Beschränkte Arithmetik in

scharf beschränkten Theorien zweiter Stufe

von Arnold Beckmann

aus Lünen

Dem Institut für

mathematische Logik und Grundlagenforschung

am Fachbereich 15 - Mathematik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster

als Diplomarbeit eingereicht

im September 1992

”Unsere größte Schwäche ist die Verschwendung an Zeit, für die der Mangel an Mut verantwortlich ist, das als unwesentlich Erkannte auch für unwesentlich zu erklären.“

Hinrich Seidel, Präsident der Europäischen Rektorenkonferenz

Inhalt

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Teil A Beschränkte Arithmetik 1 Die Polynomiale Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Grundlagen der Beschränkten Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Ergebnisse aus der Beschränkten Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Partielle Schnittelimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Teil B Der Hauptsatz der Beschränkten Arithmetik für U_{2}^{i,w^{⋆}} 5 Beobachtungen in U_{2}^{i,w^{⋆}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-Klassenterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7 Interpretation von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8 Einbettung von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9 Charakterisierung der Polynomialen Hierarchie in U_{2}^{i,w^{⋆}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Teil C Eine Methode zum Beweis von Unbeweisbarkeiten in U_{2}^{w} 10 Ein halbformales System für die Beschränkte Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11 Das volle Induktionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12 Der kleine Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13 Der Satz von Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 14 Komprehension in der ersten Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 15 Quintessenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Einleitung

Aus der theoretischen Informatik kommt die Fragestellung nach dem effizientesten Algorithmus, um ein gegebenes Problem zu lösen. In diesem Zusammenhang wird die von Meyer-Stockmeyer in [Stockmeyer 1976] eingeführte Polynomiale Hierarchie PH = ⋃_{i} Δ_{i}^{p} von Prädikaten auf natürlichen Zahlen betrachtet, deren bekannteste Vertreter die Klassen P = Δ_{1}^{p} und NP = Σ_{1}^{p} sind. P enthält alle Prädikate, die durch eine Turingmaschine in polynomialer Zeit berechenbar sind, und NP alle diejenigen, für die eine nicht-deterministische Turingmaschine analoges leistet. Wichtige offene Probleme sind die Fragen

(i) P = NP ?

oder weitergehend

(ii) kollabiert PH ?

Zudem gibt es die Klassen PSPACE, die aus allen durch eine Turingmaschine mit polynomialen Platzbedarf berechenbaren Prädikaten besteht, und EXPTIME, in der genau die durch eine Turingmaschine in exponentieller Zeit berechenbaren Prädikate liegen. Damit schließen sich weitere offene Fragen an:

(iii) PSPACE = PH ?

(iv) PSPACE = EXPTIME ?

S. Buss ist in [Buss 1986] ein wichtiger Schritt zur mathematisch-logischen Beschreibung des aufgezeigten Problemkreises gelungen, indem er in der Beschränkten Arithmetik die mathematischen Theorien S_{2}^{i}, T_{2}^{i}, U_{2}^{i} und V_{2}^{i} eingeführt hat. S_{2}^{i} und T_{2}^{i} sind Theorien erster Stufe, die in enger Beziehung zu Δ_{i}^{p} und Δ_{i+1}^{p} stehen. U_{2}^{i} und V_{2}^{i} sind Theorien zweiter Stufe, die mit PSPACE und EXPTIME eng verknüpft sind. Die für die eingangs erwähnten Probleme relevanten Fragestellungen in der Beschränkten Arithmetik sind:

(i) Ist S_{2}^{i} = T_{2}^{i} oder S_{2}^{i+1} = T_{2}^{i} für ein i?

(ii) Kollabiert die Hierarchie der Beschränkten Arithmetik ?

(iii) Ist U_{2}^{1} eine konservative Erweiterung von S_{2} ··= ⋃_{i} S_{2}^{i} ?

(iv) U_{2}^{1} = V_{2}^{1} ?

Die bisher gefundenen Resultate über Zusammenhänge zwischen den beiden Problemgruppen sind:

(a) S_{2}^{i+1} = T_{2}^{i} impliziert Σ_{i+2}^{p} = Π_{i+2}^{p} und damit den Kollabs von PH. Zudem wird in [Krajíc̆ek-Pudlák-Takeuti 1991] S_{2}^{i+1}(A) ≠ T_{2}^{i}(A) für i ≥ 1 gezeigt, wobei S_{2}^{i+1}(A) und T_{2}^{i}(A) aus S_{2}^{i+1} bzw. T_{2}^{i} durch Hinzufügen von freien Mengenvariablen hervorgehen.

(b) S_{2}^{0} ≠ T_{2}^{0} wird in [Takeuti 1990a] bewiesen.

(c) In [Takeuti 1988] und [Takeuti 1990b] wird gezeigt, daß V_{2}^{1} keine konservative Erweiterung von S_{2}^{1} ist.

(d) Außerdem hat P. Pudlák gezeigt, daß für i = 1 und i = 2 S_{2}^{i}(A) ≠ T_{2}^{i}(A) gilt. (S. Buss hat dies für i = 1 bewiesen.)

Ziel dieser Arbeit ist es, Theorien U_{2}^{i,w^{⋆}} anzugeben, so daß sich in U_{2}^{w^{⋆}} = ⋃_{i} U_{2}^{i,w^{⋆}} die Polynomiale Hierarchie PH charakterisieren und U_{2}^{w^{⋆}} von U_{2}^{1} separieren läßt. Also ist U_{2}^{1} zwar eine Erweiterung von U_{2}^{w^{⋆}}, aber keine konservative. Mithin läßt sich das auf die Theorien U_{2}^{i,w^{⋆}}, die im wesentlichen zu S_{2}^{i} äquivalent sind, übertragene Problem (iii) aus der Beschränkten Arithmetik lösen, und es liegt die Vermutung nahe, daß U_{2}^{1} keine konservative Erweiterung von S_{2} ist.

Im Folgenden skizzieren wir die wichtigen Ideen auf dem Weg zu dem gerade beschriebenen Ziel, die dann in der Arbeit ausführlich behandelt werden. Wir geben die Theorien U_{2}^{i,w^{⋆}} an, indem wir zuerst schwache zweitstufige Formelmengen Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Π_{i}^{1,w^{⋆}} definieren, die im wesentlichen zweitstufige Versionen von Σ_{i}^{b} und Π_{i}^{b} sind. Dazu werden beschränkte erststufige Quantoren Qx^{≤}t F (x) in den von Buss eingeführten Formelmengen Σ_{i}^{b} und Π_{i}^{b} durch scharf beschränkte zweitstufige Quantoren Qϕ G(ϕ^{|t|}) ersetzt. Dabei ist |t|, die Länge von t, ungefähr log_{2}(t). Einen Hinweis auf die gleiche Ausdrucksstärke von Σ_{i}^{b}/Π_{i}^{b} und Σ_{i}^{1,w^{⋆}}/Π_{i}^{1,w^{⋆}} erhalten wir, indem wir ein scharf beschränktes Anfangsstück einer Menge α^{|t|} = {u < |t| : u ∈ α} als Binärdarstellung der Zahl

∑_{i<|t|}(i)α · 2^{i} mit (i)α = \{ \begin{matrix}0 : & i ∉ α \\ 1 : & i ∈ α \end{matrix}

auffassen (∑_{i<|t|}(i)α · 2^{i} ≤ 2^{|t|} ≈ t). Sei Ψ eine Formelmenge, dann haben die uns interessierenden polynomialen Induktionen die Gestalt

(Ψ-PIND) A(0) ∧ ∀x (A(⌊\frac{1}{2}x⌋) → A(x)) → A(t)

oder äquivalent

(Ψ-LIND) A(0) ∧ ∀x (A(x) → A(Sx)) → A(|t|)

mit A ∈ Ψ. Die scharf beschränkte Komprehension hat die Gestalt

(wΨ-CA) ∃X ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x))

mit A ∈ Ψ. (Σ_{i}^{b}-PIND) aus S_{2}^{i} wird in U_{2}^{i,w^{⋆}} durch (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) und (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) ersetzt. Diese Komprehension reicht, da sich damit (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisen läßt. Über den Hauptsatz der Beschränkten Arithmetik

A ∈ Δ_{i}^{p} ⟺ A ist in Δ_{i}^{b} bezüglich S_{2}^{i}

erhalten wir als wesentliche Charakterisierung von U_{2}^{i,w^{⋆}}

A ∈ Δ_{i}^{p} ⟺ A ist in Δ_{i}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}} .

Insofern ist U_{2}^{w^{⋆}} = ⋃_{i} U_{2}^{i,w^{⋆}} im wesentlichen äquivalent zu S_{2} = ⋃_{i} S_{2}^{i} .

Abschließend geben wir in dieser Arbeit mehrere Beispiele an, die U_{2}^{w^{⋆}} von U_{2}^{1} separieren.

(i) Das volle Induktionsaxiom ist nicht in U_{2}^{w^{⋆}} herleitbar, während U_{2}^{1} es beweist.

(ii) Eine Formulierung des Fermatschen Satzes ist nicht in U_{2}^{w^{⋆}} herleitbar, während U_{2}^{1} sie beweist.

(iii) Eine Formulierung des Wilsonschen Satzes ist nicht in U_{2}^{w^{⋆}} herleitbar, während U_{2}^{1} sie beweist.

(iv) U_{2}^{w^{⋆}} leitet nicht

∃x^{≤}2 · c ∀y^{<}|c| (Bit(y, x) = 1 ↔ y ∈ α)

her, während U_{2}^{1} dies beweist.

Wir zeigen sogar noch mehr, indem wir eine Erweiterung U_{2}^{w} von U_{2}^{w^{⋆}} betrachten, die sich von U_{2}^{1} separieren läßt. Dazu erweitern wir Σ_{i}^{1,w^{⋆}} zu Σ_{i}^{1,w} vermöge Ersetzung der scharf beschränkten Mengenquantoren in Σ_{i}^{1,w^{⋆}} Qϕ F (ϕ^{|t|}) durch beliebige Mengenquantoren. Damit ist Σ_{i}^{1,w} abgeschlossen unter Qx^{≤}|t| und ∃ϕ; es werden also die Alternationen der Mengenquantoren gezählt. Dann sei Σ^{1,w} ··= ⋃_{i} Σ_{i}^{1,w} . G. Takeuti hat in seinem, dieser Arbeit zugrundeliegenden Artikel [Takeuti 1991] aus U_{2}^{i,w^{⋆}} mittels Ersetzen von (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) und (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) durch (Σ^{1,w}-LIND) bzw. (Σ_{1}^{1,w}-CA) U_{2}^{w} erhalten. Diese Wahl des Komprehensionsaxioms ist begründet in der Notwendigkeit, in U_{2}^{w} Schnitte zu eliminieren, wozu Takeuti sein Verfahren aus [Takeuti 1987] für (Σ_{1}^{1}-CA) verwendet. Wie wir sehen werden, wird so mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Es ist bekannt ([Buss 1986] §9), daß zweitstufige Beschränkte Arithmetik nicht stärker ist als Peano Arithmetik. Somit liegt die Vermutung nahe, daß ein kombinatorisch so aufwendiges Verfahren, wie es für die Bewältigung der Schnittelimination von (Σ_{1}^{1}-CA) benötigt wird, zu umgehen sein müßte. Wir tuen dies, indem wir Takeutis Definition von U_{2}^{w} in bezug auf die Komprehension zu

(Σ^{1,w}-CA)

erweitern, und durch einen Trick die vollständige Schnittelimination in einem halbformalen Kalkül prädikativ beweisen. (Ähnliche halbformale Systeme werden ausführlich zum Beispiel in [Pohlers 1989] vorgestellt.) In dem halbformalen Kalkül werden nur beschränkte, erststufig geschlossene Formeln hergeleitet, also solche ohne freie Individuenvariablen; er formalisiert im erststufigen Bereich mit Hilfe einer beschränkten ω-Regel

Γ, F (\underline{n}) für alle n ≤ t ⟹ Γ, ∀x^{≤}t F (x)

die Wahrheit im Standardmodell. Im zweitstufigen Bereich benötigen wir wegen der Verwendung freier Mengenvariablen weiterhin (Σ_{0}^{1,w}-CA). Der Trick besteht nun darin, (Σ^{1,w}-CA) in dem halbformalen System zu beweisen.

Um die Vorgehensweise zur Begründung der Unbeweisbarkeit obiger Aussagen in U_{2}^{w^{⋆}} zu erläutern, betrachten wir zuerst eine minimale Teilmenge der natürlichen Zahlen, die für die Gültigkeit solch einer Aussage benötigt wird. Aufgrung der Vollständigkeit des halbformalen Kalküls sind damit im wesentlichen diejenigen Zahlen gemeint, die in einem halbformalen Beweis der festgehaltenen Aussage auftauchen müssen. Wir werden sehen, daß diese Menge polynomial in den Parametern der Aussage wächst. Gäbe es im Zusammenhang mit solch einer Aussage einen formalen Beweis, in dem jeder (∀)-Schluß die Gestalt

Γ, a / ≤ |t|, A(a) ⟹ Γ, ∀x^{≤}|t| A(x)

mit a ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| A(x)) und jeder Induktionsschluß die Gestalt

Γ, ¬A(a), A(Sa) ⟹ Γ, ¬A(0), A(|t|)

mit a ∉ FV (Γ, A(|t|)) hat. Dann werden die Prämissen dieser Schlüsse bei Einbettung in den halbformalen Kalkül nur für a≤|t|≤p_{t}(|a⃗|) mit FV (t) ⊂ {a⃗} und einem Polynom p_{t} benötigt. Übertragen wir diese Beobachtung auf den gesammten Beweis, so folgt, daß die Anzahl der in dem halbformalen Kalkül benutzten natürlichen Zahlen durch ein Polynom in der Länge der Parametervariablen des Beweises beschränkt ist. Da aber, wie wir oben gesehen haben, mindestens polynomial in den Parametern, was gleichbedeutend ist mit exponentiell in der Länge der Parameter, viele Zahlen benötigt werden, führt ein Vergleich der Wachstumsraten zum Widerspruch. Dies zeigt die Unbeweisbarkeit jener Aussagen.

Zum Abschluß dieser einführenden Worte bleibt mir noch all denen zu danken, die mit dem Gelingen meiner Arbeit verbunden sind. Da sind ganz allgemein die Mitarbeiter des Instituts für mathematische Logik und Grundlagenforschung zu erwähnen, die mich in ihren Kreis aufgenommen haben. Speziell hat Thomas Glaß mit seiner konstruktiven Kritik das Ende der Arbeit in absehbare Nähe gerückt. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Pohlers für die Anregung und Betreuung dieser Arbeit.

Teil A Beschränkte Arithmetik

1 Die Polynomiale Hierarchie

In diesem ersten Paragraphen tragen wir die wesentlichen Begriffe, die zum Aufbau der Polynomialen Hierarchie benötigt werden, zusammen. Wir wählen den mathematisch logischen Zugang und erwähnen den berechenbarkeitstheoretischen nur dort, wo es nötig ist. Die Äquivalenz beider Wege wird unter anderem in dem ersten Teil in [Buss 1986] ausgeführt.

Die Grundidee hinter der Polynomialen Hierarchie ist die, das Berechenbarkeitskonzept von ”rekursiven“ auf ”polynomiale-Zeit“ Berechnungen abzuschwächen, um so zu Funktionen zu gelangen, die nicht nur intuitiv (also durch einen Algorithmus), sondern darüberhinaus auch durchführbar (”feasible“) berechenbar sind. In ”polynomialer Zeit“ heißt, daß die Rechenzeit, also die Anzahl der zur Berechnung des Ergebnisses benötigten Rechenschritte, durch ein Polynom in der Länge der Eingabe, die als Anzahl der Bits in der Binärdarstellung der Eingabe definiert ist, beschränkt ist. Durch die Einschränkung des Berechenbarkeitsbegriffs ergibt sich automatisch eine polynomiale Wachstumsrate der berechneten Funktion, da die polynomiale Zeitschranke auch eine obere Schranke der von dem Ergebnis belegten Bandfelder einer Turingmaschine, also der Länge des Ergebnisses, ist.

1.1 Definition

(a) Die Länge |n| einer natürlichen Zahl n ist die Anzahl der Bits in ihrer Binärdarstellung:

|n| ··= ⌈log_{2}(n + 1)⌉

(für reelle Zahlen r ist ⌈r⌉ die kleinste ganze Zahl z mit z ≥ r).

Für Tupel n⃗ = (n_{1}, …, n_{k}) schreiben wir

|n⃗| ··= (|n_{1}|, …, |n_{k}|) .

(b) p ist ein geeignetes Polynom, wenn p nur nichtnegative Koeffizienten hat.

(c) Eine Funktion f : IN^{k} → IN hat eine polynomiale Wachstumsrate, wenn es ein geeignetes Polynom p gibt mit

∀n⃗ ∈ IN^{k}(|f(n⃗)| ≤ p(|n⃗|)) .

(d) Sei f eine Funktion. Eine Turingmaschine M_{f} berechnet f in polynomialer Zeit, wenn sie f berechnet und die Anzahl der Rechenschritte \overline{RZ}_{M_{f}} zur Berechnung von f durch ein Polynom p in der Länge der Eingabe beschränkt ist:

∀n⃗ ∈ IN^{k}(\overline{RZ}_{M_{f}} (n⃗) ≤ p(|n⃗|)) .

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, polynomiale-Zeit-Turingmaschinen mit Orakeln für Funktionen exakt zu definieren. Die in [Buss 1986] gewählte zählt eine Orakelanfrage als einen Rechenschritt und fügt eine a priori Beschränkung an den Platzbedarf der Turingmaschine.

P sei die Menge aller Funktionen, die durch eine Turingmaschine in polynomialer Zeit berechnet werden. PSPACE sei die Menge aller Funktionen f mit polynomialer Wachstumsrate, so daß für eine Turingmaschine M_{f}, die f berechnet, die Anzahl der benutzbaren Bandfelder durch ein Polynom in der Länge der Eingabe beschränkt ist. Zum Beispiel sind folgende Funktionen aus P:

– die Konstante Nullfunktion 0 ,

– die Nachfolgerfunktion n ↦ Sn,

– die Addition (m, n) ↦ m + n,

– die Multiplikation (m, n) ↦ m · n,

– die ”shift right“-Funktion n ↦ ⌊\frac{1}{2}n⌋, die jeder natürlichen Zahl n das größte Ganze kleinergleich n zuweist,

– die Funktion n ↦ |n|, die jeder natürlichen Zahl n ihre Länge zuweist,

– die ”smash“-Funktion (m, n) ↦ m#n = 2^{|m|·|n|},

– die arithmetische Subtraktion

(m, n) ↦ m − · n = \{ \begin{matrix}m − n : & m − n ≥ 0 \\ 0 : & m − n < 0 \end{matrix} ,

– die Funktionen (m, n) ↦ MSP(m, n) und (m, n) ↦ LSP(m, n) , die den höherwertigen Teil (”more significant part“) und den niederwertigen Teil (”less significant part“) einer Zahl m berechnen. Sie sind eindeutig bestimmt durch

m = MSP(m, n) · 2^{n} + LSP(m, n)

und

|LSP(m, n)| ≤ n oder äquivalent dazu LSP(m, n) < 2^{n} ,

– die Funktion (m, n) ↦ Bit(m, n) , die das m-te Bit in der Binärdarstellung von n berechnet, – Kodier- und Dekodierfunktionen für Gödelnummern ⟨n_{1}, …, n_{k}⟩ von endlichen Sequen-

zen natürlicher Zahlen:

β(i, ⟨n_{1}, …, n_{k}⟩) = \{ \begin{matrix}k : & i = 0 \\ n_{i} : & 0 < i ≤ k \end{matrix}

n_{0} ∗ ⟨n_{1}, …, n_{k}⟩ = ⟨n_{0}, n_{1}, …, n_{k}⟩ ,

– die Funktion (m, n) ↦ Rem(m, n) , die den Rest berechnet, der bei der ganzzahligen Division von m durch n auftritt. Es gilt

Rem(m, n) < n

und

∃k ∈ IN(m = k · n + Rem(m, n)) .

Die Klasse der in polynomialer Zeit berechenbaren Funktionen läßt sich induktiv erzeugen. Wir benötigen dazu ein schwächeres Konzept als die primitive Rekursion, nämlich die limitierte Iteration.

1.2 Definition

Seien k ≥ 0 , g : IN^{k} → IN , h : IN^{k+2} → IN beliebige Funktionen und p, q geeignete Polynome. f : IN^{k} → IN heißt definiert durch limitierte Iteration von g und h mit Zeitschranke p und Platzschranke q, wenn folgendes gilt:

Sei τ ··= R(g, h) , also τ : IN^{k+1} → IN mit

τ(m⃗, 0) = g(m⃗)
τ(m⃗, n + 1) = h(m⃗, n, τ(m⃗, n)) ,

so daß

∀m⃗ ∈ IN^{k}[∀n^{≤}p(|m⃗|) (|τ(m⃗, n)| ≤ q(|m⃗|))]

ist. Dann ist f definiert durch

∀m⃗ ∈ IN^{k}(f(m⃗) = τ(m⃗, p(|m⃗|))) .

Für den formalen induktiven Aufbau einer Funktionenklasse benötigen wir im ersten Schritt eine Menge von Grundfunktionen, die ihrer Bezeichnung entsprechend möglichst einfach sein sollen. Eine erzeugende Menge einfacher Funktionen, wie sie auch in [Buss 1986] steht, ist die Menge B:

1.3 Definition

(a) B sei die Menge folgender Funktionen:

(1) die Nullfunktion 0 ,

(2) die Nachfolgerfunktion S ,

(3) die ”shift right“-Funktion ⌊\frac{1}{2}.⌋,

(4) die “shift left“-Funktion n ↦ 2 · n,

(5) die Funktion (m, n) ↦ m ≤ n = \{ \begin{matrix}1 : & m ≤ n \\ 0 : & m > n \end{matrix}

(6) die Funktion (l, m, n) ↦ Choise(l, m, n) = \{ \begin{matrix}m : & l > 0 \\ n : & l = 0 \end{matrix}

(b) Sei C eine Menge von Funktionen mit polynomialer Wachstumsrate. Der polynomiale Zeitabschluß von C, PTC(C), ist die kleinste Menge von Funktionen, die

(1) C und B enthält und

(2) abgeschlossen ist unter Komposition und limitierter Iteration.

Die Begründung dafür, daß der gerade definierte mathematische Begriff des polynomialen Zeitabschlusses mit dem zuvor definierten berechenbarkeitstheoretischen Begriff übereinstimmt, ist die folgende Aussage, die in [Buss 1986] §1.2 Theorem 2 und Korollar 3 begründet werden.

1.4 Satz

Sei C eine Menge von Funktionen mit polynomialer Wachstumsrate. f ist in PTC(C) genau dann, wenn eine Turingmaschine mit Orakel für endlich viele Funktionen aus C in polynomialer Zeit f berechnet. □

1.5 Korollar

P = PTC(∅) □

Eine arithmetische Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe, die die logischen Symbole =, ≠, ∧, ∨, ∃, ∀ und die nichtlogischen Symbole 0, S, +, ·, |.|, ⌊\frac{1}{2}.⌋, #, ≤, / ≤ enthalten kann. Die Funktionszeichen repräsentieren die entsprechende Funktion und die nichtlogischen Relationszeichen stehen für

≤ kleinergleich
/ ≤ nicht kleinergleich.

Die Wahl der Funktionszeichen ist nicht willkürlich. Zu jedem geeigneten Polynom p gibt es einen Term t, der neben freien Variablen höchstens die Funktionen 0, S, ⌊\frac{1}{2}.⌋, ·, # enthält, mit

∀n⃗ ∈ IN^{k}[t(n⃗) = 2^{p(|n⃗|)}] .

Also hat f eine polynomiale Wachstumsrate genau dann, wenn es einen Term t mit

∀n⃗ ∈ IN^{k}[f(n⃗) ≤ t(n⃗)]

gibt. Zur Übersicht schreiben wir abkürzend

∀x^{≤}t (…) für ∀x (x / ≤ t ∨ …)

und

∃x^{≤}t (…) für ∃x (x ≤ t ∧ …) .

Die Quantoren dieser Gestalt heißen beschränkt. Sie heißen scharf beschränkt, falls es einen Term s mit t ≡ |s| gibt. Mit obiger Bemerkung sieht man, daß beschränkte Quantoren den polynomial beschränkten Quantoren

Qx^{≤}2^{p(|n⃗|)} (…)

und scharf beschränkte Quantoren den logarithmisch beschränkten Quantoren

Qx^{≤}p(|n⃗|) (…)

entsprechen, mit denen auf dem berechenbarkeitstheoretischen Weg, wie zum Beispiel in [Buss 1986], die Polynomiale Hierarchie konstruiert wird. Wir definieren nun eine Hierarchie von beschränkten arithmetischen Formeln analog zur arithmetischen Hierarchie, wobei hier die beschränkten bzw. scharf beschränkten Quantoren die Rolle der unbeschränkten resp. beschränkten in der arithmetischen Hierarchie übernehmen.

1.6 Induktive Definition der Formelmengen Σ_{i}^{b} und Π_{i}^{b}

(a) Σ_{0}^{b} = Π_{0}^{b} sei die Menge aller arithmetischen Formeln, deren Quantoren scharf beschränkt sind.

(b) Σ_{k+1}^{b} sei die kleinste Menge mit (1) Σ_{k+1}^{b} ⊇ Π_{k}^{b}

(2) A(a) ∈ Σ_{k+1}^{b} ⟹ ∃x^{≤}t A(x), ∀x^{≤}|t| A(x) ∈ Σ_{k+1}^{b}

(3) A, B ∈ Σ_{k+1}^{b} ⟹ A ∧ B, A ∨ B ∈ Σ_{k+1}^{b} .

(c) Π_{k+1}^{b} sei in dualer Weise definiert.

Damit sind wir in der Lage, die Polynomiale Hierarchie zu entwickeln. Wir nutzen dabei neben der Definition in [Buss 1986] §1.4 noch [Buss 1986] §1.6 Theorem 8 aus. Für eine Klasse von Funktionen C sei Pred(C) die Menge aller charakteristischen Funktionen, also Funktionen f mit rng(f) ⊆ {0, 1}, in C.

1.7 Induktive Definition der Polynomialen Hierarchie

(a) Σ_{k}^{p} sei die Menge aller Prädikate, die durch eine Σ_{k}^{b}-Formel definiert werden.

(b) Π_{k}^{p} sei die Menge aller Prädikate, die durch eine Π_{k}^{b}-Formel definiert werden.

(c) Δ_{0}^{p} ··= Σ_{0}^{p}(= Π_{0}^{p})

(d) {p \atop k+1} ··= PTC(Σ_{k}^{p})

(e) Δ_{k+1}^{p} ··= Pred( {p \atop k+1})

(f) PH ··= ⋃_{k} Σ_{k}^{p}

Bemerkung

Wie schon oben festgestellt ist P = PTC(∅) . Zusätzlich halten wir fest:

{p \atop 1} = P ,

da mit Δ_{0}^{p} ⊂ P , der Monotonie von PTC und Korollar 1.5

{p \atop 1} = PTC(Δ_{0}^{p}) ⊂ PTC(P) = P

und

P = PTC(∅) ⊂ PTC(Δ_{0}^{p}) = {p \atop 1}

gilt.

Die Schichten der Polynomialen Hierarchie lassen sich in mathematischen Theorien der Logik erster Stufe beschreiben. Deren Formulierung bestimmt die Richtung der folgenden Schritte.

2 Grundlagen der Beschränkten Arithmetik

Ziel dieses Abschnitts ist es, den sprachlichen Rahmen der Beschränkten Arithmetik festzulegen und durch Tait-Kalküle die verschiedenen Fragmente anzugeben, die für diese Arbeit von Interesse sind.

Wir beginnen, indem wir eine Sprache für die Beschränkte Arithmetik definieren. Sie ist eine Sprache der Prädikatenlogik mit Gleichheit und entspricht im wesentlichen der in [Buss 1986] und [Takeuti 1991] benutzten. Anstatt mehrstelliger Prädikatenvariablen benutzen wir analog zu [Pohlers 1989] und [Schwichtenberg 1977] einstellige Mengenvariablen und die Prädikatszeichen ∈, ∉. Die mit den zweitstufigen Variablen gebildeten atomaren Formeln haben also die Gestalt t∈α, t∉α anstatt α(t_{1}, …, t_{n}), ¬α(t_{1}, …, t_{n}) . Um die Polynomiale Hierarchie im ”Bootstrap“-Verfahren zu entwickeln, sind gewisse Grundfunktionen notwendig, die unter anderem Funktionen von polynomialer Wachstumsrate beschränken. In [Buss 1986] wird gezeigt, daß hierfür die Funktionen S, +, ·, ⌊\frac{1}{2}.⌋, |.| und # ausreichen. Für das schwache zweitstufige Fragment der Beschränkten Arithmetik, welches in der Folge vorgestellt wird, wird es auf Grund der schwächeren erststufigen Axiomatisierung notwendig sein, zusätzliche Funktionen aus P hinzuzunehmen. Deshalb betrachten wir Erweiterungen der Sprache aus [Buss 1986] um zusätzliche Funktionszeichen aus einer Menge F, die eine Teilmenge von Funktionen aus P repräsentiert. Neben ∈ und ∉ gibt es noch die Prädikatszeichen =, ≠, ≤ und / ≤.

2.1 Definition der Sprache LBA^{F}

Die Sprache LBA^{F} der beschränkten Arithmetik enthält

– abzählbar viele freie Individuenvariablen a_{0}, a_{1}, a_{2}, …

– abzählbar viele gebundene Individuenvariablen x_{0}, x_{1}, x_{2}, …

– abzählbar viele freie Mengenvariablen α_{0}, α_{1}, α_{2}, …

– abzählbar viele gebundene Mengenvariablen ϕ_{0}, ϕ_{1}, ϕ_{2}, …

– logische Symbole ∈, ∉, =, ≠, ∧, ∨, ∀, ∃

– Funktionszeichen – 0 als Zeichen für die Null

– S, |.|, ⌊\frac{1}{2}.⌋ als Zeichen für die Nachfolger-, die Binärlängen- und die ”shift-right“- Funktion, die in Abschnitt 1 definiert wurden

– +, ·, # als Zeichen für die Addition, die Multiplikation und die ”smash“-Funk-tion wie in Abschnitt 1 definiert

– f für jedes f ∈ F

– Prädikatszeichen ≤, / ≤ – Hilfszeichen (,) .

Die Menge aller Mengenvariablen wird mit A bezeichnet.

Über diese Sprache werden in gewohnter Weise Terme und Formeln definiert. Die Negation ist hierbei kein logisches Symbol, sondern eine syntaktische Operation auf den Formeln, die entsprechend den de Morganschen Regeln ausgerechnet wird.

2.2 Induktive Definition der Terme aus LBA^{F}

(a) 0 ist ein Term.

(b) Ist t ein Term, so sind auch (St), (⌊\frac{1}{2}.⌋t), (|.|t) Terme.

(c) Sind s, t Terme, so sind auch (+st), (·st), (#st) Terme.

(d) Sind t_{1}, …, t_{n} Terme, f ein Funktionszeichen aus F mit Stellenzahl n, so ist auch (ft_{1} … t_{n}) ein Term.

Für einen Term t sei die Menge FV (t) seiner freien Variablen definiert als die Menge aller in t auftretenden freien Individuenvariablen.

Wenn klar ist, um welches F es sich handelt, wird kurz L_{BA} statt LBA^{F} geschrieben. Für eine bessere Lesbarkeit werden im folgenden überflüssige Klammern weggelassen. Außerdem schreiben wir kurz ⌊\frac{1}{2}t⌋ statt (⌊\frac{1}{2}.⌋t) , s + t statt (+st) etc. Ist A eine Zeichenreihe, a und α freie Variablen, dann sei Aa(t) bzw. Aa(x) die Zeichenreihe, die aus A entsteht, indem jedes Auftreten von a durch den Term t resp. die gebundene Variable x ersetzt wird. Entsprechend sei Aα(β) bzw. Aα(ϕ) die Ersetzung von α durch die freie Mengenvariable β resp. die gebundene ϕ in A. Tritt zum erstenmal in einem Kontext A(a) oder A(α) auf, so wird damit die freie Variable a bzw. α angegeben, für die nachfolgend in demselben Kontext in A ersetzt wird. Wir verwenden dann abkürzend A(t), A(x), A(β) und A(ϕ). Die Angabe mehrerer freier Variablen sei in natürlicher Weise definiert.

2.3 Induktive Definition der Formeln aus L_{BA}

(a) Für Terme s, t aus L_{BA} sind (t = s) , (t ≠ s) , (t ≤ s) , (t / ≤ s) , (t ∈ α) , (t ∉ α) Formeln.

(b) Sind A und B Formeln, so auch (A ∨ B) , (A ∧ B) .

(c) Ist A eine Formel, t ein Term, a eine freie und x eine gebundene Variable, so daß x nicht in A auftaucht, so sind auch (∀x Aa(x)) , (∃x Aa(x)) , (∀x^{≤}t Aa(x)) und (∃x^{≤}t Aa(x)) Formeln.

(d) Ist A eine Formel, α eine freie und ϕ eine gebundene Mengenvariable, die nicht in A auftaucht, so sind auch (∀ϕ Aα(ϕ)) und (∃ϕ Aα(ϕ)) Formeln.

Die Formeln unter (a) heißen auch Primformeln. Die Menge FV (A) der freien Variablen einer Formel A wird definiert als die Menge aller in A auftretenden freien Individuen- und Mengenvariablen. Analog sei BV (A) die Menge aller in A auftretenden gebundenen Individuen- und Mengenvariablen. Einschränkend sei FV_{1} (A) die Menge aller Individuenvariablen in FV (A), also die Menge aller in A auftretenden freien Individuenvariablen.

Wir definieren nun die Länge und die Negation einer Formel wie in [Pohlers 1989] bzw. [Schwichtenberg 1977].

2.4 Definition der Länge L(F) einer Formel F aus L_{BA}

Die Definition erfolgt durch Rekursion nach dem Aufbau von F:

(a) Ist F eine Primformel, so sei L(F) ··= 0 .

(b) Ist F ≡ A ∘ B mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann sei L(F) := Max{L(A), L(B)} + 1 .

(c) Ist F ≡ Qx A(x) oder F ≡ Qx^{≤}t A(x) mit Q ∈{∀, ∃}, dann sei L(F) := L(A(a)) + 1 .

(d) Ist F ≡ Qϕ A(ϕ) mit Q ∈{∀, ∃}, dann sei L(F) := L(A(α)) + 1 .

2.5 Definition der Negation ¬A einer Formel A aus L_{BA}

Die Definition erfolgt durch Rekursion nach L(A):

(a) Für Primformel definieren wir ¬(t = s) ···≡ t ≠ s, ¬(t ≠ s) ···≡ t = s, ¬(t ≤ s) ···≡ t / ≤ s, ¬(t / ≤ s) ···≡ t ≤ s, ¬(t ∈ α) ···≡ t ∉ α, ¬(t ∉ α) ···≡ t ∈ α.

(b) Ist A keine Primformel, so sei ¬A entsprechend den de Morganschen Regeln definiert.

Also ist ¬ kein Zeichen der Sprache, sondern eine syntaktische Operation. Mit A ist auch ¬A eine Formel und es gilt ¬¬A ≡ A.

2.6 Definition

Für eine Formel A(a) heißt {u : A(u)} Klassenterm. Wir definieren für Formeln F (α) die Substitution von Klassentermen F (A(.)) ···≡ F ({u : A(u)}) durch Rekursion nach der Länge von F.

Dabei ist F (A(.)) ≡ F für α ∉ FV (F) und F (A(.)) ≡ A(t)/¬A(t) für F ≡ t ∈ α/t ∉ α. In den übrigen Fällen ist F (A(.)) homomorph definiert.

Wir verwenden folgende Abkürzungen und Bezeichnungen:

(i) Sind A, B Formeln, Γ eine endliche Formelmenge und s, t Terme, so sei abkürzend definiert:

t < s ···≡ s / ≤ t

t / < s ···≡ s ≤ t
A → B ···≡ ¬A ∨ B
A ↔ B ···≡ (A → B) ∧ (B → A)
∀x^{<}t A(x) ···≡ ∀x^{≤}t (t < x → A(x))
∃x^{<}t A(x) ···≡ ∃x^{≤}t (t < x ∧ A(x))
∅ ···≡ {u : u ≠ u}
FV (Γ) ···≡ ⋃{FV (F) : F ∈ Γ}
BV (Γ) ···≡ ⋃{BV (F) : F ∈ Γ}
FV_{1} (Γ) ···≡ ⋃{FV_{1} (F) : F ∈ Γ} .

(ii) Wir unterscheiden folgende erststufigen Quantoren:

– ∀x , ∃x  unbeschränkte Quantoren
– ∀x^{≤}t , ∃x^{≤}t  beschränkte Quantoren
– ∀x^{≤}|t| , ∃x^{≤}|t| scharf beschränkte Quantoren.

Eine beschränkte Formel enthält nur beschränkte Quantoren. (iii) Wie auch schon oben mehrmals verwandt, sollen im weiteren

– a, b, c … freie Individuenvariablen
– x, y, z … gebundene Individuenvariablen
– α, β, γ … freie Mengenvariablen
– ϕ, ψ, χ … gebundene Mengenvariablen

bezeichnen. (iv) Eine Formel heißt erststufig, wenn sie keine Mengenvariablen enthält.

(v) Eine Formel F ist vom ∨-Typ, wenn sie eine negative Primformel, also der Gestalt (t ≠ s) , (t / ≤ s) , (t ∉ α) , oder von der Gestalt (A ∨ B) , (∃x Aa(x)) , (∃x^{≤}t Aa(x)) oder (∃ϕ Aα(ϕ)) ist.

Nach diesen grundlegenden Definitionen werden Formelmengen Σ_{i}^{b}, Σ_{i}^{b}(A), Σ_{i}^{1,b}, Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Σ_{i}^{1,w} definiert. Die ersten drei sind in [Buss 1986] definiert, Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Σ_{i}^{1,w} in [Takeuti 1991]. Bei den Bezeichnungen steht das ”b“ für ”bounded“ und das ”w“ für ”weak“. Dementsprechend sind Σ_{i}^{b} und Σ_{i}^{b}(A) bzw. Σ_{i}^{1,b} beschränkte Analoga zur arithmetischen Hierarchie Σ_{i} resp. analytischen Hierarchie Σ_{i}^{1}.

In Σ_{i}^{b}, als ”beschränktes“ Pendant zur arithmetischen Hierarchie Σ_{i}, entsprechen die scharf beschränkten Quantoren den beschränkten Quantoren in Σ_{i} und die beschränkten, nicht scharf beschränkten Quantoren den unbeschränkten Quantoren in Σ_{i}. In [Buss 1986] wird gezeigt, daß die Formelmengen Σ_{i}^{b} genau die zur Charakterisierung der polynomialen Hierarchie {p \atop i} benötigten sind.

2.7 Induktive Definition der Formelmengen Σ_{i}^{b} und Π_{i}^{b}

(a) Σ_{0}^{b} = Π_{0}^{b} sei die Menge aller Formeln aus LBA^{∅} , deren Quantoren erststufig und scharf beschränkt sind und die keine Mengenvariablen enthalten.

(b) Σ_{k+1}^{b} sei die kleinste Menge mit (1) Σ_{k+1}^{b} ⊇ Π_{k}^{b}

(2) A(a) ∈ Σ_{k+1}^{b} ⟹ ∃x^{≤}t A(x), ∀x^{≤}|t| A(x) ∈ Σ_{k+1}^{b}

(3) A, B ∈ Σ_{k+1}^{b} ⟹ A ∧ B, A ∨ B ∈ Σ_{k+1}^{b} .

(c) Π_{k+1}^{b} sei in dualer Weise definiert.

Außerdem sei Σ^{b} ··= Π^{b} ··= ⋃_{i} Σ_{i}^{b} .

Entsprechend seien auch Formelmengen Σ_{i}^{b}(A) und Π_{i}^{b}(A) definiert, bei denen das Auftreten freier Mengenvariablen erlaubt ist.

So wie Σ_{i}^{b} der arithmetischen Hierarchie Σ_{i} entspricht, steht Σ_{i}^{1,b} mit der analytischen Hierarchie Σ_{i}^{1} in Zusammenhang. Die beschränkten erststufigen Quantoren in Σ_{i}^{1,b} entsprechen den unbeschränkten erststufigen in Σ_{i}^{1}, die zweitstufigen Quantoren in Σ_{i}^{1,b} entsprechen den zweitstufigen Quantoren in Σ_{i}^{1}. In [Buss 1986] wird gezeigt, daß die Formelmenge Σ_{1}^{1,b} genau die zur Charakterisierung von PSPACE benötigte ist.

2.8 Induktive Definition der Formelmengen Σ_{i}^{1,b} und Π_{i}^{1,b}

(a) Σ_{0}^{1,b} = Π_{0}^{1,b} sei die Menge aller Formeln aus LBA^{∅} , deren Quantoren erststufig und beschränkt sind.

(b) Σ_{k+1}^{1,b} sei die kleinste Menge mit

(1) Σ_{k+1}^{1,b} ⊇ Π_{k}^{1,b}

(2) A(a) ∈ Σ_{k+1}^{1,b} ⟹ ∃x^{≤}t A(x), ∀x^{≤}t A(x) ∈ Σ_{k+1}^{1,b}

(3) A, B ∈ Σ_{k+1}^{1,b} ⟹ A ∧ B, A ∨ B ∈ Σ_{k+1}^{1,b}

(4) A(α) ∈ Σ_{k+1}^{1,b} ⟹ ∃ϕ A(ϕ) ∈ Σ_{k+1}^{1,b} .

(c) Π_{k+1}^{1,b} sei in dualer Weise definiert.

Außerdem sei Σ^{1,b} ··= Π^{1,b} ··= ⋃_{i} Σ_{i}^{1,b} .

Für einen Klassenterm U ≡ {u : A(u)} sei U^{|t|} eine endliche Approximation an U:

U^{|t|} ···≡ {u ≤ |t| : A(u)} ···≡ {u : u ≤ |t| ∧ A(u)} .

Die Formelmengen Σ_{i}^{1,w^{⋆}} sind wesentlich schwächer als Σ_{i}^{1,b}. Sie sind abgeschlossen unter scharf beschränkter Quantifikation. Für Komplexitätssteigerung sorgen hier Quantifikationen über endliche, scharf beschränkte Approximationen an Mengenvariablen. Diese ersetzt die fehlende beschränkte, nicht scharf beschränkte Quantifikation, denn

Qϕ F ({u ≤ |t| : u ∈ ϕ})

ist in geeigneter Weise äquivalent zu

Qx^{≤}(2^{|t|+1} − · 1) F ({u : Bit(u, x) = 1}) ,

da {u ≤ |t| : u ∈ ϕ} der Binärdarstellung von ∑_{i≤|t|} 1ϕ(i) · 2^{i} entspricht. Die bisher definierten Formelmengen sind über der Sprache LBA^{∅} gegeben, da sich alle wichtigen Funktionen durch ein Bootstrap-Verfahren definieren lassen, wie in [Buss 1986] Abschnitt 2.4 und Abschnitt 2.5 gezeigt. Durch die Verschiebung der Quantoren in Σ_{i}^{1,w^{⋆}} verlagert sich das Bootstrap-Verfahren zu Funktionen auf scharf beschränkten Klassentermen, die aber nicht durch unsere sprachlichen Mittel beschrieben werden können. Darum gehen wir in Σ_{i}^{1,w^{⋆}} von einer größeren Menge F^{w} von Grundfunktionen aus. Wir setzten F^{w} ···≡ {MSP, LSP, Bit, − · , β, ∗}.

2.9 Induktive Definition der Formelmengen Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Π_{i}^{1,w^{⋆}}

(a) Σ_{0}^{1,w^{⋆}} = Π_{0}^{1,w^{⋆}} sei die Menge aller Formeln aus LBA^{F^{w}} , deren Quantoren erststufig und scharf beschränkt sind.

(b) Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} sei die kleinste Menge mit

(1) Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} ⊇ Π_{k}^{1,w^{⋆}}

(2) A(a) ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} ⟹ ∃x^{≤}|t| A(x), ∀x^{≤}|t| A(x) ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}}

(3) A, B ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} ⟹ A ∧ B, A ∨ B ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}}

(4) A(α) ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} ⟹ ∃ϕ A(ϕ^{|t|}) ∈ Σ_{k+1}^{1,w^{⋆}} .

(c) Π_{k+1}^{1,w^{⋆}} sei in dualer Weise definiert.
Außerdem sei Σ^{1,w^{⋆}} ··= Π^{1,w^{⋆}} ··= ⋃_{i} Σ_{i}^{1,w^{⋆}} .

Σ_{i}^{1,w} ist eine über Σ_{i}^{1,b} hinausgehende Beschränkung der analytischen Hierarchie. Hier sind nur scharf beschränkte erststufige Quantoren zugelassen, die also den beschränkten erststufigen Quantoren in Σ_{i}^{1,b} und den unbeschränkten erststufigen in Σ_{i}^{1} entsprechen.

2.10 Induktive Definition der Formelmengen Σ_{i}^{1,w} und Π_{i}^{1,w}

(a) Σ_{0}^{1,w} = Π_{0}^{1,w} sei die Menge aller Formeln aus LBA^{P} , deren Quantoren erststufig und scharf beschränkt sind.

(b) Σ_{k+1}^{1,w} sei die kleinste Menge mit

(1) Σ_{k+1}^{1,w} ⊇ Π_{k}^{1,w}

(2) A(a) ∈ Σ_{k+1}^{1,w} ⟹ ∃x^{≤}|t| A(x), ∀x^{≤}|t| A(x) ∈ Σ_{k+1}^{1,w}

(3) A, B ∈ Σ_{k+1}^{1,w} ⟹ A ∧ B, A ∨ B ∈ Σ_{k+1}^{1,w}

(4) A(α) ∈ Σ_{k+1}^{1,w} ⟹ ∃ϕ A(ϕ) ∈ Σ_{k+1}^{1,w} .

(c) Π_{k+1}^{1,w} sei in dualer Weise definiert.

Außerdem sei Σ^{1,w} ··= Π^{1,w} ··= ⋃_{i} Σ_{i}^{1,w} . Die Formel aus Σ^{1,w} heißen scharf beschränkt im weiten Sinne.

Die soeben definierten Formelmengen lassen sich für eine Menge neuer Funktionszeichen F auf LBA^{F} verallgemeinern. Die entstehenden Formelmengen werden mit Σ_{i}^{b}(F), Σ_{i}^{b}(A, F), Σ_{i}^{1,b}(F), etc. bezeichnet. Analoges gilt für Mengen neuer Prädikatszeichen P.

Für die Σ-Mengen Σ_{i}^{b}, Σ_{i}^{b}(A), Σ_{i}^{1,b}, Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Σ_{i}^{1,w} und den entsprechenden Π-Mengen gilt:

– A ∈ Σ  ⟺ ¬A ∈ Π
– A ∈ Σ, B ∈ Π ⟹ (A → B) ∈ Π, (B → A) ∈ Σ .

Nun sind wir in der Lage, Tait-Kalküle für LBA^{F} zu definieren, wie sie in ähnlicher Form in [Schwichtenberg 1977], [Pohlers 1989] etc. vorgestellt werden. Sie sind Kalküle für Logik mit Gleichheit, die speziell an die beschränkten Formeln angepaßt sind. Wir definieren logische Axiome und Gleichheitsaxiome für LBA^{F} . Dabei sei Γ ⊂ LBA^{F} eine endliche Formelmenge. Γ ist ein

logisches Axiom, falls A, ¬A ∈ Γ für eine Primformel A gilt.

Gleichheitsaxiom, falls

(a) t = t ∈ Γ ist, oder

(b) t_{1} ≠ s_{1}, …, t_{n} ≠ s_{n}, f t⃗= f s⃗ ∈ Γ für ein n-stelliges Funktionssymbol f gilt, oder

(c) t_{1} ≠ s_{1}, …, t_{n} ≠ s_{n}, ¬ p t⃗, p s⃗ ∈ Γ für ein n-stelliges Prädikatssymbol p gilt.

Dabei seien t, t_{1}, …, t_{n}, s_{1}, …, s_{n} beliebige Terme.

Ein Axiom Γ heißt erststufig, wenn alle Formeln in Γ erststufig sind, also keine Mengenvariablen enthalten.

Nun definieren wir logische Schlüsse für LBA^{F} . Dabei sind A, B, F (a), G(α) LBA^{F} - Formeln, s, t LBA^{F} -Terme und Γ ⊂ LBA^{F} eine endliche Formelmenge.

