}. Für ein i gilt dann T ⊢ F (N_{1}[x := x_{1}]) … (N_{n}[x := x_{n}]) = x_{i}. Dann ist x in T aus N_{i} extrahierbar.

□

Für unlösbare Terme V folgt aus T ⊢ F N = V nicht generell die Extraktion von V aus N. Man betrachte F :≡ λx.xωΩ.

Dann gilt λ ⊢ F (λuv.uω) = Ω,
λ ⊢ F (λuv.v) = Ω
und λ ⊢ F (λuv.Ω) = Ω.

Nur im dritten Fall handelt es sich um eine Extraktion von Ω. Im zweiten Fall wird bei der Berechnung von Ω auf einen unlösbaren Subterm von F zurckgegriffen. Ω tritt in F auf. Dieser Fall ist aus der Betrachtung von freien Variablen bekannt. Er kann dort durch die Forderung, daß F ein Kombinator ist, ausgeschlossen werden. Bei der Berechnung von Nichtstandardatomen (und beliebigen unlösbaren Termen) tritt aber noch ein weiterer Fall auf. Die Unlösbarkeit von V kann durch die Applikation F N konstruiert werden. Das bedeutet, daß unlösbare Subterme von F und N für die Unlösbarkeit von F N keine Rolle spielen. Dieser Fall tritt beim ersten der drei Beispiele ein.

7.27 DEFINITION. T sei halbsinnvoll, F sei ein Kombinator und V sei unlösbar.

(a) Falls T ⊢ F N = V, dies aber keine T -Extraktion von V aus N ist, so erzeugt F den unlösbaren Term V in T mit Eingabe N.

(b) Falls F in T alle Nichtstandardatome erzeugt, so heißt F Atomgenerator in T.

Wenn F ein Atomgenerator ist, so bedeutet dies, daß zu F keine neuen Nichtstandardatome gefunden werden können. Atomgeneratoren sind Defekte^{††} bei der Analogie zwischen echten Atomen und Nichtstandardatomen. Ein verwandtes Problem tritt bei universellen Erzeugern ([?], 17.3.1) auf. Jeder universelle Erzeuger E mit λ ⊢ E M^{#} = M ist ein Atomgenerator in λ. Aus der Normalform M^{#} können keine unlösbaren Terme extrahiert werden. Aber auch der Term H :≡ λx.xK(xF) ist ein Atomgenerator in λ. Es gilt λ ⊢ H[E, M^{#} ] = E M^{#} . In 8.5 werden wir einen surjektiven λη-Atomgenerator kennenlernen, der nicht rechtsinvertierbar ist. Man beachte auch 8.11 und 8.15.

††Schlimme Sachen können durch Atomgeneratoren passieren - aber selbst beim GAU (der größten anzunehmenden Unannehmlichkeit) ist nicht davon auszugehen, daß die Wohlfahrt der irdischen Gemeinschaft in Mitleidenschaft gezogen wird.

8 Invertierbarkeit

Die Gabe des Folgerns und Schließens, - ich meine beim Menschen, denn in den höheren Klassen von Wesen wie bei Engeln und Geistern, wird dies Alles, wie man mir sagt, mittelst der Intuition abgemacht, - und Wesen niederer Art folgern wie der geneigte Leser weiß, vermöge ihrer Nasen; doch gibt es eine (aber nicht sehr bequem) im Meere schwimmende Insel, deren Bewohner, wenn mich mein Gedächtniß nicht täuscht, so wundervoll organisirt sind, daß sie gleichfalls nach letzterer Weise folgern, und oft recht gut dabei auskommen; - aber dies gehört nicht hierher. Die Gabe des richtigen Folgerns bei uns oder der große und Hauptact des Vernunftschlusses beim Menschen besteht, wie die Männer der Logik uns sagen, darin, die Uebereinstimmung oder Nichtübereinstimmung zweier Ideen miteinander mit Beihilfe einer dritten (die medius terminus heißt) zu finden; gerade wie ein Mann, nach Locke, mittelst einer Ruthenstange feststellen kann, daß zwei Kegelbahnen gleichlang sind, die doch nicht zusammengebracht werden könnten, um ihre Gleichheit durch Juxta - position zu messen.

Gegeben sei ein λ-Term F. Dieser Term ist rechtsinvertierbar, falls es einen Term G mit

(R) λη ⊢ F ∘ G = I

gibt; F ist linksinvertierbar, falls es einen Term G mit

(L) λη ⊢ G ∘ F = I

gibt; F ist invertierbar, falls es einen Term G mit (R) und (L) gibt. Für die Invertierbarkeit von F ist es hinreichend und notwendig, daß F sowohl rechts-, als auch linksinvertierbar ist. Inverse, Rechtsinverse und Linksinverse können als Kombinatoren gewählt werden. Die Menge der invertierbaren Terme heißt auch kombinatorische Gruppe von λη. Diese wird mit G(λη) bezeichnet. Diese Definitionen sind hier auf den λη-Kalkül beschränkt, sie lassen sich auch auf andere Theorien übertragen. Man beachte aber, daß in der Theorie λ nur der Term I invertierbar ist [?], 21.2.22 . Auch die rechtsinvertierbaren Terme besitzen in λ eine einfache Charakterisierung. Ein Term F besitzt genau dann ein Rechtsinverses in λ, falls es Terme F_{1}, …, F_{l} mit λ ⊢ F = λx.xF_{1} … F_{l} gibt. Wir beschränken uns daher in diesem Paragraphen auf den λη-Kalkül. Alle Begriffe, die nicht weiter spezifiziert sind, werden von nun an auf den λη-Kalkül bezogen sein. Insbesondere steht Gleichheit für Gleichheit in λη, Reduktion für βη-Reduktion und Kongruenz für λη-Kongruenz.

Das Studium der Invertierbarkeit ist ein klassisches Feld des λ-Kalküls. Es wurde zuerst von Curry und Feys in [?], Seite 167-168 aufgenommen. Dezani-Ciancaglini hat in [?] die invertierbaren Terme in Normalform charkterisiert; diese Arbeit wurde von Bergstra und Klop in [?] fortgeführt so daß wir eine syntaktische Charakterisierung der invertierbaren Terme besitzen. Es sind die Terme, deren Böhm’scher Baum eine endlich erbliche Permutation (FHP) ist. Die Einzelheiten dieses Beweises können in [?], Kapitel 21 nachgelesen werden. Im Gegensatz dazu gibt es für die einseitig invertierbaren Terme keine syntaktische Charakterisierung. Es finden sich aber zahlreiche Anwendungen der einseitigen Invertierbarkeit in der Literatur. Gilt F ∘ G = I, so definiert das Paar (F, G) nach [?] ein inneres Modell M_{F,G}. Man definiert eine Abbildung m : Λ → Λ durch

(a) m(a) :≡ a für Atome a

(b) m(P Q) :≡ (F m(P))m(Q)

(c) m(λx.P) :≡ G(λx.m(P)).

Der Träger vom M_{F,G} ist die Menge {[m(P)]_{λη} | P ∈ Λ}. Die Bewertung eines Kombinators P wird durch [[P]] := [m(P)]_{λη} definiert. In [?] wird bewiesen, daß jeder einfache Term U zusammen mit einem rechtsinvertierbaren Term F einen neuen einfachen Term V ≡ F U definiert. So lassen sich einfache Terme finden, welche nicht die Ordnung Null besitzen. Vorher waren keine einfachen Terme mit Ordnung ungleich Null bekannt. Weiterhin werden einseitig invertierbare Terme in einer Folge von Artikeln [?], [?], [?], [?] und [?] zur Beschreibung von Gleichungen in λη und anderen Kalkülen herangezogen. Nach der syntaktischen Charakterisierung der invertierbaren Terme stellen Bergstra und Klop in [?] die Frage, ob die invertierbaren Terme mit den im geschlossenen^{‡‡} Termmodell M^{0}(λη) bijektiven Termen zusammenfallen. Schon vorher hatte Barendregt in [?] das Problem erörtert, ob die rechtsinvertierbaren Terme mit den in M^{0}(λη) surjektiven Termen übereinstimmen.

‡‡Da wir Konstanten in unserer Sprache zulassen, müßte das geschlossene Termmodell hier eigentlich Kombinatorenmodell heißen. Der Träger von M^{0}(λη) ist die Menge {[M]_{λη} | M ist ein Kombinator.}. Wir bleiben aber bei der Bezeichnung geschlossenes Termmodel. Konstanten treten in diesem Paragraphen nur als Hilfsmittel zur Reduktionsanalyse auf.

Diese Fragen sollen nun beantwortet werden. Es gelten die folgenden Aussagen:

THEOREM 1. Es gibt einen in M^{0}(λη) surjektiven Term, der nicht rechtsinvertierbar ist.

THEOREM 2. Ein Kombinator ist genau dann invertierbar, wenn er im geschlossenen Termmodell M^{0}(λη) bijektiv ist.

