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Viele physikalische, chemische oder auch biologische Prozesse können mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Weisen die zugrunde liegenden Prozesse eine nichtlineare Dynamik auf, so ist eine Analyse und Vorhersage des komplexen Verhaltens oft nur durch eine numerische Lösung der entsprechenden nichtlinearen Differentialgleichungen möglich. Trotz wachsender Rechenkapazitäten sind viele Probleme aber aufgrund der hohen Komplexität auch heute nur unter starken Vereinfachungen handhabbar. Man denke dabei beispielsweise an Wettervorhersagen und die vielen verschiedenen Prozesse, welche in diesem Zusammenhang betrachtet werden müssen. An diesem Beispiel lässt sich auch verdeutlichen, dass es von großer Bedeutung ist, dass die entwickelten Verfahren effizient sind, d.h. dass numerische Verfahren mit so wenig Aufwand wie möglich zu einer bestmöglichen Lösung führen: Die Wettervorhersage von gestern ist schließlich nicht von Interesse.
Ziel dieses Seminars ist daher die Erarbeitung von mathematischen Methoden zur Modellreduktion von Partiellen Differentialgleichung. Dabei wollen wir Modellreduktion so verstehen, dass eine numerische Umsetzung des reduzierten Modells einen geringeren Rechenaufwand hat, als das nicht-reduzierte Modell. Beispiele solcher Methoden sind Dimensionsreduktion, Approximation der zugrunde liegenden physikalischen, chemischen oder biologischen Prozesse, Gebietszerleguns-verfahren, oder die Mehrskalenmodellierung. |