Die Lie-Algebra der Poincar‚-Gruppe

Motivation: Als zentrales Postulat der Speziellen Relativit„tstheorie (Einstein 1905) kann gelten, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen die gleiche Form annehmen (,,relativistische Kovarianz``) und dass die šberg„nge zwischen zwei Inertialsystemen durch die Gruppe der homogenen bzw. (bei Hinzunahme von Translationen) inhomogenen Lorentz-Transformationen beschrieben werden kann. Es ist daher wesentlich, Struktur und m”gliche Darstellungen dieser Gruppen zu kennen. Relativistische Notation Raum-Zeit-Punkt (,,Ereignis``) beschrieben durch kontravariante Koordinaten

$$\{x^{\mu}\,\vert\,\mu\,=\,0,\,1,\,2,\,3\}\,=\, \{x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\}\,=\,\{x^{0},\,\vec{x}\,\}$$ (1.1)

mit $x^{0}\,=\,c\,t\,=\,t$ (Einheiten mit $c\,=\,1$). Metrischer Tensor:

$$(\eta_{\mu\nu})\,=\, \,(+1,\,-1,\,-1,\,-1)\,=\,(\eta_{\nu\mu})\qquad ( )\,\,.$$ (1.2)

Inverser metrischer Tensor:

$$(\eta^{\mu\nu})\,=\, \,(+1,\,-1,\,-1,\,-1)\,=\,(\eta^{\nu\mu})$$ (1.3)

mit

$$\eta^{\mu\rho}\,\eta_{\rho\nu}\,=\,\delta^{\mu}_{\,\,\,\nu} \qquad ( )\,\,.$$ (1.4)

Kovariante Koordinaten (,,Herunterziehen von Indizes``):

$$\{x_{\mu}\}:\,=\,\{\eta_{\mu\nu}\,x^{\nu}\}\,=\,\{x^{0},\,-\vec{x}\,\}$$ (1.5)

Heraufziehen:

$$\eta^{\mu\nu}\,x_{\nu}\,=\,x^{\mu}$$ (1.6)

Minkowski-Skalarprodukt:

$$\shadowbox{ $x\,\cdot\,y\,:=\,\eta_{\mu\nu}\,x^{\mu}\,y^{\nu}\,=... ...} x^{\mu}\,y_{\mu}\\ x_{\nu}\,y^{\nu} \end{array}\right\}\,=\,y\,\cdot\,x$}$$ (1.7)

$$=\,x^{0}\,y^{0}\,-\,\vec{x}\,\cdot\,\vec{y}\hspace{2.1cm}$$ (1.8)

,,Indefinite Metrik`` im Sinne von

$$x^{2}\,:=\,x\,\cdot\,x\,=\,(x^{0})^{2}\,-\,\vec{x}^{\,2}\,\begin{array}{c} >\vspace*{-3mm}\\ =\vspace*{-3mm}\\ < \end{array}\,0$$ (1.9)

$$x\,=\,\{x^{\mu}\}\,=\,\left\{ \begin{array}{lll} \text{,,zeitar... ...\,=\,0\\ \text{,,raumartig\lq\lq } & \text{f�r} & x^{2}\,<\,0 \end{array} \right. )$$

Menge der vierdimensionalen Raum-Zeit-Punkte (1.1/5) mit indefiniter Metrik (1.7/9) = ,,Minkowski-Raum`` ${\rm l\!R}^{3,1}$ oder ${\cal{M}}^{4}$. Homogene Lorentz-Gruppe ${\cal{L}}$ Menge der linearen homogenen Transformationen des ${\cal{M}}^{4}$,

$$\Lambda\,:\qquad x^{\mu}\,\,\longrightarrow\,\,x^{'\mu}\,=\, \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,x^{\nu}\,\,,$$ (1.10)

beschrieben durch relle $4\times 4$-Matrix $(\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu})$ (oder ( $\Lambda_{\mu\nu}\,=\,\eta_{\mu\rho}\,\Lambda^{\rho}_{\,\,\,\nu}$) usw.), welche Minkowski-Skalarprodukt invariant lassen:

$$x^{'}\,\cdot\,y^{'}\,\equiv\,(\Lambda\,x)\,\cdot\,(\Lambda\,y)\,=\, x\,\cdot\,y$$ (1.11)