Der Zusammenhang zwischen in M^{0}(λη) injektiven und linksinvertierbaren Termen wurde schon in [?] untersucht. Dort wird ein injektiver und lösbarer Term angegeben, der nicht linksinvertierbar ist. Ein noch einfacheres Beispiel ist Ω. Dieser Term ist ebenfalls injektiv, aber nicht linksinvertierbar.

Hinter diesen Fragen steht das Ziel, die Invertierbarkeitseigenschaften eines Terms F durch seine funktionalen Eigenschaften in einer λ-Algebra M zu charakterisieren. Die funktionalen Eigenschaften von F sind Eigenschaften seiner Interpretation in M. Ist F ein Kombinator, so definiert F eine Abbildung F_{M} : M → M durch F_{M}(d) := [[F d]]_{M}. F heißt dann bijektiv, injektiv oder surjektiv in M, falls F_{M} diese Eigenschaft besitzt. Es ist einfach zu sehen, daß in jeder λ-Algebra M mit M ⊧ η rechtsinvertierbare Terme surjektiv, linksinvertierbare Terme injektiv, und invertierbare Terme bijetiv sind. Im offenen Termmodell M(λη) ist ein Term F genau dann bijektiv, wenn er invertierbar ist. Ebenso ist F genau dann rechtsinvertierbar, wenn F im offenen Termmodell surjektiv ist. Der Grund dafür ist, daß zu einem surjektivem F eine neue Variable x existiert. Ist F auch injektiv, so kann man jetzt leicht auf die Invertierbarkeit von F schließen. Wie Ω, so ist auch das in [?] angegebene Beispiel in M(λη) injektiv, aus der Injektivität folgt also auch in M(λη) nicht die Linksinvertierbarkeit. Wesentlich für die Invertierbarkeit eines bijektiven Termes F in M(λη) ist die Existenz von neuen Variablen. In M^{0}(λη) können wir nicht mehr über Variablen verfügen. Deren Platz sollen Nichtstandardatome übernehmen. An die Stelle der Bedingung x tritt nicht in F auf tritt hier die Forderung das Nichtstandardatom V wird nicht von F erzeugt. Es gibt aber in M^{0}(λη) surjektive Terme, welche alle Nichtstandardatome erzeugen. Für diese Terme kann eine Analogie zur Surjektivität in M(λη) nicht hergestellt werden. In ungünstigen Fällen sind solche Terme nicht rechtsinvertierbar. Nimmt man dagegen zusätzlich an, daß F injektiv ist, so kann F nur eine beschränkte Anzahl von Nichtstandardatomen erzeugen. Wegen 6.15 oder 7.14 gibt es beliebig viele Nichtstandardatome. Die Analogie zu M(λη) kann in diesem Fall wiederhergestellt werden. Alle in M^{0}(λη) bijektiven Terme sind invertierbar.

Wenn ein Kombinator F eine Variable x aus einem Term N extrahiert, so ist λx.N rechtsinvers zu F. Im Fall der Extraktion eines Nichtstandardatoms V aus N kann im allgemeinen nicht auf die Existenz eines Terms G mit λη ⊢ GV = N und λη ⊢ F ∘ G = I geschlossen weden. Eine solche Situation haben wir auf Seite 182 kennengelernt. Trotzdem ist es möglich, auf die Rechtsinvertierbarkeit von F zu schließen. Dazu dient das folgende Lemma. Tatsächlich reicht es sogar, Extraktionen von Ordnungsatomen zu betrachten.

8.1 LEMMA. F sei lösbar, V sei ein Ordnungatom, und U sei unlösbar. Gilt dann λη ⊢ F U = V, so ist F rechtsinvertierbar.

Beweis. Da F lösbar ist, muß F regulär sein. Also besitzt F eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Für G_{i} :≡ F_{i}[x := U] gilt somit

(1) λη ⊢ UG_{1} … G_{l} = V y_{1} … y_{m}.

Dann gibt es einen Term S mit UG_{1} … G_{l} ⟶ ⟶^{βη} S und V y_{1} … y_{m} ⟶ ⟶^{βη} S.

Da V die λ-Ordnung Null besitzt, gibt es Terme V_{0}, …, V_{p} mit

(2) λη ⊢ V = (λy.V_{0})V_{1} … V_{p} und

(3) λη ⊢ S ≡ (λy.V_{0})V_{1} … V_{p}y_{1} … y_{m}.

Insbesondere ist p > 0. Die Reduktion UG_{1} … G_{l} kann nach 3.40 in eine βund eine unkritische η-Reduktion aufgespalten werden. Es gibt einen Term R mit UG_{1} … G_{l} ⟶ ⟶^{β} R und R ⟶ ⟶^{uη} S. Wegen 3.27 gibt es neue und paarweise verschiedene Variablen u_{1}, … u_{r}, sowie Terme R_{0}, …, R_{p+m+r} mit

(4)  (i)  R ≡ λu_{1} … u_{r}.(λy.R_{0})R_{1} … R_{p+m+r}

(ii) R_{i} ⟶ ⟶^{uη} V_{i} für 0 ≤ i ≤ p

(iii) R_{p+i} ⟶ ⟶^{uη} y_{i} für 1 ≤ i ≤ m

(iv) R_{p+m+i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i} für 1 ≤ i ≤ r.

Mit Hilfe von 2.25 kann man jetzt die Reduktion UG_{1} … G_{l} ⟶ ⟶^{β} R untersuchen. Es gibt ein Zahl k mit k ≤ l, sowie Terme W und Q_{0}, …, Q_{l−k} mit

(5)  (i)  U ⟶ ⟶^{hβ} λx_{1} … x_{k}.W

(ii) sub(W; x_{1}, …, x_{k}; G_{1}, …, G_{k}) ⟶ ⟶^{iβ} Q_{0}

(iii) G_{k+i} ⟶ ⟶^{β} Q_{i} für 1 ≤ i ≤ l − k.

(iv) R ≡ Q_{0} … Q_{l−k}. Gezeigt wird nun:

(6) Für jedes j (mit 1 ≤ j ≤ m) existiert ein Index i_{j} (mit 1 ≤ i_{j} ≤ l), so daß y_{j} aus G_{i_{j}} extrahierbar ist.

Ein j mit 1 ≤ j ≤ m sei also vorgegeben. Zur Abkürzung sei P^{∗} :≡ sub(P; x_{1}, …, x_{l}; G_{1}, …, G_{l}) gesetzt. Es muß unterschieden werden, ob alle oder nur einge G_{i} direkt in die Berechnung von R eingehen.

1.Fall k = l Dann gilt wegen (5)(ii) und (5)(iv) W^{∗} ⟶ ⟶^{iβ} R ≡ Q_{0}. Wegen (4)(i) gibt es Terme U_{0}, …, U_{p+m+r} mit

W ≡ λu_{1} … u_{r}.(λy.U_{0})U_{1} … U_{p+m+r},

und λη ⊢ U_{i}^{∗} = R_{i} für alle i ≤ p + m + r. Aus (4)(iii) folgt nun

λη ⊢ (λx_{1} … x_{l}.U_{p+j})G_{1} … G_{l} = U_{p+j}^{∗}
= R_{p+j}
= y_{j}.

Nach 7.26 gibt es ein G_{i_{j}}, aus welchem y_{j} extrahierbar ist.

2.Fall k < l Wegen (5)(iv) ist R eine Applikation, und aus (4)(i) folgt r = 0.

2.1 W ist eine Abstraktion.

Dann ist auch Q_{0} eine Abstraktion. Es gilt Q_{0} ≡ (λy.R_{0}), und durch Vergleich der Anzahl der Applikationen erhält man p + m = l − k. Aus (5)(iii),(iv) und (4)(iii) folgt

λη ⊢ G_{k+(p+j)} = R_{p+j} = y_{j}.

y_{j} ist somit (trivial) aus G_{k+(p+j)} extrahierbar.

2.2 W ist eine Applikation.

W ist von der Form (λy.U_{0})U_{1} … U_{q}. Durch Vergleich der Applikationen erhalten wir aus (4)(i) und (5)(iv) q + (l − k) = p + m oder äquivalent q = p + m + (k − l). Daraus folgt q < p + m und

(7)  (i)  U_{i}^{∗} ⟶ ⟶^{β} R_{i} für i ≤ q

(ii) G_{k+i} ⟶ ⟶^{β} R_{q+i} für 1 ≤ i ≤ l − k.

2.2.1 1 ≤ j ≤ m + (k − l) Dann ist p + j ≤ q, wegen (7)(i) gilt

λη ⊢ (λx_{1} … x_{k}.U_{p+j})G_{1} … G_{k} = U_{p+j}^{∗} = R_{p+j} = y_{j}.

Nach Lemma 7.26 gibt es ein i_{j} zwischen 1 und k, so daß y_{j} aus G_{i_{j}} extrahierbar ist.

2.2.2 m + (k − l) + 1 ≤ j ≤ m Dann folgt 1 ≤ j − (q − p) ≤ l − k und

λη ⊢ G_{(l−m)+j} ≡ G_{(l−m)+(q−p)+(j−(q−p))}
≡ G_{k+(j−(q−p))}
(7)(ii) = R_{q+(j−(q−p))}
≡ R_{p+j}
(4)(iii) = y_{j}.

y_{j} ist also (trivial) aus G_{(l−m)+j} extrahierbar.

