WIENER-HOPF-FAKTORISIERUNGEN FÜR

MARKOV RANDOM WALKS

Eine Diplomarbeit im Fach Mathematik

vorgelegt an der

Westfälischen Wilhelms-Universität Münster

16. April 1999

Von Matthias Winkel

Fachbereich 15: Mathematik und Informatik

Betreuer: Prof. Dr. G. Alsmeyer, Institut für Mathematische Statistik

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung 5

Danksagung 7

1 Einleitung und Motivation 9 1.1 Wiener-Hopf-Probleme und Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Markov Random Walks und Analoga für die Random-Walk-Resultate . 14

2 Wiener-Hopf-Resultate und -Techniken für Random Walks 17 2.1 Die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung für Random Walks …. 18 2.2 Analytischer Zugang zur Lösung der Wiener-Hopf-Integralgleichung . . 22 2.3 Eine probabilistische Interpretation der Wiener-Hopf-Faktoren . . . . . 27 2.4 Probabilistischer Zugang zur Lösung der Wiener-Hopf-Integralgleichung 30 2.5 Die probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung für Random Walks . . 34

3 Operator-theoretischer Zugang zur WHF für MRWs 39 3.1 Operatoren und Transformierte bei allgemeinen Markov Random Walks 40 3.2 Dualität und stationäre Zeitumkehr von Markov Random Walks …. 46 3.3 Kontraktionen und operatorwertige Maße bei Markov Random Walks . 50 3.4 Axiomatischer Zugang zur Wiener-Hopf-Faktorisierung . . . . . . . . . 59 3.5 Spezialfälle der abstrakten Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Probabilistischer Zugang zur WHF für MRWs 67 4.1 Dominiertheit des Übergangskerns: Arbeiten mit Dichten . . . . . . . . 68 4.2 Wiener-Hopf-Faktorisierung für die Dichte des Übergangskerns . . . . . 73 4.3 Wiener-Hopf-Faktorisierung der Kerne und Spezialfälle . . . . . . . . . 76

Literaturverzeichnis 81

Erklärung 83

Zusammenfassung

Diese Diplomarbeit behandelt Wiener-Hopf-Faktorisierungen für Markov Random Walks. Die Literaturgrundlage bilden im wesentlichen zwei Artikel von Asmussen [9] und von Arjas und Speed [7]. Sie erfahren eine gründliche Ausarbeitung. Darüberhinaus werden Illustrationen und Vergleiche gegeben sowie Erweiterungsmöglichkeiten einiger Resultate diskutiert.

Wiener-Hopf-Faktorisierungen in ihrer probabilistischen Form stellen die Zuwachsverteilung (bzw. den -kern) F eines (Markov) Random Walks mittels der auf- und absteigenden Leiterhöhenverteilungen (bzw. -kerne) G^{<} und G^{≥} dar. Hier versteht man unter einem Leiterereignis eines stochastischen Prozesses das Erreichen eines neuen Extremums, wobei neben dem extremalen Wert (Leiterhöhe) oft auch der Zeitpunkt (Leiterindex) von Interesse ist. Die zentrale Gleichung F = G^{≥} + G^{<} − G^{≥} ∗ G^{<} für Random Walks muß im Markov Random Walk Fall nur wenig modifiziert werden.

Die Theorie der Wiener-Hopf-Faktorisierungen umfaßt weitere verwandte Identitäten, die insbesondere die zugehörige Transformiertengleichung um Leiterindizes erweitern und die Faktoren näher bestimmen. In dieser Form kann die Wiener-Hopf-Theorie auch als eine Methode zur Lösung einer Klasse von Integralgleichungen gesehen werden.

Der vorliegende Text geht auf diese Integralgleichungen nur am Rande ein. Im Vordergrund stehen die Faktorisierungen (und ihre Faktoren), die für Random Walks hergeleitet und mit ähnlichen Argumenten auf Klassen von Markov Random Walks erweitert werden. Hierbei liegt neben der Herleitung der Faktorisierungen in möglichst großer Allgemeinheit das Hauptaugenmerk auf der Gegenüberstellung verschiedener Beweismethoden und -techniken, die von rein analytisch bis pfadweise probabilistisch reichen.

Danksagung

Mein aufrichtiger Dank gilt Prof. G. Alsmeyer für das Heranführen an das Arbeitsgebiet und die Betreuung dieser Diplomarbeit. Danken möchte ich auch Prof. R. A. Doney für wertvolle Ergänzungen und Vertiefungen im weiteren und engeren Arbeitsgebiet während meines Aufenthaltes an der University of Manchester.

Der größte Dank gebührt Prof. G. Alsmeyer und Prof. N. Schmitz dafür, daß sie mich durch stets lebendige und motivierende Vorlesungen und Seminare weit in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere der stochastischen Prozesse hineingeführt haben.

Bei der Studienstiftung des deutschen Volkes bedanke ich mich für die ideelle und finanzielle Förderung meiner Studien im In- und Ausland.

Nicht vergessen an dieser Stelle seien auch meine Eltern und Katharina wegen Unterstützung jeglicher Art und den stets guten Zuspruch in den vergangenen Studienjahren in Münster, Manchester und wieder Münster.

Kapitel 1

Einleitung und Motivation

Diese Einführung stellt die Probleme vor, die wir in dieser Arbeit behandeln werden. Wir geben Beispiele, die die Konzepte veranschaulichen und den Nutzen der Resultate verdeutlichen. Die angedeuteten Techniken und auch die Beweise werden weitgehend erst in späteren Kapiteln detaillierter dargestellt. Wir folgen in dieser Einleitung im wesentlichen dem Abschnitt 1 in Asmussen [9].

Im ersten Abschnitt skizzieren wir den Weg von der Wiener-Hopf-Integralgleichung zu zwei Gleichungen, die wir als analytische und probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung bezeichnen. Wir betrachten diese Faktorisierungen als Fluktuationsaussagen über Random Walks. In Kapitel 2 werden wir sowohl Beweise dieser Faktorisierungen, als auch ihren Zusammenhang mit den Lösungen der Integralgleichung im Detail diskutieren.

Als Vergrößerung dieser zugrundeliegenden Prozeßklasse der Random Walks betrachten wir im zweiten Abschnitt Markov Random Walks. Unter gewissen Rekurrenzbedingungen an die Markov-Kette, die die Zuwachsverteilung moduliert, können analoge Faktorisierungen erzielt werden. Wir geben hier nur eine knappe Einführung. Die Kapitel 3 und 4 werden dies näher ausführen. Während wir in Kapitel 3 quasi axiomatisch beginnen und unter möglichst geringen Voraussetzungen mit vorwiegend analytischen bzw. mangels analytischer Transformierter eher operatortheoretischen Argumenten vergleichbare Faktorisierungsresultate herleiten und innerhalb derer einige Spezialfälle auszeichnen, benutzen wir in Kapitel 4 vorwiegend probabilistische Argumente, wodurch jedoch dort nicht derselbe Grad an Allgemeinheit erzielt wird.

1.1 Wiener-Hopf-Probleme und Random Walks

Die Wiener-Hopf-Methode war ursprünglich eine Lösungsmethode für Integralgleichungen des folgenden Typs:

\underline{10}

Definition 1.1 Sei F ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (IR, B). Die Gleichung

K(x) = ∫_{(−∞,x]} K(x − y)F (dy), x ≥ 0,  (1.1)

bezeichnet man als (homogene) Wiener-Hopf-Gleichung (oder auch Lindleys Integralgleichung). Als Lösungen dieser Gleichung bezeichnen wir (möglicherweise defekte) Verteilungsfunktionen K : [0, ∞) → [0, 1], die diese Gleichung erfüllen.

Man kann natürlich auch weniger restriktive Lösungsräume betrachten als Verteilungsfunktionen auf [0, ∞). Wir gehen darauf jedoch nicht näher ein, sondern verweisen auf Asmussen [10] und weitere Referenzen darin.

Unser Spezialfall tritt in verschiedenen Teilgebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie auf, derer wir zwei beispielhaft vorstellen. Es sei in dieser ganzen Arbeit (Ω, A, P) ein jeweils geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem alle vorkommenden Zufallsvariablen definiert sind.

Beispiel 1.2 (Warteschlangentheorie) Gegeben sei ein G/G/1/∞-Bedienungssy-stem, d. h.

• für n ∈ ZZ seien T_{n} : (Ω, A) → (IR, B) Zufallsgrößen, die als Ankunftszeiten von Kunden interpretiert werden und für die gilt … < T_{−1} < T_{0} ≤ 0 < T_{1} < T_{2} < …, so daß die

• Zwischenankunftszeiten τ_{n} := T_{n+1} − T_{n}, n ∈ ZZ, stochastisch unabhängig und identisch verteilt gemäß einer Verteilung auf ((0, ∞), B|_{(0,∞)}) sind (G=general, beliebige Verteilung von τ_{n}),

• σ_{n} : (Ω, A) → ([0, ∞), B|_{[0,∞)}), n ∈ ZZ, seien unabhängig identisch verteilte Zufallsgrößen, die auch von (τ_{n})_{n∈ZZ} unabhängig seien; sie werden als Bedienzeiten, d. h. Servicebedarf, interpretiert (G=general, beliebige Verteilung von σ_{n}),

• W : (Ω × IR, A ⊗ B) → ([0, ∞), B|_{[0,∞)}) sei ein Arbeitsbelastungsprozeß, für den gilt: Für alle n ∈ ZZ und T_{n−1} < t < T_{n} ist W (t) = (W (T_{n−1}) − (t − T_{n−1}))^{+} und W (T_{n}) = W (T_{n}−)+σ_{n}. Man interpretiert dies so, daß alle Kunden sukzessive von einem Schalter (1=ein Schalter) bedient werden. Es können sich hierbei beliebig viele Kunden ansammeln (∞=unendlicher Warteraum). W ist die Summe des verbleibenden Servicebedarfs aller Kunden im Warteraum und am Schalter.

Weder W noch seine Verteilung sind hierdurch eindeutig bestimmt. Bekanntlich existiert im Falle existierender Erwartungswerte mit ρ := \frac{Eσ_{1}}{Eτ_{1}} < 1 eine stationäre Verteilung von W (vgl. Baccelli und Brémaud [11], S.70f.). Dies ist außerdem genau dann der Fall, wenn eine stationäre Verteilung ξ des auf die Ankunftszeitpunkte diskretisierten Arbeitslastprozesses existiert. Die zugehörige stationäre Verteilungsfunktion K(x) = ξ((−∞, x]) = ξ([0, x]) erfüllt nun (1.1), wenn F := P^{σ_{1}−τ_{1}} die Verteilung der Differenz einer Bediendauer und einer Zwischenankunftszeit ist, denn dann gilt für x ≥ 0

P (W (T_{n+1}−) ≤ x) = P (W (T_{n+1}−) ≤ x, σ_{n} − τ_{n} ∈ IR)
= ∫_{IR} P ((W (T_{n}−) + σ_{n} − τ_{n})^{+} ≤ x|σ_{n} − τ_{n} = y)P^{σ_{n}−τ_{n}}(dy)
= ∫_{IR} P (W (T_{n}−) + y ≤ x)P^{σ_{n}−τ_{n}}(dy)
= ∫_{(−∞,x]} P (W (T_{n}−) ≤ x − y)P^{σ_{n}−τ_{n}}(dy).

Es sei hierzu noch bemerkt, daß die Arbeitslast bis T_{n}− unabhängig von σ_{n} und τ_{n} ist, wie der obige Konstruktionsansatz zeigt, da alle τ_{k} und σ_{k} voneinander unabhängig sind und diese nur für k ≤ n − 1 in die Konstruktion eingehen. Bei vorliegender Stationarität hat die Arbeitslast vor jedem Ankunftszeitpunkt dieselbe Verteilung. Da Bediendauern und Zwischenankunftszeiten unabhängig und jeweils identisch verteilt sind, folgt insgesamt, daß die Verteilungsfunktion dieser stationären Arbeitslast die Wiener-Hopf-Gleichung (1.1) erfüllt.

Hat man umgekehrt eine Lösung K(x) = ξ([0, x]) von (1.1), so bedeutet

ξ([0, x]) = K(x) = ∫_{(−∞,x]} K(x − y)F (dy) = ∫_{IR} ξ([0, x − y])F (dy)
= (ξ ∗ F)((−∞, x]) = (ξ ∗ F)((−∞, 0)) + (ξ ∗ F)([0, x])

für alle x ≥ 0 gerade

ξ = (ξ ∗ F)|_{[0,∞)} + cδ_{0}

mit c = (ξ ∗ F)(−∞, 0), da die Intervalle [0, x], x ≥ 0 die Borelsche σ-Algebra auf [0, ∞) erzeugen. Dies jedoch impliziert die Stationarität, da bei Startverteilung ξ für den Arbeitslastprozeß vor Ankunft des ersten Kunden wegen dieser Faltungseigenschaft die Arbeitslast vor Ankunft eines jeden weiteren Kunden wiederum ξ ist. Beachte, daß das durch die Bildung des Positivteils erfaßte Verstreichen freier Serverzeiten hier der Punktmasse in Null entspricht.

Da wir hier nur die Arbeitslast vor Ankunft eines Kunden analysieren, können wir in den Modellannahmen auf die Unabhängigkeit von τ_{n} und σ_{n} verzichten, also stattdessen lediglich fordern, daß (τ_{n}, σ_{n}), n ≥ 0, unabhängig und identisch verteilt sind. Man verifiziert sofort, daß dies in der obigen Argumentation keine Rolle spielt. Beachte nämlich, daß auch unter diesen Annahmen σ_{n} − τ_{n} für alle n ≥ 0 dieselbe Verteilung hat.

Wir haben nachgewiesen, daß das Lösen von (1.1) gleichbedeutend ist mit der Bestimmung dieser i. a. nicht einfach zu berechnenden stationären Arbeitslastverteilung, die ferner gleich der Wartezeitverteilung des ankommenden Kunden ist, falls nach dem First-In-First-Out-Prinzip bedient wird.

Der ursprüngliche Lösungsansatz der Wiener-Hopf-Integralgleichung war analytischer Natur:

Ansatz 1.3 (analytisch) Man suche eine Faktorisierung

1 − F̂(s) = H_{+}(s)H_{−}(s),  (1.2)

wobei H_{+} : D_{+} → IR und H_{−} : D_{−} → IR analytisch und mindestens auf der negativen, respektive positiven Halbebene definiert und dort beschränkt sind. Hierbei ist

F̂(s) = ∫_{IR} e^{sx}F (dx)

die analytische Transformierte von F. F̂ hat als maximalen Definitionsbereich D = I + iIR, wobei I ein - möglicherweise entartetes oder uneigentliches - Intervall ist, das die 0 enthält (vgl. [5], Lemma 40.2.). Man strebe daher D = D_{+} ∩ D_{−} an. Diese Faktorisierung bezeichnen wir als analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung.

Ein Weg, wie man von hier zu einer Lösung von (1.1) gelangen kann, wird in Abschnitt 2.2 vorgestellt.

Von ähnlicher Struktur wie das erste Beispiel ist auch das folgende. Es zeigt deutlicher den Zusammenhang zu Random Walks, da kein Abschneiden des Summenprozesses bei Null vorgenommen wird.

Beispiel 1.4 (Versicherungsmathematik) Gegeben sei das Cramér-Lundberg-Mo-dell der Risikotheorie, d. h.

• lineare Prämieneinnahmen mit Rate c,

• nichtnegative Schadenshöhen (X_{n})_{n≥1}, die unabhängig und identisch verteilt sind,

• Schadenszeitpunkte (T_{n})_{n≥0} mit 0 = T_{0} < T_{1} < T_{2} < … und

• Zwischenschadenszeiten τ_{n} := T_{n+1} − T_{n}, n ≥ 0, die von den Schadenshöhen unabhängig und innerhalb der Folge unabhängig identisch verteilt sind,

• Schadenswirkungen Y_{0} := R_{0}, Y_{n} := cτ_{n−1} − X_{n}, n > 0, wobei R_{0} > 0 eine Anfangsreserve ist,

• das Budget nach dem n-ten Schaden B_{n} mit B_{n} := Y_{0} + … + Y_{n}, n ≥ 0.

Dann bildet (B_{n})_{n≥0} einen (verschobenen) Random-Walk, der genau dann positive Drift hat, wenn die Nettorisikoprämie EY_{1} > 0 ist, also im Mittel pro Zwischenschadensperiode mehr Einkünfte als Kosten entstehen, was man von einem realistischen Versicherungsmodell auch erwartet. Bezeichnet S_{n} := B_{n} − R_{0} den zugehörigen Standard-Random-Walk, so erfüllt die Verteilungsfunktion K von M := max{−S_{n} : n ≥ 0} die Wiener-Hopf-Gleichung (1.1) mit F als Verteilung von Y_{1}, wie wir in Satz 2.8 mit im wesentlichen denselben Argumenten wie in der Rechnung von Beispiel 1.2 etwas allgemeiner ausführen. Insbesondere ist 1 − K(R_{0}) = P (M > R_{0}) = P (min{B_{n} : n ≥ 0} < 0) die Ruinwahrscheinlichkeit, der in der Versicherungsmathematik große Bedeutung zukommt und die i. a. nicht einfach zu berechnen ist.

Unter Verwendung einer Eindeutigkeitsaussage (vgl. diesbezüglich Asmussen [10], Theorem 4.1) kann man aus dem Resultat von Beispiel 1.4 folgern, daß in Beispiel 1.2 die stationäre Arbeitslastverteilung vor Ankunft eines Kunden gleich der Verteilung des Maximums eines Random Walk mit Zuwachsverteilung F ist.

Der in Beispiel 1.4 angesprochene Zusammenhang der Lösung der Integralgleichung mit einem zugehörigen Random Walk kann auch auf andere Weise ausgenutzt werden:

Ansatz 1.5 (probabilistisch) Sei (S_{n})_{n≥0} ein Standard-Random-Walk mit Zuwachsverteilung F. Definiert man

• den ersten streng aufsteigenden Leiterindex τ^{<} := inf{k > 0 : S_{k} > 0} und

• die zugehörige (möglicherweise defekte) Verteilung der streng aufsteigenden Leiterhöhe G^{<}(A) := P (S_{τ^{<}} ∈ A, τ^{<} < ∞) sowie

• den ersten schwach absteigenden Leiterindex τ^{≥} := inf{k > 0 : S_{k} ≤ 0} und

• die zugehörige (möglicherweise defekte) Verteilung der schwach absteigenden Leiterhöhe G^{≥}(A) := P (S_{τ^{≥}} ∈ A, τ^{≥} < ∞),

so gilt, wie wir mit Satz 2.24 beweisen werden,

F = G^{≥} + G^{<} − G^{≥} ∗ G^{<}.  (1.3)

Wir nennen diese Gleichung probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung.

Hieraus folgt in der Tat auch die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung (1.2), wenn man H_{+} = 1 − Ĝ^{<} und H_{−} = 1 − Ĝ^{≥} wählt. Man beachte hierfür lediglich, daß dann

H_{−}H_{+} = (1 − Ĝ^{≥})(1 − Ĝ^{<}) = 1 − Ĝ^{≥} − Ĝ^{<} + Ĝ^{≥} ∗ G^{<}

unter der Verwendung des Multiplikationssatzes für analytische Transformierte. Die Definitionsbereiche von H_{+} und H_{−} ergeben sich daraus, daß Verteilungen auf ([0, ∞), B|_{[0,∞)}) Laplace-Transformierte besitzen und der Definitionsbereich einer analytischen Transformierten stets die Gestalt J + iIR für ein Intervall J ⊂ IR hat (vgl. [5], Lemma 40.2.).

Wir haben nun, motiviert durch die Wiener-Hopf-Integralgleichung (1.1), zwei eng verwandte Faktorisierungsresultate (1.2) und (1.3) vorgestellt, die in ihrer Beschreibung mittels Leiterereignissen für eine gegebene Zuwachsverteilung ein überraschendes Ergebnis darstellen, das zudem einfach formuliert ist. Diese Faktorisierungen und ihre Erweiterungen, die wir im folgenden beschreiben, stehen im Mittelpunkt dieser Diplomarbeit.

1.2 Markov Random Walks und Analoga für die Random-Walk-Resultate

Ein Random Walk als Modell stellt in Anwendungen oft unrealistische Forderungen. Um sich von der Unabhängigkeit und der identischen Verteilung der Zuwächse zu lösen, moduliert man die Zuwachsverteilung und führt gewisse Abhängigkeiten über eine sogenannte steuernde Markov-Kette ein. Diese Markov-Kette modelliert in der Regel Begleitumstände wie etwa eine Personenzahl oder das Wetter. Bedingt unter diesen Begleitumständen sind dann Zuwächse des Markov Random Walk unabhängig und die Verteilung ist ebenfalls jeweils durch die aktuellen Begleitumstände bestimmt. Dadurch sind Markov Random Walks in vielerlei Hinsicht theoretisch handhabbar. Zahlreiche Resultate über Random Walks besitzen Analoga für Markov Random Walks.

Definition 1.6 (Markov Random Walk) Sei (S, S) ein meßbarer Raum ohne weitere Einschränkungen, m ≥ 0. Sei IP : S × (S ⊗ B̄^{m}) → [0, 1] ein stochastischer Kern und (M_{n}, X_{n})_{n≥0} eine zeitlich homogene Markov-Kette mit M_{n} : (Ω, A, P) → (S, S), X_{n} : (Ω, A, P) → (ĪR^{m}, B̄^{m}), n ≥ 0, und

P^{(M_{n+1},X_{n+1})|M_{n},X_{n}} = P^{(M_{n+1},X_{n+1})|M_{n}} = IP (M_{n}, ·) P − f.s., n ≥ 0.

Dann heißt (X_{n})_{n≥0} Markov-modulierte Folge mit Steuerkette M := (M_{n})_{n≥0}, die selbst eine Markov-Kette ist mit Übergangskern

IP_{M}(x, A) := IP (x, A × ĪR^{m}) x ∈ S, A ∈ S.

Man nennt (M_{n}, S_{n})_{n≥0} mit

S_{n} := X_{0} + … + X_{n}, n ≥ 0,

Markov Random Walk (unter P) mit Steuerkette M.

Ein Modell (Ω, A, (M_{n}, S_{n})_{n≥0}, (P_{x})_{x∈S}) heißt Standardmodell, falls (M_{n}, S_{n})_{n≥0} unter P_{x} ein Markov Random Walk mit S_{0} = 0, M_{0} = x P_{x}-f.s. ist für alle x ∈ S. Wir bezeichnen den Erwartungswert bzgl. P_{x} mit E_{x}.

Im Fall m = 1 definiert man Leiterindizes wie für Random Walks, also ohne Bezug auf (M_{n})_{n≥0}. Man definiert weiter Leiterkerne G^{<}, G^{≥} : S × (S ⊗ B) → [0, 1] als

G^{<}(x, C) = P_{x}((M_{τ^{<}}, S_{τ^{<}}) ∈ C)
G^{≥}(x, C) = P_{x}((M_{τ^{≥}}, S_{τ^{≥}}) ∈ C)

für alle x ∈ S und C ∈ S ⊗ B.

Falls existent, bezeichne IF : S ×S ×B̄^{m} → [0, 1] einen Kern, so daß IP (x, A×B) = ∫_{A} IF (x, y, B)IP_{M}(x, dy).

Hinreichend für die Existenz eines Kerns IF der obigen Art ist etwa, daß S abzählbar erzeugt ist (vgl. Lemma VIII.1.1 in [4]).

Es sei angemerkt, daß Random Walks spezielle Markov Random Walks sind. Man erhält sie in natürlicher Weise für konstante Markov Ketten als Projektion auf die zweite Komponente. Da Random Walks außerdem selbst Markov Ketten in (S, S) = (IR, B) sind, kann man sie auch als Projektionen auf die erste Komponente einbetten.

Was Wiener-Hopf-Faktorisierungen angeht, so wird bereits in den Argumenten für den Random-Walk-Fall eine Zeitumkehr eine gewisse Rolle spielen. Dies wird dort kaum auffallen, da dies im wesentlichen eine Umkehr der Reihenfolge der Zuwächse bedeutet. Bei Markov-Ketten, also auch bei Markov Random Walks ist die Zeitumkehr bekanntlich komplizierter (vgl. [4], Satz 12.1.). Die gleiche Verteilung eines zeitumgekehrten Prozesses geht i. a. verloren. Ferner erfordert die Existenz einer solchen Zeitumkehr oder allgemeiner eines sogenannten dualen Prozesses zusätzliche Bedingungen an die Markov-Kette, die hier erst in den Kapiteln 3 und 4 ausführlicher diskutiert werden. Ein einfacher Fall ist sicherlich ein endlicher Zustandsraum und Irreduzibilität.

Verteilungen der Zeitumkehr tauchen in der Formulierung der Wiener-Hopf-Faktorisierungen auf. Dies ist jedoch nicht das einzige, das die Faktorisierung verunschönert. Man muß den Dualitätsoperator, der ursprünglich einem Übergangskern den Übergangskern des dualen Prozesses zuordnet, nicht nur auf Übergangskerne, sondern auch auf Leiterkerne anwenden, in einer Weise, die ebenfalls erst später erläutert wird. Bezeichnet man diesen Dualitätsoperator mit ^{∗}, so lautet die probabilistische Wiener-Hopf Faktorisierung, wie sie Aussage von Korollar 3.47 und Korollar 4.14 ist,

IP = G^{∗≤∗} + G^{<} − G^{∗≤∗} ∗ G^{<}

und die analytische Wiener-Hopf Faktorisierung (vgl. Korollar 3.45)

Î− ÎP = (Î− Ĝ^{∗≤∗}) ∘ (Î− Ĝ^{<}).

