Ziel der Vorlesung ist die Analyse und Implementierung effizienter numerischer Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen.
In erster Linie werden wir uns hierbei mit der Familie der Discontinuous-Galerkin (DG) Verfahren beschäftigen, welche auf Approximationsräumen unstetiger, stückweise polinomieller Gitter-Funktionen basieren. DG-Verfahren erlauben eine leichte Konstruktion von effizient parallelisierbaren hp-adaptiven Verfahren höherer Ordnung und eigenen sich besonders zur numerischen Simulation von transportdominierten Prozessen geringer Regularität (z.B. Schockwellen).
Im ersten Teil der Vorlesung werden wir eine ausführliche Einführung in die Theorie von DG-Verfahren für elliptische Differentialgleichungen geben. Auf dieser Basis werden wir im zweiten Teil der Vorlesung Erweiterungen auf Advektions-Diffusions-Gleichungen sowie auf Systeme nichtlinearer Erhaltungsgleichungen wie die kompressiblen Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen betrachten. Zudem werden wir genauer auf Aspekte der Implementierung von DG-Verfahren eingehen.
Ziel der begleitenden Übungen ist die praktische Umsetzung der vorgestellten Verfahren und ihre Anwendung auf relevante Problemstellungen. Dazu werden wir im Laufe des Semesters entsprechende Diskretisierungsverfahren in der Python/Cython Umgebung implementieren und anhand dessen relevante Programmierparadigmen, wie zum Beispiel Vektorisierung vs. schleifenbasiertes Programmieren, automatische Code-Generierung, oder Parallelisierungsansätze (MPI), kennenlernen. |
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