(∧)  Γ, A und  Γ, B  ⟹  Γ, A ∧ B
(∨)  Γ, A_{i} für i = 1 oder i = 2  ⟹  Γ, A_{1} ∨ A_{2}
(∀)  Γ, F (a) und a ∉ FV (Γ, ∀x F (x)) ⟹  Γ, ∀x F (x)
(∃)  Γ, F (t)  ⟹  Γ, ∃x F (x)
(∀^{≤})  Γ, a / ≤ t, F (a) und a ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}t F (x))
⟹  Γ, ∀x^{≤}t F (x)
(∃^{≤})  Γ, F (t)  ⟹  Γ, t / ≤ s, ∃x^{≤}s F (x)
(Schnitt)  Γ, A und  Γ, ¬A  ⟹  Γ
(∀^{2})  Γ, G(α) und α ∉ FV (Γ, ∀ϕ G(ϕ)) ⟹  Γ, ∀ϕ G(ϕ)
(∃^{2})  Γ, G(α)  ⟹  Γ, ∃ϕ G(ϕ)

(∀), (∀^{≤}) und (∀^{2}) sind Schlüsse mit Variablenbedingung an die Eigenvariablen a bzw. α. (∀^{2}) und (∃^{2}) heißen zweitstufige Schlüsse, die restlichen heißen erststufige Schlüsse.

Ein erststufiges Fragment der Beschränkten Arithmetik zur Sprache LBA^{F} ist eine Menge von erststufigen Formeln aus LBA^{F} , die alle erststufigen logischen Axiome und Gleichheitsaxiome für LBA^{F} enthält und abgeschlossen unter allen erststufigen logischen Schlüssen für LBA^{F} ist. Ein zweitstufiges Fragment der Beschränkten Arithmetik für LBA^{F} ist eine Menge von Formeln aus LBA^{F} , die alle logischen Axiome und Gleichheitsaxiome für LBA^{F} enthält und abgeschlossen unter allen logischen Schlüssen für LBA^{F} ist.

Wir geben nun die verschiedenen mathematischen Axiome und Schlüsse für LBA^{F} an, die für uns von Interesse sind. Eine endliche Formelmenge Γ ⊂ LBA^{F} ist ein mathematisches Axiom, falls eine Substitutionsinstanz einer Formel aus Basic(F) in Γ liegt. Dabei ist Basic(F) eine genügend große Menge von Formeln aus Σ_{0}^{b}, die ausreicht, um die Bedeutung der verwendeten Funktionssymbole festzulegen. Die Menge Basic(∅) ist in Tabelle 1 angegeben. Sie unterscheidet sich von der in [Buss 1986] verwendeten, insofern sie einfachere Multiplikationsaxiome benutzt und überflüssige Axiome ausschließt. Dabei ist gewährleistet, daß die Axiome in [Buss 1986] hier in einer minimalen Theorie beweisbar sind. Für beliebige F ist die über Basic(∅) hinausgehende Wahl der Axiome für unser weiteres Vorgehen ohne Bedeutung, solange sie die Funktionen passend axiomatisieren. Es werden verschiedene Induktionen und Komprehensionen betrachtet. Wir geben immer Axiome und äquivalente Schlüsse an. Seien Ψ, Γ ⊂ LBA^{F} Formelmengen, A(t) ∈ Ψ und a ∉ FV (Γ, A(0)) , wobei Γ endlich ist.

(a) 0 ≤ a
(b) b ≤ a ∨ a ≤ b
(c) a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b
(d) a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c
(e) b ≤ a ↔ b < Sa
(f) a < b → S(2 · a) < 2 · b
(g) a = ⌊\frac{1}{2}b⌋ ↔ (2 · a = b ∨ S(2 · a) = b)
(h) |0| = 0
(i) a ≠ 0 → |a| = S(|⌊\frac{1}{2}a⌋|)
(j) a ≤ b → |a| ≤ |b|
(k) 0#a = 1
(l) a ≠ 0 → 1#a = 2 · (1#⌊\frac{1}{2}a⌋)
(m) a ≠ 0 → a#b = (⌊\frac{1}{2}a⌋#b) · (1#b)
(n) a#b = b#a
(o) |a| = |b| → a#c = b#c
(p) a + 0 = a
(q) a + Sb = S(a + b)
(r) a + b = b + a
(s) (a + b) + c = a + (b + c)
(t) b < c → a + b < a + c
(u) a · 0 = 0
(v) a · (Sb) = (a · b) + a
(w) a · b = b · a
(x) (a · b) · 2 = a · (b · 2)

Tabelle 1: Die Menge Basic(∅)

Ein Induktionsaxiom liegt vor, wenn eine der folgenden Formeln in Γ ist.

(Ψ-IND) A(0) ∧ ∀x (A(x) → A(Sx)) → A(t)
(Ψ-PIND) A(0) ∧ ∀x (A(⌊\frac{1}{2}x⌋) → A(x)) → A(t)
(Ψ-LIND) A(0) ∧ ∀x (A(x) → A(Sx)) → A(|t|)

Die äquivalenten Schlüsse lauten

(Ψ-IND) Γ, ¬A(a), A(Sa) ⟹ Γ, ¬A(0), A(t)
(Ψ-PIND) Γ, ¬A(⌊\frac{1}{2}a⌋), A(a) ⟹ Γ, ¬A(0), A(t)
(Ψ-LIND) Γ, ¬A(a), A(Sa) ⟹ Γ, ¬A(0), A(|t|)

Die Axiome und Schlüsse sind in jedem Fragment der Beschränkten Arithmetik äquivalent. (Ψ-PIND) und (Ψ-LIND) sind schwächer als (Ψ-IND), denn in (Ψ-PIND) schließt man von einer stärkeren Prämisse auf die gleiche Konklusion von (Ψ-IND), in (Ψ-LIND) von der gleichen Prämisse auf eine schwächere Konklusion. Für Formelmenge Ψ mit geringen Abschlußeigenschaften, wie zum Beispiel die oben definierten, läßt sich über einer schwachen Theorie zeigen, daß (Ψ-PIND) und (Ψ-LIND) äquivalent sind.

Im Vergleich zur üblichen Komprehension (Σ_{0}^{1,b}-CA) ist (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) im doppelten Sinne abgeschwächt. Zum einen werden nur Klassen aus der schwachen Hierarchie Σ_{i}^{1,w^{⋆}} betrachtet, und zum anderen davon auch nur endliche, scharf beschränkte Anfangsstücke. Die in [Takeuti 1991] gewählte Formulierung

∃X ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x))

ist so schwach, daß sich folgende Ersetzung i. allg. nicht beweisen läßt:

Γ ⟹ Γα ({u ≤ |t| : A(u)}) .

Der Knackpunkt ist, daß ϕ = {u ≤ |t| : A(u)} die Menge ϕ vollständig festlegt, also ∀x (x > |t| → x ∉ ϕ) impliziert, was durch das obige Axiom nicht gewährleistet wird. Trotzdem wird eine partielle Schnittelimination möglich sein, da das oben angegebene Komprehensionsaxiom für A ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} eine Formel aus Σ_{i+1}^{1,w^{⋆}} darstellt und somit als Schnittformel erlaubt sein wird.

Dies führt zu folgenden Formulierungen. Seien Ψ, Γ ⊂ LBA^{F} Formelmengen, F (α) ∈ LBA^{F} und A ∈ Ψ , wobei Γ endlich ist. Ein Komprehensionsaxiom liegt vor, wenn eine der folgenden Formeln in Γ ist.

\begin{matrix}(Ψ-CA) & ∃ϕ ∀x (x ∈ ϕ ↔ A(x)) \\ (wΨ-CA) & ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) \end{matrix}

Die äquivalenten Schlüsse lauten

(Ψ-CA) Γ, F ({u : A(u)})  ⟹ Γ, ∃ϕ F (ϕ)
(wΨ-CA) Γ, F ({u ≤ |t| : A(u)}) ⟹ Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|}) .

Auch hier sind Axiome und Schlüsse in jedem Fragment der Beschränkten Arithmetik äquivalent.

Standardbegriffe wie ”Schnittformel“, ”Hauptformel eines Schlusses“ etc. seien wie üblich definiert. Wir definieren nun Fragmente IF aufbauend auf die obige allgemeine Fragmentdefinition durch Angabe von mathematischen Axiomen Ax und nichtlogischen Schlüssen S_{1}, …, S_{k} in der Form

IF = Ax + S_{1} + … + S_{k} .

IF ist dann das kleinste allgemeine Fragment, das abgeschlossen ist unter Ax, S_{1}, …, S_{k} der entsprechenden Stufe (Axiome werden dabei als Schlüsse ohne Prämissen aufgefaßt).

2.11 Definition der Fragmente S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A), U_{2}^{i}, U_{2}^{i,w^{⋆}} und U_{2}^{w}

Wir definieren ein erststufiges Fragment zur Sprache LBA^{∅} :

S_{2}^{i} ··= Basic(∅) + (Σ_{i}^{b}-PIND) .

Wir definieren zweitstufige Fragmente zur Sprache LBA^{∅} :

S_{2}^{i}(A) ··= Basic(∅) + (Σ_{i}^{b}(A)-PIND) ,
U_{2}^{i} ··= Basic(∅) + (Σ_{i}^{1,b}-PIND) + (Σ_{0}^{1,b}-CA) ,

zur Sprache LBA^{F^{w}} :

U_{2}^{i,w^{⋆}} ··= Basic(F^{w}) + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) + (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA)

und zur Sprache LBA^{P} :

U_{2}^{w} ··= Basic(P) + (Σ^{1,w}-LIND) + (Σ^{1,w}-CA) .

Dann seien

S_{2}  ··= ⋃_{i} S_{2}^{i} ,
S_{2}(A) ··= ⋃_{i} S_{2}^{i}(A) ,
U_{2} ··= ⋃_{i} U_{2}^{i} ,
U_{2}^{w^{⋆}} ··= ⋃_{i} U_{2}^{i,w^{⋆}} .

Es sei noch bemerkt, daß S_{2}^{1} die in [Buss 1986] verwendeten mathematischen Axiome beweist, also die oben erwähnte minimale Theorie ist. Als nächstes tragen wir, neben Ergebnissen über die Gleichwertigkeit der verschiedenen mathematischen Axiome, die Hauptsätze der Beschränkten Arithmetik aus [Buss 1986] zusammen. Letztere verknüpfen die in den hier vorgestellten Fragmenten definierbaren Funktionen mit den in Abschnitt 1 angegebenen Schichten der Polynomialen Hierarchie.

3 Ergebnisse aus der Beschränkten Arithmetik

Wir fassen die für unser weiteres Vorgehen wichtigen Ergebnisse aus [Buss 1986] zusammen, die S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A) und U_{2}^{i} charakterisieren.

Wie schon erwähnt, sind (Ψ-PIND) und (Ψ-LIND) über einer schwachen Theorie äquivalent. Dabei heißen zwei Theorien äquivalent, wenn sie dieselben Formeln beweisen. In diesem Sinne wird in [Buss 1986] §2.9 Theorem 24 gezeigt:

3.1 Satz

Folgende Theorien sind äquivalent:

(a) S_{2}^{1} + (Σ_{i}^{b}-LIND)

(b) S_{2}^{1} + (Σ_{i}^{b}-PIND)

(c) S_{2}^{1} + (Π_{i}^{b}-LIND)

(d) S_{2}^{1} + (Π_{i}^{b}-PIND) . □

Ein weiteres Axiom, als die bisher vorgestellten, ist noch von Interesse. Es ist ein spezielles Minimierungsaxiom:

(Ψ-LMIN) ∃x A(x) → A(0) ∨ ∃x (A(x) ∧ ∀y^{≤}⌊\frac{1}{2}x⌋ (¬A(y)))

für A(a) ∈ Ψ . Es gilt ([Buss 1986] §2.9 Theorem 24):

3.2 Satz

S_{2}^{1} + (Σ_{i}^{b}-LMIN) ist äquivalent zu S_{2}^{1} + (Π_{i}^{b}-PIND) .  □

Wir führen nun definierbare Funktionen und Prädikate ein. Sie spielen eine wichtige Rolle für Fragmente, da sie eine zulässige, d. h. konservative, sprachliche Erweiterung bilden.

3.3 Definition

Sei IF ein Fragment der Beschränkten Arithmetik und Σ eine der Formelmengen Σ_{i}^{b}, Σ_{i}^{1,b} oder Σ_{i}^{1,w^{⋆}}. Dann sei Δ die Bezeichnung Δ_{i}^{b}, Δ_{i}^{1,b} bzw. Δ_{i}^{1,w^{⋆}}.

(a) Sei ∃y^{≤}t A(a⃗, y) ∈ Σ mit FV (A) ⊂ {a⃗, b} und es gelte

IF ∀x⃗ ∃y^{≤}t A(x⃗, y)
IF ∀x⃗ ∀y ∀z (A(x⃗, y) ∧ A(x⃗, z) → y = z) .

Dann heißt die Funktion f mit IN ∀x⃗ A(x⃗, f(x⃗)) Σ-definierbar bezüglich IF.

(b) Sei A eine Formel, B, ¬C ∈ Σ und es gelte IF A ↔ B und IF A ↔ C . Dann heißt A Δ bezüglich IF.

(c) Sei A Δ bezüglich IF, FV (A) ⊂ {a⃗}. Dann heißt das Prädikat p mit IN ∀x⃗ (p(x⃗) ↔ A(x⃗)) Δ-definierbar bezüglich IF.

Durch die Bedingung ∃y^{≤}t A(a⃗, y) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} folgt, daß es einen Term s mit t ≡ |s| gibt. Also werden die Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-definierbaren Funktionen schon durch Terme |s| beschränkt.

Die Σ_{1}^{b}-definierbaren Funktionen und Δ_{1}^{b}-definierbaren Prädikate spielen eine besondere Rolle bei den erststufigen Fragmenten S_{2}^{i} für i>0. Sie können in den Induktionen benutzt werden. Analoges gilt für Σ_{1}^{1,b}-definierbare Funktionen und Δ_{1}^{1,b}-definierbare Prädikate bezüglich U_{2}^{i}. Auch sie können in den entsprechenden Induktionen benutzt werden. Der Grund dafür liegt in folgendem Satz, der in [Buss 1986] §2.3 Theorem 2 und [Buss 1986] §9.5 Theorem 11 bewiesen ist.

3.4 Satz

Sei IF ein Fragment der Beschränkten Arithmetik. Für

– IF ⊆ S_{2} seien Σ_{k} = Σ_{k}^{b} , Π_{k} = Π_{k}^{b} und Δ_{k} = Δ_{k}^{b} .

– IF ⊆ U_{2} seien Σ_{k} = Σ_{k}^{1,b} , Π_{k} = Π_{k}^{1,b} und Δ_{k} = Δ_{k}^{1,b} .

Seien f⃗ Σ_{1}-definierbare Funktionen und p⃗ Δ_{1}-definierbare Prädikate bezüglich IF. IF^{∗} sei das Fragment IF erweitert um f⃗ und p⃗ als neue Funktions-/Prädikatssymbole und deren definierenden Axiome.

Dann gilt für i > 0: ist B ∈ Σ_{i}(f⃗, p⃗) oder B ∈ Π_{i}(f⃗, p⃗), dann gibt es B^{∗} ∈ Σ_{i} bzw. B^{∗} ∈ Π_{i} mit IF^{∗} B ↔ B^{∗}. □

Aus diesem Satz erhalten wir folgende Konservativitätsaussagen ([Buss 1986] §2.3 Korollar 3 und [Buss 1986] §9.5 Korollar 12).

3.5 Korollar

Seien f_{1}, …, f_{k} Σ_{1}^{b}-definierbare Funktionen und p_{1}, …, p_{l} Δ_{1}^{b}-definierbare Prädikate bezüglich S_{2}^{i}, i > 0. IF sei das Fragment S_{2}^{i} erweitert um f_{1}, …, f_{k}, p_{1}, …, p_{l} als neue Funktions-/Prädikatssymbole, deren definierenden Axiome und alle (Σ_{i}^{b}(f⃗, p⃗)-PIND) Schlüsse.

Dann ist IF eine konservative Erweiterung von S_{2}^{i}. □

3.6 Korollar

Seien f_{1}, …, f_{k} Σ_{1}^{1,b}-definierbare Funktionen und p_{1}, …, p_{l} Δ_{1}^{1,b}-definierbare Prädikate bezüglich U_{2}^{i}, i > 0. IF sei das Fragment U_{2}^{i} erweitert um f_{1}, …, f_{k}, p_{1}, …, p_{l} als neue Funktions-/Prädikatssymbole, deren definierenden Axiome, alle (Σ_{i}^{1,b}(f⃗, p⃗)-PIND) Schlüsse.

Dann ist IF eine konservative Erweiterung von U_{2}^{i}. □

Damit sind wir in der Lage, die Hauptsätze der Beschränkten Arithmetik zu formulieren ([Buss 1986] §5.3 Korollar 7 und Theorem 9 bzw. [Buss 1986] §10.2 Theorem 4 und §10.5 Korollar 11).

3.7 Hauptsatz (erststufig)

Sei i > 0, f eine Funktion und p ein Prädikat, dann gilt:

f ∈ {p \atop i} ⟺ f ist Σ_{i}^{b}-definierbar in S_{2}^{i}
p ∈ Δ_{i}^{p} ⟺ p ist Δ_{i}^{b}-definierbar in S_{2}^{i} .
□

3.8 Hauptsatz (zweitstufig)

Sei i > 0, f eine Funktion und p ein Prädikat, dann gilt:

f ∈ PSPACE ⟺ f ist Σ_{1}^{1,b}-definierbar in U_{2}^{1}
p ∈ PSPACE ⟺ p ist Δ_{1}^{1,b}-definierbar in U_{2}^{1} .
□

Die in dieser Arbeit mit Σ_{i}^{1,b} bezeichneten Formelmengen und mit U_{2}^{i} bezeichneten Fragmente entsprechen Σ̃_{i}^{1,b} bzw. Ũ_{2}^{i} in [Buss 1986]. Die hier verwendeten Bezeichnungen enthalten dort neben Mengenvariablen noch Funktionsvariablen. Dies ist aber zum einen eine konservative Erweiterung von U_{2}^{i} ([Buss 1986] §9.3 Satz 5), und zum anderen lassen sich die freien Funktionsvariablen eliminieren ([Buss 1986] §9.3 Lemma 6). Damit erhält man den Hauptsatz auch in der obigen Form.

3.9 Definition

Sei A(a, b, c⃗) eine Formel mit FV (A) ⊂ {a, b, c_{1}, …, c_{k}}.

(a) f : IN^{k+1} → IN ist durch längenbeschränktes Zählen von A definiert

⟺ für alle m, n⃗ ∈ IN gilt

f(m, n⃗) = #u^{≤}|m|A(u, m, n⃗)
= die Anzahl aller u ≤ |m| mit A(u, m, n⃗).

(b) f : IN^{k+1} → IN ist durch beschränktes Zählen von A definiert

⟺ für alle m, n⃗ ∈ IN gilt

f(m, n⃗) = #u^{≤}mA(u, m, n⃗)

= die Anzahl aller u ≤ m mit A(u, m, n⃗).

Mit [Buss 1986] §2.5 Theorem 7 und [Buss 1986] §10.2 Proposition 2 erhalten wir folgende Sätze:

3.10 Satz

Sei A(a, b, c⃗) aus Δ_{1}^{b} bezüglich S_{2}^{1} und sei f durch längenbeschränktes Zählen von A definiert. Dann ist f Σ_{1}^{b}-definierbar in S_{2}^{1}. □

3.11 Satz

Sei A(a, b, c⃗) eine Σ_{0}^{1,b}-Formel und sei f durch beschränktes Zählen von A definiert. Dann ist f Σ_{1}^{1,b}-definierbar in U_{2}^{1}. □

Wir definieren die Terme ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ aus L_{BA} durch Rekursion nach n:

⟨x_{1}⟩ ···≡ x_{1} ∗ 0
⟨x_{n+1}, …, x_{1}⟩ ···≡ x_{n+1} ∗ ⟨x_{n}, …, x_{1}⟩ .

Dann gibt es für jedes n > 0 Terme SqBd_{n}(a) in L_{BA} , so daß

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∀x_{1}^{≤}|a| … ∀x_{n}^{≤}|a| (⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ ≤ |SqBd_{n}(a)|) .

Dabei steht SqBd fr ”Sequent Bound“ ([Buss 1986] §2.5). Außerdem gilt

U_{2}^{1,w^{⋆}} 0 < i ≤ \underline{n} → β(i, ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩) = x_{i}

und

U_{2}^{1,w^{⋆}} β(0, ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩) = \underline{n} ,

was sich durch Induktion nach n einsehen läßt. Im Induktionsanfang erhalten wir für n=1

β(0, ⟨x_{1}⟩) = β(0, x_{1} ∗ 0) = Sβ(0, 0) = 1
β(1, ⟨x_{1}⟩) = β(1, x_{1} ∗ 0) = x_{1} .

Der Induktionsschritt von n nach n + 1 zeigt sich durch

β(0, ⟨x_{1}, …, x_{n+1}⟩) = β(0, x_{1} ∗ ⟨x_{2}, …, x_{n+1}⟩)
= Sβ(0, ⟨x_{2}, …, x_{n+1}⟩)
=^{I.V.} Sn

und für 1 < i ≤ n + 1

β(i, ⟨x_{1}, …, x_{n+1}⟩) = β(i, x_{1} ∗ ⟨x_{2}, …, x_{n+1}⟩)
= β(i − 1, ⟨x_{2}, …, x_{n+1}⟩)
=^{I.V.} x_{i} .

Abschließend beobachten wir

β(1, ⟨x_{1}, …, x_{n+1}⟩) = β(1, x_{1} ∗ ⟨x_{2}, …, x_{n+1}⟩) = x_{1} .

In [Buss 1986] §4.5 wird erwähnt, daß es eine Majorantenfunktion σ auf den Termen gibt. Sind t_{1}, …, t_{k} Terme mit den freien Variablen b_{1}, …, b_{l}, dann ist σ[t⃗] ein Term mit denselben Variablen und es gilt für 1 ≤ i ≤ k:

b_{1} ≤ c_{1} ∧ … ∧ b_{l} ≤ c_{l} → t_{i}(b⃗) ≤ σ[t⃗](c⃗) .

Es wird darüberhinaus noch gesagt, daß σ in Abhängigkeit von Fragmenten IF gegeben ist, so daß in IF die obige Aussage ohne Induktionsschlüsse bewiesen werden kann. Für diese Arbeit genügt es aber, daß die Majoranteneigenschaft im Standardmodell gilt. Wir brauchen uns daher auch keine Gedanken hinsichtlich der Einfachheit und Konstuktivität von σ zu machen.

3.12 Lemma

Zu dem Term t ∈ LBA^{P} mit den freien Variablen b_{1}, …, b_{l} sei σ[t] ∈ LBA^{∅} ein Term mit denselben Variablen, so daß

b_{1} ≤ c_{1} ∧ … ∧ b_{l} ≤ c_{l} → t(b⃗) ≤ σ[t](c⃗)

gilt. □

Wir können σ[t] aus dem Hauptsatz 3.7 erhalten, da t als Funktion in P Σ_{1}^{b}-definierbar in S_{2}^{1} ist. Also gibt es einen Term s ∈ LBA^{∅} , so daß

∀x⃗ (t(x⃗) ≤ s(x⃗))

gilt. Da s nur aus den Funktionen 0, S, |.|, ⌊\frac{1}{2}.⌋, +, ·, # gebildet wird, ist s damit automatisch monoton. Wir setzen σ[t] ···≡ s und erhalten so für b_{1} ≤ c_{1}, …, b_{l} ≤ c_{l}:

t(b⃗) ≤ s(b⃗) ≤ s(c⃗) = σ[t](c⃗) .

Nun streben wir eine partielle Schnittelimination für die Tait-Kalküle der Beschränkten Arithmetik an. Dazu zeigen wir, daß wir uns auf Herleitungen beschränken können, deren Schnittformeln in ihrer Komplexität eingeschränkt sind.

4 Partielle Schnittelimination

In diesem Abschnitt geben wir für die Tait-Kalküle der Fragmente der Beschränkten Arithmetik, um sie besser analysieren zu können, Herleitungsprädikate mit zusätzlichen einschränkenden Größen an. Diese Größen sind die Herleitungslänge und der Schnittgrad. Beides sind obere Schranken, zum einen für die Tiefe des Herleitungsbaumes und zum anderen für die Komplexität der in der Herleitung auftretenden Schnitte. Mit Hilfe dieser Beschränkungsgrößen werden dann im Rest des Abschnitts verschiedene Eigenschaften der Kalküle bewiesen.

Die wesentliche Eigenschaft ist die Schnittelimination, die wir analog zum klassichen Gentzenschen Verfahren durchführen, wie z. B. in [Pohlers 1989] oder [Schwichtenberg 1977] dargestellt wird. Da wir i. allg. keine Chance haben, einen Schnitt mit der Hauptformel eines Induktionsschlusses oder eines Axioms zu eliminieren, lassen wir solche Schnitte ganz allgemein zu. Die Reduzierung der Schnitte bis auf eine gewisse Komplexität heißt partielle Schnittelimination. Um Schnitte mit Hauptformeln aus den Induktionsschlüssen bzw. Axiomen zuzulassen, weisen wir diesen einen Schnittrang von Null zu. Dies ergibt sich, indem wir Ränge von Formeln über Formelklassen betrachten. Sei Ψ eine Klasse von Formeln aus L_{BA} , die alle atomaren Formeln von aus L_{BA} enthält.

4.1 Definition des Ranges Ψ-rg(F) einer Formel F aus L_{BA}

Die Definition erfolgt durch Rekursion nach der Länge von F.

(a) Ist F ∈ Ψ, so sei Ψ-rg(F) := 0 .

(b) Ist F ∉ Ψ und

(1) F ≡ G ∘ H mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann sei Ψ-rg(F) := Max{Ψ-rg(G), Ψ-rg(H)} + 1 .

(2) F ≡ Qx G(x) oder F ≡ Qx^{≤}t G(x) mit Q ∈{∀, ∃}, dann sei Ψ-rg(F) := Ψ-rg(G(a)) + 1 .

(3) F ≡ Qϕ G(ϕ) mit Q ∈{∀, ∃}, dann sei Ψ-rg(F) := Ψ-rg(G(α)) + 1 .

Die Wahl der Formelklasse Ψ, über die wir den Rang einer Formel definieren, hängt von der in dem Fragment vorliegenden Induktion ab. Ψ muß die Hauptformeln der Induktionen und deren Negationen umfassen. Für S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A), U_{2}^{i}, U_{2}^{i,w^{⋆}} und U_{2}^{w} genügt es also sicherzustellen, daß Ψ die Menge Σ_{i}^{b}∪Π_{i}^{b} , Σ_{i}^{b}(A)∪Π_{i}^{b}(A) , Σ_{i}^{1,b}∪Π_{i}^{1,b} , Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ∪Π_{i}^{1,w^{⋆}} bzw. Σ^{1,w} umfaßt.

Tatsächlich würde die Definition von Ψ als die zu dem Fragment passende, oben angegebene minimale Menge die schärfste Formulierung des partiellen Schnitteliminationssatzes ergeben, die sich ohne Mehraufwand zeigen ließe. I. allg. reicht es aber, die Schnittformeln der Herleitungen auf die Formelmengen Σ^{b}, Σ^{b}(A), Σ^{1,b}, Σ^{1,w^{⋆}} bzw. Σ^{1,w} zu beschränken.

4.2 Definition

(a) S_{2}^{i}-rg ··= S_{2}^{i}(A)-rg ··= Σ^{b}(A)-rg
(b) U_{2}^{i}-rg ··= Σ^{1,b}-rg
(c) U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg ··= Σ^{1,w^{⋆}}-rg
(d) U_{2}^{w}-rg ··= Σ^{1,w}-rg

Sei IF eines der Fragmente S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A), U_{2}^{i}, U_{2}^{i,w^{⋆}} oder U_{2}^{w}.

4.3 Lemma

Seien F, F′ aus L_{BA} .

(i) IF-rg(F) = IF-rg(¬F)

(ii) Geht F′ aus F durch gebundene Umbenennung hervor, so gilt

IF-rg(F′) = IF-rg(F).

(iii) A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} ⟹ U_{2}^{i}-rg(F (α)) = U_{2}^{i}-rg(F (A(.))).
(iv) A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(F (α)) = U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(F (A(.))).
(v) A(a) ∈ Σ^{1,w} ⟹ U_{2}^{w}-rg(F (α)) = U_{2}^{w}-rg(F (A(.))).

Beweis jeweils durch Induktion nach der Länge von F:

Sei Ψ die zu IF gehörende Formelmenge. (i) bis (v) ergeben sich direkt aus der Definition von Ψ-rg(F) und der Induktionsvoraussetzung unter Ausnutzung der Abgeschlossenheit von Ψ gegen gebundene Umbenennung bzw. Substitution von Σ_{0}^{1,b}-, Σ_{0}^{1,w^{⋆}}- bzw. Σ^{1,w}-Klassentermen. □

Sind m, m_{1}, …, m_{k}, k < ω, so wird im folgenden abkürzend m > m_{1}, …, m_{k} statt m > Max{m_{1}, …, m_{k}} geschrieben. Wir definieren nun ein Herleitungsprädikat IF ^{m}_{r} Γ für endliche Formelmengen Γ. Dabei ist m eine obere Schranke für die Herleitungslänge und r eine echte obere Schranke für den Schnittgrad. Dieser Begriff der Herleitbarkeit ist äquivalent zu dem Begriff mit lokal korrekten Herleitungsbäumen, an deren Blättern Axiome stehen.

4.4 Definition von IF ^{m}_{r} Γ

(a) Ist Γ ein Axiom von IF, dann gelte IF ^{m}_{r} Γ für beliebige m, r < ω.

(b) Ist k ≤ 1,  Ξ_{i} , i ≤ k , ⟹  Γ ein Schluß (S) ungleich (Schnitt) von IF

und gilt IF ^{m_{i}}_{r} Ξ_{i} für i ≤ k, dann gelte IF ^{m}_{r} Γ für m > m_{1}, …, m_{k} .

(c) (Schnitt): Gilt IF ^{m_{1}}_{r} Γ, F und IF ^{m_{2}}_{r} Γ, ¬F und IF-rg(F) < r, dann gelte

IF ^{m}_{r} Γ für m > m_{1}, m_{2} .

Wir schreiben IF _{r} Γ dafür, daß es ein m < ω mit IF ^{m}_{r} Γ gibt. Die folgenden drei Aussagen sind rein technischer Natur. Sie geben uns das formale Rüstzeug, um die anschließenden Beweise einfacher zu formulieren.

4.5 Lemma

IF ^{m}_{r} Γ ⟹ (i) IF ^{m}_{r} Γa(t) für jeden Term t aus L_{BA} (ii) IF ^{m}_{r} Γα(β) für jede freie Variable β. □

Lemma 4.5 impliziert eine technische Vereinfachung für Beweise durch Herleitungsinduktion: Die Eigenvariablen in Schlüssen mit Variablenbedingung können immer außerhalb einer vorgegebenen endlichen Menge freier Variablen gewählt werden.

4.6 Tautologie- und Gleichheitslemma

(i) IF _{0} ¬A, A
(ii) IF _{0} a ≠ b, ¬A(a), A(b)

Beweis durch Induktion nach der Länge von A:

Dabei benutzt der Indukionsanfang, also der Fall, daß A eine Primformel ist, in (i) ein logisches Axiom und in (ii) ein Gleichheitsaxiom. □

4.7 Lemma

Sei Γ′, A′ eine gebundene Umbenennung von Γ, A, dann gilt:

(i) IF ^{m}_{r} Γ ⟹ IF ^{m}_{r} Γ′

(ii) Für G(α) ∈ L_{BA} mit BV (G) ∩ BV (A) = ∅ = BV (G) ∩ BV (A′) gilt

IF ^{m}_{r} Γ, G(A(.)) ⟹ IF ^{m}_{r} Γ, G(A′(.)) .

Beweis:

Der erste Teil läßt sich durch Induktion nach m beweisen. Teil (ii) ergibt sich aus der Beobachtung, daß unter den gegebenen Voraussetzungen G(A′(.)) eine gebundene Umbenennung von G(A(.)) ist. □

4.8 Strukturschluß

IF ^{m}_{r} Γ und m ≤ n < ω , r ≤ s < ω , Γ ⊂ Λ endlich ⟹ IF ^{n}_{s} Λ

Beweis durch Induktion nach m:

Die Bemerkung im Anschluß an Lemma 4.5 zeigt, daß sich die Eigenvariablen von Schlüssen mit Variablenbedingung immer außerhalb von FV (Λ) wählen lassen. Darum folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung durch Anwenden des gleichen Schlusses. □

Führt man einen Beweis durch Herleitungsinduktion, so läßt sich in der Mengenschreibweise, im Gegensatz zur Sequenzenschreibweise, der Konklusion eines Schlusses i. allg. nicht mehr die genaue Gestalt der Prämissen ansehen. Hier liefert der Strukturschluß eine Vereinfachung in der Betrachtung möglicher Prämissen. Es genügt, den Fall zu betrachten, daß die Hauptformel schon in der Prämisse vorhanden ist, denn sonst fügt man sie per Strukturschluß hinzu. Dies ändert nicht die Herleitungslänge der Prämisse, man kann also immer noch die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Wir bereiten nun den partiellen Schnitteliminationssatz vor. Wollen wir den Schnittrang einer Herleitung von IF erniedrigen, so müssen wir unter anderem auch Schnitte mit der Hauptformel eines Komprehensionsschlusses reduzieren. Wir erhalten in solch einer Situation zwei Herleitungen

IF _{r} Γ, F (A(.)) und IF _{r} Γ, ¬F (α)

mit α ∉ FV (Γ) und IF-rg(∃ϕ F (ϕ)) = r. Nun möchten wir gern in der zweiten Herleitung α durch {u : A(u)} ersetzen und anschließend schneiden:

(Schnitt) \underline{Γ, F (A(.)) Γ, ¬F (A(.))}

Γ

Mit Lemma 4.3 gilt IF-rg(F (A(.))) < IF-rg(∃ϕ F (ϕ)) = r, also ist dieser Schnitt einfacher als der ursprüngliche. Wir müssen noch sicherstellen, daß durch die Ersetzung der Schnittrang der zweiten Herleitung nicht wächst. Dies wird im Einsetzungslemma 4.10 geschehen. Doch vorher tragen wir Eigenschaften der Einsetzung von Klassentermen in Formeln zusammen.

4.9 Lemma

Seien A, B, F Formeln, deren gebundenen Variablen paarweise verschieden sind.

(i) Sei A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} .

F ∈ Σ_{i}^{1,b} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Σ_{i}^{1,b}
F ∈ Π_{i}^{1,b} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Π_{i}^{1,b}

(ii) Sei A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} .

F ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}}
F ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}}

(iii) (Fb(t))α(A(.)) ≡ (Fα(A(.)))b(t) falls b ∉ FV (A).

(iv) (Qϕ F (ϕ))α(A(.)) ≡ Qϕ (F (β)α(A(.)))β(ϕ) falls β neu ist.

(v) (Fβ({u : Bb(u)}))α(A(.)) ≡ (Fα(A(.)))β({u : (Bα(A(.)))b(u)}) falls β neu für A und B ist.

Beweis:

(i) Sei F′ ···≡ Fα(A(.)) . Durch Induktion nach der Länge von F wird gezeigt:

∀i : (1) F ∈ Σ_{i}^{1,b} ⟹ F′ ∈ Σ_{i}^{1,b} (2) F ∈ Π_{i}^{1,b} ⟹ F′ ∈ Π_{i}^{1,b} .

Dabei betrachten wir nur den Fall (1) F ∈ Σ_{i}^{1,b} , der andere Fall (2) F ∈ Π_{i}^{1,b} wird dual bewiesen.

(a) F ∈ Σ_{i}^{1,b} sei eine Primformel.

Für α ∉ FV (F) ist F′ ≡ F . Anderenfalls muß F ≡ t∈α oder F ≡ t ∉ α sein. Also hat F′ die Gestalt F′ ≡ A(t) bzw. F′ ≡ ¬A(t) . Nun ist A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} und somit F′ ∈ Σ_{0}^{1,b} ⊂ Σ_{i}^{1,b} .

(b) F ≡ G ∘ H ∈ Σ_{i}^{1,b} mit ∘ ∈ {∧, ∨}. Dann muß G, H ∈ Σ_{i}^{1,b} sein. Die Induktionsvoraussetzung liefert uns hieraus G′, H′ ∈ Σ_{i}^{1,b} , also

F′ ≡ G′ ∘ H′ ∈ Σ_{i}^{1,b}.

(c) F ≡ Qx^{≤}t G(x) ∈ Σ_{i}^{1,b} mit Q∈ {∀, ∃}. Für eine neue Variable b gilt dann G(b) ∈ Σ_{i}^{1,b} . Also produziert die Induktionsvoraussetzung G′(b) ∈ Σ_{i}^{1,b} , mithin

F′ ≡ Qx^{≤}t G′(x) ∈ Σ_{i}^{1,b}.
(d) F ≡ Qx G(x) ∈ Σ_{i}^{1,b} ist nicht möglich.

(e) F ≡ ∃ϕ G(ϕ) ∈ Σ_{i}^{1,b} . Dann ist G(β) ∈ Σ_{i}^{1,b} für eine neue Variable β und i > 0. Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir G′(β) ∈ Σ_{i}^{1,b} und somit

F′ ≡ ∃ϕ G′(ϕ) ∈ Σ_{i}^{1,b}.

(f) F ≡ ∀ϕ G(ϕ) ∈ Σ_{i}^{1,b} . Nach der Definition von Σ_{i}^{1,b} muß F ∈ Π_{i−1}^{1,b} und i > 1 gelten, da F ∉ Σ_{1}^{1,b} ist. Dann ist G(β) ∈ Π_{i−1}^{1,b} für eine neue Variable β und die Induktionsvoraussetzung zeigt G′(β) ∈ Π_{i−1}^{1,b} , mithin

F′ ≡ ∀ϕ G′(ϕ) ∈ Π_{i−1}^{1,b} ⊂ Σ_{i}^{1,b}.

(ii) Das Argument ist hier analog zu (i). In den Fällen (e) und (f) müssen wir zusätzlich für F ≡ Qϕ G(ϕ) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}}/Π_{i}^{1,w^{⋆}} beachten, daß F die Gestalt Qϕ H(ϕ^{|t|}) für eine Formel H ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}}/Π_{i}^{1,w^{⋆}} hat, deren Länge dann auch kleiner als L(F) ist.

(iii) – (v) wird jeweils durch Induktion nach der Länge von F bewiesen. □

4.10 Einsetzungslemma

(i) Sei A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} mit BV (Γ) ∩ BV (A(a)) = ∅, dann gilt

U_{2}^{i} ^{m}_{r} Γ ⟹ U_{2}^{i} _{r} Γα(A(.)) .

(ii) Sei A(a) ∈ Σ^{1,w} mit BV (Γ) ∩ BV (A(a)) = ∅, dann gilt

U_{2}^{w} ^{m}_{r} Γ ⟹ U_{2}^{w} _{r} Γα(A(.)) .

Beweis in beiden Fällen durch Induktion nach m: Sei Γ′ ··= Γα(A(.)) , entsprechend F′.

(i) Ist Γ ein logisches Axiom, so zeigt das Tautologielemma 4.6 (i) U_{2}^{i} _{r} Γ′.

Falls t ≠ s, t ∉ α, s ∈ α in Γ sind, folgt U_{2}^{i} _{r} Γ′ durch zweimalige Termersetzung 4.5 (i) angewandt auf das Gleichheitslemma 4.6 (ii): U_{2}^{i} _{0} t ≠ s, ¬A(t), A(s) . Die übrigen Möglichkeiten für Γ, Axiom zu sein, beinhalten nur Formelmengen mit Hauptformeln, die α nicht enthalten. Damit hat Γ′ dieselbe axiomatische Hauptformel wie Γ. Also gilt U_{2}^{i} _{r} Γ′. Liegt kein Axiom vor, so werden bezüglich des letzten Schlusses (S) folgende Fälle unterschieden:

Ist (S) aus (∧), (∨), (∀), (∃), (∀^{≤}), (∃^{≤}), dann erhalten wir die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung mit demgleichen Schluß (S). Schwierigkeiten mit den obigen Variablebedingungen treten nicht auf, da unter Berücksichtigung der Bemerkung an Lemma 4.5 die Eigenvariablen in (∀) und (∀^{≤}) passend gewählt werden können.

(Schnitt) Der letzte Schluß hatte die Gestalt

U_{2}^{i} ^{m_{1}}_{r} Γ, F , U_{2}^{i} ^{m_{2}}_{r} Γ, ¬F ⟹ U_{2}^{i} ^{m}_{r} Γ

mit m_{1}, m_{2} < m und U_{2}^{i}-rg(F) < r. Ohne Einschränkung sei BV (Γ, F) ∩ BV (A) = ∅. Die Induktionsvoraussetzung liefert uns U_{2}^{i} _{r} Γ′, F′ und U_{2}^{i} _{r} Γ′, ¬F′. Nun erhalten wir aus Lemma 4.3 (iii), U_{2}^{i}-rg(F′) = U_{2}^{i}-rg(F) < r, mit einem (Schnitt)

U_{2}^{i} _{r} Γ′ .

(∀^{2}) Als letzter Schluß liegt

U_{2}^{i} ^{m_{1}}_{r} Γ, ∀ϕ F (ϕ), F (β) ⟹ U_{2}^{i} ^{m}_{r} Γ, ∀ϕ F (ϕ)

mit m_{1} < m und β ∉ FV (Γ, ∀ϕ F (ϕ), A) ∪ {α} wegen der Bemerkung zu Lemma 4.5 vor. Dann liefert uns die Induktionsvoraussetzung

U_{2}^{i} _{r} Γ′, (∀ϕ F (ϕ))′ , (F (β))α (A(.)) . Lemma 4.9 (iv) zeigt

(∀ϕ F (ϕ))′ ≡ ∀ϕ ((F (β))α (A(.)))β (ϕ) .

Also folgt mit (∀^{2}) wegen β ∉ FV (Γ′, (∀ϕ F (ϕ))′)

U_{2}^{i} _{r} Γ′, (∀ϕ F (ϕ))′ .

(∃^{2}) Da F (α) sich als F ({u : u∈α}) schreiben läßt, können wir diesen Schluß

als (Σ_{0}^{1,b}-CA) auffassen. (Σ_{i}^{1,b}-PIND) Hier folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung unter

Berücksichtigung von Lemma 4.9 (i), (iii). (Σ_{0}^{1,b}-CA) Es gibt B ∈ Σ_{0}^{1,b} und m_{1} < m mit

U_{2}^{i} ^{m_{1}}_{r} Γ, ∃ϕ F (ϕ), F (B(.)) ⟹ U_{2}^{i} ^{m}_{r} Γ, ∃ϕ F (ϕ) .

Ohne Einschränkung gelte BV (B) ∩ BV (A) = ∅. Seien β, b neue Variablen, dann ergibt folgende Definition

G ···≡ F (β) , C ···≡ B(b) und die Induktionsvoraussetzung

U_{2}^{i} _{r} Γ′, (∃ϕ F (ϕ))′ , (Gβ(Cb(.)))′ . (1) Lemma 4.9 (v) bezeugt

(Gβ(Cb(.)))′ ≡ Gβ^{′}(Cb^{′}(.)) .

Mit diesem und Lemma 4.9 (i) läßt sich (Σ_{0}^{1,b}-CA) auf (1) anwenden:

U_{2}^{i} _{r} Γ′, (∃ϕ F (ϕ))′ , ∃ϕ Gβ^{′}(ϕ) .

Lemma 4.9 (iv) liefert dann die Behauptung.

(ii) Dieser Punkt läuft analog zu (i) bis auf folgende Fälle:

(Σ^{1,w}-LIND) Hier folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung unter Berücksichtigung von Lemma 4.9 (iii) und der Abgeschlossenheit von Σ^{1,w} gegen Substitution von Σ^{1,w}-Klassentermen.

(Σ^{1,w}-CA) Mit B ∈ Σ^{1,w} und m_{1} < m liege folgender letzter Schluß vor:

U_{2}^{w} ^{m_{1}}_{r} Γ, ∃ϕ F (ϕ), F (B(.)) ⟹ U_{2}^{w} ^{m}_{r} Γ, ∃ϕ F (ϕ) .

Wie unter (i) folgt für G ···≡ F (β) , C ···≡ B(b)

U_{2}^{w} _{r} Γ′, (∃ϕ F (ϕ))′ , Gβ^{′}(Cb^{′}(.)}) .

Da Σ^{1,w} abgeschlossen ist unter Substitution, erhalten wir C′ ≡ B(b)′ ∈ Σ^{1,w} und daraus mit (Σ^{1,w}-CA)

U_{2}^{w} Γ′, (∃ϕ F (ϕ))′ , ∃ϕ Gβ^{′}(ϕ) .

Wieder liefert Lemma 4.9 (iv) die Behauptung. □

In U_{2}^{i,w^{⋆}} läßt sich ein Einsetzungslemma in der obigen Form nicht beweisen, da i. allg. die Menge {u ≤ |t| : A(u)} so nicht beweisbar existent ist, sondern nur die Existenz von Mengen ϕ mit ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ ↔ A(x)) gewährleistet wird. Hier müssen wir anders vorgehen. Gehen wir davon aus, daß zwei Herleitungen

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, F ({u ≤ |t| : A(u)}) und U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, ¬F (α^{|t|})

mit α ∉ FV (Γ) und U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(∃ϕ F (ϕ^{|t|})) = r gegeben sind, so setzen wir sie wie folgt zusammen, wobei für den ersten Schluß

U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(F ({u ≤ |t| : A(u)})) < U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(∃ϕ F (ϕ)) = r

mit Lemma 4.3 ausgenutzt wird.

\underbrace{Γ, F (\{u ≤ |t| : A(u)\}) Γ, ¬F (α^{|t|})}
⇓
(∀^{2})  \underline{Γ, ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x))}
Γ, ¬∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x))

Mit A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} ist ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) eine Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel, also hat das Komprehensionsaxiom den Rang 0 und wir können damit schneiden. Daß die benötigten Zwischenschritte auch schnittfrei herleitbar sind, zeigt das nächste Lemma.

4.11 Lemma

Sei A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} und G(β) eine beliebige Formel. Es gilt
(i) U_{2}^{i,w^{⋆}} _{0} ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), ¬G({u ≤ |t| : A(u)}), G(α^{|t|}) .
(ii) U_{2}^{i,w^{⋆}} _{0} ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) .

Beweis:

(i) Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach der Länge der Formel G. Ist β ∉ FV (G) , so liefert das Tautologielemma 4.6 (i) das Gewünschte. Ist G ≡ s∈β , so ist ¬G({u≤|t| : A(u)}) ≡ s / ≤|t| ∨ ¬A(s) und G(α^{|t|}) ≡ s ∈ α^{|t|}. Das Tautologielemma 4.6 (i) liefert uns schnittfreie Herleitungen von ¬A(s), A(s) und von s ∉ α^{|t|}, s ∈ α^{|t|}, mit denen wir dann die folgende schnittfreie Herleitung bilden:

(∧)  \underline{¬A(s), A(s) s ∉ α^{|t|}, s ∈ α^{|t|}}
(∨)  \underline{¬A(s), A(s) ∧ s ∉ α^{|t|}, s ∈ α^{|t|}}
(∃^{≤})  \underline{¬A(s), ¬(s ∈ α^{|t|} ↔ A(s)), s ∈ α^{|t|}}
2(∨) \underline{s / ≤ |t|, ¬A(s), ∃x^{≤}|t| ¬(x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), s ∈ α^{|t|}}
s / ≤ |t| ∨ ¬A(s), ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), s ∈ α^{|t|} .