Hier bezeichnet ∗ das übliche, nicht-kommutative Faltungsprodukt von Kernen (IK_{1} ∗ IK_{2})(x, A × B) = ∫_{S×IR} IK_{2}(z, A × (B − y))IK_{1}(x, dz × dy), mit dem man etwa auch kanonisch die n-Schritt-Übergangskerne IP^{∗(n)} erklären kann. ˆ bezeichnet wieder eine Transformation, die wir jedoch erst im nächsten Kapitel einführen. Es sei lediglich angemerkt, daß die (S, S)-wertige Komponente der Kerne berücksichtigt werden muß, für die es i. a. keine analytische Transformierte gibt, die nun vielmehr die Gestalt eines Operators annimmt. Ferner ist ∘ ebenfalls ein nicht-kommutatives Produkt, das im wesentlichen die Verkettung von Operatoren beschreibt.

Abschließend identifizieren wir noch die Faktorisierungen, die wir für den Random-Walk-Fall gegeben haben, als Spezialfall der Faktorisierungen, die wir für den Markov-Random-Walk-Fall gegeben haben. Diese Identifizierung ist im wesentlichen eine Diskussion des Dualitätsoperators. Der zeitumgekehrte Prozeß eines Random Walk ist auf dem Zeitbereich, wo er definiert ist, wiederum ein Random Walk. Seine Zuwachsverteilung ist jedoch gespiegelt. Hierdurch werden auch Leiterereignisse gespiegelt. Es ergibt sich in diesem Spezialfall eines (nicht-modulierten) Random Walk G^{∗≤∗}(B) = G^{∗≤}(−B) = G^{≥}(B). Dies identifiziert die beiden (probabilistischen) Faktorisierungen.

Wiener-Hopf-Resultate und -Techniken für Random Walks

Dieses Kapitel diskutiert die in der Einleitung vorgestellten Wiener-Hopf-Resultate und ihre Verbindungen im Detail. Wir geben eine Übersicht über analytische und probabilistische Argumente. Hierbei stellen wir die Komplexität und Restriktion klassischer analytischer Zugänge der Eleganz und Transparenz neuerer probabilistischer Wege gegenüber. Wir folgen hier im wesentlichen den Abschnitten 2 und 3 von Asmussen [9].

Im ersten Abschnitt behandeln wir die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung. Die Argumente umfassen Holomorphieüberlegungen und gleichmäßige Konvergenz. Zusätzliche Bedingungen garantieren erst, daß die Definitionsbereiche der Transformierten für diese Argumente genügend groß sind. Durch Diskontieren auftretender Summen wird Konvergenz erzwungen.

Der zweite Abschnitt zeigt, daß die Verteilungsfunktion des Supremums eines Random Walk die Wiener-Hopf-Integralgleichung erfüllt. Hieraus folgt unter Benutzung risikotheoretischer Ergebnisse und der analytischen Wiener-Hopf-Faktorisierung auch eine Darstellung der analytischen Transformierten dieser Lösung mittels des ersten Wiener-Hopf-Faktors.

Im dritten Abschnitt interpretieren wir die Wiener-Hopf-Faktoren durch die Spitzer-Baxter-Gleichungen mittels Leitervariablen. Hiermit können wir die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung in voller Allgemeinheit beweisen.

Im vierten Abschnitt geben wir probabilistische Zugänge zur Wiener-Hopf-Integralgleichung mittels der Leitervariablen. Dies beinhaltet die Pollaczek-Khintchine-Gleichung als explizite Darstellung der Lösung mittels der sukzessiven Leiterhöhenverteilungen sowie einen Spezialfall der Spitzer-Gleichung, der die Transformiertendarstellung des zweiten Abschnitts verallgemeinert und umformuliert.

Der letzte Abschnitt beweist die probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung in der klassischen und einer symmetrischen Form. Die zentralen Beweisschritte werden in den folgenden Kapiteln 3 und 4 auf den Markov-Random-Walk-Fall übertragen.

2.1 Die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung für Random Walks

Im folgenden wird mehrmals die Analytizität analytischer Transformierter benötigt, die zwar bereits durch die Namensgebung suggeriert wird, aber doch eines Beweises bedarf.

Satz 2.1 Sei ν ein endliches Maß auf (IR, B) und ν̂ seine analytische Transformierte mit kanonischem Definitionsbereich D. Dann ist ν̂ auf D\∂D holomorph und auf D stetig.

Beweis: Der Definitionsbereich D hat bekanntlich die Form D = I + iIR für ein Intervall I, das die 0 enthält (vgl. Lemma 40.2. in [5]). Wenn D = iIR, ist die Aussage eine bekannte Eigenschaft der Fourier-Transformierten. Wir setzen daher nun D ≠ iIR voraus.

Sei also z = x + iy ∈ D\∂D beliebig. Zunächst existieren a, b ∈ IR ∩ (D\∂D) mit a < x < b.

Dann ist für h, t ∈ C, h ≠ 0,

|\frac{e^{ht} − 1}{h}| = |t ∑_{n≥0} \frac{1}{(n + 1)!}(ht)^{n}| ≤ |t|e^{|ht|},

und für [x − r, x + r] ⊂ (a, b) und |h| ≤ r, gilt

|t|e^{|ht|}e^{xt} ≤ e^{(b−x−r)t}e^{rt}e^{xt} = e^{bt}

für alle t > c_{1}, da b − x − r > 0, und

|t|e^{|ht|}e^{xt} ≤ e^{−(x−r−a)t}e^{−rt}e^{xt} = e^{at}

für alle t < −c_{2}, da x − r − a > 0.

Mit majorisierter Konvergenz hat man

\frac{∂}{∂x}ν̂(z) = lim_{h→0} ∫_{IR} \frac{e^{ht} − 1}{h}e^{zt}ν(dt) = ∫_{IR} te^{zt}ν(dt)

und

\frac{∂}{∂y} ν̂(z) = lim_{h→0} ∫_{IR} \frac{e^{iht} − 1}{h}e^{zt}ν(dt) = ∫_{IR} ite^{zt}ν(dt),

Kapitel 2. Wiener-Hopf-Resultate und -Techniken für Random Walks 19

also die reelle Differenzierbarkeit. Da darüberhinaus

\frac{∂}{∂z̄}ν̂(z) = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x}ν̂(z) + i\frac{∂}{∂y} ν̂(z)) = 0

gilt, folgt komplexe Differenzierbarkeit. Da z ∈ D\∂D beliebig vorgegeben war, folgt Holomorphie auf diesem Bereich. Die Stetigkeit in den Randpunkten folgt in Punkten z = x + iy des rechten Randes von I + iIR, da ν̂(x) konvergente Majorante ist wegen |e^{zt}| = e^{xt}, und zwar dann auf ganz I + iIR. Im Falle eines rechts offenen Definitionsbereiches ist für ein ε ∈ D ν̂(ε) Majorante am linken Rand. Jeweils folgt die Stetigkeit mit majorisierter Konvergenz. □

Für das Wiener-Hopf-Argument, wie es bereits 1941/42 von Cramér und Täcklind benutzt wurde, werden die Wiener-Hopf-Faktoren ad hoc definiert.

Definition 2.2 Gegeben sei eine Verteilung F auf (IR, B). Dann seien für diejenigen r, s ∈ C, für die die auftretenden Integrale und Summen konvergieren

H_{+}(r, s) := exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{r^{n}}{n} ∫_{(0,∞)} e^{sx}F^{∗(n)}(dx)) ,

H_{−}(r, s) := exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{r^{n}}{n} ∫_{(−∞,0]} e^{sx}F^{∗(n)}(dx)) ,

H_{+}(s) := H_{+}(1, s) und H_{−}(s) := H_{−}(1, s).

Der folgende Satz gibt eine erste Rechtfertigung, diese Funktionen Wiener-Hopf-Faktoren zu nennen. Die Argumentation ist rein analytisch. Insbesondere wird hier kein Bezug auf Random Walks und ihre Leiterereignisse genommen.

Satz 2.3 Es existiere μ = ∫_{IR} xF (dx) ≠ 0. Außerdem existiere ein s_{0} ∈ IR mit s_{0}μ < 0 und F̂(s_{0}) < ∞. Dann gilt auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich von H_{+}, H_{−} und F̂

H_{+}(s)H_{−}(s) = 1 − F̂(s).

Ferner umfaßt dieser gemeinsame Definitionsbereich (0, s_{0}) + iIR bzw. (s_{0}, 0) + iIR.

Beweis: Sei o. E. μ < 0, ansonsten betrachte F^{−} := F (−·) und beachte F̂^{−}(s) = F̂(−s) und H_{±}^{−}(s) = H_{∓}(−s).

Aus F̂(s_{0}) < ∞ folgt gemäß Satz 2.1 die Stetigkeit von F̂ als Funktion [0, s_{0}] → [0, ∞).

Die Funktion s ↦ (e^{sx} −1)/s, stetig nach 0 fortgesetzt, ist auf [0, s_{0}] monoton, denn

\frac{d}{ds} (\frac{e^{sx} − 1}{s}) = \frac{sxe^{sx} − e^{sx} + 1}{s^{2}} = \frac{1}{s^{2}} ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{(n − 1)!} − \frac{1}{n!}) (sx)^{n},

und der letzte Ausdruck ist gliedweise nichtnegativ für x ≥ 0 und wegen der fallenden Monotonie der Koeffizienten für den alternierenden Fall, also x < 0, stets negativ. Daher folgt mit monotoner Konvergenz

F̂′(0) = lim_{s↓0} \frac{F̂(s) − F̂(0)}{s}
= lim_{s↓0} ∫_{IR} \frac{e^{sx} − 1}{s}F (dx)
= lim_{s↓0} ∫_{(−∞,0)} \frac{e^{sx} − 1}{s}F (dx) + lim_{s↓0} ∫_{[0,∞)} \frac{e^{sx} − 1}{s}F (dx)
= ∫_{(−∞,0)} lim_{s↓0} \frac{e^{sx} − 1}{s}F (dx) + ∫_{[0,∞)} lim_{s↓0} \frac{e^{sx} − 1}{s}F (dx)
= ∫_{IR} \frac{d}{ds}e^{sx}|_{s=0}F (dx)
= ∫_{IR} xF (dx) = μ < 0.

Wenn der Differentialquotient negativ ist, müssen auch Differenzenquotienten negativ sein. Also existiert ein γ ∈ (0, s_{0}) mit δ = F̂(γ) < 1 = F̂(0). Direkt an der Definition

H_{+}(s) = exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{(0,∞)} e^{sx}F^{∗(n)}(dx))

erkennt man, daß diese für alle s ∈ C mit Re(s) ≤ γ sinnvoll ist, da man die Integranden durch e^{γx} abschätzen kann und dann durch Vergrößerung der Integrationsbereiche auf ganz IR mit

∫_{IR} e^{γx}F^{∗(n)}(dx) = F̂^{∗(n)}(γ) = (F̂(γ))^{n} = δ^{n}

eine konvergente Abschätzung erhält, da δ ∈ (0, 1) und die Majorante als Logarithmusreihe gegen log(δ) konvergiert. An dieser gleichmäßigen Abschätzung sieht man auch, daß die Funktion H_{+} auf {s ∈ C|Re(s) < γ} beschränkt ist. Die Analytizität sieht man daran, daß die analytische Transformierte eines jeden Maßes auf (IR, B) analytisch ist (Satz 2.1) und auf solche hier nur gleichmäßig konvergente Reihenbildung (Logarithmusreihe in δ ist konstante Majorante für die Funktionenreihe) und die ganze Funktion exp angewendet werden.

Ähnlich sieht man, daß H_{−} definiert und analytisch (mindestens) auf {s ∈ C|Re(s) > 0} ist, sowie auf {s ∈ C| Re(s) ≥ ε} für jedes ε > 0 beschränkt ist. Hierfür beachte man lediglich, daß neben γ auch beliebig kleine ε > 0 mit F̂(ε) < 1 existieren, die analog über das Majorantenkriterium gleichmäßige Konvergenz und Beschränktheit garantieren.

Nun folgt zunächst in einer Kreisscheibe um γ

H_{+}(s)H_{−}(s) = exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{IR} e^{sx}F^{∗(n)}(dx)) = exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}(F̂(s))^{n}) = 1 − F̂(s),

wobei für die letzte Gleichheit die Logarithmusreihe angewendet wurde, da F̂(γ) = δ ∈ (0, 1). Holomorphe und stetige Fortsetzung liefert dies dann auch für den gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. □

Um auf die Voraussetzungen an das erste und die exponentiellen Momente von F verzichten zu können, wird die Technik des Diskontierens benutzt, die bereits in Definition 2.2 für H_{±} vorbereitet wurde. Zunächst möchten wir die Definitions- und Wertebereiche von H_{±} näher untersuchen, indem wir H_{±} als analytische Transformierte komplexwertiger Maße auf Halbachsen identifizieren. Hierbei verstehen wir unter einem endlichen komplexwertigen Maß die gemäß der vier Achsenrichtungen der komplexen Zahlenebene gewichtete Summe ν = ν_{1} −ν_{2} +i(ν_{3} −ν_{4}) vierer endlicher nicht negativer Maße. Wir können ferner eine minimale derartige Darstellung wählen, so daß ν_{1} zu ν_{2} und ν_{3} zu ν_{4} singulär sind. Von dieser minimalen Darstellung ausgehend bezeichnen wir die Summe der Gesamtmassen der vier endlichen nicht negativen Maße als komplexe Totalvariation.

Lemma 2.4 Für jedes |r| < 1 sind H_{+}(r, ·) und H_{−}(r, ·) analytische Transformierte komplexwertiger endlicher Maße auf [0, ∞) bzw. (−∞, 0].

Beweis: Offenbar ist ∫_{(0,∞)} e^{sx}F^{∗(n)}(dx) analytische Transformierte von F^{∗(n)}|_{(0,∞)} sowie ∫_{(−∞,0]} e^{sx}F^{∗(n)}(dx) von F^{∗(n)}|_{(−∞,0]}. Da beide Maße Subwahrscheinlichkeitsmaße sind, sind auch die mit den Koeffizienten der Logarithmusreihe von − log(1 − r) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{r^{n}}{n} gewichteten Reihen endliche, nun jedoch komplexwertige Maße mit komplexer Totalvariation ≤ 4 log(\frac{1}{1−|r|}). Werden nun die Faltungspotenzen dieser Maße in die Exponentialreihe exp(−x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−x)^{n}}{n!} eingesetzt, so erhält man, da diese Reihe sogar absolut konvergiert, endliche, komplexwertige Maße, die als analytische Transformierte gerade H_{+}(r, ·) und H_{−}(r, ·) haben. Die Definitionsbereiche folgen aus der Konstruktion, da nur derartige Maße summiert und gefaltet werden. □

Korollar 2.5 Für jedes |r| < 1 schließt der Definitionsbereich von H_{±}(r, ·) die Halbebene H_{∓} := {s ∈ C|Im(s) ∈ IR_{∓}} ein. Ferner sind H_{±} dort beschränkt.

Beweis: Wir wissen, daß endliche positive Borel-Maße auf IR_{+} Laplace-Transformierte besitzen. Durch Zerlegung komplexwertiger Maße in positive Maße überträgt sich dies. Die Beschränktheit folgt aus den entsprechenden Eigenschaften der Laplace- und Fourier-Transformierten. Analoges gilt für Borel-Maße auf IR_{−}. □

Der nun folgende Satz ist eine diskontierte Version von Satz 2.3, beseitigt allerdings die einschränkenden Voraussetzungen.

Satz 2.6 Für alle s ∈ C, für die F̂(s) erklärt ist, und für alle |r| < 1 gilt

H_{+}(r, s)H_{−}(r, s) = 1 − rF̂(s).

Beweis: Genau wie im Beweis von Satz 2.3, also dem Analogon für r = 1, sieht man hier für s ∈ iIR und |r| < 1

H_{+}(r, s)H_{−}(r, s) = exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{r^{n}}{n} ∫_{IR} e^{sx}F^{∗(n)}(dx))
= exp (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}(rF̂(s))^{n}) = 1 − rF̂(s),

wobei man hier die Logarithmusreihe wegen |rF̂(s)| < 1 anwenden kann. Ist F̂ nicht nur auf der imaginären Achse definiert, so kann man auf einem Intervall (c_{1}, c_{2}) mit F̂(s) < \frac{1}{r} die Gleichheit wie oben zeigen und über Holomorphie und Stetigkeit auf den gesamten Definitionsbereich ausdehnen. □

Bezüglich einer Grenzwertbildung r ↑ 1 sei angemerkt, daß i. a. nicht offensichtlich ist, daß H_{±}(·, ·) dort definiert und stetig sind. Wir versuchen hier nicht weiter, dies analytisch mittels geeigneter Grenzwertsätze zu erhalten, sondern verweisen auf die Ergebnisse von Abschnitt 2.3, die dies mit probabilistischen Mitteln zeigen. Dann können wir unter Verwendung von Korollar 2.5 auf die Gültigkeit der analytischen Wiener-Hopf-Faktorisierung in voller Allgemeinheit schließen.

2.2 Analytischer Zugang zur Lösung der Wiener-Hopf-Integralgleichung

Zunächst sei angemerkt, daß ein vollständig analytischer Zugang problematisch wird, wenn man Holomorphieargumente auf die analytische Transformierte der Lösungsverteilung(sfunktion) K anwenden möchte. Wir benutzen daher für diesen Schritt ein Random-Walk-Modell und Ergebnisse aus der Risikotheorie, weisen jedoch darauf hin, daß hierbei keine Leitervariablen auftreten, die wir erst in Abschnitt 2.3 benutzen.

Definition 2.7 Sei (S_{n})_{n≥0} ein Random Walk mit Zuwachsverteilung F. Dann definiert man den Prozeß der Maxima durch

M_{n} := max_{0≤k≤n} S_{k} ∈ [0, ∞) P − f.s.

und als dessen Grenzwert

M := lim_{n→∞} M_{n} = sup_{0≤k<∞} S_{k} ∈ [0, ∞] P − f.s.

Wir beginnen mit der Identifizierung einer Lösung der Integralgleichung in diesem Random-Walk-Modell durch Satz 2.8 Die (möglicherweise defekte) Verteilungsfunktion K von M erfüllt die Wiener-Hopf-Gleichung

K(x) = ∫_{(−∞,x]} K(x − y)F (dy), x ≥ 0

zur Verteilung F.

Beweis: Wegen

M = sup{0, X_{1}, X_{1} + X_{2}, …} = [X_{1} + sup{0, X_{2}, X_{2} + X_{3}, …}]^{+} = [X_{1} + M^{∗}]^{+}

mit P^{M} = P^{M^{∗}} und X_{1} unabhängig von M^{∗} folgt für alle x ≥ 0

K(x)  =  P (M ≤ x)
=  P ([X_{1} + M^{∗}]^{+} ≤ x)
=  ∫_{IR} P ([X_{1} + M^{∗}]^{+} ≤ x|X_{1} = y)P^{X_{1}}(dy)
=  ∫_{IR} P ([y + M^{∗}]^{+} ≤ x|X_{1} = y)P^{X_{1}}(dy)
=_{{X_{1} u. M^{∗} \atop unabh.}}  ∫_{IR} P ([y + M^{∗}]^{+} ≤ x)P^{X_{1}}(dy)

=_{P^{M} =P^{M^{∗}}} ∫_{IR} P ([y + M]^{+} ≤ x)P^{X_{1}}(dy)

=_{x≥0}  ∫_{IR} P (y + M ≤ x)P^{X_{1}}(dy)

=  ∫_{IR} P (M ≤ x − y)P^{X_{1}}(dy)
=_{M≥0 P −f.s.} ∫_{(−∞,x]} P (M ≤ x − y)P^{X_{1}}(dy)

= ∫_{(−∞,x]} K(x − y)F (dy),

also die Behauptung. □

Um Trivialitäten auszuschließen, fokussieren wir im folgenden auf den Fall P (M < ∞) > 0. Da {M < ∞} offenbar ein bzgl. der unabhängigen Folge (σ(X_{n}))_{n∈IN} von σ-Algebren terminales Ereignis ist, bedeutet diese Annahme nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov bereits 1 = P (M < ∞) = lim_{x→∞} K(x), da P^{M} als Wahrscheinlichkeitsmaß stetig von unten ist. Insbesondere ist dann auch K ≢ 0. Im Falle der Existenz können wir ferner diese Situation mittels des Erwartungswertes der Zuwachsverteilung des Random Walk (Drift) beschreiben.

Lemma 2.9 Folgende starken Zusammenhänge zwischen P (M < ∞) und EX_{1} gelten:

• EX_{1} < 0: P (M < ∞) = 1.

• EX_{1} > 0: P (M < ∞) = 0.

• EX_{1} = 0, P^{X_{1}} ≠ δ_{0}: P (M < ∞) = 0.

• EX_{1} = 0, P^{X_{1}} = δ_{0}: P (M < ∞) = P (M = 0) = 1.

• EX_{1} existiert nicht, d. h. EX_{1}^{+} = EX_{1}^{−} = ∞: kein einheitliches Verhalten.

Beweis: Die Resultate sind (bis auf genauere Aussagen zum letzten Fall) elementar. Wir verweisen auf [4]. Die ersten beiden folgen aus dem starken Gesetz der großen Zahlen wegen lim_{n→∞} S_{n} = −∞ (resp. ∞) P -f.s. Das dritte beruht auf dem Satz von Chung und Fuchs ([4], S.192), der lim sup_{n→∞} S_{n} = ∞ P -f.s. impliziert. Das letzte wird etwa durch den Satz von Kesten ([4], S.198) näher beleuchtet. Als einfache Beispiele für verschiedenes Verhalten können etwa Cauchy Random Walks (also solche mit einer Cauchy-Zuwachsverteilung) dienen, die sich wiederum nach ihrem Zentrierungsparameter verhalten. □

Es bezeichne K über seine Bedeutung als die in Satz 2.8 ausgezeichnete Lösung der Wiener-Hopf-Integralgleichung (also eine Verteilungsfunktion) hinaus auch die zugehörige Verteilung. Insbesondere ist in diesem Sinne die analytische Transformierte K̂ erklärt.

Der nun folgende Satz stellt das Hauptresultat dieses Abschnitts dar. In seinem Beweis argumentieren wir größtenteils analytisch. Wir werden ihn in Abschnitt 2.4 ohne einschränkende Voraussetzungen an die Zuwachsverteilung beweisen. Hier stellen wir jedoch zunächst wieder Bedingungen an das erste und exponentielle Momente.

Satz 2.10 Sei μ = ∫_{IR} xF (dx) < 0 und F̂(s_{0}) < ∞ für ein s_{0} > 0. Dann gilt K̂(s) = \frac{H_{+}(0)}{H_{+}(s)} für alle s ∈ C, für die K̂(s) erklärt ist.

Beweis: Es seien γ ∈ (0, s_{0}) und δ = F̂(γ) < 1 wie im Beweis von Satz 2.3.

Hieraus kann man mit der Cramér-Lundberg-Ungleichung (wir können sie in der hier benötigten Version etwa aus Alsmeyer [2], Satz 4.6.4, folgern) starke Konsequenzen auch für K̂ ziehen, indem man, wie in Beispiel 1.4, F als Zuwachsverteilung des Prämienfonds und K als Verteilungsfunktion von M := max{−S_{n} : n ≥ 0} interpretiert. Dann gilt nämlich für die Ruinwahrscheinlichkeit bei freier Reserve s ≥ 0

ψ(s) := 1 − K(s) ≤ e^{−γs}.  (2.1)

Beachte im folgenden, daß ψ stets als Funktion, K hingegen als Maß aufgefaßt wird, was insbesondere unterschiedliche Definitionen der analytischen Transformierten bedeutet, denn für die Funktion ψ : [0, ∞) → IR definiert man

ψ̂(s) := ∫_{0}^{∞} ψ(x)e^{sx}dx,

falls das Integral existiert. Dies ist jedoch gemäß (2.1) insbesondere für alle s ∈ C mit Re(s) < γ erfüllt. Außerdem gilt

1 + sψ̂(s) = K̂(s)  (2.2)

für alle s ∈ C mit Re(s) < γ, denn

1 + sψ̂(s) = 1 + ∫_{0}^{∞} ψ(t)se^{st}dt
= 1 + ∫_{0}^{∞}(1 − K(t))se^{st}dt
= 1 + ∫_{0}^{∞} se^{st} ∫_{[0,∞)} 1_{(t,∞)}(x)K(dx)dt
= 1 + ∫_{[0,∞)} ∫_{0}^{x} se^{st}dtK(dx)
= 1 + ∫_{[0,∞)}(e^{sx} − 1)K(dx)
= ∫_{[0,∞)} e^{sx}K(dx)
= K̂(s).

Dieses führe man zunächst für Im(s) = 0 und 0 < Re(s) < γ mittels des Satzes von Tonelli durch. Die Verallgemeinerung auf das Gebiet {s ∈ C : Re(s) < γ} folgt aus Holomorphiegründen (vgl. Satz 2.1 mit Maßen K und ψλλ. ψλλ ist endlich wegen (ψλλ)(IR) = (ψλλ)([0, ∞)) = ψ̂(0) < ∞, was wir oben gesehen haben).

Man schreibe die Wiener-Hopf-Gleichung mittels der Definition von ψ um zu

ψ(x) = 1 − K(x) = 1 − ∫_{(−∞,x]} 1 − ψ(x − y)F (dy) = 1 − F (x) + ∫_{(−∞,x]} ψ(x − y)F (dy)

für alle x ≥ 0.

Definiert man nun

ϕ(x) := \{ \begin{matrix}0, \\ 1 − F (x) + ∫_{(−∞,x]} ψ(x − y)F (dy), \end{matrix} \begin{matrix}x ≥ 0 \\ x < 0 \end{matrix} ,

so folgt zunächst aus 0 ≤ ψ(x) ≤ 1 offenbar 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, und dann nach dem Majorantenkriterium die Existenz von

ϕ̂(s) := ∫_{−∞}^{0} ϕ(x)e^{sx}dx

mindestens für alle s ∈ C mit Re(s) > 0. Außerdem gilt nun, wenn man ϕ und ψ zusammenfaßt und das Integral als Faltung schreibt, für alle x ∈ IR

ψ(x) + ϕ(x) = 1 − F (x) + F ∗ ψ(x).

