Viele biologische, physikalische oder chemische Prozesse können mittels Partieller Differentialgleichungen (PDGl) modelliert werden. Da in den letzten Jahrzehnten sowohl (mittlerweile als “standard” angesehene) Diskretisierungsmethoden zur Approximation der Lösung der PDGl als auch Computer Hardware signifikant verbessert wurden, haben numerische Simulationen stark an Wichtigkeit gewonnen und werden mittlerweile in vielen Bereichen eingesetzt. Trotz dieses enormen Fortschritts stellt die numerische Simulation vieler realer Anwendungsprobleme immer noch eine große Herausforderung dar. Beispiele hierfür sind PDGl mit stark heterogenen Koeffizienten wie die hydraulische Leitfähigkeit in Grundwasserströmungen, numerische Simulationen auf sehr großen oder sich geometrisch verändernden Rechengebieten wie in Blutströmungen oder Probleme welche viele Simulationsantworten für verschiedene Parameter oder eine Simulationsantwort in Echtzeit erfordern. Ein möglicher Ansatz zur Behandlung dieser Problemstellungen ist lokalisierte Modellreduktion, was das Thema dieses Vortrags sein wird. Dazu zerlegen wir das Rechengebiet in Teilgebiete und konstruieren einen reduzierten Raum aus lokalen Lösungen der PDGl für jedes Teilgebiet; die globale Lösung erhalten wir dann mittels Lösen nach den Koeffizienten der lokalen Basisfunktionen. Insbesondere stellen wir lokale reduzierte Räume vor, für die wir mithilfe der Caccioppoli Ungleichung zeigen werden, dass sie optimal sind, in dem Sinne, dass sie den Approximationsfehler unter allen lokalen Räumen derselben Dimension minimieren. Ferner zeigen wir, wie mit Hilfe von Algorithmen aus dem Bereich der randomisierten Linearen Algebra, diese optimalen lokalen Räume effizient konstruiert werden können.