Information zur Vorlesung "Operatoralgebren" (Wintersemester 2017/18)

Kursbeschreibung
Operatoralgebren sind bestimmte Algebren von stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum. Die Untersuchung einer Operatoralgebra beruht auf Methoden aus der Funktionalanalysis, der Algebra und der Topologie. Die Theorie der Operatoralgebren ist daher sowohl von den Problemstellungen als auch von den Methoden her innerhalb der Mathematik stark interdisziplinär. Die Vorlesung Operatoralgebren ist in der Regel die erste Mastervorlesung einer Spezialisierung im Bereich der Operatoralgebren/Nichtkommutativen Geometrie.

Behandelte Themen

• Woche 1: Banachalgebren, Beispiele, Unitalisierung nichtunitaler Banachalgebren, invertierbare Elemente, Spektrum und Resolvente, Satz von Gelfand-Mazur, Spektralradius, Spektralradiusformel.
• Woche 2: kommutative Banachalgebren, Charaktere, maximale Ideale, die Gelfandtransformation, C*-Algebren, Beispiele, *-Homomorphismen, Unitalisierung nichtunitaler C*-Algebren, Eindeutigkeit der Norm, automatische Stetigkeit von *-Homomorphismen.
• Woche 3: Charaktere auf C*-Algebren, Satz von Gelfand für C*-Algebren, stetige Funktionalkalkül, Anwendungen des Funktionalkalküls, Eigenschaften des Spektrums.
• Woche 4: Positive Elemente in C*-Algebren, Charakterisierungen positiver Elemente, Quadratwurzel positiver Elemente, die Halbordnung auf den selbstadjungierten Elementen.
• Woche 5: Mehr zur geordneter Struktur, Wiederholung von Operatoren auf Hilberträumen, positive Operatoren, partielle Isometrieen, Polarzerlegung, Hilbert-Schmidt-Operatoren, Spurklasse-Operatoren.
• Woche 6: Approximative Einsen, Ideale, Quotienten, injektive *-Homomorphismen sind isometrisch, das Bild eines *-Homomorphismus ist abgeschlossen, hereditäre Unteralgebren.
• Woche 7: Positive Abbildungen, positive Funktionale, Zustände, Fortsetzungen positiver Funktionale, Eindeutigkeitskriterien solcher Fortsetzungen, Darstellungen von C*-Algebren, treue und zyklische Darstellungen, GNS-Darstellungen, die universelle Darstellung einer C*-Algebra und der Satz von Gelfand-Naimark.
• Woche 8: Starke und schwache Operatortopologie (SOT und WOT), SOT-stetige und WOT-stetige Funktionale, WOT-Kompaktheit der Einheitskugel, von Neumannalgebren, die Kommutante, der Bikommutantensatz.
• Woche 9: Projektionen in von Neumannalgebren, Polarzerlegung, die ultraschwache Topologie, der Predual, stark stetige Funktionen, Kaplansky's Dichtesatz.
• Woche 10: der Spektralsatz, der borelsche Funktionalkalkül, mehr zu Projektionen in von Neumannalgebren, WOT-stetige *-Homomorphismen.
• Woche 11: Charakterisierung abelscher von Neumannalgebren, die Verbandstruktur der Projektionen, äquivalente Projektionen.
• Woche 12: Typenklassifikation für von Neumannalgebren und Faktoren, endliche, unendliche und echt unendliche von Neumannalgebren, reduzierte Gruppen-C*-Algebra, Gruppen-von-Neumannalgebra.
• Woche 13: Irreduzible Darstellungen, reine Zustände, konvexe Hülle der reinen Zustände.
• Woche 14: Beispiele, endlichdimensionale C*-Algebren, induktive Limes, universelle C*-Algebren, universelle Gruppen-C*-Algebra.

• G.J. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory.

• J.B. Conway, A Course in Functional Analysis.
• R.V. Kadison and J.R. Ringose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vols. 1 and 2.
• G.K. Pedersen, Analysis Now.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I.
• K. Zhu, An Introduction to Operator Algebras.