Für den Übergang zu analytischen Transformierten, also der Integration ∫_{−∞}^{∞} … e^{sx}dx berechne man zunächst mittels der Sätze von Tonelli und Fubini, ähnlich wie bei der Rechnung für (2.2) für alle s ∈ C mit 0 < Re(s) < γ

∫_{−∞}^{∞}(1 − F (x))e^{sx}dx = \frac{1}{s} ∫_{−∞}^{∞} se^{sx} ∫_{IR} 1_{(x,∞)}(t)F (dt)dx
= \frac{1}{s} ∫_{IR} ∫_{−∞}^{t} se^{sx}dxF (dt)
= \frac{1}{s} ∫_{IR} e^{st}F (dt)
= \frac{1}{s}F̂(s).

Beachte hierbei, daß wegen Re(s) > 0 lim_{z→−∞} e^{sz} = 0 und wegen 0 < Re(s) < γ die analytische Transformierte von F existiert.

Außerdem ergibt sich leicht mit den Sätzen von Tonelli und Fubini für alle s ∈ C mit 0 < Re(s) < γ, also wo sowohl die Transformierte von F als auch die von ψ definiert ist,

∫_{−∞}^{∞} ∫_{(−∞,x]} ψ(x − y)F (dy)e^{sx}dx = ∫_{IR} ∫_{y}^{∞} ψ(x − y)e^{s(x−y)}dxe^{sy}F (dy)
= ∫_{IR} ∫_{0}^{∞} ψ(x)e^{sx}dxe^{sy}F (dy)
= ψ̂(s)F̂(s).

Insgesamt folgt nun

ψ̂(s) + ϕ̂(s) = \frac{F̂(s)}{s} + F̂(s)ψ̂(s)

und somit

1 − F̂(s) = 1 − \frac{ψ̂(s) + ϕ̂(s)}{\frac{1}{s} + ψ̂(s)} = 1 − \frac{sψ̂(s) + sϕ̂(s)}{1 + sψ̂(s)} = \frac{1 − sϕ̂(s)}{1 + sψ̂(s)}  (2.3)

für alle s ∈ C mit 0 < Re(s) < γ.

Die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung (Satz 2.3) bedeutet jedoch unter Verwendung von (2.3)

(1 + sψ̂(s))H_{+}(s) = \frac{1 − sϕ̂(s)}{H_{−}(s)}

für alle s ∈ C mit 0 < Re(s) < γ.

Nach dem bisher Gezeigten bietet die linke Seite dieser Gleichung Anlaß zur Definition einer analytischen Funktion A auf {s ∈ C|Re(s) < γ}, sowie die rechte Seite zu einer analytischen Funktion B auf {s ∈ C|Re(s) > ε} für ein ε ∈ (0, γ). Da diese Funktionen auf dem Gebiet {s ∈ C|ε < Re(s) < γ} übereinstimmen, entsteht eine auf C holomorphe Funktion, die nach dem Gezeigten außerdem beschränkt ist. Nach dem Satz von Liouville ist diese ganze Funktion konstant, also etwa konstant gleich a.

Daher gilt nun unter Verwendung von (2.2)

K̂(s) = \frac{a}{H_{+}(s)}

für alle s ∈ C mit 0 < Re(s) < γ, durch holomorphe Fortsetzung jedoch auch auf ganz {s ∈ C|Re(s) < γ}. Insbesondere folgt durch Betrachtung der Stelle s = 0, an der ja K̂(0) = 1 gilt, daß a = H_{+}(0) gilt, also

K̂(s) = \frac{H_{+}(0)}{H_{+}(s)}

auf ganz {s ∈ C|Re(s) < γ}.

Da dies für alle γ gilt, die die obigen Bedingungen erfüllen, folgt, daß diese Gleichung bereits auf dem gesamten offenen Kern des Definitionsbereichs von K̂ gilt, da dieser die Gestalt I +iIR für ein Intervall I hat, das die 0 enthält und wegen der Konzentriertheit von K auf [0, ∞) sogar ganz (−∞, 0] enthält. Aus Stetigkeitsgründen setzt sich dies auch auf die Randpunkte fort, die im Definitionsbereich liegen. □

2.3 Eine probabilistische Interpretation der Wiener-Hopf-Faktoren

Bevor wir die Spitzer-Baxter-Gleichungen beweisen, die die Wiener-Hopf-Faktoren im wesentlichen als analytische Transformierte von Leitervariablen identifizieren, benötigen wir folgende Verallgemeinerung des Eindeutigkeitssatzes für Fourier-Transformierte von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Satz 2.11 (Eindeutigkeitssatz für Fourier-Transformierte komplexer Maße) Sind λ = λ_{1}^{+} − λ_{1}^{−} + i(λ_{2}^{+} − λ_{2}^{−}) und ν = ν_{1}^{+} − ν_{1}^{−} + i(ν_{2}^{+} − ν_{2}^{−}) zwei in nichtnegative Maße zerlegte endliche komplexwertige Maße mit gleichen Fourier-Transformierten, d. h. λ̂(it) = ν̂(it) für alle t ∈ IR, so gilt bereits λ = ν.

Beweis: Man beweise zunächst die Umkehrformel von P. Lévy, die nach gewissen Grenzwertüberlegungen an den Intervallgrenzen auf beliebigen Intervallen das Maß aus seiner Fourier-Transformierten rekonstruiert, für komplexwertige Maße. Hier kann etwa der in [5] zu Satz 41.7.(a) für Wahrscheinlichkeitsmaße gegebene Beweis in völliger Analogie (lediglich Ausschreiben der Erwartungswerte durch Integrale) benutzt werden.

Schließlich verifiziere man, daß auch endliche komplexwertige Borel-Maße durch ihre Festlegung auf Intervallen vollständig spezifiziert sind. Es sei etwa auf den in [5] zu Satz 3.6. (Eindeutigkeitsaussage im Maßerweiterungssatz) gegebenen Beweis hingewiesen, der auch unter den veränderten Voraussetzungen hier das Gewünschte leistet. □

Lemma 2.12 Es gilt auf dem gesamten Definitionsbereich H_{+}(s) = 1 − Ĝ^{<}(s).

Beweis: Er folgt mit majorisierter Konvergenz aus dem folgenden Lemma durch Grenzübergang r ↑ 1. □

Diese Leiterhöheninterpretation von H_{+} erweitert sich in ebenso schöner Weise auf H_{+}(r, s) unter Einbeziehung des Leiterindexes.

Lemma 2.13 (Spitzer-Baxter-Gleichung) Für alle r ∈ C mit |r| < 1 gilt jeweils auf dem gesamten Definitionsbereich

H_{+}(r, s) = 1 − E (r^{τ^{<}}e^{sS_{τ^{<}}})
H_{−}(r, s) = 1 − E (r^{τ^{≥}}e^{sS_{τ^{≥}}})

Beweis: Wir entnehmen die Beweisidee Asmussen [8] Theorem 4.1.:

Definiere zunächst

β_{n}(it) := E (e^{itS_{n}}1_{{τ^{<}=n}}) , γ_{n}(it) := E (e^{itS_{n}}1_{{τ^{<}>n}}) ,

also insbesondere γ_{0} = 1, und durch mit r (|r| < 1) diskontierte Summation

β(r, it) := ∑_{n=1}^{∞} r^{n}β_{n}(it) = E (r^{τ^{<}}e^{itS_{τ^{<}}}) , γ(r, it) := ∑_{n=1}^{∞} r^{n}γ_{n}(it) = E ( ∑_{n=1}^{τ^{<}−1} r^{n}e^{itS_{n}}) .

Nun gilt

β_{n}(it) + γ_{n}(it) = E (e^{itS_{n}}1_{{τ^{<}>n−1}}) = F̂(it)γ_{n−1}(it),

wobei für die letzte Gleichheit zu beachten ist, daß e^{sX_{n}} unabhängig von e^{sS_{n−1}}1_{{τ^{<}>n−1}} ist. Nun bewirkt diskontierte Summation

β + γ = rF̂(γ_{0} + γ) = rF̂(1 + γ).

Da die β_{n} und γ_{n} Fourier-Transformierte von Subwahrscheinlichkeitsmaßen sind, sind β und γ Fourier-Transformierte komplexer endlicher Maße ϕ̃ und ψ̃ mit komplexer Totalvariation ∥β∥ ≤ 4 (\frac{1}{1−|r|} − 1) = \frac{4|r|}{1−|r|} und ∥γ∥ ≤ \frac{4|r|}{1−|r|}. Daher sind |β(r, ·)| < 1 und |γ(r, ·)| < 1 für alle |r| ≤ r_{0}, denn Fourier-Transformierte komplexwertiger Maße sind durch ihre komplexe Totalvariation beschränkt. Daher erhält man für |r| ≤ r_{0}

1 − rF̂ = \frac{1 − β}{1 + γ} ,

und nach Ziehen des Logarithmus und Reihenentwicklung

∑_{n=1}^{∞} \frac{(rF̂)^{n}}{n} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{β^{n}}{n} − ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−γ)^{n}}{n} .

Ferner ist ϕ̃ ein komplexwertiges Maß auf (0, ∞), da eine streng aufsteigende Leiterhöhe stets positiv ist, sowie ψ̃ ein komplexwertiges Maß auf (−∞, 0], da vor einem streng aufsteigenden Leiterindex alle Summen nichtpositiv sind. Gleiches gilt nach Faltung und Summation für die Maße ϕ := ∑_{n=1}^{∞} \frac{ϕ̃^{∗(n)}}{n} und ψ := − ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{ψ̃^{∗(n)}}{n}. Bezeichnet man H := ∑_{n=1}^{∞} r^{n} \frac{F^{∗(n)}}{n}, so gilt

Ĥ = ϕ̂ + ψ̂ = ϕ̂ + ψ

und nach dem Eindeutigkeitssatz für Fourier-Transformierte komplexwertiger Maße (Satz 2.11) H = ϕ + ψ. Insbesondere stimmen H und ϕ auf (0, ∞) überein, was für die analytischen Transformierten

− ∑_{n=1}^{∞} \frac{r^{n}}{n} E (e^{sS_{n}}1_{\{S_{n}>0\}}) = − ∫_{(0,∞)} e^{sx}H(dx)
= −Ĥ|_{(0,∞)}(s)
= −ϕ̂(s)
= − ∑_{n=1}^{∞} \frac{(β(s))^{n}}{n}
= log(1 − β(s))
= log (1 − E (r^{τ^{<}}e^{sS_{τ^{<}}}))

bedeutet. Anwenden der Exponentialfunktion liefert die Behauptung für |r| ≤ r_{0}. Da sowohl H_{+}, als auch β offensichtlich auf B_{1}(0) := {z ∈ C : |z| < 1} holomorph in r sind (β ist in Potenzreihenentwicklung gegeben, H_{+} ist ebenfalls eine Potenzreihe, auf die lediglich die ganze Exponentialfunktion angewendet wird), folgt die Gleichheit bereits auf B_{1}(0).

Die zweite Gleichung zeigt man völlig analog. □

Dieses Resultat besagt, daß 1 − H_{±}(r, s) analytische Transformierte von (τ^{<}, S_{τ^{<}}) bzw. (τ^{≥}, S_{τ^{≥}}) sind, da etwa r^{τ^{<}} = e^{(log(r))τ^{<}}, wobei der Anteil von τ^{<} als IN-wertige Zufallsgröße in der Schreibweise erzeugender Funktionen steht.

Hiermit kann man nun leicht die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung in voller Allgemeinheit beweisen:

Korollar 2.14 (Analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung) Es gilt stets auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich 1−F̂(s) = H_{+}(s)H_{−}(s). Dieser umfaßt iIR.

Beweis: Daß der gemeinsame Definitionsbereich von F̂, 1 − H_{+} und 1 − H_{−} die imaginäre Achse iIR umfaßt, ist klar, da alle drei analytische Transformierte endlicher Maße sind.

Der Beweis von Lemma 2.13 impliziert die Wohldefiniertheit und Stetigkeit von H_{±}(·, ·) bei r = 1. Daher können wir in Satz 2.6 den Grenzwert r ↑ 1 bilden. □

Man kann die Spitzer-Baxter-Formeln noch auf verschiedene Arten verfeinern, insbesondere von den Transformiertenidentitäten zu Gleichheiten auf Maßebene gelangen. Wir verweisen auf Alili und Doney [1] für einen Überblick und neue Erkenntnisse.

2.4 Probabilistischer Zugang zur Lösung der Wiener-Hopf-Integralgleichung

Im folgenden ist es sinnvoll, sukzessive Leiterereignisse zu betrachten, die unter anderem einen Erneuerungsprozeß mit Zuwachsverteilung G^{<} in (S_{n})_{n≥0} einbetten.

Definition 2.15 Man definiert höhere Leiterindizes als sogenannte Kopiensummenfolge via

σ_{n}^{<} := inf{k > σ_{n−1}^{<} : S_{k} > S_{σ_{n−1}^{<}}},

wobei σ_{0}^{<} := 0.

Lemma 2.16 S_{n}^{<} := S_{σ_{n}^{<}}1_{{σ_{n}^{<}<∞}} bildet einen Random Walk mit defekter Zuwachsverteilung G^{<}. Seine Lebensdauer ist geometrisch verteilt mit Parameter 1 − ∥G^{<}∥.

Beweis: Wir verweisen auf [4], Satz 21.3., insbesondere Teil (g). □

In dieser Interpretation kann man das folgende Resultat nicht nur veranschaulichen, sondern auch beweisen.

Satz 2.17 (Pollaczek-Khintchine-Gleichung) Es gilt für die in Satz 2.8 ausgezeichnete Lösung K der Wiener-Hopf-Integralgleichung

K(x) = (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞}(G^{<})^{∗(n)}(x).

Beweis: Man konstruiert diese Identität unter Verwendung des vorangegangenen Lemmas:

Wenn G^{<} nicht defekt ist, also ∥G^{<}∥ = 1 ist, so ist die Aussage trivial, da der Leiter-Random-Walk nach dem starken Gesetz der großen Zahlen f. s. gegen ∞ divergiert, also f. s. M = ∞, somit auch K ≡ 0.

Wenn G^{<} defekt ist, gilt unter Benutzung der starken Markov-Eigenschaft und des vorangegangenen Lemmas

P (M ≤ x) = ∑_{n=0}^{∞} P (σ_{n=1}^{<} = ∞, S_{σ_{n}^{<}} ≤ x)
= ∑_{n=0}^{∞} P (S_{n}^{<} ≤ x)P (τ_{1}^{<} = ∞)
= ∑_{n=0}^{∞}(G^{<})^{∗(n)}(x)(1 − ∥G^{<}∥),

also die Behauptung. □

Wie bereits dort vermerkt, bleibt Satz 2.10 auch ohne die zusätzlichen Bedingungen gültig. Wir müssen jedoch den Beweis noch nachreichen, der nun elementar ist.

Satz 2.18 Für alle s ∈ C, für die K̂(s) erklärt ist, gilt K̂(s) = \frac{H_{+}(0)}{H_{+}(s)}.

Beweis: Übersetzt man die Pollaczek-Khintchine-Gleichung in Fourier-Transformierte, so gilt

K̂(s) = (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞} (Ĝ^{<}(s))^{n} = (1 − Ĝ^{<}(0)) \frac{1}{1 − Ĝ^{<}(s)} = \frac{H_{+}(0)}{H_{+}(s)},

wobei bei der letzten Gleichheit Lemma 2.12 angewendet wurde. Da G^{<} defekt ist, konnte die geometrische Reihe angewendet werden, denn es ist |Ĝ^{<}(s)| ≤ Ĝ^{<}(0) = ∥G^{<}∥ < 1 für alle s ∈ C mit Re(s) ≤ 0. Für alle weiteren s ∈ C, für die K̂(s) definiert ist, folgt die Gleichheit aus Holomorphiegründen. □

Man kann das Resultat noch etwas umformulieren.

Satz 2.19 (Spezialfall der Spitzer-Gleichung) Es gilt

K̂(s) = exp (∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}E ((e^{sS_{n}} − 1)1_{\{S_{n}>0\}})) .

Beweis: Man setze die Definition von H_{+} in den vorangegangenen Satz ein:

K̂(s) = \frac{H_{+}(0)}{H_{+}(s)}
= \begin{matrix}exp & (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{(0,∞)} P^{S_{n}}(dx)) \\ exp & (− ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{(0,∞)} e^{sx}P^{S_{n}}(dx)) \end{matrix}

= exp (∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{(0,∞)}(e^{sx} − 1)P^{S_{n}}(dx)) .
□

Abschließend geben wir ein Beispiel, das die erzielten Ergebnisse in Beziehung zu Anwendungen stellt.

Beispiel 2.20 (Warteschlangentheorie) Gegeben sei ein G/G/1/∞-System wie in Beispiel 1.2. Die in diesem Kapitel bisher berechneten Formeln sind unhandlich, wenn man die Verteilung der Wartezeit eines Kunden explizit angeben möchte. Die mittlere Wartezeit berechnet sich mittels der Pollaczek-Khintchine-Gleichung (Satz 2.17) jedoch zu

∫_{[0,∞)} xK(dx) = (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞} E(S_{n}^{<})
= (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞} P (σ_{n}^{<} < ∞)E(S_{n}^{<}|σ_{n}^{<} < ∞)
= (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞}(P (τ^{<} < ∞))^{n} ∑_{k=1}^{n} E(X_{k}^{<}|σ_{n}^{<} < ∞)
= (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞}(P (τ^{<} < ∞))^{n} ∑_{k=1}^{n} E(X_{k}^{<}|σ_{k}^{<} < ∞)
= (1 − ∥G^{<}∥) ∑_{n=0}^{∞}(P (τ^{<} < ∞))^{n} ∑_{k=1}^{n} E(S_{1}^{<}|τ^{<} < ∞)
= (1 − ∥G^{<}∥)E(S_{1}^{<}) ∑_{n=0}^{∞} n∥G^{<}∥^{n−1}
= (1 − ∥G^{<}∥)E(S_{1}^{<}) (\frac{d}{dz} ∑_{n=0}^{∞} z^{n})|_{z=∥G^{<}∥}
= (1 − ∥G^{<}∥)E(S_{1}^{<})\frac{1}{(1 − ∥G^{<}∥)^{2}}
= \frac{E(S_{τ^{<}}1_{\{τ^{<}<∞\}})}{1 − ∥G^{<}∥},

was ein akzeptables Ergebnis darstellt.

Betrachtet man speziell ein M/M/1/∞-System, d. h. man geht von Exp(λ)- verteilten Zwischenankunftsverteilungen und Exp(ν)-verteilten Servicezeiten aus (ν > λ), so löst gemäß Beispiel 1.2 genau die Verteilungsfunktion der stationären Wartezeit die Wiener-Hopf-Gleichung (1.1) zur Verteilung F = Exp(ν) ∗ Exp(λ)(−·). Die Riemann-Dichte f von F berechnet sich wie folgt:

Bezeichnet g_{λ} die Riemann-Dichte einer Exp(λ)-Verteilung, so gilt für x ≥ 0

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} g_{ν}(x − y)g_{λ}(−y)dy
= ∫_{−∞}^{0} νe^{−ν(x−y)}λe^{λy}dy

= λνe^{−νx} ∫_{−∞}^{0} e^{(λ+ν)y}dy
= \frac{λν}{λ + ν} e^{−νx}

und für x < 0

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} g_{ν}(x − y)g_{λ}(−y)dy
= ∫_{−∞}^{x} νe^{−ν(x−y)}λe^{λy}dy
= λνe^{−νx} ∫_{−∞}^{x} e^{(λ+ν)y}dy
= λνe^{−νx} \frac{1}{λ + ν} e(λ + ν)x
= \frac{λν}{λ + ν} e^{λx}.

Nun verifiziert man, daß K(x) := 1− \frac{λ}{ν}e^{−(ν−λ)x} die Wiener-Hopf-Gleichung (1.1) erfüllt:

∫_{−∞}^{x} K(x − y)F (dy) = ∫_{−∞}^{0} (1 − \frac{λ}{ν}e^{−(ν−λ)(x−y)}) \frac{λν}{λ + ν} e^{λy}dy

+ ∫_{0}^{x} (1 − \frac{λ}{ν}e^{−(ν−λ)(x−y)}) \frac{λν}{λ + ν} e^{−νy}dy

= \frac{ν}{λ + ν} − \frac{λ^{2}}{λ + ν} e^{−(ν−λ)x} ∫_{−∞}^{0} e^{νy}dy

+\frac{λ}{λ + ν} (1 − e^{−νx}) − \frac{λ^{2}}{λ + ν} e^{−(ν−λ)x} ∫_{−∞}^{0} e^{−λy}dy

= 1 − \frac{λ}{λ + ν} e^{−νx} − \frac{λ^{2}}{λ + ν} e^{−(ν−λ)x} \frac{1}{ν}

+\frac{λ^{2}}{λ + ν} e^{−(ν−λ)x} \frac{1}{−λ} (e^{−λx} − 1)

= 1 − \frac{λ^{2}}{λ + ν} e^{−(ν−λ)x} (\frac{1}{ν} + \frac{1}{λ})
= 1 − \frac{λ}{ν}e^{−(ν−λ)x}

Um jedoch aus den obigen Sätzen dieses Resultat herzuleiten, wären noch einige Klimmzüge zu bewältigen, etwa die Berechnung der Transformierten der auf (0, ∞) eingeschränkten Faltungspotenzen von F (Spitzer-Gleichung) oder die Bestimmung der Faltungspotenzen der Leiterhöhenverteilung (Pollaczek-Khintchine-Gleichung).

Selbst in einfachen Beispielen sind diese Formeln also unhandlich. In komplizierteren Fällen geben sie also kaum Hoffnung auf präzise Lösungen, sondern sind allenfalls Approximationshilfen (Pollaczek-Khintchine-Gleichung).

2.5 Die probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung für Random Walks

Im Hinblick auf die Kapitel 3 und 4 kommen wir nun zum wichtigsten Abschnitt dieses Kapitels, der ferner die elegantesten Beweise für die Wiener-Hopf-Resultate enthält.

Definition 2.21 Wir bezeichnen

R^{<}(A) := E ( ∑_{n=0}^{τ^{<}−1} 1_{A}(S_{n}))

als Prä-τ^{<}-Okkupationsmaß,

U^{≥}(A) := ∑_{n=0}^{∞}(G^{≥})^{∗(n)}(A)

als G^{≥}-Erneuerungsmaß, wobei an

G^{≥}(A) := P (S_{τ^{≥}} ∈ A, τ^{≥} < ∞) = ∑_{n=1}^{∞} P (τ^{≥} = n, S_{n} ∈ A),

die schwach absteigende Leiterhöhenverteilung erinnert sei.

Das Prä-τ^{<}-Okkupationsmaß zählt mittlere Häufigkeiten vor dem Stopzeitpunkt τ^{<}. Das Erneuerungsmaß zur (möglicherweise defekten) Verteilung G^{≥} summiert die Verteilungen des Random Walk zu allen schwach absteigenden Leiterhöhen, d. h. zählt mittlere Häufigkeiten, restringiert auf absteigende Leiterhöhen. Dieses ist, abgesehen vom Fall S ≡ 0 stets σ-endlich, da der Leiter-Random-Walk dann entweder defekt ist oder echt negative Drift hat.

Der im folgenden gegebene Beweis der probabilistischen Wiener-Hopf-Faktorisierung gliedert sich in drei Schritte, die auch später im Markov-Random-Walk-Fall wieder in Erscheinung treten werden.

Die drei Schritte werden verkörpert durch die beiden folgenden Lemmata und den darauf aufbauenden ersten Beweis des Satzes.

Lemma 2.22 (Pitman-Gleichung) Es gilt

R^{<} + G^{<} = δ_{0} + R^{<} ∗ F.

Beweis: Es gilt für alle A ∈ B

R^{<}(A) + G^{<}(A) = E ( ∑_{n=0}^{τ^{<}−1} 1_{A}(S_{n})) + E (1_{A}(S_{τ^{<}})1_{{τ^{<}<∞}})
= E (1_{A}(S_{0})) + E ( ∑_{n=0}^{τ^{<}−1} 1_{A}(S_{n+1}))
= δ_{0}(A) + E (∑_{n=0}^{∞} 1_{{τ^{<}>n}}1_{A}(S_{n+1}))
= δ_{0}(A) + ∑_{n=0}^{∞} P (τ^{<} > n, S_{n} + X_{n+1} ∈ A)
= δ_{0}(A) + ∑_{n=0}^{∞} ∫_{IR} P (τ^{<} > n, S_{n} + X_{n+1} ∈ A|X_{n+1} = y)F (dy)
= δ_{0}(A) + ∑_{n=0}^{∞} ∫_{IR}(τ^{<} > n, S_{n} ∈ A − y)F (dy)
= δ_{0}(A) + ∫_{IR} R^{<}(A − y)F (dy)
= δ_{0}(A) + (R^{<} ∗ F)(A),

wobei die Unabhängigkeit von {τ^{<} > n}, das ja nur von X_{1}, …, X_{n} abhängt, und X_{n+1} ausgenutzt wurde. □

Beachte, daß von der speziellen Stopzeit τ^{<} nur die Stopzeiteigenschaft ausgenutzt wurde, die die besagte Unabhängigkeit von {τ^{<} > n} und X_{n+1} impliziert. Daher gilt die Pitman-Gleichung auch für beliebige Stopzeiten τ bzgl. der kanonischen Filtration F des Random Walk.

Das folgende Lemma bringt die auf- und absteigenden Leiterindizes in Zusammenhang. Da diese Formel auch gilt, wenn man die Superindizes vertauscht, kann man dies als Dualitätsaussage sehen.

Lemma 2.23 (Dualität) Es gilt

R^{<} = U^{≥}.

Beweis: Sei zunächst n ∈ IN beliebig.