Damit ist (6) gezeigt. Für alle j (mit 1 ≤ j ≤ m) gibt es Kombinatoren L_{j} und Zahlen i_{j} welche die Gleichung

λη ⊢ L_{j}G_{i_{j}} = y_{j} erfüllen.

Da U unlösbar ist, folgt mit dem Generizitätslemma

(8) λη ⊢ L_{j}F_{i_{j}} = y_{j}. Sei nun H :≡ λw.λv_{1} … v_{l}.w(L_{1}v_{i_{1}}) … (L_{m}v_{i_{m}}). Weiterhin sei zur Abkürzung P^{+} :≡ P [x := (Hz)] gesetzt.

Wir erhalten die Rechtsinvertierbarkeit von F:

λη ⊢ F ∘ H ≡ λz.F (Hz)
= λz.λy_{1} … y_{m}.(Hz)F_{1}^{+} … F_{l}^{+}
= λz.λy_{1} … y_{m}.z(L_{1}F_{i_{1}}^{+}) … (L_{m}F_{i_{m}}^{+})
≡ λz.λy_{1} … y_{m}.z(L_{1}F_{i_{1}})^{+} … (L_{m}F_{i_{m}})^{+}
(8) = λz.λy_{1} … y_{m}.zy_{1} … y_{m}
= I
□

Wir haben sogar bewiesen, daß unter den Voraussetzungen von Lemma 8.1 F gleichgradig rechtsinvertierbar ist. Dabei heißt ein Term gleichgradig rechtsinvertierbar, falls

(i) F besitzt eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}.

(ii) Zu jedem j (mit 1 ≤ j ≤ m) existiert eine Zahl i_{j} (mit 1 ≤ i_{j} ≤ l) und ein Kombinator L_{j}, welcher die Variable y_{j} aus F_{i_{j}} extrahiert: λη ⊢ L_{j}F_{i_{j}} = y_{j}

8.2 KOROLLAR. Für lösbare Terme F sind äquivalent:

(a) F ist gleichgradig rechtsinvertierbar.

(b) Es gibt ein Ordnungsatom V und einen unlösbaren Term U mit λη ⊢ F U = V.

Im Beweis von 8.1 (und 8.2) stecken zwei Hauptideen. Wenn ein Term F = λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} mit einer unlösbaren Eingabe U einen Term V der Ordnung Null berechnet, so muß es ein βη-Redukt von F U geben, bei dem die abstrahierten Variablen y_{1}, …, y_{m} durch η-Reduktionen entfernt werden.

Damit diese η-Reduktion durchgeführt werden kann, darf keine der Variablen y_{1}, …, y_{m} bei einer β-Reduktion von U(F_{1}[x := U]) … (F_{l}[x := U]) verschwinden. Besser noch, um eine η-Reduktion zu ermöglichen, müssen die Variablen y_{1}, …, y_{m} im Lauf einer β-Reduktion an eine exponierte Stelle gelangen. Da der unlösbare Term U bei der Extraktion der Variablen wegen des Generizitätslemmas keine Rolle spielen kann, hängt die Extraktion nicht von U ab. F ist gleichgradig rechtsinvertierbar. Nach diesen Argumenten könnte man fast denken, daß im oben beschriebenen Fall jede Variable y_{j} in λη mit einem der Terme F_{i} identifiziert wird. Dann würden im Beweis von 8.1 nur die dort trivial genannten Fälle auftreten. Dem ist aber nicht so. Man betrachte das folgende Beispiel: F :≡ λxy.x(λzw.y(zw)) U :≡ λv.Ω(vI), V :≡ Ω. Es gilt λη ⊢ F U = V, aber λη ⊬ y = λzw.y(zw). In [?] wird ein rechtsinvertierbarer Term angegeben, der nicht gleichgradig rechtsinvertierbar ist. Wir haben also noch nicht alle rechtsinvertierbaren Terme über Ordnungsatome charakterisiert. Diese Charakterisierung fällt jetzt nicht mehr schwer.

8.3 KOROLLAR. (Charakterisierung der Rechtsinvertierbarkeit) Für einen Kombinator F sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) F ist rechtsinvertierbar.

(b) Es gibt ein Ordnungsatom V, welches F aus einem Term N extrahiert.

Beweis. (a)⇒(b): R sei rechtsinvers zu F. Dann gilt F ∘ R = I, und F extrahiert Ω aus RΩ. (b)⇒(a): F extrahiere ein Ordnungsatom V aus N. Für einen Term G ist F ∘ G regulär, und für einen unlösbaren Term U gilt GU = N sowie U ≈ V. Also gilt auch (F ∘ G)U = V. Nach 8.1 besitzt F ∘ G ein Rechtsinverses H. Dann ist G ∘ H rechtsinvers zu F. □

Surjektivität

In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die Surjektivität in M^{0}(λη) nicht generell die Rechtsinvertierbarkeit zur Folge hat. Zuerst geben wir eine sehr grobe Eingrenzung der surjektiven Terme an.

8.4 LEMMA. Jeder in M^{0}(λη) surjektive Kombinator ist regulär.

Beweis. Es gibt ein N mit F N = I, also ist F lösbar und besitzt eine Kopfnormalform. Wäre die erste abstrahierte Variable dieser Kopfnormalform nicht gleichzeitig die Kopfvariable, so könnte F M niemals unlösbar sein. □

Mit der im letzten Abschnitt gezeigten Charakterisierung der rechtsinvertierbaren Terme kann man nun den Fall, bei dem ein Kombinator F surjektiv, aber nicht rechtsinvertierbar ist, genauer eingrenzen. F erzeugt in diesem Fall alle Nichtstandardatome. Zu F lassen sich keine neuen Nichtstandardatome finden.

8.5 LEMMA. F sei im Modell M^{0}(λη) surjektiv. Falls F nicht rechtsinvertierbar ist, so ist F ein Atomgenerator.

Beweis. Gegeben sei ein Nichtstandardatom V. Da F surjektiv ist, gibt es einen Kombinator N mit λη ⊢ F N = V. Wir müssen nun noch zeigen, daß F das Nichtstandardatom V nicht aus N extrahiert. Da jedes Nichtstandardatom auch ein Ordnungsatom ist, wäre F nach 8.1 rechtsinvertierbar. Das widerspricht der Voraussetzung. Also erzeugt F das Nichtstandardatom V.

□

Wenn eine Variable x in F frei auftritt und λη ⊢ F N = x gilt, so kann F dennoch rechtsinvertierbar sein. Die Bedingung, daß x nicht in F auftreten soll, ist keineswegs notwendig - sie ist nur hinreichend - für die Rechtsinvertierbarkeit von F. Ebenso gibt es rechtsinvertierbare Atomgeneratoren. Zum Beispiel ist der universelle λ-Aufzähler E ist ein rechtsinvertierbarer Atomgenerator. Es macht sogar gewisse Mühe, einen surjektiven Atomgenerator zu finden, der nicht rechtsinvertierbar ist. Dieser Term, den wir Υ nennen wollen, muß auf eine nicht uniforme Art surjektiv sein. Das Problem bei dieser Konstruktion ist, daß Terme, deren Surjektivität zuerst anhand von nicht uniform gewählten Argumenten bewiesen wird, auch auf eine andere und uniforme Art surjektiv sein können. Zur Verdeutlichung betrachte man den Term E. Zu jedem Kombinator M gibt es eine Zahl M^{#} - die Gödelnummer von M - mit λ ⊢ E M^{#} = M. Diese Art der Surjektivität ist nicht uniform; es gibt kein R mit λ ⊢ RM = M^{#} . E besitzt eine Kopfnormalform λx.xE_{1} … E_{l}. Daher ist E sogar gleichgradig rechtsinvertierbar. Es gibt einen Term R mit λ ⊢ E ∘ R = I und λ ⊢ E(RM) = M. Auf der Menge {RM | M ∈ Λ^{0}} ist E uniform surjektiv. Bei Υ muß dieser Effekt vermieden werden. Zunächst betrachten wir drei Terme Υ_{0}, Υ_{1} und Υ_{2}, bei denen dieser Effekt noch nicht vermieden werden kann, Υ_{0}, Υ_{1} und Υ_{2} sind rechtsinvertierbare Atomgeneratoren. Die Konstruktionsidee von Υ_{0} besteht darin, alle Werte E n in dem Böhm’schen Baum des Terms abzulegen. Diese Ablage soll so erfolgen, daß diese Werte auch wieder aus Υ_{0} herausgelesen werden können. Υ_{0} besitzt einen Böhm’schen Baum dessen Form durch das folgende Diagramm (etwas inkorrekt) widergegeben wird.

[figure: λx.x; [E 0 , 0 ]; x; [E 1 , 1 ]; x; [E n , n ]]

Wir werden auch Terme betrachten, bei dessen Böhm’schen Bäumen der Kombinator E durch andere Terme ersetzt wird. Daher wird eine etwas allgemeinere Definition notwendig.