Ist G ≡ s∉β , so gilt ¬G({u≤|t| : A(u)}) ≡ s≤|t| ∧ A(s) und G(α^{|t|}) ≡ s ∉ α^{|t|} ≡ s / ≤ |t| ∨ s ∉ α. Analog zu oben verwenden wir das Tautologielemma 4.6 (i), um die folgende schnittfreie Herleitung zu bilden:

(∧) \underline{\begin{aligned}(∧) & \underline{¬A(s), A(s)  s ∉ α^{|t|}, s ∈ α^{|t|}} \\ (∨) & \underline{¬A(s) ∧ s ∈ α^{|t|}, A(s), s ∉ α^{|t|}} \\ & ¬(s ∈ α^{|t|} ↔ A(s)), A(s), s ∉ α^{|t|} \end{aligned}  s ≤ |t|, s / ≤ |t|}
(∃^{≤})  \underline{¬(s ∈ α^{|t|} ↔ A(s)), s ≤ |t| ∧ A(s), s ∉ α^{|t|}, s / ≤ |t|}
(∨) \underline{∃x^{≤}|t| ¬(x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), s ≤ |t| ∧ A(s), s ∉ α^{|t|}, s / ≤ |t|}
¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), s ≤ |t| ∧ A(s), s ∉ α^{|t|} .

In den übrigen Fällen ergibt sich die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung und einem der Paare (∧), 2×(∨) , (∃^{≤}), (∀^{≤}) , (∃), (∀) oder (∃^{2}), (∀^{2}) .

(ii) Das Tautologielemma 4.6 (i) liefert uns eine schnittfreie Herleitung von ¬A(a), A(a) , die wir wie folgt schnittfrei verlängern:

\begin{matrix}(∧) & \underline{\begin{aligned}(∨) & \underline{¬A(a), A(a)} \\ 2(∨) & \underline{a / ≤ |t| ∨ ¬A(a), A(a)} \\ & a ≤ |t| ∧ A(a) → A(a) \end{aligned} \begin{aligned}(∧) & \underline{¬A(a), A(a) a ≤ |t|, a / ≤ |t|} \\ 2(∨) & \underline{¬A(a), a ≤ |t| ∧ A(a), a / ≤ |t|} \\ & a / ≤ |t|, A(a) → a ≤ |t| ∧ A(a) \end{aligned}} \\ (∀^{≤}) & \underline{a / ≤ |t|, a ≤ |t| ∧ A(a) ↔ A(a)} \\ (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) & \underline{∀x^{≤}|t| (x ≤ |t| ∧ A(x) ↔ A(x))} \\ ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (ϕ^{|t|} ↔ A(x)) . \end{matrix} □

Sei IF eines der Fragmente S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A), U_{2}^{i}, U_{2}^{i,w^{⋆}} oder U_{2}^{w}.

4.12 Inversionslemma

(i) IF ^{m}_{r} Γ, A_{1} ∧ A_{2} ⟹ IF ^{m}_{r} Γ, A_{i} für i = 1, 2.

(ii) IF ^{m}_{r} Γ, ∀x F (x) ⟹ IF ^{m}_{r} Γ, F (s) für s beliebig.

(iii) IF ^{m}_{r} Γ, ∀x^{≤}t F (x) ⟹ IF ^{m}_{r} Γ, s / ≤ t, F (s) für s beliebig.

(iv) IF ^{m}_{r} Γ, ∀ϕ F (ϕ) ⟹ IF ^{m}_{r} Γ, F (α) für α beliebig.

Beweis durch Induktion nach m:

Unter Ausnutzung der Bemerkung zu Lemma 4.5 für (ii) und (iii) folgt die Behauptung elementar. □

4.13 Reduktionslemma

Sei F vom ∨-Typ mit IF-rg(F) = r > 0 , dann gilt:

IF ^{m}_{r} Γ, F & IF _{r} Λ, ¬F ⟹ IF _{r} Γ, Λ .

Beweis durch Induktion nach m:

Ist Γ, F ein Axiom, dann auch Γ, da jede Hauptformel eines Axioms den IF-Rang 0 hat und r > 0 ist.

Sei also Γ, F kein Axiom und (S) ein letzter Schluß. Es werden folgende Fälle unterschieden:

(i) F ist nicht Hauptformel dieses letzten Schlusses (S). Dann gibt es Formelmengen Ξ_{i} für i < k mit

IF ^{m_{i}}_{1} Ξ_{i}, F und m_{1}, …, m_{k} < m , (1)

(S) Ξ_{i} , i ≤ k , ⟹ Γ ist ein Schluß in IF,

und bei Berücksichtigung der Bemerkung nach Lemma 4.5 gilt überdies

(S) Ξ_{i}, Λ , i ≤ k , ⟹ Γ, Λ ist ein Schluß in IF. (2)

Die Induktionsvoraussetzung angewandt auf (1) liefert IF _{r} Ξ_{i}, Λ für i ≤ k. Falls (S) = (Schnitt) ist, muß der IF-Rang der Schnittformel kleiner als r sein. Dann produziert (2) die Behauptung.

Nun sind noch die Fälle übrig, in denen F Hauptformel des letzten Schlusses ist. Da F vom ∨-Typ und IF-rg(F) > 0 ist, kann (S) nur noch einer der Schlüsse (∨), (∃), (∃^{≤}), (∃^{2}), oder (Σ_{0}^{1,b}-CA), (Σ^{1,w}-CA) bzw. (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) sein.

(ii) Ist (S) aus (∨), (∃), (∃^{≤}), (∃^{2}), dann hat die Hauptformel F die Gestalt A_{1} ∨ A_{2} , ∃x G(x) , ∃x^{≤}t G(x) bzw. ∃ϕ G(ϕ) , da für (S) = (∃^{≤}) wegen IF-rg(F) > 0 = IF-rg(s ≤ t) die Hauptformel F nicht s ≤ t gewesen sein kann.

Sei H die Nebenformel des Schlusses, also hat H die Form Ai_{0} für ein i_{0} ∈ {1, 2}, G(s) für einen Term s aus L_{BA} bzw. G(β) für eine freie Variable β und es existiert ein m_{1} < m mit IF ^{m_{1}}_{r} Γ, F, H . Hieraus liefert die Induktionsvoraussetzung IF _{r} Γ, Λ, G. Mit 4.12 (i)-(iv) und einem Strukturschluß 4.8 folgt IF _{r} Γ, Λ, ¬G. Nun ist IF-rg(G) < IF-rg(F) , also liefert ein (Schnitt) die Behauptung.

(iii) (Σ_{0}^{1,b}-CA): F hat die Gestalt ∃ϕ G(ϕ) und der letzte Schluß die Prämisse U_{2}^{i} ^{m_{1}}_{r} Γ, F, G(A(.))

mit m_{1} < m und A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} . Die Induktionsvoraussetzung produziert

U_{2}^{i} _{r} Γ, Λ, G(A(.)) . (3) Unter Berücksichtigung von Lemma 4.7 gelte ohne Einschränkung

BV (A′) ∩ BV (Λ, F) = ∅ . Mit dem Inversionslemma 4.12 (iv), dem Einsetzungslemma 4.10 (i) und einem Strukturschluß 4.8 erhalten wir aus der zweiten Voraussetzung

U_{2}^{i} _{r} Γ, Λ, ¬G(A′(.)) . (4) Nun ist

U_{2}^{i}-rg(G(A′(.))) = U_{2}^{i}-rg(G(A(.)))
{4.3 (ii) \atop =} U_{2}^{i}-rg(G)
< U_{2}^{i}-rg(F) = r .

Damit ergibt ein (Schnitt) von (3) und (4) die Behauptung. (iv) (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA): F hat die Gestalt ∃ϕ G(ϕ^{|t|}) und als Prämisse des letzten

Schlusses liegt U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m_{1}}_{r} Γ, F, G({u ≤ |t| : A(u)})

mit m_{1} < m und A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} vor. Sei α eine neue Variable. Es ist U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(G(α^{|t|})) < r und wie unter (iii) sehen wir U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(G({u ≤ |t| : A(u)})) < r. Mit Lemma 4.11 (i) gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{0} ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)), ¬G({u ≤ |t| : A(u)}), G(α^{|t|}) , also liefert ein (Schnitt) mit der Induktionsvoraussetzung inklusive Strukturschluß 4.8

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, Λ, G(α^{|t|}), ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)) .

Ein (Schnitt) mit dem Inversionslemma 4.12 (iv), angewandt auf die zweite Voraussetzung, zeigt

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, Λ, ¬∀x^{≤}|t| (x ∈ α^{|t|} ↔ A(x)) ,

also mit (∀^{2})

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, Λ, ¬∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) . (5)

Da nach Lemma 4.11 (ii) (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) schnittfrei herleitbar ist, folgt mit einem Strukturschluß 4.8

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{r} Γ, Λ, ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) .

Nun ist

U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x))) = 0 ,

also liefert ein (Schnitt) mit (5) die Behauptung.

(v) (Σ^{1,w}-CA): F ≡ ∃ϕ G(ϕ) und der letzte Schluß hat die Prämisse

U_{2}^{w} ^{m_{1}}_{r} Γ, F, G(A(.))

mit m_{1} < m und A(a) ∈ Σ^{1,w} . Dann folgt die Behauptung wie unter (iii) mit dem einzigen Unterschied, daß hier Lemma 4.10 (ii) an Stelle von Lemma 4.10 (i) ausgenutzt wird. □

4.14 Eliminationssatz

IF ^{m}_{r} Γ ⟹ IF _{1} Γ .

Beweis durch Hauptinduktion nach r und Nebeninduktion nach m:

Ist Γ ein Axiom, so ist nichts zu zeigen. Sei also Γ kein Axiom und (S) ein letzter Schluß. Ist (S) kein (Schnitt) vom Rang r′ > 0, so folgt die Behauptung direkt aus der Nebeninduktionsvoraussetzung mit demgleichen Schluß (S). Also bleibt noch der Fall zu betrachten:

(Schnitt) IF ^{m_{1}}_{r} Γ, F & IF ^{m_{2}}_{r} Γ, ¬F ⟹ IF ^{m}_{r} Γ

mit m_{1}, m_{2} < m und 0 < r′ ··= IF-rg(F) < r. Nun liefert die Nebeninduktionsvoraussetzung

IF _{1} Γ, F & IF _{1} Γ, ¬F .

Mit dem Reduktionslemma 4.13 folgt hieraus IF _{r′} Γ . Dann produziert die Hauptinduktionsvoraussetzung die Behauptung. □

Ist IF eines der Fragmente S_{2}^{i}, S_{2}^{i}(A), U_{2}^{i}, U_{2}^{i,w^{⋆}} oder U_{2}^{w}, so erhalten wir für Formelmengen Γ aus Σ^{b}, Σ^{b}(A), Σ^{1,b}, Σ^{1,w^{⋆}} bzw. Σ^{1,w} mit IF Γ durch partielle Schnittelimination eine Herleitung von Γ in IF, in der alle auftretenden Formeln aus Σ^{b}, Σ^{b}(A), Σ^{1,b}, Σ^{1,w^{⋆}} bzw. Σ^{1,w} sind. Diese schwache Teilformeleigenschaft ist für die meisten Fragestellungen in der Berschränkten Arithmetik ausreichend, so auch für den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Im nun folgenden mittleren Teil dieser Arbeit nutzen wir diese Teilformeleigenschaft aus, um mit Übersetzungen von Σ^{b} in Σ^{1,w^{⋆}} und von Σ^{1,w^{⋆}} in Σ^{b} durch Herleitungsinduktionen den erststufigen Hauptsatz der Beschränkten Arithmetik von S_{2}^{i} auf U_{2}^{i,w^{⋆}} zu übertragen.

Teil B Der Hauptsatz der Beschränkten Arithmetik für U{i,w^{⋆} \atop 2}

5 Beobachtungen in U_{2}^{i,w^{⋆}}

Zu Beginn dieses Abschnitts übertragen wir die Ergebnisse aus Abschnitt 3 für S_{2}^{i} auf U_{2}^{i,w^{⋆}}. Darüberhinaus beschäftigen wir uns mit Komprehensionen sowohl im zweitstufigen als auch im erststufigen Bereich. Als wichtigstes Ergebnis erhalten wir, daß U_{2}^{i,w^{⋆}} für i>0 eine über (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) hinausgehende Komprehension beweist, nämlich (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA). Im erststufigen Bereich ist die Komprehension von der Einschränkung der erststufigen Quantoren in Σ_{i}^{1,w^{⋆}} auf scharf beschränkte, also logarithmische, Anfangsstücke abhängig. Wie wir später noch sehen werden, hat dies zur Folge, daß eine Formulierung wie etwa

∃x ∀y^{≤}|t| (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)

nicht in U_{2}^{i,w^{⋆}} gilt, da der Existenzquantor nicht scharf beschränkt werden kann. Diesem gesamten Teil B liegt [Takeuti 1991] zugrunde.

Wir können hier die zu übertragenen Äquivalenzen aus Abschnitt 3 schon über U_{2}^{0,w^{⋆}} beweisen, da in U_{2}^{0,w^{⋆}} alle für die Beweise benötigten Funktionen aus P a priori vorhanden sind. Dagegen wurden sie in S_{2}^{i} durch ein aufwendiges Bootstrapping-Verfahren definiert, bei dem man die gewünschten Eigenschaften beweisen muß. Das wesentliche Beweismittel dabei ist (Σ_{1}^{b}-PIND). Zuerst betrachten wir die verschiedenen P- und L-Induktionen über U_{2}^{0,w^{⋆}}. Für S_{2}^{1} sind (Σ_{i}^{b}-LIND), (Π_{i}^{b}-LIND), (Σ_{i}^{b}-PIND) und (Π_{i}^{b}-PIND) äquivalent. Hier zeigen wir die Äquivalenz von

(a) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)

(b) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND)

(c) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)

(d) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND) .

5.1 Lemma

(i) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) beweist (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)
(ii) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) beweist (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND).

Beweis:

Für (i) sei A(a) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} mit a ∉ FV (A(0)) und t ein Term aus L_{BA} . Da Induktionsregel und -axiom äquivalent sind, genügt es,

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), ¬∀x (A(x) → A(Sx)), A(|t|)

zu beweisen. Wir führen den Beweis informal in U_{2}^{i,w^{⋆}}. Gelte

¬A(|t|) (1)

und

∀x (¬A(Sx) → ¬A(x)) . (2)

Dann ist ¬A(0) zu zeigen. Dazu sei

B(b) ···≡ ¬A(|t| − · b)

für eine neue Variable b, dann ist B(b) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und aus (1) folgt

B(0) . (3)

Aus (2) erhalten wir

∀x (B(x) → B(Sx)) , (4)

denn gelte B(x) für ein beliebiges x, also

¬A(|t| − · x) . (5)

Ist |t|− · x = |t|− · Sx, so zeigt (5) ¬A(|t|− · Sx) . Sei also |t|− · x ≠ |t|− · Sx, dann zeigen die Axiome S(|t| − · Sx) = |t| − · x , also folgt ¬A(S(|t| − · Sx)) mit (5). Hieraus liefert nun die Voraussetzung (2) ¬A(|t| − · Sx) . In jedem Fall haben wir B(Sx) gezeigt, womit (4) bewiesen ist.

Aus (3) und (4) folgt mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) B(|t|), mithin ¬A(0).

Der gleiche Beweis mit A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Anwendung von (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) zeigt auch (ii). □

5.2 Lemma

(i) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) beweist (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND)

(ii) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) beweist (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND). Beweis:

Für (i) sei A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit a ∉ FV (A(0)) und t ein Term aus L_{BA} . Wie in 5.1 genügt es, das äquivalente Induktionsaxiom herzuleiten:

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), ¬∀x (A(⌊\frac{1}{2}x⌋) → A(x)), A(t) .

Wir argumentieren wieder informal in U_{2}^{i,w^{⋆}}. Gelte also

A(0) (1)

und

∀x (A(⌊\frac{1}{2}x⌋) → A(x)) , (2)

dann ist A(t) zu zeigen. Sei b eine neue Variable. Für B(b) ···≡ A(MSP(t, |t| − · b)) folgt aus (1)

B(0) , (3) denn die Axiome liefern MSP(t, |t| − · 0) = 0 . Um

∀x (B(x) → B(Sx)) (4)

zu zeigen, nehmen wir B(x) für ein beliebiges x an, also

A(MSP(t, |t| − · x)) . (5)

Ist x < |t|, so folgt aus den Axiomen

MSP(t, |t| − · x) = ⌊\frac{1}{2}MSP(t, |t| − · Sx)⌋ ,

also mit (5) A(⌊\frac{1}{2}MSP(t, |t| − · Sx)⌋) . Voraussetzung (2) darauf angewendet produziert A(MSP(t, |t| − · Sx)) , mithin B(Sx). Im anderen Fall ist x ≥ |t|, also |t| − · x = 0 = |t| − · Sx. Damit zeigt (5) A(⌊\frac{1}{2}MSP(t, |t| − · Sx)⌋) , mithin B(Sx). Insgesamt ist (4) gezeigt.

Aus (3) und (4) folgt mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) B(|t|), also

A(MSP(t, |t| − · |t|)) .

Kombinieren wir dies mit MSP(t, |t|− · |t|) = t , was wir aus den Axiomen extrahieren, so ergibt das

A(t) .

Der gleiche Beweis mit A(a) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} und Anwendung von (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) zeigt auch (ii). □

Die fehlenden Implikationen der behaupteten Äquivalenzen adaptieren wir aus [Buss 1986]:

5.3 Lemma

(i) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND) zeigt (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)

(ii) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND) beweist (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND). Beweis:

Für (i) sei A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit a ∉ FV (A(0)) und t ein Term aus L_{BA} . Wir zeigen wieder das äquivalente Axiom:

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), ¬∀x (A(x) → A(Sx)), A(|t|) .

Dazu sei B(a) ≡ A(|a|) . Es gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), B(0)

und

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬∀x (A(x) → A(Sx)), ∀x (B(⌊\frac{1}{2}x⌋) → B(x)) .

Nun ist B(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} , also folgt mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND)

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), ¬∀x (A(x) → A(Sx)), B(t) ,

was zu zeigen war.

Der gleiche Beweis mit A(a) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} und Anwendung von (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND) zeigt auch (ii). □

5.4 Korollar

Wir haben nun die Äquivalenz folgender Theorien gezeigt:

(a) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)

(b) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND)

(c) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND)

(d) U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-PIND) . □

Als nächsten Punkt beschäftigen wir uns mit logarithmischer Minimierung. Mit Satz 3.2 wissen wir schon, daß S_{2}^{1} + (Σ_{i}^{b}-LMIN) äquivalent zu S_{2}^{1} + (Π_{i}^{b}-PIND) ist. Wir haben eine analoge Aussage für U_{2}^{i,w^{⋆}}:

U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ist äquivalent zu U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) .

Dabei betrachten wir hier eine etwas andere Form des (Ψ-LMIN)-Axioms als in Abschnitt 3. Die dort verwendete Gestalt wird den Besonderheiten von U_{2}^{i,w^{⋆}} nicht gerecht, da erststufige, beschränkte Quantoren auftreten, die nicht scharf beschränkt sind.

(Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ∃x^{≤}|b| A(x) → ∃x^{≤}|b| (A(x) ∧ ∀y^{≤}|b| (y < x → ¬A(y)))

für A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit a ∉ FV (A(0)) .

5.5 Lemma

U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN) beweist (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND).

Beweis:

Wir nehmen an, es gelte

A(0) und ¬A(|t|)

für A(a) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}}. Dann existiert mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN) minimales x ≤ |t| mit ¬A(x). Wegen A(0) muß x > 0 sein, also folgt aus der Minimalität von x A(x − · 1). Mithin erhalten wir ∃x (A(x) ∧ ¬A(Sx)) . Damit haben wir

¬∀x (A(x) → A(Sx))

gezeigt, insgesamt also (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND). □

Die andere Richtung der oben behaupteten Äquivalenz liefert das folgende Lemma.

5.6 Lemma

U_{2}^{i,w^{⋆}} beweist (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN).

Beweis:

Sei A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und a ∉ FV (A(0)) . Der Beweis erfolgt in U_{2}^{i,w^{⋆}}.

Gelte ¬∃x^{≤}|b| (A(x) ∧ ∀y^{<}x ¬A(y)) , also

∀x^{≤}|b| (¬A(x) ∨ ∃y^{<}x A(y)) , (1)

dann ist ∀x^{≤}|b| ¬A(x) zu zeigen.

Dazu sei B(c) ···≡ ∀y^{≤}|b| (y ≤ c → ¬A(y)) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} für eine neue Variable c. Aus (1) folgt für x = 0 ¬A(0) und somit

B(0) . (2)

Um

∀z (B(z) → B(Sz)) (3)

zu erhalten, nehmen wir ein beliebiges z mit B(z), also

∀y^{≤}|b| (y ≤ z → ¬A(y)) , (4)

und schließen auf B(Sz) ≡ ∀y^{≤}|b| (y ≤ Sz → ¬A(y)) . Nach der Voraussetzung (4) gilt für y ≤ |b| und y ≤ z schon ¬A(y). Bleibt noch der Fall y ≤ |b| ∧ y ≤ Sz und y / ≤ z zu betrachten. Die Axiome stellen y = Sz ↔ (y / ≤ z ∧ y ≤ Sz) und w < Sz ↔ w ≤ z sicher, also erhalten wir mit (1)

¬A(Sz) ∨ ∃w^{≤}z A(w)) . (5)

Die Voraussetzung (4) zeigt ∀w^{≤}z ¬A(w) , daher ist in (5) das zweite Disjunktionsglied nicht erfüllt, also gilt ¬A(Sz) , d. h. ¬A(y) . Damit haben wir den Induktionsschritt (3) gezeigt.

Nun schließen wir mit (Π_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) aus (2) und (3) auf B(|b|) ≡ ∀y^{≤}|b| (y ≤|b| → ¬A(y)) , also auf

∀x^{≤}|b| ¬A(x) .  □

Nun kommen wir zu Funktionen f, die durch längenbeschränktes Zählen aus einer Formel A(a, b, c) definiert werden:

f(a, b) = #u^{≤}|a|A(a, b, u) .

In S_{2}^{1} sind solche f für A(a, b, c) ∈ Δ_{1}^{b} bezüglich S_{2}^{1} Σ_{1}^{b}-definierbar in S_{2}^{1}. Entsprechend gilt für A(a, b, c) ∈ Δ_{1}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}}, daß f Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbar über U_{2}^{1,w^{⋆}} ist.

5.7 Satz

Sei A(a, b, c) aus Δ_{1}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}}, FV (A) ⊂ {a, b, c} und sei f definiert durch längenbeschränktes Zählen nach A, also

f ··= λab.#u^{≤}|a|A(a, b, u) .

Dann ist f Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbar in U_{2}^{1,w^{⋆}}. Beweis:

Sei d eine neue Variable. Wir definieren eine Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel B(α, d, a, b), die folgendes beschreibt:

∀x^{≤}d (α(x) = #u^{≤}xA(a, b, u)) .

Wir müssen also beschreiben, daß α eingeschränkt auf {0, …, d} eine Funktion mit ∀x^{≤}d (α(x) ≤ Sx) ist:

∀x^{≤}|a| (x ≤ d → ∃y^{≤}S|a| (⟨x, y⟩ ∈ α ∧ y ≤ Sx)) (1)

∀x^{≤}|a| ∀y^{≤}S|a| ∀z^{≤}S|a| (⟨x, y⟩ ∈ α ∧ ⟨x, z⟩ ∈ α → y = z) , (2)

daß α(0) = \{ \begin{matrix}0 : & ¬A(a, b, 0) \\ 1 : & A(a, b, 0) \end{matrix} gilt:

(⟨0, 0⟩ ∈ α ∨ ⟨0, 1⟩ ∈ α) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ α ↔ A(a, b, 0)) , (3)

und daß für α(x) = y dann α(Sx) = \{ \begin{matrix}y : & ¬A(a, b, Sx) \\ Sy : & A(a, b, Sx) \end{matrix} ist:

{∀x^{≤}|a| ∀y^{≤}|a| (x < |a| ∧ x < d ∧ ⟨x, y⟩ ∈ α \atop → ((⟨Sx, y⟩ ∈ α ∨ ⟨Sx, Sy⟩ ∈ α) ∧ (⟨Sx, Sy⟩ ∈ α ↔ A(a, b, Sx)))) .} (4)

Die Konjunktion der Formeln (1) bis (4) ergibt B(α, d, a, b). Da A aus Δ_{1}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}} ist, ist ohne Einschränkung B ∈ Σ_{1}^{1,w^{⋆}} . Sei t ···≡ SqBd_{2}(2a + 1) , dann gilt

∀x^{≤}Sa ∀y^{≤}Sa (⟨x, y⟩ ≤ |t|) .

Wir zeigen nun U_{2}^{i,w^{⋆}} ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, |a|, a, b) durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach d in ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, d, a, b) . Es gilt:

(i) U_{2}^{1,w^{⋆}} ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, 0, a, b)

(ii) U_{2}^{1,w^{⋆}} ¬∃ϕ B(ϕ^{|t|}, d, a, b), ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, Sd, a, b) .

Denn (i) ergibt sich mit zweimal (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) aus

U_{2}^{1,w^{⋆}} B({⟨0, 0⟩}, 0, a, b), B({⟨0, 1⟩}, 0, a, b)

und (ii) erhalten wir durch zweimal (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) und (∀^{2}) aus

U_{2}^{1,w^{⋆}} ¬B(α^{|t|}, d, a, b), B(V_{1}, Sd, a, b), B(V_{2}, Sd, a, b)

mit

V_{1} = {u ≤ |t| : (β(1, u) ≤ d ∧ u ∈ α^{|t|}) ∨ ∃y^{≤}|a| (⟨d, y⟩ ∈ α^{|t|} ∧ ⟨Sd, y⟩ = u)}

und

V_{2} = {u ≤ |t| : (β(1, u) ≤ d ∧ u ∈ α^{|t|}) ∨ ∃y^{≤}|a| (⟨d, y⟩ ∈ α^{|t|} ∧ ⟨Sd, Sy⟩ = u)}

Nun ist ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, d, a, b) ∈ Σ_{1}^{1,w^{⋆}} , also zeigt (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) mit (ii) und (Schnitt) mit (i)

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∃ϕ B(ϕ^{|t|}, |a|, a, b) .

Sei C(a, b, e) die Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel

∃ϕ (B(ϕ^{|t|}, |a|, a, b) ∧ e ≤ |a| + 1 ∧ ⟨|a|, e⟩ ∈ ϕ^{|t|}) . Damit zeigt die Definition von B(α, d, a, b)

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∀x ∀y ∃z^{≤}S|x| C(x, y, z)

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∀x ∀y ∀z_{1} ∀z_{2} (C(x, y, z_{1}) ∧ C(x, y, z_{2}) → z_{1} = z_{2}) .

Des weiteren gilt IN ∀x ∀y C(x, y, f(x, y)) , denn wir erhalten für α ⊂ IN mit IN B(α^{|t|}, |a|, a, b) durch Induktion nach d

IN ∀x^{≤}d ∀y^{≤}S|a| (⟨x, y⟩ ∈ α^{|t|} ↔ y = #u^{≤}xA(a, b, u)) für d ≤ |a|. Mithin

\begin{aligned}C(a, b, e) & ⟺ & ⟨|a|, e⟩ ∈ α^{|t|} ∧ e ≤ |a| + 1 \\ & ⟺ & e = #u^{≤}|a|A(a, b, u) = f(a, b) . \end{aligned}

Also läßt sich f Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definieren bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}}. □

Bemerkung Die Aussage von Satz 5.7 läßt sich auch auf Formeln A(α, a, b, c) aus Δ_{1}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}} mit freien Mengenvariablen relativieren. Man erhält dann nur noch eine Quasifunktion F mit

F (α, a, b) = #u^{≤}|a|A(α, a, b, u) , die durch eine Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel C(α, a, b, e) definiert wird.

IN ∀ϕ ∀x ∀y (C(ϕ, x, y, #u^{≤}|x|A(ϕ, x, y, u))) Für C zeigt U_{2}^{i,w^{⋆}} die Funktionseigenschaft:

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∀ϕ ∀x ∀y ∃z^{≤}S|x| C(ϕ, x, y, z)

U_{2}^{1,w^{⋆}} ∀ϕ ∀x ∀y ∀z_{1} ∀z_{2} (C(ϕ, x, y, z_{1}) ∧ C(ϕ, x, y, z_{2}) → z_{1} = z_{2})

Diese Bemerkung geht in den Beweis von (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} in der Form ein, daß durch längenbeschränktes Zählen die Menge α^{|t|} ⊂ {u ≤ |t| : A(u)} maximert wird. Dann gilt auch die andere Inklusion und somit ist die Existenz eines α mit α^{|t|} = {u ≤ |t| : A(u)} gezeigt.

5.8 Satz

U_{2}^{i,w^{⋆}} beweist (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA). Beweis:

Sei A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} , t ein Term aus L_{BA} , b, c neue Variablen und

B(b) ···≡ ∃ϕ (#u^{≤}|t|(u ∈ ϕ^{|t|}) = b ∧ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} → A(x))) .

Die Bemerkung zu Satz 5.7 zeigt, daß #u^{≤}|t|(u ∈ ϕ^{|t|}) = b durch eine Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel beschrieben werden kann. Also ist B(b) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} . Um mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ein maximales b mit B(b) zu bestimmen, sei C(b) ···≡ B(|t| + 2 − · b) . Aus den Axiomen folgt U_{2}^{i,w^{⋆}} |4t + 2| = |t| + 2 , also erhalten wir

U_{2}^{i,w^{⋆}} C(|4t + 2|)

mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA), da #u^{≤}|t|(u ∈ ∅) = 0 ∧ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ∅ → A(x)) erfüllt ist.

Mit (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LMIN), Lemma 5.6, erhalten wir

U_{2}^{i,w^{⋆}} ∃y^{≤}|4t + 2| (C(y) ∧ ∀z^{≤}|4t + 2| (z < y → ¬C(z))) .

Nun argumentieren wir in U_{2}^{i,w^{⋆}}:

Sei y ≤ |t| + 2 mit

B(|t| + 2 − · y) (1)

und

∀z^{<}y ¬B(|t| + 2 − · z) , (2)

dann gibt es für k ··= |t| + 2 − · y ein ϕ mit

#u^{≤}|t|(u ∈ ϕ^{|t|}) = k & ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} → A(x)) . (3)

Da immer #u^{≤}|t|(…) ≤ |t| + 1 ist, muß k ≤ |t| + 1 und damit y > 0 sein. Also liefert (2)

¬B(k + 1) . (4)

Um ∀x^{≤}|t| (A(x) → x ∈ ϕ^{|t|}) einzusehen, nehmen wir an, daß ein x ≤ |t| mit A(x) und x∉ϕ^{|t|} existiert. Mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) existiert eine Menge ψ, für die ψ^{|t|}=ϕ^{|t|}∪{x} gilt. Dann erhalten wir

∀x^{≤}|t| (x ∈ ψ^{|t|} → A(x)) . (5)

Durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach d läßt sich

#u^{≤}d(u ∈ ψ^{|t|}) = \{ \begin{matrix}#u^{≤}d(u ∈ ϕ^{|t|}) : & d < x \\ #u^{≤}d(u ∈ ϕ^{|t|}) + 1 : & x ≤ d ≤ |t| \end{matrix}

zeigen, was für d = |t|

#u^{≤}|t|(u ∈ ψ^{|t|}) = k + 1

liefert. Dies ergibt mit (5) B(k + 1) im Widerspruch zu (4).

Es zeigt sich ∀x^{≤}|t| (A(x) → x ∈ ϕ^{|t|}) und somit ∀x^{≤}|t| (A(x) ↔ x ∈ ϕ^{|t|}) , also gilt die Behauptung. □

Um den erststufigen und zweitstufigen Bereich von U_{2}^{i,w^{⋆}} noch weiter zu charakterisieren, untersuchen wir, welche Form von Komprehension sich im erststufigen Bereich simulieren läßt. Wir haben unter anderem folgende Möglichkeiten, die Komprehension zu übertragen:

(i) ∃x ∀y^{<}a (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)

(ii) ∃x ∀y^{<}|a| (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)

(iii) ∃x ∀y^{<}||a|| (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1) .

Die erste Möglichkeit erscheint wenig erfolgversprechend, da x in der Größenordnung 2^{a} gewählt werden muß und die Exponentiation keine beweisbar totale Funktion in der beschränkten Arithmetik ist. Bei der zweiten Variante muß x in der Größenordnung a gewählt werden, der Existenzquantor läßt sich daher nicht scharf beschränken. Dies ist aber für U_{2}^{i,w^{⋆}} eine ungünstige Situation, da polynomiale Quantoren nur über die zweite Stufe in Σ^{1,w^{⋆}} realisiert werden. In der Tat werden wir im dritten Teil dieser Arbeit sehen, daß diese Formel in keinem Fragment U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisbar ist. Die dritte Variante sucht x im Bereich von |a|. Dies scheint die richtige Komplexität für U_{2}^{i,w^{⋆}} zu sein. Die unten gewählt Grenze für x läßt sich wie folgt berechnen. Für a = 0 ist

∑_{i<||0||}(i)α · 2^{i} = 0 = 2 · |a| − · 1 .

Ist 2^{b} ≤ |a| < 2^{b+1} , so gilt ||a|| = b + 1 , mithin

∑_{i<||a||}(i)α · 2^{i} ≤ 2^{|^{|a|}|} − · 1 = 2^{b+1} − · 1 = 2 · 2^{b} − · 1 ≤ 2 · |a| − · 1 .

Nun ist |2#a| = S(|2| · |a|) = 2 · |a| + 1 .

5.9 Satz

U_{2}^{0,w^{⋆}} ∃x^{≤}|2#a| ∀y^{<}||a|| (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)

Beweis:

Im weiteren argumentieren wir in U_{2}^{0,w^{⋆}}. Wir betrachten folgende Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Formel:

B(b) ···≡ ∃x^{≤}|2#b| (|x| ≤ ||b|| ∧ ∀y^{<}||b|| (y < ||a|| →
((||a|| − · ||b||) + y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1))) .

Es gilt B(a) → ∃x^{≤}|2#a| ∀y^{<}||a|| (y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1) . Darum zeigen wir durch (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-PIND) nach a B(a) . Da mit |0| = 0 auch ||0|| = 0 ist, gilt

|0| ≤ ||0|| ∧ ∀y^{<}||0|| (…) . Also ergibt sich der Induktionsanfang

B(0) . (1) Für den Induktionsschritt ist

∀z (B(⌊\frac{1}{2}z⌋) → B(z)) (2) zu zeigen, was für z =0 trivial ist. Darum nehmen wir an, es gelte z >0 und B(⌊\frac{1}{2}z⌋) . Dann existiert x ≤ |2#⌊\frac{1}{2}z⌋| mit |x| ≤ ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| und

{∀y^{<}||⌊\frac{1}{2}z⌋|| (y < ||a|| → \atop ((||a|| − · ||⌊\frac{1}{2}z⌋||) + y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)) .} (3)

Ist ||z|| = ||⌊\frac{1}{2}z⌋||, so ist nichts zu zeigen, da x ≤ |2#⌊\frac{1}{2}z⌋| ≤ |2#z| gilt. Sei also ||z|| > ||⌊\frac{1}{2}z⌋||. Dann ist

||z|| = S||⌊\frac{1}{2}z⌋|| , (4) da |z| = S|⌊\frac{1}{2}z⌋| und somit ||z|| = |S|⌊\frac{1}{2}z⌋|| ≤ S||⌊\frac{1}{2}z⌋||. Für ||z|| > ||a|| gilt mit (4) ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| ≥ ||a||, also folgt

||a|| − · ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| = 0 = ||a|| − · ||z|| und aus y < ||a|| schon y < ||⌊\frac{1}{2}z⌋||; somit liefert uns (3)

∀y^{<}||z|| (y < ||a|| → ((||a|| − · ||z||) + y ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)) . Mithin B(z) , da wieder x ≤ |2#⌊\frac{1}{2}z⌋| ≤ |2#z| gilt. Ist ||z|| ≤ ||a||, dann folgt mit (4) ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| < ||a||, also

||a|| − · ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| = S(||a|| − · S||⌊\frac{1}{2}z⌋||) = S(||a|| − · ||z||) .

Nun zeigt (3)

∀y^{<}||⌊\frac{1}{2}z⌋|| (y < ||a|| → ((||a|| − · ||z||) + Sy ∈ α ↔ Bit(y, x) = 1)) .

Dies impliziert für x̃ = 2 · x und x̃ = 2 · x + 1 , da Bit(y, x) = Bit(Sy, x̃) ,

∀y^{<}||z|| (0 < y < ||a|| → ((||a|| − · ||z||) + y ∈ α ↔ Bit(y, x̃) = 1)) . (5)

Für y = 0 unterscheiden wir zwei Fälle. Ist ||a|| − · ||z|| ∈ α, dann gilt wegen (5) und Bit(0, 2 · x + 1) = 1

∀y^{<}||z|| (y < ||a|| → ((||a|| − · ||z||) + y ∈ α ↔ Bit(y, 2 · x + 1) = 1)) . (6) Wir beobachten

|2 · x + 1| = |x| + 1 ≤ ||⌊\frac{1}{2}z⌋|| + 1 = ||z|| (7) und

||2#z|| = |S(2 · |z|)| = ||z|| + 1 ,

woraus

2 · x + 1 < |2#z| (8) folgt. Also liefern (6), (7) und (8) B(z) .

Im anderen Fall ist ||a|| − · ||z|| ∉ α, also gilt wegen Bit(0, 2 · x) ≠ 1 und (5)

∀y^{<}||z|| (y < ||a|| → ((||a|| − · ||z||) + y ∈ α ↔ Bit(y, 2 · x) = 1)) . (9)

Mit (7) und (8) folgt

|2 · x| ≤ |2 · x + 1| ≤ ||z||

und

2 · x < 2 · x + 1 < |2#z| .

Dies zusammen mit (9) ergibt auch hier B(z) . Mithin ist (2) gezeigt.

(1) und (2) liefern mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-PIND)

B(a) , was zu zeigen war. □

Die letzten Aussagen drehen sich um definierbare Funktionen und Prädikate, die ja ganz allgemein eine definitorische Erweiterung bilden. Aus der Gültigkeit von (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} ergibt sich eine verschärfte Konservativitätsaussage für die Hinzunahme von Σ_{1}^{1,w^{⋆}}- definierbaren Funktionen f⃗ und Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbaren Prädikaten p⃗ bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}}:

U_{2}^{0,w^{⋆}} + (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗)-LIND) + (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗)-CA)+ definierende Axiome für f⃗ und p⃗ ist konservativ über U_{2}^{i,w^{⋆}} für i > 0.

Die Verschärfung besteht hier in der uneingeschränkten Verwendung der definierbaren Funktions- und Prädikatszeichen auch in den Komprehensionsaxiomen. Der nächste Satz kann durch die gleiche Begründung wie Satz 3.4 bewiesen werden.

5.10 Satz

Seien f_{1}, …, f_{k} Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbare Funktionen und p_{1}, …, p_{l} Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbare Prädikate bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}}, i > 0. IF sei das Fragment U_{2}^{i,w^{⋆}} erweitert um f⃗ und p⃗ als neue Funktions-/Prädikatssymbole und deren definierenden Axiome.

Damit gilt für k > 0: ist B ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗) oder B ∈ Π_{k}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗), dann gibt es B^{∗} ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}} bzw. B^{∗} ∈ Π_{k}^{1,w^{⋆}} mit IF B ↔ B^{∗}. □

Da (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisbar ist, erhalten wir folgendes verschärftes Konservativitätsresultat.

5.11 Korollar

Seien f_{1}, …, f_{k} Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbare Funktionen und p_{1}, …, p_{l} Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbare Prädikate bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}}, i > 0. IF sei das Fragment U_{2}^{i,w^{⋆}} erweitert um f_{1}, …, f_{k}, p_{1}, …, p_{l} als neue Funktions-/Prädikatssymbole, deren definierenden Axiome, alle (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗)-LIND) und (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}(f⃗, p⃗)-CR) Schlüsse.

Dann ist IF eine konservative Erweiterung von U_{2}^{i,w^{⋆}}. □

Durch die Gültigkeit von (wΣ_{1}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} für i > 0 erhalten Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-Prädikate eine besondere Bedeutung, was auch schon aus dem letzten Korollar ersichtlich ist. Wir zeigen, daß freie Mengenvariablen in einer U_{2}^{1,w^{⋆}}-Herleitung durch Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-Klassenterme substituiert werden können, was wegen der auf scharf beschränkte Klassenterme eingeschränkten Komprehension nicht unproblematisch ist.

6 Δ_{1}^{1,w^{⋆}}-Klassenterme

Substituiert man für i > 0 in eine Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-Formel F (α) einen Klassenterm {u : A(u)} der Komplexität Δ_{1}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{1,w^{⋆}}, so ist F (A(.)) i. allg. keine Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-Formel mehr. Nun existieren aber zu A Formeln B, ¬C ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit U_{2}^{1,w^{⋆}} A ↔ B und U_{2}^{1,w^{⋆}} A ↔ C . Wird α in F (α) asymmetrisch durch B(.) bzw. C(.) ersetzt, so erhalten wir eine Formel G ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit U_{2}^{1,w^{⋆}} F (A(.)) ↔ G. Daher sind die substituierten Induktions- und Komprehensionsschlüsse, die ursprünglich an die Formelmenge Σ_{i}^{1,w^{⋆}} gebunden sind, in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisbar, da (wΣ_{1}^{1,w^{⋆}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} gilt. Diese Substitutionseigenschaft zu erarbeiten ist das Hauptanliegen dieses Abschnitts.

Zuerst vergrößern wir die Formelmengen Σ^{1,w^{⋆}} und Π^{1,w^{⋆}} vermöge der Äquivalenzrelation auf den Formeln, die durch U_{2}^{1,w^{⋆}} A ↔ B gegeben ist.

6.1 Definition

Sei IF ein Fragment der Beschränkten Arithmetik und Ψ eine Formelmenge, so sei ΨIF definiert durch

F ∈ ΨIF :⟺ es gibt G ∈ Ψ mit IF F ↔ G .

Speziell sei

Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ··= (Σ_{i}^{1,w^{⋆}})U_{2}^{1,w^{⋆}} ∩ Σ^{1,w^{⋆}}
Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ··= (Π_{i}^{1,w^{⋆}})U_{2}^{1,w^{⋆}} ∩ Σ^{1,w^{⋆}}
Δ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ··= Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ∩ Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

6.2 Lemma

Für i > 0 beweist U_{2}^{i,w^{⋆}} (Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-LIND) und (wΣ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA).

Beweis:

Sei A(a) ∈ Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , d. h. es gibt B(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit

U_{2}^{i,w^{⋆}} ∀x (A(x) ↔ B(x)) . (1)

Um das Induktionsaxiom zu beweisen, betrachten wir (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) für B:

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬B(0), ¬∀x (B(x) → B(Sx)), B(|t|) .

Mit (1) folgt aus diesem

U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬A(0), ¬∀x (A(x) → A(Sx)), A(|t|) ,

also (Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-LIND).

Entsprechendes gilt für die Komprehension. Wir wissen nach Satz 5.8, daß U_{2}^{i,w^{⋆}} (wΣ_{i}^{1,w^{⋆}}-CA) beweist, also gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ B(x)) .

Mit (1) folgt wieder U_{2}^{i,w^{⋆}} ∃ϕ ∀x^{≤}|t| (x ∈ ϕ^{|t|} ↔ A(x)) ,

mithin (wΣ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA). □

Nach diesen einführenden Betrachtungen wollen wir jetzt zeigen, daß für k >0 die Formelmengen Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}, Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Δ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} abgeschlossen sind unter Substitution von Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}- Klassentermen. Dazu sei A(a) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , F ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , dann gibt es G ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}} mit U_{2}^{1,w^{⋆}} F ↔ G. Nun möchten wir folgern, daß auch U_{2}^{1,w^{⋆}} Fα(A(.)) ↔ Gα(A(.)) und Gα(A(.)) ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} gilt. Also müssen wir zuerst folgende Zwischenschritte zeigen:

(i) G ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}}(Π_{k}^{1,w^{⋆}}) und A(a) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⟹ Gα(A(.)) ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} (Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} )

(ii) Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} , A(a) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) .

Um zu zeigen, daß in dem Beweis der Ersetzung (ii) (Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) in (Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-LIND) und (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) in (wΣ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA) übergeht, benötigen wir den Teil (i). Darum ist die Reihenfolge der Teilschritte zwingend.

6.3 Definition Eine Formelmenge Ψ heißt abgeschlossen unter

(a) ∧, ∨, wenn mit A, B ∈ Ψ auch A ∧ B bzw. A ∨ B ∈ Ψ sind.

(b) ∀x^{≤}|t| , ∃x^{≤}|t|, wenn für beliebige Terme t und Variablen a, x mit A(a) ∈ Ψ auch ∀x^{≤}|t| A(x) bzw. ∃x^{≤}|t| A(x) ∈ Ψ sind.

(c) ∀ϕ^{|t|} , ∃ϕ^{|t|}, wenn für beliebige Terme t und Variablen α, ϕ mit A(α) ∈ Ψ auch ∀ϕ A(ϕ^{|t|}) bzw. ∃ϕ A(ϕ^{|t|}) ∈ Ψ sind.

(d) ¬, wenn mit A ∈ Ψ auch ¬A ∈ Ψ ist.

6.4 Lemma

(i) Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Δ_{i+1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Δ_{i+1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}.

(ii) Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}, Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Δ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} sind abgeschlossen unter ∧, ∨, ∀x^{≤}|t| und ∃x^{≤}|t|.

(iii) Für i>0 ist Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} abgeschlossen unter ∃ϕ^{|t|} und Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} abgeschlossen unter ∀ϕ^{|t|}.

(iv) Δ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ist abgeschlossen unter ¬. Beweis:

(i) Da Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ∪ Π_{i}^{1,w^{⋆}} ⊂ Σ_{i+1}^{1,w^{⋆}} ∩ Π_{i+1}^{1,w^{⋆}} , folgt Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Δ_{i+1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂

Δ_{i+1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} sofort aus der Definition von Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}, Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Δ_{i+1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}.

(ii) Nach Definiton sind Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Π_{i}^{1,w^{⋆}} abgeschlossen unter ∧, ∨, ∀x^{≤}|t| , ∃x^{≤}|t| .

Daraus ergibt sich der Abschluß von Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}, Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Δ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} unter ∧, ∨, ∀x^{≤}|t| , ∃x^{≤}|t| .

(iii) Entsprechend zu (ii) folgt die Behauptung aus der Abgeschlossenheit von Σ_{i}^{1,w^{⋆}} unter ∃ϕ^{|t|} und der Abgeschlossenheit von Π_{i}^{1,w^{⋆}} unter ∀ϕ^{|t|} für i > 0.

(iv) Hier folgt die Behauptung aus dem Dualitätsprinzip für Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und Π_{i}^{1,w^{⋆}}:

A ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ⟺ ¬A ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}}  □

6.5 Lemma

Sei A(a) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , dann gilt für beliebige Formeln F:

∀k > 0 : (i) F ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , (ii) F ∈ Π_{k}^{1,w^{⋆}} ⟹ Fα(A(.)) ∈ Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} . (1)

Beweis:

Wir zeigen (1) durch Induktion nach der Länge von F. Als Induktionsvoraussetzung haben wir dann (1) für alle Formeln G mit L(G) < L(F). Dabei betrachten wir nur (i), (ii) läßt sich dual beweisen. Sei also k > 0 und F ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}} .

(a) Ist F eine Primformel, so ist Fα(A(.)) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

(b) Ist F ≡ G ∘ H , F ≡ Qx^{≤}|t| G(x) für ∘ ∈ {∧, ∨} , Q ∈ {∀, ∃} oder F ≡ ∃ϕ G(ϕ) , so folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung und der Ab-

geschlossenheit von Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} unter ∧, ∨, ∀x^{≤}|t| , ∃x^{≤}|t| und ∃ϕ^{|t|} .

(c) Ist F ≡ ∀ϕ G(ϕ) , dann muß F ∈ Π_{k−1}^{1,w^{⋆}} und k > 1 sein, da F ∉ Σ_{1}^{1,w^{⋆}} ist. Außerdem gibt es eine Formel H ∈ Π_{k−1}^{1,w^{⋆}} und einen Term t mit F ≡ ∀ϕ H(ϕ^{|t|}) .

Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir H(β)α(A(.)) ∈ Π_{k−1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und

wegen der Abgeschlossenheit von Π_{k−1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} unter ∀ϕ^{|t|} auch
Fα(A(.)) ≡ ∀ϕ (H(β)α(A(.))β(ϕ^{|t|})) ∈ Π_{k−1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

Wegen Π_{k−1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Δ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ⊂ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} folgt die Behauptung. □

Im folgenden sei i>0. Das letzte Lemma hat uns gezeigt, daß für A ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} die ersetz-

te Formel Fα(A(.)) in der entsprechenden Formelmenge Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}/Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} wie F liegt.