Definiere für 0 ≤ k ≤ n S̃_{k} := S_{n} − S_{n−k}. Dann gilt für alle A ∈ B

P (τ^{<} > n, S_{n} ∈ A) = P (∀_{0≤k≤n} S_{k} ≤ 0, S_{n} ∈ A)
= P (∀_{n≥k≥0} S̃_{n} − S̃_{k} ≤ 0, S̃_{n} ∈ A)
= P (S̃_{n} ∈ A, F̃_{n})
= P (S_{n} ∈ A, F_{n}),

wobei F_{n} das Ereignis ist, daß n ein schwach absteigender Leiterindex von (S_{n})_{n∈IN} ist, F̃_{n} analog für (S̃_{n})_{0≤k≤n}. Bildet man nun Summen über n ∈ IN, so liefert die linke Seite gerade R^{<}(A). Die rechte Seite wird zu U^{≥}(A), da die n-te schwach absteigende Leiterhöhe als Verteilung die Faltung von n schwach absteigenden ersten Leiterhöhen hat, denn die Leiterhöhe ist gerade die unabhängige Summe der n Zwischenleiterhöhen.

□

Satz 2.24 (Probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung) Es gilt

F = G^{≥} + G^{<} − G^{≥} ∗ G^{<}.

Beweis 1: Zunächst schließen wir den Fall F = δ_{0}, für den das Resultat trivialerweise gilt, aus.

Nach den beiden vorangegangenen Lemmata gilt

U^{≥} + G^{<} = δ_{0} + U^{≥} ∗ F

Faltet man dies mit G^{≥} von links, so ergibt sich

U^{≥} − δ_{0} + G^{≥} ∗ G^{<} = G^{≥} + U^{≥} ∗ F − F

Da alle auftretenden Maße Borelsch sind, kann man diese Gleichungen subtrahieren, etwa zunächst die Einschränkungen der Maße auf kompakte Borel-Mengen. Es ergibt sich

G^{<} + δ_{0} − G^{≥} ∗ G^{<} = δ_{0} − G^{≥} + F

Sortiert man dies geeignet, so ergibt sich die gewünschte Identität, da Kompakta die Borelsche σ-Algebra erzeugen und alle nach der Subtraktion verbleibenden Maße endlich sind. □

Beweis 2: Dieser zweite Beweis wurde von Kennedy [14] gegeben und basiert auf einer pfadweisen Argumentation, die nicht auf den vorbereitenden Lemmata beruht. Wir verzichten auf die Formeln und beschreiben nur den Beweisablauf. Eine ausführliche und formale Darstellung befindet sich in [14].

Wir schreiben die zu zeigende Gleichung als G^{≥} + G^{<} = F + G^{≥} ∗ G^{<}, also eine Gleichheit zweier positiver Maße und notieren, daß die beiden Maße auf der linken Seite disjunkten Träger haben. Wir teilen daher die Argumentation diesbezüglich auf.

Wir beginnen mit (meßbarem) A ⊂ (0, ∞) und betrachten somit das Ereignis, daß die erste aufsteigende Leiterhöhe in A ist. Dieses Ereignis zerfällt gemäß zwei Möglichkeiten, um der rechten Seite gerecht zu werden: Entweder ist der erste Zuwachs positiv (dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit F (A)), oder man hat einen Pfad der Mindestlänge zwei bis zum aufsteigenden Leiterereignis. Man splitte diesen Pfad an seinem ersten globalen Maximum nach null und vor dem aufsteigenden Leiterereignis, also bei ρ = inf{0 < n < τ^{<} : S_{n} = max{S_{j} : 1 ≤ j ≤ τ^{<}}}). Offenbar ist S_{ρ} ≤ 0. Das Splitten führt (unter Einbeziehung der Zeitpunkte 0 und τ^{<}) zu zwei Teilpfaden positiver Länge. Der zweite beschreibt offenbar ein aufsteigendes Leiterereignis. Verfolgt man den ersten in Zeitumkehr (hier: umgekehrte Reihenfolge der Zuwächse), so beschreibt dies ein absteigendes Leiterereignis. Bedingt unter der Gesamtlänge und dem Split-Zeitpunkt sind diese Pfade unabhängig. Die Summationen des Bedingens fügen die Leiterereignisse wieder zusammen. Es entsteht die Faltung auf der rechten Seite der zu zeigenden Gleichung.

Analog splittet man für A ⊂ (−∞, 0] Pfade der Mindestlänge zwei am letzten Minimum vor dem absteigenden Leiterereignis. Die Argumentation ist ansonsten dieselbe.

□

Da in der soeben bewiesenen Wiener-Hopf-Faktorisierung sowohl strikte, als auch schwache Leiterhöhen auftreten, wurde sie unter Zuhilfenahme eines dritten Faktors symmetrisiert. Dieser mittlere Faktor fängt gerade den Unterschied zwischen einer schwachen und starken Leitervariable auf. Er repräsentiert das erneute Erreichen derselben Leiterhöhe, d. h. ist lediglich das passende Vielfache eines Dirac-Maßes in Null.

Die symmetrische Version der Wiener-Hopf-Faktorisierung der Zuwachsverteilung eines Random Walk läßt sich einfach aus der unsymmetrischen Version ableiten. Das vorbereitende Lemma liefert den entscheidenden Zusammenhang zwischen den strikten und schwachen Leiterhöhen.

Lemma 2.25 Sei F eine beliebige Verteilung auf (IR, B). Dann gelten

G^{≥} = (1 − ζ)G^{>} + ζδ_{0} mit ζ = G^{≥}({0})

und

G^{≤} = (1 − ζ′)G^{<} + ζ′δ_{0} mit ζ′ = G^{≤}({0}).

Beweis: Der Fall F = δ_{0} ist wiederum trivial. Für F ≠ δ_{0} sei A ∈ B beliebig, dann gilt

G^{>}(A) = P (S_{1}^{>} ∈ A, τ_{1}^{>} < ∞)
= ∑_{n∈IN} P (S_{1}^{≥} = 0, …, S_{n−1}^{≥} = 0, S_{n}^{≥} ∈ A\{0}, τ_{n}^{≥} < ∞)
= ∑_{n∈IN} (∏_{k=1}^{n−1} P (S_{k}^{≥} = 0, τ_{k}^{≥} < ∞|S_{1}^{≥} = 0, …, S_{k−1}^{≥} = 0, τ_{k−1}^{≥} < ∞))
P (S_{n}^{≥} ∈ A\{0}, τ_{n}^{≥} < ∞|S_{1}^{≥} = 0, …, S_{n−1}^{≥} = 0, τ_{n−1}^{≥} < ∞)
= ∑_{n∈IN} (∏_{k=1}^{n−1} P (S_{k}^{≥} − S_{k−1}^{≥} = 0, τ_{k}^{≥} < ∞|τ_{k−1}^{≥} < ∞))

P (S_{n}^{≥} − S_{n−1}^{≥} ∈ A\{0}, τ_{n}^{≥} < ∞|τ_{n−1}^{≥} < ∞)
= ∑_{n∈IN} (∏_{k=1}^{n−1} P (S_{1}^{≥} = 0, τ_{1}^{≥} < ∞)) P (S_{1}^{≥} ∈ A\{0}, τ_{1}^{≥} < ∞)
= G^{≥}(A\{0}) ∑_{n∈IN} (G^{≥}({0}))^{n−1}
= \frac{G^{≥}(A\\{0\})}{1 − ζ}

Das bedeutet jedoch

G^{≥}(A) = G^{≥}(A\{0}) + G^{≥}(A ∪ {0}) = (1 − ζ)G^{>}(A) + ζδ_{0}(A).

Den zweiten Teil der Behauptung weist man analog nach oder folgert durch Übergang zur gespiegelten Zuwachsverteilung F (−·). □

Dies schafft die Grundlage für den

Satz 2.26 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß F auf (IR, B). Dann gilt die symmetrische Wiener-Hopf-Faktorisierung

δ_{0} − F = (δ_{0} − G^{>}) ∗ (δ_{0} − ζδ_{0}) ∗ (δ_{0} − G^{<}),

wobei G^{>} und G^{<} die Verteilungen der streng ab- bzw. aufsteigenden Leiterhöhen eines Random-Walk mit Zuwachsverteilung F sind und ζ = G^{≥}({0}) ∈ [0, 1].

Beweis: Dies folgt sofort aus der probabilistischen Wiener-Hopf-Faktorisierung (Satz 2.24), und dem vorangestellten Lemma mittels analytischer Transformierter:

1 − F̂ = (1 − Ĝ^{≥})(1 − Ĝ^{<}) = (1 − (1 − ζ)Ĝ^{>} − ζ)(1 − Ĝ^{<}) = (1 − Ĝ^{>})(1 − ζ)(1 − Ĝ^{<}).

□

Operator-theoretischer Zugang zur Wiener-Hopf-Faktorisierung für Markov Random Walks

Der in Abschnitt 2.5 vorgestellte Weg zur Wiener-Hopf-Faktorisierung für Random Walks kann als roter Faden dieses Kapitels angesehen werden, das die Argumentation auf große Klassen von Markov Random Walks erweitert. Dies geschieht jedoch trotz der probabilistischen Grundidee der Nutzung von Leiterereignissen auf vorwiegend abstrakt-analytische Weise im Rahmen eines geeigneten Transformiertenkalküls, den wir, wie auch ein Pendant zur Zeitumkehr, vollständig entwickeln. Dieses Kapitel basiert stark auf Arjas und Speed [7], enthält aber auch viele Zwischenresultate im Zusammenhang mit der Operatortheorie, die bei Arjas und Speed nur implizit sind (etwa das meiste aus den Abschnitten 2 und 3 im vorliegenden Text).

Im ersten Abschnitt betrachten wir allgemeine Markov Random Walks unter dem Gesichtspunkt, Pendants zu analytischen Transformierten zu finden. In diesem Zusammenhang ist es vorteilhaft, Kerne als Operatoren auf Funktionenräumen zu betrachten. Zur Illustration und als Teil des Beweisgangs untersuchen wir den Übergangskern zu einer beliebigen Stopzeit τ und den Prä-τ-Okkupationskern hinsichtlich der Pitman-Gleichung aus Abschnitt 2.5 - in ihrer Transformierten-Version.

Der zweite Abschnitt befaßt sich mit Dualität von Markov Random Walks. Im Falle einer diskreten Steuerkette erläutern wir die Zusammenhänge von Dualität und stationärer Zeitumkehr. Das Dualitätskonzept ist jedoch wesentlich mächtiger als dieses spezielle Beispiel suggeriert.

Da diese Dualität lediglich eine Eigenschaft der Übergangskerne ist, können wir sie auf allgemeinere Kerne übertragen. Da Kerne kanonisch in Operatorenräumen eingebettet sind, kann die Dualität ebenso wie der Transformiertenkalkül in Abschnitt 3 auf Kontraktionen und andere beschränkte Operatoren erweitert werden. Hier geben wir dem Transformiertenkalkül mit Eindeutigkeitssatz und Multiplikationssatz außerdem seine Hauptresultate.

Diese Erweiterungen ermöglichen nun die Formulierung und die gewissermaßen axiomatische Herleitung der Wiener-Hopf-Faktorisierung im vierten Abschnitt. Insbesondere sind die allgemeineren Leiterindizes und Leiterhöhenkerne lediglich durch die Eigenschaften spezifiziert, die für diesen Zugang essentiell sind. Wir geben zunächst die analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung in ihrer Ort-Zeit-Version, übersetzen diese Transformiertengleichung jedoch dann auch in eine Maß- bzw. Kernversion, die die probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung als Spezialfall enthält.

In einem fünften Abschnitt identifizieren wir explizit einige Spezialfälle dieser abstrakten Resultate, zunächst den Fall diskreter Markov Random Walks, außerdem aber selbstmodulierende Random Walks, d. h. Prozesse, deren Zuwachsverteilung durch den aktuellen Wert moduliert wird.

3.1 Operatoren und Transformierte bei allgemeinen Markov Random Walks

Gegeben sei im folgenden stets ein Markov Random Walk (M_{n}, S_{n})_{n≥0} im Sinne von Definition 1.6, mit Übergangskern IP : S × (S ⊗ B̄^{m}) → [0, 1]. Wir machen keine explizite Einschränkung an den meßbaren Raum (S, S), können ferner ein Standardmodell zugrundelegen, d. h. die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen P_{x}, x ∈ S, auf (Ω, A) voraussetzen, unter denen (M_{n}, S_{n})_{n≥0} ein in (x, 0) startender Markov Random Walk mit Übergangskern IP ist. Es bezeichne (F_{n})_{n≥0} die kanonische Filtration von (M_{n}, S_{n})_{n≥0}, also F_{n} := σ(M_{0}, S_{0}, M_{1}, S_{1}, …, M_{n}, S_{n}).

IP ist zunächst ein Kern von (S, S) nach (S × ĪR^{m}, S ⊗ B̄^{m}). Man kann ihn aber, wie auch jeden anderen beschränkten Kern IK dieser Art zu einem Kern IL auf (S × ĪR^{m}, S ⊗ B̄^{m}) erweitern via

IL(x, s, A × B) := IK(x, A × (B − s)).

Definition 3.1 Seien IK_{1}, IK_{2} : S × (S ⊗ B̄^{m}) → [0, ∞] σ-endliche Kerne. Dann definieren wir die Faltung als

IK_{1} ∗ IK_{2}(x, A × B) := IL_{1} ∘ IL_{2}(x, 0, A × B)
= ∫_{S×ĪR^{m}} IL_{2}(y, t, A × B)IL_{1}(x, 0, dy × dt)
= ∫_{S×ĪR^{m}} IK_{2}(y, A × (B − t))IK_{1}(x, dy × dt).

Ist nun IP : S×(S ⊗B̄^{m}) → [0, 1] ein Übergangskern, so definieren wir weiter IP^{∗(0)} := I mit I(x, A × B) := δ_{x}(A)δ_{0}(B) und rekursiv IP^{∗(n)} := IP^{∗(n−1)} ∗ IP für n ≥ 1 als n-Schritt-Übergangskerne.

Hier wird das Faltungssymbol gewählt, da die Operation für das Maß in der zweiten Komponente einer Faltung entspricht und diese in der Interpretation meistens im Vordergrund steht, wenn man nämlich der ersten Komponente als steuernde Markov-Kette eine technische Aufgabe zuordnet. Beachte, daß diese Faltung im allgemeinen nicht kommutativ ist, da sie wesentlich von der ersten Komponente abhängen kann.

In der probabilistischen Wiener-Hopf-Theorie spielen Leiterereignisse eine zentrale Rolle. Wir können aber zunächst in voller Allgemeinheit Stopereignisse betrachten:

Definition 3.2 Für einen Markov Random Walk (M_{n}, S_{n})_{n≥0} und eine F-Stopzeit τ definieren wir den τ-Schritt Übergangskern G^{τ} und den Prä-τ-Okkupationskern R^{τ} durch

G^{τ}(x, C) = P_{x}((M_{τ}, S_{τ}) ∈ C, τ < ∞), R^{τ}(x, C) = E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} 1_{C}(M_{n}, S_{n}))

sowie deren Diskontierungen mit 0 ≤ r < 1

G_{r}^{τ}(x, C) = ∑_{n≥0} r^{n}P_{x}((M_{n}, S_{n}) ∈ C, τ = n), R_{r}^{τ}(x, C) = E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}1_{C}(M_{n}, S_{n})) .

Man kann jeden dieser Kerne als operatorwertige Mengenfunktion auf B̄^{m} interpretieren, also IP etwa als B ↦ IP (B) mit IP (B)f := ∫_{S} f(y)IP (·, dy × B) für alle beschränkten f : (S, S) → ([0, ∞), B|_{[0,∞)}) oder wahlweise beschränkten reell- oder komplexwertigen Funktionen oder etwa Funktionen, die p-fach bezüglich allen IP (x, ·) integrierbar sind. Dies wird später von Bedeutung sein. Der Banachraum der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf (S, S) sei mit L_{∞}(S, S) bezeichnet. Im folgenden werden wir in der Regel diesen Funktionenraum für die Operatoren zugrundelegen und diesen daher nur in den anderen Fällen explizit spezifizieren. Ist ein Maß ν auf (S, S) gegeben, so bezeichne L_{∞}(S, S, ν) den Raum der ν-f.ü. beschränkten (komplexwertigen) Funktionen. Bei Dominiertheit aller involvierten Kerne und Maße durch ν können wir gleichermaßen mit diesem größeren Funktionenraum arbeiten. Ferner zeichnen wir für p ∈ [0, ∞] die Räume L_{p}(S, S, ν) p-fach ν-integrierbarer (komplexwertiger) Funktionen aus.

Im folgenden wird es einiges vereinfachen, das nächste elementare Lemma zur Verfügung zu haben.

Lemma 3.3 Für einen beschränkten Kern IK von (X, X) nach (Y, Y) und ein endliches Maß μ auf (X, X) sei

ν(C) = ∫_{X} IK(x, C)μ(dx)

Dann gilt für alle Funktionen g ∈ L_{∞}(Y, Y, ν)

∫_{Y} g(y)ν(dy) = ∫_{X} ∫_{Y} g(y)IK(x, dy)μ(dx).

Beweis: Ein gewöhnliches Funktionserweiterungsargument genügt, wobei für Indikatorfunktionen die Behauptung zur Definition von ν zerfällt. □

Formal kann man dieses Lemma als eine Art Satz von Fubini auffassen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß die linke Seite in

∫_{Y} ∫_{X} g(y)IK(x, dy)μ(dx) = ∫_{X} ∫_{Y} g(y)IK(x, dy)μ(dx)

mathematisch nicht sinnvoll ist im zugrundeliegenden maßtheoretischen Kalkül, auch nicht, wenn man noch die Integratoren IK(x, dy) und μ(dx) vertauscht. Im folgenden wird daher stets dieses Lemma benutzt, wenn bezüglich Maßen integriert werden soll, die selbst durch ein Integral erklärt sind.

Nun wird ein Transformiertenkalkül, zugeschnitten auf die gegebene Situation, vorgestellt. Den Anfang machen Transformierte von Maßen.

Definition 3.4 Sei μ : S ⊗ B̄^{m} → [0, ∞) ein endliches Maß. Dann definiert man die Transformierte μ̂ : L_{∞}(S, S) × iĪR^{m} → Ĉ durch

μ̂(f, it) := μ̂(it)f := ∫_{S×ĪR^{m}} f(y)e^{<it,z>}μ(dy × dz).

Wie durch die Notation bereits angedeutet ist, kann man μ̂(it) als Operator auffassen. Außerdem erkennt man auf dem ĪR^{m}-Teil des Maßes die herkömmliche Fourier-Transformation. Beachte jedoch, daß das Maß μ kein Produktmaß zu sein braucht, die Transformierte also im allgemeinen nicht in ein Tensorprodukt dieser beiden Komponenten faktorisiert.

Es sei ferner angemerkt, daß man auf (S, S) i. a. keine Exponentialfunktion o. ä. hat, die etwas wie einen Eindeutigkeitssatz für Fourier-Transformierte liefert. Um diesen zu bekommen (vgl. Satz 3.32), werden hier beliebige Funktionen f ∈ L_{∞}(S, S) als Argumente zugelassen. Diese Klasse kann in speziellen Situationen stark eingeschränkt werden. Während bei Euklidischem (S, S) komplexe Exponentialfunktionen ausreichen, kann man sich bei polnischem S mit Borelscher σ-Algebra S auf stetige beschränkte Funktionen mit kompaktem Träger beschränken (Riesz’scher Darstellungssatz). Im allgemeinen sind jedoch keine nennenswerten Einschränkungen möglich, da man ja gerade von der unhandlichen σ-additiven Mengenfunktion μ weg zu Objekten mit besseren analytischen Eigenschaften möchte. Diese sind in diesem Fall (lineare beschränkte) Operatoren. Für ein Maß ν auf (S, S) führt die analoge Definition der Transformierten offenbar einfach zu ν selbst, als Operator aufgefaßt.

Die Definition der Transformierten von Maßen erweitert sich kanonisch auf Kerne:

Definition 3.5 Sei IK : S × (S ⊗ B̄^{m}) → [0, 1] ein Kern. Dann definiert man den Operator ÎK(it) auf L_{∞}(S, S) durch

ÎK(it)f := ÎK(·, f, it) = ∫_{S×ĪR^{m}} f(y)e^{<it,z>}IK(·, dy × dz)

und bezeichnet ihn als Transformierte von IK.

Für die Kerne IP, G_{r}^{τ} und R_{r}^{τ} können wir die Transformierten auch anders darstellen.

Lemma 3.6 Für einen Markov Random Walk (M_{n}, S_{n})_{n≥0} und eine F-Stopzeit τ : (Ω, A) → (ĪN_{0}, P(ĪN_{0})) gelten

ÎP (it)f = E_{·} (f(M_{1})e^{<it,S_{1}>})
Ĝ_{r}^{τ}(it)f = E_{·} (r^{τ}f(M_{τ})e^{<it,S_{τ} >}1_{{τ<∞}})
R̂_{r}^{τ}(it)f = E_{·} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) .

Beweis: Die erste Darstellung ist offensichtlich, da IP (x, ·) die Verteilung von (M_{1}, S_{1}) unter P_{x} ist.

Die zweite Gleichung kann man als Anwendung von Lemma 3.3 sehen, indem man X = IN, Y = S × ĪR^{m}, μ({n}) = r^{n} und IK(n, C) = P_{x}((M_{n}, S_{n}) ∈ C, τ = n) setzt.

Wir schreiben nun den diskontierten Prä-τ-Okkupationskern als

R_{r}^{τ}(x, C) := E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}1_{C}(M_{n}, S_{n})) = E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}δ_{(M_{n},S_{n})}(C))

für alle C ∈ S ⊗ B̄^{m} und 0 ≤ r < 1.

Außerdem definieren wir einen Kern IK von (Ω, A) nach (S × ĪR^{m}, S ⊗ B̄^{m}) durch

IK(ω, C) = ∑_{n=0}^{τ(ω)−1} r^{n}δ_{(M_{n}(ω),S_{n}(ω))}(C).

Dann gilt offenbar für das Wahrscheinlichkeitsmaß μ = P_{x} auf (Ω, A)

ν(C) := R_{r}^{τ}(x, C) = ∫_{Ω} ∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}δ_{(M_{n},S_{n})}(C)dP_{x} = ∫_{Ω} IK(ω, C)μ(dω),

und Lemma 3.3 liefert für alle beschränkten g(y, z) = f(y)e^{<it,z>}

R̂_{r}^{τ}(it)f = ∫_{S×ĪR^{m}} f(y)e^{<it,z>}R_{r}^{τ}(·, dy × dz)
= E_{·} (∫_{S×ĪR^{m}} ∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}f(y)e^{<it,z>}δ_{(M_{n},S_{n})}(dy × dz))
= E_{·} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) .
□

Man kann die Abhängigkeit von r in Ĝ_{r}^{τ}(it)f nun ebenfalls als Transformation auffassen im Sinne der erzeugenden Funktion der ĪN_{0}-wertigen Zufallsgröße τ. In dieser Interpretation ist Ĝ^{τ} als Funktion von r, f und t einfach Transformierte von P^{(τ,M_{τ} ,S_{τ})}.

Lemma 3.7 Seien t ∈ IR und 0 ≤ r < 1 beliebig. Dann hat der Operator T̂_{r}(it) := Î(it) − rÎP (it), wobei Î(it) = id, die Inverse (T̂_{r}(it))^{−1}, definiert durch

((T̂_{r}(it))^{−1}f)(x) := E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) .

Beweis: Seien f ∈ L_{∞}(S, S) und x ∈ S beliebig. Dann gilt

(((T̂_{r}(it))^{−1} ∘ T̂_{r}(it))f)(x)

= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n} (f(M_{n}) − r(ÎP (it)f)(M_{n})) e^{<it,S_{n}>})
= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n} (f(M_{n}) − rE_{M_{n}} (f(M_{1})e^{<it,S_{1}>})) e^{<it,S_{n}>})
= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) − E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n+1}E_{M_{n}} (f(M_{1})e^{<it,S_{1}>}) e^{<it,S_{n}>})
= f(x) + ∑_{n=0}^{∞} r^{n+1}E_{x} (f(M_{n+1})e^{<it,S_{n+1}>} − E_{M_{n}} (f(M_{1})e^{<it,S_{1}>}) e^{<it,S_{n}>})
= f(x),

denn für alle n ∈ IN_{0} gilt

E_{x} (E_{M_{n}} (f(M_{1})e^{<it,S_{1}>}) e^{<it,S_{n}>})
= E_{x}(E_{x}(f(M_{n+1})e^{<it,X_{n+1}>}|F_{n})e^{<it,S_{n}>})
= E_{x}(E_{x}(f(M_{n+1})e^{<it,S_{n+1}>}|F_{n}))
= E_{x} (f(M_{n+1})e^{<it,S_{n+1}>}) .

Ähnlich sieht man nun auch

((T̂_{r}(it) ∘ (T̂_{r}(it))^{−1})f)(x)
= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>})

−r ∫_{S×ĪR^{m}} E_{y} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) e^{<it,z>}IP (x, dy × dz)

= f(x) + ∑_{n=0}^{∞} r^{n+1} (E_{x} (f(M_{n+1})e^{<it,S_{n+1}>})

−E_{x} (E_{x} (f(M_{n+1})e^{<it,S_{n+1}−X_{1}>}| F_{1}) e^{<it,X_{1}>}))

= f(x),

was den Beweis vollendet. □

Wir schließen diesen Abschnitt mit

Satz 3.8 Es gilt für alle 0 ≤ r < 1 und t ∈ IR

R̂_{r}^{τ}(it) ∘ (Î− rÎP (it)) = Î− Ĝ_{r}^{τ}(it)

Beweis: Die Beweisidee entnehmen wir Arjas und Speed [6].

Die Operatorengleichheit wird argumentweise, also für jedes f ∈ L_{∞}(S, S) gezeigt. Zudem wird die dann zu bestimmende Funktionengleichheit elementeweise gezeigt, also für alle x ∈ S. Sei T̂_{r} wie im vorangegangen Lemma definiert. Ferner existieren die folgenden Summen und Integrale für alle 0 ≤ r < 1.