$\Longleftrightarrow$

$$\shadowbox{ $\eta_{\rho\sigma}\,\Lambda^{\rho}_{\,\,\,\mu}\,\Lambda^{\sigma}_{\,\,\,\nu}\,=\,\eta_{\mu\nu}$}$$ (1.12)

oder mit Definition transponierter Matrizen

$$(\Lambda^{T})_{\mu}^{\,\,\,\rho}\,:=\,\Lambda^{\rho}_{\,\,\,\mu}$$ (1.13)

kurz

$$\Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda\,=\,\eta \qquad ( )\,\,.$$ (1.14)

Bilden Gruppe ${\cal{L}}$: bei Nacheinanderausf�hrung zweier Transformationen $\Lambda_{1},\,\Lambda_{2}$:

$$(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1})^{T}\,\eta\,(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1})\... ..._{2})\,\Lambda_{1}\,=\, \Lambda_{1}^{\,\,\,T}\,\eta\,\Lambda_{1}\,=\,\eta\,\,.$$ (1.15)

Einselement (Identit„t):

$$({\rm 1\!l})^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,=\,\eta^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,=\, \... ...,\,\nu}\,\,,\quad {\rm 1\!l}\,\Lambda\,=\,\Lambda\,{\rm 1\!l}\,=\,\Lambda\,\,.$$ (1.16)

Inverses Element zu $\Lambda$: nach (1.14)

$$\eta^{-1}\,\Lambda^{T}\eta\,\Lambda\,=\,\eta^{-1}\,\eta\,=\,{\rm ... ...tarrow\quad \shadowbox{ $\Lambda^{-1}\,=\,\eta^{-1}\,\Lambda^{T}\,\eta$}\,\,.$$ (1.17)

Aus (1.14) durch Determinantenbildung:

$$({\rm det}\,\Lambda)^{2}\,=\,1\quad \Rightarrow\quad {\rm det}\,\Lambda\,=\,+1 \quad -1\,\,.$$ (1.18)

Weiter aus (1.12) f�r $\mu\,=\,\nu\,=\,0$:

$$(\Lambda^{0}_{\,\,\,0})^{2}\,=\,1\,+\,\sum\limits_{n\,=\,1}^{3}\,(\Lambda^{n}_{\,\,\,0})^{2}\quad \Rightarrow\quad \Lambda^{0}_{\,\,\,0}\,\geq\,+1 \quad \leq\,-1$$ (1.19)

Daher Einteilung von ${\cal{L}}$ in vier disjunkte St�cke:

$$\left. \begin{tabular}{c\vert c\vert l} {\rm sgn}\,$\Lambda^{0}... ...Lambda_{P})^{\mu}_{\,\,\,\nu}$\ = diag (-1, -1, -1, -1)} \end{tabular}\right\}$$ (1.20)

Parametrisierung von ${\cal{L}}_{+}^{\uparrow}$: 16 Matrixelemente mit 10 Nebenbedingungen (1.12) $\Rightarrow$ 6 Parameter. Zweckm„áige Parametrisierung mit Bezug auf die 2 wesentlichen Teilwirkungen des allgemeinen $\Lambda\,\in\,{\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$: $\bullet$ Raumdrehung $R$ (nur Raumkoordinaten $\vec{x}$ unter sich orthogonal transformiert): parametrisierbar durch

$$\,\,\,\vec{\varphi}\,=\,\underbrace{\varphi}_{\text{ Drehwinkel}... ...race{\hat{\varphi}}_{\text{Drehachse}}\,\,, \qquad 0\,\leq\,\varphi\,\leq\,\pi$$ (1.21)

$\bullet$ Schubtransformation (,,Boost``) $B$, d. h. Transformation zwischen relativ zueinander gleichf”rmig mit Geschwindigkeit $\vec{v},\,\vert\vec{v}\,\vert\,<\,c$, bewegten Bezugssystemen, parametrisierbar durch $0\,\leq\,\vert\vec{v}\,\vert\,/\,c\,<\,1$ oder zweckm„áiger durch

$$\,\,\,\vec{\lambda}\,=\,\lambda\,\cdot\, \hat{v} \quad \lambda\,=\, \,\left(\frac{ \vert\vec{v}\,\vert}{c}\right)\,\,,\quad 0\,\leq\,\lambda\,<\,\infty$$ (1.22)