8.6 DEFINITION. P und Q seien λ-Terme.

(a) ≪ P, Q ≫′′:≡ λfλx.P [Qx, x](f(suc x))

(b) ≪ P, Q ≫′:≡ Y_{T} ≪ P, Q ≫′′

(c) ≪ P, Q ≫:≡≪ P, Q ≫′ 0

In (a) sind f und x neue und verschiedene Variablen.

8.7 LEMMA.

≪ P, Q ≫′ n ⟶ ⟶^{β} P [Q n , n ](≪ P, Q ≫′ n + 1 )

8.8 DEFINITION. Υ_{0} :≡ λx. ≪ x, E ≫

Dann besitzt Υ_{0} den gewünschten Böhm’schen Baum. Υ_{0} ist aus trivialen Gründen gleichgradig rechtsinvertierbar. Um festzustellen, daß die Werte E n aus Υ_{0} herausgelesen werden können, beweist man das folgende Lemma.

8.9 LEMMA. Es gibt einen Kombinator H mit

λ ⊢≪ H n yx, z ≫= yx(z n ).

Beweis. G sei ein Kombinator, der die primitiv rekursive Funktion (n, m) ↦ n^{\underline{.}} m λ-definiert. Dann setzt man H :≡ λuyxvw.Gu(vF)K(yx(vK))w. Da

λ ⊢ H n yx[z m , m ] = \{ \begin{matrix}λw.w : & n > m \\ λw.(yx(z m )) : & n ≤ m, \end{matrix}

folgt die Behauptung aus 8.7. □

Bis zum Ende dieses Abschnitts bezeichnet H den Kombinator aus 8.9. Υ_{0} ist jetzt auch auf eine nicht uniforme Art surjektiv. Für N_{n} :≡ H n II gilt λ ⊢ Υ_{0}N_{n} =≪ H n II, E ≫= E n . Für R_{0,1} :≡ Π_{1}^{3} gilt λ ⊢≪ R_{0,1}x, z ≫= x und λ ⊢ Υ_{0} ∘ R_{0,1} = I. R_{0,1} ist rechtsinvers zu Υ_{0}. Wir können einen anderen rechtsinversen Term angeben, der die nicht uniforme Surjektivität von Υ_{0} ausnutzt. Es gibt eine Zahl n mit λ ⊢ E n = I. Dann sei R_{0,2} :≡ H n (λuv.vu). Es folgt

λ ⊢≪ R_{0,2}x, z ≫=≪ H n (λuv.vu)x, z ≫= z n x

und

λ ⊢ Υ_{0} ∘ R_{0,2} = λx. ≪ R_{0,2}x, E ≫= λx.E n x = I.

Man beachte, daß ≪ R_{0,1}x, z ≫ in SOL_{x} liegt und ≪ R_{0,2}x, z ≫ ein Element von SOL_{z} ist. Bei der Konstruktion von Υ_{0} konnten wir keine Hoffnung haben, daß Υ_{0} nicht rechtsinvertierbar ist. Wir haben den Term nur angegeben, um auf die verschieden Möglichkeiten der Rechtsinversen hinzuweisen. Der noch zu konstruierende Term Υ wird die Gestalt λxλy_{1} … y_{m}. ≪ x, E ≫ F_{1} … F_{m} besitzen. Die Variablen y_{1}, … y_{m} dürfen nicht aus F_{1}, …, F_{m} extrahierbar sein. Nur für geeignte Argumente N darf F_{i}[x := N] = y_{i} gelten. Um eine noch überschaubare Konstruktion anzugeben, werden die Terme F_{1}, …, F_{n} auch mit Hilfe der Klammer ≪ P, Q ≫ definiert. Der erste ernstzunehmende Versuch wird mit dem Term

Υ_{1} :≡ λxy. ≪ x, E ≫≪ x, Ky ≫

durchgeführt. Da λη ⊢ Υ_{1}(H n II) = λy.E n (Ky n ) = E n , ist Υ_{1} surjektiv. Υ_{1} ist aber auch rechtsinvertierbar. Ist n so gewählt, daß λ ⊢ E n = λuvw.vu, so sei R_{1} :≡ H n (λuvw.wvu). Dann gilt

λη ⊢≪ R_{1}x, z ≫= λw.w(z n )x

und

λη ⊢ Υ_{1} ∘ R_{1} = λxy. ≪ R_{1}x, E ≫≪ R_{1}x, Ky ≫
= λxy.(λw′.w′(λuvw.vu)x)(λw′.w′yx)
= λxy.(λuvw.vu)yxx
= λxy.xy
= I.

Anders als bei R_{0,1} und R_{0,2} ist ≪ R_{1}x, z ≫ ein Element von GSOL. Durch Argumente, die beim Beweis, daß der noch zu definierende Term Υ nicht rechtsinvertierbar ist, eingesetzt werden, sieht man, daß Υ_{1} keine Rechtsinversen R mit ≪ Rx, z ≫∈ SOL_{x} oder ≪ Rx, z ≫∈ SOL_{z} besitzt. Wir müssen also auch verhindern, daß Υ Rechtsinverse R mit ≪ Rx, z ≫∈ GSOL besitzt. Dazu wird Υ_{2} definiert.

Υ_{2} :≡ λxy. ≪ x, E ≫ (λu.y ≪ x, Ku ≫)

Man beachte wieder

λη ⊢ Υ_{2}(H n II) = λy.E n (λu.y(Ku n ))
= λy.E n y
= E n .

Υ_{2} ist also surjektiv. Rechtsinverse R mit ≪ Rx, z ≫∈ GSOL kann Υ_{2} nicht besitzen. Damit Υ_{2} rechtsinvertierbar ist, muß ≪ Rx, Ku ≫ ein Element von SOL_{u} sein. Dieser Fall tritt allerdings ein. Wählt man n mit λ ⊢ E n = λv_{1}v_{2}.v_{1}(λv_{3}.v_{2}(Kv_{3})), so sei R_{2} :≡ H n (λvw.wv) gesetzt. Dann gilt

λ ⊢≪ R_{2}x, z ≫= z n x

und

λη ⊢ Υ_{2} ∘ R_{2} = λxy. ≪ R_{2}x, E ≫ (λu.y ≪ R_{2}x, Ku ≫)
= λxy.E n x(λu.y(ux))
= λxy.x(λv_{3}.(λu.y(ux))(Kv_{3}))
= λxy.x(λv_{3}.yv_{3})
= I.

Die Besonderheit des Rechtsinversen R_{2} besteht darin, daß aus dem fast hoffnungslosen Term λu.y ≪ R_{2}x, Ku ≫ doch noch ein η-Redex konstruiert wird. Dabei geht die nicht uniforme Surjektivität von Υ_{2} entscheidend ein.

In Υ muß auch diese Möglichkeit verhindert werden. Wir halten nun tabellarisch die verschiedenen Möglichkeiten für Rechtsinverse bei den Termen Υ_{0}, Υ_{1}, und Υ_{2} fest. Ist R ein Rechtsinverses, so muß der Term ≪ Rx, z ≫ lösbar sein. Es treten drei Fälle auf. ≪ Rx, z ≫ kann in SOL_{x}, SOL_{z} und in GSOL liegen.

Rechtsinverse R mit ≪ Rx, z ≫ in SOL_{x} SOL_{z} GSOL
Υ_{0}  ja  ja  nein
Υ_{1}  nein nein  ja
Υ_{2}  nein  ja  nein

Durch Kombination von Υ_{1} und Υ_{2} erhalten wir einen Term Υ, für dessen hypothetische Rechtsinverse R der Term ≪ Rx, z ≫ in keiner der Mengen SOL_{x}, SOL_{z} und GSOL liegen kann. Υ besitzt mithin kein Rechtsinverses.

8.10 DEFINITION.

Υ :≡ λxy_{1}y_{2}. ≪ x, E ≫≪ x, Ky_{1} ≫ (λu.y_{2} ≪ x, Ku ≫)

8.11 THEOREM. Υ ist ein in M^{0}(λη) surjektiver Term, der kein Rechtsinverses besitzt.

Beweis. Wegen

λη ⊢ Υ(H n II) = λy_{1}y_{2}.(E n )(Ky_{1} n )(λu.y_{2}(Ku n ) = E n ,

ist Υ surjektiv. Aus Gründen der Bequemlichkeit wird in diesem Beweis mit Konstanten gearbeitet. Sei angenommen, daß R zu Υ rechtsinvers ist. Dann gilt für drei verschiedene Konstanten a, b, c:

λη ⊢≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) = abc

Es gibt also eine Reduktion

≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) ⟶ ⟶^{βη} abc.

Diese läßt sich nach 3.40 in eine β und eine unkritische η-Reduktion aufspalten. Es gibt einen Term M mit

(1) ≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) ⟶ ⟶^{β} M

und M ⟶ ⟶^{uη} abc. Dann ist M von der Form λu_{1} … u_{r}.aM_{1}M_{2}M_{3} … M_{2+r};

und es gibt Reduktionen M_{1} ⟶ ⟶^{uη} b, M_{2} ⟶ ⟶^{uη} c sowie für alle i mit 1 ≤ i ≤ r Reduktionen M_{2+i} ⟶ ⟶^{uη} u_{i}. Wir betrachten den einfach markierten Term

A :≡≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.(c ≪ Ra, Ku ≫)^{1}).

