Als erstes soll ein allgemeiner Ausdruck für einen -Kern der geraden Ordnung
bei der Verwendung von GAUSS-Blockspins abgeleitet werden. Dazu betrachte
man zuerst
-Kerne ab der Ordnung vier,
Ausgangspunkt für die RG-Transformation sei wieder ein erweitertes
Sine-GORDON-Modell nach Definition (
) mit .
Damit lassen sich die Felderwartungswerte für die erste Ordnung
Störungstheorie als
mit
schreiben. Für die verbundenen Felderwartungswerte ergibt sich
Faßt man diese mit Hilfe der Gleichungen () und () zusammen, so
erhält man nach kurzer Rechnung für ,
Man nimmt nun noch das Ergebnis aus Abschnitt für den -Kern zweiter
Ordnung hinzu. Es ergibt sich
Somit kann man die effektive Hamiltonfunktion für die erste Ordnung Störungstheorie
in aus
berechnen. Der erste Term beschreibt gerade den RG-Fluß der freien Theorie
und der zweite Term entspricht einer Taylorentwicklung der cos-Funktion. Damit läßt sich die effektive Hamiltonfunktion in dieser Ordnung Störungstheorie als
schreiben. Betrachtet man die Abweichung vom RG-Fluß der freien Feldtheorie, so stellt
sich diese als Verallgemeinerung des störungstheoretischen Impuls-Null-Potentials
in Ordnung mit
heraus, denn es gilt
Hiermit ist die effektive Theorie nach Gleichung () ebenfalls -symmetrisch.
Allerdings sind MC-Simulationen mit dieser Näherung aufwendiger als z. B. mit dem
erweiterten
Sine-GORDON-Modell nach Gleichung (
). Denn während man beim letzteren für das Update
des Feldes an einem Gitterpunkt zur Auswertung des Terms
für den Metropolis-Filter nur das effektive Impuls-Null-Potential bei den Werten
und
errechnet, so muß man für die
effektive Theorie nach (
) den Wert des Ausdrucks
für jeden Gitterpunkt des feinen Gitters
und für
bzw.
ermitteln.
Da die effektive Hamiltonfunktion () aus der Aufsummation aller -Kerne
in erster Ordnung Störungstheorie für
resultiert, wird man erwarten können,
daß sie für kleine Fugazitäten
eine bessere Approximation liefert als alle
bisherigen Versuche. Um dies zu prüfen, wurde zuerst, ausgehend von der Starttheorie
eine RG-Transformation mit ausgeführt. Anschließend wurden die Schichtdicken
in MC-Simulationen für die Approximation (
) und mit Hilfe des Cluster-Algorithmus
nach Abschnitt für die exakte effektive Theorie ermittelt.
Wie die in Tabelle aufgelisteten Werte zeigen, stimmt die Schichtdicke der
störungstheoretischen Approximation sehr gut mit den Ergebnissen aus den Simulationen
mit der exakten Theorie überein.