Beachte: Parameterbereich f�r Boosts - und damit f�r ${\cal{L}}$ - nichtkompakt (f�r Untergruppe $SO\,(3)$ der reinen Raumdrehungen kompakt). Zusammenfassung der Komponenten $\varphi^{k},\,\lambda^{k}\,\,(k\,=\,1,\,2,\,3)$ zu antisymmetrischem Parametertensor $\omega\,=\,-\eta^{-1}\,\omega^{T}\,\eta$:

$$\omega_{\mu\nu}\,:=\,\sum\limits_{k\,=\,1}^{3}\,(\varepsilon_{0\m... ...,k}\,-\,\eta_{\nu 0}\,\eta_{\mu}^{\,\,\,k})\, \lambda^{k}\,=\,-\omega_{\nu\mu}$$ (1.23)

mit nichtverschwindenden Elementen

$$\omega_{mn}\,=\,\varepsilon_{mn}^{\quad\,\,k}\,\varphi^{k}\,\,,\quad \omega_{0m}\,=\,-\omega_{m0}\,=\,\lambda^{m}\quad (m,\,n\,=\,1,\,2,\,3)$$ (1.24)

Damit Exponentialdarstellung f�r $\Lambda\,\in\,{\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$:

$$\shadowbox{ $\Lambda\,=\,e^{-\omega}\,=\,\Lambda\,(\omega)$}\,\,;\qquad \Lambda\,=\,{\rm 1\!l}\,\,\Leftrightarrow\,\,\omega\,=\,0\,\,.$$ (1.25)

Beachte: $\Lambda$ = Raumdrehung $R\,\,\Leftrightarrow\,\, \Lambda^{0}_{\,\,\,0}\,=\,1$ (da dann $\Lambda^{n}_{\,\,\,0}\,=\,0$ nach (1.19)). Tensoren der Stufe n bez�glich ${\cal{L}}$: def. durch Transformationsverhalten

$$T^{'}_{\,\,\mu_{1}\mu_{2}\dots \mu_{n}}\,=\,T_{\nu_{1}\nu_{2}\do... ...a^{\nu_{2}}_{\,\,\,\,\,\mu_{2}}\,\dots\, \Lambda^{\nu_{n}}_{\,\,\,\,\,\mu_{n}}$$ (1.26)

$(n\,=\,1$: Vierervektor) Nur 2 invariante (in allen Bezugssystemen gleiche) Tensoren: - metrischer Tensor $\eta_{\mu\nu}$ (Siehe Gl. (1.12)) unter ${\cal{L}}$; - vollst„ndig antisymmetrischer Tensor 4. Stufe $(\varepsilon$-Tensor)

$$\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\, =\,\left\{ \begin{array}{cl... ...\,, & \text{sonst (d. h. wenn 2 oder mehr Indizes gleich)} \end{array} \right.$$ (1.27)

Letzterer transformiert sich mit Faktor $\det\,\Lambda$, ist also invariant unter ${\cal{L}}_{+}$ (,,Pseudotensor``). (Beachte:

$$\begin{array}{c} \varepsilon_{0123}\,=\,-\varepsilon^{0123}\... ...n\text{-Tensor mit}\, \,\varepsilon^{123}\,=\,+1) \end{array}$$ (1.28)

Poincar‚-Gruppe (inhomogene Lorentz-Gruppe) ${\cal{P}}$ bzw. ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$ Gruppe der inhomogenen linearen Transformationen auf ${\cal{M}}^{4}$:

$$x\,\to\,x^{'}\,=\,\Lambda\,x\,+\,a\,\,;\qquad x^{'\mu}\,=\,\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,(\omega)\,x^{\nu}\,+\,a^{\mu}$$ (1.29)

$$\Lambda\,=\,\Lambda\,(\omega)\,\in\,{\cal{L}} \quad \in\,{\cal{L}}^{\uparrow}_{+}\,\,;\qquad -\infty\,<\,a^{\mu}\,<\,+\infty$$ (1.30)

Schreibweise f�r Gesamttransformation: $(\Lambda,\,a)$ oder $(\Lambda\,(\omega),\,a)\,\in\,{\cal{P}}$. Gruppenmultiplikation:

$$x^{''}\,=\,\Lambda_{2}\,x^{'}\,+\,a_{2}\,=\,\Lambda_{2}\,(\Lambda... ...\,+\,a_{2}\,=\,(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1})\,x\,+\,(\Lambda_{2}\,a_{1}\,+\,a_{2})$$ (1.31)

$$\left. \begin{array}{c} (\Lambda_{2},\,a_{2})\,\circ\,(\Lambda_... ...a,\,0)\,\,\,\,\,^{*)} \end{array}\right\}\,\,\text{ ,,Semidirektes Produkt\lq\lq }$$ (1.32)

