Fachbereich 10 - Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut
Prof. Dr. K. Langmann

Verallgemeinerte Gaußsche Summen und Diophantische Gleichungen

Ausgangspunkt ist die asymptotische Berechnung der Gaußschen Summe exp (2 p i k ), wobei (x, y) alle ganzen Zahlenpaare aus einem großen Bereich durchläuft. Bei dieser asymptotischen Entwicklung sind die Koeffizienten ganz eng mit den ganzzahligen Lösungen der Gleichung axⁿ + byⁿ = zⁿ korreliert. Daraus ergeben sich Folgerungen:

(1) Die diophantische Gleichung axⁿⁿ + byⁿ = zⁿ ist genau dann unlösbar, wenn die kleinsten Reste mod 1 der Zahlenmenge in einem naheliegenden Sinn gleichverteilt sind.

(2) Sei j :  ® und gegen ± ¥ schnell verschwindende C^¥-Funktion. Das dreidimensionale Integral über den Kubus [ - R, R ] ³ der Funktion j (ax + by + cz) soll mit (2 R) ³ vielen Stützstellen ( z_i, z_j, z_k )_-R i, j, k R; durch eine Riemannsche Zwischensumme approximiert werden.

Bei äquidistanten Stützstellen ist der Fehler ~ R². Bei monomialen Stützstellen z_i= (ⁱ/_R)ⁿ R (für n Î , n > 1 fest) ist der Fehler < ~ R ³/₂; genau dann, wenn die diophantische Gleichung axⁿ + byⁿ = czⁿ lösbar ist; ist diese unlösbar, so ist der Fehler R¹+. Wenn n Î Ç K für ein kompaktes Intervall K Ì nicht mehr fest ist und die obige Approximation bei laufendem n gleichmäßig ist, so ist für jedes n Î Ç K die diophantische Gleichung axⁿ + byⁿ = czⁿ unlösbar.

Beteiligter Wissenschaftler:

Prof. Dr. Klaus Langmann