Damit haben wir gute Karten, um die Ersetzung von Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Klassentermen bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}} zu beweisen. Denn nun haben wir sichergestellt, daß aus einer Hauptformel von

(Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) eine Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formel und aus einer Hauptformel von (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) eine

Σ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formel wird. (wΣ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA) ist aber in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisbar. Doch vorher müssen wir uns noch mit dem technischen Detail der Vertauschung der Reihenfolge von Klassentermsubstitutionen beschäftigen.

6.6 Lemma

Seien A(a), B(a) Formeln mit β ∉ FV (A) und α ≢ β . Weiter sei F eine Formel, und es gelte

BV (F) ∩ BV (B) = ∅ und BV (Fβ(B(.))) ∩ BV (A) = ∅ . (1)

Dann gilt:

(Fβ(B(.)))α(A(.)) ≡ (Fα(A(.)))β({u : B(u)α(A(.))}) .

Die Ersetzungen sind alle wegen (1) wohldefiniert. Beweis durch Induktion nach der Länge von F:

Ist F eine Primformel, so werden folgende Fälle unterschieden:

(i)  β ∉ FV (F) ,  (a)

dann gilt mit (1)

β ∉ FV (Fα(A(.)) , (b)

mithin

(Fβ(B(.)))α(A(.))
≡^{(a)} Fα(A(.))
≡^{(b)} (Fα(A(.)))β({u : B(u)α(A(.))}) .

(ii) F ≡ t ∈ β für ein t, dann ist

((t ∈ β)β(B(.)))α(A(.))

≡^{(c)} (B(t))α(A(.))
≡^{(d)} ((t ∈ β)α(A(.)))β({u : B(u)α(A(.))})

mit (c): Definition der Ersetzung, (d): α ≢ β .

(iii) F ≡ t ∉ β für ein t, dann ist

((t ∉ β)β(B(.)))α(A(.))
≡^{(e)} (¬B(t))α(A(.))
≡^{(f)} ((t ∉ β)α(A(.)))β({u : B(u)α(A(.))})

mit (e): Definition der Ersetzung, (f): α ≢ β .

Wenn F keine Primformel ist, dann folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung und der Definition der Ersetzung. □

Bei der Ersetzung freier Mengenvariablen durch Klassenterme in U_{2}^{i,w^{⋆}}-Herleitungen von Σ^{1,w^{⋆}}-Formelmengen geht wesentlich die partielle Schnittelimination ein, damit alle Formeln in der Herleitung aus Σ^{1,w^{⋆}} sind. Dies ist wichtig, damit jede in der Herleitung auftretende zweitstufige Existenzformel die Gestalt ∃ϕ F (ϕ^{|t|}) für eine Formel F (β) und einen Term t hat. Denn dann geht ein (∃^{2})-Schluß in der Herleitung in einen (wΣ_{1}^{1,w^{⋆}}-CA)- Schluß über.

\frac{Γ, F (α^{|t|})}{Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|})}  ⇝  \frac{Γα(A(.)), Fα, β(A(.), \{u ≤ |t| : A(u)\})}{Γα(A(.)), (∃ϕ F (ϕ^{|t|}))α(A(.))}

6.7 Satz

Sei i > 0 und A(a) ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} , dann gilt für Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} mit BV (A) ∩ BV (Γ) = ∅:

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) .

Beweis:

Aus dem Eliminationssatz 4.14 folgt U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ für ein m < ω. Wir zeigen nun die Behauptung durch Induktion nach m.

Ist Γ ein logisches Axiom, dann ergibt sich aus dem Tautologielemma 4.6 (i) U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) .

Falls t≠s , t∉α , s∈α ∈ Γ ist, folgt U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) aus dem Gleichheitslemma 4.6 (ii).

Ansonsten enthält die Hauptformel α nicht als freie Variable. Darum hat Γα(A(.)) dieselbe axiomatische Hauptformel wie Γ, und es gilt U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) .

Bleiben noch folgende Fälle zu untersuchen:

War der letzte Schluß (∧), (∨), (∀^{≤}) oder (∃^{≤}), so folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung mit demselben Schluß unter Berücksichtigung der Bemerkung an Lemma 4.5.

(Schnitt) Als letzter Schluß lag vor

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m_{1}}_{1} Γ, F und U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m_{2}}_{1} Γ, ¬F ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ

mit m_{1}, m_{2} < m und U_{2}^{i,w^{⋆}}-rg(F) = 0 . Also ist Γ, F ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} . Wir können mit Lemma 4.5 ohne Einschränkung annehmen, daß BV (A) ∩ BV (F) = ∅ ist, dann liefert die Induktionsvoraussetzung

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), Fα(A(.)) und
U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), (¬F)α(A(.)) .

Nun ist (¬F)α(A(.)) ≡ ¬Fα(A(.)) , also folgt mit einem (Schnitt)

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)) .

(∀^{2}) Der letzte Schluß hatte die Gestalt

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m′}_{1} Γ, ∀ϕ F (ϕ), F (β) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ, ∀ϕ F (ϕ)

mit β ∉ FV (Γ, ∀ϕ F (ϕ), A) ∪ {α} und m′ < m. Dann folgt aus der Induktionsvoraussetzung mit Γ, ∀ϕ F (ϕ), F (β) ⊂ Σ^{1,w^{⋆}}

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), (∀ϕ F (ϕ))α(A(.)), F (β)α(A(.)) .

Mit (∀^{2}) folgt wegen β ∉ FV (Γα(A(.)), (∀ϕ F (ϕ))α(A(.)))

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), (∀ϕ F (ϕ))α(A(.)) .

(∃^{2}) Dieser Schluß läßt sich als (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) auffassen, da Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} ist:

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m′}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ), F (β) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ)

mit m′ < m. Da ∃ϕ F (ϕ) ∈ Σ^{1,w^{⋆}} ist, gibt es einen Term t und eine Formel G mit

F (β) ≡ G(β^{|t|}) .

Also läßt sich der obige Schluß schreiben als

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m′}_{1} Γ, ∃ϕ G(ϕ^{|t|}), G({u ≤ |t| : u ∈ β})
⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ, ∃ϕ G(ϕ^{|t|}) ,

was als eine Anwendung von (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) gelesen werden kann.

(wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) Für ein B(b) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} und m′ < m gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m′}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|}), F ({u ≤ |t| : B(u)})
⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|}) .

Ohne Einschränkung gelte BV (B) ∩ BV (A) = ∅ und b ∉ FV (A) . Sei β eine neue Variable, dann folgt aus der Induktionsvoraussetzung

\begin{aligned}U_{2}^{i,w^{⋆}} & Γα(A(.)), (∃ϕ F (ϕ^{|t|}))α(A(.)), \\ & (Fβ(\{u ≤ |t| : B(u)\}))α(A(.)) . \end{aligned}  (1)

Da nun nach Lemma 6.6

(F ({u ≤ |t| : B(u)}))α(A(.))
≡ (F (β)α(A(.)))β({u ≤ |t| : B(u)α(A(.))}) ,

nach Lemma 6.5 (i) B(b)α(A(.)) ∈ Σ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und nach Lemma 6.2 (wΣ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA) in U_{2}^{i,w^{⋆}} gilt, folgt aus (1)

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), (∃ϕ F (ϕ^{|t|}))α(A(.)), ∃ϕ (F (β)α(A(.)))β(ϕ^{|t|}) . (2)

Mit Lemma 6.6 folgt

∃ϕ (F (β)α(A(.)))β(ϕ^{|t|}) ≡ ∃ϕ (F (β^{|t|})α(A(.)))β(ϕ)
≡ (∃ϕ F (ϕ^{|t|}))α(A(.)) ,

also zeigt (2) die Behauptung.

(Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) Für ein F (b) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und m′ < m mit b ∉ FV (Γ, F (0)) gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m′}_{1} Γ, ¬F (b), F (Sb) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ, ¬F (0), F (|t|) .

Nach der Bemerkung an Lemma 4.5 sei ohne Einschränkung b ∉ FV (A) . Dann liefert die Induktionsvoraussetzung

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), ¬Fα(A(.))(b), Fα(A(.))(Sb) .

Nun ergibt (Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-LIND) wegen b ∉ FV (Γα(A(.)), Fα(A(.))(0))

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γα(A(.)), ¬Fα(A(.))(0), Fα(A(.))(|t|) ,

woraus die Behauptung folgt. □

6.8 Satz Für k > 0 sind die Formelmengen Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}, Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und Δ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} abgeschlossen unter Substitution von Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} Klassentermen.

Beweis:

Sei A ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} . Für F ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} gibt es eine Formel G ∈ Σ_{k}^{1,w^{⋆}} mit

U_{2}^{i,w^{⋆}} F ↔ G . Da F ∈ Σ^{1,w^{⋆}} ist, ist auch F ↔ G ∈ Σ^{1,w^{⋆}} , also zeigt der Einsetzungssatz 6.7

U_{2}^{i,w^{⋆}} Fα(A(.)) ↔ Gα(A(.)) . Mit Gα(A(.)) ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} nach Lemma 6.5 (ii) ist dann auch Fα(A(.)) ∈ Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} . Dual zeigt man die Behauptung für Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}. Da Δ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} = Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ∩ Π_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ist, folgt aus den ersten beiden Resultaten auch die Behauptung für F ∈ Δ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} . □

Nun beginnen wir mit der Übersetzung von Σ^{b} in Σ^{1,w^{⋆}}. Terme werden in Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}- Klassenterme und darauf aufbauend Σ_{k}^{b}-Formeln in Σ_{k}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formeln übersetzt.

7 Interpretation von Σ^{b} in Σ^{1,w^{⋆}}

Zwecks Charakterisierung von Δ_{i}^{p} in U_{2}^{i,w^{⋆}} durch den erststufigen Hauptsatz der Beschränkten Arithmetik 3.7 wird eine natürliche Interpretation ^{w} der Terme und Formeln von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}} gesucht, so daß für Γ ⊂ Σ^{b} und i > 0

S_{2}^{i} Γ ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}

gilt. Als Vorlage dient uns dabei [Takeuti 1988] Seite 88 ff. und [Takeuti 1991].

Da die Induktionen immer auf gewisse Formelmengen eingeschränkt sind, muß die Interpretation diese respektieren. Das heißt, wir müssen Σ_{i}^{b}-Formeln in Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formeln überführen: ein beschränkter, nicht scharf beschränkter Quantor Qx^{≤}t muß durch einen zweitstufigen Quantor Qϕ^{|t|} über scharf beschränkte Anfangsstücke von Mengen, im weiteren scharfe Anfangsstücke genannt, ersetzt werden. Aus technischen Gründen betrachten wir folgende Zuordnung von Variablentupeln auf scharfe Anfangsstücke

(a, α) ⟼ α^{^{<}|a|} ··= {u < |a| : u ∈ α} ,

denn dann gilt im Standardmodell der Arithmetik (IN, P(IN), …) für beliebiges α

α^{^{<}|0|} = ∅ .

Diese Interpretation hat zur Folge, daß wir in U_{2}^{i,w^{⋆}} Quasiterme und Quasiformeln entwickeln müssen, die statt auf Individuenvariablen auf scharfen Anfangsstücken leben. Wir geben Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Formeln an, die die Prädikatszeichen =, ≠, ≤ und / ≤ repräsentieren.

Für die Funktionszeichen f aus 0, S, ⌊\frac{1}{2}.⌋, |.|, +, · und # entwickeln wir Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}- Formeln F_{f} und Beschränkungsterme T_{f}, so daß mit U_{f} ···≡ {u : F_{f}(u)} das scharfe

Anfangsstück U_{f}^{<|T_{f}|} die Funktion f repräsentiert. Bezogen auf das Standardmodell der Arithmetik (IN, P(IN), …) geben wir Heuristiken an, die auch gleichzeitig als Begründung für die Korrektheit der gewählten Interpretation, Satz 7.4, dienen: sei A ∈ Σ^{b} mit FV (A) ⊂ {a_{1}, …, a_{k}}, dann gilt mit U(a) ···≡ {u : Bit(u, a) = 1}

(IN, P(IN), …) A ↔ Aα_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) .

Fassen wir α^{^{<}|a|} als eine Binärdarstellung der Zahl

∑_{i<|a|}(i)α · 2^{i} =_{bin} (|a| − 1)α … (0)α mit (i)α = \{ \begin{matrix}0 : & i ∉ α \\ 1 : & i ∈ α \end{matrix}

auf, dann läßt sich die Korrektheit einer Funktionsinterpretation auch so formulieren:

f(…, α_{i}^{<|a_{i}|}, …) = {u : F_{f}(a⃗, α⃗, u)}^{^{<}|T_{f} (a⃗)|} .

Wir bezeichnen mit v(α^{^{<}|a|}), dem Volumen des scharfen Anfangsstücks, das kleinste Ele-

ment, das größer ist als alle Elemente aus α^{^{<}|a|}. Mit v ··= v(α^{^{<}|a|}) erhalten wir

v ≤ |a| und α^{^{<}|a|} = α^{<v} .

Diese Definition wird uns helfen, die richtige Wahl der Schranken für die Anfangsstücke der Funktionsinterpretationen zu treffen.

Wir fangen mit der Interpretation der Primformeln an. Mit der Betrachtung als Binärdarstellung einer Zahl ist α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} äquivalent dazu, daß α^{^{<}|a|} und β^{^{<}|b|} Bit-Weise übereinstimmen, also äquivalent zur extensionalen Mengengleichheit von α^{^{<}|a|} und β^{^{<}|b|}. Für ”<“ beobachten wir

α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}
⟺ (|a| − 1)α … (0)α < (|b| − 1)β … (0)β
⟺ (|a| − 1)α^{^{<}|a|} ≤ (|b| − 1)β^{^{<}|b|} , …, (x + 1)α^{^{<}|a|} ≤ (x + 1)β^{^{<}|b|} ,
0 = (x)α^{^{<}|a|} < (x)β^{^{<}|b|} = 1 für ein x < |b| .

Dies führt zu folgenden Definitionen:

7.1 Definition

α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} ···≡ ∀x^{<}|a| (x ∈ α^{^{<}|a|} → x ∈ β^{^{<}|b|}) ∧
∀x^{<}|b| (x ∈ β^{^{<}|b|} → x ∈ α^{^{<}|a|})
α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|} ···≡ ∃x^{<}|b| (x ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x ∉ α^{^{<}|a|} ∧
∀y^{<}|a| (x < y ∧ y ∈ α^{^{<}|a|} → y ∈ β^{^{<}|b|}))
α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|} ···≡ α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} ∨ α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}

Nun entwickeln wir in U_{2}^{1,w^{⋆}} auf den scharfen Anfangsstücken die Funktionen aus S_{2}^{i}, wobei wir die oben beschriebene Korrektheitsbedingung respektieren.

0: Hier setzen wir

T_{0} ···≡ 0
F_{0}(c) ···≡ c ≠ c .

S: Sei w≤|a| und z als Wort über dem Alphabet {0, 1} so bestimmt, daß (w)α^{^{<}|a|} =0 und

α^{^{<}|a|} = (|a| − 1)α … (0)α = (|a| − 1)α … (w)α^{^{<}|a|}1 … 1 = z(w)α^{^{<}|a|}1 … 1

gilt, dann ist

S(α^{^{<}|a|}) = z10 … 0

und somit

v(S(α^{^{<}|a|})) ≤ v(α^{^{<}|a|}) + 1 ≤ |a| + 1 .

Also definieren wir

T_{S}(a) ···≡ 2 · a + 1
F_{S}(a, α, c) ···≡ ∃w^{≤}|a| (w ∉ α^{^{<}|a|} ∧ ∀v^{≤}|a| (v < w → v ∈ α^{^{<}|a|}) ∧
(c = w ∨ (c > w ∧ c ∈ α^{^{<}|a|})))

⌊\frac{1}{2}.⌋: Es ist

⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋ = (|a| − 1)α … (1)α ,

also

v(⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋) ≤ v(α^{^{<}|a|}) − · 1 ≤ |a| − · 1 .

Dies führt zu

T_{⌊ \frac{1}{2} .⌋}(a) ···≡ ⌊\frac{1}{2}a⌋
F_{⌊ \frac{1}{2} .⌋}(a, α, c) ···≡ Sc ∈ α^{^{<}|a|}

|.|: Wir wählen w ≤ |a| mit

α^{^{<}|a|} = (w − 1)α … (0)α und [(w − 1)α = 1 oder w = 0] .

Dann ist

|α^{^{<}|a|}| = w

also gilt

v(|α^{^{<}|a|}|) = |w| ≤ ||a|| .

Wir definieren

T_{|.|}(a) ···≡ |a|
F_{|.|}(a, α, c) ···≡ ∃w^{≤}|a| (Bit(c, w) = 1 ∧ (w = 0 ∨ w − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}) ∧
∀v^{<}|a| (w ≤ v → v ∉ α^{^{<}|a|}))

#: Wieder wählen wir v_{1} ≤ |a| und v_{2} ≤ |b| mit

α^{^{<}|a|} = (v_{1} − 1)α … (0)α und [(v_{1} − 1)α = 1 oder v_{1} = 0]

und

β^{^{<}|b|} = (v_{2} − 1)β … (0)β und [(v_{2} − 1)β = 1 oder v_{2} = 0] .

Dann ist

α^{^{<}|a|}#β^{^{<}|b|} = {v_{1} · v_{2}}

und somit

v(α^{^{<}|a|}#β^{^{<}|b|}) = v_{1} · v_{2} + 1 ≤ |a| · |b| + 1 = |a#b| .

Also definieren wir

T_{#}(a, b) ···≡ a#b
F_{#}(a, b, α, β, c) ···≡ ∃v_{1}^{≤}|a| ∃v_{2}^{≤}|b| (c = v_{1} · v_{2} ∧ ; (v_{1}=0 ∨ v_{1}− · 1∈α^{^{<}|a|}) ∧ ∀w^{<}|a| (v_{1}≤w → w∉α^{^{<}|a|}) ∧ ; (v_{2} =0 ∨ v_{2} − · 1∈β^{^{<}|b|}) ∧ ∀w^{<}|b| (v_{2} ≤w → w∉β^{^{<}|b|}))

+: Es gilt

u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}

genau dann, wenn

(i) (u)α^{^{<}|a|} ≠ (u)β^{^{<}|b|} und kein Übertrag trat auf, d. h. u = 0 oder

∃v^{<}u [v = 0 oder (v − · 1)α^{^{<}|a|} = (v − · 1)β^{^{<}|b|} = 0] und

∀w^{<}u [v ≤ w → (w)α^{^{<}|a|} = 0 oder (w)β^{^{<}|b|} = 0] .

In beiden Fällen ist

u < Max(|a|, |b|) ≤ |2 · (a + b)| .

(ii) (u)α^{^{<}|a|} = (u)β^{^{<}|b|} und ein Übertrag trat auf, also

∃v^{<}u (v)α^{^{<}|a|} = (v)β^{^{<}|b|} = 1 und
∀w^{<}u [v ≤ w → (w)α^{^{<}|a|} = 1 oder (w)β^{^{<}|b|} = 1] .

Hier muß w < Max(|a|, |b|) ≤ |a + b| sein, also gilt

u ≤ |a + b| < |2 · (a + b)| , da a + b > 0 ist.

Damit ergeben sich folgende Definitionen:

T_{+}(a, b) ···≡ 2 · (a + b)
F_{+}(a, b, α, β, c) ···≡
[(c ∈ α^{^{<}|a|} ↔ c ∉ β^{^{<}|b|}) ∧ (c = 0 ∨ (c > 0 ∧
∃v^{≤}|T_{+}(a, b)| (v < c ∧ (v = 0 ∨ (v − · 1 ∉ α^{^{<}|a|} ∧ v − · 1 ∉ β^{^{<}|b|})) ∧
∀w^{≤}|T_{+}(a, b)| (v ≤ w ∧ w < c → w ∉ α^{^{<}|a|} ∨ w ∉ β^{^{<}|b|})))] ∨
[c > 0 ∧ (c ∈ α^{^{<}|a|} ↔ c ∈ β^{^{<}|b|}) ∧
∃v^{<}|a| (v ∈ α^{^{<}|a|} ∧ v ∈ β^{^{<}|b|} ∧ v < c ∧
∀w^{≤}|T_{+}(a, b)| (v < w ∧ w < c → w ∈ α^{^{<}|a|} ∨ w ∈ β^{^{<}|b|}))]

Wir wollen noch begründen, daß für u>0 nur die Fälle ”Übertrag“ bzw. ”kein Übertrag“ nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} auftreten können. Dazu gelte nicht, daß

kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}

auftritt, d. h.

∀x^{<}u [(x = 0 ∨ (x − · 1)α^{^{<}|a|} = (x − · 1)β^{^{<}|b|} = 0)
→ ∃v^{<}u (x ≤ v ∧ (v)α^{^{<}|a|} = (v)β^{^{<}|b|} = 1)] .

Insbesondere zeigt x = 0

∃v^{<}u ((v)α^{^{<}|a|} = (v)β^{^{<}|b|} = 1) .

Mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) gibt es dann ein maximales v mit v<u und (v)α^{^{<}|a|} =(v)β^{^{<}|b|} =1 , dann gilt

∀w^{<}u (v ≤ w → (w)α^{^{<}|a|} = 1 ∨ (w)β^{^{<}|b|} = 1) .

Mithin tritt

ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}

auf.

Bisher sind die beschreibenden Formeln der Abstrakte aus Σ_{0}^{1,w^{⋆}}, also insbesondere aus

Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}.

In [Takeuti 1991] wird die Multiplikation durch ”shifting and carry-save adding“ berechnet. Diese Methode ist in [Savage 1976] als geradliniger Algorithmus, d. h. als Algorithmus ohne Schleifen, vorgestellt, der bei Implementierung logische Elemente in der Größenordnung n^{2} benötigt, deren Anordnungstiefe im optimalen Fall größenordnungsmäßig log n beträgt. Dabei werden zwei Zahlen der Länge n in Binärdarstellung multipliziert. Dieses Verfahren ist zwar bezüglich dieser Komplexitäten einfach, aber für die Interpretation der Multiplikation zu unhandlich. Die daraus abgeleitete Definition ist nicht symmetrisch in den Argumenten. Zudem erweist sich die Berechnung der ”carry-save“ Addition als ziemlich kompliziert. Deshalb wählen wir hier einen anderen Zugang. Sei |t| die Länge der Binärdarstellung von α^{^{<}|a|}·β^{^{<}|b|}. Wir werden t später genau angeben. Wir beobachten

α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|}
= ( ∑_{i<|a|}(i)α · 2^{i}) · ( ∑_{j<|b|}(j)β · 2^{j})
= ∑_{i,j}(i)α^{^{<}|a|} · (j)β^{^{<}|b|} · 2^{i+j}

= ∑_{i}(∑_{j=0}^{i}(j)α^{^{<}|a|} · (i − · j)β^{^{<}|b|}) · 2^{i}
= ∑_{x<|t|} d_{x} · 2^{x}

mit

d_{x} ··= #z^{≤}|a|(z ≤ x ∧ z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ β^{^{<}|b|}) . (1)

Dies ist i. allg. noch keine Binärdarstellung, da d_{x} > 1 möglich ist. Um nun zu einer Binärdarstellung b_{|t|}, …, b_{0} von α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|} zu gelangen, nutzen wir sukzessive

d · 2^{x} = ⌊\frac{1}{2}d⌋ · 2^{x+1} + mod_{2}(d) · 2^{x}

aus, wobei sich mod_{2}(d) als Abkürzung für Bit(0, d) auffassen läßt. Wir gehen dabei wie in Tabelle 2 dargestellt vor.

Stufe  Berechnungsfeld
0 …  d_{x}  …  d_{1} d_{0}
1 …  d_{x}  …  d_{2} d′_{1} b_{0}
2 …  d_{x}  …  d′_{2} b_{1} b_{0}
⋮
x − 1 …  d_{x} d′_{x−1} b_{x−2} … b_{0}
x … d_{x+1} d′_{x} b_{x−1} b_{x−2} … b_{0}
⋮
|t| …  b_{x}  …  b_{1} b_{0}

Tabelle 2: Berechnung der Binärdarstellung Wir bilden also

d′_{0} ··= d_{0}
d′_{x+1} ··= ⌊\frac{1}{2}d′_{x}⌋ + d_{x+1}
b_{x} ··= mod_{2}(d′_{x})

Um nun die Länge der Binärdarstellung |t| zu bestimmen, stellen wir fest:

(i) d_{x} ≤ |a| (ii) d_{(|b|− · 1)+k} ≤ |a| − · k (iii) d′_{x} ≤ 2|a| (iv) d′_{(|b|− · 1)+k} ≤ 2 · (|a| + 1 − · k) − · 1 . Wir begründen dies:

(i) Es gilt d_{x} ≤ #z^{≤}|a|(z ∈ α^{^{<}|a|}) ≤ |a|. (ii) Für x ··= (|b| − · 1) + k gilt

d_{x} ≤ #z^{≤}|a|(z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ β^{^{<}|b|})
≤ #z^{≤}|a|((|b| − · 1) + k − · z < |b| ∧ z < |a|)
≤ #{k, …, |a| − 1}
= |a| − · k .

(iii) Es gilt d′_{0} = d_{0} ≤^{(i)} |a| ≤ 2|a| und durch Induktion folgt d′_{x+1} = ⌊\frac{1}{2}d′_{x}⌋ + d_{x+1} ≤ |a| +

|a| = 2|a|. (iv) Sei x ··= (|b| − · 1) + k. Für k = 0 ist d′_{x} ≤ 2|a| < 2 · (|a| + 1 − · 0) − · 1 . Ist k > 0, so

gilt mit Induktion

d′_{x+1} = ⌊\frac{1}{2}d′_{x}⌋ + d_{x+1}
≤ ⌊\frac{1}{2}(2 · (|a| + 1 − · k) − · 1)⌋ + (|a| − · (k + 1))
≤ ⌊\frac{1}{2}(2 · (|a| − · k) + 1)⌋ + (|a| + 1 − · (k + 1)) − · 1
= (|a| − · k) + (|a| + 1 − · (k + 1)) − · 1
= 2 · (|a| + 1 − · (k + 1)) − · 1 .

Also gilt d′_{|a|+|b|+k} = 0 für k ≥ 0, denn ist |b| = 0 , dann gilt d_{x} = 0 für alle x, also auch d′_{x} = 0 für alle x. Für |b| > 0 erhalten wir

d′_{|a|+|b|+k} = d′_{(|b|− · 1)+(|a|+1+k)} ≤^{(iv)} 2 · (|a| + 1 − · (|a| + 1 + k)) − · 1 = 0 .

Das motiviert

T_{·} ···≡ 2 · (Sa) · (Sb) ,

denn dann ist |T_{·}| = S|(Sa) · (Sb)| ≥ |a| + |Sb| ≥ |a| + |b|. Abkürzend sei weiterhin t ···≡ T_{·}. G(i, a, b, α, β, γ) sei die Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-Formel, die obiges Vorgehen beschreibt.

G(i, a, b, α, β, γ) ···≡
[i = 0 ∧ ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨0, x, y⟩ ∈ γ ↔
#z^{≤}|a|(z ≤ x ∧ z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ β^{^{<}|b|}) = y)] ∨
[i > 0 ∧ ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨i, x, y⟩ ∈ γ ↔
i ≤ |t| ∧ ∃z_{1}^{≤}|a| ∃z_{2}^{≤}|a| (⟨0, i, z_{1}⟩ ∈ γ ∧ ⟨i − · 1, i − · 1, z_{2}⟩ ∈ γ ∧
(x = i − · 1 → y = mod_{2}(z_{2})) ∧ (x = i → y = z_{1} + ⌊\frac{1}{2}z_{2}⌋) ∧
(x < i − · 1 → ⟨i − · 1, x, y⟩ ∈ γ) ∧ (x > i → ⟨0, x, y⟩ ∈ γ)))]

Für t̃ ···≡ SqBd_{3}(t) gilt dann

– U_{2}^{1,w^{⋆}} ∃χ ∀i^{≤}|t| G(i, χ^{|t̃|})

– U_{2}^{1,w^{⋆}} ¬∀i^{≤}|t| G(i, γ_{1}^{|t̃|}), ¬∀i^{≤}|t| G(i, γ_{2}^{|t̃|}),

∀i^{≤}|t| ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨i, x, y⟩ ∈ γ_{1}^{|t̃|} ↔ ⟨i, x, y⟩ ∈ γ_{2}^{|t̃|}) .

Zur Begründung der Existenzaussage sei

H(d) ···≡ ∃χ ∀i^{≤}|t| (i ≤ d → G(i, χ^{|t̃|})) ,

dann zeigen wir H(|t|) durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach d. Für d = 0 existiert mit (wΣ_{1}^{1,w^{⋆}}-CA) eine Menge χ mit

\begin{matrix}∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| ( & ⟨0, x, y⟩ ∈ χ^{|t̃|} ↔ \\ y = #z^{≤}|a|(z ≤ x ∧ z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ β^{^{<}|b|})) , \end{matrix}

da durch längenbeschränktes Zählen definierte Funktionen in U_{2}^{1,w^{⋆}} Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-definierbar sind (Lemma 5.7). Dann gilt G(0, χ^{|t̃|}) . Um ∀z (H(z) → H(Sz)) zu zeigen, sei z beliebig mit H(z), also gibt es χ_{0} mit

∀i^{≤}|t| (i ≤ z → G(i, χ_{0}^{|t̃|})) . (2)

Ist z ≥ |t|, so gilt auch

∀i^{≤}|t| (i ≤ Sz → G(i, χ_{0}^{|t̃|})) .

Sei also z < |t|, dann definieren wir mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) eine Menge χ_{1} durch

∀i^{≤}Sz ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨i, x, y⟩ ∈ χ_{1}^{|t̃|} ↔ [i ≤ z ∧ ⟨i, x, y⟩ ∈ χ_{0}^{|t̃|}] ∨

[i = Sz ∧ i ≤ |t| ∧ ∃z_{1}^{≤}|a| ∃z_{2}^{≤}|a| (⟨0, i, z_{1}⟩ ∈ χ_{0}^{|t̃|} ∧ ⟨i − · 1, i − · 1, z_{2}⟩ ∈ χ_{0}^{|t̃|} ∧
(x = i − · 1 → y = mod_{2}(z_{2})) ∧ (x = i → y = z_{1} + ⌊\frac{1}{2}z_{2}⌋) ∧
(x < i − · 1 → ⟨i − · 1, x, y⟩ ∈ χ_{0}^{|t̃|}) ∧ (x > i → ⟨0, x, y⟩ ∈ χ_{0}^{|t̃|}))]) .

Damit gilt

∀i^{≤}|t| (i ≤ Sz → G(i, χ_{1}^{|t̃|})) , also erhalten wir H(Sz) und somit den Induktionsschritt. Für die Eindeutigkeit gelte

∀i^{≤}|t| G(i, γ_{1}^{|t̃|}) und ∀i^{≤}|t| G(i, γ_{2}^{|t̃|}) . Dann zeigen wir für

H(d) ···≡ ∀i^{≤}|t| (i ≤ d → ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨i, x, y⟩ ∈ γ_{1}^{|t̃|} ↔ ⟨i, x, y⟩ ∈ γ_{2}^{|t̃|})) durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach d H(|t|) . Der Induktionsanfang folgt aus der Eindeutigkeit der Funktion #z^{≤}|a|(…) , der Induktionsschritt aus der Induktionsvoraussetzung und der Eindeutigkeit von mod_{2}(.) und ⌊\frac{1}{2}.⌋. Damit definieren wir nun

F_{·}(a, b, α, β, c) ···≡ ∃χ (∀i^{≤}|t| G(i, χ^{|t̃|}) ∧ c ≤ |t| ∧ ⟨|t|, c, 1⟩ ∈ χ^{|t̃|}) . Dann gilt

U_{2}^{1,w^{⋆}} F_{·}(a, b, α, β, c) ↔ ∀χ (∀i^{≤}|t| G(i, χ^{|t̃|}) → c ≤ |t| ∧ ⟨|t|, c, 1⟩ ∈ χ^{|t̃|}) , also ist F_{·} ∈ Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

Mit Hilfe der Funktionsinterpretationen sind wir nun in der Lage, Terme T_{t} und Formeln F_{t} anzugeben, so daß {u : F_{t}(u)}^{^{<}|T_{t}|} den Term t repräsentiert.

7.2 Definition der Terminterpretationen

Für Terme t aus LBA^{∅} definieren wir Terme T_{t} und Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formeln F_{t} durch Rekursion nach dem Aufbau von t:

(a) t ≡ 0 ist schon definiert.

(b) t ≡ a_{i}, dann sei T_{a_{i}} ···≡ a_{i} und F_{a_{i}} ···≡ b ∈ α_{i}.

(c) t ≡ fs für f ∈ \{S, ⌊\frac{1}{2}⌋, ||\}, dann sei T_{t} ···≡ T_{f}(T_{s}) und F_{t} ···≡ F_{f}(T_{s}, F_{s}(.)) .

(d) t ≡ fs_{1}s_{2} für f ∈ {+, #, ·}, dann sei T_{t} ···≡ T_{f}(T_{s_{1}}, T_{s_{2}}) und F_{t} ···≡ F_{f}(T_{s_{1}}, T_{s_{2}}, F_{s_{1}}(.), F_{s_{2}}(.)) .

Da nach Satz 6.7 die Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formeln abgeschlossen unter Substitutuion von Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-

Klassentermen sind, ist F_{t} immer eine Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Formel.

Wir schreiben U_{t} für den Klassentem {u : F_{t}(u)} und U (a) für {u : Bit(u, a) = 1}. Unter Berücksichtigung der Identifikation der scharfen Anfangsstücke mit Zahlen ergibt sich für U(a)^{^{<}|a|} die Zahl

∑_{i<|a|}(i)U(a) · 2^{i} = ∑_{i<|a|} Bit(i, a) · 2^{i} = a .

Also liefern die Heuristiken unter Beachtung von

f(…, α_{i}^{<|a_{i}|}, …) = {u : F_{f}(a⃗, α⃗, u)}^{^{<}|T_{f} (a⃗)|}

den Zusammenhang

U(t) = U(t)^{^{<}|t|} = U_{t}^{<|T_{t}|}α_{1}, …, α_{k}(U(a_{1}), …, U(a_{k}))

für Terme t mit FV (t) ⊂ {a_{1}, …, a_{k}} durch Induktion nach dem Aufbau von t. Nun definieren wir die Interpretation einer Formeln aus Σ^{b}.

7.3 Definition der Interpretation w : Σ^{b} ⟶ Σ^{1,w^{⋆}}

durch Rekursion nach der Länge der Formel A ∈ Σ^{b} :

(a) A ≡ (¬)t_{1} = t_{2} oder A ≡ (¬)t_{1} ≤ t_{2} , dann sei

A^{w} ···≡ (¬)U_{t_{1}}^{<|T_{t_{1}}|} = U_{t_{2}}^{<|T_{t_{2}}|}

beziehungsweise

A^{w} ···≡ (¬)U_{t_{1}}^{<|T_{t_{1}}|} ≤ U_{t_{2}}^{<|T_{t_{2}}|} .

(b) A ≡ B ∘ C mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann sei

A^{w} ···≡ B^{w} ∘ C^{w} .

(c) A ≡ ∀x^{≤}|t| B(x) oder A ≡ ∃x^{≤}|t| B(x) und a eine neue Variable, so sei

A^{w} ···≡ ∀x^{≤}|2#T_{t}| ((a ≤ |t| → B(a))a, α^{w}(T_{|t|}, U(x)))

beziehungsweise

A^{w} ···≡ ∃x^{≤}|2#T_{t}| ((a ≤ |t| ∧ B(a))a, α^{w}(T_{|t|}, U(x))) .

(d) A ≡ ∀x^{≤}t B(x) oder A ≡ ∃x^{≤}t B(x) , t habe nicht die Gestalt |s| für einen Term s und a sei eine neue Variable. Wir definieren

A^{w} ···≡ ∀ϕ ((a ≤ t → B(a))a, α^{w}(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}))

beziehungsweise

A^{w} ···≡ ∃ϕ ((a ≤ t ∧ B(a))a, α^{w}(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|})) .

Die Punkte (c) und (d) sind wohldefiniert, da genau genommen nur die Voraussetzung für B(a) benötigt wird:

(a ≤ |t| → B(a))^{w} ≡ (a / ≤ |t|)^{w} ∨ (B(a))^{w} .

Wir begründen abschließend, daß sich die Interpretation ^{w} im Standardmodell der Arithmetik korrekt verhält. Es werden somit durch Σ_{i}^{b}-Formeln und deren Interpretation im Prinzip die gleichen Prädikate beschrieben.

7.4 Satz Korrektheit der Interpretation ^{w}

Sei A ∈ Σ^{b} mit FV (A) ⊂ {a_{1}, …, a_{k}}, dann gilt mit U(a) ···≡ {u : Bit(u, a) = 1}

(IN, P(IN), …) A ↔ Aα_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) .

Beweis erfolgt durch Induktion nach der Länge von A:

Ist A eine Primformel, so haben wir mit den obigen Heuristiken schon die Behauptung begründet. Für A ≡ B ∘ C mit ∘ ∈ {∧, ∨} folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung.

Ist A ≡ ∀x^{≤}t B(x) , so gilt nach der Induktionsvoraussetzung

B(a) ↔ C(a, U(a)) (1)

für C(a, α) ···≡ (B(a))α_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) . Wir beobachten

α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} ∧ C(a, α) → C(b, β) (2)

und mit der Anmerkung an die Definition der Terminterpretationen

U_{t}^{<|T_{t}|}α_{1}, …, α_{k}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) = U(t) . (3)

Nun fügen wir alle Teile zusammen, um

∀x^{≤}t B(x) ↔ ∀ϕ ((ϕ^{|T_{t}|})^{^{<}|T_{t}|} ≤ U(t) → C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|})) (4) zu zeigen. ”→“ Sei ϕ ⊂ IN beliebig mit ϕ^{^{<}|T_{t}|} ≤ U(t) , dann sei x die mit ϕ^{^{<}|T_{t}|} assoziierte

Zahl, also gilt

U(x) = ϕ^{^{<}|T_{t}|} ≤ U(t) , mithin x ≤ t. Nun zeigen (1) und (2) wegen U(x) = U(x)^{^{<}|x|} und ϕ^{^{<}|T_{t}|} =

(ϕ^{|T_{t}|})^{^{<}|T_{t}|}

B(x) ↔^{(1)} C(x, U(x)) ↔^{(2)} C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) .

Mit x ≤ t folgt aus der Voraussetzung B(x), mithin

C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) . ”←“ Ist x ≤ t, dann sei ϕ = U(x) . Mit t ≤ T_{t} gilt

ϕ^{^{<}|T_{t}|} = U(x)^{^{<}|T_{t}|} = U(x) ≤ U(t) . Wieder zeigen (1) und (2)

C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) ↔ B(x) . Mit ϕ^{^{<}|T_{t}|} ≤U(t) folgt diesmal aus der Voraussetzung C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) , mithin B(x).

Damit ist (4) gezeigt. Nun gilt für t ≡ |s|

∀ϕ C(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) ↔ ∀x^{≤}|2#T_{s}| C(T_{t}, U(x)) , da mit T_{t} ≡ T_{|.|}(T_{s}) ≡ |T_{s}| schon

∑_{i<|T_{t}|}(i)ϕ · 2^{i} ≤ 2^{|T_{t}|} − · 1 ≤ 2 · |T_{s}| − · 1 < 2 · |T_{s}| + 1 = |2#T_{s}|

gilt. Mithin ist A ↔ Aα_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) gezeigt. Der Fall A ≡ ∃x^{≤}t B(x) ergibt sich aus dem gerade Gezeigten durch Negation. □

Nachdem wir die Korrektheit der Interpretation ^{w} im Standardmodell begründet haben, zeigen wir im nächsten Abschnitt, daß diese Übersetzung eine Einbettung von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}} liefert:

Γ ⊂ Σ^{b} und S_{2}^{i} Γ ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w} .

8 Einbettung von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}}

Wir zeigen für beliebige Γ ⊂ Σ^{b}

S_{2}^{i} Γ ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w} .

Dabei ist der arbeitsintensivste Teil das Nachrechnen der übersetzten Basic(∅)-Axiome in U_{2}^{i,w^{⋆}}. Hier kommt uns die im Vergleich zu [Buss 1986] veränderte Definition von Basic(∅) gelegen, da die aufwendig nachzurechnenden Axiome für die Multiplikation auf ein Minimum reduziert sind.

Zur Abkürzung und Vereinfachung der Schreibweisen treffen wir folgende Definitionen:

α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} ··= {u : u ∈ α^{^{<}|a|} ∧ u ∉ β^{^{<}|b|}}
α^{^{<}|a|} ⊂ β^{^{<}|b|} ···≡ ∀x^{<}|a| (x ∈ α^{^{<}|a|} → x ∈ β^{^{<}|b|}) .

Sei

max (α^{^{<}|a|}) = c ···≡ (c ∈ α^{^{<}|a|} ∨ c = 0) ∧ ∀x^{<}|a| (c < x → x ∉ α^{^{<}|a|}) .

In U_{2}^{1,w^{⋆}} gilt (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN), also sind

max (α^{^{<}|a|})

und auch

max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|})

in U_{2}^{1,w^{⋆}} beweisbar existent. Damit schreiben sich in U_{2}^{1,w^{⋆}}

α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} ↔ α^{^{<}|a|} ⊂ β^{^{<}|b|} ∧ β^{^{<}|b|} ⊂ α^{^{<}|a|}

und

α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|} ↔ ∃x^{≤}|b| (x ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} ∧ x ≥ max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) ) .

Wir beobachten

α^{^{<}|a|} ⊂ β^{^{<}|b|} → α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|} ,
x ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} → x ≤ max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|})

und

∀x^{<}|b| (x ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} → x < max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}))
→ max (β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}) < max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) .

Wir beginnen mit dem Nachrechnen der übersetzten Basic(∅)-Axiome, indem wir zuerst die Definition von < und ≤ überprüfen, und insbesondere deren Linearität und Transitivität nachweisen.

8.1 Lemma (i) U_{2}^{0,w^{⋆}} α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|}, β^{^{<}|b|} < α^{^{<}|a|} (ii) U_{2}^{0,w^{⋆}} ¬α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|}, ¬β^{^{<}|b|} < α^{^{<}|a|} (iii) U_{2}^{0,w^{⋆}} ¬α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|}, ¬β^{^{<}|b|} ≤ γ^{^{<}|c|}, α^{^{<}|a|} ≤ γ^{^{<}|c|}

Beweis in U_{2}^{0,w^{⋆}}:

(i) Gelte ¬α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|}, also α^{^{<}|a|} ≠ β^{^{<}|b|} und α^{^{<}|a|} / < β^{^{<}|b|}.

Ist β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} = ∅, so erhalten wir α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} ≠ ∅ aus α^{^{<}|a|} ≠ β^{^{<}|b|}, also gilt x ≥ max (β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}) für beliebige x ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}. Mithin α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}. Ist β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} ≠∅, dann ist x<max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) für jedes x∈β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}, also gibt es y ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} mit y ≥ max (β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}). Und wieder ist α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}.

(ii) Gelte β^{^{<}|b|} < α^{^{<}|a|}, also gibt es x ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} mit x ≥ max (β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}). Somit ist α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} ≠∅, also α^{^{<}|a|} ≠β^{^{<}|b|}. Des weiteren gilt y <x≤max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) für y ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|}, also α^{^{<}|a|} / < β^{^{<}|b|}.

(iii) Gelte α^{^{<}|a|} ≤ β^{^{<}|b|} und β^{^{<}|b|} ≤ γ^{^{<}|c|}, dann ist zu zeigen α^{^{<}|a|} ≤ γ^{^{<}|c|}. Dabei ist der interessante Fall, daß α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|} und β^{^{<}|b|} < γ^{^{<}|c|} ist. Also nehmen wir an, daß x und y existieren mit

x ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} (1)  und  x ≥ max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) (2)

und

y ∈ γ^{^{<}|c|}\β^{^{<}|b|} (3)  und  y ≥ max (β^{^{<}|b|}\γ^{^{<}|c|}) . (4)

Wir halten fest, daß x ≠ y ist, da x ∈ β^{^{<}|b|}, aber y ∉ β^{^{<}|b|} ist. Für d ∈ α^{^{<}|a|}\γ^{^{<}|c|} gibt es zwei Fälle.

(a) Ist d ∈ β^{^{<}|b|} , so folgt d ∈ β^{^{<}|b|}\γ^{^{<}|c|} und wegen (4) d < y.

(b) Im anderen Fall ist d ∉ β^{^{<}|b|}, also d ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} und mit (2) folgt d < x. Insgesamt ist also max (x, y)>max (α^{^{<}|a|}\γ^{^{<}|c|}), darum genügt zum Beweis von α^{^{<}|a|} < γ^{^{<}|c|}

max (x, y) ∈ γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|} zu zeigen. Wir unterscheiden folgende Möglichkeiten:

(a) Ist y ∈ α^{^{<}|a|}, dann zeigt (3) y ∈ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|} und mit (2) y < x. Nach (4) muß x ∉ β^{^{<}|b|}\γ^{^{<}|c|} gelten, was aber wegen x ∈ β^{^{<}|b|} nur für x ∈ γ^{^{<}|c|} möglich ist. Insgesamt erhalten wir max (x, y) = x ∈ γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|} .

(b) Sind y ∉ α^{^{<}|a|} und x ∈ γ^{^{<}|c|}, dann sind mit (1) und (3) x, y ∈ γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|},

in jedem Fall also

max (x, y) ∈ γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|} .

(c) Sind y ∉α^{^{<}|a|} und x∉γ^{^{<}|c|}, so erhalten wir mit (3) und (1) y ∈γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|}

und x ∈ β^{^{<}|b|}\γ^{^{<}|c|}. Aus letzterem folgt mit (4) y > x. Mithin

max (x, y) = y ∈ γ^{^{<}|c|}\α^{^{<}|a|} .  □

Wir bestimmen 0^{^{<}|0|}, 1^{^{<}|1|}, 2^{^{<}|2|} zu

0^{^{<}|0|} = {u : u ≠ u} ,
1^{^{<}|1|} = S(0^{^{<}|0|}) = {u : u = 0} ,
2^{^{<}|2|} = S(1^{^{<}|1|}) = {u : u = 1} .

Wenn der Kontext es zuläßt, schreiben wir kurz 0, 1, 2 für 0^{^{<}|0|}, 1^{^{<}|1|} bzw. 2^{^{<}|2|}. Wir rechnen nun die übersetzten Basic(∅)-Axiome von Seite 26 nach.

(a)  (0 ≤ a)^{w}
Es gilt 0 ⊂ α^{^{<}|a|}, also folgt 0 ≤ α^{^{<}|a|}.
(b)  (b ≤ a ∨ a ≤ b)^{w}

(c)  (a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b)^{w}

(d)  (a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c)^{w}

Die letzten drei Punkte folgen aus 8.1 (i), (ii) und (iii). Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Nachfolgerfunktion.

(e)  (b ≤ a ↔ b < Sa)^{w}

Da |a| ∉ α^{^{<}|a|}, gibt es mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ein minimales w ≤ |a| mit w ∉ α^{^{<}|a|}. Aus der Minimalität folgt

∀v^{≤}|a| (v < w → v ∈ α^{^{<}|a|}) , (1) also gilt

S(α^{^{<}|a|}) = {u : u = w ∨ (u > w ∧ u ∈ α^{^{<}|a|})} . (2)

Für (b ≤ a → b < Sa)^{w} zeigen wir zuerst

α^{^{<}|a|} < S(α^{^{<}|a|}) .

Nach Definition von w und von S(α^{^{<}|a|}) (2) gilt

w ∈ S(α^{^{<}|a|})\α^{^{<}|a|} . (3)

Wir beobachten für v < |a| mit w < v ∧ v ∈ α^{^{<}|a|} wegen (2) v ∈ S(α^{^{<}|a|}) . Also erhalten wir

w ≥ max (α^{^{<}|a|}\S(α^{^{<}|a|})) ,

was mit (3) α^{^{<}|a|} < S(α^{^{<}|a|}) ergibt, mithin ¬S(α^{^{<}|a|}) ≤ α^{^{<}|a|}.

Ist nun β^{^{<}|b|} ≤ α^{^{<}|a|}, so folgt aus der Transitivität von ≤ ¬S(α^{^{<}|a|}) ≤ β^{^{<}|b|}, also

β^{^{<}|b|} < S(α^{^{<}|a|}) .