F�r $\Lambda_{2}\,=\,\Lambda_{1}\,=\,{\rm 1\!l}$: Kommutativit„t der Translationen

$$({\rm 1\!l},\,a_{2})\,\circ\,({\rm 1\!l},\,a_{1})\,=\,({\rm 1\!l},\,a_{1}\,+\,a_{2})$$ (1.33)

Einsetzen der Zerlegung in Multiplikationsgesetz:

$$({\rm 1\!l},\,a_{2})\,\circ\,(\Lambda_{2},\,0)\,\circ\, ({\rm 1\!l},\,a_{1})\,\circ\,(\Lambda_{1},\,0) = \underbrace{({\rm 1\!l},\,\Lambda_{2}\,a_{1}\,+\,a_{2})}\qquad\circ\qquad \underbrace{(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1},\,0)}$$

$$= ({\rm 1\!l},\,a_{2})\,\circ\,({\rm 1\!l},\,\Lambda_{2}\,a_{1})\qquad =\,(\Lambda_{2},\,0)\,\circ\,(\Lambda_{1},\,0)$$

$\Rightarrow$

$$(\Lambda_{2},\,0)\,\circ\,({\rm 1\!l},\,a_{1})\,=\, ({\rm 1\!l},\,\Lambda_{2}\,a_{1})\,\circ\,(\Lambda_{2},\,0)$$

oder

$$\shadowbox{ $(\Lambda,\,0)\,\circ\,({\rm 1\!l},\,a)\,\circ\,(\Lambda^{-1},\,0)\,=\, ({\rm 1\!l},\,\Lambda\,a)$}\,\,.$$ (1.34)

Darstellungen und Generatoren von ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$ Eindeutige und multiplikationstreue Abbildung (Homomorphismus)

$$(\Lambda,\,a)\,\in\,{\cal{P}}^{\uparrow}_{+}\,\longrightarrow\, \,\,T\,(\Lambda,\,a)$$ (1.35)

auf $d$-dimensionalem Vektorraum ($d\times d$-Matrix), wobei

$$({\rm 1\!l},\,0)\,\longrightarrow\,T\,({\rm 1\!l},\,0)\,=\,{\rm 1\!l}_{d\,\times\,d}$$ (1.36)

und

$$\shadowbox{ $T\,(\Lambda_{2},\,a_{2})\,T\,(\Lambda_{1},\,a_{1})\,=\,T \,(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1},\,\Lambda_{2}\,a_{1}\,+\,a_{2})$}$$ (1.37)

Daraus folgen wie oben:

$$T\,(\Lambda,\,a)\,=\,T\,({\rm 1\!l},\,a)\,T\,(\Lambda,\,0)\,\,;$$ (1.38)

$$T\,({\rm 1\!l},\,a_{2})\,T\,({\rm 1\!l},\,a_{1})\,=\, T\,({\rm 1\!l},\,a_{1}\,+\,a_{2})$$ (1.39)

$$T\,(\Lambda,\,0)\,T\,({\rm 1\!l},\,a)\,(T\,(\Lambda,\,0))^{-1}\,=\, T\,({\rm 1\!l},\,\Lambda\,a)$$ (1.40)

Inverses einer Poincar‚-Transformation dargestellt durch

$$(T\,(\Lambda,\,a))^{-1}\,=\,T\,(\Lambda^{-1},\,-\Lambda^{-1}\,a)\,\,.$$ (1.41)

Daraus Beziehung, die Nichtkommutativit„t der Gruppenmultiplikation charakterisiert:

$$\begin{array}{c} T\,(\Lambda_{2},\,a_{2})\,T(\Lambda_{1},\,a... ...Lambda_{2}\,\Lambda_{1}\,\Lambda_{2}^{-1})\,a_{2}) \end{array}$$ (1.42)

