Darstellungen der homogenen Lorentz-Gruppe

Umrechnung der ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$-Lie-Algebra (1.62 - 1.64) auf Operatoren

$$\vec{A}\,:=\,\frac{1}{2}\,(\vec{J}\,+\,i\,\vec{K}\,)\,\,,\qquad \vec{B}\,:=\,\frac{1}{2}\,(\vec{J}\,-\,i\,\vec{K}\,)$$ (3.1)

(Nichthermitisch in $(d\,=\,\infty$)-Darstellungen, wo $\vec{J}$ und $\vec{K}$ hermitisch):

$$[A^{k},\,A^{l}]\,=\,i\,\varepsilon^{klm}\,A^{m}\,\,,\qquad [B^{k},\,B^{l}]\,=\,i\,\varepsilon^{klm}\,B^{m}\,\,,$$ (3.2)

$$\shadowbox{ $[A^{k},\,B^{l}]\,=\,0$}\,\,.$$ (3.3)

$\Rightarrow$ Lie-Algebra von ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ = direkte Summe zweier $SU\,(2)$-Lie-Algebren. $\Rightarrow$ ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ lokal isomorph zu einem direkten Produkt $SU\,(2)\,\otimes\,SU\,(2)$, jedoch fortgesetzt zu komplexen und unbeschr„nkten Drehparametern:

$$\frac{1}{2}\,\omega_{\mu\nu}\,M^{\mu\nu}\,=\,(\vec{\varphi}\,-\,i... ...cdot\, \vec{A}\,+\,(\vec{\varphi}\,+\,i\,\vec{\lambda}\,)\,\cdot\,\vec{B}\,\,.$$ (3.4)

Endlichdimensionale irreduzible Darstellungen: zu erhalten als direkte Produkte zweier irreduzibler $SU\,(2)$-Darstellungen $D^{(j)}$ (siehe Quantenmechanik):

$$\shadowbox{ $D^{(j_{1},j_{2})}_{(m_{1},m_{2}), (n_{1},n_{2})}\,(... ...mbda})\, D^{(j_{2})}_{m_{2}n_{2}}\,(\vec{\varphi}\,+\,i\,\vec{\lambda})$}\,\,.$$ (3.5)

Dimension:

$$d\,(j_{1},\,j_{2})\,=\,(2\,j_{1}\,+\,1)\,(2\,j_{2}\,+\,1)$$ (3.6)

Nichtunit„r, da $\vec{A},\,\vec{B}$ nun durch hermitische $SU\,(2)$-Generatoren dargestellt, aber Drehvektoren komplex!          (Unter reinen Raumdrehungen $(\vec{\lambda}\,=\,0)$ ist diese Darstellung, wie beim Studium der Drehgruppe gezeigt, reduzible Produktdarstellung, ausreduzierbar in $D^{j_{1}+j_{2}}\,(\vec{\varphi}\,)\,\oplus\,\dots\, \oplus\,D^{\vert j_{1}-j_{2}\vert}\,(\vec{\varphi}\,)$. F�r $\vec{\lambda}\,\not=\,0$ irreduzibel). 2 verschiedene Fundamentaldarstellungen: $(j_{1},\,j_{2})\,=\,(\frac{1}{2},\,0)$ und $(0,\,\frac{1}{2})$ mit $D^{(0)}\,=\,1$ und

$$D^{(1/2)}\,(\vec{\zeta}\,) = \ensuremath{\mathrm{e}}^{-\frac{i}{2}\,\vec{\zeta}\,\cdot\, \vec{\sigma}}\,\,,\quad \vec{\zeta}\,\in\,{\cal{C}}^{3}\,\,,\quad \vec{\sigma}\,=\,$$

$$= \,\,2\,\times\,2$$

$$\quad\,\, \,\det\,=\,1\,( \,\,{\rm tr}\,\vec{\sigma}\,=\,0)$$ (3.7)

$$= \,\,SL\,(2,\,C)$$

a) Darstellung $(j_{1},\,j_{2})\,=\,(\frac{1}{2},\,0)$: linksh„ndige Weyl-Spinor-Darstellung:

$$\begin{array}{l} \vec{A}\,=\,\displaystyle{\frac{1}{2}}\,\ve... ...\sigma}\qquad \text{(beachte Nichthermitizit„t!)} \end{array}$$ (3.8)

Darstellungsraum = Raum der komplexen Zweierspalten (Weyl-Spinoren 1. Art oder linksh„ndige Weyl-Spinoren)

$$\chi\,=\,\chi_{\alpha}\,=\,\left( \begin{array}{c} \chi_{1}\\ \chi_{2}\end{array}\right)$$ (3.9)

mit Transformations-Matrix $\in\,SL\,(2,\,C)$ (2-dimensional komplex mit $\det\,=\,+1$):

$$\chi^{'}_{\alpha}\,=\,(S_{1}\,(\omega))_{\alpha}^{\,\,\,\beta}\,\chi_{\beta} \,\,,\quad (S_{1}\,(\omega))^{\,\,\,\beta}_{\alpha}\,\, \widehat{=} \,\, D^{(1/2)}\,(\vec{\varphi}\,-\,i\,\vec{\lambda}\,)$$

$$= \ensuremath{\mathrm{e}}^{(-\ensuremath{\mathrm{i}}\,\vec{\varphi}\,-\,\vec{\lambda}\,)\,\cdot\,(1/2)\,\vec{\sigma}} \,\in\,SL\,(2,\,C)$$ (3.10)