Die andere Implikation (b < Sa → b ≤ a)^{w} zeigen wir durch Kontraposition. Gelte α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}, d. h. es gibt x ≤ |b| mit

x ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} und x ≥ max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) =·· y . (4)

Wir haben folgende Situation vorliegen:

w
S(α^{^{<}|a|}) : … 1 0 … 0
=
α^{^{<}|a|} : … 0 1 … 1
x ≥ w y
α^{^{<}|a|} : … 0  …
β^{^{<}|b|} : … 1  …

Da für v < w mit (1) schon v ∈ α^{^{<}|a|}, aber x ∉ α^{^{<}|a|} gilt, muß w ≤ x sein. Ist w=x, dann folgt S(α^{^{<}|a|}) ⊂ β^{^{<}|b|}, denn sei v ∈S(α^{^{<}|a|}) . Dann impliziert (2) v ≥w. Für v = w ist mit (4) v ∈ β^{^{<}|b|}. Im anderen Fall ist v > w, also folgern wir mit (4) v ∉ α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}. Zusammen mit (2) v ∈ α^{^{<}|a|} ergibt das

v ∈ β^{^{<}|b|} .

Mithin gilt S(α^{^{<}|a|}) ≤ β^{^{<}|b|}.

Schließlich bleibt noch der Fall w < x zu betrachten. Hier gilt für alle v ≤ |a| mit v ≥ x wegen (2)

v ∈ α^{^{<}|a|} ↔ v ∈ S(α^{^{<}|a|}) .

Damit erhalten wir aus (4)

x ∈ β^{^{<}|b|}\S(α^{^{<}|a|}) und x ≥ max (S(α^{^{<}|a|})\β^{^{<}|b|}) .

Mithin S(α^{^{<}|a|}) < β^{^{<}|b|}.

In den Axiomen spielt die Funktion (a ↦ 2 · a) eine besondere Rolle, weshalb wir sie getrennt von der Multiplikation betrachten. Wir berechnen 2 · α^{^{<}|a|}:

Behauptung

2 · α^{^{<}|a|} = {u : u > 0 ∧ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}} Beweis:

Sei t ···≡ T_{·}(2, a) ≡ 2 · (S2) · (Sa) und t̃ ···≡ SqBd_{3}(t) . Es gilt

#z^{≤}|2|(z ≤ x ∧ z ∈ 2 ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|}) = \{ \begin{matrix}1 : & x − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x ≥ 1 \\ 0 : & sonst \end{matrix}

Darum definieren wir mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) ein γ derart, daß

γ^{|t̃|} = {⟨i, x, y⟩ ≤ |t̃| : (x = 0 ∧ y = 0) ∨
(x − · 1 ∉ α^{^{<}|a|} ∧ y = 0) ∨ (x > 0 ∧ x − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} ∧ y = 1)}

ist. Nach Konstruktion gilt für G wie in Abschnitt 7 definiert

∀i^{≤}|t| G(i, 2, a, 2^{^{<}|2|}, α^{^{<}|a|}, γ^{|t̃|}) ,

also ist

\begin{aligned}2 · α^{^{<}|a|} & = & \{u : u ≤ |t| ∧ ⟨|t|, u, 1⟩ ∈ γ^{|t̃|}\} \\ & = & \{u : u > 0 ∧ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}\} . \end{aligned}  □

(f)  (a < b → S(2 · a) < 2 · b)^{w}

Gelte α^{^{<}|a|} < β^{^{<}|b|}, dann gibt es x ≤ |b| mit

x ∈ β^{^{<}|b|}\α^{^{<}|a|} und x ≥ max (α^{^{<}|a|}\β^{^{<}|b|}) =·· y .

Dann gilt

Sx ∈ (2 · β^{^{<}|b|})\(S(2 · α^{^{<}|a|}))

und

Sx ≥ max ((S(2 · α^{^{<}|a|}))\(2 · β^{^{<}|b|})) ,

also S(2 · α^{^{<}|a|}) < 2 · β^{^{<}|b|}.

(g)  (a = ⌊\frac{1}{2}b⌋ ↔ (2 · a = b ∨ S(2 · a) = b))^{w}

Es sind

⌊\frac{1}{2}β^{^{<}|b|}⌋ = \{u : Su ∈ β^{^{<}|b|}\}

und

2 · α^{^{<}|a|} = {u : u > 0 ∧ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}} .

Damit gilt

S(2 · α^{^{<}|a|}) = {u : u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} ∨ u = 0} .

Ist 2 · α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|} oder S(2 · α^{^{<}|a|}) = β^{^{<}|b|}, so folgt

⌊\frac{1}{2}β^{^{<}|b|}⌋ = \{u : Su ∈ β^{^{<}|b|}\} = \{u : (Su) − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}\} = α^{^{<}|a|} .

Umgekehrt sei α^{^{<}|a|} = ⌊\frac{1}{2}β^{^{<}|b|}⌋. Ist 0 ∉ β^{^{<}|b|}, so gilt

2 · α^{^{<}|a|} = {u : u > 0 ∧ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}}
= {u : u > 0 ∧ S(u − · 1) ∈ β^{^{<}|b|}}
= {u : u > 0 ∧ u ∈ β^{^{<}|b|}}
= β^{^{<}|b|} .

Für 0 ∈ β^{^{<}|b|} haben wir

S(2 · α^{^{<}|a|}) = {u : u = 0 ∨ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}}
= {u : u = 0 ∨ S(u − · 1) ∈ β^{^{<}|b|}}
= {u : u = 0 ∨ u ∈ β^{^{<}|b|}}
= β^{^{<}|b|} .

(h)  (|0| = 0)^{w}

Wir berechnen

|0^{^{<}|0|}| = {u : Bit(u, 0) = 1}^{<}^{|^{|0|}|} = 0^{^{<}|0|} .

Es gilt 0 = 0 ∨ 0 − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}, also existiert mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ein maximales w_{a} ≤ |a| mit w_{a} = 0 ∨ w_{a} − · 1 ∈ α^{^{<}|a|}. Aus der Maximalität folgt

∀v^{≤}|a| (w_{a} ≤ v → v ∉ α^{^{<}|a|}) ,

also ist

α^{^{<}|a|} = (w_{a} − 1)α … (0)α .

Analog gibt es maximale w_{b} ≤ |b| und w_{c} ≤ |c| mit

w_{b} = 0 ∨ w_{b} − · 1 ∈ β^{^{<}|b|} und w_{c} = 0 ∨ w_{c} − · 1 ∈ γ^{^{<}|c|}

derart, daß

∀v^{≤}|b| (w_{b} ≤ v → v ∉ β^{^{<}|b|}) und ∀v^{≤}|c| (w_{c} ≤ v → v ∉ γ^{^{<}|c|})

gilt.

(i)  (a ≠ 0 → |a| = S(|⌊\frac{1}{2}a⌋|))^{w}

Wir berechnen

|α^{^{<}|a|}| = {u : Bit(u, w_{a}) = 1}^{<}^{|^{|a|}|} .

Sei α^{^{<}|a|} ≠ 0 , dann muß w_{a} ≠ 0 und somit w_{a} − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} gelten. Für w_{a} = 1 folgt die Behauptung durch Nachrechnen. Ist w_{a} > 1, dann gilt

⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋ = \{u : Su ∈ α^{^{<}|a|}\}^{<}^{|^{⌊ \frac{1}{2} a⌋}|}
= {u : (u < w_{a} − · 2 ∧ Su ∈ α^{^{<}|a|}) ∨ u = w_{a} − · 2} .

Also ist für \overline{w_{a}} ··= w_{a} − · 1

\overline{w_{a}} − · 1 ∈ ⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋

und

∀v^{≤}|⌊\frac{1}{2}a⌋| (\overline{w_{a}} ≤ v → v ∉ ⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋) .

Mithin

|⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋| = \{u : Bit(u, \overline{w_{a}}) = 1\}^{<}^{|^{|⌊ \frac{1}{2} a⌋|}|} .

Es ist \overline{w_{a}} < |a|, also gilt Bit(||⌊\frac{1}{2}a⌋||, \overline{w_{a}}) = 0 . Mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) existiert ein mini-

males v ≤ ||⌊\frac{1}{2}a⌋|| mit Bit(v, \overline{w_{a}}) = 0 , dann gilt

∀z^{≤}||⌊\frac{1}{2}a⌋|| (z < v → Bit(z, \overline{w_{a}}) = 1) .

Damit erhalten wir

S(\{u : Bit(u, \overline{w_{a}}) = 1\}^{<}^{|^{|⌊ \frac{1}{2} a⌋|}|})
= \{u : u = v ∨ (u > v ∧ u < ||⌊\frac{1}{2}a⌋|| ∧ Bit(u, \overline{w_{a}}) = 1)\}
= \{u : u ≤ ||⌊\frac{1}{2}a⌋|| ∧ Bit(u, S\overline{w_{a}}) = 1\} .

Da S\overline{w_{a}} = w_{a} ≤ |a| ist, gilt Bit(||a||, S\overline{w_{a}}) = 0 , mithin

S(|⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋|) = \{u : Bit(u, S\overline{w_{a}}) = 1\}^{<}^{|^{|a|}|} = |α^{^{<}|a|}| .

(j)  (a ≤ b → |a| ≤ |b|)^{w}

Ist (a ≤ b)^{w} , dann folgt w_{a} ≤ w_{b}. Wir benutzen wieder die Abkürzung U(x) ··= {u : Bit(u, x) = 1}, um U(w_{a})^{<}^{|^{|a|}|} ≤ U(w_{b})^{<}^{|^{|b|}|} zu zeigen. Dann ist (|a| ≤ |b|)^{w} bewiesen.

Für die obige Behauptung nehmen wir U(w_{a})^{<}^{|^{|a|}|} > U(w_{b})^{<}^{|^{|b|}|} an und führen diese Annahme zum Widerspruch. Es ist |w_{a}| ≤ |w_{b}| ≤ ||b||, also gibt es mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) ein maximales x ≤ |w_{b}| derart, daß

x ∈ U(w_{a})^{<}^{|^{|a|}|}\U(w_{b})^{<}^{|^{|b|}|} und x ≥ max (U(w_{b})^{<}^{|^{|b|}|}\U(w_{a})^{<}^{|^{|a|}|})

erfüllt ist. Dann gilt für x < y ≤ |w_{b}|

y ∈ U(w_{a})^{<}^{|^{|a|}|} ↔ y ∈ U(w_{b})^{<}^{|^{|b|}|} .

Insgesamt haben wir Bit(x, w_{a})=1 , Bit(x, w_{b})=0 und ∀y^{≤}|w_{b}| (y>x → Bit(y, w_{a})= Bit(y, w_{b})) . Dann erhalten wir

w_{b} < w_{a}

im Widerspruch zur Voraussetzung w_{a} ≤ w_{b}.

(k)  (0#a = 1)^{w}

Wir beobachten

0#α^{^{<}|a|} = {0 · w_{a}} = {0} = 1^{^{<}|1|} .

(l)  (a ≠ 0 → 1#a = 2 · (1#⌊\frac{1}{2}a⌋))^{w}

Sei (a ≠ 0)^{w} , dann ist w_{a} > 0 . Mit

⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋ = \{u : Su ∈ α^{^{<}|a|}\}

ist w_{a} − · 1 maximal mit

w_{a} − · 1 = 0 ∨ (w_{a} − · 1) − · 1 ∈ ⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋ ,

also gilt

1#⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋ = \{1 · (w_{a} − · 1)\} = \{w_{a} − · 1\} .

Mithin

2 · (1#⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋) = \{u : u > 0 ∧ (u − · 1) ∈ (1#⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋)\} = \{w_{a}\}
= 1#α^{^{<}|a|} .

(m)  (a ≠ 0 → a#b = (⌊\frac{1}{2}a⌋#b) · (1#b))^{w}

Sei (a ≠ 0)^{w} , dann ist w_{a} > 0 . Wir berechnen

⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋#β^{^{<}|b|} = \{(w_{a} − · 1) · w_{b}\}

und

1#β^{^{<}|b|} = {w_{b}} .

Es gilt

#z^{≤}||b||(z ≤ x ∧ z ∈ {w_{b}} ∧ x − · z ∈ {(w_{a} − · 1) · w_{b}})

= \{ \begin{matrix}1 & x = (w_{a} − · 1) · w_{b} + w_{b} =^{w_{a}>0} w_{a} · w_{b} \\ 0 & sonst \end{matrix}

also folgt

(⌊\frac{1}{2}α^{^{<}|a|}⌋#β^{^{<}|b|}) · (1#β^{^{<}|b|}) = \{w_{a} · w_{b}\} = α^{^{<}|a|}#β^{^{<}|b|} .

(n)  (a#b = b#a)^{w}

Es gilt

α^{^{<}|a|}#β^{^{<}|b|} = {w_{a} · w_{b}} = β^{^{<}|b|}#α^{^{<}|a|} .

(o)  (|a| = |b| → a#c = b#c)^{w}

Gelte (|a| = |b|)^{w} , dann ist Bit(i, w_{a}) = Bit(i, w_{b}) für alle i < max (|w_{a}|, |w_{b}|) und somit w_{a} = w_{b}, mithin

α^{^{<}|a|}#γ^{^{<}|c|} = {w_{a} · w_{c}} = {w_{b} · w_{c}} = β^{^{<}|b|} · γ^{^{<}|c|} .

(p)  (a + 0 = a)^{w}

Wir beobachten ∀w^{≤}|T_{+}(a, 0)| (w ∉ 0^{^{<}|0|}) . Also gilt

α^{^{<}|a|} + 0 = {u : u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∉ 0^{^{<}|0|}} = α^{^{<}|a|} .

(q)  (a + Sb = S(a + b))^{w}

Sei t ···≡ T_{+}(a, b) . (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) liefert nun minimale w_{b} ≤ |b| und w ≤ |t| mit w_{b} ∉ β^{^{<}|b|} und w ∉ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}, dann sind

S(β^{^{<}|b|}) = {u : u = w_{b} ∨ (u > w_{b} ∧ u ∈ β^{^{<}|b|})}

und

S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}) = {u : u = w ∨ (u > w ∧ u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|})} .

In den Tabellen bezeichne ”=“ die Bit-weise Übereinstimmung und ”xor“ die Bitweise Nicht-Übereinstimmung der angegebenen Bereiche.

w_{b}
β^{^{<}|b|} : … 0 1 … 1
=
S(β^{^{<}|b|}) : … 1 0 … 0

Tabelle 3: Die Binärdarstellung des Nachfolgers von β^{^{<}|b|}

Also gilt für u ≤ |t| (Tabelle 3)

u ≤ w_{b} : u ∈ β^{^{<}|b|} ↔ u ∉ S(β^{^{<}|b|})
u > w_{b} : u ∈ β^{^{<}|b|} ↔ u ∈ S(β^{^{<}|b|})

w
α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} : … 0 1 … 1
=
S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}) : … 1 0 … 0

Tabelle 4: Die Binärdarstellung des Nachfolgers von α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}

und (Tabelle 4)

u ≤ w : u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} ↔ u ∉ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|})
u > w : u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} ↔ u ∈ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}) .

Außerdem beobachten wir:

tritt kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} auf, so gilt u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} ⟺ (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∉ β^{^{<}|b|})

und

tritt ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} auf, so gilt u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} ⟺ (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ β^{^{<}|b|})

(i) Ist u = 0 , so gilt

0 ∈ α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|})

⟺ (0 ∈ α^{^{<}|a|} ↔ 0 ∉ S(β^{^{<}|b|}))
⟺ (0 ∈ α^{^{<}|a|} ↔ 0 ∈ β^{^{<}|b|})
⟺ 0 ∉ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}
⟺ 0 ∈ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}) .

(ii) Sei u > 0 und es trete

kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} (1) auf, d. h.

\begin{matrix}∃v^{<}u [(v = 0 ∨ (v − · 1)α^{^{<}|a|} = (v − · 1)β^{^{<}|b|} = 0) \\ ∧ & ∀x^{<}u (v ≤ x → (x)α^{^{<}|a|} = 0 ∨ (x)β^{^{<}|b|} = 0)] . \end{matrix}  (2)

Mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) wählen wir v maximal in (2). (A) Ist v > 0 , dann gilt (v − · 1)β^{^{<}|b|} = 0 laut Definition von v, also ist nach

Definiton von w_{b} v − · 1 ≥ w_{b}.

Ist v − · 1 = w_{b}, so gilt ∀x^{<}u ((x)α^{^{<}|a|} = 0 ∨ (x)S(β^{^{<}|b|}) = 0) (Tabelle 5). Ist v − · 1>w_{b}, so gilt ∀x^{<}u (v <x → (x)α^{^{<}|a|} =0 ∨ (x)S(β^{^{<}|b|}) =0) (Tabelle 6).

u  w_{b}
β^{^{<}|b|} : …  … 0 1 … 1
xor
α^{^{<}|a|} : …  … 0 …
xor
S(β^{^{<}|b|}) : …  … 1 0 … 0

Tabelle 5: u > v > 0 und v − 1 = w_{b}

u  v − · 1  w_{b}
β^{^{<}|b|} : …  … 0 … 0 1 … 1
xor
α^{^{<}|a|} : … … 0 … …
xor
S(β^{^{<}|b|}) : …  … 0 … 1 0 … 0

Tabelle 6: u > v > 0 und v − 1 > w_{b}

Mithin tritt

kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) (3) auf und es ist w ≤ w_{b}. Also gilt

u > v > w_{b} ≥ w . Damit berechnen wir

u ∈ α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|})

⟺^{(3)} (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∉ S(β^{^{<}|b|}))
⟺^{u>w_{b}} (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∉ β^{^{<}|b|})
⟺^{(1)} u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}
⟺^{u>w} u ∈ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|})

(B) Ist v = 0 , dann ist

u ≤ w , da aus der Maximalität von v in (2) schon ∀x^{<}u ((x)α^{^{<}|a|} ≠ (x)β^{^{<}|b|}) folgt. Damit gilt

u ∈ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|})

⟺^{u≤w} u ∉ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}
⟺^{(1)} (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ β^{^{<}|b|})
⟺ {u ≤ w_{b} : (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∉ S(β^{^{<}|b|})) \atop u > w_{b} : (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ S(β^{^{<}|b|}))}
⟺ u ∈ α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|})

Um die letzte Äquivalenz zu erhalten, müssen wir zeigen: u ≤ w_{b} ⟺ es tritt kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf .

w_{b}
β^{^{<}|b|} : … 0 1 … 1
u
α^{^{<}|a|} : …  0 … 0
S(β^{^{<}|b|}) : … 1 0 … 0
Tabelle 7: u > v = 0 und u ≤ w_{b}

u  w_{b}
β^{^{<}|b|} : …  … 0 1 … 1
xor
α^{^{<}|a|} : …  … 1 0 … 0
xor
S(β^{^{<}|b|}) : …  … 1 0 … 0
Tabelle 8: u > v = 0 und u > w_{b}

Sei u ≤ w_{b} (Tabelle 7). Mithin tritt

kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf. Im anderen Fall sei u > w_{b} (Tabelle 8). Mithin tritt

ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf.

(iii) Sei u > 0 und trete

ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} (4) auf, d. h.

\begin{matrix}∃v^{<}u [(v)α^{^{<}|a|} = (v)β^{^{<}|b|} = 1 \\ ∧ & ∀x^{<}u (v ≤ x → (x)α^{^{<}|a|} = 1 ∨ (x)β^{^{<}|b|} = 1)] . \end{matrix}  (5)

Mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) wählen wir v maximal in (5). Es ist w ≤ v , denn für z ≤ v minimal mit (z)α^{^{<}|a|} = (z)β^{^{<}|b|} = 1 gilt w ≤ z ≤ v. Mithin

u > w .

Wir erhalten

u ∈ S(α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|})

⟺^{u>w} u ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}
⟺^{(4)} (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ β^{^{<}|b|}) .

Wie oben müssen wir nun noch zeigen: u ≤ w_{b} ⟺ es tritt kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf .

u  v  w_{b}
β^{^{<}|b|} …  … 1 … 0 1 … 1
xor
α^{^{<}|a|} … … 1 … …
xor
S(β^{^{<}|b|}) …  … 1 … 1 0 … 0

Tabelle 9: u > v > w_{b}

(A) Ist v > w_{b}, dann gilt u > v > w_{b} (Tabelle 9). Dann tritt

ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf.

w_{b}  v
β^{^{<}|b|} : … 0 1 … 1 1 1 … 1

u

α^{^{<}|a|} : …  0 … 0 1 …
S(β^{^{<}|b|}) : … 1 0 … 0 0 0 … 0
Tabelle 10: w_{b} ≥ u > v

u  w_{b}  v
β^{^{<}|b|} : …  … 0 1 … 1 1 1 … 1
xor
α^{^{<}|a|} : …  … 1 0 … 0 1 0 … 0
xor
S(β^{^{<}|b|}) : …  … 1 0 … 0 0 0 … 0
Tabelle 11: u > w_{b} > v

(B) Sei v < w_{b}. Ist u ≤ w_{b} (Tabelle 10), so tritt

kein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf. Im anderen Fall ist u > w_{b} (Tabelle 11). Mithin tritt

ein Übertrag nach u bei α^{^{<}|a|} + S(β^{^{<}|b|}) auf.

(r)  (a + b = b + a)^{w}

Die Definition von + ist symmetrisch in α^{^{<}|a|} und β^{^{<}|b|}, es gilt

F_{+}(a, b, α, β, c) ↔ F_{+}(b, a, β, α, c) und T_{+}(a, b) = T_{+}(b, a) .

Bevor wir uns den weiteren Additionsaxiomen zuwenden, beweisen wir ein spezielles Distributivgesetz:

u ∈ (2 · (α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}))

⟺ u > 0 ∧ u − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|}
⟺ u > 0 ∧ F_{+}(a, b, α, β, u − · 1)
⟺ F_{+}(2 · a + 1, 2 · b + 1, 2 · α^{^{<}|a|}, 2 · β^{^{<}|b|}, u)
⟺ u ∈ ((2 · α^{^{<}|a|}) + (2 · β^{^{<}|b|}))

Zudem definieren wir MSP(α^{^{<}|a|}, d) ··= {u : u + d ∈ α^{^{<}|a|}}^{^{<}|a|} .

(s)  ((a + b) + c = a + (b + c))^{w}

Wir können dies durch (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LIND) für d = |a + b + c|, …, 0 in

(MSP(α^{^{<}|a|}, d) + MSP(β^{^{<}|b|}, d)) + MSP(γ^{^{<}|c|}, d)
= MSP(α^{^{<}|a|}, d) + (MSP(β^{^{<}|b|}, d) + MSP(γ^{^{<}|c|}, d))

zeigen. Dabei benutzen wir im Induktionsschritt obiges spezielles Distributivgesetz sowie die bewiesenen Axiome (q) und (r) aus. Für d = 0 ergibt sich die Behauptung.

(t)  (b < c → a + b < a + c)^{w}

Sei β^{^{<}|b|} < γ^{^{<}|c|}, dann gilt für x = max (γ^{^{<}|c|}\β^{^{<}|b|})

x ∈ γ^{^{<}|c|}\β^{^{<}|b|} und x ≥ max (β^{^{<}|b|}\γ^{^{<}|c|}) .

Wir zeigen nun durch (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach d

MSP(α^{^{<}|a|}, x − · d) + MSP(β^{^{<}|b|}, x − · d)
< MSP(α^{^{<}|a|}, x − · d) + MSP(γ^{^{<}|c|}, x − · d)

(1)

Sei d = 0. Es folgt MSP(β^{^{<}|b|}, Sx) = MSP(γ^{^{<}|c|}, Sx) aus der Maximalität von x, also gilt

S(MSP(β^{^{<}|b|}, x)) = MSP(γ^{^{<}|c|}, x) .

Dann zeigen die schon bewiesenen Axiome (e) und (q)

MSP(α^{^{<}|a|}, x) + MSP(β^{^{<}|b|}, x)
< S(MSP(α^{^{<}|a|}, x) + MSP(β^{^{<}|b|}, x))
= MSP(α^{^{<}|a|}, x) + S(MSP(β^{^{<}|b|}, x))
= MSP(α^{^{<}|a|}, x) + MSP(γ^{^{<}|c|}, x) .

Für den Induktionsschritt haben wir die Induktionsvoraussetzung im Falle d < x

⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + ⌊\frac{1}{2} β̄⌋ < ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + ⌊\frac{1}{2} γ̄⌋

mit ᾱ ··= MSP(α^{^{<}|a|}, x − · Sd) etc. Nun zeigt (f)

S (2 · (⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + ⌊\frac{1}{2} β̄⌋)) < 2 · (⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + ⌊\frac{1}{2} γ̄⌋) ,

also folgt aus dem oben gezeigten speziellen Distributivgesetz

2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + 2 · ⌊\frac{1}{2} β̄⌋ < 2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + S(2 · ⌊\frac{1}{2} β̄⌋)
< 2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + 2 · ⌊\frac{1}{2} γ̄⌋
< 2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + S(2 · ⌊\frac{1}{2} γ̄⌋) .

Mithin ist

2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + β̄ < 2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋ + γ̄ . (2)

Ganz allgemein erhalten wir mit (e)

\begin{aligned}(u < v)^{w} & ⟹ & ¬(v ≤ u)^{w} ⟹^{(e)} ¬(v < Su)^{w} ⟹ (Su ≤ v)^{w} \\ & ⟹^{(e)} & (Su < Sv)^{w} . \end{aligned}

Auf (2) angewendet ergibt das

S(2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋) + β̄ < S(2 · ⌊\frac{1}{2} ᾱ⌋) + γ̄ .

In jedem Fall haben wir

ᾱ + β̄ < ᾱ + γ̄

gezeigt. Durch Induktion folgt (1) für d = |c|, also erhalten wir wegen x − · |c| = 0

α^{^{<}|a|} + β^{^{<}|b|} < α^{^{<}|a|} + γ^{^{<}|c|} .
(u)  (a · 0 = 0)^{w}

Sei t ···≡ T_{·}(a, 0) . Es ist

#z^{≤}|a|(z ≤ x ∧ z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ 0^{^{<}|0|}) = 0

für beliebiges x. Also gilt für die Menge ϕ, die

∀i^{≤}|t| ∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| (⟨i, x, y⟩ ∈ ϕ ↔ y = 0)

erfüllt und mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) existiert,

∀i^{≤}|t| G(i, a, 0, α, ∅, ϕ) .

Mithin ist

α^{^{<}|a|} · 0 = {u < |t| : ⟨|t|, u, 1⟩ ∈ ϕ} = {u < |t| : u ≠ u} = 0^{^{<}|0|} .

(v)  (a · (Sb) = (a · b) + a)^{w}

Die Schwierigkeit bei diesem Beweis liegt in der Verknüpfung der scharfen Anfangsstücke mit den Berechnungsfeldern der Multiplikation. Die Idee dabei ist, die Addition auf der ersten Zeile der Berechnungsfelder zu definieren:

∑_{i<|t|} d_{i} · 2^{i} + ∑_{i<|t|} e_{i} · 2^{i} = ∑_{i<|t|}(d_{i} + e_{i}) · 2^{i} ,

um anschließend dann wie bei der Multiplikation eine Binärdarstellung zu berechnen. Die eigentliche Aufgabe ist zu zeigen, daß diese Berechnung der Addition beweisbar zum richtigen Ergebnis führt.

Zu diesem Zwecke führen wir einige Notationen ein. Sei t(a) ···≡ T_{·}(a, a) ≡ 2 · (Sa) · (Sa) und t̃(a) ···≡ SqBd_{3}(t(a)) , dann ist |t(a)| ≥ 2 · |a|. Ein a-Berechnungsfeld ist eine Menge γ von Tripeln, für die

\begin{matrix}∀x^{≤}|t(a)| ∃!y^{≤}|t(a)| (⟨0, x, y⟩ ∈ γ) \\ ∧ & ∀x^{≤}|t(a)| ∀y^{≤}|t(a)| (⟨0, x, y⟩ ∈ γ → \\ y ≤ |a| ∧ (x ≥ |a| − · 1 → y ≤ 2 · |a| − · (Sx))) \end{matrix}  (1)

und

∀i^{≤}|t(a)| (i > 0 → G(i, a, a, γ)) (2)

gilt. Dabei ist G die Formel, die das Berechnungsfeld der Multiplikation beschreibt. Der für i > 0 relevante Teil von G ist eine Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Formel. Also ist die Eigenschaft, ein a-Berechnungsfeld zu sein, durch eine Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Formel gegeben. Analog zum Existenzund Eindeutigkeitsbeweis der Multiplikationsberechnung können wir auch hier durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) und (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) zeigen, daß sich jede Menge mit (1) auf den Tripeln eindeutig zu einem a-Berechnungsfeld fortsetzen läßt.

Nun garantiert (2), daß

∀i^{≤}|t(a)| (⟨i, |t(a)|, 0⟩ ∈ γ)

und

∀x^{≤}|t(a)| ∀y^{≤}|t(a)| (⟨|t(a)|, x, y⟩ ∈ γ → y ≤ 1)

gilt. Sei be(a, γ) , das Ergebnis des Berechnungsfeldes γ, mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) definiert durch

be(a, γ) ··= {u : ⟨|t(a)|, u, 1⟩ ∈ γ}^{^{<}|t(a)|} ,

dann ist dies eine Binärdarstellung der Ausgangszeile von γ.

Auf den Berechnungsfeldern sei +^{∗} die Addition, d. h. sind γ_{0} und γ_{1} a-Berechnungs-felder und δ ein t(a)-Berechnungsfeld, dann gilt γ_{0} +^{∗} γ_{1} = δ genau dann, wenn

\begin{matrix}∀x^{≤}|t(a)| ∀y_{0}^{≤}|a| ∀y_{1}^{≤}|a| (⟨0, x, y_{0}⟩ ∈ γ_{0} ∧ ⟨0, x, y_{1}⟩ ∈ γ_{1} \\ → ⟨0, x, y_{0} + y_{1}⟩ ∈ δ) \\ ∧ & ∀x^{≤}|t(t(a))| (x > |t(a)| → ⟨0, x, 0⟩ ∈ δ) . \end{matrix}  (3)

Dies ist wiederum eine Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Beschreibung.

Zu a-Berechnungsfeldern γ_{0} und γ_{1} gibt es mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) ein δ mit (3) und der Eigenschaft (1) eines t(a)-Berechnungsfeldes. Dies δ läßt sich in eindeutiger Weise zu einem t(a)-Berechnungsfeld fortsetzen.

Wir wollen nun zuerst folgende Homomorphieeigenschaft zeigen:

be(t(a), γ_{0} +^{∗} γ_{1}) = be(a, γ_{0}) + be(a, γ_{1}) . (4)

Dazu verallgemeinern wir +^{∗} auf scharfe Anfangsstücke, indem wir von α^{^{<}|a|} zum kanonischen a-Berechnungsfeld

{⟨i, x, y⟩ ≤ |t̃(a)| : y ≤ 1 ∧ (y = 1 ↔ x ∈ α^{^{<}|a|})}

übergehen, dessen Existenz wieder durch (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) gesichert ist.

Ist γ ein a-Berechnungsfeld, dann gibt es ein (2a+1)-Berechnungsfeld δ mit γ +^{∗} α^{^{<}|a|} = δ. Für jedes solche δ gilt

be(2a + 1, δ) = be(a, γ) + α^{^{<}|a|} . (5)

Beweis:

Sei \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} = be(a, γ) . Durch (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LIND) zeigen wir für 0 < i ≤ |t(a)|:
∀x^{≤}|t(2a + 1)| ∀y^{≤}|t(2a + 1)| [⟨i, x, y⟩ ∈ δ ↔

[( bei \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} + α^{^{<}|a|} tritt

kein Übertrag auf die Stelle x auf oder x = 0 ) ∧ (x < i → y ≤ 1 ∧ (y = 1 ↔ (x ∉ α^{^{<}|a|} ↔ x ∈ \overline{γ}^{^{<}|t(a)|}))) ∧ (x = i → ∃z^{≤}|t(a)| (⟨i, i, z⟩ ∈ γ

∧ z ≤ y ∧ y ≤ z + 1 ∧ (y = z ↔ i ∉ α^{^{<}|a|})))]

∨ [( bei \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} + α^{^{<}|a|} tritt ein Übertrag auf die Stelle x auf )

∧ (x < i → y ≤ 1 ∧ (y = 1 ↔ (x ∈ α^{^{<}|a|} ↔ x ∈ \overline{γ}^{^{<}|t(a)|})))

∧ (x = i → ∃z^{≤}|t(a)| (⟨i, i, z⟩ ∈ γ

∧ z + 1 ≤ y ∧ y ≤ z + 2 ∧ (y = z + 1 ↔ i ∉ α^{^{<}|a|})))]] Dann gilt

be(2a + 1, δ)

= {u : ⟨|t(2a + 1)|, u, 1⟩ ∈ δ}^{^{<}|t(2a+1)|}
= \{u < |t(2a + 1)| : [( bei \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} + α^{^{<}|a|} tritt

kein Übertrag auf die Stelle u auf oder u = 0 ) ∧ (u ∉ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ \overline{γ}^{^{<}|t(a)|})]

∨ [( bei \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} + α^{^{<}|a|} tritt ein Übertrag auf die Stelle u auf )

∧ (u ∈ α^{^{<}|a|} ↔ u ∈ \overline{γ}^{^{<}|t(a)|})]\}

= \overline{γ}^{^{<}|t(a)|} + α^{^{<}|a|} . □

Seien γ, δ a-Berechnungsfelder. Wir zeigen nun durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach b

∃ϕ ∃ψ [ ϕ^{^{<}|t̃(a)|} ist a-Berechnungsfeld

∧ ψ^{^{<}|t̃(t(a))|} ist t(a)-Berechnungsfeld
∧ ∀x^{≤}|t(a)| ∀y^{≤}|t(a)| (⟨0, x, y⟩ ∈ ϕ^{^{<}|t̃(a)|} ↔
(y ≤ b ∧ ⟨0, x, y⟩ ∈ δ) ∨ (y = b ∧ ∃z^{≤}|t(a)| (⟨0, x, z⟩ ∈ δ ∧ z > b)))
∧ ψ^{^{<}|t̃(t(a))|} = γ +^{∗} ϕ^{^{<}|t̃(a)|}
∧ be(t(a), ψ^{^{<}|t̃(t(a))|}) = be(a, γ) + be(a, ϕ^{^{<}|t̃(a)|})] ,

(6)

für b = |t(a)|, dann gilt

ϕ = δ ⟹ ψ = γ +^{∗} δ
⟹ be(t(a), γ +^{∗} δ) = be(a, γ) + be(a, δ) ,

also die gewünschte Homomorphieeigenschaft (4). Beweis:

Für b = 0 sei ϕ = 0 und ψ = γ , dann gilt

ψ = γ +^{∗} ϕ und

be(t(a), ψ) = be(t(a), γ) = be(a, γ) = be(a, γ) + 0
= be(a, γ) + be(a, ϕ) .

Im Induktionsschritt gelte (6) für b, also gibt es Mengen ϕ_{0}, ψ_{0} mit den gewünschten Eigenschaften. Wir definieren a- bzw. t(a)-Berechnungsfelder ϕ_{1} und ψ_{1} durch

\begin{aligned}⟨0, x, y⟩ ∈ ϕ_{1} & ↔ & (y ≤ Sb ∧ ⟨0, x, y⟩ ∈ δ) ∨ \\ & & (y = Sb ∧ ∃z^{≤}|t(a)| (⟨0, x, z⟩ ∈ δ ∧ z > Sb)) \end{aligned}

und

ψ_{1} = γ +^{∗} ϕ_{1} .

Mit (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) sei

α^{^{<}|t(a)|} = {u : ∃y^{≤}|t(a)| (y > Sb ∧ ⟨0, u, y⟩ ∈ δ)} .

Dann gilt

ϕ_{1} = ϕ_{0} +^{∗} α^{^{<}|t(a)|} und somit

ψ_{1} = γ +^{∗} ϕ_{1} = γ +^{∗} (ϕ_{0} +^{∗} α^{^{<}|t(a)|}) = (γ +^{∗} ϕ_{0}) +^{∗} α^{^{<}|t(a)|}
= ψ_{0} +^{∗} α^{^{<}|t(a)|} .

Also gilt mit obigem (5)

be(t(a), ψ_{1}) =^{(5)} be(t(a), ψ_{0}) + α^{^{<}|t(a)|}
= (be(a, γ) + be(a, ϕ_{0})) + α^{^{<}|t(a)|}
= be(a, γ) + (be(a, ϕ_{0}) + α^{^{<}|t(a)|})
=^{(5)} be(a, γ) + be(2a + 1, ϕ_{0} +^{∗} α^{^{<}|t(a)|})
= be(a, γ) + be(a, ϕ_{1}) .

Dabei geht bei dem zweiten ”=“ die Induktionsvoraussetzung ein. □

Um jetzt die Rekursionsgleichung zu zeigen, berechnen wir zuerst S(β^{^{<}|b|}) : Mit (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LMIN) existiert wegen |b| ∉ β^{^{<}|b|} ein minimales w ≤ |b| mit w ∉ β^{^{<}|b|}. Es gilt also

∀v^{≤}|b| (v < w → v ∈ β^{^{<}|b|}) .

Dann ist

S(β^{^{<}|b|}) = {u : (u > w ∧ u ∈ β^{^{<}|b|}) ∨ u = w} .

Sei c ··= 2·max (a, b)+1 , dann gibt es c-Berechnungsfelder γ_{0} und γ_{1}, die α^{^{<}|a|}·β^{^{<}|b|} und α^{^{<}|a|} · S(β^{^{<}|b|}) beschreiben:

⟨0, x, y⟩ ∈ γ_{0} ⟺
y = #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
= #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z > w ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+#z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z < w ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
⟨0, x, y⟩ ∈ γ_{1} ⟺
y = #z^{≤}|2b + 1|(z ≤ x ∧ z ∈ S(β^{^{<}|b|}) ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
= #z^{≤}|2b + 1|(z ≤ x ∧ z > w ∧ z ∈ S(β^{^{<}|b|}) ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+(x − · w)α^{^{<}|a|} · 1_{w≤x}
= #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z > w ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+(x − · w)α^{^{<}|a|} · 1_{w≤x} .

Wir zeigen nun

be(c, γ_{1}) = be(c, γ_{0} +^{∗} α^{^{<}|a|}) . (7)

Dazu beweisen wir durch (Σ_{1}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach l

∃ϕ ∃ψ [ ϕ^{^{<}|t̃(c)|} und ψ^{^{<}|t̃(c)|} sind c-Berechnungsfelder

∧ ϕ^{^{<}|t̃(c)|} = γ_{0} +^{∗} α^{^{<}|a|}
∧ ∀x^{≤}|t(c)| ∀y^{≤}|t(c)| (⟨0, x, y⟩ ∈ ψ^{^{<}|t̃(c)|} ↔
y = #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z > w ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+#z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z < w ∧ z ≥ l ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+(x − · l)α^{^{<}|a|} · 1_{l≤x})
∧ be(c, ψ^{^{<}|t̃(c)|}) = be(c, ϕ^{^{<}|t̃(c)|})] ,

(8)

für l = w ≤ |b|. Beweis:

Ist l = 0 , so erfüllt ψ = ϕ = γ_{0} +^{∗} α^{^{<}|a|} die Formel (8). Im Induktionsschritt gelte nach Induktionsvoraussetzung (7) für l. Es gibt also c-Berechnungsfelder ϕ und ψ_{0} mit

ϕ = γ_{0} +^{∗} α^{^{<}|a|} und

be(c, ϕ) = be(c, ψ_{0}) . (9) Sei μ ein c-Berechnungsfeld mit

⟨0, x, y⟩ ∈ μ ↔

y = #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z > w ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})
+ #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z < w ∧ z ≥ Sl ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|}) ,

dann gilt

\begin{aligned}ψ_{0} & = & (μ +^{∗} 2^{l} · α^{^{<}|a|}) +^{∗} 2^{l} · α^{^{<}|a|} \\ & = & μ +^{∗} (2^{l} · α^{^{<}|a|} +^{∗} 2^{l} · α^{^{<}|a|}) . \end{aligned}  (10)

Sei ψ_{1} ein c-Berechnungsfeld mit

ψ_{1} = μ +^{∗} 2^{l+1} · α^{^{<}|a|} . (11) Wir erhalten

be(c, ϕ) =^{(9)} be(c, ψ_{0})
=^{(10)} be(c, μ +^{∗} (2^{l} · α^{^{<}|a|} +^{∗} 2^{l} · α^{^{<}|a|}))
= be(c, μ) + be(c, 2^{l} · α^{^{<}|a|} +^{∗} 2^{l} · α^{^{<}|a|})
= be(c, μ) + (be(c, 2^{l} · α^{^{<}|a|}) + be(c, 2^{l} · α^{^{<}|a|}))
= be(c, μ) + (2^{l} · α^{^{<}|a|} + 2^{l} · α^{^{<}|a|})
= be(c, μ) + 2^{l+1} · α^{^{<}|a|}
= be(c, μ) + be(c, 2^{l+1} · α^{^{<}|a|})
= be(c, μ +^{∗} 2^{l+1} · α^{^{<}|a|})
=^{(11)} be(c, ψ_{1}) ,

wobei wir in der fünften und siebten Zeile l + 1 + |a| ≤ |b| + |a| < |c| beachten.

□

Mithin ist gezeigt:

α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|} + α^{^{<}|a|} = be(c, γ_{0}) + be(c, α^{^{<}|a|})
=^{(4)} be(c, γ_{0} +^{∗} α^{^{<}|a|})
=^{(7)} be(c, γ_{1})
= α^{^{<}|a|} · S(β^{^{<}|b|}) .

(w)  (a · b = b · a)^{w}

Dies folgt sofort aus der Definition der Multiplikation, die wegen

#z^{≤}|a|(z ≤ x ∧ z ∈ α^{^{<}|a|} ∧ x − · z ∈ β^{^{<}|b|})
= #z^{≤}|b|(z ≤ x ∧ z ∈ β^{^{<}|b|} ∧ x − · z ∈ α^{^{<}|a|})

symmetrisch in α^{^{<}|a|} und β^{^{<}|b|} ist.

(x)  ((a · b) · 2 = a · (b · 2))^{w}

Wie bei der Definition der Multiplikation gezeigt gibt es ϕ und ψ, die α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|} und α^{^{<}|a|} · (β^{^{<}|b|} · 2) beschreiben. Dabei ist β^{^{<}|b|} · 2 = {u : u > 0 ∧ u − · 1 ∈ β^{^{<}|b|}}. Durch (Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-LIND) nach i läßt sich

∀x^{≤}|t| ∀y^{≤}|t| [⟨i, x, y⟩ ∈ ϕ ↔ (i = 0 ∧ ⟨0, Sx, y⟩ ∈ ψ)
∨ (i > 0 ∧ ⟨Si, Sx, y⟩ ∈ ψ)]

für i = |t| mit t ···≡ T_{·}(a, b) zeigen.

Nun ist

T_{·}(a, 2 · b + 1) ≡ 2 · (Sa) · (S(2 · b + 1))
= 2 · (Sa) · (2 · (Sb)) = 2 · (2 · (Sa) · (Sb))
= 2 · t ,

und da t > 0 ist, folgt |T_{·}(a, 2 · b + 1)| = S|t| = |2 · t + 1|.

Wir beobachten ⟨i, 0, 0⟩ ∈ ψ für i ≤ S|t|. Also gilt für x ≤ S|t|

x ∈ (α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|}) · 2 ↔ x > 0 ∧ x − · 1 ∈ α^{^{<}|a|} · β^{^{<}|b|}
↔ x > 0 ∧ ⟨|t|, x − · 1, 1⟩ ∈ ϕ
↔ x > 0 ∧ ⟨S|t|, S(x − · 1), 1⟩ ∈ ψ
↔ ⟨|2 · t + 1|, x, 1⟩ ∈ ψ
↔ x ∈ α^{^{<}|a|} · (β^{^{<}|b|} · 2) .

Wir fassen unser bisheriges Mühen in Lemma 8.2 zusammen.

8.2 Lemma Für A ∈ Basic(∅) gilt U_{2}^{1,w^{⋆}} A^{w} . □

Für die Einbettung von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}} treffen wir noch einige technische Vorbereitungen.

8.3 Lemma Es gilt:

(i) ¬(A^{w}) ≡ (¬A^{w}) (ii) Für i > 0 gilt

A ∈ Σ_{i}^{b} ⟹ A^{w} ∈ Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}
A ∈ Π_{i}^{b} ⟹ A^{w} ∈ Π_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

(iii) U_{2}^{i,w^{⋆}} ¬U^{^{<}|s|} = V^{^{<}|t|}, ¬(A(a))a, α^{w}(s, U), (A(a))a, α^{w}(t, V)

für beliebige Terme s, t und Klassenterme U, V .

(iv) (A(t))^{w} ≡ (A(a))a, α^{w}(T_{t}, U_{t}) .

Beweis:

durch Induktion nach der Länge von A . □

8.4 Satz

Sei A(a) ∈ Σ^{b} , B(a, α) ···≡ (A(a))^{w} , dann gilt

(i) U_{2}^{0,w^{⋆}} ¬∀ϕ B(T_{|t|}, ϕ^{|T_{|t|}|}), ∀x^{<}|2#T_{t}| B(T_{|t|}, U(x)) .

(ii) U_{2}^{0,w^{⋆}} ¬∃ϕ B(T_{|t|}, ϕ^{|T_{|t|}|}), ∃x^{<}|2#T_{t}| B(T_{|t|}, U(x)) . Beweis:

Sei b eine neue Variable. Aus Lemma 8.3 (iii) erhalten wir

U_{2}^{0,w^{⋆}} ¬α^{^{<}|T_{|t|}|} = U(b)^{^{<}|T_{|t|}|}, ¬B(T_{|t|}, α^{|T_{|t|}|}), B(T_{|t|}, U(b)) .

Nun zeigt die Definition von α^{^{<}|a|} = β^{^{<}|b|}

U_{2}^{0,w^{⋆}} α^{^{<}|T_{|t|}|} = U(b)^{^{<}|T_{|t|}|}, ¬∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ α^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, b) = 1) .

Insgesamt ergibt das

\begin{aligned}U_{2}^{0,w^{⋆}} & ¬∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ α^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, b) = 1), \\ & ¬B(T_{|t|}, α^{|T_{|t|}|}), B(T_{|t|}, U(b)) . \end{aligned}  (1)

(i) (1) führt mit (∃^{2}) und (∀^{2}) auf

\begin{aligned}U_{2}^{0,w^{⋆}} & ∀ϕ ¬∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ ϕ^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, b) = 1), \\ & ∃ϕ ¬B(T_{|t|}, ϕ^{|T_{|t|}|}), B(T_{|t|}, U(b)) . \end{aligned}  (2)

Es gilt

U_{2}^{0,w^{⋆}} ∀y^{<}|T_{|t|}| (y ≤ |T_{|t|}| ∧ Bit(y, b) = 1 ↔ Bit(y, b) = 1) .

Dann ergibt (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) :

U_{2}^{0,w^{⋆}} ∃ϕ ∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ ϕ^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, b) = 1) .

(Schnitt) mit (2) und (∀^{≤}) liefern die Behauptung.

(ii) Hier führt (1) mit (∃^{≤}) und (∀^{≤}) auf

\begin{aligned}U_{2}^{0,w^{⋆}} & ∀x^{≤}|2#T_{t}| ¬∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ α^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, x) = 1), \\ & ¬B(T_{|t|}, α^{|T_{|t|}|}), ∃x^{≤}|2#T_{t}| B(T_{|t|}, U(x)) . \end{aligned}  (3)

Nun zeigt Satz 5.9 für a = T_{t} unter Ausnutzung von ||T_{t}|| ≡ |T_{||}|(T_{t}) ≡ |T_{|t|}|

U_{2}^{0,w^{⋆}} ∃x^{≤}|2#T_{t}| ∀y^{<}|T_{|t|}| (y ∈ α^{|T_{|t|}|} ↔ Bit(y, x) = 1) .

Ein (Schnitt) mit (3) und (∀^{2}) liefert das Gewünschte. □

8.5 Einbettungssatz von S_{2}^{i} in U_{2}^{i,w^{⋆}}

Sei i > 0, Γ ⊂ Σ^{b} und S_{2}^{i} Γ , dann gilt U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w} .

Beweis: Mit dem Eliminationssatz 4.14 folgt aus der Voraussetzung S_{2}^{i} ^{m}_{1} Γ für ein m < ω. Nun zeigen wir durch Induktion nach m die Behauptung.

(i) Liegt ein logisches Axiom vor, so folgt mit Lemma 8.3 (i), (¬A)^{w} ≡ ¬A^{w} , die Behauptung. Die Definition von =^{w} als extensionale Mengengleichheit liefert sofort die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von =^{w}. Da die übersetzten Funktionen und Prädikate auf den Mengenextensionen definiert sind, erhalten wir somit alle Gleichheitsaxiome.

