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Ringvorlesung 2019: Michael Joachim: Algebraische Strukturen in der Geometrie: Kobordismustheorie.

Mittwoch, 19.06.2019 16:15 im Raum M2
Mathematik und Informatik

Mannigfaltigkeiten sind topologische R\"aume, die lokal aussehen wie der $\mathbb{R}^n$. Die Zahl $n$ hei{\ss}t in diesem Fall dann die Dimension der Mannigfaltigkeit. Typische Beispiele sind etwa die Einheitssph\"are in $\mathbb{R}^n$, oder der Torus, und insbesondere auch der Raum $\mathbb{R}^n$ selbst. Mannigfaltigkeiten hei{\ss}en glatt, wenn wir sie uns "ohne Ecken" in einen euklidischen Raum veranschaulischen k/"onnen. Zwei kompakte glatte $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten $M_1$ und $M_2$ hei{\ss}en bordant, falls eine kompakte glatte $n+1$-dimensionale Mannigfaltigkeit $W$ mit Rand existiert, deren Rand die disjunkte Vereinigung von $M_1$ und $M_2$ ist. Dies liefert eine \"Aquivalenzrelation f\"ur glatte, geschlossene Mannigfaltigkeiten, und viele Invarianten von solchen Mannigfaltigkeiten h\"angen nur von der zugeh\"origen Bordismusklasse ab. Die Menge der \"Aquivalenzrelationen besitzt zudem, zun\"achst v\"ollig unerwartet, eine erstaunlich reiche algebraische Struktur: sie ist ein Polynomring! Ren\'{e} Thom, der dies als erster erkannte und bewies, erhielt daf\"ur 1958 die Fieldsmedaille. Desweiteren f\"uhrt die Bordismusrelation aber auch zur Definition einer ganzen Reihe von sogenannten verallgemeinerten Kohomologietheorien, die in vielen Aspekten der algebraischen Topologie und angrenzenden Gebieten Anwendung finden und auch heute noch Gegenstand einer Vielzahl von aktuellen Forschungsarbeiten sind.



Angelegt am Freitag, 21.12.2018 08:51 von elke
Geändert am Mittwoch, 19.06.2019 09:46 von elke
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