(((T̂_{r}(it))^{−1} − R̂_{r}^{τ}(it)) f) (x)
= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}) − E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>})
= E_{x} (∑_{n=0}^{∞} r^{τ+n}f(M_{τ+n})e^{<it,S_{τ+n}>})
= E_{x} (E (∑_{n=0}^{∞} r^{τ+n}f(M_{τ+n})e^{<it,S_{τ+n}>}| F_{τ}))
= E_{x} (r^{τ}e^{<it,S_{τ} >}E (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{τ+n})e^{<it,S_{τ+n}−S_{τ} >}| F_{τ}))
= E_{x} (r^{τ}e^{<it,S_{τ} >}E_{M_{τ}} (∑_{n=0}^{∞} r^{n}f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}))
= E_{x} (r^{τ}e^{<it,S_{τ} >}((T̂_{r}(it))^{−1}f)(M_{τ}))
= ((Ĝ_{r}^{τ}(it) ∘ (T̂_{r}(it))^{−1}) f) (x),

so daß die Behauptung durch Verkettung mit T̂_{r}(it) folgt, da

T̂_{r}^{−1} − R̂_{r}^{τ} = Ĝ_{r}^{τ} ∘ T̂_{r}^{−1} ⇒ Î− R̂_{r}^{τ} ∘ T̂_{r} = Ĝ_{r}^{τ} ⇒ R̂_{r}^{τ} ∘ T̂_{r} = Î− Ĝ_{r}^{τ}.
□

Dieser Satz ist eine diskontierte und transformierte Version der Pitman-Gleichung (Lemma 2.22), adaptiert auf den Markov-Random-Walk-Fall. Um die beiden Resultate zu identifizieren, sollte man die Summanden in Lemma 2.22 umsortieren und R^{<} ausklammern. Schließlich wähle man im obigen Satz formal r = 1 und τ = τ^{<}. Somit ist gewissermaßen das erste Drittel des Weges zur Wiener-Hopf-Faktorisierung geschafft. Man beachte, daß dieses Resultat nicht der geringsten Einschränkung an den Markov Random Walk bedurfte und wir sogar die Stopzeit beliebig wählen dürfen.

3.2 Dualität und stationäre Zeitumkehr von Markov Random Walks

Zunächst erweitern wir die Definition eines stationären Maßes.

Definition 3.9 (Exzessivität) Sei K : S × S → [0, 1] ein stochastischer Kern. Ein σ-endliches Maß μ auf S heißt K-exzessiv, wenn μK ≤ μ, d. h.

∫_{S} K(x, A)μ(dx) ≤ μ(A), A ∈ S.

Gilt stets sogar die Gleichheit, so erhält man offenbar die Definition eines stationären Maßes.

Anschaulich gesprochen bedeutet die echte Ungleichung, daß der Kern K Masse nach unendlich schiebt, sozusagen verschwendet, um der Begriffsbildung exzessiv zu folgen. Adaptiert man nämlich die wahrscheinlichkeitstheoretische Schreibweise auf σ-endliche Maße, so bedeutet Exzessivität für den Übergangskern K einer Markov-Kette M mit Anfangsmaß μ gerade P_{μ}(M_{1} ∈ A) ≤ P_{μ}(M_{0} ∈ A) für alle A ∈ S. Dies ermöglicht bei einem stochastischen Kern K offensichtlich nur dann eine echte Ungleichung, wenn das Maß μ unendlich ist, denn ansonsten führt die Betrachtung des Komplements der Menge A, für die die echte Ungleichung gilt, zum Widerspruch zur Exzessivität.

Wir verdeutlichen das Konzept der Exzessivität noch weiter durch ein einfaches Beispiel:

Beispiel 3.10 Betrachte S = ZZ, μ = λλ_{1} := ∑_{n∈ZZ} δ_{n} und K(x, ·) := pδ_{f(x)} + (1 − p)δ_{g(x)} für alle x ∈ ZZ, ein p ∈ (0, 1) und injektive Funktionen f, g : ZZ → ZZ. Dann gilt

∫_{ZZ} K(x, A)λλ_{1}(dx) = pλλ_{1}(f^{−1}(A)) + (1 − p)λλ_{1}(g^{−1}(A)) ≤ λλ_{1}(A), A ⊂ ZZ,

also K-Exzessivität von μ. Wenn keine Injektivität vorliegt, haben f^{−1}(A) oder g^{−1}(A) teilweise mehr Elemente als A selbst. Daher hat man i. a. keine Exzessivität.

Um nun über die Exzessivität hinaus sogar Stationarität zu erhalten, muß bei der Ungleichung stets Gleichheit gelten, d. h. f und g müssen bijektiv sein. λλ_{1} ist i. a. nicht das einzige stationäre Maß. Falls etwa f und g, auf ein Kompaktum C ⊂ ZZ eingeschränkt, Bijektionen sind, so existiert auf K sogar (mindestens) eine stationäre Verteilung.

Betrachten wir nun den nicht surjektiven Fall, in dem also keine Stationarität vorliegt, so gibt es etwa für f ein x ∈ ZZ, das nicht als Bild vorkommt. Daher kann kein Kompaktum, das x enthält, in sich abgebildet werden. Betrachtet man speziell {−n, …, n} für n ≥ |x|, so bedeutet dies, daß λλ_{1}-Masse von K aus diesen Kompakta herausgeschoben wird, also nach ∞ fließt.

Definition 3.11 (duale Prozesse) Sei ν ein σ-endliches Maß auf (S, S). Dann heißen zwei Markov Random Walks (M_{n}, S_{n})_{n≥0} und (M_{n}^{∗}, S_{n}^{∗})_{n≥0} dual bezüglich ν, wenn

1. für alle x ∈ S IP_{M}(x, ·) << ν und IP_{M^{∗}}^{∗}(x, ·) << ν,

2. ν IP_{M}- und IP_{M^{∗}}^{∗}-exzessiv ist und

3. für alle B ∈ B̄^{m}, f, g : (S, S) → ([0, ∞], B̄|_{[0,∞]}) gilt

< f, IP (B)g >=< IP^{∗}(−B)f, g >,

wobei < f, g >:= ∫_{S} f(x)g(x)ν(dx). Man nennt auch IP und IP^{∗} dual bezüglich ν.

Es gilt die Eindeutigkeitsaussage

Lemma 3.12 Ist ein Kern IP sowohl zu einem Kern IP^{∗}, als auch zu einem Kern IP^{−} dual, so gilt bereits IP^{∗}(B)f = IP^{−}(B)f ν-f.s. für alle B ∈ B̄^{m} und f : (S, S) → ([0, ∞], B̄|_{[0,∞]}).

Beweis: Man beachte, daß < ·, · > auf L_{2}(S, S, ν) modulo Unterschiede auf ν-Null-mengen ein Skalarprodukt ist. Die Gleichheit 3. der Definition 3.11 gilt auch für alle f, g ∈ L_{2}(S, S, ν). Dies sieht man leicht durch Zerlegung in Real- und Imaginärund je Positiv- und Negativteil. Wegen der Exzessivitätseigenschaft 2. hat man hier sogar Gleichheiten endlicher Werte. Diese Integrierbarkeiten kann man entweder direkt nachrechnen oder aus dem Lemma 3.19 des nächsten Abschnitts folgern.

Die Eindeutigkeit erhält man aus der Nichtausgeartetheit des Skalarproduktes, denn es ist dann wegen der Gleichheiten 3. der Definition (IP^{∗}(B) − IP^{−}(B))f = 0 ν-f.s. für alle B ∈ B̄^{m} und f ∈ L_{2}(S, S, ν). Diese Gleichheit IP^{∗}(B)f = IP^{−}(B)f ν-f.s. gilt auch für alle f : (S, S) → ([0, ∞], B̄|_{[0,∞]}), da wegen der σ-Endlichkeit von ν jede derartige Funktion monoton approximierbar ist durch Funktionen f_{n} ∈ L_{2}(S, S, ν). □

Die Dualität von Markov Random Walks ist nur an ihre Übergangskerne geknüpft. Man erhält daher natürlich im Falle der Existenz nur eine Eindeutigkeit der Verteilung eines dualen Prozesses. In Spezialfällen kann man jedoch einen konkreten Prozeß auszeichnen, siehe etwa Definition 3.15 in Verbindung mit Satz 3.17.

Im verbleibenden Teil dieses Abschnitts betten wir das Konzept der stationären Zeitumkehr in gewisser Weise in dieses Dualitätskonzept ein, um die abstrakte Dualität zu veranschaulichen.

Definition 3.13 Gegeben sei eine doppelt unendliche irreduzible und positiv rekurrente, unter P stationäre Markov-Kette M = (M_{n})_{n∈ZZ} auf einem abzählbaren Zustandsraum S mit stationärer Verteilung ξ (Zähldichte λ) und Übergangskern IP_{M}. Außerdem sei X = (X_{n})_{n∈ZZ} eine doppelt unendliche Folge von Zufallsvektoren mit Werten in (ĪR^{m}, B̄^{m}), so daß

P^{X|M} = ⨂_{n∈ZZ} P^{X_{n}|M_{n−1},M_{n}}.

Dann definiert man den doppelt unendlichen Markov Random Walk (M_{n}, S_{n})_{n∈ZZ} durch

S_{−n} := −(X_{0} + … + X_{−(n−1)}), S_{0} := 0, S_{n} := X_{1} + … + X_{n}, n ∈ IN.

Solche doppelt unendlichen Folgen existieren stets nach dem Konsistenzsatz von Kolmogorov, da alle endlich dimensionalen Randverteilungen durch ξ und IP eindeutig und wegen der IP -Stationarität von ξ konsistent festgelegt sind.

Lemma 3.14 Es sei in der Situation von Definition 3.13 (M̃_{n}, X̃_{n})_{n∈ZZ} gegeben durch

M̃_{n} := M_{−n}, X̃_{n+1} := −X_{−n}, n ∈ ZZ.

Setzen wir nun S̃_{n} := S_{−n}, n ∈ ZZ, so bildet (M̃_{n}, S̃_{n})_{n∈ZZ} einen doppelt unendlichen Markov Random Walk mit Zuwächsen (X̃_{n})_{n∈ZZ}.

Beweis: Bekanntlich bildet M̃ = (M̃_{n})_{n∈ZZ} unter P ebenfalls eine doppelt unendliche irreduzible und positiv rekurrente stationäre Markov-Kette. Für ihren Übergangskern ĨP M̃ gilt, etwa nach [4], Satz 12.1.,

ĨP M̃(i, \{j\}) = \frac{λ_{j}}{λ_{i}} IP_{M}(j, \{i\})

für alle i, j ∈ S. Nun gilt

P^{X̃|M̃=(i_{n})_{n∈ZZ}} = ⨂_{n∈ZZ} P^{−X_{−(n−1)}|M_{−n}=i_{n},M_{−(n−1)}=i_{n−1}}
= ⨂_{n∈ZZ} P^{X̃_{n}|M̃_{n−1}=i_{n−1},M̃_{n}=i_{n}},

woraus die Behauptung folgt, da diese Eigenschaften gemäß Satz VIII.1.3. in [4] die Verteilung eines Markov Random Walk charakterisieren. □

Definition 3.15 (stationäre Zeitumkehr) In der Situation von Definition 3.13 und Lemma 3.14 bezeichnet man (M̃_{n}, X̃_{n})_{n∈ZZ} als stationäre Zeitumkehr der Markovmodulierten Folge (M_{n}, X_{n})_{n∈ZZ} und (M̃_{n}, S̃_{n})_{n∈ZZ} als stationäre Zeitumkehr des Markov Random Walk (M_{n}, S_{n})_{n∈ZZ}.

Man definiert die Zeitumkehr mit negativem Vorzeichen, da die Interpretation die ist, denselben Markov Random Walk in umgekehrter Richtung zu durchlaufen. Hierdurch wird jedoch die Zuwachsverteilung gespiegelt.

Lemma 3.16 Sei (M_{n}, S_{n})_{n∈ZZ} ein doppelt unendlicher Markov Random Walk mit stationärer Zeitumkehr (M̃_{n}, S̃_{n})_{n∈ZZ}. Seien IK(i, j, B) := P (X_{1} ∈ B|M_{0} = i, M_{1} = j) und IP (i, {j} × B) := P (M_{1} = j, X_{1} ∈ B|M_{0} = i) für alle i, j ∈ S und B ∈ B̄^{m}, analog auch ĨK und ĨP. Dann gilt

ĨK(i, j, B) = IK(j, i, −B)

und

ĨP (i, \{j\} × B) = \frac{λ_{j}}{λ_{i}} IP (j, \{i\} × (−B)).  (3.1)

Beweis: Es gilt für alle i, j ∈ S und B ∈ B̄^{m}

ĨK(i, j, B) = P (X̃_{1} ∈ B|M̃_{0} = i, M̃_{1} = j)
= P (X_{0} ∈ (−B)|M_{−1} = j, M_{0} = i) = IK(j, i, −B)

und

ĨP (i, {j} × B) = ĨK(i, j, B)ĨP M̃(i, {j})
= IK(j, i, −B)\frac{λ_{j}}{λ_{i}} IP_{M}(j, \{i\}) = \frac{λ_{j}}{λ_{i}} IP (j, \{i\} × (−B)).
□

Satz 3.17 Ein Markov Random Walk mit positiv rekurrenter diskreter Steuerkette ist zu seiner stationären Zeitumkehr dual.

Beweis: Die Voraussetzungen für die Definition der Dualität sind offenbar erfüllt.

Ebenso gilt die erste Bedingung, da eine stationäre Verteilung einer irreduziblen und positiv rekurrenten Markov-Kette jedem Element des diskreten Grundraums positive Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Die zweite Bedingung gilt sogar mit Gleichheit, da ξ stationäre Verteilung sowohl von M also auch von M̃ ist.

Die dritte Bedingung rechnet man nach:

< f, IP (B)g > = ∑_{i∈S} f(i)(IP (B)g)(i)λ_{i}
= ∑_{i∈S} f(i) ∑_{j∈S} g(j)IP (i, {j} × B)λ_{i}
=_{(3.1)} ∑_{i∈S} ∑_{j∈S} f(i)g(j)\frac{λ_{j}}{λ_{i}} ĨP (j, \{i\} × (−B))λ_{i}

=_{T onelli} ∑_{j∈S} g(j) ∑_{i∈S} f(i)ĨP (j, {i} × (−B))λ_{j}
= ∑_{j∈S} g(j)(ĨP (−B)f)(j)λ_{j}
= < ĨP (−B)f, g >

für alle B ∈ B̄^{m} und f, g : S → [0, ∞]. □

Um sowohl den Ausgangsprozeß, als auch seine stationäre Zeitumkehr auf der kanonischen Zeitmenge IN_{0} betrachten zu können, benötigt man offenbar die oben eingeführten doppelt unendlichen Prozesse. Da Dualität von Prozessen wie auch stationäre Zeitumkehr durch Bedingungen an den Einschritt-Übergangskern beschrieben sind, kann man auch auf endlichen Zeitbereichen (ein Schritt genügt) umkehren und den dualen Übergangskern identifizieren.

Der Satz kann dann verallgemeinert werden, wenn eine nichtstationäre Zeitumkehr zeitlich homogen ist. Vergleiche hierzu Nagasawa [16] und seine weiteren Verweise. Bekanntlich ist dies bei festen Umkehrzeitpunkten nicht möglich. Man muß daher zu geeigneten stochastischen Zeiten umkehren, etwa beim letzten Verlassen einer Menge für transiente Markov-Ketten.

3.3 Kontraktionen und operatorwertige Maße bei Markov Random Walks

Definition 3.18 (Kontraktion) Sei T eine Menge und (V, ∥ · ∥) ein normierter C − V ektorraum. Eine Abbildung K : V → V heißt Kontraktion, wenn für alle f ∈ V ∥Kf∥ ≤ ∥f∥. Man bezeichnet diese Abbildung als streng kontrahierend, wenn (außer für f = 0) stets die strikte Ungleichung gilt.

Zunächst erhält man

Lemma 3.19 Für jedes p ∈ [1, ∞] und B ∈ B̄^{m} ist IP (B) eine lineare Kontraktion auf (L_{p}(S, S, ν), ∥ · ∥_{p}).

Beweis: Die IP_{M}-Exzessivität von ν besagt

(νIP_{M})(A) ≤ ν(A), A ∈ S,

also für jedes g : (S, S) → ([0, ∞], B̄|_{[0,∞]}) mithilfe von Lemma 3.3

∫_{S} ∫_{S} g(x)IP_{M}(y, dx)ν(dy) = ∫_{S} g(x)(νIP_{M})(dx) ≤ ∫_{S} g(x)ν(dx).

Somit gilt wegen IP (B) ≤ IP (ĪR^{m}) = IP_{M}

∫_{S}(IP (B)g)(y)ν(dy) ≤ ∫_{S} ∫_{S} g(x)IP_{M}(y, dx)ν(dy) ≤ ∫_{S} g(x)ν(dx).  (3.2)

Nun erhält man speziell für g := |f|^{p} und c(y) := IP (y, S × B) ∈ [0, 1]

∥IP (B)f∥_{p}^{p} = ∫_{S} |(IP (B)f)(y)|^{p} ν(dy)
= ∫_{S} |∫_{S} f(x)IP (y, dx × B)|^{p} ν(dy)
= ∫_{S} |∫_{S} f(x)\frac{IP (y, dx × B)}{c(y)}|^{p} (c(y))^{p}ν(dy)
≤_{Jensen} ∫_{S} ∫_{S} |f(x)|^{p} \frac{IP (y, dx × B)}{c(y)}(c(y))^{p}ν(dy)

≤_{c(y)≤1} ∫_{S} ∫_{S} g(x)IP (y, dx × B)ν(dy)

≤_{(3.2)} ∫_{S} g(x)ν(dx)
= ∥f∥_{p}^{p}

für alle f ∈ L_{p}(S, S, ν). Hierbei sind für c(y) = 0 die Zeilen mit c(y) im Nenner so zu lesen, daß der Integrand des äußeren Integrals wie zuvor 0 ist und die beiden ersten Abschätzungen daher trivialerweise gelten.

Es folgt die Kontraktionseigenschaft.

Die Linearität ist trivial. □

Insbesondere kann IP (B) als Operator auf L_{p}(S, S, ν) aufgefaßt werden, was wir bereits in Satz 3.12 benutzt haben.

Der Beweis des Lemmas gibt bereits im wesentlichen die nötige Argumentation für die entsprechende Transformiertenaussage

Korollar 3.20 ÎP (it) ist für jedes p ∈ [1, ∞] und t ∈ IR eine lineare Kontraktion auf L_{p}(S, S, ν).

Beweis: Man führe die letzte Rechnung des Beweises des Lemmas erneut durch, wobei nun ein weiteres Integral die Fourier-Transformation ausführt. Da die Exponentialfunktion für imaginäre Argumente nur Werte auf dem Einheitskreisrand annimmt, funktioniert dasselbe Argument. □

Als weitere Folgerung halten wir fest, daß rÎP (it) für alle 0 ≤ r < 1 streng kontrahierend. Nach dem Fixpunktsatz von Banach existiert genau ein Fixpunkt, der offensichtlich f = 0 lautet.

Lemma 3.21 IP^{∗}(−B) auf L_{p}(S, S, ν) ist die Adjungierte von IP (B) auf L_{q}(S, S, ν) für alle p, q ∈ [1, ∞] mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Beweis: Die Skalarprodukte sind erklärt, da für f ∈ L_{p}(S, S, ν) und g ∈ L_{q}(S, S, ν) nach der Hölder-Ungleichung fg ∈ L_{1}(S, S, ν) und da IP (B) und IP^{∗}(−B) lineare Kontraktionen sind.

Zerlegt man nun f und g in Positiv- und Negativteil, so ergibt sich die Behauptung aus der Definition der Dualität von IP und IP^{∗} sowie der Linearität von IP (B) und IP^{∗}(−B). □

Definition 3.22 Zwei kontraktionswertige Mengenfunktionen K und K^{∗} auf B̄^{m} heißen adjungiert, wenn < f, K(B)g > = < K^{∗}(−B)f, g > für alle f, g : (S, S) → ([0, ∞], B̄|_{[0,∞]}) und B ∈ B̄^{m}.

Eine nichtnegative kontraktionswertige Mengenfunktion heißt monoton, falls K(B)f ≤ K(B)g für alle f ≤ g.

Die Monotonie der kontraktionswertigen Mengenfunktion ist eigentlich eine Eigenschaft des Bildbereiches dieser Mengenfunktion. Wir haben diese Bezeichnung wegen ihrer Kürze der präziseren Bezeichnung ’nichtnegative Mengenfunktion mit Werten in der Klasse der monotonen Kontraktionen’ vorgezogen.

Nach dem zuvor gezeigten sind IP und IP^{∗} adjungiert.

Lemma 3.23 Zu jeder nichtnegativen, monotonen kontraktionswertigen Mengenfunktion K existiert eine Adjungierte K^{∗}.

Beweis: Zunächst existiert im Hilbertraum L_{2}(S, S, ν) für jedes B ∈ B̄^{m} eine eindeutige Adjungierte zu K(B). Diese Adjungierte operiert nun auch auf den nichtnegativen Funktionen, da man diese in L_{2} monoton approximieren kann. Die Nichtnegativität von K garantiert den Wertebereich, die Monotonie überträgt die monotone Approximation auf den Wertebereich. □

Natürlich gilt die Eindeutigkeitsaussage aus Lemma 3.12 auch für beliebige kontraktionswertige Mengenfunktionen.

Diese Ergebnisse für kontraktionswertige Maße lassen sich einfach erweitern auf eine größere Klasse, die nun eingeführt wird.

Definition 3.24 Eine Mengenfunktion K auf B̄^{m} heißt operatorwertiges Maß, wenn K(B) für alle B ∈ B̄^{m} ein linearer Operator auf allen L_{p}(S, S, ν), p ∈ [1, ∞], ist und für alle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, f ∈ L_{p}(S, S, ν) und g ∈ L_{q}(S, S, ν) die Funktion B ↦< f, K(B)g > σ-additiv ist.

Man erklärt dann stets den zugehörigen Kern, indem man für x ∈ S, A ∈ S und B ∈ B̄^{m} K(x, A × B) := (K(B)1_{A})(x) definiert (und dies eindeutig von Rechteckmengen nach S ⊗ B̄^{m} fortsetzt).

Ein operatorwertiges Maß K heißt beschränkt, wenn der zugehörige Kern beschränkt ist, d. h. eine gleichmäßig beschränkte Gesamtmasse hat.

Man beachte, daß die Beschränktheit von K eine stärkere Bedingung ist, als nur zu verlangen, daß K(x, ·) für alle x ∈ S ein endliches Maß ist. Die Kerne kontraktionswertiger Mengenfunktionen sind durch 1 beschränkt.

Lemma 3.25 IP, G_{r}^{τ} und R_{r}^{τ} sind operatorwertige Maße.

Beweis: Es gilt für alle f ∈ L_{p}(S, S, ν), g ∈ L_{q}(S, S, ν) und jede Folge disjunkter B_{j} ∈ B̄^{m}, j ≥ 0,

< f, IP (∑_{j≥0} B_{j}) g > = ∫_{S} f(x) (IP (∑_{j≥0} B_{j}) g) (x)ν(dx)
= ∫_{S} f(x) ∫_{S} g(y)IP (x, dy × ∑_{j≥0} B_{j}) ν(dx)
=_{IP Kern} ∫_{S} f(x) ∫_{S} g(y) ∑_{j≥0} IP (x, dy × B_{j})ν(dx)

= ∫_{S} f(x) ∑_{j≥0} ∫_{S} g(y)IP (x, dy × B_{j})ν(dx)
= ∑_{j≥0} ∫_{S} f(x) ∫_{S} g(y)IP (x, dy × B_{j})ν(dx)
= ∑_{j≥0} < f, IP (B_{j})g >,

< f, R_{r}^{τ} (∑_{j≥0} B_{j}) g > = ∫_{S} f(x) (R_{r}^{τ} (∑_{j≥0} B_{j}) g) (x)ν(dx)

= ∫_{S} f(x)E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}1_{∑_{j≥0} B_{j}}(S_{n})g(M_{n})) ν(dx)
= ∫_{S} f(x)E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n} ∑_{j≥0} 1_{B_{j}}(S_{n})g(M_{n})) ν(dx)

= ∫_{S} f(x) ∑_{j≥0} E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}1_{B_{j}}(S_{n})g(M_{n})) ν(dx)

= ∑_{j≥0} ∫_{S} f(x)E_{x} (∑_{n=0}^{τ−1} r^{n}1_{B_{j}}(S_{n})g(M_{n})) ν(dx)

= ∑_{j≥0} < f, R_{r}^{τ}(B_{j})g >

und

< f, G_{r}^{τ} (∑_{j≥0} B_{j}) g > = ∫_{S} f(x) (G_{r}^{τ} (∑_{j≥0} B_{j}) g) (x)ν(dx)
= ∫_{S} f(x)E_{x} (g(M_{τ})1_{∑_{j≥0} B_{j}}(S_{τ})1_{{τ<∞}}) ν(dx)
= ∫_{S} f(x)E_{x} (g(M_{τ}) ∑_{j≥0} 1_{B_{j}}(S_{τ})1_{{τ<∞}}) ν(dx)
= ∫_{S} f(x) ∑_{j≥0} E_{x} (g(M_{τ})1_{B_{j}}(S_{τ})1_{{τ<∞}}) ν(dx)
= ∑_{j≥0} ∫_{S} f(x)E_{x} (g(M_{τ})1_{B_{j}}(S_{τ})1_{{τ<∞}}) ν(dx)
= ∑_{j≥0} < f, G_{r}^{τ}(B_{j})g >

Daß man stets vertauschen darf, sieht man durch Zerlegung von f und g in Positivund Negativteil. □ Lemma 3.26 Ist K ein beschränktes operatorwertiges Maß, so ist die Adjungierte K^{∗} erklärt. Beweis: Dies folgt sofort aus Lemma 3.23, da man K zu einer kontraktionswertigen Mengenfunktion normieren kann. □ Korollar 3.27 Es existieren die Adjungierten zu R_{r}^{τ} und G_{r}^{τ} für alle 0 ≤ r < 1. Beweis: Dies folgt aus dem vorangegangenen Lemma, da die Kerne beschränkt sind, denn sie sind lediglich mit 0 ≤ r < 1 diskontierte Summen substochastischer Kerne.