(ii) Die Substitutionsinstanzen der Axiome aus Basic(∅) ergeben sich aus den nach-

gerechneten Axiomen (Lemma 8.2) durch Substitution von Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Klassenter-men (Satz 6.7) der Gestalt U_{t} = {u : F_{t}(u)}.

(iii) War der letzte Schluß (∧) oder (∨), so folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung. Fast genau so einfach ist (Schnitt). Hier wird neben der Induktionsvoraussetzung noch Lemma 8.3 (i), ¬(A^{w}) ≡ (¬A)^{w} , benötigt.

(∀^{≤}) Ohne Einschränkung habe der Schluß die Voraussetzung

S_{2}^{i} _{1} Γ, a / ≤ t, A(a)

mit a ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}t A(x)) . Die Induktionsvoraussetzung liefert daraus

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (a / ≤ t)^{w}, (A(a))^{w} ,

mithin

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (a ≤ t → A(a))^{w} .

Da a ∉ FV (Γ) , sind a, α ∉ FV (Γ^{w}) . Außerdem folgt Γ^{w} ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} aus Γ ⊂ Σ^{b} . Dann erhalten wir durch Termersetzung 4.5 (i) und Klassentermersetzung 6.7, da α^{|T_{t}|} ein Σ_{0}^{1,w^{⋆}}-Klassenterm ist,

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (a ≤ t → A(a))a, α^{w}(T_{t}, α^{|T_{t}|})

und mit einem (∀^{2})

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, ∀ϕ (a ≤ t → A(a))a, α^{w}(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) .

Ist t ≡ |s| für einen Term s, so folgt aus Lemma 8.4 (i) mit einem (Schnitt)

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (∀x^{≤}t A(x))^{w}

wegen

∀x^{≤}|2#T_{s}| (a ≤ |s| → A(a))a, α^{w}(T_{|s|}, α^{|T_{|s|}|}) ≡ (∀x^{≤}t A(x))^{w} .

Sonst gilt die Behauptung, da in diesem Fall

∀ϕ (a ≤ t → A(a))a, α^{w}(T_{t}, ϕ^{|T_{t}|}) ≡ (∀x^{≤}t A(x))^{w} .

(∃^{≤}) Der letzte Schluß hatte die Gestalt

S_{2}^{i} _{1} Γ, A(t) ⟹ S_{2}^{i} _{1} Γ, t / ≤ s, ∃x^{≤}s A(x) .

Dann liefert die Induktionsvoraussetzung

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (A(t))^{w} . (1) Wir zeigen nun

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (t / ≤ s)^{w}, ∃ϕ ([a ≤ s ∧ A(a)]a, α^{w}(T_{s}, ϕ^{|T_{s}|})) , (2)

indem wir informal in U_{2}^{i,w^{⋆}} argumentieren. Gelte ¬ ⋁ Γ^{w} und ¬(t / ≤ s)^{w} , d. h.

U_{t}^{<|T_{t}|} ≤ U_{s}^{<|T_{s}|} , (3) dann folgt einerseits aus (1)

(A(t))^{w} . (4) Andererseits gilt

(U_{t}^{<|T_{t}|})^{^{<}|T_{s}|} = U_{t}^{<|T_{t}|} , (5)

da aus U_{t}^{<|T_{t}|}≤U_{s}^{<|T_{s}|} für x∈U_{t}^{<|T_{t}|} schon x<|T_{s}| folgt, also die Einschränkung von U_{t}^{<|T_{t}|} auf (U_{t}^{<|T_{t}|})^{^{<}|T_{s}|} in Wirklichkeit keine ist. Also folgt mit (5) aus den Gleichheitsaxiomen^{w} 8.3 (iii) angewandt auf (3)

(U_{t}^{<|T_{t}|})^{^{<}|T_{s}|} ≤ U_{s}^{<|T_{s}|}

und aus (A(t))^{w} ≡ (A(a))a, α^{w}(T_{t}, U_{t}) 8.3 (iv) und den Gleichheitsaxiomen^{w} 8.3 (iii) angewandt auf (4)

(A(a))a, α^{w}(T_{s}, U_{t}^{<|T_{t}|}) ,

mithin

(a ≤ s ∧ A(a))a, α^{w}(T_{s}, U_{t}^{<|T_{t}|}) .

Analog zu (5) sehen wir

(U_{t}^{<|T_{t}|})^{|T_{s}|} = U_{t}^{<|T_{t}|} ,

also folgt wieder aus den Gleichheitsaxiomen^{w} 8.3 (iii)

(a ≤ s ∧ A(a))a, α^{w} (T_{s}, (U_{t}^{<|T_{t}|})^{|T_{s}|}) .

Mit (wΣ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-CA), die nach Lemma 6.2 in U_{2}^{1,w^{⋆}} herleitbar ist, folgt nun

∃ϕ ([a ≤ s ∧ A(a)]a, α^{w}(T_{s}, ϕ^{|T_{s}|})) ,

also (2). Ist nicht s ≡ |s̃| für einen Term s̃, so sind wir an dieser Stelle fertig. In dem anderen Fall, wo s ≡ |s̃| für einen Term s̃ ist, zeigt Lemma 8.4 (ii)

\begin{aligned}U_{2}^{0,w^{⋆}} & ¬∃ϕ (A(a))a, α^{w}(T_{|s̃|}, ϕ^{|T_{|s̃|}|}), \\ & ∃x^{≤}|2#Ts̃| ([a ≤ |s̃| ∧ A(a)]a, α^{w}(T_{|s̃|}, U(x))) . \end{aligned}

Ein (Schnitt) mit (2) liefert nun

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (t / ≤ s)^{w}, (∃x^{≤}|s̃| A(x))^{w} .

(Σ_{i}^{b}-PIND) Als letzter Schluß liegt vor

S_{2}^{i} _{1} Γ, ¬A(⌊\frac{1}{2}b⌋), A(b) ⟹ S_{2}^{i} _{1} Γ, ¬A(0), A(t)

mit b ∉ FV (Γ, A(0)) und A(a) ∈ Σ_{i}^{b} . Die Induktionsvoraussetzung zeigt hier mit Lemma 8.3

\begin{matrix}U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, & ¬(A(a))a, α^{w}(⌊\frac{1}{2}b⌋, \{u : Su < |b| ∧ Su ∈ β\}), \\ (A(a))a, α^{w}(b, \{u < |b| : u ∈ β\}) . \end{matrix}

Da die Äquivalenz (Su < |b| ↔ u < |⌊\frac{1}{2}b⌋|) in U_{2}^{i,w^{⋆}} gilt, erhalten wir

\begin{matrix}U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, & ¬(A(a))a, α^{w}(⌊\frac{1}{2}b⌋, \{u < |⌊\frac{1}{2}b⌋| : Su ∈ β\}), \\ (A(a))a, α^{w}(b, \{u < |b| : u ∈ β\}) . \end{matrix}

Nun wird β durch den Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-Klassenterm

{u : |T_{t}| − · (|b| − · u) ∈ U_{t}}

ersetzt. Die Herleitbarkeit der entstehenden Formelmenge garantiert Satz 6.7.

\begin{aligned}U_{2}^{i,w^{⋆}} & Γ^{w}, (A(a))a, α^{w}(b, \{u < |b| : |T_{t}| − · (|b| − · u) ∈ U_{t}\}), \\ & ¬(A(a))a, α^{w}(⌊\frac{1}{2}b⌋, \{u < |⌊\frac{1}{2}b⌋| : |T_{t}| − · (|b| − · Su) ∈ U_{t}\}) . \end{aligned}

Da A(a) ∈ Σ_{i}^{b} ist, folgt mit Lemma 8.3 (ii) (A(a))^{w} ∈ Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} und, weil U_{t}

aus Δ_{1}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} ist, mit Satz 6.8

B(b) ···≡ (A(a))a, α^{w}(b, \{u < |b| : |T_{t}| − · (|b| − · u) ∈ U_{t}\}) ∈ Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}} .

Wir beobachten in U_{2}^{i,w^{⋆}}

b > 0 → |b| = S|⌊\frac{1}{2}b⌋|
→ |b| − · Su = S|⌊\frac{1}{2}b⌋| − · Su = |⌊\frac{1}{2}b⌋| − · u
b = 0 → |b| − · Su = 0 = |⌊\frac{1}{2}b⌋| − · u ,

mithin gilt

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, ¬B(⌊\frac{1}{2}b⌋), B(b) .

Außerdem ist b ∉ FV (Γ^{w}, B(0)) , also zeigt (Σ_{i}^{U{1,w^{⋆} \atop 2}}-PIND)

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, ¬B(0), B(T_{t}) ,

mithin

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, ¬(A(a))a, α^{w}(0, U_{0}), (A(a))a, α^{w}(T_{t}, U_{t}^{<|T_{t}|}) .

Das Gleichheitsaxiom^{w} Lemma 8.3 (iii) im Zusammenhang mit

(U_{t}^{<|T_{t}|})^{^{<}|T_{t}|} = U_{t}^{<|T_{t}|}

liefert hieraus

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, ¬(A(a))a, α^{w}(0, U_{0}), (A(a))a, α^{w}(T_{t}, U_{t}) .

Lemma 8.3 (iv) und (i) produzieren nun

U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ^{w}, (¬A(0))^{w}, (A(t))^{w} .  □

Mit diesem Einbettungssatz läßt sich zeigen, daß die Δ_{i}^{p}-Prädikate, die nach dem Hauptsatz 3.7 Δ_{i}^{b}-definierbar in S_{2}^{i} sind, in U_{2}^{i,w^{⋆}} durch Δ_{i}^{1,w^{⋆}}-Formeln beschrieben werden. Die Umkehrung dieser Aussage streben wir als nächstes an, um so den Hauptsatz auch für U_{2}^{i,w^{⋆}} zu bekommen.

9 Charakterisierung der Polynomialen Hierarchie in U_{2}^{i,w^{⋆}}

Nachdem wir im letzten Abschnitt gezeigt haben, daß die in S_{2}^{i} herleitbaren Σ^{b}-Formeln in ”äquivalenter Form“ in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisbar sind, zeigen wir hier quasi die Umkehrung. Die in U_{2}^{i,w^{⋆}} herleitbaren Σ^{1,w^{⋆}}-Formeln sind in ”äquivalenter Form“ in S_{2}^{i}(A) herleitbar. Mit diesem und dem Hauptsatz 3.7 zeigen wir, daß die Δ_{i}^{p}-Prädikate genau diejenigen sind, die durch Δ_{i}^{1,w^{⋆}}-Formeln bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}} beschrieben werden.

Die Einbettung von U_{2}^{i,w^{⋆}} in S_{2}^{i}(A) gestaltet sich weitaus einfacher als die in den letzten beiden Abschnitten bewiesene, da wir bei der Übersetzung der zweiten Stufe in die erste nicht die sprachlichen Probleme wie vorher haben. Wir übersetzen

Qϕ B(ϕ^{|t|}) durch Qx^{≤}(4 · t + 1) B(U(x)^{|t|}) ,

wobei wie üblich U(a) der Klassenterm {u : Bit(u, a) = 1} ist. Die Grenze 4 · t + 1 ist richtig gewählt, denn für t = 0 erhalten wir

∑_{i≤|0|}(i)ϕ · 2^{i} ≤ 1 = 4 · 0 + 1 ,

und für t > 0 folgt 2^{s} ≤ t < 2^{s+1} mit s = |t| − 1 , mithin gilt

∑_{i≤|t|}(i)ϕ · 2^{i} ≤ 2^{|t|+1} − 1 = 2^{s+2} − 1 = 4 · 2^{s} − 1 ≤ 4 · t − 1 < 4 · t + 1 .

Da die zu den Funktionszeichen aus F^{w} gehörenden Funktionen Σ_{1}^{b}-definierbar bezüglich S_{2}^{1} sind, können wir nach Korollar 3.5 ohne Einschränkung davon ausgehen, daß sie in S_{2}^{i} enthalten sind.

Ein wesentlicher Punkt bei der Durchführung der Einbettung ist, eine erststufige Komprehension in S_{2}^{i}(A) einzusehen.

9.1 Satz

Sei A(a) aus Δ_{1}^{b}(A, F^{w}) bezüglich S_{2}^{1}(A), dann gilt
S_{2}^{1}(A) ∃x^{≤}(4 · t + 1) ∀z^{≤}|t| (A(z) ↔ Bit(z, x) = 1) .

Beweis:

Sei B(a) ···≡ ∃x^{≤}((4 · a − · 2) + 1) ∀z^{≤}|a| [A(|t| − · (|a| − · z)) ↔ Bit(z, x) = 1].

Wir argumentieren in S_{2}^{1}(A), um S_{2}^{1}(A) B(t) zu zeigen. Mit der Voraussetzung A ∈ Δ_{1}^{b}(A, F^{w}) bezüglich S_{2}^{1}(A) ist die Formel B aus Σ_{1}^{b}(A, F^{w}). Wir zeigen durch (Σ_{1}^{b}(A, F^{w})-PIND) nach a B(t) .

Gilt A(|t|), so sei x = 1 , ansonsten x = 0 . In beiden Fällen erhalten wir

∀z^{≤}|0| [A(|t|) ↔ Bit(z, 0) = 1] ,

da Bit(0, 0) = 0 und Bit(0, 1) = 1 ist. Mithin B(0), also ist der Induktionsanfang gezeigt.

Für den Induktionsschritt nehmen wir für beliebiges a

B(⌊\frac{1}{2}a⌋) (1)

an. Für a = 0 folgt daraus schon B(a), also sei a ≠ 0 . Dann gibt es wegen (1) x ≤ (4 · ⌊\frac{1}{2}a⌋ − · 2) + 1 mit

∀z^{≤}|⌊\frac{1}{2}a⌋| [A(|t| − · (|⌊\frac{1}{2}a⌋| − · z)) ↔ Bit(z, x) = 1] . (2)

Gilt A(|t| − · |a|), so sei x̃ = 2 · x + 1 , sonst x̃ = 2 · x. Beide Mal erhalten wir

A(|t| − · |a|) ↔ Bit(0, x̃) , (3)

da Bit(0, 2 · x) = 0 und Bit(0, 2 · x + 1) = 1 ist.

Wir zeigen nun

∀z^{≤}|a| [A(|t| − · (|a| − · z)) ↔ Bit(z, x̃) = 1]

Ist z = 0 , so gilt mit (3)

A(|t| − · (|a| − · 0)) ↔ A(|t| − · |a|) ↔ Bit(0, x̃) = 1 .

Für 0<z ≤|a| sei z̃ ··= z − · 1 , so daß z =Sz̃ gilt. Nun wird |a|=S|⌊\frac{1}{2}a⌋| von a>0 impliziert, mithin ist z̃ ≤ |⌊\frac{1}{2}a⌋|. Wir beobachten Bit(Sz̃, x̃) = Bit(z̃, x) , also gilt

A(|t| − · (|a| − · z)) ↔ A(|t| − · (S(|⌊\frac{1}{2}a⌋|) − · Sz̃))
↔ A(|t| − · (|⌊\frac{1}{2}a⌋| − · z̃))
↔^{(2)} Bit(z̃, x) = 1
↔ Bit(Sz̃, x̃) = 1
↔ Bit(z, x̃) = 1 .

Nun bleibt noch zu zeigen, daß x̃ ≤ (4 · a − · 2) + 1 ist. Nach Voraussetzung ist x ≤ (4 · ⌊\frac{1}{2}a⌋ − · 2) + 1 , also gilt

a = 1 : 2 · x ≤ 2 · x + 1 ≤ 2 · ((4 · 0 − · 2) + 1) + 1 = (4 · 1 − · 2) + 1
a > 1 : 2 · x ≤ 2 · x + 1 ≤ 2 · ((4 · ⌊\frac{1}{2}a⌋ − · 2) + 1) + 1
≤2 · ((2 · a − · 2) + 1) + 1 = (4 · a − · 2) + 1 .

Mithin erhalten wir B(a), was den Induktionsschritt vollendet.

Durch P-Induktion folgt nun B(t), also die Behauptung. □

9.2 Definition der Übersetzung ∘ : Σ^{1,w^{⋆}} ⟶ Σ^{b}(A, F^{w})

durch Induktion nach der Länge der Formel A.

(a) Ist A atomar, so sei A^{∘} ···≡ A .

(b) Ist A ≡ B ∘ C mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann definieren wir A^{∘} ···≡ B^{∘} ∘ C^{∘}.

(c) Hat A die Gestalt Qx_{k}^{≤}|t| B(x_{k}) mit Q ∈ {∀ , ∃ } und ist a eine neue Variable, dann sei

A^{∘} ···≡ Qx_{2k}^{≤}|t| (B(a))a^{∘}(x_{2k}) .

(d) Ist A ≡ Qϕ_{k} B(ϕ_{k}^{|t|}) mit Q ∈ {∀ , ∃ } und ist α eine neue Variable, dann sei

A^{∘} ···≡ Qx_{2k+1}^{≤}(4 · t + 1) (B(α))α^{∘}({u ≤ |t| : Bit(u, x_{2k+1}) = 1}) .

Für Γ = {A_{1}, …, A_{n}} sei Γ^{∘} = {A_{1}^{∘}, …, A_{n}^{∘}}.

9.3 Lemma

Es gilt

(i) ¬A^{∘} ≡ (¬A)^{∘}

(ii) Sei i ≥ 0:

A ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ⟹ A^{∘} ∈ Σ_{i}^{b}(A, F^{w})
A ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} ⟹ A^{∘} ∈ Π_{i}^{b}(A, F^{w})

(iii) A ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} ⟹ A^{∘} ≡ A

(iv) (A(t))^{∘} ≡ (A(a))a^{∘}(t)

(v) (A({u : B(u)}))^{∘} ≡ (A(α))α^{∘}({u : B^{∘}(u)})

Punkt (iv) erlaubt uns einfach A^{∘}(a) zu schreiben. Beweis:

durch Induktion nach der Länge von A. □

Bevor wir uns dem Einbettungssatz zuwenden, müssen wir eine Einsetzung von Σ_{0}^{b}(A, F^{w})-Klassentermen in eine Σ^{b}(A, F^{w}) Formelmenge Γ für S_{2}^{i}(A) beweisen. Da in S_{2}^{i}(A) keine Komprehensionsregel zur Verfügung steht, ist hier ganz wesentlich, daß keine Formel aus Γ einen zweitstufigen Quantor enthält, daß also Γ ⊂ Σ^{b}(A, F^{w}) gilt. Später in der Anwendung im Einbettungssatz betrachten wir Formelmengen aus Σ^{1,w^{⋆}}. Deren Übersetzung ist dann eine Σ^{b}(A, F^{w})-Formelmenge. Also spielt die Einschränkung keine Rolle.

9.4 Lemma

Ist A(a) ∈ Σ_{0}^{b}(A, F^{w}) und Γ ⊂ Σ^{b}(A, F^{w}) mit BV (Γ) ∩ BV (A) = ∅, dann gilt

S_{2}^{i}(A) Γ ⟹ S_{2}^{i}(A) Γα(A(.)) .

Beweis:

Zuerst beobachten wir analog zu 4.9 (i), daß für beliebige Formeln F

∀i (i) F ∈ Σ_{i}^{b}(A, F^{w}) ⟹ Fα(A(.)) ∈ Σ_{i}^{b}(A, F^{w}) (ii) F ∈ Π_{i}^{b}(A, F^{w}) ⟹ Fα(A(.)) ∈ Π_{i}^{b}(A, F^{w})

gilt. Der Schnitteliminationssatz 4.14 zeigt

S_{2}^{i}(A) _{1} Γ .

Nun können wir analog zu 4.10 (i) durch Herleitungsinduktion die Behauptung zeigen, da in dieser Konstellation nie (∀^{2}) oder (∃^{2}) angewandt wurde (die Hauptformel des Schlusses wäre sonst nicht mehr in Σ^{b}(A, F^{w})). □

Da die Übersetzung ^{∘} nur für Formeln aus Σ^{1,w^{⋆}} Sinn macht, können wir den Einbettungssatz auch nur für Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} beweisen.

9.5 Einbettungssatz von U_{2}^{i,w^{⋆}} in S_{2}^{i}(A)

Sei i > 0, Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} und U_{2}^{i,w^{⋆}} Γ , dann gilt S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}. Beweis:

Mit dem Eliminationssatz 4.14 erhalten wir U_{2}^{i,w^{⋆}} ^{m}_{1} Γ für ein m < ω. Nun zeigen wir durch Induktion nach m S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}.

(i) Die Axiome von U_{2}^{i,w^{⋆}} sind in S_{2}^{1}(A) beweisbar. (ii) War der letzte Schluß einer von (∧), (∨), (∀^{≤}), (∃^{≤}), so folgt die Behauptung

direkt aus der Induktionsvoraussetzung. Liegt ein (Schnitt) vor, so liefert die Induktionsvoraussetzung mit ¬A^{∘} ≡ (¬A)^{∘} das Gewünschte. Die Induktionsvoraussetzung ist in diesem Fall anwendbar, da durch den Schnittgrad von 1 garantiert ist, daß die Schnittformel auch aus Σ^{1,w^{⋆}} ist.

(∀^{2}) Da Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} vorausgesetzt ist, liege ohne Einschränkung folgender Schluß vor:

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, F (α^{|t|}) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, ∀ϕ F (ϕ^{|t|})

mit α ∉ FV (Γ, ∀ϕ F (ϕ^{|t|})).

Dann liefert die Induktionsvoraussetzung mit Lemma 9.3 (v)

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, (F (α))α^{∘}(α^{|t|}) .

Nun ersetzen wir α durch den Klassenterm {u : Bit(u, a) = 1} für eine neue Variable a, die Herleitbarkeit zeigt Lemma 9.4.

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, (F (α))α^{∘}({u ≤ |t| : Bit(u, a) = 1}) .

Mithin

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, ∀x^{≤}(4 · t + 1) (F (α))α^{∘}({u ≤ |t| : Bit(u, x) = 1}) .

(∃^{2}) Da nach Voraussetzung Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} ist, habe der letzte Schluß die Gestalt

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, F (α^{|t|}) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|}) .

Wir schreiben F (α^{|t|}) ≡ F ({u ≤ |t| : u ∈ α}) und fassen somit, da (a ∈ α) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} ist, diesen Schluß als (wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) auf.

(Σ_{i}^{1,w^{⋆}}-LIND) Hier liegt für a ∉ FV (Γ, A(0)) , A(a) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} der folgende Schluß vor

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, ¬A(a), A(Sa) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, ¬A(0), A(|t|) .

Daraus liefert die Induktionsvoraussetzung mit Lemma 9.3

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, ¬A^{∘}(a), A^{∘}(Sa) .

Weiterhin beobachten wir mit Lemma 9.3

a ∉ FV (Γ, A^{∘}(0)) und A^{∘}(a) ∈ Σ_{i}^{b}(A, F^{w}) .

Also beweist (Σ_{i}^{b}(A, F^{w})-LIND)

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, ¬A^{∘}(0), A^{∘}(|t|) .

(wΣ_{0}^{1,w^{⋆}}-CA) Der interessanteste Fall sieht wie folgt aus:

U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, F ({u ≤ |t| : A(u)}) ⟹ U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ^{|t|})

mit A ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} . Mit der Induktionsvoraussetzung schließen wir hieraus

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, (F ({u ≤ |t| : A(u)}))^{∘}

und mit Lemma 9.3 (v) und (iii)

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, F^{∘}({u ≤ |t| : A(u)}) . (1)

Wir beobachten für eine neue Variable b

S_{2}^{i}(A) ¬∀z^{≤}|t| (A(z) ↔ Bit(z, b) = 1),
¬F^{∘}({u ≤ |t| : A(u)}), F^{∘}({u ≤ |t| : Bit(u, b) = 1}) ,

woraus mit (1) und (∃^{≤}), (∀^{≤}) folgt:

S_{2}^{i}(A) Γ^{∘}, ∃x^{≤}(4 · t + 1) F^{∘}({u ≤ |t| : Bit(u, x) = 1}),
∀x^{≤}(4 · t + 1) ¬∀z^{≤}|t| (A(z) ↔ Bit(z, x) = 1) .

Da aus A ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} = Σ_{0}^{b}(A, F^{w}) offensichtlich A ∈ Δ_{1}^{b}(A, F^{w}) bezüglich S_{2}^{1}(A) folgt, liefert ein (Schnitt) mit Satz 9.1 das Gewünschte. □

Wir möchten nun mit Hilfe der beiden Einbettungssätze 8.5 und 9.5 via der Bussschen Charakterisierung der Polynomialen Hierarchie 3.7 eine für U_{2}^{i,w^{⋆}} erlangen. Dazu müssen wir noch zeigen, daß die S_{2}^{i}(A)-Herleitungen von Σ^{b}-Formeln schon in S_{2}^{i}-Herleitungen umgewandelt werden können. Dies ist möglich, da in solchen Herleitungen zweitstufige Variablen ausschließlich als Parametervariablen auftreten und diese sich durch ∅ ersetzen lassen.

9.6 Lemma

Für Γ ⊂ Σ^{b}(A, F^{w}) , dessen freie Mengenvariablen unter α_{1}, …, α_{k} auftreten, gilt

S_{2}^{i}(A) Γ ⟹ S_{2}^{i} Γα⃗(∅) .

Beweis:

Der Eliminationssatz 4.14 zeigt S_{2}^{i}(A) ^{m}_{1} Γ für ein m < ω. Wir zeigen durch Induktion nach m die Behauptung.

Zu jeder Formel F sei F′ ···≡ Fα⃗(∅) , wobei die freien Mengenvariablen von F unter α_{1}, …, α_{k} auftreten sollen.

(i) Liegt ein Axiom vor, welches α nicht enthält, so ist nichts zu zeigen, da alle Axiome von S_{2}^{i}(A), die keine Mengenvariablen enthalten, schon Axiome von S_{2}^{i} sind. In den anderen Fällen folgt die Behauptung schon aus dem Gleichheitsaxiom t = t.

(ii) War der letzte Schluß kein (Schnitt), so folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsvoraussetzung.

(iii) Der letzte Schluß war ein (Schnitt):

S_{2}^{i}(A) ^{m_{1}}_{1} Γ, F und S_{2}^{i}(A) ^{m_{2}}_{1} Γ, F ⟹ S_{2}^{i}(A) ^{m}_{1} Γ

mit m_{1}, m_{2} < m. Da der Schnittgrad 1 ist, muß Σ^{b}-rg(F) = 0 sein, also auch F ∈ Σ^{b}(A, F^{w}) . Die Induktionsvoraussetzung produziert

S_{2}^{i} Γ′, F′ und S_{2}^{i} Γ′, ¬F′

und ein (Schnitt) liefert

S_{2}^{i} Γ′ .  □

9.7 Hauptsatz für U_{2}^{i,w^{⋆}}

Ist i > 0, so gilt folgende Äquivalenz:

A ∈ Δ_{i}^{p} ⟺ A ist in Δ_{i}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}} .

Beweis:

Der Beweis benutzt den aus [Buss 1986] übernommenen Hauptsatz 3.7:

A ∈ Δ_{i}^{p} genau dann, wenn A in Δ_{i}^{b} bezüglich S_{2}^{i} ist. (1)

”⟹“ Ist A ∈ Δ_{i}^{p} , dann existieren wegen (1) B, ¬C ∈ Σ_{i}^{b} mit FV (B, C) ⊂ {a_{1}, …, a_{k}},

S_{2}^{i} B ↔ C (2)

und A(n⃗) ⟺ B(n⃗) ⟺ C(n⃗) für alle n⃗ ∈ IN^{k} . Sei

F (a⃗) ···≡ Bα_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} ,

G(a⃗) ···≡ Cα_{1}, …, α_{k}^{w}(U(a_{1}), …, U(a_{k})) ∈ Π_{i}^{1,w^{⋆}} ,

dann gilt für alle n⃗ ∈ IN^{k} mit dem Korrektheitssatz 7.4 der Übersetzung ^{w}

F (n⃗) ⟺^{7.4} B(n⃗) ⟺ A(n⃗) ⟺ C(n⃗) ⟺^{7.4} G(n⃗) .

Mit dem Eliminationssatz 4.14 folgt aus (2) S_{2}^{i} _{1} B ↔ C . Darauf angewendet zeigt Satz 8.5 U_{2}^{i,w^{⋆}} (B ↔ C)^{w} , also folgt mit dem Einsetzungssatz 6.7

U_{2}^{i,w^{⋆}} F ↔ G .

Mithin ist A in Δ_{i}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}}.

”⟸“ Ist A in Δ_{i}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}}, dann gibt es F, ¬G ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} mit FV (F, G) ⊂ {a_{1}, …, a_{k}} ,

U_{2}^{i,w^{⋆}} F ↔ G (3)

und A(n⃗) ⟺ F (n⃗) ⟺ G(n⃗) für alle n⃗ ∈ IN^{k} .

Wieder folgt mit dem Eliminationssatz 4.14 U_{2}^{i,w^{⋆}} _{1} F ↔ G und daraus mit Satz 9.5 S_{2}^{i}(A) (F ↔ G)^{∘}. Nun sind F^{∘}, ¬G^{∘} ∈ Σ_{i}^{b} , da F und G keine Mengenvariablen enthalten, also erhalten wir unter Ausnutzung des vorherigen Lemmas

S_{2}^{i} F^{∘} ↔ G^{∘} .

Nach Konstruktion gilt

F^{∘}(n⃗) ⟺ F (n⃗) ⟺ A(n⃗) ⟺ G(n⃗) ⟺ G^{∘}(n⃗)

für alle n⃗ ∈ IN^{k} , also ist A in Δ_{i}^{b} bezüglich S_{2}^{i}. Mit (1) erhalten wir A ∈ Δ_{i}^{p} .

□

Mit diesem Hauptsatz ist das Ziel des zweiten Teils erreicht. Die Funktionen der Polynomialen Hierarchie lassen sich auf diesem Weg nicht in U_{2}^{i,w^{⋆}} definieren, denn wir erhalten mit dem Hauptsatz 3.7 und dem Einbettungssatz 8.5 aus f ∈ {p \atop i} die Existenz einer Formel A ∈ Σ_{i}^{1,w^{⋆}} und eines Terms t mit

U_{2}^{i,w^{⋆}} ∀x⃗ ∃Ψ A(x⃗, Ψ^{|t|}) und f(x⃗) = y ⟺ A(x⃗, U(y)^{|t|}) ,

wobei wieder U(y) ≡ {u : Bit(u, y) = 1} ist. Um nun auf ∀x⃗ ∃y^{≤}(4 · t + 1) A(x⃗, U(y)) schließen zu können, müßten wir eine Komprehension in der Form

∃y^{≤}4 · t + 1 ∀z^{≤}|t| (Bit(z, y) = 1 ↔ z ∈ α^{|t|})

in U_{2}^{i,w^{⋆}} beweisen, was sich aber in Abschnitt 14 als unmöglich herausstellen wird.

Teil C Eine Methode zum Beweis von Unbeweisbarkeiten in Uw 2

10 Ein halbformales System für die Beschränkte Arithmetik

Zu Anfang dieses Abschnitts definieren wir ein halbformales System und beweisen einen Schnitteliminationssatz dafür. Danach zeigen wir, daß auf Grund der besonderen Struktur der Σ^{1,b}-Formeln (sie enthalten nur beschränkte erststufige Quantoren) einer Formel F unter ihnen, die ohne freie Individuenvariablen ist, ein endlicher Abschnitt {0, …, t_{F} } von IN zugeordnet werden kann, der die Gültigkeit von F im Standardmodell entscheidet:

IN F ⟺ {0, …, t_{F} } F .

Dadurch lassen sich in solchen Formeln F Teilformeln der Gestalt Qϕ G(ϕ) mit Q ∈ {∀, ∃} durch endliche Konjunktionen bzw. Disjunktionen

\overline{Q}\{G(M) : M ⊂ \{0, …, t_{F} \}\}

ersetzen, wobei \overline{∀} ≡ ⋀ und \overline{∃} ≡ ⋁ ist. Daher können wir zu solchen Σ^{1,b}-Formeln äquivalente Σ_{0}^{1,b}-Formeln konstruieren und auf diesem Wege mit der (Σ_{0}^{1,b}-CA)-Regel die (Σ^{1,b}-CA)-Regel beweisen. Insgesamt läßt sich sowohl U_{2}^{w} mit seiner (Σ^{1,b}-CA)-Regel in das halbformale System einbetten als auch nur unter Verwendung prädikativer Methoden die vollständige Schnittelimination für das halbformale System beweisen. Die hier verwendeten Methoden im Umgang mit halbformalen Systemen werden in ähnlicher Form in [Pohlers 1989] vorgestellt. Die Definition der Ordinalzahlen sowie hier verwendete elementare Eigenschaften lese man z. B. in [Pohlers 1989] nach.

P ist die in Abschnitt 1 definierte Menge aller Funktionen, die durch eine Turingmaschine in polynomialer Zeit berechnet werden. Mit dem Hauptsatz 3.7 sind sie Σ_{1}^{b}-definierbar in S_{2}^{1}, mithin Σ_{0}^{1,b}-definierbar in U_{2}^{0}. Wir gehen ab jetzt für den Rest der Arbeit davon aus, daß Σ_{i}^{1,b} über LBA^{P} gebildet ist, also ehemals Σ_{i}^{1,b}(P) entspricht. Das halbformale System verwendet die (Σ_{0}^{1,b}-CA)-Regel, also Komprehensionen von Formeln ohne zweitstufige Quantoren. Um nun hier mit dem klassischen Gentzenschen Schnitteliminationsverfahren zu einem Ergebnis zu kommen, benötigen wir eine geschickte Rangdefinition, die Formeln Qϕ F (ϕ) einen größeren Rang zuweist als F (A(.)) für beliebige Σ_{0}^{1,b}-Formeln A(a). Aus diesem Grund lassen wir den Rang von F beim ersten zweitstufigen Quantor auf ω springen, in den übrigen Fällen zählen wir die Tiefe der induktiven Definition von F.

10.1 Definition des Rangs b-rg : Σ^{1,b} ⟶ ω ∗ 2

(a) Ist F eine Primformel, so sei b-rg(F) ··= 0 .

(b) Ist F ≡ G ∘ H mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann sei b-rg(F) ··= Max(b-rg(G), b-rg(H)) + 1 .

(c) Ist F ≡ Qx^{≤}t G(x) mit Q∈ {∀, ∃}, dann sei b-rg(F) ··= b-rg(G(a)) + 1 .

(d) Ist F ≡ Qϕ G(ϕ) mit Q∈ {∀, ∃}, dann sei b-rg(F) ··= Max(ω, b-rg(G(α)) + 1) .

Durch die geschickte Verwendung von ω in der obigen Rangdefinition erreichen wir die Abgeschlossenheit des Rangs oberhalb von ω gegen Substitution von Σ_{0}^{1,b}-Klassentermen.

10.2 Lemma

Sei A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} mit einziger freien Individuenvariablen a und F (α) ∈ Σ^{1,b} , dann gilt für alle ρ ≥ ω

b-rg(F) < ρ ⟹ b-rg(F (A(.))) < ρ .

Beweis:

Wir zeigen die Behauptung simultan für beliebiges ρ ≥ ω durch Induktion nach der Länge von F. Sei F′ ···≡ F (A(.)) .

(i) F ist eine Primformel. Da der Rang erststufiger Formeln kleiner als ω ist, erhalten wir b-rg(F ({u : A(u)})) < ω ≤ ρ.

(ii) Ist F ≡ G∘H mit ∘ ∈ {∧, ∨}, dann ist b-rg(F) = Max(b-rg(G), b-rg(H))+ 1 . Ist b-rg(F) < ω, so auch b-rg(G) und b-rg(H). Damit liefert die Induktionsvoraussetzung b-rg(G′), b-rg(H′) < ω, mithin

b-rg(F′) = Max(b-rg(G′), b-rg(H′)) + 1 < ω ≤ ρ .

Ist b-rg(F) ≥ ω, dann folgt aus b-rg(G), b-rg(H) < b-rg(F) mit der Induktionsvoraussetzung b-rg(G′), b-rg(H′) < b-rg(F) , also

b-rg(F′) = Max(b-rg(G′), b-rg(H′)) + 1 < b-rg(F) + 1 ≤ ρ .

(iii) Ist F ≡ Qx^{≤}t G(x) mit Q ∈ {∀, ∃}, dann ist b-rg(F) = b-rg(G(a)) + 1 . Wie unter (ii) folgt aus b-rg(F) < ω schon b-rg(F′) < ω ≤ ρ und aus b-rg(F) ≥ ω mit b-rg(G) < b-rg(F) und der Induktionsvoraussetzung

b-rg(F′) = b-rg(G′) + 1 < b-rg(F) + 1 ≤ ρ .

(iv) Ist F ≡ Qϕ G(ϕ) mit Q ∈ {∀, ∃}, dann ist ρ > ω wegen b-rg(F) = Max(ω, b-rg(G(α)) + 1) ≥ ω. Ist b-rg(G′) < ω, so gilt

b-rg(F′) = Max(ω, b-rg(G′) + 1) = ω < ρ .

Im anderen Fall liefert die Induktionsvoraussetzung aus b-rg(G) < b-rg(F)

b-rg(F′) = b-rg(G′) + 1 < b-rg(F) + 1 ≤ ρ .  □

Im halbformalen System ist die Struktur der natürlichen Zahlen in den erststufigen Bereich hineindefiniert. Es werden daher nur Formelmengen ohne freie Individuenvariablen hergeleitet. Eine Induktionsregel ist dann überflüssig, jede einzelne Anwendung wird durch endlich viele Schnitte ersetzt. Wir betrachten in dem halbformalen System nur Σ^{1,b}-Formeln, daher verwenden wir auch nur beschränkte (∀)-Schlüsse. Also existiert keine volle ω-Regel, die Herleitungsbäume sind immer nur endlich verzweigt, insbesondere auch bei der Einbettung der Induktionsregel aus dem formalen System. Dies hat zur Folge, daß wir hier im Gegensatz zur Schnittelimination für die Peano Arithmetik immer mit endlichen Herleitungslängen auskommen. Die Menge M in der anschließenden Definition von M ^{m}_{ρ} Γ dient zur Kontrolle von zusätzlichen Regeln, die später bei den Anwendungen angegeben werden. Die hier vorgestellte Version des halbformalen Systems wird von M nicht beeinflußt. Die Größen m und ρ sind wie üblich obere Schranken für die Tiefe des Herleitungsbaumes sowie für die Ränge der in der Herleitung verwendeten Schnittformeln, wobei ρ eine echte obere Schranke ist. Für jede natürliche Zahl i sei \underline{i} der Term \underbrace{S … S}_{i-mal} 0 . Wir identifizieren in der Folge häufig

i mit \underline{i} sowie t mit t^{IN}. Es wird an den entsprechenden Stellen immer klar sein, ob die natürliche Zahl oder ihr repräsentierender Term bzw. der Term oder seine Auswertung gemeint sind.

10.3 Induktive Definition von M ^{m}_{ρ} Γ

für M ⊂_{fin} IN , m < ω , ρ < ω · 2 und Γ ⊂ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen.

\underline{Axiome:}
(a) Ist (s^{IN}, t^{IN}) ∈ P^{IN} für P ∈ {=, ≠, ≤, / ≤}, so gelte M ^{m}_{ρ} Γ, (P st) .
(b) Ist s^{IN} = t^{IN} , so gelte M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α, t ∉ α.
\underline{Schlüsse:}
(∧) M ^{m_{i}}_{ρ} Γ, A_{i} für i = 0 und i = 1 ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, A_{0} ∧ A_{1}
(∨) M ^{m′}_{ρ} Γ, A_{i} für i = 0 oder i = 1 ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, A_{1} ∨ A_{2}
(∀^{≤}) M ^{m_{i}}_{ρ} Γ, F (\underline{i}) für alle i ≤ t^{IN} ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∀x^{≤}t F (x)
(∃^{≤}) M ^{m′}_{ρ} Γ, F (\underline{i}) für ein i ≤ t^{IN} ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∃x^{≤}t F (x)
(∀^{2}) M ^{m′}_{ρ} Γ, F (α) und α ∉ FV (Γ, ∀ϕ F (ϕ)) ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∀ϕ F (ϕ)
(∃^{2}) M ^{m′}_{ρ} Γ, F (α) ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∃ϕ F (ϕ)
(Σ_{0}^{1,b}-CA) M ^{m′}_{ρ} Γ, F (A(.)) mit A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∃ϕ F (ϕ)
(Schnitt) M ^{m_{0}}_{ρ} Γ, F , M ^{m_{1}}_{ρ} Γ, ¬F und b-rg(F) < ρ ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ

für m > m′, m > m_{0}, m_{1} bzw. m > m_{0}, …, m_{t^{IN}} . Wie üblich schreiben wir

M _{ρ} Γ ⟺ es existiert ein m < ω mit M ^{m}_{ρ} Γ
M Γ ⟺ es existiert ein ρ < ω · 2 mit M _{ρ} Γ
Γ ⟺ es existiert ein M ⊂_{fin} IN mit M Γ

Die Begriffe Hauptformel eines Axioms oder einer Regel werden hier wie gehabt benutzt.

In dem halbformalen System läßt sich die Komprehension nicht als Axiom formulieren, da sprachlich keine unbeschränkten erststufigen Quantoren zugelassen sind. Wir beobachten, daß Strukturschlüsse erlaubt sind sowie Terme durch gleichwertige ersetzt werden können. Die Beweise erfolgen jeweils durch Herleitungsinduktion.

10.4 Lemma

M ^{m}_{ρ} Γ und M ⊂ M′ , Γ ⊂ Γ′ , m ≤ m′ , ρ ≤ ρ′ ⟹ M′ ^{m′}_{ρ′} Γ′. □

10.5 Gleichheitslemma

Ist s^{IN} = t^{IN} und gilt M ^{m}_{ρ} Γ, F (s) , dann gilt auch M ^{m}_{ρ} Γ, F (t) . □

Für das Einsetzungslemma nutzen wir die oben bewiesene Abgeschlossenheit der Rangdefinition unter Substitution von Σ_{0}^{1,b}-Klassentermen oberhalb von ω aus.

10.6 Einsetzungslemma

Gilt M ^{m}_{ρ} Γ für ρ ≥ ω und ist A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} mit einziger freien Variablen a, so

folgt M _{ρ} Γ_{α}(A(.)) .

Beweis durch Induktion nach m:

Dies geht analog zum Einsetzungslemma 4.10 (i) unter Ausnutzung von Lemma 10.2. □

10.7 Inversionslemma

(i) M ^{m}_{ρ} Γ, F und F ist eine unwahre Primformel ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ .
(ii) M ^{m}_{ρ} Γ, A_{0} ∧ A_{1} ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, A_{i} für i = 0 und i = 1.
(iii) M ^{m}_{ρ} Γ, ∀x^{≤}t F (x) ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, F (s) für Terme s mit s^{IN} ≤ t^{IN}.
(iv) M ^{m}_{ρ} Γ, ∀ϕ F (ϕ) ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, F (α) für α beliebig.

Beweis durch Induktion nach m:

(i) Eine unwahre Primformel kann nie Hauptformel eines Axioms gewesen sein.

(ii) - (iv) Diese Punkte werden wie im Inversionslemma 4.12 bewiesen, wobei in (iii) noch das Gleichheitslemma 10.5 eingeht. □

Zur Erinnerung ist eine Formel F vom ∨-Typ, wenn sie eine negative Primformel oder von der Gestalt (A ∨ B) , (∃x Aa(x)) , (∃x^{≤}t Aa(x)) oder (∃ϕ Aα(ϕ)) ist.

10.8 Reduktionslemma

Ist F vom ∨-Typ mit b-rg(F) = ρ, dann gilt

M ^{m}_{ρ} Γ, F und M _{ρ} Λ, ¬F ⟹ M _{ρ} Γ, Λ .

Beweis durch Induktion nach m:

Ist Γ, F ein Axiom und F nicht die Hauptformel, so ist mit Γ auch Γ, Λ ein Axiom. Ist F eine Hauptformel des Axioms, so werden folgende Fälle unterschieden:

(i) F ist eine wahre Primformel, dann folgt mit dem Lemma 10.7 (i) M _{ρ} Λ

und mit einem Strukturschluß 10.4 M _{ρ} Γ, Λ .

(ii) Ist F ≡ s ∉ α, dann muß es ein t mit s^{IN} = t^{IN} und (t ∈ α) ∈ Γ geben, da nur ein Axiom der Gestalt (b) vorliegen kann. Das Gleichheitslemma 10.5 zeigt M _{ρ} Λ, t ∈ α, und mit einem Strukturschluß 10.4 folgt M _{ρ} Γ, Λ .

Sei also Γ, F kein Axiom und (S) ein letzter Schluß. War F nicht die Hauptformel von (S), so wenden wir die Induktionsvoraussetzung auf die Prämissen von (S) an und führen anschließend wieder (S) aus, analog zum Reduktionslemma 4.13.

Übrig bleiben die Fälle, in denen F Hauptformel von (S) und vom ∨-Typ ist.

(∨) Ist F ≡ A ∨ B, dann folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung durch einen (Schnitt) der Prämisse mit der Inversion der zweiten Voraussetzung 10.7 (ii).

(∃^{≤}) Ist F ≡ ∃x^{≤}t G(x) , dann hat die Prämisse von (S) für ein m′ < m und ein s^{IN} ≤ t^{IN} die Gestalt

M ^{m′}_{ρ} Γ, ∃x^{≤}t G(x), G(s) .

Also liefert die Induktionsvoraussetzung

M _{ρ} Γ, Λ, G(s) .

Hieraus folgt die Behauptung durch einen (Schnitt) mit der Inversion der zweiten Voraussetzung 10.7 (iii).

(∃^{2}) Dieser Schluß läßt sich als (Σ_{0}^{1,b}-CA) auffassen.

(Σ_{0}^{1,b}-CA) Ist F ≡ ∃ϕ G(ϕ) , dann hat die Prämisse von (S) für ein m′ < m und A(a) ∈ Σ_{0}^{1,b} mit A(0) erststufig geschlossen die Gestalt

M ^{m′}_{ρ} Γ, ∃ϕ G(ϕ), G(A(.)) .

Daraus liefert die Induktionsvoraussetzung

M _{ρ} Γ, Λ, G(A(.)) . (1)

Das Inversionslemma 10.7 (iv) zusammen mit dem Einsetzungslemma 10.6 und der Beobachtung ρ = b-rg(∃ϕ G(ϕ)) ≥ ω produzieren

M _{ρ} Γ, Λ, ¬G(A(.)) . (2)

Aus b-rg(G(α)) < ρ folgt mit Lemma 10.2 b-rg(G(A(.))) < ρ und darum durch einen Schnitt von (1) und (2)

M _{ρ} Γ, Λ .  □

Die später bei den Anwendungen hinzuzufügenden Axiome und Regeln haben allesamt die Eigenschaft, daß deren Hauptformeln die Gestalt s ∈ α für spezielle Terme s haben und somit nicht vom ∨-Typ sind. Da außerdem die neuen Axiome und Regeln so formuliert sein werden, daß das Gleichheitslemma 10.5 wieder gilt, läßt sich dann das Reduktionslemma wortwörtlich übernehmen.

Das auf den ersten Blick verblüffende an dem nachstehenden Eliminationssatz ist, daß die Herleitungslänge endlich bleibt, obwohl der Schnittrang größer als ω sein kann. Die Begründung dafür ist die, daß ein Herleitungsbaum aufgrund der ausschließlichen Verwendung der beschränkten ω-Regel an jedem Knoten nur endlich verzweigt und darum insgesamt nur endlich viele Knoten und damit auch Schnitte enthält. Insbesondere läßt sich bei einer solchen Herleitung mit Schnittrang ω ein maximaler endlicher Schnittrang ablesen, wohingegen bei endlichen Herleitungen mit unbeschränkter ω-Regel das Supremum aller Schnittränge ω sein kann.

10.9 Eliminationssatz

M ^{m}_{ρ} Γ ⟹ M ^{n}_{0} Γ für ein n < ω.

Beweis durch Hauptinduktion nach ρ und Nebeninduktion nach m:

Ist Γ ein Axiom, so ist nichts zu zeigen. Sei also Γ kein Axiom und (S) ein letzter Schluß. Ist (S) kein (Schnitt), so folgt die Behauptung direkt aus der Nebeninduktionsvoraussetzung mit demselben Schluß (S). Bleibt also noch der Fall

(Schnitt) M ^{m_{0}}_{ρ} Γ, F und M ^{m_{1}}_{ρ} Γ, ¬F ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ

mit m_{0}, m_{1} < m und ρ′ ··= b-rg(F) < ρ. Nun liefert die Nebeninduktionsvoraussetzung

M _{0} Γ, F und M _{0} Γ, ¬F .

