Störungstheorie für den kinetischen Term

Um die effektive Temperatur zu bestimmen, muß man die gesamte Wechselwirkungsmatrix kennen. Die Berechnung soll durch eine Störungstheorie der Ordnung erfolgen. In diesem Abschnitt wird die Rechnung für GAUSS-Blockspins vorgestellt.
Ausgangspunkt soll wieder eine Start-Hamiltonfunktion der Form () mit einem Sine-GORDON-Potential, d. h. , sein. Nach Gleichung () gilt für den benötigten -Kern,

Diese Erwartungswerte können in zweiter Ordnung Störungstheorie berechnet werden,

Die drei einfachsten der in Gleichung () vorkommenden Erwartungswerte lassen sich nach

berechnen. Erwartungswerte der Form können mit Hilfe von

ermittelt werden. Am umfangreichsten ist der Term , der sich als Doppelsumme über Erwartungswerte der Form

schreiben läßt. Verbleibt noch der Erwartungswert

Für die numerische Berechnung der zweiten Ordnung in ist es wichtig, die in den Mehrfachsummen enthaltenen Symmetrien auszunutzen. Damit sind dann Rechnungen bis zu Gittern der Größe in vernünftiger Zeit durchführbar.
Nach Gleichung () soll die Temperatur gerade der reziproke Vorfaktor vor dem -Term sein. Durch die Verwendung des symmetrischen Polynom-Differentationsverfahrens vierter Ordnung zur Berechnung der Ableitung in () konvergierte die daraus folgende Temperatur schon auf relativ kleinen Gittern gegen den reziproken Vorfaktor des -Terms. Tabelle zeigt dazu die Temperaturen einer effektiven Theorie in erster Ordnung Störungstheorie für größer werdendes Gitter . Die RG-Transformation erfolgte dabei durch einen GAUSS-Blockspin mit und . Ausgangstheorie war ein Sine-GORDON-Modell mit

Die Temperaturen nach den verschiedenen Berechnungsverfahren konvergieren gegen dieselbe Temperatur, allerdings ist der Wert nach dem Polynom-Verfahren schon auf einem -Gitter zufriedenstellend. Polynom-Verfahren höherer Ordnung sind allerdings bei dieser Gittergröße nicht ratsam, um nicht von höheren Moden dominierte Bereiche der Brillouin-Zone zur Berechnung heranzuziehen.
Abbildung zeigt den RG-Fluß der effektiven Temperatur in der symmetrischen Phase, ausgehend von den Hamiltonfunktionen, mit denen in Abschnitt die MC-Simulationen durchgeführt wurden. Betrachtet wurde dazu der Fluß für die Starttemperaturen . Zu beobachten ist, daß die effektiven Temperaturen für die untersuchten Ausgangstheorien gegen eine Fixpunkttemperatur streben. Dabei steigt die Flußgeschwindigkeit hin zu diesen Fixpunkten mit der Starttemperatur an. Für eine Temperatur ist die Fixpunkttemperatur bei der maximalen Blocklänge von nur noch zu erahnen. Für die drei anderen Temperaturen weicht die Fixpunkttemperatur um weniger als von der Starttemperatur ab.

Im Rahmen der Näherung der effektiven Theorie durch ein Impuls-Null-Potential und einen bilinearen kinetischen Term entsprechen die RG-Fixpunkte für diese Temperaturen damit freien, masselosen Theorien. Dieses Verhalten stimmt mit dem RG-Fluß des Sine-GORDON-Modells im Kontinuum für die symmetrische Phase überein. Ein Charakteristikum, nach dem die Fixpunkttemperatur kleiner als die Ausgangstemperatur ist, kann aber nicht signifikant bestätigt werden. Die in Abschnitt gemessene Differenz dieser Temperaturen ist zu klein, als daß man sie durch numerische Ableitungen auf einem -Gitter verifizieren könnte.
Es fällt auf, daß die effektive Temperatur im Gegensatz zum KT-Szenario für Blocklänge ansteigt, um dann hin zu größeren Blöcken wieder abzufallen. Dieses Verhalten für kleine Skalenänderungen ist aber von der Wahl des Blockspins abhängig. Abbildung zeigt dazu den Fluß der effektiven Temperatur in guter Näherung für Delta-Blockspins bei . Die numerische Berechnung der Ausdrücke für die zweite Ordnung bei Delta-Blockspins ist ungleich aufwendiger als bei der Verwendung von GAUSS-Blockspins. Man erkennt im Vergleich mit Abbildung , daß bei den Temperaturen und die Geschwindigkeit des RG-Flusses hin zu den Fixpunkten für den Parameter deutlich langsamer ist. So kann man für die Starttemperatur bei einer maximalen Blocklänge keine Konvergenz mehr ``erahnen''.

Verbleibt noch die Struktur des kinetischen Terms im Fixpunkt bzw. für große Skalenänderungen. Dazu sind in Tabelle die sechs betragsmäßig größten Matrixelemente von zur Starttemperatur aufgelistet. Zum Vergleich ist ebenfalls die Fixpunktwechselwirkung der freien, masselosen Theorie eingetragen. Der Verlauf des RG-Flusses ist konsistent mit der Annahme, daß der kinetische Anteil der effektiven Hamiltonfunktion gegen den Fixpunkt einer freien Theorie strebt.