Einziger invarianter Tensor, der eine Metrik definiert, ist

$$\varepsilon\,=\,(\varepsilon_{\alpha\beta})\,=\,\left( \begin{array}{cc} 0 & +1 \\ -1 & 0\end{array}\right)\qquad (=\,i\,\sigma^{2})$$ (3.11)

$$\varepsilon^{-1}\,=\,(\varepsilon^{ \alpha\beta})\,=\,-\varepsil... ...}\,\varepsilon_{\beta\gamma}\,=\,\delta^{\alpha}_{\,\,\,\gamma} \qquad\,\,\,\,$$ (3.12)

Metrik:

$$(\psi,\,\chi)\,:=\,\psi^{\alpha}\,\chi_{\alpha}\,=\,\varepsilon^{... ...a}\, \psi_{\beta}\,\chi_{\alpha}\,=\,\psi_{1}\,\chi_{2}\,-\,\psi_{2}\,\chi_{1}$$ (3.13)

$(=\,-\psi_{\alpha}\,\chi^{\alpha}$!) b) Darstellung $(j_{1},\,j_{2})\,=\,(0,\,1/2)$: rechtsh„ndige Weyl-Spinor-Darstellung:

$$\begin{array}{l} \vec{A}\,=\,0\,\,,\qquad\quad \vec{B}\,=\,... ...\left(-\frac{i}{2}\,\vec{\sigma}\right)^{\dagger}} \end{array}$$ (3.14)

Darstellungsraum = Raum der rechtsh„ndigen oder Weyl-Spinoren 2. Art

$$\overline{\eta}\,=\,(\overline{\eta}^{\,\dot{\alpha}})\,=\,\left(... ... \overline{\eta}^{\,\dot{1}}\\ \overline{\eta}^{\,\dot{2}}\end{array}\right)$$ (3.15)

mit Transformations-Matrix (ebenfalls $SL\,(2,\,C)$-Element):

$$\overline{\eta}^{\,'\dot{\alpha}}\,=\,(S_{2}\,(\omega))^{\dot{\al... ...{\beta}}\,\,,\qquad (S_{2}\,(\omega))^{\dot{\alpha}}_{\,\,\,\,\dot{\beta}}\,\, \widehat{=} \,\,D^{(1/2)}\,(\vec{\varphi}\,+\,i\,\vec{\lambda}\,)$$

$$= \ensuremath{\mathrm{e}}^{(-\ensuremath{\mathrm{i}}\,\vec{\varphi}\,+\,\vec{\lambda}\,)\,\cdot\,(1/2)\,\vec{\sigma}}$$ (3.16)

Einziger Metrik definierender invarianter Tensor ist

$$\overline{\varepsilon}\,=\,(\overline{\varepsilon}^{\,\dot{\alpha... ... \\ +1 & 0 \end{array}\right)\qquad (=\,-\ensuremath{\mathrm{i}}\,\sigma^{2})$$ (3.17)

$$\overline{\varepsilon}^{\,-1}\,=\,(\overline{\varepsilon}_{\dot{\... ...on}^{\,\dot{\gamma}\dot{\beta}}\,=\, \delta_{\dot{\alpha}}^{\,\,\,\dot{\beta}}$$ (3.18)

Metrik:

$$(\overline{\vartheta},\,\overline{\eta}\,) = \overline{\vartheta}_{\dot{\alpha}}\,\overline{\eta}^{\,\dot{\... ...{\,\dot{2}}\,+\, \overline{\vartheta}^{\,\dot{2}}\,\overline{\eta}^{\,\dot{1}}$$

$$( = -\overline{\vartheta}^{\,\dot{\alpha}}\,\overline{\eta}_{\dot{\alpha}}\,\,!)$$ (3.19)

Wegen

$$\overline{\varepsilon}^{\,-1}\,\vec{\sigma}\,\overline{\varepsilon}\,=\, -\vec{\sigma}^{\,\,*}$$ (3.20)

ist

$$\overline{\varepsilon}^{\,-1}\,S_{2}\,(\omega)\,\overline{\varepsilon}\,=\, (S_{1}\,(\omega))^{*}$$ (3.21)

d. h. $(\chi_{\alpha})^{*}$ transformiert sich ebenso wie $(\overline{\varepsilon}^{\,-1}\,\overline{\eta})_{\dot{\alpha}}\,=\, \overline{\varepsilon}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\,\overline{\eta}^{\dot{\beta}}$, n„mlich mit der Matrix $(S_{1}\,(\omega))^{*}$. Daher Beziehung zwischen ungepunkteten und gepunkteten Komponenten desselben Spinors zu definieren als

$$\shadowbox{ $(\chi_{\alpha})^{*}\,=\,\chi_{\dot{\alpha}}$}\,\,.$$ (3.22)