Hieraus folgt mit einem Strukturschluß 10.4 und dem Reduktionslemma 10.8

M _{ρ′} Γ .

Mit der Hauptinduktionsvoraussetzung folgt nun die Behauptung. □

Wir zeigen nun, daß im halbformalen System (Σ^{1,b}-CA) als Regel beweisbar ist. Die Idee dabei ist, die Tatsache, daß alle erststufigen Quantoren der Formeln in Σ^{1,b} beschränkt sind, in der Form auszunutzen, daß wir zu einer Formel F ∈ Σ^{1,b} einen Term t_{F} angeben, der den Abschnitt {0, …, t_{F} } definiert, auf dem F lebt:

IN F ⟺ {0, …, t_{F} } F .

Dadurch erreichen wir eine Beschränkung der zweitstufigen Quantoren von außen; sie laufen also nicht mehr über die gesamte Potenzmenge P(IN) , sondern nur noch über die endliche Menge P({0, …, t_{F} }) . Deshalb können sie im halbformalen System durch endliche Disjunktionen bzw. Konjunktionen ersetzt werden. Wir benutzen die Funktion σ aus 3.12, die zu einem Term eine Majorante liefert.

10.10 Definition

Für F ∈ Σ^{1,b} mit FV (F) = {b⃗, β⃗} und m ∈ IN definieren wir Terme t_{F} und

Beschränkungen F^{m}, so daß FV (t_{F}) = {b⃗} und FV (F^{m}) = {b⃗, β⃗} ist.

(a) Ist F ≡ (P st) für P ∈ {=, ≠, ≤, / ≤}, so sei t_{F} ···≡ s + t und F^{m} ···≡

F .
(b) Ist F ≡ s ∈ β oder F ≡ s ∉ β , so sei t_{F} ···≡ s und F^{m} ···≡ F .

(c) Für F ≡ G∘H mit ∘ ∈ {∧, ∨} sei t_{F} ···≡ t_{G} +t_{H} und F^{m} ···≡ G^{m} ∘H^{m}.

(d) Für F ≡ Qx^{≤}s G(x) mit Q ∈ {∀, ∃}, sei t_{F} ···≡ σ[t_{G(a)}]a(s) und F^{m} ···≡

Qx^{≤}s G^{m}(x) .

(e) Ist F ≡ Qϕ G(ϕ) mit Q ∈ {∀, ∃}, so sei t_{F} ···≡ t_{G(α)} und F^{m} ···≡

Qϕ G^{m}(ϕ^{m}) .

10.11 Lemma

Sei F (b⃗, β⃗) ∈ Σ^{1,b} mit FV (F) ⊃ {b_{1}, …, b_{k}, β_{1}, …, β_{l}} ohne weitere freie Individuenvariablen. Dann gilt für A_{1}(a), …, A_{l}(a) ∈ Σ^{1,b} , in denen höchstens die freie Individuenvariable a auftritt:

(i) ∀n⃗ ∈ IN^{k} ∀m ≥ t_{F} (n⃗) Fb⃗, β⃗(n⃗, A_{1}(.), …, A_{l}(.)) ↔

Fb⃗, β⃗(n⃗, {u ≤ m : A_{1}(u)}, …, {u ≤ m : A_{l}(u)})

(ii) ∀n⃗ ∈ IN^{k} ∀m ≥ t_{F} (n⃗) Fb⃗(n⃗) ↔ Fb⃗^{m}(n⃗) .

Beweis durch Induktion nach der Länge von F: Da ¬F^{m} ≡ (¬F)^{m} ist, genügt es, sich auf die Fälle, daß F vom ∨-Typ ist, zu beschränken, d. h., daß F eine negative Primformel ist oder eine der folgenden Gestalten hat: G ∨ H, ∃x^{≤}t G(x), ∃ϕ G(ϕ) . Die anderen folgen dann durch Negation.

(i) Es ergeben sich alle Fälle bis auf die folgenden sofort aus der Induktionsvoraussetzung. Abkürzend schreiben wir

F′ ···≡ Fb⃗, β⃗(n⃗, A_{1}(.), …, A_{l}(.))

und

F′′ ···≡ Fb⃗, β⃗(n⃗, {u ≤ m : A_{1}(u)}, …, {u ≤ m : A_{l}(u)}) .

(a) Sei F eine Primformel. Dann ist nur etwas zu zeigen, falls β_{i} ∈ FV (F) ist. Ohne Einschränkung sei i=1 , also F ≡ s∉β_{1} . Für m≥t_{F} (n⃗)=s(n⃗) gilt

s(n⃗) ≤ m . (1)

Es ist

F′ ≡ ¬A_{1}(s(n⃗))

und

F′′ ≡ s(n⃗) / ≤ m ∨ ¬A_{1}(s(n⃗)) .

Mit (1) gilt F′ ↔ F′′.

(b) Sei F ≡ ∃x^{≤}s G(x) . Hier ist t_{F} ≡ σ[t_{G(a)}]a(s) und für n⃗ ∈ IN^{k}

\begin{aligned}F′ & ≡ ∃x^{≤}s(n⃗) G(x, n⃗, & A_{1}(.), …, A_{l}(.)) \\ F′′ & ≡ ∃x^{≤}s(n⃗) G(x, n⃗, & \{u ≤ m : A_{1}(u)\}, …, \{u ≤ m : A_{l}(u)\}) . \end{aligned}

Dann gilt nach Induktionsvoraussetzung

\begin{matrix}∀l ∈ IN ∀m ≥ t_{G(a)}(n⃗, l) G(l, n⃗, A_{1}(.), …, A_{l}(.)) ↔ \\ G(l, n⃗, \{u ≤ m : A_{1}(u)\}, …, \{u ≤ m : A_{l}(u)\}) . \end{matrix}

Wir beobachten für m ≥ t_{F} (n⃗)

l ≤ s(n⃗) ⟹ t_{G(a)}(n⃗, l) ≤ σ[t_{G(a)}]b⃗, a(n⃗, s(n⃗)) ≤ m , daher folgt aus der Induktionsvoraussetzung

\begin{matrix}l ≤ s(n⃗) ⟹  G(l, n⃗, A_{1}(.), …, A_{l}(.)) ↔ \\ G(l, n⃗, \{u ≤ m : A_{1}(u)\}, …, \{u ≤ m : A_{l}(u)\}) . \end{matrix}  (2)

Also erhalten wir dann im halbformalen System

F′ ↔ für ein l ≤ s(n⃗) gilt G(l, n⃗, A_{1}(.), …, A_{l}(.))
↔^{(2)} für ein l ≤ s(n⃗) gilt
G(l, n⃗, {u ≤ m : A_{1}(u)}, …, {u ≤ m : A_{l}(u)})
↔ F′′ .

(ii) Der einzige Fall, der nicht direkt aus der Induktionsvoraussetzung folgt, ist F ≡ ∃ϕ G(ϕ) . Dann ist t_{F} ≡ t_{G(α)} und

F^{m} ≡ ∃ϕ G^{m}(ϕ^{m}) ≡ ∃ϕ G^{m}({u ≤ m : u ∈ ϕ}) .

Mit der Induktionsvoraussetzung gilt für m≥t_{F} (n⃗) im halbformalen System

G(n⃗, α) ↔ G^{m}(n⃗, α) ↔^{(i)} G^{m}(n⃗, α^{m}) ,

also folgt

∃ϕ G(n⃗, ϕ) ↔ ∃ϕ G^{m}(n⃗, ϕ^{m}) .  □

Den Vorteil, den wir durch diese Beschränkungen F^{m} für natürliche Zahlen m und Formeln F ∈ Σ^{1,b} erhalten, ist der, daß wir nun zu F^{m} äquivalente Σ_{0}^{1,b}-Formeln konstruieren können.

10.12 Definition

Zu M ⊂_{fin} IN sei \overline{M} folgender Σ_{0}^{1,b}-Klassenterm

\overline{M} ··= \{u : 0 ≠ 0 ∨ ⋁_{i∈M}(u = \underline{i})\} .

Zu F ∈ Σ^{1,b} definieren wir Formeln \overline{F^{m}} für Primformeln als Identität und in den übrigen Fällen homomorph bis auf

\begin{matrix}F ≡ ∀ϕ G(ϕ) ⟹ & \overline{F^{m}} ···≡ ⋀ \{\overline{G^{m}}(\overline{M}) : M ⊂ \{0, …, m\}\} \\ F ≡ ∃ϕ G(ϕ) ⟹ & \overline{F^{m}} ···≡ ⋁ \{\overline{G^{m}}(\overline{M}) : M ⊂ \{0, …, m\}\} . \end{matrix}

10.13 Lemma

Ist F ∈ Σ^{1,b} und m ∈ IN , so gilt \overline{F^{m}} ∈ Σ_{0}^{1,b} . □

10.14 Satz

Für F ∈ Σ^{1,b} mit den freien Individuenvariablen b_{1}, …, b_{k} gilt

∀n⃗, m ∈ IN^{k+1} F^{m}(n⃗) ↔ \overline{F^{m}}(n⃗) .

Beweis durch Induktion nach der Länge von F:

Da (¬\overline{F^{m}}) ≡ \overline{(¬F)^{m}} ist, können wir uns auf F vom ∨-Typ beschränken, denn sonst erhalten wir die Behauptung durch Negation aus dem schon Gezeigten. Alle übriggebliebenen Fälle bis auf den nachstehenden folgen direkt aus der Induktionsvoraussetzung. Ist F ≡ ∃ϕ G(ϕ) , so ist F^{m} ≡ ∃ϕ G^{m}(ϕ^{m}) . Um nun die Behauptung zu zeigen, seien n⃗, m ∈ IN^{k+1} . Die Induktionsvoraussetzung liefert

G^{m}(β, n⃗) ↔ \overline{G^{m}}(β, n⃗) . (1)

Im weiteren unterdrücken wir n⃗, um die Übersicht ein wenig zu erhöhen. Es bleiben zwei Richtungen zu zeigen.

”←“ Für M ⊂ {0, …, m} folgt aus (1) mit dem Einsetzungslemma 10.6, da \overline{M} ∈ Σ_{0}^{1,b} ist,

¬\overline{G^{m}}(\overline{M}), G^{m}(\overline{M}) .

Nun gilt für alle i

i ∈ \overline{M} ↔ i ≤ m ∧ i ∈ \overline{M} ,

mithin erhalten wir

¬\overline{G^{m}}(\overline{M}), G^{m}(\{u ≤ m : u ∈ \overline{M}\}) .

Die Anwendung von (Σ_{0}^{1,b}-CA) als Regel liefert

¬\overline{G^{m}}(\overline{M}), ∃ϕ G^{m}(ϕ^{m})

für alle M ⊂ {0, …, m}. Dann produzieren endlich viele (∧)-Anwendungen

⋀ \{¬\overline{G^{m}}(\overline{M}) : M ⊂ \{0, …, m\}\}, ∃ϕ G^{m}(ϕ^{m}) ,

mithin \overline{F^{m}}(n⃗) → F^{m}(n⃗) .

”→“ Sei [α = M]^{<m} die Formel ∀x^{<}m (x ∈ α ↔ x ∈ \overline{M}) . Dann läßt sich analog zu 4.11 (i) für beliebige Σ^{1,b}-Formeln H(β) und M ⊂ {0, …, m} durch Induktion nach der Länge von H

¬[α = M]^{<m+1}, ¬H(α^{m}), H(\overline{M})

zeigen. Für H(β) ≡ G^{m}(β) folgt hieraus mit einigen (∨)-Schlüssen

¬[α = M]^{<m+1}, ¬G^{m}(α^{m}), ⋁ \{G^{m}(\overline{N}) : N ⊂ \{0, …, m\}\}

für beliebige M ⊂ {0, …, m}. Es bleibt uns also noch

{[α = M]^{<m+1} : M ⊂ {0, …, m}} (2)

zu zeigen, denn dann folgt aus Obigem mit endlich vielen Schnitten

¬G^{m}(α^{m}), \overline{F^{m}} .

Durch einen (∀^{2})-Schluß erhalten wir dann

∀ϕ ¬G^{m}(α^{m}), \overline{F^{m}} ,

mithin F^{m}(n⃗) → \overline{F^{m}}(n⃗) .

Wir beweisen (2) durch Induktion nach m. Vorher überlegen wir uns den für den Induktionsschritt benötigten Zusammenhang

¬[α = N]^{<m}, [α = N]^{<m+1}, [α = N ∪ {m}]^{<m+1} (3) für N ⊂ {0, …, m − 1}. Wir erhalten dies aus dem Axiom m ∉ α, m ∈ α sowie aus den Tatsachen m ∉ N und m ∈ N ∪ \{m\}, woraus m ∉ \overline{N} und m ∈ \overline{N ∪ \{m\}} folgt. Für m = 0 zeigt (3)

¬[α = ∅]^{<0}, [α = ∅]^{<1}, [α = {0}]^{<1} .

Da [α = ∅]^{<0} gilt, folgt der Induktionsanfang durch einen Schnitt. Im Induktionsschritt liefert die Induktionsvoraussetzung

{[α = M]^{<m+1} : M ⊂ {0, …, m}} .

Durch endlich viele Schnitte mit (3) für alle N ⊂ {0, …, m} erhalten wir

\begin{matrix}\{[α = M]^{<m+2} : M ⊂ \{0, …, m\}\}, \\ \{[α = M ∪ \{m + 1\}]^{<m+2} : M ⊂ \{0, …, m\}\} , \end{matrix}

oder umgeschrieben

{[α = M]^{<m+2} : M ⊂ {0, …, m + 1}} ,

mithin die Behauptung (2). □

Der im letzten Beweis gezeigte Zusammenhang (2) läßt sich auch zur Begründung eines Vollständigkeitssatzes für das halbformale System heranziehen. Ist F ∈ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen, so gilt:

F ⟺^{!} (IN, P(IN)) F
⟺^{10.11} ({0, …, t_{F} }, P({0, …, t_{F} })) F .

”⟹“ Diese Richtung ist der Korrektheitssatz.

”⟸“ Aus (IN, P(IN)) F folgt ({0, …, t_{F} }, P({0, …, t_{F} })) F mit der zweiten Äquivalenz. Die Menge P({0, …, t_{F} }) ist endlich, mithin abzählbar, also kann man hier die Methode der Quasideduktionsbäume anwenden (siehe [Pohlers 1989] §5). Dabei wird ein ausgezeichneter Redex ∀ϕ G(ϕ) durch die Formeln G(\overline{M}) für alle M ∈ P({0, …, t_{F} }) ersetzt. Beim Beweis des syntaktischen Hauptlemmas geht dann (2) ein, um von

⋀ \{G(\overline{M}) : M ∈ P(\{0, …, t_{F} \})\}

auf ∀ϕ G(ϕ) zu schließen.

Bis hierhin können wir noch alles in ähnlicher Form in formalen Systemen der Beschränkten Arithmetik beweisen. Die entscheidenden Schritte zum Beweis der großen Komprehensionsregel (Σ^{1,b}-CA) ist, für F (A(.)) ∈ Σ^{1,b} eine natürliche Zahl m zu finden, so daß

F (A(.)) ↔ F (A^{m}(.)) gilt. Dies ist in halbformalen Systemen möglich, da nur Formelmengen, die keine freien Individuenvariablen enthalten, hergeleitet werden. Also ist dieser Schritt in einem formalen System nur dann durchführbar, wenn der Klassenterm und die Formeln, in denen er auftritt, keine freien Individuenvariablen enthalten.

10.15 Satz

Das halbformale System beweist (Σ^{1,b}-CA). Genauer gilt für F (α), A(a) ∈ Σ^{1,b} mit F (A(.)) ohne freie Individuenvariablen

¬F (A(.)), ∃ϕ F (ϕ) .

Beweis:

Sei m = σ[t_{A}]a(t_{F}) . Mit Lemma 10.11 (ii) gilt

∀n ∈ IN ∀l ≥ t_{A}(n) A(n) ↔ A^{l}(n) .

Für n ≤ t_{F} zeigt Lemma 3.12 t_{A}(n) ≤ σ[t_{A}]a(t_{F}) = m, also folgt

∀n ≤ t_{F} A(n) ↔ A^{m}(n)

und mit Satz 10.14

∀n ≤ t_{F} A(n) ↔ \overline{A^{m}}(n) .

Durch Induktion nach der Länge von F erhalten wir daraus

¬F (\{u ≤ t_{F} : A(u)\}), F (\{u ≤ t_{F} : \overline{A^{m}}(u)\}) .

Hierauf zweimal Lemma 10.11 (i) angewandt liefert

¬F (A(.)), F (\overline{A^{m}}(.)) .

Da mit Lemma 10.13 \overline{A^{m}} ∈ Σ_{0}^{1,b} ist, folgt mit (Σ_{0}^{1,b}-CA) die Behauptung. □

In den letzten vier Abschnitten nutzen wir Erweiterungen dieses halbformalen Systems aus, um zu zeigen, daß bestimmte Versionen des vollen Induktionsaxioms, des kleinen Fermatschen Satzes, des Wilsonschen Satzes sowie einer erststufigen Komprehension in U_{2}^{w} nicht beweisbar sind.

11 Das volle Induktionsaxiom

Wir zeigen, daß das volle Induktionsaxiom nicht in U_{2}^{w} herleitbar ist. Dies ist in U_{2}^{1} beweisbar, da in [Buss 1986] 9.5 Satz 15 gezeigt wird, daß sogar U_{2}^{1} (Δ_{1}^{1,b}-IND) gilt.

11.1 Satz

U_{2}^{w} / 0 ∈ α ∧ ∀x (x ∈ α → Sx ∈ α) → c ∈ α für eine freie Variable c.

Der Beweis vollzieht sich in mehreren Schritten. Zuerst definieren wir ein neues Fragment I, in dem α wie ein Prädikatszeichen und c wie eine Konstante behandelt werden, die nie Eigenvariable eines Schlusses sein dürfen und auch nicht zu den freien Variablen gezählt werden.

I entsteht aus U_{2}^{w} durch Hinzufügen des Axioms

0 ∈ α

und des Schlusses (α-Schritt):

Γ, s ∈ α ⟹ Γ, Ss ∈ α

für beliebige Terme s. Dabei heißt s der Hauptterm dieses Schlusses. Diese zusätzlichen Axiome und Regeln sind so angelegt, daß sie die Prämisse des Induktionsaxioms beweisen.

{11.2 Lemma \atop I 0 ∈ α ∧ ∀x (x ∈ α → Sx ∈ α) . □}

Sei I − rg ··= U_{2}^{w} − rg . Analog zum Eliminationssatz 4.13 läßt sich auch hier zeigen:

11.3 Lemma

I ^{m}_{r} Γ ⟹ I _{1} Γ . □

Die Idee zur Nichtbeweisbarkeit des Induktionsaxioms ist die folgende. Angenommen, es wäre herleitbar, dann folgt in I unter Ausnutzung der zusätzlichen Axiome und Regeln I c ∈ α und damit I _{1} c ∈ α. Mit Hilfe der neuen Regel (α-Schritt) gelangen wir wie folgt zu einem einfachen Komplexitätsmaß des Beweises. Bei der Einbettung einer formalen Herleitung in ein halbformales System werden bei einem Schluß mit Variablenbedingung an eine Eigenvariable b in die Teilherleitung zu diesem Schluß beliebige natürliche Zahlen für b eingesetzt. Nun haben wir den Vorteil, daß in I ^{m}_{1} c ∈ α solch ein Schluß nur eine Anwendung von (∀^{≤}) oder (Σ^{1,w}-LIND) gewesen sein kann, daher liefert uns der Hauptterm des Schlusses eine obere Schranke für die in die Teilherleitung einzusetzenden natürlichen Zahlen. Damit lassen sich bis auf die Parametervariablen alle wesentlichen freien Variablen von Haupttermen beschränken. In Abhängigkeit der Parametervariablen c geben wir dann den Speicher dieses Beweises an, der den Bereich der Hauptterme umfaßt. Die Mächtigkeit dieses Speichers ist ein Maß für die Anzahl der Hauptterme. Wir werden feststellen, daß es ein Polynom p(c) gibt, so daß die Mächtigkeit des Speichers für c = n durch p(|n|) beschränkt ist. Zum Widerspruch kommen wir, indem wir für jedes n den Beweis von \underline{n} ∈ α in ein halbformales System übersetzen. Dort treten keine freien Individuenvariablen mehr auf, deshalb können wir beim Einbetten die Induktionsregel eliminieren. In dem halbformalen System läßt sich vollständige Schnittelimination beweisen. Wir erhalten eine schnittfreie Herleitung von \underline{n}∈α, die aber nur mit mindestens n (α-Schritt) Anwendungen möglich ist. Also beträgt die Anzahl der Hauptterme mindestens n ≈ 2^{|n|}. Dies steht für hinreichend großes n im Gegensatz zu der obigen Festellung.

Um nun in dem Widerspruchsbeweis fortzufahren, müssen wir die für die Definition des Speichers benötigten Informationen aus einer formalen Herleitung von I ^{m}_{1} c ∈ α ge-

winnen. Dazu zeichnen wir in der Menge aller möglichen Herleitungen von I ^{m}_{1} c ∈ α

spezielle aus, indem wir zu Normalherleitungen mit Schranken ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ für gewisse b⃗, t⃗ und S übergehen. Die hier angestrebte Normalform entspricht der ”normale Beweise mit Schranken“ aus [Takeuti 1991] und der ”freie Variablennormalform“ aus [Takeuti 1987]. In Bezug auf eine feste Herleitung bedeute ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ :

– m und ist eine obere Schranken der Herleitungslänge.

– Die 1 besagt, daß alle Schnittformeln den Rang Null haben (also durch 1 beschränkt werden). Dies gilt schon für alle Herleitungen mit I ^{m}_{1} c ∈ α.

– Γ ist eine endliche Menge von Σ^{1,w}-Formeln.

– Zu b_{i} gibt es in der Herleitung genau einen Schluß mit einer Variablenbedingung, wo b_{i} Eigenvariable ist, dem sogenannten Eliminationsschluß von b_{i}. Der Eliminationsschluß muß also eine Anwendung von (∀^{≤}) oder (Σ^{1,w}-LIND) sein.

Mithin müssen die Eigenvariablen b⃗ paarweise verschieden sein, was sich in der Variablenbedingung E1) in der nachstehenden Definition wiederspiegelt.

– Alle im Beweis auftretenden freien Variablen sind entweder Parametervariablen (d. h. treten in der Endformelmenge Γ auf) oder Eliminationsvariablen und diese beiden Gruppen sind disjunkt, was später in den Variablenbedingungen E2) bis E4) ausgenutzt wird (c zählt nicht zu den freien Variablen und kann daher immer auftreten).

– Die Eliminationsvariablen sind bezüglich ihres Auftretens in der Herleitung von oben nach unten geordnet, d. h. tritt b_{i} in der Teilherleitung, die zum Eliminationsschluß von b_{j} führt, auf, so ist i < j .

– Jedem b_{i} ist der Term t_{i} zugeordnet. Dabei muß |t_{i}| der Hauptterm des Eliminationsschlusses von b_{i} sein. Das geht in dieser Form, da diese Terme in den entsprechenden Schlüssen alle scharf beschränkt sind. Es liegt also eine der folgenden Situationen vor:

\begin{matrix}Λ, ¬A(b_{i}), A(Sb_{i}) \\ Λ, ¬A(0), A(|t_{i}|) \end{matrix} mit b_{i} ∉ FV (Λ, A(|t_{i}|))

oder

\begin{matrix}Λ, b_{i} / ≤ |t_{i}|, A(b_{i}) \\ Λ, ∀x^{≤}|t_{i}| A(x) \end{matrix} mit b_{i} ∉ FV (Λ, ∀x^{≤}|t_{i}| A(x)) .

Mit dem vorherigen Punkt bezüglich der Anordnung der Eigenvariablen erhalten wir in beiden Fällen

b_{1}, …, b_{i} ∉ FV (t_{i}) ,

wodurch die nachfolgende Variablenbedingung E3) begründet ist.

– Die Hauptterme der (α-Schritt)-Anwendungen werden in S notiert.

11.4 Definition

Seien V eine endliche Menge von freien Variablen, k, l, m < ω, b_{1}, …, b_{k} freie Variablen ungleich c und t_{1}, …, t_{k}, s_{1}, …, s_{l} Terme, S = {s_{1}, …, s_{l}}. Die Variablenbedingung (E)[b⃗; t⃗; S; V] ist genau dann erfüllt, wenn

E1) b_{i} ≢ b_{j} für i, j ∈ {1, …, k} , i ≠ j

E2) V ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅

E3) FV (t_{i}) ⊂ {b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ V für 1 ≤ i ≤ k

E4) FV (S) ⊂ {b_{1}, …, b_{k}} ∪ V

gilt. Sei Γ ⊂_{fin} Σ^{1,w} . Wir schreiben abkürzend (E) für (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)]. Die Normalherleitung mit Schranken ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ sei induktiv definiert durch:

(a) Ist Γ ein Axiom von I, so gelte für m < ω beliebig _{∅} ^{m}_{1} Γ . (E) ist trivialerweise erfüllt.

(b) Gilt ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Λ , ist Λ ⟹ Γ ein (∨), (∃^{≤}), (∀^{2}), (∃^{2}) oder (Σ^{1,w}-CA)-Schluß

und ist FV_{1} (Λ) = FV_{1} (Γ) , so gelte ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ für m > m′, falls (E) erfüllt ist.

(c) Gelten ^{b⃗_{i}} ^{t⃗_{i}}_{S_{i}}  ^{m_{i}}_{1} Γ, A_{i} für i = 0, 1, so gelte ^{b⃗_{0}, b⃗_{1}} ^{t⃗_{0}, t⃗_{1}}_{S_{0} ∪ S_{1}}  ^{m}_{1} Γ, A_{0} ∧ A_{1} für

m > m_{0}, m_{1} , falls (E) erfüllt ist.

(d) Gelten ^{b⃗_{0}} ^{t⃗_{0}}_{S_{0}}  ^{m_{0}}_{1} Γ, F und ^{b⃗_{1}} ^{t⃗_{1}}_{S_{1}}  ^{m_{1}}_{1} Γ, ¬F , sind die freien Individuenvaria-

blen von F in FV (Γ) enthalten, damit die in der Herleitung auftretenden freien Individuenvariablen allesamt entweder Eigenvariable oder Parametervariable sind, und ist F ∈ Σ^{1,w} vom ∨-Typ, so gelte ^{b⃗_{0}, b⃗_{1}} ^{t⃗_{0}, t⃗_{1}}_{S_{0} ∪ S_{1}} ^{m}_{1} Γ für m>m_{0}, m_{1} , falls (E) erfüllt ist.

(e) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, b / ≤ |t|, F (b) ⟹ ^{b⃗, b} ^{t⃗, t}_{S} ^{m}_{1} Γ, ∀x^{≤}|t| F (x) für m > m′, falls b ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) und (E) erfüllt ist.

(f) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ¬F (b), F (Sb) ⟹ ^{b⃗, b} ^{t⃗, t}_{S} ^{m}_{1} Γ, ¬F (0), F (|t|) für m > m′, falls b ∉ FV (Γ, F (|t|)) und (E) erfüllt ist.

(g) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, s ∈ α ⟹ _{S ∪ {s}}^{b⃗ t⃗} ^{m}_{1} Γ, Ss ∈ α für m > m′, falls (E) erfüllt ist.

Die Definition zeigt, daß aus ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ die Variablenbedingung (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)] folgt.

Die Verbindung zwischen I und der Normalherleitung mit Schranken stellt der Satz 11.7 her. Dazu werden zuerst zwei technische Lemmata formuliert. Sie bilden den Kern für die Erfüllung der Variablenbedingung in dem Satz.

11.5 Lemma

Sei a ∉ b⃗ und u ein Term mit FV (u) ∩ b⃗ = ∅, dann gilt

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ ⟹ ^{b⃗} ^{t⃗_{a}(u)}_{S_{a}(u)} ^{m}_{1} Γa(u) .

Beweis durch Induktion nach m:

Wir begründen, daß aus (E’) ··= (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)] mit der Voraussetzung FV (u)∩ b⃗ = ∅ die Gültigkeit von (E) ··= (E)[b⃗; t⃗a(u); Sa(u); FV (Γa(u))] folgt.

Die Eigenschaft E1) b_{i} ≢ b_{j} für i, j ∈ {1, …, k} , i ≠ j , wird von der Ersetzung nicht betroffen, da nach Voraussetzung schon a ∉ b⃗ gilt. Dies nutzen wir auch aus, um mit der zweiten Voraussetzung FV (u) ∩ b⃗ = ∅ E2) zu zeigen:

FV (Γa(u)) ∩ b⃗ ⊂ (FV (Γ) ∩ b⃗) ∪ (FV (u) ∩ b⃗) = ∅ .

Für E3) nutzen wir E’3) aus:

FV (t_{i} a(u)) ⊂ (FV (t_{i}) /{a}) ∪ FV (u) ⊂ {b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γa(u))

und für E4) die Eigenschaft E’4):

FV (Sa(u)) ⊂ (FV (S) /{a}) ∪ FV (u) ⊂ b⃗ ∪ FV (Γa(u)) .  □

11.6 Lemma

Für a ∉ b⃗ ∪ FV (Γ) und b ∈ {b_{1}, …, b_{k}} gilt
b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ ⟹ ^{b⃗_{b}(a)} ^{t⃗_{b}(a)}_{S_{b}(a)} ^{m}_{1} Γ .

Beweis durch Induktion nach m:

Es gibt ein i ∈ {1, …, k} mit b = b_{i}. Dann liefert uns (E’) ··= (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)]

\begin{aligned}b⃗b(a) & = & b_{1}, …, b_{i−1}, a, b_{i+1}, …, b_{k} \\ t⃗b(a) & = & t_{1} b(a), …, t_{i−1} b(a), t_{i}, …, t_{k} , \end{aligned}  (1)

denn für j ≥ i gilt mit E’3) FV (t_{j}) ⊂ {b_{j+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ) und mit E’2) b ∉ {b_{j+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ) , mithin b ∉ FV (t_{j}) . Wir zeigen nun (E) ··= (E)[b⃗b(a); t⃗b(a); Sb(a); FV (Γ)].

E1) folgt aus der Voraussetzung a ∉ b⃗ und E2) aus a ∉ FV (Γ) .

Um E3) zu zeigen, nutzen wir (1) und E’3) aus. Wir unterscheiden zwei Fälle. Für 1 ≤ j < i ist

FV (t_{j} b(a)) ⊂ {b_{j+1}, …, b_{i−1}, a, b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ)

und für i ≤ j ≤ k

FV (t_{j}b(a)) ⊂ {b_{j+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ) .

Schließlich erhalten wir E4) aus E’4):

FV (Sb(a)) ⊂ {b_{1}, …, b_{i−1}, a, b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ) .  □

Aus einer fest gewählten Herleitung von I ^{m}_{1} Γ läßt sich immer eine Normalherleitung mit Schranken konstruieren. Dazu nennen wir die Eigenvariablen so um, daß sie jeweils von allen anderen in der Herleitung auftretenden Variablen verschieden sind. Dies ist möglich, da die Eigenvariablen in ihren Eliminationsschlüssen einer geeigneten Variablenbedingung unterliegen. Nun ersetzen wir alle Individuenvariablen (zu denen c nicht zählt), die durch einen Schluß eliminiert werden (d. h. sie treten in der Konklusion nicht mehr auf) ohne dort Eigenvariable zu sein, durch Null. Jetzt brauchen wir nur noch die Eigenvariablen b⃗ und deren zugeordneten Hauptterme t⃗ sowie alle Hauptterme von (α-Schritt)- Anwendungen S notieren und erhalten so eine Normalherleitung mit Schranken und der Eigenschaft (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)].

11.7 Satz (Existenz einer Normalherleitung mit Schranken)

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} und gelte I ^{m}_{1} Γ , dann gibt es eine Normalherleitung mit Schranken von Γ, d. h. es existieren gewisse b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ .

Beweis durch Induktion nach m: (i) Ist Γ ein Axiom, so ist nichts zu zeigen.

(ii) Der letzte Schluß war (∨), (∃^{≤}), (∀^{2}) oder (∃^{2}) der Gestalt

I ^{m′}_{1} Λ ⟹ I ^{m}_{1} Γ

für ein m′ < m. Die Induktionsvoraussetzung liefert die Existenz gewisser b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Λ .

Es ist wegen FV_{1} (Λ) ⊂ FV_{1} (Γ) und Lemma 11.6 auch ohne Einschrnkung (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)] erfüllt, also erhalten wir durch Anwendung des gleichen Schlusses

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ .

(iii) Als letzter Schluß lag (Σ^{1,w}-CA) vor:

I ^{m′}_{1} Γ, F (A(.)) ⟹ I ^{m}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ)

mit m′ < m und A ∈ Σ^{1,w} . Die Induktionsvoraussetzung liefert für Λ ··= Γ, F (A(.)) die Existenz gewisser b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Λ .

Für FV_{1} (Λ) \ FV_{1} (Γ) = {d_{1}, …, d_{n}} erhalten wir durch Induktion nach n unter Ausnutzung von Lemma 11.5

b⃗ ^{t⃗_{d⃗} (0)}_{S_{d⃗} (0)} ^{m}_{1} Λd⃗(0) .

Nun ist wegen FV_{1} (Λd⃗(0)) = FV_{1} (Γ) auch (E)[b⃗; t⃗d⃗ (0); Sd⃗ (0); FV (Γ)] erfüllt, also erhalten wir durch (Σ^{1,w}-CA)

b⃗ ^{t⃗_{d⃗} (0)}_{S_{d⃗} (0)} ^{m}_{1} Γ, ∃ϕ F (ϕ) .

(iv) Lag ein (∧)-Schluß vor, etwa

I ^{m_{i}}_{1} Γ, A_{i} für i = 0, 1 ⟹ I ^{m}_{1} Γ, A_{0} ∧ A_{1}

mit m_{0}, m_{1} < m, so liefert die Induktionsvoraussetzung

b⃗_{i} ^{t⃗_{i}}_{S_{i}} ^{m_{i}}_{1} Γ, A_{i}

für i = 0, 1 und gewisse b⃗_{0}, t⃗_{0}, S_{0} und b⃗_{1}, t⃗_{1}, S_{1} .

Nach Lemma 11.6 können wir ohne Einschränkung annehmen, daß b⃗_{0} ∩ b⃗_{1} = ∅ und b⃗_{0}, b⃗_{1} ∩FV (A_{0} ∧ A_{1}) = ∅ sind. Damit sind E1), E2) und E3) für (E)[b⃗_{0}, b⃗_{1}; t⃗_{0}, t⃗_{1}; S_{0} ∪ S_{1}; FV (Γ, A_{0} ∧ A_{1})] klar. Für E4) beobachten wir

FV (S_{0} ∪ S_{1}) = FV (S_{0}) ∪ FV (S_{1})
⊂^{IV} (b⃗_{0} ∪ FV (Γ, A_{0})) ∪ (b⃗_{1} ∪ FV (Γ, A_{1}))
= b⃗_{0}, b⃗_{1} ∪ FV (Γ, A_{0} ∧ A_{1}) .

Mithin

b⃗_{0}, b⃗_{1} ^{t⃗_{0}, t⃗_{1}}_{S_{0} ∪ S_{1}} ^{m}_{1} Γ, A_{0} ∧ A_{1} .

(v) Der letzte Schluß war ein (Schnitt):

I ^{m_{0}}_{1} Γ, A und I ^{m_{1}}_{1} Γ, ¬A ⟹ I ^{m}_{1} Γ

mit m_{0}, m_{1} < m und I-rg(A) = 0 , also A ∈ Σ^{1,w} . Ohne Einschränkung sei A vom ∨-Typ, dann gilt mit der Induktionsvoraussetzung

b⃗_{0} ^{t⃗_{0}}_{S_{0}}  ^{m_{0}}_{1} Γ, A und  ^{b⃗_{1}} ^{t⃗_{1}}_{S_{1}}  ^{m_{1}}_{1} Γ, ¬A

für gewisse b⃗_{0}, t⃗_{0}, S_{0} und b⃗_{1}, t⃗_{1}, S_{1} . Analog zu (iii) können wir ohne Einschränkung annehmen, daß FV (A) ⊂ FV (Γ) gilt. Die gleiche Argumentation wie unter (iv) zeigt, daß ohne Einschränkung b⃗_{0}∩b⃗_{1} = ∅ und (E)[b⃗_{0}, b⃗_{1}; t⃗_{0}, t⃗_{1}; S_{0}∪S_{1}; FV (Γ)] wegen FV (Γ, A) = FV (Γ, ¬A) = FV (Γ) erfüllt sind. Mithin

b⃗_{0}, b⃗_{1} ^{t⃗_{0}, t⃗_{1}}_{S_{0} ∪ S_{1}} ^{m}_{1} Γ .

(vi) Es lag (∀^{≤}) als letzter Schluß vor:

I ^{m′}_{1} Γ, b / ≤ |t|, F (b) ⟹ I ^{m}_{1} Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)

mit b ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) und m′ < m. Dies ist der einzig mögliche (∀^{≤})- Schluß, da nur scharf beschränkte Formeln hergeleitet werden. Die Induktionsvoraussetzung produziert

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, b / ≤ |t|, F (b)

für gewisse b⃗, t⃗ und S. Insbesondere gilt (E’) ··= (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ, b / ≤ |t|, F (b))]. Nun überlegen wir uns, daß (E) ··= (E)[b⃗, b; t⃗, t; S; FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x))] erfüllt ist. Nach E’2) gilt b⃗∩FV (b / ≤ |t|) = ∅, also ist b∉b⃗. Mit E’1) ist dann auch gezeigt, daß die Variablen b_{1}, …, b_{k}, b paarweise verschieden sind, mithin E1). Die Variablenbedingung b ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) und E’2) zeigen

FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) ∩ {b_{1}, …, b_{k}, b} = ∅ .

Also haben wir E2). Für E’3) beobachten wir einerseits

FV (t_{i}) ⊂^{E′3)} {b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ, b / ≤ |t|, F (b))
= {b_{i+1}, …, b_{k}, b} ∪ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) .

Andererseits gilt trivialerweise schon

FV (t) ⊂ FV (∀x^{≤}|t| F (x)) .

Ebenso erhalten wir E4):

FV (S) ⊂^{E′4)} {b_{1}, …, b_{k}} ∪ FV (Γ, b / ≤ |t|, F (b))
= {b_{1}, …, b_{k}, b} ∪ FV (Γ, ∀x^{≤}|t| F (x)) .

Mithin

b⃗, b ^{t⃗, t}_{S} ^{m}_{1} Γ, ∀x^{≤}|t| F (x) .

(vii) Der letzte Schluß war (Σ^{1,w}-LIND):

I ^{m′}_{1} Γ, ¬F (b), F (Sb) ⟹ I ^{m}_{1} Γ, ¬F (0), F (|t|)

mit b ∉ FV (Γ, F (0)) und m′ < m. Dann liefert die Induktionsvoraussetzung für gewisse b⃗, t⃗ und S

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ¬F (b), F (Sb) .

Mit Lemma 11.5 können wir ohne Einschränkung b ∉ FV (Γ, F (|t|)) annehmen. Nun zeigt man wie unter (vi) (E)[b⃗, b; t⃗, t; S; FV (Γ, ¬F (0), F (|t|))] . Also gilt

b⃗, b ^{t⃗, t}_{S} ^{m}_{1} Γ, ¬F (0), F (|t|) .

(viii) Zuletzt lag ein (α-Schritt) vor:

I ^{m′}_{1} Γ, s ∈ α ⟹ I ^{m}_{1} Γ, Ss ∈ α

mit m′ < m. Dann liefert die Induktionsvoraussetzung

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, s ∈ α

für gewisse b⃗, t⃗ und S. Es folgt (E)[b⃗; t⃗; S ∪ {s}; FV (Γ, Ss ∈ α)], mithin

S ∪ {s}^{b⃗ t⃗} ^{m}_{1} Γ, Ss ∈ α .  □

Wir haben nun aus der Existenz einer Herleitung I ^{m}_{1} Γ die Existenz einer Normal-

herleitung mit Schranken ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ gefolgert. Dadurch haben wir genug Informationen gewonnen, um den Speicher solch einer Herleitung angeben zu können, der alle für die Einbettung ins halbformale System benötigten Hauptterme von (α-Schritt)-Anwendungen umfaßt.

Wir nutzen die Variablenbedingung (E)[b⃗; t⃗; S; V], speziell E3) FV (t_{i}) ⊂ {b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ V , aus, indem wir sukzessive b_{i} in t_{1}, …, t_{i−1} ”monoton“, d. h. mit Hilfe der Funktion σ aus 3.12, durch |t_{i}| ersetzen. Sind b⃗ und t⃗ k-Tupel, dann definieren wir durch Rekursion für i = k, …, 1 kanonische Beschränkungsterme T_{i}[t⃗] ∈ LBA^{∅} zu t_{i} durch

T_{i}[t⃗] ···≡ σ[t_{i}]b_{i+1}, …, b_{k}(|T_{i+1}[t⃗]|, …, |T_{k}[t⃗]|) .

Wir beobachten durch Induktion nach i für i = k, …, 1 , daß aus der Eigenschaft E3): FV (t_{i}) ⊂ {b_{i+1}, …, b_{k}} ∪ V

FV (T_{i}[t⃗]) ⊂ V (1)

folgt.

Nun sind wir in der Lage, zu einer gegebenen Normalherleitung ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ aus der Variablenbedingung (E)[b⃗; t⃗; S; FV (Γ)] den Speicher zu definieren, der alle für die Einbettung ins halbformale System benötigten Hauptterme umfaßt. Dazu gelte (E)[b⃗; t⃗; S; V], die freien Individuenvariablen in V seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten und es gelte {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅.

11.8 Definition

Für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n} sei Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) die Menge
{s(b⃗) | s ∈ Sc, a⃗(l, n⃗) und b_{i} ≤ |T_{i}[t⃗]c, a⃗(l, n⃗)| für i = 1, …, k} .

An dieser Stelle bestimmen wir die Mächtigkeit des Speichers, unser gesuchtes Maß. Sei #(M) die Mächtigkeit der Menge M.

11.9 Lemma

Es gibt ein geeignetes Polynom p mit

#(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗)) ≤ p(|l|, |n⃗|)

für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n}.

Beweis:

Zu T_{i}[t⃗](c, a⃗) gibt es ein geeignetes Polynom p_{i}(c, a⃗) , so daß

∀l ∀n⃗ |T_{i}[t⃗](l, n⃗)| ≤ p_{i}(|l|, |n⃗|)

gilt. Damit erhalten wir

#(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗))

≤ #(S) · (|T_{1}[t⃗](l, n⃗)| + 1) · . . . · (|T_{k}[t⃗](l, n⃗)| + 1)
≤ #(S) · (p_{1}(|l|, |n⃗|) + 1) · . . . · (p_{k}(|l|, |n⃗|) + 1)
= p(|l|, |n⃗|)

für ein geeignetes Polynom p(c, a⃗). □

Wir haben nun, ausgehend von einer Herleitung I ^{m}_{1} c ∈ α, eine Normalherleitung mit

Schranken ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} c ∈ α für gewisse b⃗, t⃗, S und ein Polynom p(c) gefunden, so daß

der zu dieser Herleitung konstruierte Speicher Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) durch p(|n|) beschränkt ist. Uns bleibt noch zu zeigen, daß der Speicher wirklich alle für die Einbettung ins halbformale System benötigten Hauptterme von (α-Schritt)-Anwendungen umfaßt und daß sich diese Menge bei der Schnittelimination nicht vergrößert. Um dann zu einem Widerspruch zu kommen, müssen wir abschließend begründen, daß die Anzahl der für eine schnittfreie Herleitung von n ∈ α im halbformalen System benötigten Hauptterme linear zu n und damit exponentiell zu |n| wächst. Darum kann sie für große n nicht durch p(|n|) beschränkt werden.

Dazu passen wir das schon definierte halbformale System aus Abschnitt 11 für U_{2}^{i} an das Fragment I an, indem wir zusätzliche Axiome und Regeln angeben. Dabei wird besonderen Wert auf die Kontrolle der Hauptterme aus den (α-Schritt)-Schlüssen durch M gelegt.

11.10 Induktive Definition des halbformalen Systems M ^{m}_{ρ} Γ für I.

Seien M ⊂_{fin} IN , m′ < m < ω , ρ < ω · 2 und Γ ⊂ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen. Wir fügen der Definition 10.3 folgendes Axiom und folgenden Schluß hinzu.

zusätliches Axiom:

(c) Für s^{IN} = 0 gelte M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α.

zusätzlicher Schluß:

(α-Schritt) M ^{m′}_{ρ} Γ, \underline{i} ∈ α und i ∈ M , t^{IN} = i + 1 ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, t ∈ α

Wir beobachten, daß für das neue Axiom und den neuen Schluß wieder das Strukturschlußlemma und das Gleichheitslemma aus Abschnitt 11 gelten. Damit läßt sich in analoger Weise der Eliminationssatz beweisen.

11.11 Eliminationssatz

M ^{m}_{ρ} Γ ⟹ M _{0} Γ . □

Um zu begründen, daß wir mit der Wahl unserer Definition des Speichers und des halbformalen Systems richtig liegen, zeigen wir zuerst den Einbettungssatz. Der wesentliche Punkt dabei ist die Ersetzung der Induktionsschlüsse durch Schnitte.

11.12 Lemma

Es gelte (E)[b_{1}, …, b_{k}; t_{1}, …, t_{k}; S; V], die Individuenvariablen von V seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten und es gelte {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅.

Seien l ∈ IN , n⃗ ∈ IN^{n} und t̂_{ι} ··= T_{ι}[t⃗]c, a⃗(l, n⃗)^{IN} für ι = 1, …, k, dann gilt für 0 ≤ i − 1 ≤ j ≤ k , T ⊂ S , Γ ⊂ Σ^{1,w} mit FV (Γ) ⊂ V ∪ {b_{j+1}, …, b_{k}} und r_{ι} ≤ |t̂_{ι}| für ι = 1, …, k

b_{i}, …, b_{j} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T} ^{m}_{1} Γ ⟹ Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) Γc, a⃗, b⃗(\underline{l}, \underline{n}, \underline{r}) .

Beweis durch Induktion nach m:

Abkürzend sei Sp(l, n⃗) ··= Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(\underline{l}, \underline{n}) , F′ ···≡ Fc, a⃗, b⃗(\underline{l}, \underline{n}, \underline{r}) und t′ ···≡

tc, a⃗, b⃗(\underline{l}, \underline{n}, \underline{r}) .

(i) Ist Γ ein Axiom, so ist in jedem Fall Γ′ ein Axiom des halbformalen Systems, und es gilt Sp(l, n⃗) Γ′.

(ii) Gilt ^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T} ^{m′}_{1} Λ für ein m′ <m und ist Λ ⟹ Γ ein (∨), (∀^{2}) oder ein (∃^{2})-Schluß, so gilt nach Induktionsvoraussetzung

Sp(l, n⃗) Λ′ .

Mit dem entsprechenden Schluß im halbformalen System folgt

Sp(l, n⃗) Γ′ .

(iii) War der letzte Schluß eine (Σ^{1,w}-CA)-Anwendung, so lag ohne Einschränkung die Prämisse

b_{i}, …, b_{j} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T} ^{m′}_{1} Γ, F (A(.))

für ein m′ < m und A(a) ∈ Σ^{1,w} vor. Hier liefert die Induktionsvoraussetzung

Sp(l, n⃗) Γ′, F (A(.))′ .

Dann folgt mit Satz 10.15, der (Σ^{1,w}-CA) im halbformalen System beweist,

Sp(l, n⃗) Γ′ .

(iv) Als letzter Schluß lag vor:

\begin{matrix}^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T}  ^{m′}_{1} Γ, F (s) \\ ⟹ ^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T}  ^{m}_{1} Γ, s / ≤ t, ∃x^{≤}t F (x) \end{matrix}

mit m′ < m. Dann liefert die Induktionsvoraussetzung

Sp(l, n⃗) Γ′, F′(s′) .

Für s^{′IN} ≤ t^{′IN} produziert (∃^{≤}) mit einem Strukturschluß 10.4

Sp(l, n⃗) Γ′, s′ / ≤ t′, ∃x^{≤}t′ F′(x) ,

im anderen Fall ist dies ein Axiom (a).

