Chaos, Zufall und Fraktale

Benoit Mandelbrot (und andere) beobachteten in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts, dass viele Objekte der Natur sich gegenüber natürlichen geometrischen Fragen unzugänglich zeigen: Wenn man fragt, wie lang die Küstenlinie Sylts ist, so wird diese Linie umso länger, je genauer man hinschaut. Gleiches geschieht zum Beispiel, wenn man sich mit der Fläche einer Baumrinde oder des Mondes befasst. Gleichzeitig weisen viele dieser Objekte eine selbstähn- liche Struktur auf: Egal, wie sehr man in eine Baumrinde hineinzoomt, sie sieht immer sehr ähnlich aus. Eng verwandt damit ist die so genannte Skaleninvarianz. All dies lässt sich u.a. so zusammenfassen, dass man solchen so genannten Fraktalen eine Dimension zuordnen kann, die allerdings typischerweise keine ganze Zahl ist.

Wir wollen in diesem Kurs ein paar einfache mathematische Modelle solcher Fraktaler Men- gen kennenlernen, versuchen ihre Dimension zu bestimmen und ggf. ein paar deterministi- sche und stochastische Konstruktionen solcher Mengen entwickeln.