□

G_{r}^{τ} ist in der Tat nicht nur beschränkt. Lemma 3.28 G_{r}^{τ} ist eine kontraktionswertige Mengenfunktion, die auf L_{∞}(S, S) operiert. Die Kontraktionen sind für r < 1 streng kontrahierend, wenn nicht τ ≡ 0. Beweis: Man rechnet nach

||G_{r}^{τ}(B)f||_{∞} = sup_{x∈S} |∫_{S} f(y)G_{r}^{τ}(x, dy × B)|
≤ sup_{x∈S} |∫_{S} ||f||_{∞}G_{r}^{τ}(x, dy × ĪR^{m})|
≤ d||f||_{∞} < ||f||_{∞}

für ein d < 1 da ansonsten τ ≡ 0. □

Korollar 3.29 Ĝ_{r}^{τ}(it) ist streng kontrahierend für alle τ ≢ 0 und t ∈ IR.

Beweis: Völlig analog zum Lemma. □

Nach diesen Vorarbeiten kommen wir nun zu den für uns wichtigsten Resultaten des Transformiertenkalküls, der Eindeutigkeitssatz und der Multiplikationssatz. Hierfür erweitern wir die Definition der Faltung zweier Übergangskerne und die Definition 3.5 der Transformierten eines Übergangskerns auf operatorwertige Maße.

Definition 3.30 Die Faltung zweier operatorwertiger Maße K und L auf B̄^{m} sei definiert durch

((K ∗ L(B))f)(x) := ∫_{S×ĪR^{m}}((L(B − t))f)(y)K(x, dy × dt).

Definition 3.31 Man definiert die Transformierte eines operatorwertigen Maßes K als operatorwertige Funktion K̂ auf iĪR^{m} durch

(K̂(it)f)(x) := ∫_{S×ĪR^{m}} e^{<it,z>}f(y)K(x, dy × dz).

Insbesondere sind R̂_{r}^{τ} und Ĝ_{r}^{τ} Transformierte in diesem Sinne.

Satz 3.32 (Eindeutigkeitssatz für Transformierte) Sind K und L zwei beschränkte operatorwertige Maße mit Transformierten K̂ = L̂, so gilt bereits

(K(B)f)(x) = (L(B)f)(x) für alle B ∈ B̄^{m}, f ∈ L_{∞}(S, S)und x ∈ S

Beweis: Für jedes A ∈ S ist f = 1_{A} ∈ L_{∞}(S, S). Man hat also nach Voraussetzung

∫_{ĪR_{m}} e^{<it,z>}K(x, A × dz) = ∫_{ĪR_{m}} e^{<it,z>}L(x, A × dz)

für alle t ∈ IR, was nach dem Eindeutigkeitssatz für Fourier-Transformierte bereits K(x, A × B) = L(x, A × B) impliziert. Ein gewöhnliches Funktionserweiterungsargument vollendet den Beweis. □

Satz 3.33 (Multiplikationssatz) Sind K und L zwei operatorwertige Maße mit Transformierten K̂ und L̂, so hat K ∗ L die Transformierte K̂ ∘ L̂ mit

(K̂ ∘ L̂(it)f)(x) := ((K̂(it) ∘ L̂(it))f)(x),

diese entsteht also durch Hintereinanderschaltung der Operatoren.

Beweis: Es gilt zunächst

L̂(it)f = ∫_{S×ĪR^{m}} e^{<it,z>}f(y)L(·, dy × dz)

und daher

((K̂ ∘ L̂)(it)f)(x) = ((K̂(it) ∘ L̂(it))f)(x)
= ∫_{ĪR^{m}×S} e^{<it,ζ>} ∫_{ĪR^{m}×S} e^{<it,z>}L(η, dy × dz)K(x, dη × dζ)
=_{s:=z+ζ} ∫_{ĪR^{m}×S} ∫_{ĪR^{m}×S} e^{<it,s>}f(y)L(η, dy × (ds − ζ)K(x, dη × dζ)

= ∫_{ĪR^{m}×S} e^{<it,s>}f(y)(K ∗ L)(x, dy × ds)
= (K̂ ∗ L(it)f)(x).
□

Zusammen mit dem Eindeutigkeitssatz 3.32 ermöglicht dies eine Übersetzung von Satz 3.8 von einer Transformiertengleichung in eine Gleichung von Kernen:

Korollar 3.34 (Pitman-Gleichung) Für jede F-Stopzeit τ und alle 0 ≤ r ≤ 1 ist

R_{r}^{τ} + G_{r}^{τ} = I + R_{r}^{τ} ∗ (rIP).

Beweis: Es ist lediglich anzumerken, daß der Grenzwert r ↑ 1 nach der Inversion in dieser Form mit monotoner Konvergenz gebildet werden kann. □

Definition 3.35 Alle Transformierten von operatorwertigen Maßen faßt man im Raum C zusammen.

Lemma 3.36 C ist eine C-Algebra.

Beweis: 1. Die Linearität der Zuordnung ˆ ist klar, da Summe und skalares Vielfaches von operatorwertigen Maßen argumentweise erklärt sind.

2. Die Multiplikativität (Hintereinanderschaltung der Operatoren) ist Inhalt des Multiplikationssatzes 3.33

3. Das neutrale Element der Multiplikation ist die Transformierte von I mit

I(x, A × B) := δ_{x}(A)δ_{0}(B),

also

(I(B)f)(x) = ∫_{S} f(y)I(x, dy × B) = δ_{0}(B)f(x),

denn dann ist

(Î(it)f)(x) = ∫_{S×ĪR^{m}} e^{<it,z>}f(y)I(x, dy × dz)(x) = f(x).

4. Die Assoziativgesetze gelten offenbar wegen 1. □

Abschließend geben wir noch Verträglichkeiten von Faltung und Transformiertenbildung mit dem Dualitätsoperator.

Lemma 3.37 Für zwei beschränkte operatorwertige Maße K und L gilt (K ∗ L)^{∗} = L^{∗} ∗ K^{∗}.

Beweis: Der Beweis gliedert sich in vier Schritte.

1. Man definiere zunächst zu jedem f ∈ L_{p}(S, S, ν) ein Maß μ_{f} auf S ⊗ B̄^{m}, indem auf Rechteckmengen A × B ∈ S ⊗ B̄^{m}

μ_{f}(A × B) = < f, K(·, A × B) >=< f, K(B)1_{A} >=< K^{∗}(−B)f, 1_{A} >
= ∫_{S} ∫_{S} f(y)δ_{x}(A)K^{∗}(x, dy × (−B))ν(dx)

festgelegt und eindeutig erweitert wird. Die Umformungen ergeben zwei Formeln, bezüglich μ_{f} zu integieren. Der Indikatorfall h = 1_{A×B} reduziert sich sofort auf eben diese Gleichheiten. Mittels einem gewöhnlichen Funktionserweiterungsargument sieht man, daß für alle h ∈ L(S × ĪR^{m}, S ⊗ B̄^{m}, μ_{f})

∫_{S×ĪR^{m}} h(η, ζ)μ_{f}(dη × dζ) = < f, ∫_{S×ĪR^{m}} h(η, ζ)K(·, dη × dζ) >
= ∫_{S} ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} h(η, ζ)f(y)δ_{x}(dη)K^{∗}(x, dy × (−dζ))ν(dx)
= ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} h(x, ζ)f(y)K^{∗}(x, dy × (−dζ))ν(dx)

wo für die letzte Gleichheit lediglich das triviale Integral bezüglich δ_{x} gelöst wurde. 2. Völlig analog zu 1. sieht man, daß man für alle g ∈ L_{q}(S, S, ν) bezüglich

μ_{g}(A × B) = < L^{∗}(·, A × B), g >=< L^{∗}(B)1_{A}, g >=< 1_{A}, L(−B)g >
= ∫_{S} ∫_{S} g(s)δ_{x}(A)L(x, ds × (−B))ν(dx)

folgendermaßen integrieren kann:

∫_{S×ĪR^{m}} h(η, ζ)μ_{g}(dη × dζ) = < ∫_{S×ĪR^{m}} h(η, ζ)L^{∗}(·, dη × dζ), g >
= ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} h(x, ζ)g(s)L(x, ds × (−dζ))ν(dx)

für alle h ∈ L(S × ĪR^{m}, S ⊗ B̄^{m}, μ_{g}).

3. Für festes x ∈ S, C ∈ S und A ∈ S sind die Funktionen μ_{C} = K^{∗}(x, C × ·) und μ_{A} = L(x, A × ·) komplexwertige Maße auf (ĪR^{m}, B̄^{m}). Da das Faltungsprodukt solcher Maße kommutativ ist, gilt

∫_{ĪR_{m}} μ_{A}(B−ζ)μ_{C}(−dζ) = (μ_{A}∗^{−}μ_{C})(B) = (μ_{C}∗^{−}μ_{A})(−B) = ∫_{ĪR_{m}} μ_{C}(−B−ζ)μ_{A}(−dζ), wobei ^{−}μ das gespiegelte Maß ^{−}μ(B) := μ(−B) bezeichnet und die Spiegelung eines Faltungsproduktes offenbar das Faltungsprodukt der Spiegelungen ist. Man prüft leicht nach, daß dieser Faltungsausdruck als Funktion von x, A und C die Eigenschaften eines (komplexwertigen) Kernes von (S, S) nach (S^{2}, S^{2}) besitzt. Dieser Kern sei mit IF bezeichnet. Für jedes x ∈ S kann bezüglich des Maßes IF (x, ·) folgendermaßen integriert werden:

∫_{S} ∫_{S} f(y)g(s)IF (x, ds × dy)
= ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} ∫_{S} g(s)L(x, ds × (B − ζ))f(y)K^{∗}(x, dy × (−dζ))
= ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} ∫_{S} f(y)K^{∗}(x, dy × (−B − ζ))g(s)L(x, ds × (−dζ)),

wie wiederum ein gewöhnliches Funktionserweiterungsargument zeigt.

4. Nun erhält man für alle B ∈ B̄^{m}, f ∈ L_{p}(S, S, ν) und g ∈ L_{q}(S, S, ν)

< (L^{∗} ∗ K^{∗})(−B)f, g >

=< ∫_{S×ĪR^{m}}(K^{∗}(−B − ζ)f)(η)L^{∗}(·, dη × dζ), g >

=_{2.} ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S}(K^{∗}(−B − ζ)f)(x)g(s)L(x, ds × (−dζ))ν(dx)

= ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} ∫_{S} f(y)K^{∗}(x, dy × (−B − ζ))g(s)L(x, ds × (−dζ))ν(dx)

=_{3.} ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} ∫_{S} g(s)L(x, ds × (B − ζ))f(y)K^{∗}(x, dy × (−dζ))ν(dx)

= ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S}(L(B − ζ)g)(x)f(y)K^{∗}(x, dy × (−dζ))ν(dx)

=_{1.} < f, ∫_{S×ĪR^{m}}(L(B − ζ)g)(η)K(·, dη × dζ) > .

Die benötigten Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt, da K und L nach Voraussetzung beschränkt sind. Dies vollendet den Beweis. □

Lemma 3.38 Für jedes beschränkte operatorwertige Maß K ist (K̂(it))^{∗} = K̂^{∗}(−it).

Beweis: Man benutze 1. aus dem vergangenen Beweis mit h(η, ζ) = g(η)e^{<it,ζ>}

< f, K̂(it)g > = < f, ∫_{S×ĪR^{m}} g(η)e^{<it,ζ>}K(·, dη × dζ) >
= ∫_{S} ∫_{ĪR_{m}} ∫_{S} g(x)e^{<it,ζ>}f(y)K^{∗}(x, dy × (−dζ))ν(dx)
= < ∫_{S×ĪR^{m}} f(y)e^{<−it,z>}K^{∗}(·, dy × dz), g >
= < K̂^{∗}(−it)f, g >

und schließe mittels der Definition und Eindeutigkeit der Adjungierten. □

Die Injektivität des Dualitätsoperator nach Lemma 3.12 überträgt sich wegen des Eindeutigkeitssatzes 3.32 auf Transformierte.

3.4 Axiomatischer Zugang zur Wiener-Hopf-Faktorisierung

Der hier gegebene Zugang zur Wiener-Hopf-Faktorisierung spezifiziert Leitervariablen axiomatisch.

Definition 3.39 Stopzeiten τ^{≤,=}, τ^{≤} und τ^{<} zu (M_{n}, S_{n})_{n≥0} heißen aufsteigende Rekurrenzzeit, schwach und stark aufsteigender Leiterindex, wenn

1. τ^{≤} = τ^{≤,=} < τ^{<} f.s., falls τ^{≤,=} < ∞,

2. τ^{≤} = τ^{<} f.s., falls τ^{≤,=} = ∞,

3. P^{τ^{<}}|_{{τ^{≤,=}<∞}} = P^{τ^{≤,=}+τ̄^{<}}|_{{τ^{≤,=}<∞}},

wobei τ̄^{<} die entsprechende Stopzeit für den verschobenen Prozeß M̄_{n} = M_{τ^{≤,=}+n}, S̄_{n} = S_{τ^{≤,=}+n} − S_{τ^{≤,=}} ist, der mit dieser Definition auf {τ^{≤,=} < ∞} wohldefiniert ist.

Analog heißen Stopzeiten τ^{≥,=}, τ^{≥} und τ^{>} zu (M_{n}, S_{n})_{n≥0} absteigende Rekurrenzzeit, schwach und stark absteigender Leiterindex, wenn

1. τ^{≥} = τ^{≥,=} < τ^{>} f.s., falls τ^{≥,=} < ∞,

2. τ^{≥} = τ^{>} f.s., falls τ^{≥,=} = ∞,

3. P^{τ^{>}}|_{{τ^{≥,=}<∞}} = P^{τ^{≥,=}+τ̄^{>}}|_{{τ^{≥,=}<∞}}.

Beachte, daß die hier als Leiterindizes definierten Stopzeiten nicht der üblichen Definition unterliegen, letztere sich aber als Spezialfall interpretieren lassen. Wir haben die Begriffe für diese Verallgemeinerung lediglich beibehalten, um eine gewisse Anschauung zu geben und diesen Zusammenhang deutlich herauszustellen.

Als abkürzende Schreibweise wird von nun an Ĝ_{r}^{<} := Ĝ_{r}^{τ^{<}} u. ä. verwendet.

Außerdem bedeute der Dualitätsoperator bei Ĝ_{r}^{∗<} das Dualisieren des zugrundeliegenden Prozesses, während Ĝ_{r}^{<∗} die Transformierte der Adjungierten des operatorwertigen Maßes G_{r}^{<} meine, die nach Lemma 3.27 existiert.

Wir zerlegen nun den Transformiertenraum so, daß wir die Transformierten verschiedener Leiterhöhen den Teilklassen zuordnen können.

Definition 3.40 Sei C ⊂ C eine Unteralgebra, die nur Transformierte dualisierbarer operatorwertiger Maße enthalte. Eine Zerlegung C = C^{>}⊕C^{=}⊕C^{<} heißt symmetrische Wendel-Zerlegung, wenn

1. C^{>}, C^{=}, C^{<} ⊂ C Unteralgebren sind,

2. C^{>} ∘ C^{=} ⊂ C^{>}, C^{=} ∘ C^{>} ⊂ C^{>} und analog für C^{<},

3. (C^{>})^{∗} = C^{<}, (C^{=})^{∗} = C^{=} und (C^{<})^{∗} = C^{>}.

Dabei ist ⊕ die direkte Summe von Untervektorräumen, ∘ die elementweise anzuwendende Verkettung von Operatoren und ^{∗} der elementweise anzuwendende Dualitätsoperator.

Beachte, daß die Menge der Transformierten dualisierbarer operatorwertiger Maße selbst eine Algebra bildet (Multiplikativität nach Satz 3.33 und Lemma 3.37).

Im folgenden sei stets für alle 0 < r < 1 folgendes erfüllt:

1. Î ∈ C^{=},

2. Ĝ_{r}^{<} ∈ C^{<}, Ĝ_{r}^{>} ∈ C^{>},  Ĝ_{r}^{∗<} ∈ C^{<}, Ĝ_{r}^{∗>} ∈ C^{>},
3. R̂_{r}^{<} ∈ C^{>} ⊕ C^{=}, R̂_{r}^{>} ∈ C^{<} ⊕ C^{=},  R̂_{r}^{∗<} ∈ C^{>} ⊕ C^{=}, R̂_{r}^{∗>} ∈ C^{<} ⊕ C^{=},
4. Ĝ_{r}^{≤} ∈ C^{<} ⊕ C^{=}, Ĝ_{r}^{≥} ∈ C^{>} ⊕ C^{=},  Ĝ_{r}^{∗≤} ∈ C^{<} ⊕ C^{=}, Ĝ_{r}^{∗≥} ∈ C^{>} ⊕ C^{=},
5. R̂_{r}^{≤} − Î ∈ C^{>}, R̂_{r}^{≥} − Î ∈ C^{<},  R̂_{r}^{∗≤} − Î ∈ C^{>}, R̂_{r}^{∗≥} − Î ∈ C^{<}.

Diese Zusammenstellung kann man anschaulich so erklären, daß die nicht transformierten Kerne unter der üblichen Leiterereignisdefinition konstant sind (C^{=}), streng aufsteigen (C^{<}) oder streng absteigen (C^{>}). Direkte Summenbildung entspricht einer Kombination dieser Möglichkeiten.

Aus diesen Axiomen der Leiterereignisse folgt bereits folgender Zusammenhang zwischen starken und schwachen Leiterindizes, der das Lemma 2.25 verallgemeinert.

Lemma 3.41 Es gilt Î− Ĝ_{r}^{≤} = (Î− Ĝ_{r}^{≤,=}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}).

Beweis: Es gilt für alle 0 < r < 1 und f ∈ L(S, S, ν)

E_{x}(r^{τ^{<}}e^{<it,S_{τ^{<}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{≤,=}<τ^{<}<∞}})

= E_{x}(E(r^{τ^{<}}e^{<it,S_{τ^{<}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{≤,=}<τ^{<}<∞}}|F_{τ^{≤,=}}))
= E_{x}(r^{τ^{≤,=}}e^{<it,S_{τ^{≤,=}}>}1_{{τ^{≤,=}<∞}}E(r^{τ^{<}−τ^{≤,=}}e^{<it,S_{τ^{<}}−S_{τ^{≤,=}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{≤,=}<τ^{<}<∞}}|F_{τ^{≤,=}}))
=_{SM} E_{x}(r^{τ^{≤,=}}e^{<it,S_{τ^{≤,=}}>}1_{{τ^{≤,=}<∞}}E_{M_{τ^{≤,=}}}(r^{τ^{<}}e^{<it,S_{τ^{<}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{<}<∞}}))
= E_{x}(r^{τ^{≤,=}}e^{<it,S_{τ^{≤,=}}>}1_{{τ^{≤,=}<∞}}(Ĝ_{r}^{<}(it)f)(M_{τ^{≤,=}}))
= (Ĝ_{r}^{≤,=}(it)(Ĝ_{r}^{<}(it)f))(x)

und somit

(Ĝ_{r}^{≤}(it)f)(x) = E_{x}(r^{τ^{≤}}e^{<it,S_{τ^{≤}}>}f(M_{τ^{≤}})1_{{τ^{≤}<∞}})
= E_{x}(r^{τ^{≤}}e^{<it,S_{τ^{≤}}>}f(M_{τ^{≤}})1_{{τ^{≤}=τ^{≤,=}<∞}})
+E_{x}(r^{τ^{≤}}e^{<it,S_{τ^{≤}}>}f(M_{τ^{≤}})1_{{τ^{≤}=τ^{<}<∞}})
= E_{x}(r^{τ^{≤,=}}e^{<it,S_{τ^{≤,=}}>}f(M_{τ^{≤,=}})1_{{τ^{≤,=}<∞}})
+E_{x}(r^{τ^{<}}e^{<it,S_{τ^{<}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{<}<∞}})
−E_{x}(r^{τ^{<}}e^{<it,S_{τ^{<}}>}f(M_{τ^{<}})1_{{τ^{≤,=}<τ^{<}<∞}})
= (Ĝ_{r}^{≤,=}(it)f)(x) + (Ĝ_{r}^{<}(it)f)(x) − (Ĝ_{r}^{≤,=}(it)(Ĝ_{r}^{<}(it)f))(x).
□

Analoges gilt natürlich auch für die absteigenden Leiterindizes sowie den dualen Prozeß. Lemma 3.42 (Dualität) Es gelten die folgenden Inversitätsbeziehungen:

1. R̂_{r}^{<} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗}) = Î = (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗}) ∘ R̂_{r}^{<}

2. R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) = Î = (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) ∘ R̂_{r}^{≤}

3. (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} = Î = R̂_{r}^{∗<∗} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{≤})

4. (Î− Ĝ_{r}^{<}) ∘ R̂_{r}^{∗≤∗} = Î = R̂_{r}^{∗≤∗} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}). Beweis: Nach Satz 3.8 gelten

R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− rÎP) = Î− Ĝ_{r}^{≤} ⇒ R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− rÎP) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} = (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} und

R̂_{r}^{∗<} ∘ (Î− rÎP^{∗}) = Î− Ĝ_{r}^{∗<} ⇒ (Î− rÎP) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} = Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}
⇒ R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− rÎP) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} = R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}),

also

R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) = (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗<∗}.

Nun ist

(Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗<∗} ∈ (C^{=} − C^{<} ⊕ C^{=})((C^{>} ⊕ C^{=})^{∗}) = C^{<} ⊕ C^{=}

und

R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) = Î− Ĝ_{r}^{∗<∗} + (R̂_{r}^{≤} − Î) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗})
∈ Î− (C^{<})^{∗} + C^{>}(C^{=} − (C^{<})^{∗}) = Î+ C^{>}.

Diese Gleichheit ist nur möglich, wenn beide Seiten Î sind. Es folgen die zweite und dritte Behauptung. Die erste und vierte können analog gesehen werden, indem man ≤ und < vertauscht und entsprechende Zugehörigkeiten zu C^{=}, C^{<} und C^{>} überprüft.

Für die Umkehrungen beachte man lediglich, daß Ĝ_{r}^{τ}(it) für τ ≢ 0 streng kontrahierend ist, daher nach dem Banachschen Fixpunktsatz f = 0 der einzige Fixpunkt ist, so daß Î− Ĝ_{r}^{τ}(it) injektiv ist. Zusammen mit der bereits gezeigten Identität folgt auch der zweite Teil der Behauptung. □

Dieses Dualitätslemma ist hier das Analogon zu Lemma 2.23. Für eine Identifizierung merken wir an, daß außer hatR_{r}^{<} die formale Reihe Û_{r}^{∗≤∗} = ∑_{n=0}^{∞}(Ĝ_{r}^{∗≤∗})^{∘(n)} ein formaler inverser Operator zu Î − Ĝ_{r}^{∗≤∗} ist. Da dies für uns hier jedoch nicht von Bedeutung ist, untersuchen wir diese Û_{r}^{∗≤∗} nicht auf Konvergenz usw.

Lemma 3.43 Es gelten

1. Ĝ_{r}^{≤,=} = Ĝ_{r}^{∗≤,=∗} und

2. Ĝ_{r}^{≤,=} ∈ C^{=}.

Beweis: 1. Mit den Lemmata 3.41 und 3.42 erhalten wir

Î− Ĝ_{r}^{≤} = (Î− G_{r}^{≤,=}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}) ⇒ (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗≤∗} = Î− Ĝ_{r}^{≤,=}
Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗} = (Î− G_{r}^{∗<∗}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤,=∗}) ⇒ Î− Ĝ_{r}^{∗≤,=∗} = R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗}) .

Nun ist die gewünschte Gleichheit mit zwei Anwendungen von Satz 3.8 zu sehen:

Î− Ĝ_{r}^{≤,=} = (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗≤∗}
= R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− rÎP) ∘ R̂_{r}^{∗≤∗}
= R̂_{r}^{≤} ∘ (R̂_{r}^{∗≤} ∘ Î− rÎP^{∗}))^{∗}
= R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤})^{∗}
= R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗})
= Î− Ĝ_{r}^{∗≤,=∗}

2. Aus

Ĝ_{r}^{≤,=} = Î− (Î− Ĝ_{r}^{≤}) ∘ R̂_{r}^{∗<∗}
∈ C^{=} − (C^{=} − C^{<} ⊕ C^{=})((C^{>} ⊕ C^{=})^{∗}) = C^{<} ⊕ C^{=}

und

Ĝ_{r}^{∗≤,=∗} = Î− R̂_{r}^{<} ∘ (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗})
∈ C^{=} − (C^{>} ⊕ C^{=})((C^{=} − C^{<} ⊕ C^{=})^{∗}) = C^{>} ⊕ C^{=}

folgt mit 1. die Behauptung. □

Satz 3.44 (Symmetrische Wiener-Hopf-Faktorisierung) Seien (M_{n}, S_{n})_{n≥0} und (M_{n}^{∗}, S_{n}^{∗})_{n≥0} zwei Markov Random Walks, dual bezüglich eines σ-endlichen Maßes ν auf (S, S). Die zu Beginn dieses Abschnitts spezifizierten (axiomatischen) Voraussetzungen mögen gelten. Dann gilt die symmetrische Wiener-Hopf-Faktorisierung, d. h. für 0 ≤ r < 1

Î− rÎP = (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{≤,=}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}).

Diese Faktorisierung ist eindeutig in der Klasse der Faktorisierungen der Form (Î − K̂^{>}) ∘ (Î − K̂^{=}) ∘ (Î − K̂^{<}) mit K̂^{>} ∈ C^{>}, K̂^{=} ∈ C^{=}, K̂^{<} ∈ C^{<} und invertierbaren Faktoren, so daß (Î− K̂^{>})^{−1} ∈ Î+ C^{>}, (Î− K̂^{=})^{−1} ∈ C^{=} und (Î− K̂^{<})^{−1} ∈ Î+ C^{<}.