(v) Gelten

b_{i}, …, b_{s} ^{t_{i}, …, t_{s}}_{T_{0}}  ^{m_{0}}_{1} Γ_{0} und ^{b_{s+1}, …, b_{j}} ^{t_{s+1}, …, t_{j}}_{T_{1}}  ^{m_{1}}_{1} Γ_{1} ,

i−1≤s≤j , m_{0}, m_{1} <m und ist Γ_{0} & Γ_{1} ⟹ Γ ein (∧) oder (Schnitt)- Schluß, so gilt nach Voraussetzung und wegen der zusätzlichen Variablenbedingung im Schnitt

FV (Γ_{0}, Γ_{1}) ⊂ V ∪ {b_{j+1}, …, b_{k}}

sowie T_{0} ⊂ T ⊂ S und T_{1} ⊂ T ⊂ S . Also ist die Induktionsvoraussetzung anwendbar. Sie liefert

Sp(l, n⃗) Γ′_{i} .

Mit dem ursprünglichen Schluß folgt die Behauptung.

(vi) Der letzte Schluß hatte die Gestalt:

\begin{matrix}^{b_{i}, …, b_{j−1}} ^{t_{i}, …, t_{j−1}}_{T}  ^{m′}_{1} Γ, b_{j} / ≤ |t_{j}|, F (b_{j}) \\ ⟹ ^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T}  ^{m}_{1} Γ, ∀x^{≤}|t_{j}| F (x) \end{matrix}

mit m′ < m, b_{j} ∉ FV (Γ, ∀x^{≤}|t_{j}| F (x)) und i ≤ j . Nach Voraussetzung gilt

FV (Γ, b_{j} / ≤ |t_{j}|, F (b_{j})) = FV (Γ, ∀x^{≤}|t_{j}| F (x)) ∪ {b_{j}}
⊂ V ∪ {b_{j}, …, b_{k}} .

Also liefert die Induktionsvoraussetzung für d ≤ |t̂_{j}|

Sp(l, n⃗) Γ′, \underline{d} / ≤ |t′_{j}|, F′(\underline{d}) . (1)

Nun beobachten wir wegen E3) FV (t_{j}) ⊂ V ∪{b_{j+1}, …, b_{k}} mit Lemma 3.12 über die Monotonie von σ

(t′_{j})^{IN} = (t_{j} c, a⃗, b_{j+1}, …, b_{k}(l, n⃗, r_{j+1}, …, r_{k}))^{IN}
≤ (σ[t_{j}]c, a⃗, b_{j+1}, …, b_{k}(l, n⃗, |t̂_{j+1}|, …, |t̂_{k}|))^{IN}
= (T_{j}[t⃗]c, a⃗(l, n⃗))^{IN}
= t̂_{j} .

Also gilt für alle d ≤ |t′_{j}|^{IN} insbesondere (1) und mit Axiom (a) \underline{d} ≤ |t′|, mithin erhalten wir

Sp(l, n⃗) Γ′, F′(\underline{d}) .

Dann folgt mit (∀^{≤})

Sp(l, n⃗) Γ′, ∀x^{≤}|t′_{j}| F′(x) .

(vii) Der letzter Schluß war:

\begin{matrix}^{b_{i}, …, b_{j−1}} ^{t_{i}, …, t_{j−1}}_{T}  ^{m′}_{1} Γ, ¬F (b_{j}), F (Sb_{j}) \\ ⟹ ^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T}  ^{m}_{1} Γ, ¬F (0), F (|t_{j}|) \end{matrix}

mit m′ < m, b_{j} ∉ FV (Γ, F (|t_{j}|)) , F (a) ∈ Σ^{1,w} und i ≤ j . Wie unter (v) produziert die Induktionsvoraussetzung für d ≤ |t′_{j}|^{IN}

Sp(l, n⃗) Γ′, ¬F′(\underline{d}), F′(S\underline{d}) .

Aus diesem folgt durch endlich viele Schnitte

Sp(l, n⃗) Γ′, ¬F′(0), F′(\underline{|t′_{j}|^{IN}}) ,

also zeigt das Gleichheitslemma 10.5

Sp(l, n⃗) Γ′, ¬F′(0), F′(|t′_{j}|) .

(viii) Der letzter Schluß sah wie folgt aus:

\begin{matrix}^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T}  ^{m′}_{1} Γ, t ∈ α \\ ⟹ ^{b_{i}, …, b_{j}} ^{t_{i}, …, t_{j}}_{T ∪ \{t\}}  ^{m}_{1} Γ, St ∈ α \end{matrix}

mit m′ < m. Nach Voraussetzung ist T ∪ {t} ⊂ S , insbesondere gilt T ⊂ S und t ∈ S . Die Induktionsvoraussetzung liefert also

Sp(l, n⃗) Γ′, t′ ∈ α .

Wegen

t′ ≡ tc, a⃗, b⃗(l, n⃗, r⃗)
∈ {s(b⃗) | s ∈ Sc, a⃗(l, n⃗) und b_{ι} ≤ |T_{ι}[t⃗]c, a⃗(l, n⃗)| für ι = 1, …, k}
= Sp(l, n⃗)

folgt mit einem (α-Schritt)

Sp(l, n⃗) Γ′, St′ ∈ α .  □

Als Spezialfall dieses Lemmas erhalten wir den Einbettungssatz.

11.13 Einbettungssatz

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} , die Individuenvariablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten, es sei {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ und es gelte ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ , dann gilt für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n}

Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) Γc, a⃗(\underline{l}, \underline{n}) .  □

Die Begründung dafür, daß mindestens n (α-Schritt)-Schlüsse zur schnittfreien Herleitung von \underline{n} ∈ α benötigt werden, liegt im Beschränkungssatz. Sei Min(s_{1}, …, s_{l}) ··= Min(s_{1}^{IN}, …, s_{l}^{IN}).

11.14 Beschränkungssatz

M ^{m}_{0} s_{1} ∈ α, …, s_{l} ∈ α ⟹ {0, …, Min(s_{1}, …, s_{l}) − 1} ⊂ M .

Beweis durch Induktion nach m:

Ist Min(s_{1} …, s_{l}) = 0 , so ist die Behauptung trivial. Sei also Min(s_{1} …, s_{l}) > 0 , dann kann kein Axiom vorliegen, und der letzte Schluß muß ein (α-Schritt) gewesen sein:

M ^{m′}_{0} s_{1} ∈ α, …, s_{l} ∈ α, t ∈ α ⟹ M ^{m}_{0} s_{1} ∈ α, …, s_{l} ∈ α

mit t^{IN} + 1 = s_{i}^{IN} für ein i ∈ {1, …, l} , t^{IN} ∈ M und m′ < m.

Falls t^{IN} ≥ Min(s_{1} …, s_{l}) ist, so folgt aus der Induktionsvoraussetzung

{0, …, Min(s_{1}, …, s_{l}) − 1}

= {0, …, Min(s_{1}, …, s_{l}, t) − 1}
⊂ M .

Ist t^{IN} < Min(s_{1} …, s_{l}) , so folgt aus t^{IN} + 1 = s_{i}^{IN}

Min(s_{1} …, s_{l}) = t^{IN} + 1

und daraus mit der Induktionsvoraussetzung und t^{IN} ∈ M

{0, …, Min(s_{1}, …, s_{l}) − 1}
= {0, …, t^{IN}}
= {0, …, Min(s_{1}, …, s_{l}, t) − 1, t^{IN}}
⊂ M . □

Nun sind wir in der Lage, den begonnenen Widerspruchsbeweis zu vollenden.

Satz 11.1

U_{2}^{w} / 0 ∈ α ∧ ∀x (x ∈ α → Sx ∈ α) → c ∈ α, wobei c eine freie Variable ist. Beweis:

Angenommen, es gilt U_{2}^{w} 0 ∈ α ∧ ∀x (x ∈ α → Sx ∈ α) → c ∈ α. Wir führen diese Annahme zum Widerspruch.

Da U_{2}^{w} ein Teilsystem von I ist und mit Lemma 11.2 I 0∈α ∧ ∀x (x∈α → Sx∈α) gilt, folgt I c ∈ α. Partielle Schnittelimination 11.3 ergibt daraus

I _{1} c ∈ α .

Nun zeigt der Satz 11.7 über die Existenz einer Normalherleitung

b⃗ ^{t⃗}_{S} _{1} c ∈ α (1)

für gewisse b⃗, t⃗ und S. Damit konstruieren wir den Speicher Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) und ein geeignetes Polynom p , so daß

#(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≤ p(|n|)

für beliebiges n gilt.

Durch Einbettung 11.13 der Normalherleitung (1) in das halbformale System und anschließender Schnittelimination 11.11 erhalten wir

Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) _{0} \underline{n} ∈ α

für alle n ∈ IN . Das ist mit dem Beschränkungssatz 11.14 nur möglich, wenn

{0, …, n − 1} ⊂ Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)

ist, also gilt

n = #{0, …, n − 1} ≤ #(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≤ p(|n|) .

Mithin ist

2^{|n|} = 2^{⌈log_{2}(n+1)⌉} ≤ 2 · (n + 1) ≤ 2 · p(|n|) + 2 ,

was für hinreichend großes n zum Widerspruch führt. □

Wir übertragen dieses Widerspruchsprinzip auf zwei zahlentheoretische Aussagen, den Kleinen Fermatschen Satz sowie den Satz von Wilson. Für den kleinen Fermatschen Satz rechnen wir Rem(c^{p−1}, p) mit der Rekursionsgleichung

Rem(c^{i+1}, p) = Rem(c · Rem(c^{i}, p), p)

aus, die die Grundlage für die (α-Schritt)-Regel dort sein wird. Analog zu I ist die Anzahl der (α-Schritt)-Anwendungen, die zur Berechnung von Rem(c^{p−1}, p) im halbformalen System benötigt werden, linear zu p, was U_{2}^{w}-Herleitungen allgemein nicht liefern können.

12 Der kleine Fermat

Der kleine Fermatsche Satz ist die zahlentheoretische Aussage

c^{p−1} ≡ 1 mod p

für Primzahlen p und 0 < c < p. Er läßt sich in LBA^{P} formulieren, indem wir rekursiv c^{i} in der kleinsten Restklasse modulo p, also Rem(c^{i}, p), mit Hilfe von α ausrechnen, d. h. α mit

⟨i, a⟩ ∈ α ↔ a = Rem(c^{i}, p)

festlegen, und anschließend ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α fordern. Dabei nutzen wir die Rekursionsgleichung

Rem(c^{i+1}, p) = Rem(Rem(c^{i}, p) · c, p)

aus, die den Zusammenhang c^{i+1} ≡ c^{i} · c mod p übersetzt. KleinF ermat sei der LBA^{P} -Satz

∀p ∀x^{<}p [0 < x ∧ (1 < p ∧ ∀y^{<}p (1 < y → Rem(p, y) ≠ 0))
∧ ∀y (⟨0, y⟩ ∈ α ↔ y = 1)
∧ ∀i ∀y^{<}p (⟨i, y⟩ ∈ α ↔ ⟨Si, Rem(x · y, p)⟩ ∈ α)
→ ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α] .

In [Takeuti 1991] §3 Theorem 2 wird

U_{2}^{1} KleinF ermat

gezeigt. Wir beweisen hier analog zu Abschnitt 11

{12.1 Satz \atop U_{2}^{w} / KleinF ermat.}

Sei F ein neues Fragment, in dem α wie ein Prädikatszeichen und p, c wie Konstanten behandelt werden, d. h. sie dürfen nie Eigenvariable sein und auch nicht mehr zu den freien Variablen gezählt werden.

F entsteht aus U_{2}^{w}, indem wir die Axiome

1 < p
1 < s ∧ s < p → Rem(p, s) ≠ 0
0 < c
c < p
⟨0, 1⟩ ∈ α
⟨0, s⟩ ∈ α → s = 1

und die Schlüsse (α-Rückschritt):

Γ, ⟨Ss, Rem(t · c, p)⟩ ∈ α ⟹ Γ, t / < p, ⟨s, t⟩ ∈ α

und (α-Schritt):

Γ, ⟨s, t⟩ ∈ α ⟹ Γ, ⟨Ss, Rem(t · c, p)⟩ ∈ α

für beliebige Terme s, t hinzufügen, wobei bei (α-Schritt) s der Hauptterm des Schlusses ist. Nun sind die Axiome und Regeln von F so angelegt, daß sie die Prämisse von KleinF ermat beweisen.

12.2 Lemma

F c < p ∧ 0 < c ∧ (1 < p ∧ ∀y^{<}p (1 < y → Rem(p, y) ≠ 0))
∧ ∀y (⟨0, y⟩ ∈ α ↔ y = 1)
∧ ∀i ∀y^{<}p (⟨i, y⟩ ∈ α ↔ ⟨Si, Rem(c · y, p)⟩ ∈ α)

Beweis:

Die ersten vier neuen Axiome von F zeigen

c < p ∧ 0 < c ∧ (1 < p ∧ ∀y^{<}p (1 < y → Rem(p, y) ≠ 0)) .

Die nächsten beiden Axiome liefern

∀y (⟨0, y⟩ ∈ α ↔ y = 1) .

Für den letzten Teil überlegen wir uns, daß aus dem logischen Axiom ⟨a, b⟩ ∉ α, ⟨a, b⟩ ∈ α mit einer (α-Schritt) und zwei (∨)-Anwendungen

⟨a, b⟩ ∈ α → ⟨Sa, Rem(b · c, p)⟩ ∈ α (1)

und aus dem logischen Axiom ⟨Sa, Rem(b·c, p)⟩∉α, ⟨Sa, Rem(b·c, p)⟩∈α mit einer (α-Rückschritt) und zwei (∨)-Anwendungen

⟨Sa, Rem(b · c, p)⟩ ∈ α → ⟨a, b⟩ ∈ α (2)

folgt. Durch (1) und (2) erhalten wir den fehlenden letzten Teil der Prämisse

∀i ∀y^{<}p (⟨i, y⟩ ∈ α ↔ ⟨Si, Rem(c · y, p)⟩ ∈ α) .  □

Sei F − rg ··= U_{2}^{w}−rg . Die partielle Schnittelimination für F läßt sich wie in 4.13 zeigen.

12.3 Lemma

F ^{m}_{r} Γ ⟹ F _{1} Γ . □

Zum Beweis des Satzes 12.1 nehmen wir U_{2}^{w} KleinF ermat an. Dann zeigen die letzten beiden Lemmata F _{1} ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α. Wir lesen wieder durch Auswahl einer Normalherleitung mit Schranken charakteristische Größen ab, mit deren Hilfe wir einen Speicher definieren, der alle für die Einbettung in ein halbformales System benötigten Hauptterme beschränkt. Dazu ändern wir in der Definition 11.4 der Normalherleitung mit Schranken die Klauseln (a) und (g) ab zu

(a’) Ist Γ ein Axiom von F, so gelte für m < ω beliebig _{∅} ^{m}_{1} Γ .

(g’) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ⟨Ss, Rem(t · c, p)⟩ ∈ α ⟹ ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ, t / < p, ⟨s, t⟩ ∈ α für m > m′.

(h’) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ⟨s, t⟩ ∈ α ⟹ _{S ∪ {s}}^{b⃗ t⃗} ^{m}_{1} Γ, ⟨Ss, Rem(t · c, p)⟩ ∈ α für m > m′.

Damit erhalten wir aus F ^{m}_{1} Γ die Existenz einer Normalherleitung mit Schranken wie im letzten Abschnitt, da die wesentlichen Schritte der Umbenennung von Eigenvariablen sowie der Ersetzung ”überflüssiger“ Variablen durch 0 von den neuen Axiomen und Regeln nicht tangiert werden.

12.4 Satz (Existenz einer Normalherleitung mit Schranken)

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} und gelte F ^{m}_{1} Γ , dann gibt es eine Normalherleitung mit Schranken von Γ, d. h. es existieren gewisse b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ .  □

Wir definieren den Speicher zu einer Normalherleitung ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ wie in Abschnitt 11 und geben die Abschätzung der Mächtigkeit des Speichers nach oben hin an. Die freien Variablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} mit {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ enthalten.

12.5 Definition

Für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n} sei Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) die Menge
{s(b⃗) | s ∈ Sp, c, a⃗(l, 1, n⃗) und b_{i} ≤ |T_{i}[t⃗]p, c, a⃗(l, 1, n⃗)| für i = 1, …, k} .

12.6 Lemma

Es gibt ein geeignetes Polynom p mit

#(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗)) ≤ p(|l|, |n⃗|)

für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n}. □

Zwecks Abschätzung des Speichers nach unten betten wir Normalherleitungen mit Schranken in ein passendes halbformales System ein. Dazu geben wir die zusätzlichen Axiome und Regeln an, die dem halbformalen System aus Abschnitt 10 zugefügt werden.

12.7 Induktive Definition des halbformalen Systems M ^{m}_{ρ} Γ für F

Seien M ⊂_{fin} IN , m′ < m < ω , ρ < ω · 2 und Γ ⊂ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen. Wir erweitern die Definition 10.3 um folgende Axiome und Schlüsse.

zusätzliche Axiome:

(c) Für s^{IN} = ⟨0, 1⟩ gelte M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α.

(d) Ist s^{IN} ≠ ⟨i, 1⟩ für beliebiges i, dann gelte M ^{m}_{ρ} Γ, s ∉ α.

zusätzliche Schlüsse:

(α-Rückschritt) M ^{m′}_{ρ} Γ, ⟨S\underline{i}, \underline{j}⟩ ∈ α und s^{N} = ⟨i, j⟩ ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α

(α-Schritt) M ^{m′}_{ρ} Γ, ⟨\underline{i}, \underline{j}⟩ ∈ α und i ∈ M , s^{N} = ⟨i + 1, j⟩ ⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α

Um das Reduktionslemma in analoger Weise zu Abschnitt 10 zu beweisen, zeigen wir folgende zusätzliche Inversion.

12.8 Lemma

Gilt M ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α und s^{IN} ≠ ⟨i, 1⟩ für alle i, so folgt M ^{m}_{ρ} Γ .

Beweis durch Induktion nach m:

Die Fälle, wo etwas zu tun ist, sind die, in denen s ∈ α Hauptformel des letzten Schlusses ist. Dafür gibt es drei Möglichkeiten.

(i) Es liegt ein Gleichheitsaxiom vor. Dann gibt es einen Term t mit s^{IN} =t^{IN} und (t ∉ α) ∈ Γ . Aus der Voraussetzung folgt t^{IN} ≠ ⟨i, 1⟩ für beliebiges i, also ist Γ ein Axiom (d).

(ii) Der letzte Schluß war ein (α-Rückschritt), also gibt es i, j ∈ IN und m′ < m, so daß s^{IN} = ⟨i, j⟩ und M ^{m′}_{ρ} Γ, t ∈ α für t ···≡ ⟨S\underline{i}, \underline{j}⟩ gilt. Mit der zweiten Voraussetzung ist j ≠ 1 , also produziert die Induktionsvoraussetzung M ^{m′}_{ρ} Γ .

(iii) Lag als letzter Schluß ein (α-Schritt) vor, dann gibt es i, j ∈ IN und m′ < m, so daß s^{IN} = ⟨i + 1, j⟩ und M ^{m′}_{ρ} Γ, t ∈ α für t ···≡ ⟨\underline{i}, \underline{j}⟩ gilt. Wieder zeigt die zweite Voraussetzung, daß es kein k mit s^{IN} = ⟨k, 1⟩ gibt, also liefert die Induktionsvoraussetzung M ^{m′}_{ρ} Γ . □

12.9 Eliminationssatz

M ^{m}_{ρ} Γ ⟹ M _{0} Γ .

Beweis:

Wir schauen uns noch einmal das Reduktionslemma an. In den Axiom-Fällen müssen wir zusätzlich F ≡ s ∉ α mit s^{IN} ≠ ⟨i, 1⟩ für alle i betrachten. Hier greift nun das gerade bewiesene Lemma, angewandt auf die zweite Voraussetzung, und ein anschließender Strukturschluß.

Bei den Schlüssen gibt es keine neuen Fälle zu betrachten, da die Hauptformeln der neuen Schlüsse nicht vom ∨-Typ sind. Damit ist der Beweis des Reduktionslemmas abgeschlossen. Der Eliminationssatz folgt hieraus wie in 10.9. □

Um den Einbettungssatz wie in 11.13 zu erhalten, begründen wir, daß die neuen Axiome und Regeln von F einbettbar sind. Sei q eine Primzahl. Aus einem beliebigen Term s entstehe s′, indem die freien Variablen von s durch beliebige, eventuell verschiedene Zahlterme und p, c durch \underline{q}, 1 ersetzt werden. Da q eine Primzahl ist, sind

(1 < p)p(\underline{q}) , (0 < c)c(1) , (c < p)c, p(1, \underline{q})

wahre Primformeln und somit Axiome des halbformalen Systems. Ist s ein beliebiger Term mit 1 < s^{′IN} < q, so ist

Rem(\underline{q}, s′) ≠ 0

eine wahre Primformel, da q eine Primzahl ist und somit nicht von s^{′IN} geteilt wird. Das Axiom ⟨0, 1⟩ ∈ α ist auch eins des halbformalen Systems. Für das letzte Axiom sei s ein beliebiger Term. Ist s^{′N} = 1 , so gilt ∅ ^{0}_{0} s = 1 mit dem

Axiom (a). Ansonsten ist s^{′IN} ≠ 1 , also liefert ein Axiom (d) ∅ ^{0}_{0} ⟨0, s′⟩ ∉ α. In beiden Fällen folgt mit einem (∨)-Schluß

∅ ^{1}_{0} ⟨0, s′⟩ ∈ α → s′ = 1 .

Die Regel (α-Rückschritt) und (α-Schritt) im halbformalen System sind als Einbettung der entsprechenden Regeln des formalen Systems F definiert. Damit erhalten wir analog zu 11.13 den Einbettungssatz für F.

12.10 Einbettungssatz

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} , die Individuenvariablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten, {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ und es gelte ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ , dann gilt für n⃗ ∈ IN^{n} und Primzahlen q

Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(q, n⃗) Γp, c, a⃗(\underline{q}, 1, \underline{n}) .  □

Der Beschränkungssatz für dieses halbformale System sieht wie folgt aus.

12.11 Beschränkungssatz

M ^{m}_{0} ⟨s_{1}, t_{1}⟩ ∈ α, …, ⟨s_{k}, t_{k}⟩ ∈ α ⟹ {0, …, Min(s_{1}, …, s_{k}) − 1} ⊂ M .

Beweis:

Der Beweis ist dergleiche wie für 11.14. Als zusätzlichen Fall haben wir die Möglichkeit eines (α-Rückschritt) als letzten Schluß. Ohne Einschränkung lag die Prämisse

M ^{m′}_{0} ⟨s_{1}, t_{1}⟩ ∈ α, …, ⟨s_{l}, t_{l}⟩ ∈ α, ⟨S\underline{i}, \underline{j}⟩ ∈ α

mit ⟨i, j⟩ = ⟨s_{l}, t_{l}⟩^{IN} für ein l ∈ {1, …, k} und m′ < m vor. Dann ist aber Min(s_{1}, …, s_{k}) = Min(s_{1}, …, s_{k}, S\underline{i}) , also folgt die Behauptung schon aus der Induktionsvoraussetzung. □

Wir haben nun alle Punkte erfüllt, um den Widerspruchsbeweis zu vollenden.

{Satz 12.1 \atop U_{2}^{w} / KleinF ermat.}

Beweis:

Angenommen, KleinF ermat ist in U_{2}^{w} herleitbar. Da F eine Erweiterung von U_{2}^{w} ist, folgt mit Lemma 12.2 F ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α und mit der partiellen Schnittelimination 12.3

F _{1} ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α .

Dann existieren mit Satz 12.4 b⃗, t⃗, S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} _{1} ⟨p − · 1, 1⟩ ∈ α . (1)

Mit der Definition des Speichers Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) 12.5 und der anschließenden Abschätzung 12.6 gibt es ein geeignetes Polynom p, so daß

#(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≤ p(|n|)

für beliebige n gilt.

Wir wenden die Schnittelimination 12.9 auf die Einbettung 12.10 der Normalherleitung (1) in das halbformale System an und erhalten

Sp^{b⃗;t⃗;S}(q) _{0} ⟨\underline{q} − · 1, 1⟩ ∈ α

für alle Primzahlen q. Also muß mit dem Beschränkungssatz 12.11

{0, …, q − 2} ⊂ Sp^{b⃗;t⃗;S}(q)

gelten. Das liefert uns folgende Abschätzung des Speichers:

q = #{0, …, q − 2} + 1 ≤ #(Sp^{b⃗;t⃗;S}(q)) + 1 ≤ p(|q|) + 1 .

Mithin ist

2^{|q|} ≤ 2 · p(|q|) + 3 ,

was für hinreichend große Primzahlen q zum Widerspruch führt. □

Im nächsten Abschnitt wenden wir wie angekündigt die Methode aus Abschnitt 11 auf den Satz von Wilson an. Diesmal benutzt die (α-Schritt)-Regel die Rekursionsgleichung

Rem((i + 1)!, p) = Rem((i + 1) · Rem(i!, p), p) ,

um Rem((p − 1)!, p) auszurechnen. Wieder ist die Zahl dieser (α-Schritt)-Anwendungen, die im halbformalen System zur Berechnung von Rem((p−1)!, p) benötigt werden, linear in p. Dies steht im Gegensatz zu der von U_{2}^{w}-Herleitungen bereitgestellten Größenordnung der Anzahl spezieller Regelanwendungen.

13 Der Satz von Wilson

Für natürliche Zahlen i sei i! ··= i · (i − 1) · . . . · 1 . Der Satz von Wilson ist die zahlentheoretische Aussage

(p − 1)! ≡ −1 mod p

für Primzahlen p. Analog zu dem kleinen Fermat’schen Satz läßt sich der Satz von Wilson formulieren. W ilson sei der LBA^{P} -Satz

∀p [(1 < p ∧ ∀x^{<}p (1 < x → Rem(p, x) ≠ 0))
∧ ∀y (⟨0, y⟩ ∈ α ↔ y = 1)
∧ ∀i (Si < p → ∀x^{<}p (⟨i, x⟩ ∈ α ↔ ⟨Si, Rem((Si) · x, p)⟩ ∈ α))
→ ⟨p − · 1, p − · 1⟩ ∈ α] .

In [Takeuti 1991] §3 Theorem 1 wird

U_{2}^{1} W ilson

gezeigt. Wir beweisen hier analog zu Abschnitt 12

{13.1 Satz \atop U_{2}^{w} / W ilson.}

Sei W ein neues Fragment, in dem α wie ein Prädikatszeichen und p wie eine Konstante behandelt werden, d. h. sie dürfen nie Eigenvariable sein und auch nicht mehr zu den freien Variablen gezählt werden.

W entsteht aus U_{2}^{w}, indem wir die Axiome

1 < p
1 < s ∧ s < p → Rem(p, s) ≠ 0
⟨0, 1⟩ ∈ α
⟨0, s⟩ ∈ α → s = 1

und die Schlüsse (α-Rückschritt):

Γ, ⟨Ss, Rem((Ss) · t, p)⟩ ∈ α ⟹ Γ, t / < p, Ss / < p, ⟨s, t⟩ ∈ α

und (α-Schritt):

Γ, ⟨s, t⟩ ∈ α ⟹ Γ, ⟨Ss, Rem((Ss) · t, p)⟩ ∈ α

für beliebige Terme s, t hinzufügen, wobei bei (α-Schritt) s der Hauptterm des Schlusses ist. Nun sind die Axiome und Regeln von W so angelegt, daß sie die Prämisse von W ilson beweisen.

13.2 Lemma

W (1 < p ∧ ∀x^{<}p (1 < x → Rem(p, x) ≠ 0))
∧ ∀x (⟨0, x⟩ ∈ α ↔ x = 1)

∧ ∀i (Si < p → ∀x^{<}p (⟨i, x⟩ ∈ α ↔ ⟨Si, Rem((Ss) · x, p)⟩ ∈ α)) □

Sei W − rg ··= U_{2}^{w} − rg . Die partielle Schnittelimination für W läßt sich wie in 4.13 zeigen.

13.3 Lemma

W ^{m}_{r} Γ ⟹ W _{1} Γ □

Zum Beweis des Satzes 12.1 nehmen wir U_{2}^{w} W ilson an. Dann zeigen die letzten beiden Lemmata W _{1} ⟨p − · 1, p − · 1⟩ ∈ α. Wir lesen wieder durch Auswahl einer Normalherleitung mit Schranken charakteristische Größen ab, mit deren Hilfe wir einen Speicher definieren, der alle für die Einbettung in ein halbformales System benötigten Hauptterme beschränkt. Dazu ändern wir in der Definition 11.4 der Normalherleitung mit Schranken die Klauseln (a) und (g) ab zu:

(a’) Ist Γ ein Axiom von W, so gelte für m < ω beliebig _{∅} ^{m}_{1} Γ .

(g’) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ⟨Ss, Rem((Ss)·t, p)⟩∈α ⟹ ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ, t / <p, Ss / <p, ⟨s, t⟩∈α für m>m′.

(h’) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, ⟨s, t⟩ ∈ α ⟹ _{S ∪ {s}}^{b⃗ t⃗} ^{m}_{1} Γ, ⟨Ss, Rem((Ss) · t, p)⟩ ∈ α für m > m′.

13.4 Satz (Existenz einer Normalherleitung mit Schranken)

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} und gelte W ^{m}_{1} Γ , dann gibt es eine Normalherleitung mit Schranken von Γ, d. h. es existieren gewisse b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ .  □

Wir definieren den Speicher zu einer Normalherleitung ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ wie in Abschnitt 11 und geben die Abschätzung der Mächtigkeit des Speichers nach oben hin an. Die freien Variablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} mit {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ enthalten.

13.5 Definition

Für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n} sei Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) die Menge

{s(b⃗) | s ∈ Sp, a⃗(l, n⃗) und b_{i} ≤ |T_{i}[t⃗]p, a⃗(l, n⃗)| für i = 1, …, k} .

13.6 Lemma

Es gibt ein geeignetes Polynom p mit

#(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗)) ≤ p(|l|, |n⃗|)

für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n}. □

Zwecks Abschätzung des Speichers nach unten betten wir Normalherleitungen mit Schranken in ein passendes halbformales System ein. Dazu ändern wir das halbformale System aus Abschnitt 10 wie folgt ab.

13.7 Induktive Definition des halbformalen Systems M_{p} ^{m}_{ρ} Γ für W

Seien M ⊂_{fin} IN , p eine Primzahl, m′ < m < ω , ρ < ω · 2 und Γ ⊂ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen. Wir ersetzen in der Definition 10.3 M durch M_{p} und fügen folgende Axiome und Schlüsse hinzu.

zusätliche Axiome:

(c) Für s^{IN} = ⟨0, 1⟩ gelte M_{p} ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α.

(d) Ist s^{IN} ≠ ⟨i, Rem(i!, p)⟩ für beliebiges i, dann gelte M_{p} ^{m}_{ρ} Γ, s ∉ α.

zusätzliche Schlüsse:

(α-Rückschritt) M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ, ⟨S\underline{i}, Rem((S\underline{i}) · \underline{j}, \underline{p})⟩ ∈ α und s^{N} = ⟨i, j⟩ , i + 1 < p ,

j < p ⟹ M_{p} ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α

(α-Schritt) M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ, ⟨\underline{i}, \underline{j}⟩ ∈ α und i ∈ M , s^{N} = ⟨i + 1, Rem((i + 1) · j, p)⟩

⟹ M_{p} ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α

Um nun wie in Abschnitt 12 fortzufahren, zeigen wir folgende zusätzliche Inversion.

13.8 Lemma

Gilt M_{p} ^{m}_{ρ} Γ, s ∈ α und s^{IN} ≠ ⟨i, Rem(i!, p)⟩ für alle i, so folgt M_{p} ^{m}_{ρ} Γ .

Beweis durch Induktion nach m:

Die Fälle, wo etwas zu tun ist, sind die, in denen s ∈ α Hauptformel des letzten Schlusses ist. Dafür gibt es drei Möglichkeiten.

(i) Es liegt ein Gleichheitsaxiom vor. Dann gibt es einen Term t mit s^{IN} = t^{IN} und (t ∉ α) ∈ Γ . Aus der Voraussetzung folgt t^{IN} ≠ ⟨i, Rem(i!, p)⟩ für beliebiges i, also ist Γ ein Axiom (d).

(ii) Der letzte Schluß war ein (α-Rückschritt), also gibt es i, j ∈IN und m′ <m, so daß s^{IN} =⟨i, j⟩ , i+1<p , j <p und M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ, t∈α für t ···≡ ⟨S\underline{i}, Rem((S\underline{i})· \underline{j}, p)⟩ gilt. Aus der zweiten Voraussetzung folgt j ≠ Rem(i!, p) , also gilt wegen j < p

j ≢ i! mod p .

Da 0 < i + 1 < p ist, gibt es l ∈ IN mit l · (i + 1) ≡ 1 mod p. Damit folgt

(i + 1) · j ≢ (i + 1)! mod p ,

also ist Rem((i + 1) · j, p) ≠ Rem((i + 1)!, p) . Dann produziert die Induktionsvoraussetzung M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ .

(iii) Lag als letzter Schluß ein (α-Schritt) vor, so gibt es i, j ∈ IN und m′ < m, so daß s^{IN} = ⟨i + 1, Rem((i + 1) · j, p)⟩ und M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ, t ∈ α für t ···≡ ⟨\underline{i}, \underline{j}⟩ gilt. Wäre j = Rem(i!, p) , so würde

Rem((i + 1) · j, p) = Rem((i + 1) · Rem(i!, p), p)
= Rem((i + 1)!, p)

im Widerspruch zur zweiten Voraussetzung folgen. Daher liefert die Induktionsvoraussetzung M_{p} ^{m′}_{ρ} Γ . □

13.9 Eliminationssatz

M_{p} ^{m}_{ρ} Γ ⟹ M_{p} _{0} Γ . □

Den Einbettungssatz für W erhalten wir analog zu 12.10.

13.10 Einbettungssatz

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} , die Individuenvariablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten, {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ und es gelte ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ , dann gilt für n⃗ ∈ IN^{n} und Primzahlen q

(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(q, n⃗))_{q} Γp, a⃗(\underline{q}, \underline{n}) .  □

Der Beschränkungssatz für dieses halbformale System sieht wie folgt aus, der Beweis ist dergleiche wie für 12.11.

13.11 Beschränkungssatz

M_{p} ^{m}_{0} ⟨s_{1}, t_{1}⟩ ∈ α, …, ⟨s_{k}, t_{k}⟩ ∈ α ⟹ {0, …, Min(s_{1}, …, s_{k}) − 1} ⊂ M . □

Wir haben nun alle Punkte erfüllt, um den Widerspruchsbeweis zu vollenden.

{Satz 13.1 \atop U_{2}^{w} / W ilson.}

Beweis:

Angenommen, W ilson gelte in U_{2}^{w}. Wie in Abschnitt 12 erhalten wir auch hier aus den gezeigten Lemmata und Sätzen

W _{1} ⟨p − · 1, p − · 1⟩ ∈ α

und damit

b⃗ ^{t⃗}_{S} _{1} ⟨p − · 1, p − · 1⟩ ∈ α (1)

für gewisse b⃗, t⃗, S . Wieder gibt es ein Polynom p mit

#(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≤ p(|n|)

für beliebige n.

Andererseits folgt aus (1) für Primzahlen q

(Sp^{b⃗;t⃗;S}(q))_{q} _{0} ⟨\underline{q} − · 1, \underline{q} − · 1⟩ ∈ α ,

mithin

{0, …, q − 2} ⊂ Sp^{b⃗;t⃗;S}(q) .

Kombinieren wir die Abschätzungen, so erhalten wir

2^{|q|} ≤ 2 · p(|q|) + 3 ,

was für hinreichend große Primzahlen q zum Widerspruch führt. □

Wir nutzen die schwache Größenordnung der Anzahl spezieller Regelanwendungen in U_{2}^{w}- Herleitungen auch im nächsten Abschnitt aus. Dort zählen wir die Beispiele in (∃^{≤})- Anwendungen, die zu einer festgelegten Formel ∃x^{≤}2 · c F (x) führen. Diese Zahl wird im halbformalen System linear zu c sein, wodurch wir zu einem Widerspruch gelangen.

14 Komprehension in der ersten Stufe

Wie schon in der Bemerkung zu Satz 5.9 angedeutet, ist eine Komprehension in der Form

∃x^{≤}2 · c ∀y^{<}|c| (Bit(y, x) = 1 ↔ y ∈ α)

nicht in U_{2}^{w} herleitbar. Daß dies in U_{2}^{1} gilt, lt sich durch L-Induktion nach a in

∃x^{≤}2 · c ∀y^{<}|c| (y ≤ a → (Bit(y, x) = 1 ↔ y ∈ α))

zeigen ([Takeuti 1991] §3 Punkt 1).

14.1 Satz

U_{2}^{w} / ∃x^{≤}2 · c ∀y^{<}|c| (Bit(y, x) = 1 ↔ y ∈ α) .

Zur Abkürzung definieren wir die Formel

Ktrl(a, c) ···≡ ∀y^{<}|c| (Bit(y, a) = 1 ↔ y ∈ α) .

Sei K das Fragment U_{2}^{w}, in dem α wie ein Prädikatszeichen und c wie eine Konstante behandelt werden, d. h. sie dürfen nie Eigenvariable sein und auch nicht mehr zu den freien Variablen gezählt werden. In K werden für beliebige Terme s die (∃^{≤})-Schlüsse der Gestalt

Γ, Ktrl(s, c) ⟹ Γ, s / ≤ 2 · c, ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c)

mit (α-Kontroll) bezeichnet und nicht mehr zu (∃^{≤}) gezählt. Der Term s heißt dann wieder Hauptterm des Schlusses.

Sei K − rg ··= U_{2}^{w}−rg . Zum Beweis des Satzes 14.1 nehmen wir U_{2}^{w} ∃x^{≤}2·c Ktrl(x, c) an. Dann zeigt partielle Schnittelimination K _{1} ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c) . Wir lesen wieder durch Auswahl einer Normalherleitung mit Schranken charakteristische Größen ab, mit deren Hilfe wir einen Speicher definieren, der alle für die Einbettung in ein halbformales System benötigten Hauptterme beschränkt. Dazu ändern wir in der Definition der Normalherleitung mit Schranken 11.4 die Klauseln (a) und (g) ab zu

(a’) Ist Γ ein Axiom von K, so gelte für m < ω beliebig _{∅} ^{m}_{1} Γ .

(g’) ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m′}_{1} Γ, Ktrl(s, c) ⟹ _{S ∪ {s}}^{b⃗ t⃗} ^{m}_{1} Γ, s / ≤ 2 · c, ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c) für m > m′.

Dabei ist für die Klausel (b) zu berücksichtigen, daß die (α-Kontroll)-Schlüsse nicht mehr zu (∃^{≤}) zählen.

Damit erhalten wir aus K ^{m}_{1} Γ die Existenz einer Normalherleitung mit Schranken wie in Abschnitt 11.

14.2 Satz (Existenz einer Normalherleitung mit Schranken)

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} und gelte K ^{m}_{1} Γ , dann gibt es eine Normalherleitung mit Schranken von Γ, d. h. es existieren gewisse b⃗, t⃗ und S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ .  □

Wir definieren den Speicher zu einer Normalherleitung ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ wie in Abschnitt 11 und geben die Abschätzung der Mächtigkeit des Speichers nach oben hin an. Die freien Variablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} mit {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ enthalten.

14.3 Definition

Für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n} sei Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) die Menge
{s(b⃗) | s ∈ Sc, a⃗(l, n⃗) und b_{i} ≤ |T_{i}[t⃗]c, a⃗(l, n⃗)| für i = 1, …, k} .

14.4 Lemma

Es gibt ein geeignetes Polynom p mit

#(Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗)) ≤ p(|l|, |n⃗|)

für l ∈ IN und n⃗ ∈ IN^{n}. □

Zwecks Abschätzung des Speichers nach unten betten wir Normalherleitungen mit Schranken in ein passendes halbformales System ein. Dazu zeichnen wir in dem halbformalen System aus Abschnitt 10 die (α-Kontroll)-Schlüsse aus, die alle benötigten Beispiele für diesen speziellen (∃^{≤})-Schluß aufsammeln.

14.5 Induktive Definition des halbformalen Systems M ^{m}_{ρ} Γ für K

Seien M ⊂_{fin} IN , m′ < m < ω , ρ < ω · 2 und Γ ⊂ Σ^{1,b} ohne freie Individuenvariablen. Wir spezialisieren die Definition 10.3 zu

zusätzliche Schlüsse:

(α-Kontroll) M ^{m′}_{ρ} Γ, Ktrl(\underline{i}, \underline{n}) und i ∈ M , i ≤ 2 · n

⟹ M ^{m}_{ρ} Γ, ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n})

Wir erhalten den Einbettungssatz für K wir in Abschnitt 11.

14.6 Einbettungssatz

Sei Γ ⊂ Σ^{1,w} , die Individuenvariablen von Γ seien in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten, {a_{1}, …, a_{n}} ∩ {b_{1}, …, b_{k}} = ∅ und es gelte ^{b⃗} ^{t⃗}_{S} ^{m}_{1} Γ , dann gilt für n⃗ ∈ IN^{n} und l ∈ IN

Spb⃗;t⃗;S ; a⃗(l, n⃗) Γc, a⃗(\underline{l}, \underline{n}) .  □

Der Beschränkungssatz für dieses halbformale System benutzt die (α-Kontroll)-Exporta-tion.

14.7 (α-Kontroll)-Exportation

Sei M = {i_{1}, …, i_{k}} für Zahlen i_{1}, …, i_{k} ∈ IN , dann gilt

M ^{m} Γ, ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n}) ⟹ Γ, Ktrl(\underline{i_{1}}, \underline{n}), …, Ktrl(\underline{i_{k}}, \underline{n}) .

Beweis durch Induktion nach m:

War der letzte Schluß keine (α-Kontroll)-Anwendung, dann folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung mit demgleichen Schluß oder Γ ist ein Axiom, da ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n}) nicht Hauptformel eines Axioms ist. Bleibt noch der Fall, daß der letzte Schluß eine (α-Kontroll)-Anwendung war, also lag ohne Einschränkung die Prämisse

M ^{m′} Γ, ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n}), Ktrl(\underline{i}, \underline{n})

mit i ∈ M und i ≤ 2 · n vor. Daraus folgt mit der Induktionsvoraussetzung, da i ∈ M = {i_{1}, …, i_{k}} ist, die Behauptung. □

14.8 Beschränkungssatz

M ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n}) ⟹ #M ≥ 2^{|n|} . Beweis:

Sei k ··= #M , dann gibt es Zahlen i_{1}, …, i_{k} ∈ IN mit M = {i_{1}, …, i_{k}}. Mit (α-Kontroll)-Exportation folgt

Ktrl(\underline{i_{1}}, \underline{n}), …, Ktrl(\underline{i_{k}}, \underline{n}) .

Also zeigt der Korrektheitssatz für das halbformale System

IN (Ktrl(\underline{i_{1}}, \underline{n}) ∨ … ∨ Ktrl(\underline{i_{k}}, \underline{n}))α(M)

für alle M ⊂ {0, …, |n| − 1}.

Gäbe es M, N ⊂ {0, …, |n| − 1} und j ∈ {1, …, k} mit M ≠ N und

IN ∀y^{<}\underline{n} (Bit(y, \underline{i_{j}}) = 1 ↔ y ∈ M) (1)

IN ∀y^{<}\underline{n} (Bit(y, \underline{i_{j}}) = 1 ↔ y ∈ N) , (2) dann gibt es l < |n| mit (l ∈ M ↔ l ∉ N) , da M ≠ N ist. Ohne Einschränkung sei l ∈ M. Damit erhalten wir den Widerspruch

1 =^{(1)} Bit(l, i_{j}) =^{(2)} 0 .

Also ist

k ≥ #(P({0, …, |n| − 1})) = 2^{|n|}

gezeigt. □

Wir haben nun alle Punkte erfüllt, um den Widerspruchsbeweis zu vollenden.

Satz 14.1

U_{2}^{w} / ∃x^{≤}2 · c ∀y^{<}|c| (Bit(y, x) = 1 ↔ y ∈ α) . Beweis:

Angenommen, es gilt U_{2}^{w} ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c) . Mit partieller Schnittelimination folgt

K _{1} ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c) .

Dann existieren mit Satz 14.2 b⃗, t⃗, S mit

b⃗ ^{t⃗}_{S} _{1} ∃x^{≤}2 · c Ktrl(x, c) . (1)

Mit der Definition des Speichers Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) 14.3 und der anschließenden Abschätzung 14.4 gibt es ein geeignetes Polynom p, so daß

#(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≤ p(|n|)

für beliebige n gilt.

Nun betten wir die Normalherleitung (1) in das halbformale System ein (14.6)

Sp^{b⃗;t⃗;S}(n) ∃x^{≤}2 · \underline{n} Ktrl(x, \underline{n}) .

Dann liefert der Beschränkungssatz 14.8

#(Sp^{b⃗;t⃗;S}(n)) ≥ 2^{|n|} .

Also erhalten wir

2^{|n|} ≤ p(|n|) ,

was für hinreichend großes n zum Widerspruch führt. □

Auf den letzten Seiten ziehen wir die Quintessenz aus dem gesamten Werk.

15 Quintessenz

Wir fassen zum Ende noch einmal die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit zusammen. Zuerst halten wir die Charakterisierung der Polynomialen Hierarchie in U_{2}^{w^{⋆}} aus Teil B fest:

15.1 Hauptsatz für U_{2}^{i,w^{⋆}}

Ist i > 0, so gilt folgende Äquivalenz:

A ∈ Δ_{i}^{p} ⟺ A ist in Δ_{i}^{1,w^{⋆}} bezüglich U_{2}^{i,w^{⋆}} .  □

Nun wollen wir noch begründen, daß U_{2}^{1} eine echte Erweiterung von U_{2}^{w^{⋆}} ist. Wir stellen aufgrund der Definitionen fest, daß U_{2}^{1} eine Erweiterung von S_{2}(A) ist. Damit übertragen sich die Resultate aus Abschnitt 9 auf U_{2}^{1}, insbesondere

15.2 Lemma

(i) A(a) ∈ Σ_{0}^{1,w^{⋆}} ⟹ U_{2}^{1} ∃x^{≤}(4 · t + 1) ∀y^{≤}|t| (A(y) ↔ Bit(y, x) = 1) .

(ii) Γ ⊂ Σ^{1,w^{⋆}} und U_{2}^{w^{⋆}} Γ ⟹ U_{2}^{1} Γ^{∘}. □

Die wesentliche neue Überlegung, die wir noch zum Erhalt des obigen Ergebnisses benötigen, ist

15.3 Lemma

Für F ∈ Σ^{1,w^{⋆}} gilt U_{2}^{1} F ↔ F^{∘}.

Beweis durch Induktion nach der Länge von F:

Dazu nutzen wir im interessanten Fall, F ≡ Qϕ G(ϕ^{|t|}) , zum einen die in U_{2}^{1} gegebene Komprehension (Σ_{0}^{b}-CA) und zum anderen die in U_{2}^{1} beweisbare erststufige Komprehension Lemma 15.2 (i) aus. □

Fügen wir alle Teile zusammen, so erhalten wir

15.4 Satz

U_{2}^{w^{⋆}} Γ ⟹ U_{2}^{1} Γ .

Beweis:

Wir überlegen uns, daß alle nicht-logischen Axiome von U_{2}^{w^{⋆}} in U_{2}^{1} beweisbar sind. Der einzige nicht offensichtliche Fall ist der, daß ein Induktionsaxiom vorliegt.

Die Induktionsaxiome von U_{2}^{w^{⋆}} haben die Gestalt

F ≡ A(0) ∧ ∀x (A(x) → A(Sx)) → A(|t|)

für ein A(a) ∈ Σ^{1,w^{⋆}} . Für

G ≡ A(0) ∧ ∀x^{≤}|t| (A(x) → A(Sx)) → A(|t|)

zeigt reine Logik

F ↔ G . (1)

Damit folgt U_{2}^{w^{⋆}} G. Hieraus erhalten wir wegen G ∈ Σ^{1,w^{⋆}} mit Lemma 15.2 (ii) U_{2}^{1} G^{∘} und daraus mit Satz 15.3 U_{2}^{1} G.

Mit (1) ist F in U_{2}^{1} beweisbar. □

15.5 Korollar

U_{2}^{1} ist eine echte Erweiterung von U_{2}^{w^{⋆}}. Beweis:

Dies ist der letzte Satz im Einklang mit einem der Sätze 11.1, 12.1, 13.1 oder 14.1.

□

Literatur

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