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Viele physikalische, chemische oder auch biologische Prozesse können mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Da eine analytische Lösung der Gleichungen nur selten möglich ist, müssen numerische Verfahren angewandt werden, um das Verhalten dieser Prozesse dennoch analysieren und vorhersagen zu können. Trotz wachsender Rechenkapazitäten ist in vielen Anwendungsfällen jedoch auch eine numerische Lösung, z.B. mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode, nur unter erheblichem Aufwand zu erlangen. Es ist daher von großem Interesse Modellreduktionsverfahren zu entwickeln, welche ausgehend von solchen hochdimensionalen diskreten Modellen effiziente Ersatzmodelle geringer Dimension liefern können, die z.B. schnelle Vorhersagen für variierende Modellparameter liefern können.
In diesem Seminar werden wir ausgewählte Forschungsarbeiten zu projektionsbasierten Modellreduktionsverfahren für parametrisierte partielle Differentialgleichungen vorstellen. Diese Verfahren basieren auf einer (Petrov-)Galerkin-Projektion der Lösung auf einen geeignet gewählten niedrigdimensionalen Teilraum des diskreten Lösungsraumes. Dieser Ansatz erlaubt es, die resultierenden reduzierten Modelle mit bekannten Ansätzen aus der Numerik partieller Differentialgleichungen (Céa-Lemma, residuenbasierte Fehlerschätzer, etc.) zu studieren. Zusammen mit Resultaten der Approximationstheorie kann mit geeigneten Verfahren zur Konstruktion des reduzierten Lösungsraumes die Qualität des reduzierten Modells garantiert werden.
Ein Vortrag in diesem Seminar kann als Grundlage für eine Masterarbeit im Gebiet der Modellreduktion dienen. |
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