Beweis: Man starte links, erweitere gemäß Lemma 3.42, wende Satz 3.8 für τ = τ^{≤} und schließlich Lemma 3.41 an:

(Î− rÎP) = (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) ∘ R̂_{r}^{≤} ∘ (Î− rÎP)
= (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{≤})
= (Î− Ĝ_{r}^{∗<∗}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{≤,=}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}).

Sie liegt nach den vorangegangenen Lemmata in der Klasse der Faktorisierungen, die im Satz beschrieben ist.

Für die Eindeutigkeit nehme man zwei derartige Faktorisierungen

Î− rÎP = (Î− K̂^{>}) ∘ (Î− K̂^{=}) ∘ (Î− K̂^{<}) = (Î− L̂^{>}) ∘ (Î− L̂^{=}) ∘ (Î− L̂^{<})

an. Dann gilt

(Î− K̂^{=}) ∘ (Î− K̂^{<}) ∘ (Î− L̂^{<})^{−1} ∘ (Î− L̂^{=})^{−1} = (Î− K̂^{>})^{−1} ∘ (Î− L̂^{>}),

und es ist

(Î− K̂^{=}) ∘ (Î− K̂^{<}) ∘ (Î− L̂^{<})^{−1} ∘ (Î− L̂^{=})^{−1} ∈ C^{=}(Î− C^{<})(Î+ C^{<})C^{=} = C^{<} ⊕ C^{=},

sowie

(Î− K̂^{>})^{−1} ∘ (Î− L̂^{>}) ∈ (Î+ C^{>})(Î− C^{>}) = Î+ C^{>}.

Daher müssen beide Seiten bereits gleich Î sein, es gilt also K̂^{>} = L̂^{>} und

(Î− K̂^{<}) ∘ (Î− L̂^{<})^{−1} = (Î− K̂^{=})^{−1} ∘ (Î− L̂^{=})

mit

(Î− K̂^{<}) ∘ (Î− L̂^{<})^{−1} ∈ (Î− C^{<})(Î+ C^{<}) = Î+ C^{<}

und

(Î− K̂^{=})^{−1} ∘ (Î− L̂^{=}) ∈ C^{=},

so daß auch K̂^{<} = L̂^{<} und K̂^{=} = L̂^{=} folgen. □

Der Beweis des Satzes hat bereits als Zwischenergebnis eine unsymmetrische Form der Wiener-Hopf-Faktorisierung gezeigt, die wir noch ein wenig ändern:

Korollar 3.45 (Analytische Wiener-Hopf-Faktorisierung) Seien (M_{n}, S_{n})_{n≥0} und (M_{n}^{∗}, S_{n}^{∗})_{n≥0} zwei Markov Random Walks, dual bezüglich eines σ-endlichen Maßes ν auf (S, S), die zu Beginn dieses Abschnitts spezifizierten (axiomatischen) Voraussetzungen mögen gelten. Dann gilt für 0 ≤ r < 1

Î− rÎP = (Î− Ĝ_{r}^{∗≤∗}) ∘ (Î− Ĝ_{r}^{<}).

Beweis: Mit Lemma 3.43 und einer dualen Form von Lemma 3.41 kann man die ersten beiden Faktoren in der symmetrischen Faktorisierung zusammenfassen. □

Satz 3.44 übersetzt sich für Maße in

Satz 3.46 (Symmetrische Wiener-Hopf-Faktorisierung in Kernform) Für geeignete operatorwertige Maße G_{(n)}^{<}, G_{(n)}^{≤,=}, G_{(n)}^{∗<}, n ≥ 1 gilt

I − rIP = (I − ∑_{n=1}^{∞} r^{n}G_{(n)}^{∗<∗}) ∗ (I − ∑_{n=1}^{∞} r^{n}G_{(n)}^{≤,=}) ∗ (I − ∑_{n=1}^{∞} r^{n}G_{(n)}^{<}) ,

Man kann die operatorwertigen Maße beschreiben durch

(G_{(n)}^{∗<}(B)f)(x) = E_{x}^{∗}(f(M_{n}^{∗})1_{{τ^{∗<}=n,S_{n}^{∗}∈B}}),
(G_{(n)}^{≤,=}(B)f)(x) = E_{x}(f(M_{n})1_{{τ^{≤,=}=n,S_{n}∈B}}),
(G_{(n)}^{<}(B)f)(x) = E_{x}(f(M_{n})1_{{τ^{<}=n,S_{n}∈B}}),

für x ∈ S, B ∈ B̄^{m}, f ∈ L(S, S, ν) und n ≥ 1.

Beweis: Beachte lediglich

(Ĝ_{(n)}^{<}(it)f)(x) = ∫_{ĪR_{m}} e^{<it,z>}((G_{(n)}^{<}(dz)f)(x))
= ∫_{ĪR_{m}} e^{<it,z>}(E_{x}(f(M_{n})1_{{τ^{<}=n,S_{n}∈dz}})
= ∫_{ĪR_{m}}(E_{x}(f(M_{n})e^{<it,z>}1_{{τ^{<}=n}}δ_{S_{n}}(dz)))
= E_{x}(f(M_{n})e^{<it,S_{n}>}1_{{τ^{<}=n}}),

und analog für die beiden anderen Leiterindizes, denn nun ergeben sich die diskontierten Summen zu den Transformierten, die in Satz 3.44 vorkommen. Jetzt folgt die Behauptung aus dem Multiplikationssatz 3.33. □

Die Formulierung des Satzes ist etwas umständlich, da die Diskontierung, also die Transformation des Leiterindexes als erzeugende Funktion in der Aussage enthalten ist. Durch Übergang zum Grenzwert r gegen 1 in einer unsymmetrischen Form dieses Satzes erhalten wir

Korollar 3.47 (Probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung) In der Situation des Satzes 3.46 gilt

IP = G^{∗≤∗} + G^{<} − G^{∗≤∗} ∗ G^{<},

wobei der äußere Dualitätsoperator am schwachen Leiterhöhenkern im Sinne von Definition 3.22 und Lemma 3.23 aufzufassen ist.

Beachte, daß die Faltung der Kerne auf der rechten Seite i. a. nicht kommutiert.

3.5 Spezialfälle der abstrakten Faktorisierung

Als Abschluß dieses Kapitels beleuchten wir die axiomatische Charakterisierung der Leiterhöhen durch ein paar Beispiele.

Beispiel 3.48 (Eindimensionaler Fall, diskrete Steuerkette) Sei (M_{n}, S_{n})_{n≥0} ein eindimensionaler (m = 1) Markov Random Walk mit positiv rekurrenter diskreter Steuerkette und stationärer Verteilung ξ.

Wir spezifizieren die Unteralgebren C^{<}, C^{=} und C^{>} als Räume von Transformierte von endlichen Kernen K : S × (S ⊗ B̄) → C, die für alle x ∈ S und A ∈ S als Maße K(x, A × ·) auf (0, ∞) {0} bzw. (−∞, 0) konzentriert sind.

Wir verifizieren, daß C := C^{>} ⊕ C^{=} ⊕ C^{<} eine symmetrische Wendel-Zerlegung gemäß Definition 3.40 ist: Wir haben die Eigenschaften dieser Räume durch Trägereigenschaften der zugrundeliegenden endlichen Kerne beschrieben. Insbesondere folgen 1. und 2. in Definition 3.40 aus den Algebra- und Faltungseigenschaften endlicher Kerne. Für 3. identifizieren wir den Dualitätsoperator mittels Lemma 3.16.

Die herkömmlichen Definitionen von Leiterindizes erfüllen die Axiome aus Definition 3.39. Auch die fünf Axiome nach Definition 3.40 für die Leiterhöhen usw. verifiziert man sofort durch Betrachtung der Träger.

Die zentralen Resultate (die vier letzten Sätze/Korollare des vorangegangenen Abschnitts) formulieren wir nicht erneut, da sich ihre Form nicht ändert, sondern nur die auftretenden Größen eine konkretere Bedeutung erhalten.

Beispiel 3.49 (Mehrdimensionaler Fall, diskrete Steuerkette) Hier gehen wir wiederum von einer positiv rekurrenten diskreten Steuerkette aus. Diese Verallgemeinerung des Beispiels 3.48 erfordert nun lediglich eine Spezifizierung dessen, Wendel-Zerlegung verwenden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:

Das einfachste ist, die Leiterereignisse in eine Basisrichtung 1 ≤ k ≤ m des mdimensionalen Euklidischen Raumes zu betrachten. Als Wendel-Zerlegung dienen dann die Räume von Transformierten der endlichen Kerne, die auf die entsprechenden Halbräume in dieser Richtung konzentriert sind. Genauer sind dann etwa Kerne, die Transformierte in C^{=} haben, auf die (m−1)-dimensionale Hyperebene {x : x_{k} = 0} konzentriert.

Allgemeiner kann man ebenso auch Richtungen v mit ||v|| = 1 wählen, die nicht einer der Koordinatenachsen entsprechen, und ebenso die entsprechenden Halbräume wählen, die durch {x :< v, x >= 0} getrennt werden.

In jedem dieser Fälle liefert die Halbraumeigenschaft Abgeschlossenheiten der Klassen von Kernen unter Faltungen. Die Zeitumkehr gemäß Lemma 3.16 liefert die erforderlichen dualen Trägereigenschaften, da in allen diesen Fällen {x :< v, x >> 0} = −{x :< v, x >< 0}.

Beispiel 3.50 (Selbstmodulierte Random Walks) Hierunter verstehen wir Markov Random Walks, die in der ersten Komponente ein additiver Prozeß in (S, S) = (IR, B) sind und deren zweite Komponente entfällt (Spezialfall m = 0). Nun wird die Zuwachsverteilung mit dem aktuellen Zustand moduliert. Als eine andere Interpretation kann man diese Prozesse einfach als Markov-Ketten in (IR, B) betrachten. Für die Dualität fordert man etwa die Dominiertheit durch eine stationäre Verteilung.

Hier stimmt die Transformierte eines Kerns mit dem Kern (als Operator aufgefaßt) überein. In den Unteralgebren C^{<}, C^{=} und C^{>} fasse man diejenigen endlichen Kerne K : S × S → C zusammen, für die für alle x ∈ S das Maß K(x, ·) auf {y ∈ S|y > x}, {x} bzw. {y ∈ S|y < x} konzentriert ist. Die herkömmlichen Leiterindizes erfüllen dann wiederum die Axiome, wie man leicht nachweist.

Die Faktorisierungsresultate vereinfachen sich nun dadurch, daß die zweite Komponente wegfällt. Ihr Erscheinungsbild ist aber dennoch wie bisher. Es sei lediglich angemerkt, daß man die Transformationszeichen weglassen kann. Die analytische und probabilistische Version unterscheiden sich in der Notation nun lediglich in den benutzten Verknüpfungen, die jedoch unmittelbar durch Definition 3.1 identifiziert werden. Ausführlich lautet etwa die probabilistische Wiener-Hopf-Faktorisierung

IP (x, A) = G^{∗≤∗}(x, A) + G^{<}(x, A) − ∫_{S} G^{<}(y, A)G^{∗≤∗}(x, dy).

Probabilistischer Zugang zur Wiener-Hopf-Faktorisierung für Markov Random Walks

Im vorangegangenen Kapitel haben wir Ergebnisse dargestellt, die die Wiener-Hopf-Faktorisierungen in großer Allgemeinheit auf den Markov-Random-Walk-Fall übertragen; wir haben aber zum Großteil eine abstrakt-analytische Argumentation gegeben. Ähnlich wie wir in Kapitel 2 analytische und probabilistische Zugänge für die Random-Walk-Resultate gegenübergestellt haben, werden wir nun hier vorwiegend probabilistische Argumente verwenden, um den Operatorenkalkül aus Kapitel 3 zu umgehen. Dies gelingt durchaus in zufriedenstellender Allgemeinheit, wenngleich wir die axiomatische Charakterisierung der Leiterhöhen und die Dualität als Verallgemeinerung der stationären Zeitumkehr hier zugunsten der Transparenz nicht übertragen. Grundlage dieses Kapitels bildet der Abschnitt 4 des Artikels [9] von Asmussen mit den in Abschnitt 4 von Lai und Fuh [13] vorgeschlagenen Verallgemeinerungen.

Im ersten Abschnitt zeigen wir die Existenz von Dichten der später benötigten Kerne bezüglich eines den Übergangskern dominierenden Maßes. Insbesondere betrachten wir im Falle der Existenz die stationäre Zeitumkehr hinsichtlich der entsprechenden Dominierungen durch dasselbe Maß.

Abschnitt 2 konzentriert sich wesentlich auf den Beweisgang der Wiener-Hopf-Faktorisierung, formuliert mittels Dichten. Wiederum können wir die Pitman-Gleichung in der vollen Allgemeinheit des letzten Kapitels herleiten. Der Beweis des Dualitätsresultats beruht allerdings auf der speziellen Form des Dualitätsoperators durch die stationäre Zeitumkehr. Die Wiener-Hopf-Faktorisierung folgt wieder unmittelbar aus diesen beiden Zwischenresultaten.

In Abschnitt 3 diskutieren wir das Wiener-Hopf-Resultat. Dabei folgen wir unter anderem Asmussens [9] Spezialfall einer diskreten Steuerkette in einige matrixtheoretische Klassifikationsresultate.

4.1 Dominiertheit des Übergangskerns:

Arbeiten mit Dichten

(M_{n}, S_{n})_{n≥0} sei ein eindimensionaler Markov Random Walk mit Übergangskern IP : S ×(S ⊗B) → [0, 1]. Bereits ab dem zweiten Abschnitt von Kapitel 3, also insbesondere für die später erfolgten Aussagen zur Wiener-Hopf-Faktorisierung wurde gefordert, daß der Übergangskern IP_{M} der Steuerkette dominiert ist durch ein σ-endliches Maß ν auf (S, S). Dies fordern wir nun auch. Wir setzen ferner voraus, daß S abzählbar erzeugt ist, um stets von der Dominiertheit der Kerne auf die Existenz produktmeßbarer Dichten schließen zu können (vgl. [4] Kapitel VIII, Lemma 1.2.). Unter diesen Annahmen erweitern wir unsere Begriffsbildungen:

Definition 4.1 Es bezeichne φ eine ν-Dichte von IP, d. h. genauer einen Kern φ : S^{2} × B → [0, ∞) mit ∫_{A} φ(x, z, B)ν(dz) = IP (x, A × B) für alle x ∈ S, A ∈ S und B ∈ B.

Die Dichte φ(x, ·, B) ist natürlich nur ν-f.s. eindeutig. Insbesondere kann man, ohne die Produktmeßbarkeit zu verletzen, etwa weitere Dichten von IP konstruieren, indem man auf gewissen Mengen A ∈ S für x ∈ A φ(x, ·, B) auf ν-Nullmengen auf gewisse Weisen abändert. Hier könnte A etwa abzählbar und die Änderung meßbar, aber beliebig sein. Man könnte aber auch größere A nehmen, die ν-Nullmenge für alle x ∈ A simultan wählen und Änderungen auf dieser Nullmenge für alle x ∈ A gleich ausführen (etwa gleich null setzen). Wir werden im Zusammenhang von Zeitumkehrungen auf diese Art der schwachen Eindeutigkeit von φ erneut zu sprechen kommen.

Definition 4.2 (Faltung von Dichten) Die Faltung zweier ν-Dichten κ_{1}, κ_{2} : S^{2} × B → [0, ∞] von Kernen sei definiert durch

(κ_{1} ∗ κ_{2})(x, z, B) := ∫_{S}(κ_{1}(x, y, ·) ∗ κ_{2}(y, z, ·))(B)ν(dy)

für alle x, z ∈ S, B ∈ B, wobei die Faltung rechts die gewöhnliche Faltung von Maßen bedeutet.

Die Faltung derartiger ν-Dichten ist, wie auch die Faltung der zugehörigen Kerne nicht kommutativ. Ferner besteht die folgende Verträglichkeitsaussage:

Lemma 4.3 Die Faltung der ν-Dichten κ_{1}, κ_{2} : S^{2}×B → [0, ∞] zweier Kerne IK_{1}, IK_{2} : S × (S ⊗ B) → [0, ∞] ist eine ν-Dichte von IK_{1} ∗ IK_{2}.

Beweis: Man rechnet für x ∈ S, A ∈ S und B ∈ B nach:

∫_{A}(κ_{1} ∗ κ_{2})(x, z, B)ν(dz) = ∫_{A} ∫_{S} ∫_{IR} κ_{2}(y, z, B − t)κ_{1}(x, y, dt)ν(dy)ν(dz)
= ∫_{S} ∫_{IR} ∫_{A} κ_{2}(y, z, B − t)ν(dz)κ_{1}(x, y, dt)ν(dy)
= ∫_{S×IR} IK_{2}(y, A × (B − t))IK_{1}(x, dy × dt)
= (IK_{1} ∗ IK_{2})(x, A × B)

gemäß der Definition 3.1 der Faltung von Kernen, wobei wir von der zweiten zur dritten Zeile Lemma 3.3 angewendet haben (also ein gewöhnliches Funktionserweiterungsargument). Die Gleichheiten sind auch dann unkritisch, wenn sie nicht endlich sind.

□

Korollar 4.4 Für n ≥ 1 hat IP^{∗(n)} die ν-Dichte φ^{∗(n)}.

Wir wollen im folgenden auch die anderen im Zusammenhang mit Wiener-Hopf-Faktorisierungen interessanten Kerne durch ν-Dichten repräsentieren. Hierzu notieren wir zunächst:

Korollar 4.5 Für alle 0 ≤ r ≤ 1, x ∈ S, B ∈ IR sind G_{r}^{τ}(x, · × B), R_{r}^{τ}(x, · × B) − I(x, · × B) und U_{r}^{τ}(x, · × B) − I(x, · × B) für alle Stopzeiten τ mit P_{x}(τ = 0) = 0 durch ν dominiert.

Beweis: Für festes B ∈ B kann man diese Kerne darstellen als Linearkombinationen der positiven Faltungspotenzen von IP_{M}, mit geeigneten Dichten versehen:

G_{r}^{τ}(x, A × B) = ∑_{n=1}^{∞} r^{n} ∫_{A} P_{x}(τ = n, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)IP_{M}^{∗(n)}(x, dz)
R_{r}^{τ}(x, A × B) = I(x, A × B) + ∑_{n=1}^{∞} r^{n} ∫_{A} P_{x}(τ > n, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)IP_{M}^{∗(n)}(x, dz)

Daher folgt die Behauptung für diese beiden Kerne aus dem vorangegangenen Korollar. für U_{r}^{τ} kann man erneut wie im vorangegangenen Korollar schließen, da ja nur Faltungspotenzen von G_{r}^{τ} aufsummiert werden. □

Beachte, daß es für die Dominiertheit wesentlich ist, den Einheitskern von R^{τ} und U^{τ} abzuziehen, da diese im Falle eines überabzählbaren Zustandsraumes S nicht alle durch ein gemeinsames σ-endliches Maß dominiert sein können.

Ferner fordern wir für R^{τ} und U^{τ} nicht, daß diese σ-endlich sind. Dies stellt im folgenden zunächst keine Einschränkung dar. Später werden wir den nicht σ-endlichen Fall durch Diskontieren umgehen.

Definition 4.6 Es bezeichnen γ_{r}^{τ}, ρ_{r}^{τ} und υ_{r}^{τ} Kerne, die ν-Dichten zu G_{r}^{τ}, R_{r}^{τ} − I und U_{r}^{τ} − I sind. Ferner sei γ^{τ} := γ_{1}^{τ}.

Es sei bemerkt, daß ρ_{1}(x, ·, IR) bzw. υ_{1}(x, ·, IR) genau dann ν-f.s. endlich ist, wenn R_{1}^{τ}(x, · × IR) bzw. U_{1}^{τ}(x, · × IR) σ-endlich ist.

Um die beiden Niveaus IP, G_{r}^{τ}, R_{r}^{τ}, usw. und φ, γ_{r}^{τ}, ρ_{r}^{τ}, usw. auch sprachlich voneinander abzuheben, werden wir im folgenden erstere stets als Kerne, letztere jedoch nur als Dichten bezeichnen, selbst wenn sie durch Einbeziehen der reellen Komponente eigentlich auch Kerne sind.

Da man R_{r}^{τ} − I und U_{r}^{τ} − I mittels der IP^{∗(n)}, n ≥ 1, darstellen kann, erhalten wir Darstellungen der Dichten ρ_{r}^{τ} und υ_{r}^{τ} mittels der φ^{∗(n)}:

Lemma 4.7 Es gilt für alle 0 ≤ r ≤ 1, x, z ∈ S, B ∈ B

ρ_{r}^{τ}(x, z, B) = ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(τ > n, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR)
υ_{r}^{τ}(x, z, B) = ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(F_{n}, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR),

wobei F_{n} das Ereignis {n ∈ {τ_{k}, k ≥ 1}} ist, wenn wir als (τ_{k})_{k≥1} die Kopiensummenfolge von τ bezeichnen.

Beweis: Man rechnet für 0 ≤ r ≤ 1, x ∈ S, A ∈ S, B ∈ B nach

(R_{r}^{τ} − I)(x, A × B) = E_{x} (∑_{n=1}^{∞} r^{n}1_{{τ>n}}1_{A×B}(M_{n}, S_{n}))
= ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(τ > n, M_{n} ∈ A, S_{n} ∈ B)
= ∫_{A} ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(τ > n, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR)ν(dz)
(U_{r}^{τ} − I)(x, A × B) = ∑_{k=1}^{∞}(G_{r}^{τ})^{∗(k)}(x, A × B)
= ∑_{k=1}^{∞} P_{x}(M_{τ_{k}} ∈ A, S_{τ_{k}} ∈ B, τ_{k} < ∞)
= ∑_{n=1}^{∞} r^{n} ∑_{k=1}^{∞} P_{x}(τ_{k} = n, M_{n} ∈ A, S_{n} ∈ B)
= ∫_{A} ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(F_{n}, S_{n} ∈ B|M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR)ν(dz).
□

Es existiere nun ξ << ν, eine stationäre Verteilung von M. Ihre ν-Dichte bezeichnen wir mit λ.

Lemma 4.8 Falls M unter P stationär ist mit stationärer Verteilung ξ = λν, so ist für jedes N ≥ 0 (M̃_{n})_{0≤n≤N} mit M̃_{n} := M_{N−n} eine zeitlich homogene Markov-Kette. Ihr Übergangskern IP^{∗}(·, · × IR) wird von ν dominiert und hat Dichten

φ^{∗}(x, z, IR) = \frac{λ(z)}{λ(x)}φ(z, x, IR)1_{\{λ(x)>0\}}.

Setzt man ferner X̃_{n} := −X_{N−n+1}, so hat der Übergangskern IP^{∗} von (M̃_{n}, X̃_{n})_{0≤n≤N} ν-Dichten

φ^{∗}(x, z, B) = \frac{λ(z)}{λ(x)}φ(z, x, −B)1_{\{λ(x)>0\}}.

Ferner definiert S̃_{n} := X̃_{1} + … + X̃_{n} = S_{N−n} − S_{N}, 0 ≤ n ≤ N einen Markov Random Walk mit Übergangskern IP^{∗} und Zeitbereich {0, …, N}.

Beweis: Da (M_{n}, X_{n})_{n≥1} unter P stationär ist, hat man für 0 ≤ n ≤ N − 1, A_{0}, …, A_{n+1} ∈ S und B_{1}, …, B_{n+1} ∈ B

P (M̃_{0} ∈ A_{0}, M̃_{1} ∈ A_{1}, X̃_{1} ∈ B_{1}, …, M̃_{n+1} ∈ A_{n+1}, X̃_{n+1} ∈ B_{n+1})

= P (M_{N−n−1} ∈ A_{n+1}, X_{N−n} ∈ −B_{n+1}, …, M_{N−1} ∈ A_{1}, X_{N} ∈ −B_{1}, M_{N} ∈ A_{0})
= ∫_{A_{n+1}} ∫_{A_{n}} … ∫_{A_{1}} ∫_{A_{0}} φ(x_{1}, x_{0}, −B_{1})ν(dx_{0})φ(x_{2}, x_{1}, −B_{2})ν(dx_{1})
… φ(x_{n+1}, x_{n}, −B_{n+1})ν(dx_{n})λ(x_{n+1})ν(dx_{n+1})
= ∫_{A_{n}} ∫_{A_{n−1}} … ∫_{A_{0}} ∫_{A_{n+1}} \frac{λ(x_{n+1})}{λ(x_{n})}φ(x_{n+1}, x_{n}, −B_{n+1})ν(dx_{n+1})φ(x_{1}, x_{0}, −B_{1})ν(dx_{0})
… φ(x_{n}, x_{n−1}, −B_{n})ν(dx_{n−1})λ(x_{n})ν(dx_{n})
= ∫_{A_{n}×B_{n}×...×A_{1}×B_{1}×A_{0}} ∫_{A_{n+1}} \frac{λ(x_{n+1})}{λ(x_{n})}φ(x_{n+1}, x_{n}, −B_{n+1})ν(dx_{n+1})

P (M_{N−n} ∈ dx_{n}, −X_{N−n+1} ∈ dy_{n}, …, M_{N−1} ∈ dx_{1}, −X_{N} ∈ dy_{1}, M_{N} ∈ dx_{0})

= ∫_{A_{0}×A_{1}×B_{1}×...×A_{n}×B_{n}} ∫_{A_{n+1}} \frac{λ(x_{n+1})}{λ(x_{n})}φ(x_{n+1}, x_{n}, −B_{n+1})ν(dx_{n+1})
P (M̃_{0} ∈ dx_{0}, M̃_{1} ∈ dx_{1}, X̃_{1} ∈ dy_{1}, …, M̃_{n} ∈ dx_{n}, X̃_{n} ∈ dy_{n}).