Die Reduktion (1) kann jetzt nach 2.38 zu einer Reduktion A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B mit |B| ≡ M geliftet werden. Da bei η-Reduktionen keine Auftreten von Konstanten verloren gehen, tritt c an genau einer Stelle vom |B| ≡ M auf. c steht im Kopf vom M_{2}. Jeder mit 1 markierte Subterm von B liegt (modulo Betrag) in Spur(c ≪ Ra, Ku ≫), außerdem liegt jede Konstante c in B unter einer Marke. Also gilt

B ≡ λu_{1} … u_{r}.aM_{1}(λv_{0} … v_{p}.(cL_{0})^{1}L_{1} … L_{p})M_{3} … M_{2+r}.

Dabei liegt (cL_{0}) in Spur(c ≪ Ra, Ku ≫). Da L_{0} ⟶ ⟶^{uη} v_{0}, ist L_{0} ein Element von SOL_{v_{0}} ⊆ FSOL. Somit liegt nach Lemma 4.4 auch ≪ Ra, Ku ≫ in FSOL. Da in ≪ Ra, Ku ≫ nur die freie Variable u auftritt, liegt ≪ Ra, Ku ≫ also in SOL_{u}. Daraus folgt, daß ≪ Ra, b ≫ ein Element von SOL_{b} ist, ≪ Ra, b ≫ besitzt eine Kopfnormalform mit

(2) λ ⊢≪ Ra, b ≫= λz_{1} … z_{m}.bR_{1} … R_{l}. Damit haben wir die Fälle ≪ Rx, z ≫∈ SOL_{x} und ≪ Rx, z ≫∈ GSOL schon ausgeschlossen. Im Fall l = 0 tritt a nicht in λz_{1} … z_{m}.bR_{1} … R_{l} auf. Daher würde ≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) ein β-Redukt ohne Auftreten von a besitzen. Das kann nicht sein. Also ist l > 0. Für R_{i}^{∗} ≡ sub(R_{i}; b; Kb) besitzt ≪ Ra, Kb ≫ nun eine Kopfnormalform λz_{1} … z_{m}.bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗}. Da M nach 3.26 in β-Normalform ist, erhalten wir eine Reduktion

(3) ≪ Ra, E ≫ (λz_{1} … z_{m}.bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗})(λu.c ≪ Ra, Ku ≫) ⟶ ⟶^{β} M.

C sei nun der einfach markierte Term

≪ Ra, E ≫ (λz_{1} … z_{m}.(bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗})^{1})(λu.c ≪ Ra, Ku ≫).

C ist dann mit Spur(bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗}) markiert. Die Reduktion (3) kann wieder nach 2.38 geliftet werden. Wir erhalten eine Reduktion C ⟶ ⟶^{β_{IE}} D mit |D| ≡ M. Wie wiederholen die für c durchgeführte Argumentation nun bei der Konstanten b. Da in C die Konstante b nur unter der Marke 1 auftritt, gilt dies auch für D. D ist nach 4.6 mit Spur(bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗}) markiert. D besitzt daher die Gestalt

λu_{1} … u_{r}.a(λw_{1} … w_{q}.(bL_{1} … L_{l})^{1}L_{l+1} … L_{q})M_{2}M_{3} … M_{2+r}

mit q ≥ l und bL_{1} … L_{l} ∈ Spur(bR_{2}^{∗} … R_{l}^{∗}). Da die Terme L_{i} ∈ SOL_{w_{i}} ⊆ FSOL liegen - es gilt L_{i} ⟶ ⟶^{uη} w_{i} -, muß nach 4.4 für i ≥ 2 auch jeder Term R_{i}^{∗} ein Element von FSOL sein. Da in R_{2}^{∗}, …, R_{l}^{∗} keine weiteren freien Variablen auftreten, gilt für i ≥ 2 R_{i}^{∗} ∈ SOL_{z_{1}} ∪ … ∪ SOL_{z_{m}}. Daraus folgt für i ≥ 2 R_{i} ∈ SOL_{z_{1}} ∪ … ∪ SOL_{z_{m}}. Wir verfügen bisher über keine Informationen bezüglich R_{1}, zeigen aber nun:

(4) Es gibt eine Ziffer n mit λ ⊢ R_{1} = n . Dazu setzt man

\begin{aligned}P_{i} & :≡ & ≪ Ra, b ≫′ i \\ Q_{i} & :≡ & Ra[b i , i ] und \\ Q^{0} & :≡ & I \\ Q^{i+1} & :≡ & Q^{i} ∘ Q_{i}. \end{aligned}

Nach 8.7 gilt P_{i} ⟶ ⟶^{β} Q_{i}P_{i+1}. Da P_{0} ≡≪ Ra, b ≫ lösbar ist, folgt mit Lemma 2.23 die Existenz einer minimalen Zahl n, so daß Q_{n} nicht regulär ist. Dann ist Q^{n} regulär. Wegen P_{0} ∈ SOL_{b} und λ ⊢ P_{0} = Q^{n}P_{n}, ist auch P_{n} ein Element von SOL_{b}. Daraus folgt wegen λ ⊢ P_{n} = Q_{n}P_{n+1}, daß der Term Q_{n} ebenso in SOL_{b} liegt. Q_{n} ≡ Ra[b n , n ] β-reduziert zu einer Kopfnormalform λx_{1} … x_{k}.bN_{1} … N_{s}. Durch Betrachtung von Spur(b n ) folgt nunmehr λ ⊢ N_{1} = n . Die Konstante b tritt in allen β-Redukten von Q_{n} nur zusammen mit dem Term n auf. Da Q^{n} regulär ist, besitzt P_{0} in λ eine

Kopfnormalform λz1^{′} … zj^{′}.bS_{1} … S_{t} mit t ≥ s und λ ⊢ S_{1} = n . Von P_{0}

ist aber schon die λ-Kopfnormalform λz_{1} … z_{m}.bR_{1} … R_{l} bekannt. Daraus folgt l = t, m = j und λ ⊢ S_{1} = R_{1} = n . Damit ist (4) gezeigt. Für i mit 2 ≤ i ≤ l bezeichne R_{i}^{+} den Term sub(R_{i}; b; E). R_{i}^{+} ist wie R_{i} ein Element von SOL_{z_{1}} ∪ … ∪ SOL_{z_{m}}. Dann gilt

λ ⊢≪ Ra, E ≫= λz_{1} … z_{m}.E n R_{2}^{+} … R_{l}^{+}.

Da E n ein Kombinator ist, und alle Terme R_{2}^{+}, …, R_{l}^{+} in SOL_{z_{1}} ∪ … ∪ SOL_{z_{m}} liegen, ist ≪ Ra, E ≫ nach 2.18 ein Element von GSOL. Weil ≪ Ra, Kb ≫ nach (2) in SOL_{b} und (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) trivialerweise in SOL_{c} liegt, folgt mit 2.18, daß ≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) ein Element von GSOL∪SOL_{b} ∪SOL_{c} ist. Wegen (1) ist ≪ Ra, E ≫≪ Ra, Kb ≫ (λu.c ≪ Ra, Ku ≫) aber auch ein Element von SOL_{a}. Das kann nicht sein. Ein Rechtsinverses R besitzt Υ nicht. □

Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen , daß ein surjektiver Term F, der zusätzlich injektiv ist, kein Atomgenerator sein kann. F ist dann rechtsinvertierbar und auch invertierbar.

Injektivität

Nach der Behandlung der surjektiven Terme betrachten wir nun Eigenschaften von injektiven Termen. Wir werden sehen, daß injektive Terme keine Atomgeneratoren sein können. Bei diesem Beweis geht ein, daß es unendlich viele inkongruente Nichtstandardatome gibt. Zuerst brauchen wir eine elementare Eigenschaft von injektiven Termen.

8.12 LEMMA. F ≡ λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} sei ein in M^{0}(λη) injektiver Kombinator. Dann liegt jede lösbare Komponente F_{i} in SOL_{y_{1}} ∪ … ∪ SOL_{y_{m}}.

Beweis. F_{i} sei lösbar und besitze die Kopfnormalform λu_{1} … u_{n}.vH_{1} … H_{k}. Wir sollen zeigen, daß für ein j (mit 1 ≤ j ≤ m) v ≡ y_{j} gilt. Dies geschieht dadurch, daß die sonstigen Fälle zum Widerspruch geführt werden.

1.Fall v ≡ x

Wir müssen weiterhin unterscheiden, ob l ≤ k oder k < l gilt.