Da Komplexkonjugation nicht durch Žhnlichkeitstransformation erreichbar (auáer bei unit„ren $S$, d. h. der Untergruppe $SU\,(2)$ mit $\vec{\lambda}\,=\,0)$, sind beide Fundamentaldarstellungen in„quivalent. Darstellung der Parit„tsoperation (d. h. von ${\cal{L}}^{\uparrow}$) Unter Raumspiegelung $P\,\to\,T\,(P)$ $\vec{K}$ Vektor, aber $\vec{J}$ Pseudovektor:

$$T\,(P)\,\vec{J}\,T\,(P)^{-1}\,=\,\vec{J}\,\,,\qquad T\,(P)\,\vec{K}\,T\,(P)^{-1}\,=\,-\vec{K}$$ (3.23)

Daher

$$T\,(P)\,\left\{\begin{array}{c} \vec{A}\\ \vec{B} \end{array}\r... ...T\,(P)^{-1}\,=\, \left\{\begin{array}{c} \vec{B}\\ \vec{A}\end{array}\right\}$$ (3.24)

$$\shadowbox{ $T\,(P)\,D^{(j_{1},j_{2})}\,(\vec{\varphi},\,\vec{\l... ...}\,)\,T\,(P)^{-1}\,=\, D^{(j_{2},j_{1})}\,(\vec{\varphi},\,-\vec{\lambda}\,)$}$$ (3.25)

D. h. $D^{(j_{1},j_{2})}$ im allgemeinen keine Darstellung der Parit„tsoperation! 2 M”glichkeiten, um $P$ darzustellen:          (i) Wahl einer Darstellung mit $j_{1}\,=\,j_{2}\,=\,j$, dim $=\,(2\,j\,+\,1)^{2}$. Beispiel: Darstellung $D^{(1/2),(1/2)}$ auf Spinoren der Stufe (1, 1) mit 1 ungepunkteten und 1 gepunkteten Index, $\chi_{\alpha\dot{\beta}}$, also 4 Komponenten; diese „quivalent zur Vektordarstellung $(\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu})$, d. h. zur klassischen $SO\,(3,\,1)$, gem„á $x^{'\mu}\,=\,\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,x^{\nu}$; dort $P$ dargestellt durch diag $(-1,\,1,\,1,\,1)$.          (ii) Verdopplung der Komponentenzahl und šbergang zu der (unter ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ reduziblen) direkten Summe $D^{(j_{1},j_{2})}\,\oplus\,D^{(j_{2},j_{1})}$ mit dim = $2\,\times\, (2\,j_{1}\,+\,1)\,\times\,(2\,j_{2}\,+\,1)$. Dort $T\,(P)$ dargestellt durch die Matrix mit 2 auáerdiagonalen Einheitsbl”cken.          Wichtigstes Beispiel: Darstellung $D^{\rm Dirac}\,=\, D^{(1/2,\,0)}\,\otimes\,D^{(0,\,1/2)}$ auf vierdimensionalem Raum der Dirac- oder Viererspinoren

$$\psi\,=\,\left(\begin{array}{c} \chi_{\alpha}\\ \overline{\et... ...\begin{array}{cc} 0 & {\rm 1\!l}_{2}\\ {\rm 1\!l}_{2} & 0\end{array}\right)$$ (3.27)

Grassmannwertige Spinoren Skalarprodukte $(\psi,\,\chi)$ und $(\overline{\vartheta},\,\overline{\eta})$ in beiden Weyl-Darstellungen antisymmetrisch gegen Faktorenvertauschung, d. h. $(\chi,\,\chi)\,=\,0$ und $(\overline{\eta},\,\overline{\eta}\,)\,=\,0$, wenn Spinorkomponenten gew”hnlich reelle oder komplexe Zahlen. $\Rightarrow$ Lorentzinvariante Dichten $\not\equiv\,0$ f�r Weyl-Spinoren nur definierbar, wenn Spinorkomponenten ,,antikommutierende Zahlen``, genauer:

$$\psi_{\beta}\,\chi_{\alpha}\,=\,-\chi_{\alpha}\,\psi_{\beta}\,\,;... ...}\,=\, -\overline{\eta}^{\,\dot{\alpha}}\,\overline{\vartheta}^{\,\dot{\beta}}$$ (3.28)

Dann und nur dann

$$(\psi,\,\chi)\,=\,(\chi,\,\psi)\,\,;\qquad (\overline{\vartheta},\,\overline{\eta}\,)\,=\,(\overline{\eta},\,\overline{\vartheta}\,)$$ (3.29)

$$(\chi,\,\chi)\,=\,2\,\chi_{1}\,\chi_{2}\,\not\equiv\,0\,\,; \qqu... ...\,=\,2\,\overline{\eta}^{\,\dot{2}}\,\overline{\eta}^{\,\dot{1}}\,\not\equiv\,0$$ (3.30)

Tieferer Grund f�r Notwendigkeit antikommutierender Operatoren f�r Fermionenfelder in der Quantenfeldtheorie.