Dies charakterisiert

IK(x_{0}, x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}; A × B) := ∫_{A} \frac{λ(z)}{λ(x_{n})}φ(z, x_{n}, −B)1_{\{λ(x_{n})>0\}}ν(dz)

(für ξ-f.a. x_{n} ∈ S, aber die sonstigen Werte kommen in der stationären Betrachtung ja P -f.s. nicht vor, wir setzen dort gleich null), als faktorisierte regulär bedingte Verteilung von (M̃_{n+1}, X̃_{n+1}) gegeben (M̃_{0}, M̃_{1}, X̃_{1}, …, M̃_{n}, X̃_{n}) = (x_{0}, x_{1}, y_{1} …, x_{n}, y_{n}), die also nur von x_{n} (und A×B) abhängt (Markov-Eigenschaft) und ferner bereits in einer Form gegeben ist, aus der man die ν-Dichte ablesen kann. Die restlichen Behauptungen sind nun offensichtlich. □

Beachte, daß die Dichte φ^{∗}(x, ·, B) i. a. nur für ξ-f.a. x ∈ S von null verschieden ist. Die Verteilung eines Markov Random Walk mit Übergangsdichte φ^{∗} ist daher (mit dieser Definition) nur für ξ-stetige Anfangsverteilungen weder abhängig von der Wahl der Dichte φ noch defekt. Die Wahl der Dichte φ spielt deshalb eine Rolle, weil durch das Vertauschen der ersten beiden Argumente bei der Definition von φ^{∗} die schwache Eindeutigkeit der Dichte φ im Sinne der Diskussion nach Definition 4.1 hier die Verteilung beeinflußt. Daher werden wir Markov Random Walks mit Übergangskern IP^{∗} im folgenden nur als Prozesse mit stationärer Steuerkette wählen. Insbesondere können wir den Zustandsraum S etwa auf S′ = {x ∈ S : λ(x) > 0} verkleinern. Die Forderung λ > 0 ist also im folgenden keine Einschränkung.

Definition 4.9 Es bezeichne H den Raum aller Dichten κ : S^{2} × B → [0, ∞], und es sei ξ = λν eine Verteilung auf (S, S). Dann definieren wir den Dualitätsoperator ∗ : H → H bezüglich λ durch

κ^{∗}(x, y, B) := \frac{λ(y)}{λ(x)}κ(y, x, −B)1_{\{λ(x)>0\}}

Da hier stets ξ = λν die stationäre Verteilung von M ist, unterdrücken wir die Abhängigkeit von ^{∗} von λ in der Notation. Ferner ist die in Lemma 4.8 gewählte Bezeichnung φ^{∗} mit dieser Definition konsistent. Offenbar gilt ^{∗}^{2} = id, falls λ > 0, daher die Bezeichnung ’Dualitätsoperator’. Dieses können wir im Falle ξ ∼ ν wählen. Es sei darauf hingewiesen, daß ^{∗(n)} weiterhin stets die n-fache Faltungspotenz bezeichnet, es aber trotz der ähnlichen Notation nicht zu Mehrdeutigkeiten kommt.

Wir verwenden den Dualtitätsoperator in der Notation γ_{r}^{∗τ∗} so, daß sich das erste Dualisieren auf den zugrundeliegenden Übergangsdichte φ bezieht, zu dem γ_{r}^{τ} gebildet wird das zweite jedoch auf die Dichte γ_{r}^{∗τ} selbst. Um die Notation υ_{r}^{∗τ∗} rechtfertigen zu können, notieren wir noch eine Verträglichkeit des Dualitätsoperators mit dem Faltungsprodukt. Dann ist es nämlich egal, ob der äußere Dualitätsoperator auf υ_{r}^{∗τ} selbst oder die zugrundeliegenden (γ_{r}^{∗τ})^{∗(n)} wirkt.

Lemma 4.10 Falls λ > 0, so gilt für je zwei Dichten κ_{1}, κ_{2} : S^{2} × B → [0, ∞]

(κ_{1} ∗ κ_{2})^{∗} = κ_{2}^{∗} ∗ κ_{1}^{∗}

Beweis: Man rechnet nach

(κ_{1} ∗ κ_{2})^{∗}(x, z, B) = \frac{λ(z)}{λ(x)}(κ_{1} ∗ κ_{2})(z, x, −B)
= \frac{λ(z)}{λ(x)} ∫_{S} ∫_{IR} κ_{2}(y, x, −B − t)κ_{1}(z, y, dt)ν(dy)
= ∫_{S} ∫_{IR} \frac{λ(y)}{λ(x)}κ_{2}(y, x, −B + t)\frac{λ(z)}{λ(y)}κ_{1}(z, y, −dt)ν(dy)
= ∫_{S} ∫_{IR} κ_{2}^{∗}(x, y, B − t)κ_{1}^{∗}(y, z, dt)ν(dy)
= ∫_{S} ∫_{IR} κ_{1}^{∗}(y, z, B − t)κ_{2}^{∗}(x, y, dt)ν(dy)
= (κ_{2}^{∗} ∗ κ_{1}^{∗})(x, z, B)

da die Faltung von Maßen kommutativ ist. □

4.2 Wiener-Hopf-Faktorisierung für die Dichte des Übergangskerns

Es sei im folgenden λ > 0, um mit ^{∗} einen umkehrbaren Operator und auch Lemma 4.10 zur Verfügung zu haben. Man könnte in diesem Fall einfach ξ anstelle des σ-endlichen Maßes ν benutzen. Dann würde die Dichte λ wegfallen. Es ist aber oft wünschenswert, etwa mit Haar-Maßen zu arbeiten, wie im diskreten oder Euklidischen Lebesgue-stetigen Fall. Da diese Dichte die Argumentation im folgenden nicht behindert, behalten wir sie bei. Ferner bezeichnen wir die hier beschriebene Situation als den ’dominierten Fall’.

Wir beginnen mit dem Pendant der Pitman-Gleichung für ν-Dichten (vgl. Korollar 3.34 und Lemma 2.22). Beachte, daß die etwas andere Form darin begründet liegt, daß für die Existenz von Dichten i. a. im Prä-τ-Okkupationskern das anfängliche Dirac-Maß subtrahiert werden mußte.

Lemma 4.11 (Pitman-Gleichung) Sei τ eine beliebige P_{·}-f.s. positive F-Stopzeit und 0 ≤ r ≤ 1. Für alle x ∈ S, ν-f.a. y ∈ S und alle B ∈ B gilt

ρ_{r}^{τ}(x, y, B) + γ_{r}^{τ}(x, y, B) = (ρ_{r}^{τ} ∗ (rφ))(x, y, B) + (rφ)(x, y, B).

Die Ausnahmemenge, außerhalb der die Gleichung gilt, darf also von x abhängen, sie kann aber für festes x unabhängig von B ∈ B gewählt werden.

Beweis: Seien zunächst 0 ≤ r ≤ 1, x ∈ S, A ∈ S und B ∈ B beliebig. Dann gilt

R_{r}^{τ}(x, A × B) − I(x, A × B) + G_{r}^{τ}(x, A × B)

= ∑_{n=0}^{∞} r^{n+1} ∫_{S} P_{x}(τ > n, M_{n+1} ∈ A, S_{n+1} ∈ B|M_{n} = z)IP_{M}^{∗(n)}(x, dz)
= ∑_{n=0}^{∞} r^{n+1} ∫_{S} ∫_{S×IR} P_{x}(τ > n, M_{n+1} ∈ A, S_{n+1} ∈ B|M_{n} = z, M_{n+1} = ξ, X_{n+1} = η)
IP (z, dξ × dη)IP_{M}^{∗(n)}(x, dz)
= ∑_{n=1}^{∞} r^{n+1} ∫_{S} ∫_{IR} P_{x}(τ > n, S_{n} ∈ B − η|M_{n} = z)IP (z, A × dη)φ^{∗(n)}(x, z, IR)ν(dz)
+r ∫_{IR} P_{x}(S_{0} ∈ B − η)IP (x, A × dη)
= ∫_{S} ∫_{IR} ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P_{x}(τ > n, S_{n} ∈ B − η|M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR)rIP (z, A × dη)ν(dz)
+rIP (x, A × B)
= ∫_{S} ∫_{A×IR} ρ_{r}^{τ}(x, z, B − η)rIP (z, dξ × dη)ν(dz) + rIP (x, A × B)
= ∫_{A} ∫_{S} ∫_{IR} ρ_{r}^{τ}(x, z, B − η)rφ(z, ξ, dη)ν(dz)ν(dξ) + rIP (x, A × B)
= ∫_{A}(ρ_{r}^{τ} ∗ (rφ))(x, ξ, B)ν(dξ) + rIP (x, A × B),

wobei wir von der fünften zur sechsten Zeile Lemma 4.7 angewendet haben. Die Behauptung folgt nun durch Übergang zu den ν-Dichten, die nun alle offensichtlich sind.

□

Man kann den Beweis auch auf Ebene der Dichten statt der Kerne führen. Dann benötigt man jedoch eine weitere Darstellung der Dichte ρ_{r}^{τ}, für die man wiederum auf Kernniveau argumentieren muß.

Beachte, daß x während des gesamten Beweises festgelassen wurde. Das bedeutet, daß für dieses Resultat auch ein dominierender Kern, etwa ν = ∑_{n≥0} \frac{1}{2^{n}} P_{·}^{M_{n}}, genügt. Man benötigt also hier noch nicht die simultane Dominiertheit durch ein Maß.

Lemma 4.12 (Dualität) Für alle 0 ≤ r ≤ 1 gilt ρ_{r}^{<} = υ_{r}^{∗≤∗} ν-f.s. (in demselben Sinne wie die Pitman-Gleichung).

Beweis: Sei zunächst N ≥ 1 beliebig. Dann ist

{τ^{<} > N, S_{N} ∈ B} = {∀_{n≤N}S_{N−n} ≤ 0, S_{N} ∈ B}
= {∀_{n≤N} S̃_{n} − S̃_{N} ≥ 0, S̃_{N} ∈ −B}
= {F̃_{N}, S̃_{N} ∈ −B}

in der Notation von Lemma 4.8, wobei F̃_{N} das Ereignis ist, daß der Zeitpunkt N ein schwach aufsteigendes Leiterereignis von S̃ ist.

Im folgenden sei (Ω^{∗}, A^{∗}, (M_{n}^{∗}, S_{n}^{∗})_{n≥0}, P^{∗}) ein stationäres Modell zum dualen Übergangskern IP^{∗}. Dann gilt für festes N und geeignete regulär bedingte Verteilungen

P (τ^{<} > N, S_{N} ∈ B|M_{0} = x, M_{N} = z) = P (F̃_{N}, S̃_{N} ∈ −B|M̃_{0} = z, M̃_{N} = x)
= P^{∗}(F_{N}^{∗}, S_{N}^{∗} ∈ −B|M_{0}^{∗} = z, M_{N}^{∗} = x)

Da man im Modell (Ω, A, (M_{n}, S_{n})_{n≥0}, (P_{x})_{x∈S}) die Zeitumkehr für jedes feste N formulieren kann, gilt für alle n ≥ 1

P (τ^{<} > n, S_{n} ∈ B|M_{0} = x, M_{n} = z) = P^{∗}(F_{n}^{∗}, S_{n}^{∗} ∈ −B|M_{0}^{∗} = z, M_{n}^{∗} = x).

Nun folgt die Behauptung mit Lemma 4.7, denn außerhalb von Ausnahmemengen, wie sie bei der Pitman-Gleichung erklärt sind, gilt

ρ_{r}^{<}(x, z, B) = ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P (τ^{<} > n, S_{n} ∈ B|M_{0} = x, M_{n} = z)φ^{∗(n)}(x, z, IR)
= ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P^{∗}(F_{n}^{∗}, S_{n}^{∗} ∈ −B|M_{0}^{∗} = z, M_{n}^{∗} = x)φ^{∗(n)}(x, z, IR)
= ∑_{n=1}^{∞} r^{n}P^{∗}(F_{n}^{∗}, S_{n}^{∗} ∈ −B|M_{0}^{∗} = z, M_{n}^{∗} = x)\frac{λ(x)}{λ(z)} (φ^{∗})^{∗(n)} (z, x, IR)
= υ_{r}^{∗≤∗}(x, z, B),

wobei noch auf Lemma 4.10 hingewiesen sei für die Verträglichkeit des Dualitätsoperators mit der Faltung. □

Satz 4.13 (Wiener-Hopf-Faktorisierung der Übergangsdichte) Im dominierten Fall gilt

φ = γ^{∗≤∗} + γ^{<} − γ^{∗≤∗} ∗ γ^{<} ν − f.s.

(in demselben Sinne wie die Pitman-Gleichung).

Beweis: Man substituiere für r < 1 die Dualitätsgleichung in die Pitman-Gleichung (für τ^{<}) und falte von links mit γ^{∗≤∗}:

υ_{r}^{∗≤∗} + γ_{r}^{<} = υ_{r}^{∗≤∗} ∗ (rϕ) + rϕ
υ_{r}^{∗≤∗} − γ_{r}^{∗≤∗} + γ_{r}^{∗≤∗} ∗ γ_{r}^{<} = υ_{r}^{∗≤∗} ∗ (rϕ)

Wegen des Diskontierens erhält man stets endliche Werte, so daß die entsprechende diskontierte Wiener-Hopf-Gleichung durch Subtraktion folgt. Nun kann man auf jeden Summanden den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden. Da die Grenzwerte aller auftretenden Terme endlich sind, folgt die Behauptung. □

Beachte, daß die Argumentation auch ohne Diskontieren möglich ist, wenn der Kern U^{∗≤∗} σ-endlich ist. Im nicht-modulierten Fall war dies stets der Fall (von der einzigen und trivialen Ausnahme S ≡ 0 einmal abgesehen). Hier ist die Ausnahmeklasse größer und nicht trivial; wir wollen dies hier jedoch nicht genauer diskutieren.

4.3 Wiener-Hopf-Faktorisierung der Kerne und Spezialfälle

Das vorangegangene Resultat impliziert sofort

Korollar 4.14 Im dominierten Fall gilt stets die Wiener-Hopf-Faktorisierung in Kernform

IP = G^{∗≤∗} + G^{<} − G^{∗≤∗} ∗ G^{<}

Beweis: Dies folgt durch einfache Integration bezüglich ν. □

Wenn ν das Zählmaß auf einer endlichen (oder abzählbaren) Menge ist, kann man die Dichten als (unendliche) Matrizen schreiben. Auf diese Weise identifizieren wir die Wiener-Hopf-Resultate, die Asmussen in [9], Abschnitt 4, herleitet.

Es sei also (M_{n}, S_{n})_{n≥0} ein Markov Random Walk mit irreduzibler Steuerkette in einem p-elementigem Zustandsraum S. Dann können wir die Dichten als Matrizen anordnen:

F_{i,j}(B) := P_{i}(M_{1} = j, X_{1} ∈ B), B ∈ B

für i, j ∈ S mit Gesamtmasse

∥F_{i,j}∥ = P_{i}(M_{1} = j) = p_{i,j},

und man hat mit F also eine derartige Matrix, daß die komponentenweise Gesamtmasse ∥F ∥ die Übergangsmatrix der zugrundeliegenden Markov-Kette ist. Da diese Markov-Kette irreduzibel ist, besitzt sie eine stationäre Verteilung ξ mit positiver Zähldichte λ. In diesem Fall kann man für N ≥ 1 die stationäre Zeitumkehr (M̃_{n})_{n≤N} betrachten. Es gilt für die Verteilungen F^{∗} der stationären Zeitumkehr von (M_{n}, X_{n})_{n≤N}

F_{i,j}^{∗}(B) = P (M̃_{1} = j, X̃_{1} ∈ B|M̃_{0} = i) = P_{ξ}(M_{0} = j, X_{1} ∈ B|M_{1} = i)
= \frac{P_{ξ}(X_{1} ∈ −B, M_{0} = j, M_{1} = i)}{P_{ξ}(M_{1} = i)} = \frac{λ(j)}{λ(i)}F_{j,i}(−B).

Es sei nun (M_{n}^{∗}, S_{n}^{∗})_{n≥0} ein Markov Random Walk mit Zuwachsverteilung F^{∗} und Anfangsverteilung δ_{(i,0)} unter P_{i}^{∗}, i ∈ S.

Auch die anderen auftretenden Dichten können durch Matrizen dargestellt werden als

G_{i,j}^{<}(B) := P_{i}(S_{τ^{<}} ∈ B, M_{τ^{<}} = j, τ^{<} < ∞),

R_{i,j}^{<}(B) := E_{i} ( ∑_{n=0}^{τ^{<}−1} 1_{B}(S_{n})1_{{j}}(M_{n})) ,

G_{i,j}^{∗≤}(B) := P_{i}^{∗}(S_{τ^{∗≤}}^{∗} ∈ B, M_{τ^{∗≤}}^{∗} = j, τ^{∗≤} < ∞),

G_{i,j}^{∗≤∗}(B) := \frac{λ(j)}{λ(i)}G_{j,i}^{∗≤}(B),

U_{i,j}^{∗≤∗}(B) := ∑_{n=0}^{∞}((G^{∗≤∗})^{∗(n)})_{i,j}(B),

wobei die Faltung hier definiert werden muß als

(C ∗ D)_{i,j} := ∑_{k∈S} C_{i,k} ∗ D_{k,j}.

Man erhält dann als Korollar zu Satz 4.13

Satz 4.15 Es gilt F = G^{∗≤∗} + G^{<} − G^{∗≤∗} ∗ G^{<}.

Asmussens [9] Beweis für dieses Resultat geht im wesentlichen den Weg des vorangegangenen Abschnitts. Dadurch, daß die bedingten Verteilungen hier elementar sind, ist die Argumentation an einigen Stellen einfacher.

Kennedy [15] gibt, wie in [14] bereits für den nicht modulierten Fall (vgl. Beweis 2 zu Satz 2.24), auch für den diskret Markov-modulierten den analogen pfadweisen Beweis, den wir jedoch hier nicht reproduzieren wollen. Das einzige zusätzliche Hilfsmittel im Vergleich zum nicht modulierten Fall ist ein Bedingen unter dem Wert der Markov-Kette zu den Stopzeiten.

Ähnlich wie Random Walks lassen sich auch Markov Random Walks durch ihre Drift klassifizieren.

Definition 4.16 Die stationäre Drift eines Markov Random Walk (S_{n})_{n∈IN} mit stationärer Verteilung ξ (Zähldichte λ) der zugrundeliegenden diskreten Markov-Kette mit Zustandstaum S ist im Falle der (möglicherweise uneigentlichen) Existenz definiert durch

μ := E_{ξ}(X_{1}) = ∑_{i,j∈S} λ(i) ∫_{IR} xF_{i,j}(dx).

Lemma 4.17 In der Situation dieses Abschnitts gilt:

E_{ξ}^{∗}(X_{1}^{∗}) = −μ.

Beweis: Man rechnet nach:

E_{ξ}(X_{1}^{∗}) = ∑_{i,j∈S} λ(i) ∫_{IR} xF_{i,j}^{∗}(dx) = ∑_{i,j∈S} λ(j) ∫_{IR}(−x)F_{j,i}(dx) = −μ.

□

Satz 4.18 In der Situation dieses Abschnitts gilt:

1. \frac{S_{n}}{n} → μ P_{i}-f.s. für alle i ∈ S.

2. Für μ < 0 ist ∥G^{<}∥ substochastisch und ∥G^{∗≤∗}∥ hat Spektralradius ρ(∥G^{∗≤∗}∥) = 1 mit linkem Eigenvektor λ zum Eigenwert 1.

3. Für μ > 0 ist ρ(∥G^{∗≤∗}∥) < 1 und ∥G^{<}∥ stochastisch mit stationärer Verteilung λ · (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥).

4. Für μ = 0 ist ρ(∥G^{∗≤∗}∥) = ρ(∥G^{<}∥) = 1, sofern nicht alle F_{i,j} = p_{i,j}δ_{0}.

Beweis: 1. Wir verweisen auf [4] Korollar 3.4 in Kapitel VIII.

2. Aus 1. folgt offenbar S_{n} → −∞ P_{i}-f.s. für alle i ∈ S (im folgenden kurz: fast sicher). Dann existieren fast sicher nur endlich viele streng aufsteigende Leiterindizes, so daß ∥G^{<}∥ substochastisch ist, da die Differenz von aufeinanderfolgenden Leiterhöhen wegen der unter der Markov-Kette bedingten Unabhängigkeit startend in i stets gemäß der i-ten Zeile von G^{<} verteilt ist. Ferner muß es fast sicher unendlich viele schwach absteigende Leiterindizes geben, so daß ∥G^{≥}∥ als Übergangsmatrix der auf schwach absteigende Leiterindizes reduzierten Markov-Kette stochastisch ist. Wegen Lemma 4.17 gilt \frac{S_{n}^{∗}}{n} → −μ fast sicher. Daher liefert dieselbe Argumentation, daß auch ∥G^{∗≤}∥ stochastisch ist, also ρ(∥G^{∗≤}∥) = ρ(∥G^{∗≤}∥^{t}) = 1. Nun ist

∥G^{∗≤∗}∥ = diag (\frac{1}{λ_{i}} , i ∈ S) ∥G^{∗≤}∥^{t}diag(λ_{i}, i ∈ S),

denn für die Multiplikation einer Matrix B mit Diagonalmatrizen A und C gilt

(ABC)_{i,j} = ∑_{k,l} A_{i,k}B_{k,l}C_{l,j} = A_{i,i}B_{i,j}C_{j,j}.

Da Eigenwerte Invarianten der Ähnlichkeitsklasse sind, folgt insbesondere

ρ(∥G^{∗≤∗}∥) = ρ(∥G^{∗≤}∥^{t}) = 1.

Da ∥G^{∗≤}∥ stochastisch ist, folgt nun

∑_{i∈S} λ(i)∥G_{i,j}^{∗≤∗}∥ = ∑_{i∈S} λ(j)∥G_{j,i}^{∗≤}∥ = λ(j),

so daß λ als linker Eigenvektor zum Eigenwert 1 identifiziert ist.

3. Die Spektralradien ergeben sich analog. Wegen ρ(∥G^{∗≤∗}∥) < 1 ist λ · (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥) ≠ 0. Wegen Satz 4.15, ausgewertet auf IR und unter Beachtung, daß die Gesamtmasse der Faltung gleich dem Produkt der Gesamtmassen ist, gilt

∥I∥ − ∥F ∥ = (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥)(∥I∥ − ∥G^{<}∥).

Multipliziert man mit λ = λ∥F ∥, so entsteht links 0 und rechts

λ · (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥)(∥I∥ − ∥G^{<}∥) = 0,

also

λ · (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥) = λ · (∥I∥ − ∥G^{∗≤∗}∥)∥G^{<}∥.

4. Nach Alsmeyer [3] gilt in diesem Fall fast sicher lim sup_{n→∞} S_{n} = ∞ und lim inf_{n→∞} S_{n} = −∞. Daher ist die Argumentation wie unter 2. und 3. □

Was die Erweiterung von endlichen auf diskrete Steuerketten angeht, so ist die entscheidende Eigenschaft der irreduziblen endlichen Markov-Kette die Existenz einer stationären Verteilung, die jedem Element von S positive Wahrscheinlichkeit zuordnet. Wenn diese Eigenschaft auf einem diskreten Zustandsraum erfüllt ist, kann man auch die Zeitumkehr genauso betrachten. Ferner bleibt auch die Klassifikation gültig, wobei natürlich die Matrizen unendlich sind. Da sie jedoch (sub)stochastisch sind, bereitet dies keine Probleme. Abschließend sei noch ein Beispiel gegeben, das die Effekte des Dualitätsoperators am Leiterkern näher beleuchtet.

Beispiel 4.19 (Leiterübergänge und Reskalierung) Sei p = 2, S = {1, 2} und für q, r ∈ (0, 1) und λ, ν > 0

F = ( \begin{matrix}(1 − q)Exp(λ)(−·) & qExp(ν) \\ rExp(ν) & (1 − r)Exp(ν) \end{matrix} ) ,

also negative Werte beim Übergang von 1 zu 1 und positive Werte sonst.

Dann ist ξ(1) = \frac{r}{q+r}, ξ(2) = \frac{q}{q+r} stationäre Verteilung der modulierenden Markov-Kette, und wegen

E_{ξ}(X_{1}) = \frac{1}{2} ((1 − q) (−\frac{1}{λ}) + (1 + q)\frac{1}{ν})

ist E_{ξ}(X_{1}) < 0 äquivalent zu λ < \frac{1−q}{1+q}ν. Dies sei im folgenden der Fall.

Man rechnet leicht nach, daß die Steuerkette reversibel ist. Die stationäre Zeitumkehr hat die gespiegelten Übergangskerne F^{∗} = F (−·).

Schwach absteigende Leiterhöhen kann es nur beim Übergang von 1 nach 1 geben. Insbesondere befindet sich die duale Markov-Kette beim schwach aufsteigenden Leiterindex in 1. Wegen E_{ξ}(X_{1}) < 0 sind die Übergangskerne hierzu stochastisch mit (für die Zeitumkehr)

∥G^{∗≤}∥ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Gemäß der Formel erhält man für die Reskalierung

∥G^{∗≤∗}∥ = \frac{1}{ξ(1)} ( \begin{matrix}ξ(1) & ξ(2) \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & \frac{q}{r} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Diese Matrix selbst hat keine naheliegende probabilistische Interpretation, da sie i. a. nicht stochastisch oder substochastisch ist.

Literaturverzeichnis

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[4] Gerold Alsmeyer: Skriptum zu Vorlesungen über ”Stochastische Prozesse“ im WS95/96, SS96, WS96/97 und SS97, Universität Münster 1997

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[14] J. E. Kennedy: Understanding the Wiener-Hopf factorization for the simple random walk, Journal of Applied Probability 31, p. 561-563, Applied Probability Trust 1994

[15] J. E. Kennedy: On Duality and the Spitzer-Pollaczek factorization for Random Walks. Preprint 1997

[16] Masao Nagasawa: Time Reversions of Markov Processes, Nagoya Mathematical Journal 24, p. 177-204, 1964

Erklärung

Hiermit versichere ich, daß ich diese Diplomarbeit selbst verfaßt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe. Münster, den 16. April 1999

Matthias Winkel