Infinitesimale Form in N„he der Identit„t $({\rm 1\!l},\,0)$: $\delta\,\omega,\,\delta\,a$ klein; definiert Generatoren $M^{\mu\nu}$ der homogenen Lorentz-Gruppe und $P^{\mu}$ der Translationsgruppe (Drehimpuls-, Boost- bzw. Impulsoperatoren) in der betrachteten Darstellung

$$T\,(\Lambda\,(\delta\,\omega)\,=\,{\rm 1\!l}\,-\,\delta\,\omega,\,0)\,=\, {\rm 1\!l}_{d}\,-\,\frac{i}{2}\,\delta\,\omega_{\mu\nu}\,M^{\mu\nu}$$ (1.43)

$$(M_{\nu\mu}\,=\,-M_{\mu\nu})$$ (1.44)

$$T\,({\rm 1\!l},\,\delta\,a)\,=\,{\rm 1\!l}_{d}\,-\,i\,\delta\,a_{\mu}\, P^{\mu}$$ (1.45)

$\{M^{\mu\nu},\,P^{\mu}\}\,=$ Basis der Lie-Algebra (d. h. des Tangentialraums bei Id.) von ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$ (10-dimensional, entsprechend 10 Parametern). F�r Dimension d endlich: T nichtunit„r, $M^{\mu\nu}$ und $P^{\mu}$ nichthermitisch (Folge der Nichtkompaktheit). Siehe Abschnitt 3! F�r Dimension $d\,=\,\infty$ (z. B. quantentheoretischer Hilbertraum): unit„re Darstellung. ( $T^{\dagger}\,=\,T^{-1})$ m”glich (und f�r Quantentheorie allein interessierend, da Operator zu Symmetrietransformation Messwahrscheinlichkeiten erhalten muss). Schreibweise dann $U\,(\Lambda,\,a)$ statt $T$. Generatoren in solchen Darstellungen hermitisch:

$$M_{\kappa\lambda}^{\,\,\,\,\,\,\dagger}\,=\,M_{\kappa\lambda}\,\,,\quad P_{\mu}^{\,\,\,\dagger}\,=\,P_{\mu}\qquad (d\,=\,\infty)$$ (1.46)

Parametrisierung endlicher $T\,(\Lambda,\,a)$ aus (1.43/45) durch Exponentiation und Anwendung von (1.38):

$$\shadowbox{ $T\,(\Lambda\,(\omega),\,a)\,=\,\underbrace{ \ensur... ...h{\mathrm{i}}}{2}\,\omega_{\mu\nu}\,M^{\mu\nu}}}_{T\,(\Lambda\,(\omega),\,0)}$}$$ (1.47)

Zugleich: Darstellung von $T$ als Element einer Nebenklasse mit Repr„sentant $T\,({\rm 1\!l},\,a)$ bez�glich der ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$-homomorphen Untergruppe der $T\,(\Lambda,\,0)$. Beachte: alternative Darstellung mittels eines einzigen Exponentialoperators,

$$T\,(\Lambda\,(\omega),\,a)\,=\,\ensuremath{\mathrm{e}}^{-\ensurem... ...rm{i}}\,[ A_{\mu}\,P^{\mu}\,+\,\frac{1}{2}\,\Omega_{\mu\nu}\,M^{\mu\nu}]}\,\,,$$ (1.48)

hat andere Parameter, die jedoch, da ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$ Lie-Gruppe, glatte Funktionen der $a,\,\omega$ (und umgekehrt):

$$A_{\mu}\,=\,A_{\mu}\,(\omega,\,a) \quad A_{\mu}\,(0,\,a)\,=\,a_{\mu}$$ (1.49 a)

$$\Omega_{\mu\nu}\,=\,\Omega_{\mu\nu}\,(\omega,\,a) \quad \Omega_{\mu\nu}\,(\omega,\,0)\,=\,\omega_{\mu\nu}\,\,\,\,^{*)}$$ (1.49 b)

Vertauschungsrelationen der Generatoren (Lie-Algebra von ${\cal{P}}_{+}^{\uparrow}$) Aus der Kommutativit„t der Translationen (1.39) mit (1.47) sofort

$$\shadowbox{ $[P^{\mu},\,P^{\nu}]\,=\,0$}$$ (1.50)

Aus (1.40) durch Linearisierung in $a$ (verwende $(\Lambda\,a)\,\cdot\,P\,=\,a\,\cdot\,(\Lambda^{-1}\,P))$:

$$T\,(\Lambda,\,0)\,P^{\mu}\,(T\,(\Lambda,\,0))^{-1}\,=\, (\Lambda^{-1})^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,P^{\nu}$$ (1.51)