1.1 l ≤ k Dann seien

\begin{aligned}M & :≡ & λw_{1} … w_{k}.[I, I] und \\ N & :≡ & λw_{1} … w_{k}.[w_{i} \underbrace{I … I}_{n} F, I]. \end{aligned}

M und N sind in Normalform, also in M^{0}(λη) verschieden. Für die folgende Gleichungskette sei P^{+} :≡ P [x := M], P^{∗} :≡ P [x := N] und P^{□} :≡ sub(P^{∗}; u_{1}, …, u_{n}; I). Wir erhalten

F M = λy_{1} … y_{m}.MF_{1}^{+} … F_{l}^{+}
= λy_{1} … y_{m}.λw_{l+1} … w_{k}.[I, I]
= λy_{1} … y_{m}.λw_{l+1} … w_{k}.[[H_{i}^{□} \underbrace{I … I}_{n} F, I]F, I]
= λy_{1} … y_{m}.λw_{l+1} … w_{k}.[NH_{1}^{□} … H_{k}^{□} F, I]
= λy_{1} … y_{m}.λw_{l+1} … w_{k}.[(λu_{1} … u_{n}.NH_{1}^{∗} … H_{k}^{∗}) \underbrace{I … I}_{n} F, I]
= λy_{1} … y_{m}.λw_{l+1} … w_{k}.[F_{i}^{∗} \underbrace{I … I}_{n} F, I]
= λy_{1} … y_{m}.NF_{1}^{∗} … F_{l}^{∗}
= F N

Da F injektiv ist, kann das nicht sein.

1.2 k < l Dann sei

\begin{aligned}M & :≡ & λw_{1} … w_{l}.[I, I] \\ N & :≡ & λw_{1} … w_{l}.[w_{i} \underbrace{I … I}_{n+(l−k)} F, I]. \end{aligned}

M und N sind in M^{0}(λη) verschieden, aber man beweist wie im Fall 1.1, daß F M = F N. Der Fall kann auch nicht eintreten.

2.Fall v ≡ u_{r} für ein r mit 1 ≤ r ≤ n. Dann sei

\begin{aligned}M & :≡ & λw_{1} … w_{l}.I \\ N & :≡ & λw_{1} … w_{l}.w_{i} \underbrace{Π_{k+1}^{k+1} … Π_{k+1}^{k+1}}_{n} . \end{aligned}

Sei zur Abkürzung P^{+} :≡ P [x := N] und P^{∗} :≡ sub(P^{+}; u_{1}, …, u_{n}; Π_{k+1}^{k+1}). Da M und N in Normalform sind, sind sie in M^{0}(λη) verschieden. Außerdem gilt

F M = λy_{1} … y_{m}.I
= λy_{1} … y_{m}.(Π_{k+1}^{k+1}H_{1}^{∗} … H_{k}^{∗})
= λy_{1} … y_{m}.((λu_{1} … u_{n}.u_{r}H_{1}^{+} … H_{k}^{+}) \underbrace{Π_{k+1}^{k+1} … Π_{k+1}^{k+1}}_{n})
= λy_{1} … y_{m}.(F_{i}^{+} \underbrace{Π_{k+1}^{k+1} … Π_{k+1}^{k+1}}_{n})
= λy_{1} … y_{m}.NF_{1}^{+} … F_{l}^{+}
= F N.

Dann ist F nicht injektiv, also tritt auch dieser Fall nicht ein. Da F geschlossen ist, ist diese Fallunterscheidung vollständig. Die Komponenten F_{i} von F haben somit die gewünschte Form. □

Der Fall, daß eine oder mehrere Komponenten von F ≡ λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} unlösbar sind, kann eintreten. F :≡ λxy.x(Ωy) ist injektiv. Im Fall der Unlösbarkeit einer Komponente F_{i} muß mindestens eine der Variablen y_{1}, …, y_{m} in F_{i} auftreten.

8.13 LEMMA. F ≡ λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} sei ein in M^{0}(λη) injektiver Kombinator.

(a) In allen Komponenten F_{i} tritt eine der Variablen y_{1}, … y_{m} auf.

(b) Falls m = 0, so gilt l = 0 und F ≡ I.

Beweis. Sei angenommen, daß in einem F_{i} keine der Variablen y_{1}, … y_{m} auftritt. Mit 8.12 folgt, daß F_{i} nicht lösbar ist. Dann ist H_{i} :≡ F_{i}[x := Π_{i}^{l}] ein unlösbarer Kombininator. Für P^{∗} :≡ P [x := Π_{i}^{l}] und P^{□} :≡ P [x := λz_{1} … z_{l}.H_{i}] gilt

λη ⊢ F Π_{i}^{l} = λy_{1} … y_{m}.Π_{i}^{l}F_{1}^{∗} … F_{l}^{∗}
= λy_{1} … y_{m}.H_{i}
= λy_{1} … y_{m}.(λz_{1} … z_{l}.H_{i})F_{1}^{□} … F_{l}^{□}
= F (λz_{1} … z_{l}.H_{i})

Da F in M^{0}(λη) injektiv ist, folgt λη ⊢ Π_{i}^{l} = λz_{1} … z_{l}.H_{i}. Dann ist Π_{i}^{l} unlösbar. Das kann nicht sein. Es gibt eine Variable y_{j}, welche in F_{i} auftritt. Damit ist (a) bewiesen. Daraus folgt (b). □

Jetzt kann man zeigen, daß injektive Kombinatoren keine Atomgeneratoren sind. Besonders interessant ist der Fall der regulären injektiven Kombinatoren F. Diese besitzen eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Wenn F ein Nichtstandardatom U erzeugt, so gibt es einen Term N_{U} mit F N_{U} = U so daß F den Term U nicht aus N_{U} extrahiert. Insbesondere kann dann N_{U} nicht unlösbar sein. - Sonst würde mit N_{U} ≈ U und F ∘ I ∈ SOL der Term U von F aus N_{U} extrahiert werden. - Mit klassischer Logik folgt die Lösbarkeit von N. Aus 8.12 folgert man dann leicht, daß für ein i die Terme F_{i} und U kongruent sind. F erzeugt also nur Nichtstandardatome, die zu einer der Komponenten kongruent sind. Da in jeder Kongruenzklasse [F_{i}]_{≈_{λη}} höchstens ein Nichtstandardatom liegt, kann F höchstens l Nichtstandardatome erzeugen. Es gibt aber unendlich viele Nichtstandardatome. Daher kann F kein Atomgenerator sein. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, diesen Beweis auch mit konstruktiven Mitteln zu führen. Zum einen erhält man sofort einen konstruktiven Beweis von ¬¬∃i F_{i} ≈ U. Das ist schon ausreichend, um zu zeigen, daß F nicht alle Nichtstandardatome erzeugt. Zum anderen kann man für die speziellen Nichtstandardatome Σ_{n} die Lösbarkeit von N_{Σ_{n}} direkt beweisen. Wie oben folgt so, daß F nicht alle Nichtstandardatome Σ_{n} erzeugt. Dieser Weg wird im folgenden Lemma beschritten.

8.14 LEMMA. F ≡ λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l} sei ein in M^{0}(λη) injektiver Kombinator.

(a) Falls F das Nichtstandardatom Σ_{n} erzeugt, so gibt es eine Zahl i mit Σ_{n} ≈ F_{i}.

(b) F ist kein Atomgenerator.

Beweis. (a): Es gelte F N = Σ_{n}. Dies sei keine Extraktion von Σ_{n} aus N. Dann kann N nicht unlösbar sein. Für neue und paarweise verschiedene Konstanten c_{1}, …, c_{m} und H_{i} :≡ sub(F_{i}[x := N]; y_{1}, …, y_{m}; c_{1}, …, c_{m}) gilt dann

λη ⊢ NH_{1} … H_{l} = Σ_{n}c_{1} … c_{m}. Da Σ_{n}^{n} ≡ (λx.xx \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n})σ_{n} im zyklischen

βη-Reduktionsgraphen von Σ_{n} liegt, gibt es eine Reduktion NH_{1} … H_{l} ⟶ ⟶^{βη} Σ_{n}^{n}c_{1} … c_{m}. Diese Reduktion läßt sich nach 3.40 in einen β- und einen unkritischen η-Anteil aufspalten. Es gibt einen Term Z mit NH_{1} … H_{l} ⟶ ⟶^{β} Z und Z ⟶ ⟶^{uη} Σ_{n}^{n}c_{1} … c_{m}. Nach 3.27 besitzt Z die Gestalt

λu_{1} … u_{r}.Z_{1} … Z_{m+2}U_{1} … U_{r}

mit Z_{1} ⟶ ⟶^{iuη} λx.xx \underbrace{σ_{n} … σ_{n}}_{n} und Z_{2} ⟶ ⟶^{uη} σ_{n}. Wegen 3.26 sind Z_{1} und Z_{2} in

β-Normalform. Wir betrachten nun den einfach markierten Term A :≡ N(H_{1} ∘1) … (H_{l} ∘1). Die Reduktion NH_{1} … H_{l} ⟶ ⟶^{β} Z läßt sich liften. Es gibt eine Reduktion

A ⟶ ⟶^{β_{IE}} B mit |B| ≡ Z.

1.Fall B ist in markierter Kopfnormalform. Dann besitzt B die Gestalt λv_{1} … v_{s}.B_{0} … B_{q} mit val(B_{0}) = 1. A ist mit Spur(H_{1}) ∪ … ∪ Spur(H_{l}) markiert. Wegen 4.6 trifft das auch für B zu. Also liegt |B_{0}| in einer Menge Spur(H_{i}). Nach 7.2 sind alle Terme aus Spur(H_{i}) singulär. Weiterhin sind alle Terme aus Spur(H_{i}) zu H_{i} kongruent. Somit gilt

Σ_{n} ≈ Σ_{n}c_{1} … c_{m} = Z ≈ |B_{0}| ≈ H_{i} ≈ F_{i}.