D. h. Viererimpuls $P^{\mu}$ transformiert als Vierervektor. Linearisierung in $\omega$:

$$(\Lambda^{-1})^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,=\,\delta^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,+\, \omega^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,+\,0\,(\omega^{2})\,\,,$$ (1.52)

$$(\Lambda^{-1})^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,P^{\nu}\,=\,P^{\mu}\,+\, \frac... ...\rho\sigma}\,(\eta^{\mu\rho}\,P^{\sigma}\,-\, \eta^{\mu\sigma}\,P^{\rho})\,\,,$$ (1.53)

ergibt

$$\shadowbox{ $[M^{\rho\sigma},\,P^{\mu}]\,=\,i\,(\eta^{\rho\mu}\,P^{\sigma}\,-\, \eta^{\sigma\mu}\,P^{\rho})$}\,\,.$$ (1.54)

Aufteilung der $M^{\mu\nu}$ in

$$\shadowbox{ $\displaystyle{ J^{k}\,=\,-\frac{1}{2}\,\varepsilon... ...}^{k}\,M^{mn}\,\,;\qquad k\,=\,1,\,2,\,3\quad \text{(Drehimpulsoperatoren)}}$}$$ (1.55)

$$\shadowbox{ $K^{n}\,=\,M^{n0}\,=\,-M^{0n}\,\,;\qquad n\,=\,1,\,2,\,3\quad \text{(Boost-Generatoren)}$}$$ (1.56)

(wobei $\varepsilon^{kmn}\,=\,\varepsilon^{0kmn},\,\varepsilon^{0123}\,=\,+1$) gibt

$$[J^{k},\,P^{0}]\,=\,0\,\,,\quad [J^{k},P^{l}]\,=\,i\,\varepsilon^{klm}\,P^{m}$$ (1.57)

$$[K^{n},\,P^{0}]\,=\,-i\,P^{n}\,\,,\quad [K^{n},\,P^{l}]\,=\,i\,\underbrace{\eta^{nl}}_{-\delta^{nl}}\,P^{0}$$ (1.58)

F�r Lorentz-Generatoren $M^{\mu\nu}$ ausgehen von Multiplikations-Gesetz mit $a$ïs = 0 in der Form

$$T\,(\Lambda_{2},\,0)\,T\,(\Lambda_{1},\,0)\,(T\,(\Lambda_{2},\,0))^{-1}\, =\,T\,(\Lambda_{2}\,\Lambda_{1}\,\Lambda_{2}^{-1})$$ (1.59)

Linearisierung von $\Lambda_{1}$ und $T\,(\Lambda_{1},\,0)$:

$$T\,(\Lambda,\,0)\,M^{\rho\sigma}\,(T\,(\Lambda,\,0))^{-1}\,=\, \... ...,\sigma} \,-\,\Lambda_{\kappa}^{\,\,\,\sigma}\,\Lambda^{\,\,\,\rho}_{\lambda}]$$ (1.60)

($M$ transformiert unter ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ als antisymmetrischer Tensor 2. Stufe). Weitere Linearisierung von $\Lambda$ und $T\,(\Lambda,\,0)$ gibt dann

$$\shadowbox{ $[M^{\mu\nu},\,M^{\rho\sigma}]\,=\,i\,(\eta^{\mu\rho... ...u\rho}\,-\, \eta^{\mu\sigma}\,M^{\nu\rho}\,-\,\eta^{\nu\rho}\,M^{\mu\sigma})$}$$ (1.61)

(Lie-Algebra von ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ ist Unteralgebra der Lie-Algebra von ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$; Strukturkonstanten werden von $\eta^{\alpha\beta}$-Kombinationen gebildet). Aufteilung nach $J$ïs und $K$ïs:

$$\shadowbox{ $[J^{k},\,J^{l}]\,=\,i\,\varepsilon^{klm}\,J^{m}$} \qquad (\vec{J}\, \,$$ (1.62)

$$\shadowbox{ $[J^{k},\,K^{n}]\,=\,i\,\varepsilon^{knm}\,K^{m}$}\qquad (\vec{K}\, )\hspace*{2cm}\,\,$$ (1.63)

$$\begin{array}{ll} \shadowbox{ $[K^{m},\,K^{n}]\,=\,-i\,\var... ...en Ver-}\\ & \text{tauschungseffekt = Drehung}) \end{array}$$ (1.64)