2.Fall B ist nicht in markierter Kopfnormalform. Wir zeigen, daß dieser Fall nicht eintritt. Wenn B nicht in MKNF liegt, so besitzt B die Gestalt λu_{1} … u_{r}.B_{1} … B_{m+2}C_{1} … C_{r} mit |B_{i}| ≡ Z_{i}. Da Z_{1} und Z_{2} Kombinatoren in Normalform sind, kann in Z_{1} und Z_{2} kein Subterm aus Spur(H_{1}) ∪ … ∪ Spur(H_{l}) auftreten. Also sind B_{1} und B_{2} trivial markiert. Da Σ_{n}^{n} unlösbar ist, folgt die starke Unlösbarkeit von B und A. Dann ist wegen 4.27 auch N \underbrace{(c_{1} ∘ 1) … (c_{1} ∘ 1)}_{l} stark unlösbar.

Daraus folgt, daß N unlösbar ist. Das kann nicht sein. Der zweite Fall tritt nicht auf.

(b): Nach 5.60 bzw. 6.15 oder 7.16 sind die Terme Σ_{0}, …, Σ_{l} inkongruent. Wegen (a) können nicht alle Σ_{0}, …, Σ_{l} von F erzeugt werden. □

Auch ohne die Regularität folgt, daß injektive Terme keine Atomgeneratoren sind.

8.15 KOROLLAR. Jeder in M^{0}(λη) injektive Kombinator ist kein Atomgenerator.

Beweis. Gegeben sei ein in M^{0}(λη) injektiver Kombinator F. Annahme 1: F ist ein Atomgenerator.

Dann gibt es für jedes Nichtstandardatom Σ_{n} einen Term N_{n} mit

(i) λη ⊢ F N_{n} = Σ_{n}

(ii) F extrahiert Σ_{n} nicht aus N_{n}.

Annahme 2: F ist lösbar.

F besitzt eine Kopfnormalform. Nach 8.14 ist F nicht regulär, F besitzt also eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.y_{i}F_{1} … F_{l}. Dann ist F N_{0} = Ω lösbar. Das kann nicht sein.

Also ist Annahme 2 falsch. F ist unlösbar Somit ist Σ_{0} = F N_{0} ≈ F ≈ F N_{1} = Σ_{1}. Das kann nach 5.60 bzw. 6.15 oder 7.16 nicht sein.

Annahme 1 falsch. F ist kein Atomgenerator. □

Mit klassischer Logik folgt aus 8.5 und 8.15, daß in M^{0}(λη) bijektive Terme rechtsinvertierbar sind. Daraus folgt auch leicht die Invertierbarkeit. Wir wollen aber einen konstruktiven Beweis angeben. Dazu dient die folgende Charakterisierung der invertierbaren Terme.

8.16 LEMMA. Für Kombinatoren F sind die folgenden Aussagen gleichwertig.

(a) F ist invertierbar.

(b) F ist in M^{0}(λη) injektiv und rechtsinvertierbar.

(c) F ist in M^{0}(λη) bijektiv, und besitzt eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}, so daß keine der Komponenten F_{i} unlösbar ist.

Beweis. (a)⇒(c): Es ist klar, daß F bijektiv ist. Nach [?], (21.2.21) ist der Böhm’- sche Baum von F ⊥ frei. Alle Komponenten von F sind demnach lösbar. Diese Eigenschaft läßt sich auch ohne Rückgriff auf [?], (21.2.21) elementar verifizieren. Da F surjektiv ist, besitzt F eine Kopfnormalform der Gestalt λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. G sei invers zu F. Sei angenommen, daß eine Komponente F_{i} unlösbar ist. Dann ist auch F (Π_{i}^{l}) =: H_{i} unlösbar. Ebenso gilt F (GH_{i}) = H_{i}. Wegen der Injektivität von F ist GH_{i} = Π_{i}^{l}. G ist surjektiv, also regulär, daher ist mit H_{i} auch GH_{i} unlösbar. Das kann nicht sein. Keine Komponente F_{i} ist unlösbar. (c)⇒(b): F ist insbesondere surjektiv in M^{0}(λη). F ist regulär und von der Form λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Da F surjektiv ist, gibt es einen Kombinator N mit F N = Ω. Wir wollen zeigen, daß N unlösbar ist. Annahme : N ist lösbar. Dann besitzt N eine Kopfnormalform der Gestalt λu_{1} … u_{r}.u_{i}P_{1} … P_{s}. i > l : In dem Fall gilt für gewisse Q_{j}

Ω = F N = λy_{1} … y_{m}.λu_{l+1} … u_{r}.u_{i}Q_{1} … Q_{s}.

Das kann nicht sein. i ≤ l: In dem Fall gilt für gewisse R_{j} und P^{□} :≡ P [x := N]

Ω = F N = λy_{1} … y_{m}.(λu_{i+1} … u_{r}.F_{i}^{□} R_{1} … R_{s})F_{i+1}^{□} … F_{i+1}^{□}

Falls F_{i} lösbar ist, so gilt wegen 8.12 F_{i} ≈ y_{j} für ein j mit 1 ≤ j ≤ m. Also ist Ω = F N ≈ y_{j} . Das kann nicht sein. F_{i} ist demnach unlösbar. Das widerspricht der Voraussetzung. Also ist N unlösbar. Jetzt folgt mit 8.1 die Rechtsinvertierbarkeit von F. (b)⇒(a): R sei rechtsinvers zu F. Für alle Kombinatoren M gilt F M = (F ∘ R)(F M) = F ((R ∘ F)M). Da F injektiv ist, folgt (R ∘ F)(M) = M. Wählt man M als Nichtstandardatom (z. B. Ω), so folgt mit 7.22 R ∘ F = I. F ist demnach invertierbar.

Der Fall (b)⇒(a) wird auch in BaVe bewiesen. Dort werden Ergebnisse über universelle Erzeuger (vergleiche [?], (17.3.24)) benutzt. □

Jetzt ist es möglich, die Invertierbarkeit der in M^{0}(λη) bijektiven Terme zu beweisen.

8.17 THEOREM. Ein Kombinator F ist genau dann invertierbar, wenn er im geschlossenen Termmodell M^{0}(λη) bijektiv ist.

Beweis. Wir müssen nur noch zeigen, daß jeder in M^{0}(λη) bijektive Term F invertierbar ist. F ist surjektiv, also besitzt F eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Wegen der Äquivalenz von 8.16 bleibt zu zeigen, daß keine der Komponenten von F unlösbar ist. Annahme : Ein F_{i} ist unlösbar. Da F injektiv ist, kann F nach 8.16 nicht rechtsinvertierbar sein. F ist nach Voraussetzung surjektiv, somit folgt aus 8.5, daß F ein Atomgenerator ist. Das widerspricht nach 8.15 der Injektivität von F. Die Annahme ist falsch. Keine Komponente von F ist unlösbar. F ist somit invertierbar. □

Wie wir in 8.16 gesehen haben, ist der Beweis der Rechtsinvertierbarkeit von bijektiven Termen das Kernstück vom Beweis der Invertierbarkeit. Für diesen Beweis benötigen wir gleichermaßen die Surjektivität und die Injektivität von F. Dabei haben wir darauf geachtet, Folgerungen aus der Surjektivität und der Injektivität getrennt zu notieren. Die Injektivität von F ist der Garant dafür, daß die Surjektivität von F in einer uniformen Weise abläuft. Injektive Terme sind keine Atomgeneratoren. In den Beweis dieser Tatsache geht ein, daß es unendlich viele inkongruente Ordnungsatome gibt. Unabhängig davon, ob dies mit 5.60 oder 6.15 gezeigt wird, bringt das einen bemerkenswerten Aufwand mit sich. Auch bei kürzeren Beweisen muß wegen Theorem 1 notwendig die Injektivität an einer nicht trivialen Stelle zum Einsatz kommen.

Noch offen ist die Frage, ob die in M^{0}(Kη) und M^{0}(K^{∗}) bijektiven Terme invertierbar sind. Alle in diesen λ-Algebren bijektiven Terme sind regulär. Sie besitzen also eine Kopfnormalform λxλy_{1} … y_{m}.xF_{1} … F_{l}. Jetzt ist es leicht zu sehen, daß keine der Komponenten F_{i} unlösbar ist. Daraus folgt aber nicht automatisch die Invertierbarkeit von F. Das liegt daran, daß Lemma 8.1 in den Theorien Kη und K^{∗} nicht korrekt ist. Falls F überhaupt invertierbar ist, so müßte hier eine andere Methode zum Zuge kommen. Wegen 16.1.9 aus [?] ist Υ aus 8.10 auch in Kη nicht rechtsinvertierbar. Es ist zu vermuten, daß dies auch in K^{∗} zutrifft. Daher können einfache Beweise für die Invertierbarkeit der in M(Kη) und M(K^{∗}) bijektiven Terme nicht erwartet werden.

Eine weitere denkbare Methode zum Beweis der Existenz von unendlich vielen Kongruenzklassen wäre die Konstruktion eines (extensionalen) Modells M, in dem alle kongruenten Terme identifiziert, nicht aber alle unlösbaren Terme identifiziert werden. Für den Beweis von 8.17 wäre es sogar wünschenswert, daß M unendlich viele Ordnungsatome unterscheidet. Es ist klar, daß Termmodelle mit diesen Eigenschaften existieren - ein mathematisches Modell mit mit diesen Eigenschaften konnte aber bislang nicht gefunden werden.

Zusammenfassung

Herr Gott! sagte meine Mutter, von was handelt denn eigentlich die ganze Geschichte? Von einem Hahn und einem Bullen, sagte Yorick, und zwar ists eine der schönsten Geschichten, die ich jemals hörte.

Diese Arbeit besteht aus acht Paragraphen, deren Inhalt hier kurz dargestellt wird.

1.Einführung. Hier werden zwei fundamentale Thesen formuliert und begründet. (I) Es ist angebracht, unlösbare Terme als Informationsträger aufzufassen. (II) Die Identifikation von kongruenten Termen ist sinnvoll. Die Kongruenzrelation ≈ auf den unlösbaren Termen wird von der Klausel MP ≈ M (für unlösbare M und beliebige P) und der Gleichheit in der jeweils zugrundeliegenden Theorie erzeugt.

2.Grundbegriffe. In diesem Paragraphen werden die wichtigsten elementaren Begriffe des λ-Kalküls vorgestellt. Zusätzlich werden einige neue Begriffe eingeführt. Dazu zählen der Limes superior einer Menge von λ-Termen und eine Markierungstechnik, die viele aus der Literatur bekannte Markierungsverfahren vereinheitlicht.

3.Eta-Reduktionen. Möglichst viele für den reinen λ-Kalkül bewiesene Ergebnisse sollen auch für den extensionalen λη-Kalkül bewiesen werden. Insbesondere soll die Kongruenz in λη untersucht werden. Dann müssen η-Gleichheit und η-Reduktionen studiert werden. Das geschieht im dritten Paragraphen durch speziell markierte Terme A, welche die wesentlichen Informationen einer η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N enthalten. Mit dieser Markierungstechnik gelingt es, jede η-Reduktion M ⟶ ⟶^{η} N in eine β-Reduktion M ⟶ ⟶^{β} K und eine unkritische η-Reduktion K ⟶ ⟶^{uη} N zu zerlegen. Dadurch können viele Untersuchungen vereinfacht werden.

4.Einfach markierte Terme. Ein einfach markierter Term A kann als Paar aufgefaßt werden, dessen erste Komponente |A| ein unmarkierter λ-Term und dessen zweite Komponente eine Abbildung ist, die jedem Subterm von |A| eine Zahl 0 oder 1 zuordnet. Ein Subterm von |A| heißt dann markiert in A, falls i ihm der Wert 1 zugeordnet wird. Durch eine Markierung werden Subterme von |A| hervorgehoben. Ein wichtiges Thema dieses Paragraphen ist die Untersuchung, was bei β- und η-Reduktionen auf den einfach markierten Termen mit den hervorgehobenen Teilen passiert. Bei unlösbaren Termen wird manchmal hervorgehoben, was für die Unlösbarkeit unwesentlich ist. Dann entstehen sogenannte stark unlösbare Terme. Durch den hier ebenfalls definierten Begriff der Isomorphie von einfach markierten Termen kann ein Zusammenhang zwischen der starken Unlösbarkeit und der Kongruenz hergestellt werden. Es zeigt sich, daß die ersten Komponenten von isomorphen stark unlösbaren Termen kongruent sind.

5.Kongruenz. Nach den vorwiegend technisch orientierten Paragraphen 2 bis 4 wird hier die Kongruenz formal eingeführt. Im Zentrum dieses Paragraphen steht die Frage, ob es verschiedene Kongruenzklassen gibt. Diese Frage wird positiv beantwortet. Dazu werden zweistellige Relationen ρ und ρ^{−} angegeben, welche die Kongruenz in λη bzw. λ erzeugen. Der Übergang M ⟶^{ρ} N bzw. M ⟶^{ρ^{−}} N kann als Vereinfachung von M zu N interpretiert werden. Diese Vereinfachung folgt u.a. den Kongruenzen:

MP ≈ M,
λx.M ≈ M und
M[x := P] ≈ M

für unlösbare Terme M. Durch den Beweis, daß ρ und ρ^{−} konfluent sind, kann man dann schließen, daß zwei kongruente Terme eine gemeinsame Vereinfachung besitzen. Die Existenz von unendlich vielen Kongruenzklassen folgt jetzt durch die Angabe von unlösbaren Termen, die eine besonders einfache Struktur besitzen. Gemeinsame Vereinfachungen sind dann nicht möglich.

6.Unlösbarkeitsgrade. Im sechsten Paragraphen wird unlösbaren Termen M ein Unlösbarkeitsgrad U(M) zugeordnet. U(M) kann alle Werte aus IN^{+} ∪ {∞} annehmen und mißt die Anzahl der für die Unlösbarkeit von M relevanten äußeren Applikationen. Es macht einige Mühe, eine Zuordnung U zu finden, welche gegenüber λ-Gleichheit invariant ist. Man zeigt aber sogar die Invarianz gegenüber λη-Gleichheit und λη-Kongruenz. Da es Terme Σ_{n} mit U(Σ_{n}) = n + 1 gibt, folgt wiederum die Existenz von unendlich vielen Kongruenzklassen in λ und λη.

7. Atomare Terme. Hier werden Möglichkeiten beschrieben, Eigenschaften von Variablen und Konstanten durch unlösbare Terme zu simulieren. Es werden Ordnungsatome, Pseudoatome und Nichtstandardatome betrachtet; hauptsächlich aber werden Nichtstandardatome untersucht. In λ und λη folgt aus der Kongruenz von zwei Nichtstandardatomen schon deren Gleichheit. Schwierigkeiten bei der Simulation von Variablen ergeben sich durch die Tatsache, daß unlösbare Terme - im Gegensatz zu Variablen - erzeugt werden können. Das führt zum Begriff des Atomgenerators. Atomgeneratoren erzeugen alle Nichtstandardatome.

8.Invertierbarkeit. In diesem Paragraphen werden Invertierbarkeitseigenschaften von Elementen des geschlossenen Termmodells M^{0}(λη) untersucht. Im Mittelpunkt stehen die Fragen, ob die in M^{0}(λη) surjektiven Terme rechtsinvertierbar und ob die in M^{0}(λη) bijektiven Terme invertierbar sind. Durch ein Gegenbeispiel wird gezeigt, daß nicht alle in M^{0}(λη) surjektiven Terme rechtsinvertierbar sind. Im Gegensatz dazu kann die zweite Frage positiv beantwortet werden. Unter Ausnutzung der in den früheren Paragraphen bewiesenen Tatsache, daß unendlich viele Kongruenzklassen existieren, folgt, daß alle in M^{0}(λη) injektiven Terme keine Atomgeneratoren sind. Dadurch wird eine Analogie zum offenen Termmodell möglich. Alle in M^{0}(λη) bijektiven Terme sind invertierbar.

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Lebenslauf

Persönliche Daten: Name: Enno Folkerts geboren am: 25. März 1964 in Höxter Familienstand: ledig Eltern: Liselotte Folkerts, geb. Haas, Rechtsanwältin und Autorin

Helmut Folkerts, Leitender Regierungsdirektor a. D.

Schulausbildung: 09/70 - 07/74 Martin-Luther-Grundschule in Münster 09/74 - 06/83 Schillergymnasium Münster 11.06.83 Abschluß: allgemeine Hochschulreife Wehrdienst: 07/83 - 09/83 4. Luftwaffenausbildungsregiment, Pinneberg 10/83 - 09/84 Lufttransportkommando, Münster Studium: 10/84 - 09/86 Mathematik und Physik an der WWU Münster 07/86 - 09/86 Vordiplom in Mathematik und Physik 09/86 - 06/87 Mathematik und Philosophie in St. Andrews, Schottland 04/87 - 07/91 Mathematik mit Schwerpunkt mathematische Logik

an der WWU Münster

03.07.91 Abschluß: Dipl.-Math. seit 08/91 Promotionsstudiengang an der math.-nat. Fakultät der

WWU Münster

Tätigkeiten: 10/87 - 07/91 studentische Hilfskraft am Fachbereich Mathematik der

WWU Münster

08/91 - 09/91 wissenschaftliche Hilfskraft am Fachbereich Mathematik

der WWU Münster

seit 10/91 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für math. Logik

und Grundlagenforschung der WWU Münster

Dissertation: seit 08/91 Arbeit an der Dissertation über λ-Kalkül und konstruktive

Mathematik am Institut für math. Logik und Grundlagenforschung unter Betreuung von Prof. Dr. J. Diller